Criterios de Divisibilidad

5/20/2018 Criterios de Divisibilidad

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2 Divisibilidad

La divisibilidad es una relacin en los nmeros naturales que tiene mltiples aplicacio-nes. La principal aplicacin se da al utilizar las fracciones.

En este tema se estudia, en primer lugar, los conceptos de mltiplo y divisor y sus

propiedades.Se aborda a continuacin la clasificacin de nmeros en primos y compuestos, y loscriterios de divisibilidad.

El tema termina con el estudio del mximo comn divisor, M.C.D., y el mnimocomn mltiplo, m.c.m.

El concepto de mltiplo y divisor se utiliza con frecuencia. Por ejemplo, es frecuentecomprar botes de refresco en envases de 6 unidades. Al comprar estos envases seadquieren 6, 12, 18 botes, es decir, en mltiplos de 6

02_matematicas1eso 18/2/10 09:24 Pgina 26


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ORGANIZA TUS IDEAS

272. Divisibilidad

relacin de nmeros

es una

DIVISIBILIDAD

en la que aparecen

mltiplodivisor

paracalcular

paracalcular

m.c.m.M.C.D.

se clasifican en

compuestosprimos



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28 BLOQUE I: Aritmtica y lgebra

1 Sistema de numeracin decimal

Calcula mentalmente e indica, de las siguientes divisiones, cules son exactaso enteras:

a) 125 : 5 b) 28 : 6c) 140 : 7 d) 23400 : 100

piensa y calculaCARNCALCULISTA

48 023 : 38

1 Mltiplos y divisores

Mltiplos y divisores

Decir que el nmero aes mltiplo de b es lo mismo que decir que b es divi-sor de a

a b0 c

es lo mismo que a= b cSi aes mltiplo de b, es que ase puede escribir como a= b c. Fjate en que ces el cociente de la divisin a: b

a b a= b c

0 c

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que 12 es mltiplo de 3 y que 3 es un divisor de 12

La divisin 12 : 3 es exacta.

12 30 4 es lo mismo que 12 = 3 4

Cuando queremos expresar que un nmero aes mltiplo de un nmero b,podemos escribirlo as:

a= b, y se lee aes mltiplo de b

12 = 3, y se lee 12 es mltiplo de 3

Un nmero aes mltiplo de otro nmero b si al dividir aentre b la divi-sin es exacta.

1

Un nmero b es divisor de otro nmero asi al dividir aentre b la divi-sin es exacta. Tambin se dice que aes divisible por b o que b es un fac-tor de a

1.1

a

b

c

ml

tiplo

de

diviso

rde

divisord

emltiplo de



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292. Divisibilidad

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que las 24 onzas de una tableta de chocolate se pueden dividirentre 2, 4 y 624 : 2 = 12 24 = 2

24 : 4 = 6 24 = 4

24 : 6 = 4 24 = 6

Propiedades de mltiplos y divisores1.2

2

Escribe:a) Cinco mltiplos de 2 b) Cinco mltiplos de 5c) Cinco mltiplos de 3 d) Cinco mltiplos de 6

Aade tres trminos a cada una de las siguientesseries:a) 4, 8, 12, 16 b) 8, 16, 24, 32

c) 12, 24, 36, 48 d) 31, 62, 93, 124

De los siguientes nmeros, indica cules sonmltiplos de 12: 72, 324, 482, 948 y 1 060

Calcula todos los mltiplos de 25 comprendidosentre 150 y 375

Es 1 024 divisible por 8? Y por 15? Y por 32?

Encuentra un nmero que sea mltiplo de 2, 3 y 5Escribe un nmero que solo tenga dos divisores.

Escribe todos los divisores de:

a) 12 b) 20

c) 35 d) 40

8

7

6

5

4

3

2

1

aplica la teora

Mltiplos

a) Todo nmero es mltiplo de smismo.

EJEMPLO

5 es mltiplo de 5 porque 5 1 = 5

b) Todo nmero es mltiplo de 1

EJEMPLO

7 es mltiplo de 1 porque 7 1 = 7

c) El cero es mltiplo de cualquiernmero.

EJEMPLO

El 0 es mltiplo de 2 porque 0 2 = 0

d) Todo nmero tiene infinitosmltiplos.

EJEMPLO

Para hallar el conjunto de mlti-plos de 3, se va multiplicando el 3por los nmeros naturales 0, 1, 2,3, 4, 5

M(3) = {0, 3, 6, 9}

Divisores

a) Todo nmero es divisor de smismo.

