Date post: | 17-Dec-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | dartacan-mosqueperro |
View: | 18 times |
Download: | 0 times |
COSMOLOGA N-DIMENSIONAL DE TIPOKALUZA-KLEIN EN EL VACO
Carlos Oscar Rodrguez Leal
29 de noviembre de 2013
ii
ndice general
Introduccin. V
1. Obtencin de las Ecs. de Einstein 7D. 1
2. Comparacin de modelos cosmolgicos 6D. 152.1. Corroboracin de cosmologa N-D vaca. . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Modelo 6D vaco de Peraza-Vladimirov. . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1. Modelo plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.2. Modelo de curvatura negativa (abierto). . . . . . . . . . . 302.2.3. Modelo de curvatura positiva (cerrado). . . . . . . . . . . 31
2.3. Relacin entre las soluciones 6D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1. Modelo plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2. Modelo elptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.3. Modelo hiperblico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.4. Anlisis general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3. Propuesta de una solucin 6D no vaca. 413.1. Solucin 6D no vaca plana ( = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2. Solucin 6D no vaca hiperblica ( = 1). . . . . . . . . . . . . 45
A. Demostracin de algunos resultados. 51A.1. Demostracin de las identidades trigonomtricas hiperblicas. . . 51A.2. Obtencin de resultados con Mathematica. . . . . . . . . . . . . 52
A.2.1. Obtencin de la integral (2.35). . . . . . . . . . . . . . . . 52A.2.2. Simplicacin de la llave fgS= en la frmula (2.38). . . . 53A.2.3. Integracin de la frmula (2.33). . . . . . . . . . . . . . . 56
A.3. Obtencin de una relacin alternativa C2 = C2 (). . . . . . . . . 57
Conclusiones. 59
iii
iv NDICE GENERAL
Introduccin.
La idea de multidimensionalidad en la Fsica est ntimamente relaciona-da con la geometrizacin del espacio, cuyas races descansan en los intentospor demostrar el quinto postulado de Euclides sobre las lneas paralelas [18], elcual dice que por un punto exterior a una recta pasa solamente una paralela.Posteriormente en los trabajos de Lobachevski y de B. Riemann son propues-tas geometras no Euclideas hiperblica y esfrica correspondientemente. Final-mente, a principios del siglo XX con los trabajos de A. Einstein sobre la teoraespecial de la relatividad y de A. Poincare en la concepcin topolgica de ladimensionalidad, toma fuerza la profunda relacin entre las leyes fsicas [11] yla geometra, lo cual es mostrado en la expresin para el cuadrado del intervalo4-dimensional
ds2 = gdxdx ,
entre dos puntos separados innitesimalmente en el espacio-tiempo, donde , toman los valores 0, 1, 2, 3. Precisamente, fue Einstein quien sugiri unaexplicacin geomtrica de la gravitacin en sus trabajos sobre la teora generalde la relatividad de 1915, lo cual est expresado en las ecuaciones de campo deEinstein,
R 12gR = T
en las que en la parte izquierda estn presentes solo cantidades geomtricas, encambio, en la parte derecha estn presentes las propiedades de la materia medi-ante el tensor de energa momentum T . Las ecuaciones de Einstein expresanla extraordinaria e importante circunstancia que la curvatura del espacio-tiempoest determinada por las caractersticas fsicas de la materia en l contenida. Ex-iste una densidad crtica (c) de 5 protones=m
3 a partir de la cual se estableceuna clasicacin para el universo, basada en la relacin geometra densidad queestablece la relatividad general: si m > c (m es la densidad de materiaactual), se dice que es cerrado; si m < c se dice que es abierto; y si se tieneque m = c, entonces el universo es plano.En las generalizaciones multidimensionales de la relatividad general, la cur-
vatura escalar R juega un importante papel. Sealemos que las frmulas aquescritas son vlidas tambin para variedades espacio-temporales de mayor di-mensin, es decir, para teoras 5 y 6 dimensionales y ms.
v
vi INTRODUCCIN.
Hacia 1919 Teodor Kaluza [7, 14] mostr una manera ingeniosa de unicarlas interacciones conocidas por ese tiempo, a saber, la electromagntica y lagravitacional, proponiendo para ello un fondo de espacio-tiempo Riemanniano5-dimensional. Como Einstein no estaba muy convencido de este procedimiento,sugiri la publicacin de dicho artculo solo hasta 1921, que ms adelante jun-to con Bergman fue uno de los puntales del mtodo multidimensional. De estamanera, Kaluza propuso adicionar una coordenada ms de tipo espacialoide a lavariedad espacio-tiempo cuatridimensional; es decir, sugiri un espacio curvo de4 dimensiones en lugar de las tres conocidas, donde la cuarta direccin espacialdeba estar oculta a nuestra percepcin. Sin embargo, dicha dimensin ocultapoda tener una inuencia detectable en nuestro mundo cuatridimensional, elde nuestra cotidianidad. De esta manera, la interaccin electromagntica pasaa ser considerada como una fuerza de origen en la quinta dimensionalidad [12].Adems, haba una propiedad adicional de las componentes de la mtrica pen-tadimensional, a saber, que todas sus componentes no deban depender de laquinta coordenada lo cual es hoy reconocido [16] como condicin de cilindricidaden la quinta dimensin x5.De esta manera, la mtrica o cuadrado del intervalo entre dos eventos sepa-
rados innitesimalmente se escribe como
dI2 = GABdxAdxB ,
donde ahora los ndices A, B toman los valores 0, 1, 2, 3, 5, y GAB es una matrizcon las 25 componentes del tensor mtrico en 5 dimensiones:
GAB =
266664G00 G01 G02 G03 G05G10 G11 G12 G13 G15G20 G21 G22 G23 G25G30 G31 G32 G33 G35G50 G51 G52 G53 G55
377775 =G G5G5 G55
)g AA G55
,
donde para el caso general, Gab posee solo 15 componentes diferentes. Kaluzadistribuy estas 15 componentes de forma que las 10 componentes g corre-spondieran a las 10 de la relatividad general einsteniana, y G5 corresponderana las componentes del potencial vectorial electromagntico, por lo que G55 quedcomo un excedente, con el cual se podra describir un nuevo campo escalar queen principio podra representar un tipo de materia. Al aplicar el procedimien-to de la 4 + 1-descomposicin de las ecuaciones de lneas geodsicas5-dimensionales , se obtienen las cuatro conocidas ecuaciones cuatridimensiona-les del movimiento de partculas cargadas en los campos gravitacional y electro-magntico; y una quinta ecuacin, la cual indica la dependencia de la relacincarga/masa de una partcula respecto del campo escalar G5.En los trabajos de Kaluza [14] fue demostrado de manera general que la uni-
cacin del campo gravitacional einsteniano y las ecuaciones de Maxwell se dateniendo como base un espacio-tiempo Riemanniano 5-dimensional [13]. Algunasdecenas de aos despus, Vladimirov [16] en 1987 muestra que en una teora 6-dimensional de tipo Kaluza-Klein se logran unicar la interaccin gravitacional
vii
einsteniana con el campo electrodbil de Weinberg-Salam. Adems, hacia nesdel ao 2012 y este 2013 se ha publicado bastante material que indica sobre lapresencia de un nuevo tipo de materia, materia obscura, en el universo, sobretodo en las regiones de inuencia de galaxias elpticas [2]. De esta manera cobraespecial inters la bsqueda de soluciones cosmolgicas 6-dimensionales de tipoKaluza-Klein, lo cual aqu es realizado, al menos parcialmente. Los resultadosaqu obtenidos habrn de generalizarse en futuros trabajos para posiblementedescribir las propiedades de dicha materia especial.
viii INTRODUCCIN.
Captulo 1
Obtencin de lasEcuaciones de Einstein7D: formalismo de Cartn,formas diferenciales.
An cuando la cosmologa de inters particular es la 6-dimensional con sec-cin espacial tridimensional de curvatura nula, positiva y negativa, como es decostumbre, para nes de trabajos futuros aqu mostraremos los clculos parauna cosmologa de una dimensin mayor, es decir, 7-dimensional. De las ecua-ciones de campo nalmente obtenidas haremos la simplicacin para obtenerlas ecuaciones 6d de campo. En los marcos de la teora de Kaluza-Klein estosmodelos cosmolgicos son de especial inters ya que en la teora 6d [[16]] de lasinteracciones gravielectrodbiles, las constantes fsicas fundamentales resultanconectadas con las componentes adicionales G55, G66, G56 de la mtrica, lascuales corresponden a tres campos fsicos escalares. Dichas constantes son:
e = ee0r 1G55G66 , g = eg0rG55 +G66G55G66 , sin w =
rG66
G55 +G66,
mz = emz0rG55 +G66G55G66 ;que corresponden a la carga del electrn, la constante de interaccin con elcampo bosnico, el ngulo de Weinberg y la masa del bosn z. Igualmente lascantidades con tilde son constantes, las cuales deben denirse desde la obser-vacin. De esta manera la evolucin de los campos escalares debe manifestarseen los valores de dichas constantes. Por otro lado, Yu S. Vladimirov [16] analizadistintas formas de mtricas que se obtienen al aplicar la transformacin con-forme de Weyl a las ecuaciones obtenidas luego de la 1 + 1 + 4 reduccin. Deacuerdo con esto ltimo, el coeciente ante el tensor mtrico de partida se puede
1
2 CAPTULO 1. OBTENCIN DE LAS ECS. DE EINSTEIN 7D.
elegir de tres maneras diferentes, a saber,
1) g , 2) 15 g , 3)
25g , (1.1)
donde 5 es el factor conforme, el cual por congruencia de la teora puede sertomado como la quinta componente del 5-vector monada A contenido en larepresentacin general de la mtrica 5-dimensional de partida GAB = 25+gsi hablamos de la 5-dimensionalidad. Segn este autor el inciso 3) de la expresinanterior es la forma ms adecuada de aplicar la transformacin conforme deWeyl, pues conlleva a ecuaciones conocidas (ver (1.2), (1.3) y (1.4)).Siguiendo a Vladimirov, se tiene que:
a) Luego de la n+4 reduccin en las ecuaciones obtenidas se sigue aplicar latransformacin conforme, despus de lo cual hay que realizar la identi-cacin de las diversas cantidades geomtricas con cantidades fsicas.
b) La condicin de cilindricidad en las coordenadas adicionales debe cambiarsepor la condicin ms general de cuasicilindricidad, cuando todas las com-ponentes de la mtrica de partida dependen de las coordenadas adicionalespero luego de la transformacin conforme dicha dependencia es eliminadaquedando tan solo en el factor conforme, lo cual corresponde a la idea deEinstein y Bergmann acerca de la periodicidad o cerradura del mundo enlas coordenadas adicionales. En la transicin a la teora 4d estndar serealiza la promediacin en dichas dimensiones mayores con lo que la de-pendencia de las cantidades fsicas respecto de dichas dimensiones quedaeliminada.
