Para la estabilidad BIBO, las raíces de la ecuación característica 1+G(s)H(s) = 0,
o los polos de C(s)/R(s), no pueden estar localizados en el semiplano derecho del
plano s o en eje j, todos deben quedar en el semiplano izquierdo del plano s. Se
dice que un sistema es inestable si no es estable BIBO.
Criterio Routh- Hurwitz
001
1
1
asasasasF n
n
n
n
1.- Todos los coeficientes de la
ecuación característica deben ser
del mismo signo.
2.- Ninguno de los coeficientes de la
ecuación característica debe ser
igual a cero.
as raícesde todas lproductos a
a
a vezo tres a lces tomandde las raíproductos a
a
vezo dos a laces tomandde las raíproductos a
a
raícestodas las a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
1
0
3
2
1
Todas estas relaciones deben ser
positivas y no-cero a menos que una de
las raíces tengan una parte real positiva.
Estabilidad de Sistemas de Control Lineales
La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la
Ecuación Característica estén en el semiplano izquierdo del plano s
es que los determinantes de Hurwitz de la ecuación, , sean todos
positivos.
Criterio Hurwitz
Estabilidad de Sistemas de Control Lineales
11 naD
2
31
2
nn
nn
aa
aaD
31
42
531
3
0
D
nn
nnn
nnn
aa
aaa
aaa
0
31
42
531
n
000
00
0
0
D
a
aa
aaa
aaa
nn
nnn
nnn
0............ 0
1
1
2
2
1
1
asasasasa n
n
n
n
Criterio de Routh-Hurwitz
Determina la estabilidad de un sistema de orden
“n” partiendo de la ecuación característica
[1+G(s)H(s) = 0] expresada en forma de
polinomio.
Estabilidad de Sistemas de Control Lineales
En
donde:0121 ,,...,........., aaaaa nn
son coeficientes constantes.
Con los coeficientes se llenan las primeras dos filas del
siguiente determinante:
Estabilidad de Sistemas de Control Lineales
....
....
.....
.....BBA
AAB
A
AA
.....
.....
.....
0
1
32
1
31511
1
21313
32
1
5411
1
3212
531
1
42
s
s
s
s
aas
aas
nnnnn
n
nnnn
n
nnnnn
nnn
n
nnn
n
aaaa
AAa
aaaaA
a
aaaa
a
a
0............ 0
1
1
2
2
1
1
asasasasa n
n
n
n
00
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6 asasasasasasaEjemplo:
Estabilidad de Sistemas de Control Lineales
000
000
000*0*0*
000*0*
00*
0
0
1
0
02
50513
0
5
60
5
16254
13
5
024
6
5
0
0
0
53
5
3645
5
6
aF
0*EFa
FE
CaED
EC
ADBC
CA
BaAa
Aa
aaaa
a
a
s
s
C
ACa
C
ACas
A
aAD
A
aaAas
aa
aaaB
a
aaaas
aas
aaas
El Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz establece lo
siguiente:
Cada cambio de signo en la primera columna del
determinante denota la presencia de un polo en el
semiplano derecho del Plano “s”, siendo el sistema
inestable.
Esto significa lo siguiente: Para que un sistema sea estable,
no debe haber cambios de signo en la primera columna.
Estabilidad de Sistemas de Control Lineales
Ejemplo: Determimar si el siguiente sistema es
estable.
0523
0521
021
521
01)2)(1(
51
0HG1
:es ticacaracterísecuación La
23
(s)(s)
sss
sss
sss
sss
sss
Estabilidad de Sistemas de Control Lineales
0523 23 sss
Estabilidad de Sistemas de Control Lineales
05
3/1
0353/1
03
1
3
5123
53
21
0
1
2
3
s
s
s
s
Dado que no hay cambios de signo en la 1er. Columna, entonces
el sistema es ESTABLE.