EJEMPLO

5 es divisor de 5 porque 5 : 5 = 1

b) El 1 es divisor de cualquier n-mero.

EJEMPLO

El 1 es divisor de 7 porque 7 : 1 = 7

c) El cero no es divisor de ningnnmero.

EJEMPLO

El cero no es divisor de 2 porqueno se puede dividir 2 entre 0

d) El conjunto de los divisores de unnmero es finito.

EJEMPLO

Para hallar los divisores de 6 sehacen todas las divisiones entre eldivisor ms pequeo, que es 1, yel divisor mayor, que es 6

D(6) = {1, 2, 3, 6}

Notacin

se lee es equivalente.

6 : 1 = 66 : 2 = 3

6 : 3 = 2

6 : 6 = 1



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Nmeros primos y compuestos

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que el nmero 7 es primo.

Tiene dos divisores, el 1 y el propio 7

7 = 1 7 7 1

y tambin7 7

0 7 0 1

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que el nmero 35 es un nmero compuesto.

Adems del 1 y del 35 tiene otros divisores, el 5 y el 7

El nmero 35 = 7 5 35 1 35 5 35 7 35 35

0 35 0 7 0 5 0 1

Criterios de divisibilidad

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que los nmeros 36, 57 y 456 son divisibles por 3

La suma de las cifras es mltiplo de 3

EJEMPLO

Los nmeros 20 y 145 son divisibles por 5

Un nmero es divisible por 5 si acaba en cero o en cinco.

5

36 3 + 6 = 9

57 5 + 7 = 12456 4 + 5 + 6 = 15

Un nmero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es mltiplo de 3

Un nmero es divisible por 2 si acaba en cero o en cifra par.

2.2

4

Un nmero natural aes compuesto si tiene ms de dos divisores.

3

Un nmero natural es primo si tiene exactamente dos divisores: el 1 y lmismo.

2.1

Fjate en el ejemplo y escribe los siguientes nmeros como producto de fac-tores:

60 = 10 6 = 2 5 2 3 = 22 3 5a) 15 b) 81 c) 90


1 Sistema de numeracin decimalpiensa y calcula

CARNCALCULISTA

38 734 : 59

2 Nmeros primos y compuestos

El nmero 1

El nmero 1 no se considera niprimo ni compuesto, porquetiene inverso, que es el mismo 1.Observa que solo tiene un divi-

sor, el propio 1

Notacin

se lee implica y significaque de lo que hay antes se de-duce lo que hay despus.

EJEMPLO

Los nmeros 20, 42, 54, 76,98 son divisibles por 2. Sonnmeros pares.

Un nmero es divisible por 6 silo es por 2 y por 3

Ejemplo: 18, 30, 42



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Descomposicin factorialUn nmero compuesto se puede expresar como un producto de nmerosprimos.

Casos sencillos

Se hace la descomposicin mentalmente.

EJEMPLO

4 = 22 6 = 2 3 8 = 23 9 = 32 12 = 22 3

Procedimiento para factorizar nmeros grandes

EJERCICIO RESUELTO

Haz la descomposicin factorial de 120Cocientes Factores Factorizacin

primos

120 2 5 120 = 23 3 512 26 23 31

6

a) Se escribe el nmero y, a su derecha, se pone una raya vertical.

b) Si el nmero termina en ceros, se puede dividir por 10 = 2 5. A laderecha de la raya vertical, se pone 2 5 elevado, cada uno de ellos, alnmero de ceros que tenga el nmero.

c) Se sigue dividiendo cada cociente obtenido por el menor nmeroprimo, 2, 3, 5, que sea divisor, tantas veces como se pueda.

d) Se termina cuando se obtenga de cociente 1

La descomposicin factorial o factorizacin de un nmero consiste en

expresar dicho nmero como producto de nmeros o factores primos ele-vados a los exponentes correspondientes.

2.3

312. Divisibilidad

Seala los nmeros primos y compuestos de lasiguiente lista: 7, 12, 13, 25, 31, 43

Entre los nmeros 24, 30, 65, 72, 81, seala:

a)Los divisibles por 2

b)Los divisibles por 3c) Los divisibles por 5 d) Los mltiplos de 6

Calcula qu cifra debe ser la letraxen el nmero35xpara que dicho nmero sea divisible:

a) Por 2 b) Por 2 y por 5

c) Por 3 d) Por 6

Descompn en factores primos los siguientesnmeros. Hazlo mentalmente en el apartado a).

a) 4, 6, 9, 12 y 15

b) 180, 200, 475, 540 y 625

Haz la criba de Eratstenes: copia los nmerosnaturales del 2 al 100. Tacha los mltiplos de 2,excepto el 2 a partir de 22 = 4, tacha los mlti-plos de 3 excepto el 3 a partir de 32 = 9, siguecon el 5 y el 7. Los nmeros que quedan sintachar son los primos menores que 100

13

12

11

10

9

aplica la teora

120 10

0 12 20 6 2

0 3 30 1

Recuerda

Cuando apareza signifi-ca que debes hacer la operacinmentalmente.