Pongamos como ejemplo la 5-dimensionalidad. De las ecuaciones 5d de Eins-tein
5RAB 12GAB
5R+ eGAB = QABnalmente se obtiene el conjunto de ecuaciones
4R 12g
4R+ 25g = 2k
c4
FF
1
4gFF
+ T
+3
5
rr5 ggrr5 (1.2) 6255;5; ,
rF 3F 5;5
=c2pk35Q
B
B , (1.3)
grr5 16
4R+
3k
4c2FF
5 1
335 =
335QAB
AB , (1.4)
donde T = QABgA gB es el tensor 4-dimensional de energa-momentum de
la materia exterior. Estas ecuaciones son las correspondientes a las ecuaciones
3estndar de Einstein (1.2), al segundo par de ecuaciones de Maxwell (1.3) ya la ecuacin de Klein-Fock-Gordon (1.4) para el campo escalar 5, mismoque est contenido en la parte derecha como una forma de materia adicional(de procedencia geomtrica). De acuerdo con Vladimirov [16] la ecuacin (1.4)podra en principio ser aplicada a una forma nueva de materia (por ejemplo ala materia obscura) y denir algunas de sus propiedades y caractersticas.Por esta razn proponemos el cuadrado del intervalo 7-dimensional en forma
homognea e isotrpica con simetra esfrica, de acuerdo con el inciso 3) de laexpresin (1.1),
dI2 = e2e2d2 d2 f2 d2 + sin2 () d'2e21dx21 e22dx22 e23dx23
, (1.5)
donde la correspondencia entre coordenadas y variables es la siguiente:
Coordenada Variable Dimensin0 temporal1 radial2 angular3 ' angular5 x1 quinta6 x2 sexta7 x3 sptima
Tabla 1
;
adems,
= () , = () , f = f () , 1= 1 () , 2= 2 () y 3= 3 () (1.6)
son funciones de sus respectivas variables temporal y radial . Una vez obtenidaslas correspondientes ecuaciones 7-dimensionales de Einstein, procederemos a sureduccin 6-dimensional para su relacin con otras soluciones6-dimensionales obtenidas por Kechkin-Peraza [10].Los clculos para obtener las ecuaciones de campo estarn basados en el
formalismo de formas diferenciales de Cartn [15], el cual, como es sabido, sim-plica bastante los clculos, adems de la elegancia caracterstica del mismo.Comenzaremos eligiendo una base de tetradas A = e(A) dx tal que los
coecientes gAB [4, 6] en la expresin ds2 = gABAB para la mtrica, sean
constantes. As pues, la base ser
0 = e+d d = 0e
1 = e+d d = 1e
2 = e+fd d = 2 ef
3 = e+f sin () d' d' = 3 ef sin()
5 = e+1dx1 dx1 = 5e16 = e+2dx2 dx2 = 6e27 = e+3dx3 dx3 = 7e3
Tabla 2
;
4 CAPTULO 1. OBTENCIN DE LAS ECS. DE EINSTEIN 7D.
por lo que sustituyendo esta tabla en nuestra mtrica (1.5) obtenemos
dI2 =02 12 22 32 52 62 72 ,
dondeg00 = 1, g11 = g22 = g33 = g55 = g66 = g77 = 1; (1.7)
otros gAB = 0. Adems, gABgBC = AC [4, 6], por lo que 1 =
00 = g
0SgS0 =g00g00 + g
01g10 + : : :+ g07g70 = g
00g00 = g00 1 = g00, es decir, g00 = 1; y de la
misma forma se procede con los dems gAB , obteniendo el siguiente resultado:
gAB = gAB , 8A;B = f0; 1; 2; 3; 5; 6; 7g . (1.8)Ahora obtendremos los diferenciales exteriores de las cantidades N . As,
haciedo uso de las frmulas
d (f) = fd+ df ^ , d2 = 0, 8 n-forma y escalar f ,resulta que
d0 = de+
d= e+d2 + d
e+
^ d = d e+ ^ d= (+ )
0e+d ^ d = 0;
y de igual forma se procede con los dems diferenciales exteriores, obteniendola siguiente tabla:
d0 = 0
d1 = (+ )0e0 ^ 1
d2 = (+ )0e0 ^ 2 + e f 0f 1 ^ 2
d3=(+ )0e0^3+e f 0f 1^3+e cot()f 2^3
d5 = (+ 1)0e0 ^ 5
d6 = (+ 2)0e0 ^ 6
d7 = (+ 3)0e0 ^ 7
Tabla 3
.
Lo que sigue es comparar estos resultados con las primeras ecuaciones deestructura
dA = !AB ^ B ,para as obtener las 1-formas !AB . As, d
0 = 0, por el valor dado en la tabla 3.Tambin,
d1 = !10 ^ 0 !11 ^ 1 !12 ^ 2 !13 ^ 3 !15 ^ 5 !16 ^ 6 !17 ^ 7,pero
!11= g1S!S1= g
10!01+g11!11+ : : :+ g
17!71= g11!11= 0, (1.9)
pues de (1.8) puede verse que las componentes g1A son cero para A 6= 1, y!AA = 0; as que
d1 = !10 ^ 0 !12 ^ 2 !13 ^ 3 !15 ^ 5 !16 ^ 6 !17 ^ 7,
5lo cual, al compararlo con el valor respectivo en la tabla 3, nos da la igualdad
(+ )0 e1 ^ 0 = !10 ^ 0 !12 ^ 2 !13 ^ 3!15 ^ 5 !16 ^ 6 !17 ^ 7,
de donde !10 = (+ )0e1 y las dems formas para d1 son !1A = E1A
A
(donde a = f2; 3; 5; 6; 7g y E1a es un escalar), pues de acuerdo con la antisimetradel producto cua [6], A ^ B = B ^ A, de modo que si A = B, entoncesdicho producto es cero. Y de manera anloga se obtienen otras formas !AB . Losresultados se muestran en la siguiente tabla:
!10 = (+ )0e1.
!20 = (+ )0e2
!21 = e f 0
f 2
!30 = (+ )0e3
!31 = e f 0
f 3
!32 = e cot()
f 3
!50 = (+ 1)0e5
!60 = (+ 2)0e6
!70 = (+ 3)0e7
Tabla 4
.
Ahora obtendremos ms formas haciendo uso del tensor mtrico, como se mues-tra a continuacin:
!RSgR1gS0 = !1Sg
S0 = !S1gS0 = !01 = !10g11g00 = !10,
donde se us la frmula !AB = !BA y las relaciones (1.7) y (1.8); as que!01 = !
10. De manera similar se calculan las dems formas. Los resultados
aparecen en la siguiente tabla:
!01 = !10
!02 = !20
!12 = !21!03 = !
30
!13 = !31!23 = !32!05 = !
50
!06 = !60
!07 = !70
Tabla 5
.
De acuerdo con el formalismo, las dems formas !AB que no obtuvimos son cero.Nuestro siguiente paso es calcular los diferenciales exteriores de las 1-formas
6 CAPTULO 1. OBTENCIN DE LAS ECS. DE EINSTEIN 7D.
!AB de la siguiente manera:
d!10 = d(+ )
0e1
=h(+ )
00e (+ )02 e
id ^ 1
+(+ )0ed1
=h(+ )
00 (+ )02ie220 ^ 1
+(+ )02e220 ^ 1
= (+ )00e220 ^ 1,
donde fueron sustituidos d y d1 desde las tablas 1 y 3 respectivamente; deforma anloga se obtienen otros diferenciales. Los resultados se muestran en-seguida:
d!10 = (+ )00e220 ^ 1
d!20 = (+ )00e220 ^ 2 + (+ )0 e22 f 0f 1 ^ 2
d!21 = e22 f 00
f 1 ^ 2
d!30 =
((+ )
00e220 ^ 3 + (+ )0 e22 f 0f 1 ^ 3+(+ )
0e22 cot()f
2 ^ 3)
d!31 = e22 f 00
f 1 ^ 3 + e22 f 0f2 cot () 2 ^ 3
d!32 = e22f2
2 ^ 3d!50 =
h(+ 1)
00 (+ )0 (+ 1)0 + (+ 1)02ie220 ^ 5
d!60 =h(+ 2)
00 (+ )0 (+ 2)0 + (+ 2)02ie220 ^ 6
d!70 =h(+ 3)
00 (+ )0 (+ 3)0 + (+ 3)02ie220 ^ 7
Tabla 6
.
Otros diferenciales exteriores d! se calculan a partir de las equivalencias de latabla 5 y volviendo a emplear esta tabla 6. Los dems diferenciales exterioressern cero.
Lo que sigue es calcular las dos-formas AB haciendo uso de las segundasecuaciones de estructura
AB = d!AB + !
AC ^ !CB .
As que
00 = d!00 + !
0c ^ !c0
= d!00 + !00 ^ !00 + !01 ^ !10 + !02 ^ !20 + !03 ^ !30
+!05 ^ !50 + !06 ^ !60 + !07 ^ !70= 0,
7de acuerdo con las tablas 4 y 5;
01 = d!01 + !
0c ^ !c1
= d!01 + !00 ^ !01 + !01 ^ !11 + !02 ^ !21
+!03 ^ !31 + !05 ^ !51 + !06 ^ !61 + !07 ^ !71= (+ )
00e220 ^ 1 + (+ )0 e2 ^ (+ )0 e2
+(+ )0e3 ^ e f
0
f3
= (+ )00e220 ^ 1,
de acuerdo con los datos de las tablas 4, 5 y 6, y el mtodo empleado en laecuacin (1.9); y anlogamente se calculan las dems 2-formas. Aqu se muestranlos resultados:
00 = 0
01 = (+ )00e220 ^ 1
02 = (+ )00e220 ^ 2
03 = (+ )00e220 ^ 3
05 =h (+ )0 (+ 1)0 + (+ 1)0
2
+ (+ 1)00ie220 ^ 5
06 =h (+ )0 (+ 2)0 + (+ 2)0
2
+ (+ 2)00ie220 ^ 6
07 =h (+ )0 (+ 3)0 + (+ 3)0
2
+ (+ 3)00ie220 ^ 7
10 =
01
11 = 0
12 =
(+ )
02 f00
f
e221 ^ 2
13 =
(+ )
02 f00
f
e221 ^ 3
15 = (+ )0(+ 1)
0e221 ^ 5
16 = (+ )0(+ 2)
0e221 ^ 6
17 = (+ )0(+ 3)
0e221 ^ 7
20 =
02
21 = 12
22 = 0
23 =
"1 f 02f2
+ (+ )02#e222 ^ 3
25 = (+ )0(+ 1)
0e222 ^ 5
Tabla 7, primera parte
8 CAPTULO 1. OBTENCIN DE LAS ECS. DE EINSTEIN 7D.
26 = (+ )0(+ 2)
0e222 ^ 6
27 = (+ )0(+ 3)
0e222 ^ 7
30 =
03
31 = 13
32 = 23
33 = 0
35 = (+ )0(+ 1)
0e223 ^ 5
36 = (+ )0(+ 2)
0e223 ^ 6
37 = (+ )0(+ 3)
0e223 ^ 7
50 =
05
51 = 15
52 = 25
53 = 35
55 = 0
56 = (+ 1)0(+ 2)
0e225 ^ 6
57 = (+ 1)0(+ 3)
0e225 ^ 7
61 = 16
62 = 26
63 = 36
65 = 56
66 = 0
67 = (+ 2)0(+ 3)
0e226 ^ 7
70 =
07
71 = 17
72 = 27
73 =
37
75 = 57
76 = 67
77 = 0
Tabla 7, segunda parte
El siguiente paso es calcular las componentes del tensor de Riemann emplean-do las frmulas
AB =1
2RABCD
C ^ D
y comparndolas con las 2-formas de la tabla 7. De esa manera tenemos que
00 = R
00CD
C ^ D = 0, as que R00CD = 0;
01 = R
01CD
C ^ D = (+ )00 e220 ^ 1, por lo queR0101 = (+ )
00e22 y todos los dems componentes R01CD = 0. Pro-
9cediendo de la misma forma con el clculo de los dems componentes RABCDobtenemos los resultados de la tabla siguiente:
R0101 = (+ )00e22
R0202 = R0101
R0303 = R0101
R0505 =h (+ )0 (+ 1)0 + (+ 1)0
2
+ (+ 1)00ie22
R0606 =h (+ )0 (+ 2)0 + (+ 2)0
2
+ (+ 2)00ie22
R0707 =h (+ )0 (+ 3)0 + (+ 3)0
2
+ (+ 3)00ie22
R1010 = R0101R1212 =
h(+ )
02 f 00fie22
R1313 = R1212
R1515 = (+ )0(+ 1)
0e22
R1616 = (+ )0(+ 2)
0e22
R1717 = (+ )0(+ 3)
0e22
R2020 = R0101R2121 = R
1212
R2323 =
1f 02f2 + (+ )
02e22
R2525 = R1515
R2626 = R1616
R2727 = R1717
R3030 = R0101R3131 = R
1212
R3232 = R2323
R3535 = R1515
R3636 = R1616
R3737 = R1717
R5050 = R0505R5151 = R
1515
R5252 = R1515
R5353 = R1515
R5656 = (+ 1)0(+ 2)
0e22
R5757 = (+ 1)0(+ 3)
0e22
R6060 = R0606R6161 = R
1616
R6261 = R1616
R6363 = R1616
R6565 = R5656
R6767 = (+ 2)0(+ 3)
0e22
R7070 = R0707R7171 = R
1717
Tabla 8, primera parte.