5
3/1
3
1
0
1
2
3
s
s
s
s
1er. Columna
01023 23 sss
Estabilidad de Sistemas de Control Lineales
00103/4
)0)(3()10)(3/4(
003
4
3
)10)(1()2)(3(
0103
021
0
1
2
3
s
s
s
s
10
3/4
3
1
0
1
2
3
s
s
s
s
1er. Columna
b) Si el G(s)H(s) se modifica
)2)(1(
10HG (s)(s)
sss¿Sigue siendo estable?
Dado que hay 2 cambios de signo en la 1er. Columna, entonces el
sistema es INESTABLE, con 2 raices en el semiplano derecho.
1 cambio
(1 raíz)
1 cambio
(1 raíz)
Qué ocurre si en los cálculos, nos aparece un 0 en la primera columna?.
En este caso se presentan dos problemas:
1- No podremos calcular los coeficientes de la siguiente fila, ya que habrá que dividir por 0.
2- ¿Es posible considerar que hay un cambio de signo cuando un número se compara con el 0?.
El hecho de que aparezca un cero en la primera columna (siendo el resto de la fila no nulo), se debe, por así decirlo, al azar.
Casos Especiales
Teorema 1: División de una fila. Los coeficientes de cualquier fila pueden ser multiplicados o divididos por un número positivo sin cambiar los signos de la primera columna. Esto facilita evaluar los coeficientes del arreglo al convertir números fraccionales en enteros.
Casos Especiales
Teorema 2: Cuando el término de la primera columna de cualquier fila es cero, pero los términos restantes no son cero, o no hay términos restantes, se pueden emplear alguno de los siguientes tres métodos:
Casos Especial 1: Primer elemento de la fila 0
023 23 Ksss
Parámetros Ajustables
00
3
6
)0)(3()(3
6
003
6
3
))(1()2)(3(
03
021
0
1
2
3
KK
KK
s
KKs
Ks
s
Ks
Ks
s
s
0
1
2
3
3
6
3
1
1er.
Columna
c) Si el G(s)H(s) se modifica
)2)(1(HG (s)(s)
sss
K ¿Para qué valores de K el sistema
es estable? (rango)
Dado que hay términos de K en la 1er. columna, en cada uno tenemos que
determinar un límite para poder construir el rango de valores.
0
03
6
3
1
0
1
2
3
Ks
Ks
s
s
1er.
Columna
Para sistema estable toda la 1er. Columna debe ser positiva (+),
por lo que:
K
KK
KK
6
0606
)3(0603
6
0K
Rango de Estabilidad o Condición de Estabilidad
60 K
Posibles límites para construir
el rango de estabilidad.
Parámetros Ajustables
Sistemas con Retardo con MATLAB
Distintas maneras de generar funciones de transferencia
con retardo.
s=tf('s')
H=exp(-.5*s)*(s+1)/(s^2+s+1)
Ó
H=tf([1 1],[1 1 1],'ioDelay',.5)
En ambos casos Matlab devuelve:
s=tf('s'), H=series(exp(-.25*s),zpk([-1],[0 -2 -3],1))
Devuelve:
Aproximando el retardo T=0.5 con Padé de primer orden
3 2
( 4)( )( )
( ) 5 (4 ) 4
ccl
c c
K sC sG s
R s s s K s K
% Polinomio característico s^3+5*s^2+(4-Kc)s+4*Kc
syms Kc eps; Pc=[1 5 4-Kc 4*Kc];
[Routh_array,s]=routh(Pc,eps)
9 200 4
5 9
4 (9 20)0 0
(9 20)
c c
c cc
c
K K
K KK
K
200
9cK
3 2
( 4)( )
5 (4 ) 4
ccl
c c
K sG s
s s K s K
200
9cK
% Polinomio característico s^3+5*s^2+(4-Kc)s+4*Kc
Kc=-0.01,Pc=[1 5 4-Kc 4*Kc];[Routh_array,s]=routh(Pc,eps)
Se observa que para Kc dentro del rango de estabilidad en la primera columna del arreglo de Routh no hay cambios de signo.