EJERCICIO RESUELTO

Halla la descomposicinfactorial de 36 00036000 23 53

36 2

18 29 33 31

36000 = 25 32 53

7



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3 Mximo comn divisor

Tenemos 8 litros de naranjada y 12 litros de cola para hacer una fiesta, y quere-mos llevarlos sin mezclar en recipientes que tengan el mismo nmero de litros y

que sean lo ms grandes posible. De cuntos litros tienen que ser los recipientes?Es posible llevarlos en recipientes de 1 litro? Y de 2 litros? Es posible llevar-los en recipientes de 3 litros? Y de 4 litros?


37 890 : 64

Mximo comn divisor

Segn esta definicin, para encontrar el mximo comn divisor de variosnmeros se debe:a) Hallar los divisores de cada nmero.

b) Seleccionar los divisores comunes de los nmeros.

c) Tomar el divisor mayor.

EJERCICIO RESUELTO

Calcula el mximo comn divisor de 12 y 18

Los divisores de 12 son: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Los divisores de 18 son: D(18) ={1, 2, 3, 6, 9, 18}

Los divisores comunes son D(12) D(18) = {1, 2, 3, 6}

El mayor divisor es el 6. Se escribe: M.C.D. (12, 18) = 6

Cuando dos nmeros son primos entre s, solo tienen al 1 como divisorcomn.

EJERCICIO RESUELTO

Averigua si los siguientes pares de nmeros son primos entre s:

a) 8 y 15 b) 9 y 12

a) Divisores de 8 = {1, 2, 4, 8}

Divisores de 15 = {1, 3, 5, 15}

M.C.D. (8, 15) = 1, luego los nmeros 8 y 15 son primos entre s.

b) Divisores de 9 = {1, 3, 9}Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

M.C.D. (9, 12) = 3, luego los nmeros 9 y 12 no son primos entre s.Adems del 1, tienen al 3 como divisor comn.

Observa que para que dos nmeros sean primos entre s, no tienen por quser primos. En el ejercicio anterior los nmeros 8 y 15 son compuestos.

8

9

Dos nmeros ay b son primos entre s si el M.C.D. (a, b) = 1

El mximo comn divisor de dos o ms nmeros a, b, c, d es el mayorde los divisores comunes a dichos nmeros. Se representa por:

M.C.D. (a, b, c, d)

3.1

1

3

2

6

4

12

D(12) D(18)

9

18

Notacin

se lee interseccin: quieredecir elementos comunes a unoy otro.



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332. Divisibilidad

Calcula mentalmente el mximo comn divisorde los siguientes nmeros:

a) 4 y 6 b) 3 y 6 c) 4 y 7 d) 15 y 21

Halla mentalmente:

a) M.C.D. (12, 15) b) M.C.D. (20, 30)c) M.C.D. (10, 15) d) M.C.D. (4, 21)

Calcula mentalmente:

a) M.C.D. (7, 12) b) M.C.D. (14, 21)

c) M.C.D. (4, 16) d) M.C.D. (9, 12)

Halla:

a) M.C.D. (250, 60) b) M.C.D. (75, 105)

c) M.C.D. (135, 225) d) M.C.D. (200, 250)

Calcula:

a) M.C.D. (4, 6, 8) b) M.C.D. (20, 10, 4)

c) M.C.D. (20, 35, 45) d) M.C.D. (98, 126, 140)

En una granja tienen 264 gallinas y 450 pollos.Se han de transportar en jaulas, sin mezclarlos, loms grande posibles de modo que en todas hayael mismo nmero de animales. Cuntos anima-les irn en cada jaula?

19

18

17

16

15

14

aplica la teora

Clculo del mximo comn divisor

Casos sencillos

Cuando los nmeros son sencillos, el M.C.D. se calcula mentalmente:

EJEMPLO

M.C.D. (2, 6) = 2

M.C.D. (12, 18) = 6

M.C.D. (6, 8) = 2

M.C.D.(6, 9, 15) = 3

Procedimiento para nmeros grandes

EJERCICIO RESUELTO

Calcula el mximo comn divisor de los nmeros 80 y 14080 2 5 140 2 5

8 2 14 2

4 2 7 7

2 2 1

1

M.C.D. (80, 140) = 22 5 = 20

Fjate: el M.C.D. es el nmero ms grande que divide a 80 y a 140 a la vez.80 140

2 2 2 2 5 y 2 2 5 7

El mximo nmero de factores comunes que se puede tomar en la des-composicin de los dos nmeros son dos doses y un cinco.