10 CAPTULO 1. OBTENCIN DE LAS ECS. DE EINSTEIN 7D.
R7272 = R1717
R7373 = R1717
R7575 = R5757
R7676 = (+ 2)0(+ 3)
0e22
Tabla 8, segunda parte
.
Otras componentes se calculan por la anticonmutatividad del producto externo,por ejemplo: 01 = (+ )
00e220 ^ 1 = R01CDC ^ D, siendo
R0101 = (+ )00e22 , mas tambin
01 = (+ )00 e221 ^ 0 = R01CDC ^ D, siendoR0110 = (+ )00 e22 = R0101; y en general [17, 9]
RABCD = RABDC . (1.10)Todas las dems componentes del tensor de Riemann son cero.Ahora procederemos a calcular las componentes del tensor de Ricci, denidas
de la siguiente manera:RAB = R
CABC .
As pues,
R00 = R0000 +R
1001 +R
2002 +R
3003 +R
5005 +R
6006 +R
7007
= R1010 R2020 R3030 R5050 R6060 R7070
=
8>>>>>>>>>:
3 (+ )00e22
+h (+ )0 (+ 1)0 + (+ 1)0
2
+ (+ 1)00ie22
+h (+ )0 (+ 2)0 + (+ 2)0
2
+ (+ 2)00ie22
+h (+ )0 (+ 3)0 + (+ 3)0
2
+ (+ 3)00ie22
9>>>>>=>>>>>;=
8>:3 (+ )
00
+P3
n=1
" (+ )0 (+ n)0
+(+ n)02+ (+ n)
00
# 9>=>; e22 ,donde se usaron los valores de la tabla 8 y las antisimetras (1.10). De igualforma se calculan las dems componentes, obteniendo los siguientes resultados:
R00 =
(3 (+ )
00
+P3
n=1
h (+ )0 (+ n)0 + (+ n)0
2
+ (+ n)00i ) e22
R11 =n (+ )00 + 2
hf 00
f (+ )02i (+ )0P3n=1 (+ n)0o e22
R22=
( (+ )00 + f 00f + f
021f2
2 (+ )02 (+ )0P3n=1 (+ n)0)e22
R33 = R22R55 =
(+ 1)
0(5+ 2 + 1 + 2 + 3)
0+ (+ 1)
00e22
R66 = (+ 2)
0(5+ 2 + 1 + 2 + 3)
0+ (+ 2)
00e22
R77 = (+ 3)
0(5+ 2 + 1 + 2 + 3)
0+ (+ 3)
00e22
Tabla 9
,
11
y RAB = 0 para A 6= B.Lo que sigue es calcular la curvatura de Ricci, dada por la ecuacin
R = RII . (1.11)
As que
R = RII
= g00R00 + g11R11 + g
22R22 + g33R33 + g
55R55 + g66R66 + g
77R77
= R00 R11 R22 R33 R55 R66 R77,
debido a los valores del tensor mtrico dados en (1.8); por lo que,considerandolas componentes del tensor de Ricci desde la tabla 9 y haciendo los respectivosclculos algebraicos, obtenemos
R =
8>>>>>>>:2 (+ )
0(6+ 3 + 1 + 2 + 3)
0
+6 (+ )00+P3
n=1 (+ n)02
(5+ 2 + 1 + 2 + 3)0P3
n=1 (+ n)0
+2
1f 02f2
4 f 00f
9>>>>=>>>>; e22 . (1.12)
Ahora, empleando las sustituciones
+ = u+ 1 = v1+ 2 = v2+ 3 = v3Tabla 10
,
los componentes del tensor de Ricci adquieren la siguiente forma:
R00 =n3u00 +
P3n=1
hu0v0n + v0
2
n + v00n
ioe2u
R11 =nu00 + 2
hf 00
f u02i u0P3n=1 v0no e2u
R22 =
u00 + f 00f + f
021f2 2u0
2 u0P3n=1 v0n e2uR33 = R22R55 =
v01 (2u+ v1 + v2 + v3)
0+ v001
e2u
R66 = v02 (2u+ v1 + v2 + v3)
0+ v002
e2u
R77 = v03 (2u+ v1 + v2 + v3)
0+ v003
e2u
Tabla 11
;
y la curvatura obtiene la forma
R =
8
12 CAPTULO 1. OBTENCIN DE LAS ECS. DE EINSTEIN 7D.
Por lo tanto con la tabla 11 y la curvatura dada en (1.13) nalmente yapodemos calcular la parte izquierda de las ecuaciones de Einstein, expresadasde la siguiente manera:
GAB = TAB ; (1.14)donde TAB es el tensor de momento-energa, es la constante gravitacionaleinsteniana y GAB se calcula por la frmula
GAB = RAB 12gABR. (1.15)
Mas como en nuestro tensor mtrico y en nuestro tensor de Ricci slo los com-ponentes diagonales son distintos de cero, entonces las ecuaciones de Einsteinpara nuestra mtrica se reducen a las siguientes 7 ecuaciones:
G00 = R00 12R = T00G11 = R11 +
12R = T11
G22 = R22 +12R = T22
G33 = R33 +12R = T33
G55 = R55 +12R = T55
G66 = R66 +12R = T66
G77 = R77 +12R = T77
Tabla 12
;
eso debido a los valores del tensor mtrico, dados en (1.7). As que el ladoizquierdo de las ecuaciones de Einstein toma la forma
G00 = "3u0 (u+ v1 + v2 + v3)
0+ v01v
02 + v
01v03
+v02v03 +
1f 02f2 2 f
00
f
#e2u
G11 =
264 u0 (u+ v1 + v2 + v3)
0+ v0
2
1
+v02
2 + v023 + v
01v02 + v
01v03 + v
02v03
+(2u+ v1 + v2 + v3)00+ 1f
02
f2
375 e2u
G22 =
264 u0 (u+ v1 + v2 + v3)0+ v0
2
1
+v02
2 + v023 + v
01v02 + v
01v03 + v
02v03
+(2u+ v1 + v2 + v3)00 f 00f
375 e2uG33 = G22
G55 =
264 u0 (3u+ 2v2 + 2v3)
0
+v02
2 + v023 + v
02v03
+(3u+ v2 + v3)00+ 1f
02
f2 2 f00
f
375 e2u
G66 =
264 u0 (3u+ 2v1 + 2v3)
0
+v02
1 + v023 + v
01v03
+(3u+ v1 + v3)00+ 1f
02
f2 2 f00
f
375 e2u
G77 =
264 u0 (3u+ 2v1 + 2v2)
0
+v02
1 + v022 + v
01v02
+(3u+ v1 + v2)00+ 1f
02
f2 2 f00
f
375 e2uTabla 13
13
Ahora, si consideramos que la funcin f de nuestra mtrica (denida en (1.6))toma las siguientes posibles formas (dependiendo de si elejimos un universoplano, elptico o hiperblico):
f =
8
14 CAPTULO 1. OBTENCIN DE LAS ECS. DE EINSTEIN 7D.
Captulo 2
Comparacin de modeloscosmolgicos 6D deKechkin-Peraza y dePeraza-Vladimirov.
Nosotros analizaremos una solucin a las ecuaciones N-dimensionales deEinstein propuesta en Kechkin-Peraza [10]. Veremos en particular el caso6-dimensional con el n de comparar con las soluciones cosmolgicas 6-dimensionalesobtenidas en Peraza-Vladimirov [1] y establecer que los mtodos de solucin em-pleados en [10] y [1] son equivalentes.
2.1. Corroboracin de la cosmologa N-dimensionalvaca de Kechkin-Peraza. Anlisis del mo-delo 6D en particular.
Kechkin y Peraza proponen un cuadrado del intervalo N-dimensional de laforma
ds2 = gABdxAdxB
=a2
24d2 d2 8
16 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
en medio y de abajo, son expresiones correspondientes a secciones espaciales3-dimensionales esfricas, planas e hiperblicas, respectivamente.Nosotros denotamos a e, bi ei , i = 1; : : : ; N ; entonces el sistema de
ecuaciones de Einstein RAB = 0 es escrito de la siguiente manera:
300 +Xk
h00k +
02k 00k
i= 0, (2.2)
00 + 202
+ 2 + 0Xk
0k = 0, (2.3)
00i + 200i +
0i
Xk
0k = 0, (2.4)
donde =
8
2.1. CORROBORACIN DE COSMOLOGA N-D VACA. 17
dades + y + i i, dndonos el siguiente resultado:
R00 =n300 +
P3n=1
h00n + 0
2
n + 00n
ioe2 = 0,
R11 =n00 2 202 0P3n=1 0no e2 = 0,
R22 = R11 = 0,R33 = R11 = 0,R55 =
01 (2+ 1 + 2 + 3)
0+ 001
e2 = 0,
R66 = 02 (2+ 1 + 2 + 3)
0+ 002
e2 = 0,
R77 = 03 (2+ 1 + 2 + 3)
0+ 003
e2 = 0,
donde hemos empleado las equivalencias (1.17) para la funcin f y, las identi-dades u , vi i (ver tabla 10) y k (ver (1.18)). Por lo tanto, dividiendoel sistema anterior entre e2u obtenemos el siguiente nuevo sistema:
300 +3X
n=1
h00n + 0
2
n + 00n
i= 0,
00 + 2 + 202
+ 03X
n=1
0n = 0,
01 (2+ 1 + 2 + 3)0+ 001 = 0,
02 (2+ 1 + 2 + 3)0+ 002 = 0,
03 (2+ 1 + 2 + 3)0+ 003 = 0;
el cual es equivalente al sistema (2.2)-(2.4) (para N = 3). As, queda demostradoel sistema (2.2)-(2.4) para el caso 7 dimensional.Nosotros excluimos la consideracin de la posibilidad trivial bi = const; 8i;
por lo que para cualquier i nosotros tenemos b0i 6= 0, i.e, 0i 6= 0.La solucin del sistema de ecuaciones (2.2)-(2.4) determina () y i (),
junto con constantes de integracin; y con ello a y bi determinan las funcionesdesconocidas deniendo la mtrica gAB .Nosotros denotamos
0 , 0i i,Xk
k S,Xk
2k Q, (2.7)
entonces en la nueva notacin, la ecuacin(2.4) toma la forma
0i + 2i + Si = 0. (2.8)
Sumando sobre i obtenemos
S0 + (2+ S)S = 0, (2.9)
y multiplicando por i y sumando sobre i tenemos que
1
2Q0 + (2+ S)Q = 0. (2.10)
18 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
A causa de que i 6= 0, nosotros tenemos que Q 6= 0, y entonces1
2
Q0
Q+ (2+ S) = 0. (2.11)
Si adems S no es igual a cero, entonces de (2.9) nosotros tenemos
S0
S+ (2+ S) = 0 (2.12)
(mas tarde esta asuncin ser retirada). Por lo tanto
1
2
Q0
Q=S0
S(2.13)
, integrando,Q = CS2, (2.14)
donde C es la constante de integracin.Nosotros reemplazamos el sistema original de ecuaciones (2.2)-(2.4) por su
equivalente:
30 + S0 + CS2 S = 0, (2.15)S0 + (2+ S)S = 0, (2.16)
0 + 22 + 2 + S = 0, (2.17)0i + (2+ S) i = 0, (2.18)X
k
k = S, (2.19)Xk
2k = Q, (2.20)
Q = CS2, (2.21)
0 = , (2.22)0i = i; (2.23)
obtenido de ellas (ecuaciones (2.2), (2.3) y (2.4) se transforman en (2.15), (2.17)y (2.18)) con la ayuda de la nueva notacin (2.7) (que llega a ser ecuaciones.(2.19), (2.20), (2.22) y (2.23)) y con la adicin de los dos corolarios (2.9) y (2.14)(ecuaciones. (2.16) y (2.21)).Ahora resolveremos el sistema (2.15)-(2.23). Primero despejaremos S0 en
(2.16) y 0 en (2.17), obteniendo
S0 = (2+ S)S,0 = 22 2 S,
y sustituiyendo dichas relaciones en (2.15) da como resultado
62 6 3S (2+ S)S + CS2 S = 0,
2.1. CORROBORACIN DE COSMOLOGA N-D VACA. 19
lo que al simplicarlo nos resulta
2 + S +1
6S2 1
6CS2 + = 0; (2.24)
adems+
1
2S
2 r
2C + 1
3 S2
!2+ = 2 + S +
1
6S2 1
6CS2 + , (2.25)
haciendo el lgebra respectiva. Por lo que sustituyendo (2.24) en (2.25) nos da+
1
2S
2 r
2C + 1
3 S2
!2+ = 0. (2.26)
Esta ecuacin es equivalente a la parametrizacin
+1
2S =
8
20 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
por lo que
=
8
2.1. CORROBORACIN DE COSMOLOGA N-D VACA. 21
a la constante D; mas como podemos elegir el tiempo inicial en el instante quequerramos, podemos recorrer el tiempo cero al instante D, eliminando de esaforma la constante de integracin, obteniendo las soluciones
=
8>>>>>>>>>>:
8>>>>>=>>>>>>>;, (2.33)
2
8>>>:2 ; 0(0;1)
(0;1) , = 1(1; 0) , = 1
, (2.34)donde los subndices S y se usan para hacer referencia a las respectivas llaves,y el dominio de se demuestra a continuacin.Demostracin:El dominio de para las funciones S y se determina obteniendo el dominio
para las llaves fgS y fg, dadas en (2.32) y (2.33).Para la funcin superior sinh y cosh siempre estn denidos, as que nos
enfocamos al dominio de ln tan (), el cual es tan () > 0, por lo que > 0,mas como tan () se hace discontinua en = 2 , tenemos que < 0 y > 2 ,es decir 2 2 ; 0.
22 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
Para las funciones de en medio, claramente 6= 0, as que 2 (1; 0)[(0;1), sin embargo podemos considerar solo el intervalo de tiempopositivo, i.e. 2 (0;1).Para las funciones inferiores, sinh y cosh siempre estn denidos, as que
nos centramos en el dominio de arctanhe2
, cuyo argumento se localiza en
(1; 1). Para el caso = 1 tenemos que 1 < e2 < 1, por lo que 2 (0;1).Para el caso = 1, 1 < e2 < 1, as que 2 (1; 0). En conclusin, para latercera funcin se tiene que
2(0;1) , = 1(1; 0) , = 1
.
Con ayuda de (2.32) y (2.33), de (2.18) nosotros obtenemos i () y N cons-tantes de integracin i.Obtencin:Sustituyendo (2.32) y (2.33) en (2.18) resulta
0i +2 fg
i = 0,
que es una ecuacin diferencial de variables separables, por lo que
Zdii
= Z 8=>; ,es decir,
i = 00i
8>:2 jcsc (2)j
1jj
12 e
2j1+e4j
9>=>; ,por lo que
i = 0i
8
2.1. CORROBORACIN DE COSMOLOGA N-D VACA. 23
donde en la expresin inferior se us la identidad trigonomtrica
1 + e2x = 2 sinh (x) ex (2.36)(ver su demostracin en el apndice 1). Finalmente i se puede reescribir de lasiguiente manera:
i = i
8
24 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
de donde, al sustituir (2.19) por S, tenemos
Xk
2k fg2 = C X
k
k
!2,
en lo cual, al extraer fg2 de la sumatoria izquierda y sustituir (2.37) en lasumatoria derecha, resulta
fg2Xk
2k = C
Xk
k fg!2
= C fg2 X
k
k
!2,
por lo que Xk
2k = C
Xk
k
!2,
en donde, al sustituir (2.39) en la sumatoria derecha, nalmente obtenemosXk
2k =3C
2C + 1. (2.40)
De lo anterior tenemos que son (2.39) y (2.40) nuestras dos relaciones buscadas.Finalmente, la integracin de las ecuaciones (2.22) y (2.23) determina ()
y i (), introduciendo otras (N + 1) constantes de integracin.Procedimiento:Primero, de (2.22) observamos que debemos integrar (2.33) para as obtener
a . Por lo tanto, una vez ms a partir de los clculos hechos en Mathematica7.0, en el archivo: Solucion Ecs. de Einstein en vaco b.nb; (ver apndice 2),obtenemos
=
8>>>>>>>:2
q3
2C+1 ln j2 cos j+ 2q
32C+1 ln j2 sin j+ 12 ln jsin (2)j
12 2
q3
2C+1
ln jj
2q
32C+1 ln
1+e21+e2 14+ ln2 1 + e4 129>>>>=>>>>;+ a
000 ,
(2.41)de donde, empleando las identidades (2.36) y
1 + e2x = 2 cosh (x) ex (2.42)
(ver su demostracin en el apndice 1), tenemos
=
8>>>>>>>>>>>>>:
ln
2 sin 2 cos 2p
32C+1 jsin (2)j 12
!lnjj 122
p3
2C+1
+ ln
2 sinh()e2 cosh()e 2p
32C+1
!+ ln
2 2 sinh (2) e2 12
9>>>>>>>=>>>>>>>;+a000 ,
2.1. CORROBORACIN DE COSMOLOGA N-D VACA. 25
por lo que
=
8>>>>>:ln[ tan ] 12
p3
2C+1 [ sin (2)] 12
ln12 12
p3
2C+1
+ ln
jtanh j2
p3
2C+1
+ ln 2+ ln
j sinh (2)j 12
+ ln
e
9>>>=>>>;
+a000
=
8>>>>>:ln[ tan ()] 12
p3
2C+1 [ sin (2)] 12
ln12 12
p3
2C+1
lnjtanh j2
p3
2C+1
+ ln
jsinh (2)j 12
9>>>=>>>;+ a
00,
i.e.
=
8>>>>>:lnn[ tan ()] 12
p3
2C+1 [ sin (2)] 12o
ln12 12
p3
2C+1
lnhjtanh j 12
p3
2C+1 jsinh (2)j 12i
9>>>=>>>;+ a00, (2.43)
donde los valores absolutos fueron eliminados en las funciones superior y mediacomo consecuencia del dominio del tiempo , dado en (2.34).Ahora, de (2.23) integramos (2.37) para as obtener a las funciones i. Por
lo tanto
i =
Z
i
8: tan 2 12p 32C+1 [ sin (2 )] 1212 12
p3
2C+1
[ tanh ] 12p
32C+1 [ sinh (2)] 12 ,
9>>=>>;+ a00,
26 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
de donde nalmente obtendremos que
= ln
8>>>>>>>:
tan 2 12p 32C+1 [ sin (2 )] 1212 12
p3
2C+1([tanh ]
12p
32C+1 [sinh (2)]
12 , = 1
[ tanh ( L)] 12p
32C+1 [ sinh (2 2L)] 12 , = 1
)9>>>>=>>>>;+a
00,
(2.45)donde en la funcin inferior, para = 1, hacemos un desplazamiento horizontalpara que el tiempo inicial parta de L, donde L > 0 es un tiempo elegido aconveniencia; y entonces, para ese caso, 2 (0; L). Y anlogamente, la nuevaexpresin para i ser
i = ln
8>>>: tan 2 ii[tanh ]
i , = 1[ tanh ( L)]i , = 1
.
9>>=>>;+ b00i. (2.46)Adems los dominios estarn dados por
2
8>>>:(0; 2)(0;+1)(0;+1) , = 1(0; L) , = 1
9>>=>>; . (2.47)
El resultado nal, en trminos de a = e y bi = ei es
a () = a0
8>>>>>>>:
tan
2
12p 32C+1 [sin ( 2)] 1212 12
p3
2C+1([tanh ]
12p
32C+1 [sinh (2)]
12 , = 1
[tanh (L )] 12p
32C+1 [sinh (2L 2)] 12 , = 1
)9>>>>=>>>>; ,(2.48)
bi () = b0i
8>>>:tan
2
ii[tanh ]
i , = 1[tanh (L )]i , = 1
.
9>>=>>; , (2.49)
2
8>>>:(0; 2)(0;+1)(0;+1) , = 1(0; L) , = 1
9>>=>>; , (2.50)
Pk k =
q3
2C+1 ,P
k 2k =
3C2C+1 , (2.51)
donde hemos empleado las relaciones (2.45), (2.46), (2.47), (2.39) y (2.40).
2.1. CORROBORACIN DE COSMOLOGA N-D VACA. 27
Remarcacin 1.
Sumando sobre k en (2.37) obtenemosXk
k = fgXk
k,
de donde al sustituir (2.19) resulta
S = fgXk
k,
por lo que S Pk k; por lo tanto, usando el resultado izquierdo de (2.51),vemos que para C ! +1 nosotros tenemos Pk k,! 0, i.e S ! 0 (eso escierto en el caso N 2, debido a los resultados (2.54) y (2.55) obtenidos en laRemarcacin 2, donde C y son constantes para N = 1). Si este lmite esintroducido en esta solucin con S 6= 0, entonces el resultado se introducir enel sistema (2.15)-(2.23), en donde la ecuacin (2.21) es reemplazada por S = 0,i.e para N 2 existe una solucin con C = +1.
Remarcacin 2.
Las relaciones que conectan las constantes C y i pueden ser resueltas paracualquier N . Por ejemplo, para N = 1 (5a dimensin) nosotros tenemosC = = 1.Demostracin.De (2.51) tenemos que
=
r3
2C + 1(2.52)
y
2 =3C
2C + 1. (2.53)
Elevando al cuadrado (2.52) se obtiene
2 =3
2C + 1;
y dividiendo (2.53) entre el resultado anterior tenemos que
1 = C. (2.54)
Y al sustituir (2.54) en (2.52) obtenemos el valor
= 1. (2.55)
En el caso N = 2 (6 dimensiones) nosotros encontramos
1;2 =12
q3
2C+1 1p2C 1, C 2 12 ;+1 (2.56)
28 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
Demostracin.Sustituyendo los resultados (2.56) en las ecuaciones (2.51) obtenemos
1 + 2 =1
2
r3
2C + 11 +
p2C 1
+1
2
r3
2C + 11p2C 1
=
r3
2C + 1
y
21 + 22 =
1
4 32C + 1
1 + 2
p2C 1 + 2C 1
+
+1
4 32C + 1
1 2p2C 1 + 2C 1
=
2 2C4
32C + 1
=3C
2C + 1,
que son justo las expresiones derechas de las ecuaciones (2.51), por lo que dichosresultados s son soluciones de tales ecuaciones. Adems, por simetra de lasecuaciones (2.56), otro par de soluciones ser
01;2 =1
2
r3
2C + 11p2C 1
, (2.57)
por lo que
01 = 2 y
02 = 1; (2.58)
mas podemos considerar solo la pareja de soluciones (2.56) al resultar indiferentede la pareja (2.57) debido a los renombramientos (2.58)Ahora, para asegurar que no existen ms soluciones a las ecuaciones (2.51),
haremos lo siguiente. Supongamos que existe otro par de soluciones a las ecua-ciones (2.51) (sin considerar permutaciones como en (2.58)), al cual llamaremos:
01 = 01(C) y
02 =
02 (C) ,
(donde la comilla superndice no signica derivada) por lo que podemos obtenerlas diferencias
01 1 = h1(C) y 02 2 = h2(C),de donde
01 = 1 + h1 y 02 = 2 + h2. (2.59)
Entonces, sustituyendo (2.59) en la ecuacin izquierda del sistema (2.51) tene-mos que
01 + 02 = 1 + 2 + h1 + h2 =
r3
2C + 1+ h1 + h2,
2.1. CORROBORACIN DE COSMOLOGA N-D VACA. 29
por lo que h1 + h2 = 0, es decir,
h2 = h1. (2.60)Por lo tanto, al sustituir (2.60) en (2.59) y renombrar h1 h, se obtiene
01 = 1 + h y 02 = 2 h. (2.61)
Sustituyendo el resultado (2.61) en la ecuacin derecha de (2.51) nos resulta
21 + 22 + 2h (1 2 + h) =
3C
2C + 1+ 2h (1 2 + h) ,
de dondeh = 0 h = 2 1;
si h = 0, de (2.61) vemos que
01 = 1 y 02 = 2,
i.e. es la misma solucin; y si h = 2 1, nuevamente de (2.61) vemos que
01 = 2 y
02 = 1,
lo cual es la solucin permutada (2.58). As pues, no existen otras parejas desoluciones.Y si consideramos el caso no de una nueva pareja de soluciones, sino de
una pareja que incluya a una 0 nueva y a otra que pertenezca a la parejaencontrada en (2.56), entonces podemos volver a aplicar la misma demostracinanterior de inexistencia de nuevas soluciones haciendo un hi = 0; por ejemplo,podemos elegir, sin prdida de generalidad, la pareja
01 = 1 + h1 y 02 = 2,
donde hemos hecho h2 = 0, y entonces llegaremos a la relacin (2.60), obteniendo
0 = h2 = h1,es decir
h1 = h2 = 0,
por lo que
01 = 1 y
02 = 2,
i.e. concluiremos denitivamente que no existen ms soluciones.Y por ltimo, el dominio C 2 12 ;+1 se obtiene observando la solucin
1;2 =12
q3
2C+1 1p2C 1 (dada en (2.56)) y viendo que solo hay pro-
blemas de indenicin en los argumentos de ambas races. Para la razq
32C+1
tenemos que 2C+1 > 0, por lo que C > 12 . Y para la razp2C 1 resulta que
2C 1 0, de donde C 12 . Por lo tanto, haciendo la interseccin de ambosdominios obtenemos C 12 , mas como C = +1 est incluido en la solucin.(verRemarcacin 1) concluimos que C 2 12 ;+1.