80 = 24 5140 = 22 5 7

10

a) Se hace la descomposicin en factores primos de los nmeros.

b) Se eligen todos los factores primos comunes con el menor exponentecon el que aparecen, y se multiplican.

3.2



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Mnimo comn mltiplo

Segn esta definicin, para encontrar el mnimo comn mltiplo de variosnmeros se debe:

a) Hallar los mltiplos de cada nmero.

b) Seleccionar los mltiplos comunes de los nmeros.

c) Tomar el mltiplo menor distinto de cero.

EJERCICIO RESUELTO

Calcula el mnimo comn mltiplo de 4 y 6Los mltiplos de 4 son M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36}

Los mltiplos de 6 son M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42}

Los mltiplos comunes son M(4) M(6) = {0, 12, 24, 36}

De estos mltiplos comunes, el menor distinto de cero es el 12. Se escribe:

m.c.m. (4, 6) = 12

11

El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros a, b, c, d es elmenor de los mltiplos comunes a dichos nmeros, distinto de cero. Serepresenta por:

m.c.m. (a, b,c,d)

4.1


4 Mnimo comn mltiplo

scar y Sonia estn montando en los kartsde un parque de atracciones.Sonia tarda 4 minutos en dar una vuelta a la pista, y scar, 6 minutos. Si par-

ten los dos juntos de la lnea de salida, cuntos minutos tardarn en volver acoincidir en la meta?

Copia en tu cuaderno y completa la tabla para dar la respuesta.


75 083 : 49

1. vuelta 2.avuelta 3. vuelta 4. vuelta 5. vuelta 6. vuelta

Sonia 4 min 8 min

scar 6 min 12 min

0 12

24 36

4, 8, 16,20

M(4) M(6)

6, 18, 30,42



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Clculo del mnimo comn mltiplo

Casos sencillos

Cuando los nmeros son sencillos, se calcula el m.c.m. mentalmente.EJEMPLO

m.c.m. (2, 6) = 6m.c.m. (2, 5) = 10

m.c.m. (6, 9) = 18

m.c.m. (3, 4, 6) = 12

Procedimiento para nmeros grandes

EJERCICIO RESUELTO

Calcula el mnimo comn mltiplo de los nmeros 45 y 60

45 3 60 2 5

15 3 6 2

5 5 3 3

1 1

m.c.m. (45, 60) = 22 32 5 = 180

Fjate: el m.c.m. es el nmero ms pequeo distinto de cero entre losmltiplos comunes de 45 y 60

45 60

3 3 5 y 2 2 3 5

El menor nmero de factores comunes que se deben tomar en la descom-posicin de los dos nmeros son un 3 y un 5, y factores no comunes otro 3y el 2 2

4.2

12

45 = 32 560 = 22 3 5

a) Se hace la descomposicin de los nmeros en factores primos.

b) Se eligen todos los factores primos comunes y no comunes con elmayor exponente con el que aparecen, y se multiplican.

352. Divisibilidad

Calcula mentalmente el mnimo comn mlti-plo de los siguientes nmeros:

a) 6 y 8 b) 6 y 9 c) 3 y 5 d) 3 y 6


a) m.c.m. (20, 40) b) m.c.m. (6, 15)

c) m.c.m. (4, 9) d) m.c.m. (14, 21)

Halla:

a) m.c.m. (64, 80) b) m.c.m. (140, 220)

c) m.c.m. (135, 225) d) m.c.m. (200, 250)

Calcula:

a) m.c.m. (2, 3, 5) b) m.c.m. (2, 5, 10)

c) m.c.m. (5, 15, 20) d) m.c.m. (4, 12, 25)

e) m.c.m. (3, 8, 18) f) m.c.m. (8, 12, 15)g) m.c.m. (2, 6, 8) h) m.c.m. (4, 6, 10)

Ana lleva el papel al contenedor del barrio cada12 das, y Sonia, cada 15. Si un determinado dacoinciden, cada cuntos das volvern a coin-cidir?

24

23

22

21

20

aplica la teora



11/18

Ejercicios y problemas resueltos


M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25}

CLCULO DE MLTIPLOS, DIVISORES, PRIMOS, M.C.D. Y m.c.m.