30 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
2.2. Modelo cosmolgico 6D vaco de Peraza-Vladimirov.
En el trabajo [1] Peraza y Vladimirov consideraron una mtrica de la forma
dI2 = '2a2dx20 dx21 f2
d2 + sin2 d'2
dx25 2dx26 ,en un espacio-tiempo 6-dimensional, resolvindose para el caso ms general deecuaciones de Einstein, mostrando en los tres tipos de curvatura una densidadde materia = 0.Considerando las transformaciones b = a', = ' , ', se obtuvieron las
siguientes soluciones.
2.2.1. Modelo plano.
b = b0
cpx0
p(+1)2p
' = '0
cpx0
1p
= 0
cpx0
p
a = a0
cpx0
p(+3)2p
= 0
cpx0
1p
Tabla 16
,
donde, aqu y en lo que siga, a0 = b0'0 , b0, x0, 0, '0, 0 son constantes y c esuna constante de integracin.
2.2.2. Modelo de curvatura negativa (abierto).
b = b0 (sinh )12tanh 2
+12p
' = '0tanh 2
1p
= 0tanh 2
p
a = a0 (sinh )12tanh 2
+32p
= 0tanh 2
1p
Tabla 17
,
donde = c 2x0.
2.3. RELACIN ENTRE LAS SOLUCIONES 6D. 31
2.2.3. Modelo de curvatura positiva (cerrado).
b = b0 (cos)12
htan
2 +
4
i+12p
a = a0 (cos)12
htan
2 +
4
i+32p
= 0
htan
2 +
4
i p
= 0
htan
2 +
4
i1p
' = '0
htan
2 +
4
i 1p
Tabla 18
,
donde = c+ 2x0.Adems, y = 2 + 23 + 1 son constantes generales cuyos valores no
deben conllevar a singularidades en los coecientes mtricos ', a y .
2.3. Obtencin de la relacin entre las soluciones6D de los modelos de Kechkin-Peraza (KP)y Peraza-Vladimirov (PV).
Para poder comparar las soluciones 6-dimensionales de KP [10] y de PV [1]hay que considerar lo siguiente:
aK = aV 'V = bV(b1K)2 = '2V = '2V(b2K)2 = '2V 2V = 2V
Tabla 19
,
donde los subndices k y V hacen referencia a las ecuaciones en los artculos deKP y PV, respectivamente. Con estas igualdades es posible establecer la relacinentre las constantes C y n de KP y las constantes y c de PV.Primeramente observamos que en los tres modelos, en PV, podemos hacer un
conveniente desplazamiento temporal de modo que c = 0, por lo que podemosquitarla. Adems, las k de KP estn en funcin de C. Por lo que solo hay queestablecer la relacin entre la C de KP y la de PV.As pues, procederemos a establecer dicha relacin para los tres modelos.
2.3.1. Modelo plano.
Primero encontraremos la relacin entre las constantes C y para la igualdad
aK = bV . De la tabla 16 vemos que bV = b0cpx0
p(+1)2p , mas como
32 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
hemos hecho c = 0, tenemos ahora que
bV = b0
px0
p(+1)2p
= b0 ()
p(+1)4p (x0)
p(+1)2p
= b00 (x0)p(+1)2p ,
donde ()p(+1)4p = 0 = cte, por lo que
bV = b00
h(x0)
12
ip(+1)p= b00
x120
1 (+1)p , (2.62)
en donde: b00 = b00 y hemos eliminado la posibilidad x0 para poder hacer lacomparacin entre ambos artculos. Adems, en (2.48) obtuvimos que
aK = a012 12
p3
2C+1 = a0
12
1p 32C+1. (2.63)
Por lo tanto, de la comparacin de (2.62) con (2.63) tenemos las equivalencias
a0 = b00, = x0, 1
r3
2C + 1= 1 (+ 1)p
,
por lo que r3
2C + 1= (+ 1)p
, (2.64)
de donde despejando C establecemos la siguiente relacin:
C =2 + 1
(+ 1)2 ; (2.65)
la cual es la condicin para la igualdad de las soluciones de KP y PV. Mas faltahacer la comprobacin de la expresin anterior para asegurarnos de que no setrata de una solucin extraa; as que sustituyendo (2.65) en la parte izquierdade (2.64) se tienevuut 3
22+1(+1)2
+ 1
=
s3
22+2(+1)2
+ 1=
s3
22+2+(2+2+1)
(+1)2
= j+ 1jr
3
32 + 2+ 3= j+ 1j
s1
32+2+33
= j+ 1js
1
2 + 23+ 1=
j+ 1jq2 + 23+ 1
=j+ 1jp
= + 1p
= + 1p
, para < 1;
2.3. RELACIN ENTRE LAS SOLUCIONES 6D. 33
por lo que efectivamente la expresin (2.65) s es solucin para la ecuacin (2.64)en el dominio < 1.Ahora haremos la permutacin b01K = b2K y b
02K = b1K , ya que podemos
ver indistintamente las soluciones 1a y 2a en el orden dado o al revs, mas nosconviene verlas de esta forma permutada porque as las futuras relaciones queestablezcamos entre C y sern la misma que la relacin (2.65) encontrada alcomparar aK con bV .Lo que sigue es encontrar la relacin entre C y para la igualdad b2K = 'V
y no para la igualdad b1K = 'V , debido a la permutacin anterior. Primera-mente, de la tabla 16 tenemos que ' = '0
px0
1p (haciendo c = 0), por
lo que
' = '0
p 1p
(x0)
1p
= '00x 1p
0 ,
i.e.
' = '00x 1p
0 , (2.66)
donde 0 =p
1p
, '00 = '0x0 y hemos eliminado la posibilidad x0 parapoder hacer la comparacin entre ambos artculos. Enseguida, de (2.49) tenemosque
b2 = "b022 = b0022 , (2.67)donde " = 1, y b002 = "b02. Por lo tanto, comparando (2.66) con (2.67) ysustituyendo (2.56) se obtienen las equivalencias
b002 = '00, = x0
y
2 =1
2
r3
2C + 11p2C 1
= 1p
; (2.68)
as que para encontrar dicha relacin en la ecuacin (2.68), de hecho sustituire-mos en esa ecuacin la relacin (2.65) encontrada para la comparacin de aKcon bV , esperando llegar a una identidad, lo que probara que una solucin ala ecuacin (2.68) es la misma que la solucin obtenida para (2.64), como esde esperarse si ambos artculos son correctos. As pues, sustituyendo la relacin(2.65) en la ecuacin (2.68) tenemos que
1
2
vuut 322+1(+1)2
+ 1
0@1
vuut2 2 + 1(+ 1)
2
! 11A = 1p
,
34 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
donde, haciendo lgebra en el lado izquierdo de la ecuacin anterior obtenemos,anlogamente al procedimiento pasado,
1
2
vuut 322+1(+1)2
+ 1
0@1
vuut2 2 + 1(+ 1)
2
! 11A = j+ 1j
2p1 j 1jj+ 1j
= + 12p
1 1
+ 1
= 1p
, para < 1;
lo cual demuestra que las soluciones b2K y 'V estn relacionadas por la mismafrmula (2.65) que relaciona a las soluciones aK y bV .Por ltimo, procederemos a encontrar la relacin entre C y para igualacin
b1K = V . De la tabla (16) tenemos que = 0px0
p , y por un
procedimiento anlogo al hecho con las soluciones anteriores vemos que
= 00x p
0 . (2.69)
Y de (2.49) obtenemos
b1 = "b011 = b0011 . (2.70)Por lo tanto, comparando (2.69) con (2.70) y sustituyendo (2.56) llegamos a laecuacin
1 =1
2
r3
2C + 11 +
p2C 1
= p
; (2.71)
y sustituyendo la solucin (2.65) en el lado izquierdo de la ecuacin (2.71) nosresulta, con un poco de lgebra:
p= p
, < 1;
i.e. tenemos que la relacin (2.65) tambin se aplica para este caso.As que el hecho de que obtuviramos la misma relacin C =
2+1(+1)2
, con < 1, para los tres pares de soluciones a las Ecuaciones de Einstein para ununiverso plano, muestra la congruencia deseada entre ambos artculos.
2.3.2. Modelo elptico.
Primeramente encontraremos la relacin entre las constantes C y para laigualdad aK = bV . De la tabla 18 vemos que
bV = b0 (cos)12
htan
2 +
4
i+12p , donde, haciendo las sustituciones
= c+ 2x0 y c = 0, tenemos
bV = b0
htan
x0 +
4
i+12p[cos (2x0)]
12 . (2.72)
2.3. RELACIN ENTRE LAS SOLUCIONES 6D. 35
Adems, de (2.48) tenemos
aK = a0
htan
2 i 12p 32C+1
[sin ( 2)] 12 ,
donde, aplicando trigonometra obtenemos
aK = a0 [cot ()] 12p
32C+1 [sin (2)]
12
= a0 [tan ] 12p
32C+1 [sin (2)]
12
= a0 [tan ] 12p
32C+1
hcos2
2
i 12
= a0 [tan ] 12p
32C+1
ncosh2
4
io 12
,
por lo que desplazando convenientemente el tiempo 4 hacia la derecha, resulta
aK = a0
htan
+
4
i 12p 32C+1[cos (2)]
12 . (2.73)
As que la comparacin de (2.72) con (2.73) nos da la igualdadr3
2C + 1=+ 1p
, (2.74)
ecuacin idntica a la ecuacin (2.64) para el caso plano, salvo por la omisin delsigno en el lado derecho de la ecuacin, as que su solucin ser la mismarelacin (2.65): C =
2+1(+1)2
; pero con dominio > 1 en lugar de < 1.Lo que sigue es encontrar la relacin entre C y para la igualacin
b2K = 'V , debido a la permutacin entre b1K y b2K mencionada en el casoplano. Por ello, de la tabla 18 tenemos que
' = '0
htan
x0 +
4
i 1p , (2.75)
una vez sustituidos = c+ 2x0 y c = 0. Adems de (2.49) deducimos que
b2K = "b02htan
2 i2
= b002 (cot )2
= b002 (tan )2 ,
por lo que haciendo un corrimiento del tiempo 4 hacia la derecha, obtenemos
b2K = b002htan
+
4
i2. (2.76)
As que comparando (2.75) con (2.76) y sustituyendo (2.56) establecemos laigualdad
2 =1
2
r3
2C + 11p2C 1
=
1p, (2.77)
36 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
ecuacin que es idntica a la ecuacin (2.68), salvo por la omisin del signoen el lado derecho de la ecuacin, por lo que una solucin ser tambin larelacin (2.65), pero con > 1.Ya por ltimo debemos encontrar la relacin C = C () para la igualdad
b1K = V . Entonces, de la tabla 18 observamos que
= 0
htan
x0 +
4
i p , (2.78)
donde hemos hecho = c+ 2x0 y c = 0. Adems, de (2.49) vemos que
b1K = "b01htan
2 i1
= b001 (cot )2
= b001 (tan )1 ,
por lo que haciendo un desplazamiente del tiempo 4 hacia la derecha, obtenemos
b1K = b001htan
+
4
i1. (2.79)
As pues, comparando (2.78) con (2.79) y sustituyendo (2.56) establecemos que
1 =1
2
r3
2C + 11 +
p2C 1
=
p, (2.80)
ecuacin que es la misma a la dada en (2.71), excepto por la omisin del signoen el lado derecho de la igualdad, por lo que una solucin a ella tambinser la relacin (2.65), pero con > 1.En conclusin, podemos decir que para el caso elptico 6-D tambin hay
congruencia entre ambos artculos, ya que una solucin a las comparacionesaK = bV , b2K = 'V y b1K = V es, en los tres casos, la relacin (2.65)(C =
2+1(+1)2
), pero con > 1.
2.3.3. Modelo hiperblico.
Primeramente encontraremos la relacin entre las constantes C y para laigualdad aK = bV . De (2.48) vemos que
aK = a0
([tanh ]
12p
32C+1 [sinh (2)]
12 , = 1
[tanh (L )] 12p
32C+1 [sinh (2L 2)] 12 , = 1
). (2.81)
Y de la tabla 17 vemos que bV = b0 (sinh )12tanh 2
+12p , donde, haciendo las
sustituciones = c 2x0 y c = 0, tenemos
bV = b0 [tanh (x0)]+1
2p [sinh (2x0)]
12 . (2.82)
2.3. RELACIN ENTRE LAS SOLUCIONES 6D. 37
Por lo que, para el caso = 1, para poder realizar la comparacin entre (2.81)y (2.82) debemos hacer la extraa equivalencia = x0, con lo cual yapodemos establecer la igualdadr
3
2C + 1= + 1p
;
sin embargo, para = 1 la comparacin resulta ms natural si para estemodelo hacemos c 6= 0, teniendo entonces
bV = b0
htanh
c2 x0
i+12p[sinh (c 2x0)]
12 , (2.83)
con lo cual se pueden considerar las siguientes equivalencias entre (2.81) y (2.83):
a0 = b0, = x0, L =c
2y
r3
2C + 1= + 1p
;
donde la ltima equivalencia es idntica a la ecuacin (2.64), razn por la cualuna solucin para ella tambin ser la relacin (2.65), con < 1.El siguiente paso es encontrar la relacin C = C () para la igualacin
b2K = 'V . As que, de (2.49) tenemos
b2K = "b02
[tanh ]2 , = 1
[tanh (L )]2 , = 1
= b002
[tanh ]
2 , = 1[tanh (L )]2 , = 1
. (2.84)
Y de la tabla 17 vemos que
' = '0
htanh
c2 x0
i 1p , (2.85)
donde hemos hecho la sustitucin = c 2x0. Por lo que, comparando (2.84)(con = 1) con (2.85) y reemplazando (2.56), determinamos las equivalencias
L =c
2y 2 =
1
2
r3
2C + 11p2C 1
= 1p
,
donde la segunda ecuacin es la ecuacin (2.68) para el universo plano, i.e. unasolucin a ella ser la relacin (2.65), con < 1.Y para terminar tenemos que encontrar la relacin C = C () para la igual-
dad b1K = V . Por (2.49) tenemos
b1K = "b01
[tanh ]1 , = 1
[tanh (L )]1 , = 1
= b001
[tanh ]
1 , = 1[tanh (L )]1 , = 1
. (2.86)
38 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
Y de la tabla 17 tomamos
= 0
htanh
c2 x0
i p , (2.87)
donde hicimos = c 2x0. As que, correlacionando (2.86) (para = 1) con(2.87) y empleando (2.56), llegamos a la equivalencia
1 =1
2
r3
2C + 11 +
p2C 1
= p
,
que es la misma ecuacin (2.71) del modelo plano, siendo entonces una solucina ella la relacin (2.65), con < 1.En conclusin, para el modelo hiperblico 6-D encontramos una concordan-
cia entre ambos artculos, al ser la expresin (2.65) (C = 2+1
(+1)2) la relacin
entre las constantes C de KP y de PV en todos los casos, donde < 1.
2.3.4. Anlisis general.
Relacin encontrada.
En general, en los tres modelos encontramos siempre la misma relacin (2.65)entre C y (C () =
2+1(+1)2
), con < 1 en los modelos plano e hiperblico,y > 1 en el modelo elptico.Mas haciendo un poco de anlisis a la funcin C () observamos que sta es
estrictamente creciente en 2 (1;1), estrictamente decreciente en 2 (1; 1), y estrictamente creciente en 2 (1;+1), como se demuestra acontinuacin.Demostracin:Aplicando el mtodo de derivacin vemos que,
dC
d=2 (+ 1)
2 2 2 + 1 (+ 1)(+ 1)
4 =2 ( 1)(+ 1)
3 ,
y de ah resulta que
dC
d=2 ( 1)(+ 1)
3 es> 0, para 2 (1;1) [ (1;+1)< 0, para 2 (1; 1) :
Adems, cuando ! 1 tenemos
lm!1C () = lm!1
2 + 1
(+ 1)2 = 1,
cuando ! 1 vemos que
lm!1
C = lm!1
2 + 1
(+ 1)2 = +1,
2.3. RELACIN ENTRE LAS SOLUCIONES 6D. 39
cuando ! 1 obtenemos
lm!1
C = lm!1
2 + 1
(+ 1)2 = C (1) =
1
2,
y cuando ! +1 observamos que
lm!+1C = lm!+1
2 + 1
(+ 1)2 = 1.
As que en los dominios 2 (1;1) y 2 (1; 1) [ (1;+1), los codominiospara C () son (1;+1) y 12 ;+1, respectivamente; todos ellos valores de ima-gen vlidos de acuerdo al dominio para C dado en (2.56), en la remarcacin2 (seccin 2.1); pero C = +1 es un valor aceptado en la remarcacin 1(seccin 2.1), y C ! 1 cuando ! 1, por lo que podemos incluir = 1y = 1 en el dominio de C () para los universos plano e hiperblico, eigualmente podemos incluir los valores = 1 y = +1 en el dominio de C ()para el universo elptico; i.e,. 2 [1;1] en los casos plano e hiperblico, y 2 [1;+1] en el caso elptico.Por lo tanto, como conclusin nal podemos decir que
C =2 + 1
(+ 1)2 , (2.88)
es una relacin entre la constante C del artculo de KP y la constante delartculo de PV, en los tres modelos de universo y para el caso 6-D, donde paralos universos plano e hiperblico 2 [1;1], y para el universo elptico 2 [1;+1].
Relacin C2 = C2 () alternativa.
Adems de la relacin (2.88) entre C y , nosotros podemos encontrar conayuda de software matemtico una solucin alternativa a la ecuacin (2.68)(2 = 1p ), la cual aparece en los modelos plano e hiperblico como consecuen-cia de la comparacin b2K = 'V . As que utilizando el software Mathematica7.0 encontramos en el archivo: Relacin C K-P y alfa P-V.nb; la solucinalterna (ver apndice 3)
C2 =92 + 12+ 13
(3 1)2 , (2.89)
40 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.
la cual, al comprobarla sustituyndola en la ecuacin (2.68) (para asegurar queno es una solucin extraa) nos arroja el siguiente resultado:
2 =1
2
vuut 3292+12+13(31)2
+ 1
0@1
vuut2 92 + 12+ 13(3 1)2
! 11A = 1p
=1
2
s3
(182+24+26)+(926+1)(31)2
0BBB@1vuuut
182 + 24+ 26
92 6+ 1
(3 1)2
1CCCA=
j3 1j2
r3
272 + 18+ 27 1
p(92 + 30+ 25)
j3 1j
!
=3 1
2 p92 + 6+ 9 1
p92 + 30+ 25
3 1
!
=3 1
2 p3 (32 + 2+ 3) 0@1
q(3+ 5)
2
3 1
1A=
3 16 q2 + 23+ 1
(3 1) (3+ 5)
3 1
= 1q2 + 23+ 1
= 1p, para >
1
3;
por lo que queda comprobado que en efecto s es una solucin alternativa a laecuacin (2.68), donde > 13 .Adems, la solucin (2.89) tambin satisface a la ecuacin (2.77) para el
modelo elptico (2 =1p), con < 53 .
Mas dicha solucin (2.89) no satisface a las ecuaciones (2.71) y (2.80)(1 = p y 1 =
p), derivadas de la comparacin b1K = V en sus respec-
tivos universos, ni tampoco satisface a las ecuaciones (2.64) y (2.74)
(q
32C+1 = +1p y
q3
2C+1 =+1p), derivadas de las comparaciones aK = bV
en sus universos correspondientes.
Captulo 3
Propuesta de una solucinparticular 6D no vaca.
Si en la mtrica 7-dimensional (1.5) del captulo 1 hacemos +3 v3 = cte,entonces la sptima coordenada ya no tiene un papel activo, y eso equivale atener una mtrica 6-dimensional de la forma
dI2 = e2e2d2 d2 f2 d2 + sin2 () d'2 e21dx21 e22dx22 ,
donde f se dene segn la frmula (1.16). Por lo tanto, las ecuaciones de Einstein(1.14), que se pueden obtener mediante la sustitucin de la tabla 15 en la 12,tomarn la forma
3u0 (u+ v1 + v2)0 + v01v02 + 3 e2u = 6dhu0 (u+ v1 + v2)
0+ v0
2
1 + v022 + v
01v02 + (2u+ v1 + v2)
00+
ie2u = 0h
u0 (3u+ 2v2)0+ v0
2
2 + (3u+ v2)00+ 3
ie2u = 0h
u0 (3u+ 2v1)0+ v0
2
1 + (3u+ v1)00+ 3
ie2u = 0
Tabla 20
,
donde la ecuacin correspondiente a G77 es eliminada del anlisis en tanto quelas ecuaciones de la tabla 20 corresponden a una cosmologa 6-dimensional,adems hemos considerado la frmula (1.18), las equivalencias de la tabla 10,que v03 = 0 y que existe densidad de materia (universo no vaco), tomando elcaso en que todas las componentes del tensor momento-energa son cero, exceptola componente T00 = 6d, en donde 6d es una funcin incgnita que dependesolo de la coordenada temporaliode . Ahora podemos simplicar el sistema de
41
42 CAPTULO 3. PROPUESTA DE UNA SOLUCIN 6D NO VACA.
la tabla 20 para as obtener el sistema de ecuaciones algebraico-diferenciales
1.h3 (0)2 + 3001 + 3
002 + 01
02 + 3
ie2 = 6d
2. (0)2 + 001 + 002 +
021 +
022 +
01
02 + 2
00 + 001 + 002 + = 0
3. 3 (0)2 + 2001 + 021 + 3
00 + 001 + 3 = 04. 3 (0)2 + 2002 +
022 + 3
00 + 002 + 3 = 0Tabla 21
,
donde hemos empleado las equivalencias u y vi i.Para resolver el sistema de la tabla 21 podemos observar que basta con
resolver el subsistema formado por las ecuaciones 2 a 4, luego de lo cual hay quesustituir las variables , 1 y 2 en la ecuacin 1 y despejar 6d. Por lo tanto,el sistema de ecuaciones diferenciales
2. (0)2 + 001 + 002 +
021 +
022 +
01
02 + 2
00 + 001 + 002 + = 0
3. 3 (0)2 + 2001 + 021 + 3
00 + 001 + 3 = 04. 3 (0)2 + 2002 +
022 + 3
00 + 002 + 3 = 0Tabla 22
,
ser nuestro sistema a resolver para encontrar las funciones incgnitas , 1 y2.
3.1. Solucin particular 6D no vaca plana ( =0).
Para resolver el sistema de la tabla 22, lo primero que hay que hacer es unareduccin de orden [5], pues todas las variables incgnitas aparecen con derivadaprimera o mayor. Por lo tanto, haremos los cambios de variables
0 = a, 01 = b1 y 02 = b2, (3.1)
quedndonos el nuevo sistema
20. a2 + ab1 + ab2 + b21 + b22 + b1b2 + 2a
0 + b01 + b02 + = 0
30. 3a2 + 2ab1 + b21 + 3a0 + b01 + 3 = 0
40. 3a2 + 2ab2 + b22 + 3a0 + b02 + 3 = 0Tabla 23
.
Enseguida, por razones de simetra entre las ecuaciones 30 y 40 de la tabla23, podemos argumentar que toda solucin b1 en la ecuacin 30 es una solucinvlida para b2 en la ecuacin 40, y viceversa. As que podemos considerar unasola solucin b b1 = b2 para b1 y b2, con lo cual el sistema de la tabla 23 setransformar en el nuevo sistema
200. a2 + 2ab+ 3b2 + 2a0 + 2b0 + = 0300. 3a2 + 2ab+ b2 + 3a0 + b0 + 3 = 0
Tabla 24.
3.1. SOLUCIN 6D NO VACA PLANA ( = 0). 43
Ahora, por el mtodo de eliminacin, en la tabla anterior podemos restar laecuacin 200 a la ecuacin 300, obteniendo
2a2 2b2 + a0 b0 + 2 = 0,,
2a2 + a0 = 2b2 + b0 2,en donde para el caso plano ( = 0) la ecuacin se transformar en
2a2 + a0 = 2b2 + b0,
ecuacin en la que, una vez ms por razones de simetra, podemos hacera = b, por lo que al sustituir dicha igualdad en el sistema de la tabla 24, ste setransformar nalmente en
2a0 + 3a2 = 0, (3.2)
para el caso plano (con = 0).As que todo se reduce a resolver la ecuacin diferencial (3.2) de la siguiente
forma: la ecuacin es de variables separables, por lo que la podemos reexpresarcomo
da
a2= 3
2d,
de donde1
a=3
2 + C 01,
,
a =2
3 ( + C1). (3.3)
Mas como a = b1 = b2 y 0 = 01 = 02 = a (segn (3.1)), entonces para
obtener a , 1 y 2 debemos de integrar la ecuacin (3.3), resultando
=
Z2d
3 ( + C1)=2
3ln j + C1j+ C2, (3.4)
1 =2
3ln j + C1j+ C3, (3.5)
2 =2
3ln j + C1j+ C4. (3.6)
Lo que sigue es sustituir la solucin particular (3.4)-(3.6) en el sistema de latabla 22 (con el n de vericar que no se trata de una solucin extraa), lo queequivale a utilizar la solucin (3.3) en la tabla 23, lo que signica reemplazar(3.3) en la tabla 24, lo que nalmente nos conduce a sustituir (3.3) en la ecuacin(3.2), para as obtener
2
2
3 ( + C1)
0+ 3
2
3 ( + C1)
2= 0
4
3 1( + C1)
2 +4
3
1
( + C1)2 = 0
0 = 0,
44 CAPTULO 3. PROPUESTA DE UNA SOLUCIN 6D NO VACA.
lo que demuestra que nuestra solucin particular (3.4)-(3.6) s es una solucinque satisface al sistema de la tabla 22 para el caso plano ( = 0).Por ltimo debemos encontrar la expresin para la variable 6d en la ecuacin
1 del sistema de la tabla 21 (para = 0), para lo cual sustituiremos la solucin(3.4)-(3.6) en dicha ecuacin y despejaremos a 6d. Despejando a 6d obtenemos
6d =1
h3 (0)2 + 3001 + 3
002 + 01
02
ie2,
y sustituyendo la solucin (3.4)-(3.6) resulta
6d =1
264 3
23(+C1)
2+ 3
2
3(+C1)
2+3
23(+C1)
2+
23(+C1)
2375 e 43 lnj+C1j2C2
=1
"40
9 ( + C1)2
#elnj+C1j
43
2C2
=C 05
"40
9 ( + C1)2
#j + C1j
43
=C5
"j + C1j
43
( + C1)2
#
=C5
"( + C1)
43
( + C1)2
#,
es decir
6d =C5 ( + C1)
103 , C5 > 0, (3.7)
ya que C5 = 409 C05 =
409 e
2C2 > 0.As que nalmente, retomando las soluciones (3.4)-(3.7) para el sistema de
ecuaciones algebraico-diferenciales planteado en la tabla 21, concluimos que unasolucin particular 6-D no vaca a las ecuaciones de Einstein de dicha tabla,derivadas de la mtrica 6-dimensional
dI2 = e2d2 d2 f2 d2 + sin2 () d'2 e21dx21 e22dx22
(ver la denicin (1.16) para f), es, en el caso plano (f = , = 0):
= 23 ln j + C1j+ C2 , (3.8)
1 =23 ln j + C1j+ C3 , (3.9)
2 =23 ln j + C1j+ C4 , (3.10)
6d =C5 ( + C1)
103 , C5 > 0 . (3.11)
3.2. SOLUCIN 6D NO VACA HIPERBLICA ( = 1). 45
A continuacin mostramos un grco del comportamiento de las soluciones(3.8)-(3.11) a travs de la coordenada temporaloide :
, ,
donde las soluciones , 1 y 2 estn representadas por la linea negra (conCi = 0) y la densidad de materia 6d est representada por la linea con crculos(con C5 = 1).De acuerdo con este grco, la densidad de materia 6-d obtenida posee un
comportamiento de carcter friedmanniano [8, 3], es decir, el universo partede una gran explosin (big-bang) y luego evoluciona en el tiempo decreciendoasintticamente en el innito, como es esperado para los modelos planos deFriedmann.
3.2. Solucin particular 6D no vaca hiperblica( = 1).
En esta seccin trataremos de encontrar ms soluciones a las ecuaciones deEinstein planteadas en la tabla 21. Para ello, volveremos a enfocarnos en elsistema de ecuaciones diferenciales de la tabla 22 y, en su reduccin de orden(3.1) y en la igualdad b b1 = b2, para as llegar otra vez al sistema deecuaciones diferenciales de la tabla 24, el cual se puede reescribir de la siguienteforma:
a2 + 2ab+ b2 + 2a0 + b0 + 2k1+2b2 + b0
2= 0, (3.12)
a2 + 2ab+ b2 + 2a0 + b0 + 2k1+2a2 + a0 +
3= 0, (3.13)
donde los subndices 1, 2 y 3 hacen referencia a sus respectivos parntesis.
46 CAPTULO 3. PROPUESTA DE UNA SOLUCIN 6D NO VACA.
En el sistema anterior podemos hacer los despejes ()2 = ()1 y ()3 = ()1,por lo cual concluimos que
()2 = ()3 = f () , (3.14)
donde f () es una funcin desconocida de . Entonces resulta que
()1 = f () .Por lo tanto tendremos que 2b2 + b0 = f y 2a2 + a0 + = f , de donde
b0 = f 2b2 + , (3.15)a0 = f 2a2 . (3.16)
As que sustituyendo las ecuaciones (3.15) y (3.16) en cualquiera de las ecua-ciones del sistema (3.12) y (3.13), y usando la relacin (3.14), obtendremosa2 + 2ab+ b2 +
2f 4a2 2+ f 2b2 + + 2
1+ f = 0, de donde
3a2 + 2ab b2 + = 4f , por lo que
f =3
4a2 1
2ab+
1
4b2
4. (3.17)
Mas sustituyendo (3.17) en (3.15) y (3.16), llegamos al sistema:
a0 = 54a2 1
2ab+
1
4b2 5
4,
b0 =3
4a2 1
2ab 7
4b2 +
3
4;
el cual podemos reexpresarlo como el siguiente sistema simplicado de ecua-ciones diferenciales:
a0 =14a2 1
2ab 3
4b2 1
4
a2 b2 + , (3.18)
b0 =14a2 1
2ab 3
4b2 1
4
+a2 b2 + ; (3.19)
del que podemos garantizar que todas las soluciones que obtengamos sern e-xactamente todas las soluciones del sistema original de la tabla 24, ya que comohemos llegado al sistema (3.18) y (3.19) por simples despejes algebraicos vlidosreversibles, no hay prdidas de soluciones ni aadidura de soluciones extraasen dicho sistema con respecto al sistema de la tabla 24.Ahora, para encontrar una solucin al sistema anterior, propondremos que
a a0 y b b0 son constantes, con lo que a0 = b0 = 0, originndose el siguientenuevo sistema:
14a20
1
2a0b0 3
4b20
1
4
10 a20 b20 + 20 = 0, (3.20)
14a20
1
2a0b0 3
4b20
1
4
10+a20 b20 +
20 = 0, (3.21)
3.2. SOLUCIN 6D NO VACA HIPERBLICA ( = 1). 47
donde los subndices 10 y 20 hacen referencia a sus respectivas llaves; este sistemaya no ser un sistema de ecuaciones diferenciales, sino simplemente un sistemade ecuaciones algebraicas. En dicho sistema no es difcil ver que ()20 = 0, por loque tambin ()10 = 0, originndose de esa manera el nuevo sistema:
a20 b20 + = 0, (3.22)1
4a20 +
1
2a0b0 +
3
4b20 +
1
4 = 0; (3.23)
que es el sistema que verdaderamente se resolver.Para resolver el sistema (3.22) y (3.23) primero despejaremos a0 en (3.22),
obteniendoa0 =
qb20 . (3.24)
Luego, sustituyendo (3.24) en (3.23) tendremos
1
4
b20
12b0
qb20 +
3
4b20 +
1
4 = 0,
de donde, haciendo lgebra llegaremos a
2b20 = b0qb20 ,
por lo que4b40 = b
20
b20
,
i.e.b203b20 +
= 0. (3.25)
De la ecuacin (3.25) se desprenden varias posibilidades, que analizaremosa continuacin:
a) Si = 0 (universo plano), entonces tendremos que 3b40 = 0, por lo que b0 = 0y a = 0 (por (3.24)), la cual es una solucin trivial.
b) Si = +1 (universo elptico), entonces se tendr que b203b20 + 1
= 0, de
donde:
1. Si b20 = 0, entonces b0 = 0 y a0 = i (por (3.24)), resultando ser unasolucin imaginaria que por lo tanto desecharemos.
2. Si3b20 + 1
= 0, entonces b0 =
q 13 = 1p3 i, que es una solucin
imaginaria y por lo tanto eliminada.
c) Si = 1 (universo hiperblico), entonces tenemos que b203b20 1
= 0,
por lo que:
1. Si b20 = 0, entonces b0 = 0 y a0 = 1, la cual es una solucin trivial.2. Si
3b20 1
= 0, entonces b0 = 1p3 y a0 = 2p3 2p3 , siendo sta
la nica solucin interesante.
48 CAPTULO 3. PROPUESTA DE UNA SOLUCIN 6D NO VACA.
Ahora, las soluciones encontradas en c)-2 se sustituirn en el sistema (3.22)y (3.23) para descartar posibles soluciones extraas. As que sustituyendob0 = 1p3 y a0 = 2p3 , con = 1, tenemos:
4
3
1
3
1 = 0,0 = 0,
y
1
44
3
+1
22
3
+3
41
3
+1
4(1) = 0,
+1
3+1
3+1
4 14
= 0,
2
3= 0;
lo cual es una contradiccin i.e. las dos parejas de soluciones
(a0; b0) = 2p
3; 1p
3
se descartan al ser soluciones extraas. Y ahora, susti-
tuyendo las otras dos parejas, b0 = 1p3 y a0 = 2p3 , en el sistema (3.22) y(3.23), encontramos lo siguiente:
4
3
1
3
1 = 0,0 = 0,
y
1
44
3
122
3
+3
41
3
+1
4(1) = 0,
+1
3 13+1
4 14
= 0,
0 = 0;
por lo cual las dos parejas (a0; b0) = 2p
3; 1p
3
s son soluciones verdaderas.
A continuacin resumiremos los resultados del anlisis anterior, para la ob-tencin de soluciones al sistema (3.22) y (3.23),en la siguiente tabla.
a) = 0! fb0 = 0, a0 = 0. Solucin trivial.b) = +1!
1. b0 = 0, a0 2 Im . Solucin invlida.2. b0 2 Im . Solucin invlida
c) = 1!1. b0 = 0, a0 = 1. Solucin trivial.2. b0= 1p3 , a0= 2p3 . ***Solucin interesante.***
Tabla 25
En conclusin, de la tabla 25 podemos decir que la nica solucin real notrivial que hemos encontrado para el sistema de la tabla 24 con = 1 (caso
3.2. SOLUCIN 6D NO VACA HIPERBLICA ( = 1). 49
hiperblico) es
a = 2p3y b = 1p
3, (3.26)
es decir, la solucin c2.Por lo tanto, debido a la reduccin de orden (3.1) y a las igualdades
b = b1 = b2, tenemos que
= 2p3 + C1, (3.27)
1 = 1p3 + C2, (3.28)
2 = 1p3 + C3; (3.29)
expresiones que deben ser soluciones al sistema de la tabla 22 para = 1,lo cual es cierto, ya que sutituir esas expresiones en dicho sistema equivale asustituir las soluciones (3.26) en el sistema de la tabla 24 (debido a (3.1) y alas igualdades b = b1 = b2), lo que signica sustituir (2.28) en el sistema (3.18)y (3.19), lo que es lo mismo que sustituir (3.26) en el sistema (3.22) y (3.23),lo cual acabamos de hacer al descartar las soluciones extraas, comprobndosesu validez. As pues, las soluciones a las ecuaciones 2, 3 y 4 de la tabla 21( = 1) sern las ecuaciones (3.27)-(3.29), y sustituyendo dichas soluciones enla ecuacin 1 de esa tabla obtendremos24 3 2p32 + 3 2p3 1p3
+3 2p
3
1p
3
+ 1p
3
1p
3
+ 3 (1)
35 e2 2p3+C1 = 6d,por lo que
6d =1
83
e
4p
32C1
,
es decir
6d = C4e 4p
3, C4 > 0, (3.30)
pues C4 = 83e2C1 > 0.
As que nalmente, retomando las soluciones (3.27)-(3.30) al sistema de ecua-ciones algebraico-diferenciales planteado en la tabla 21, concluimos que una solu-cin particular 6-D no vaca a las ecuaciones de Einstein de esa tabla, derivadasde la mtrica 6-dimensional
dI2 = e2d2 d2 f2 d2 + sin2 () d'2 e21dx21 e22dx22
50 CAPTULO 3. PROPUESTA DE UNA SOLUCIN 6D NO VACA.
(ver la denicin (1.16) para f), es, en el caso hiperblico (f = sinh, = 1):
= 2p3 + C1 , (3.31)
1 = 1p3 + C2 , (3.32)
2 = 1p3 + C3 , (3.33)
6d = C4 e4p3, C4 > 0 . (3.34)
De la ecuacin (3.34) se observa que la densidad de materia 6-dimensional6d es negativa. De acuerdo con [7, 16, 18] hay dos mtodos escenciales parainterpretar fsicamente los campos escalares 1 y 2. En especial nos referimos alsegundo mtodo, en el cual el campo escalar se maniesta en formas conocidas(no geomtricas) de materia, y en este contexto, en los procesos de creaciny aniquilamiento de materia. Sin embargo, esto ltimo no es aqu analizadoy por ende esta solucin no es fsicamente aceptable. nicamente el factor deescala coincide en este caso con los modelos de Friedmann, donde crece con eltranscurso del tiempo; sin embargo diere en la forma de la tendencia, ya queen nuestro caso la tendencia es lineal, en cambio en el modelo de Friedmann eslogartmica.A continuacin mostramos un grco del comportamiento de las soluciones
(3.31)-(3.34) a travs del tiempo :
, ,
donde hemos tomado las soluciones superiores y hemos hecho C1 = 0, C2;3 = 10y C4 = 1.
Apndice A
Demostracin de algunosresultados usados en elartculo.
A.1. Demostracin de las identidades trigonomtri-cas hiperblicas e2x 1 = 2 sinh (x) ex y e2x +1 = 2 cosh (x) ex.
Proposicin Justicacin
1. sinhx = exex2 Por denicin.
2. coshx = ex+ex2 "
3. sinh (x) + cosh (x) = ex Sumando 1 y 2.
4. e2x = sinh2 (x) + 2 sinh (x) cosh (x) + cosh2 (x) Elevando al cuadrado 3.
5. cosh2 (x) sinh2 (x) = 1 Identidad trigonomtrica.
6.e2x 1 =
8>>>:24 sinh2 (x)+2 sinh (x) cosh (x)
+ cosh2 (x)
35 cosh2 (x) sinh2 (x)
9>>=>>;= 2 sinh (x) [sinh (x) + cosh (x)]
= 2 sinh (x) ex
Restando 45 ysustituyendo 3 al nal.
51
52 APNDICE A. DEMOSTRACIN DE ALGUNOS RESULTADOS.
7.e2x + 1 =
8>>>:24 sinh2 (x)+2 sinh (x) cosh (x)
+ cosh2 (x)
35+cosh2 (x) sinh2 (x)
9>>=>>;= 2 cosh (x) [sinh (x) + cosh (x)]
= 2 cosh (x) ex
Sumando 4 y 5 ysustituyendo 3 al nal.
Y 6 y 7 es lo que queramos demostrar.
A.2. Obtencin de algunos resultados de la sec-cin 2.1 con ayuda del software Mathema-tica 7.0.
*Nota: Todos los clculos hechos en esta seccin se localizan en elarchivo Solucin Ecs. de Einstein en vaco b.nb.
A.2.1. Obtencin de la integral (2.35).
En (2.35) tenemos la ecuacin
Zdii
= Z 8
A.2. OBTENCIN DE RESULTADOS CON MATHEMATICA. 53
es decir, para las funciones superior e inferior tenemos que
Z
2 sinh ln tan ()2 cosh
2 arctanh
e2
d = ln jcos j ln jsin j2 ln 2 1 + e4
+cte
=
ln jsin () cos ()j2 ln 2 1 + e4
+cte
=
ln 12 sin (2)2 ln 2 1 + e4
+000i ,
donde hemos considerado el caso ms general, con valor absoluto en los argu-mentos de los logaritmos, y, 000i cte.
A.2.2. Simplicacin de la llave fgS= en la frmula (2.38).
En la frmula (2.38) tenemos la expresin
8
54 APNDICE A. DEMOSTRACIN DE ALGUNOS RESULTADOS.
la cual podemos simplicar con ayuda de Mathematica, para as obtener
A.2. OBTENCIN DE RESULTADOS CON MATHEMATICA. 55
,
donde hemos considerado para las grcas los intervalos de denicin de dadosen (2.34); es decir, podemos concluir que
8
56 APNDICE A. DEMOSTRACIN DE ALGUNOS RESULTADOS.
A.2.3. Integracin de la frmula (2.33).
Integrando la frmula (2.33) con ayuda de Mathematica obtenemos
A.3. OBTENCIN DE UNA RELACIN ALTERNATIVA C2 = C2 (). 57
,
es decir, tenemos que la integral es igual a
8>>>>>:2
q3
2C+1 ln j2 cos j+ 2q
32C+1 ln j2 sin j+ 12 ln jsin (2)j
12 2
q3
2C+1
ln jj
2q
32C+1 14
ln1+e2 ln 1+e2+ 12 ln 2 1+e4
9>>>=>>>;+a000 ,
donde hemos considerado el caso general con valor absoluto en el argumentode los logaritmos. Y la expresin anterior evidentemente equivale a la frmula(2.41).
A.3. Obtencin de una relacin alternativa C2 =C2 () con ayuda del software Mathematica7.0.
Con ayuda de Mathematica vemos, en el archivo: Relacin C K-P y alfaP-V.nb; que dos soluciones a la ecuacin (2.68)
58 APNDICE A. DEMOSTRACIN DE ALGUNOS RESULTADOS.
(2 = 1p ) son
,
es decir, una solucin es la conocida ecuacin (2.65) (C = 2+1
(+1)2), pero una
solucin alternativa es la ecuacin C2 = 92+12+13(31)2 .
Conclusiones.
En el captulo 1 de este trabajo se parti de la mtrica 7-dimensionaldI2=e2
e2d2d2f2 d2+sin2 () d'2e21dx21e22dx22e23dx23,
donde la funcin f , como ya es conocido, puede tomar tres formas diferentesdependiendo de la seccin espacial de la geometra analizada; a saber,
f =
8
60 CONCLUSIONES.
dimensin en [16]. Con esto fue posible establecer las ecuaciones de Einsteincon densidad de materia 6-dimensional, donde todas las componentes GAAestaran igualadas a cero, excepto la componente G00, siendo G00 = 6d. Unavez establecidas dichas ecuaciones, se encontraron dos soluciones particularespara ellas, una para un universo plano y la otra para un universo hiperblico.Se espera que los resultados aqu mostrados sean un caso particular de una
solucin ms general 6-dimensional con la cual pudiera ser posible, en principio,describir propiedades de nuevas formas de materia, como la materia obscura yotras.
Bibliografa
[1] Amrico Peraza lvarez And Vladimirov Yu. S. Variations of Cons-tants and Red-Shift in 6D Cosmology, General Relativity and Gravitation.Vol. 28, N1, 1996.
[2] Ch. Yamauchi, Tomotsugu Goto. Are Passive Spiral Galaxies TrulyPassiveand Spiral? A Near-Infrared Perspective. Royal AstronomicalSociety, Volume 352, Issue 3, 2004 (pp. 815-822).
[3] D. F. Lawden. Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmol-ogy. Dover Publications, Inc, Mineola, New York, 2002.
[4] David C. Kay, Lorenzo Abellanas (Traductor). Teora y Problemasde Clculo Tensorial. Serie de Compendios Schaum, McGraw-Hill, Espaa,1990.
[5] I. Bronshtein, K. Semendiaev.Manual de Matemticas para Ingenierosy Estudiantes. Ediciones Quinto Sol, 1987.
[6] Juan Marquez. Apuntes de lgebra Multilineal On-Line(http://juanmarqz.wordpress.com). Wordpress, Pgina Actualizada.
[7] Michio Kaku. Hiperespacio, Editorial Crtica, Espaa, 1996.
[8] Misner C. W., Thorne K.S., Wheeler J.A. Gravitation. W.H. Free-man and Company, San Francisco, 1973.
[9] N.V. Mitskievich. Fsica Relativista (en ruso). Editorial URSS, Mosc,2012.
[10] O.V. Kechkin and A. A. Peraza. A Class of Exact Cosmological So-lutions for Multidimensional Vacuum Einstein Equations. Russian PhysicsJournal, Physics, T.36, N. 3, 1993 (P. 114).
[11] Paul G. Hewitt. Fsica Conceptual. Serie Awli, 1999.
[12] Paul S. Wesson. SpaceTime Matter: Modern Kaluza-Klein Theory.World Scientic, 2000.
61
62 BIBLIOGRAFA
[13] Rodolfo Gutirrez Torres, Amrico Peraza lvarez. Dinmica enCosmologa 5-dimensional. EAE-Berln, 2013.
[14] T. Kaluza. En Torno al Problema de la Unidad de la Fsica, .A lbert Ein-stein y Teora de la Gravitacin". Mosc, Mir, 1979.
[15] W. Israel. Dierential Forms in General Relativity. Dublin Institute forAdvanced Studies, Series A, N. 19, 1970.
[16] Yu. S. Vladimirov. Dimensionalidad del Espacio-Tiempo Fsico y Uni-cacin de las Interacciones. Editorial Universidad de Mosc, 1987.
[17] Yu. S. Vladimirov. Teora Clsica de la Gravedad (en ruso). EditorialURSS, Mosc, 2009.
[18] Yu. S. Vladimirov, Amrico Peraza A. (Traductor). Espacio-Tiempo: Dimensiones Maniestas y Ocultas. Editorial Ciencia, Mosc,1989.