Calcula los mltiplos de 513

Calcula los divisores de:

a) 24

b) 36

14

Halla todos los nmeros primos en-tre 20 y 40

15

a) 24 : 1 = 24 b) 36 : 1 = 36

24 : 2 = 12 36 : 2 = 18

24 : 3 = 8 36 : 3 = 12

24 : 4 = 6 36 : 4 = 9

24 : 6 = 4 36 : 6 = 6

24 : 8 = 3 36 : 9 = 4

24 : 12 = 2 36 : 12 = 3

24 : 24 = 1 36 : 18 = 2

36 : 36 = 1

D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Primos entre 20 y 40: {23, 29, 31, 37}

Calcula el mximo comn divisorde 360 y 252

16 360 2 5 252 2

36 2 126 2

18 2 63 3

9 3 21 3

3 3 7 7

1 1

M.C.D. (360, 252) = 22 32 = 36

360 = 23 32 5252 = 22 32 7

Calcula el mnimo comn mltiplode 270 y 180

17 270 2 5 180 2 5

27 3 18 2

9 3 9 3

3 3 3 31 1

m.c.m. (270, 180) = 22 33 5 = 540

270 = 2 33 5180 = 22 32 5



12/18

372. Divisibilidad

Entrate

El papel se recoge cada 24 das.El vidrio se recoge cada 36 das.Pregunta: Cada cuntos das coincidirn?

Manos a la obra

Coincidirn el menor mltiplo comn de 24 y 36m.c.m. (24, 36 ) = 72 das

Solucin

Coincidirn cada 72 das.

Entrate

Un bidn de cola de 20 litros.

Un bidn de naranja de 15 litros.Preguntas:Cul es la capacidad de las garrafas?Cuntas garrafas se llenan de cola?Cuntas garrafas se llenan de naranja?

Manos a la obra

La capacidad de las garrafas debe ser la mayor posible.M.C.D. (20, 15) = 5 litros.Garrafas de cola: 20 : 5 = 4 garrafas.Garrafas de naranja: 15 : 5 = 3 garrafas.

Solucin

Capacidad de cada garrafa: 5 litros.N.o de garrafas de cola: 4 garrafas.N.o de garrafas de naranja: 3 garrafas.

Entrate

Cada plato mide de dimetro 21 cmCada vaso mide de dimetro 6 cmEl armario debe medir menos de un metro y ser lo ms largo posiblesin que sobre espacio.Pregunta: Cul debe ser su longitud?

Manos a la obra

Debe ser el mayor mltiplo de 21 y 6 menor de 100m.c.m. (21, 6) = 42Mltiplos de 42: {0, 42, 84, 126}El mayor mltiplo menor de 100 es 84

Solucin

El armario debe medir 84 cm

En un punto limpio recogen papel

cada 24 das y vidrio cada 36 das.Si un determinado da coincidenlos dos camiones en la recogida,cada cuntos das coincidirn?

18

Para organizar una fiesta se compraun bidn de 20 litros de cola y otro

de naranja de 15 litros. Si se deseallevar el refresco en garrafas lo msgrandes posible, pero todas ellas delmismo tamao y sin mezclar la colay la naranja, cul es la capacidad delas garrafas? Cuntas garrafas se lle-nan de cola? Cuntas garrafas sellenan de naranja?

19

Se desea disear un armario condos baldas, una para colocar platosde 21 cm de dimetro y otra paravasos de 6 cm de dimetro. El ar-mario debe medir menos de un me-tro y ser lo mayor posible, de formaque ambas baldas se llenen exacta-mente. Cul debe ser la longitud

del armario?

20

PROBLEMAS DE M.C.D. Y m.c.m.



13/18

Ejercicios y problemas resueltosEjercicios y problemas propuestos

1|Mltiplos y divisores

Completa en tu cuaderno con la palabramltiplo o divisor:

a) 4 es de 28

b) 15 es de 3

c) 5 es de 15

d) 32 es de 4


a) Cuatro mltiplos de 7

b) Cuatro mltiplos de 12

c) Cuatro mltiplos de 25

d) Cuatro mltiplos de 4

De los nmeros siguientes:72 108 209 585 770

a) Cules son mltiplos de 9?

b) Cules son mltiplos de 2?

c) Cules son mltiplos de 5?

d) Cules son mltiplos de 7?

De los nmeros siguientes: 3, 7, 8 12, 15

a) Cules son divisores de 21?

b) Cules son divisores de 24?

c) Cules son divisores de 32?

d) Cules son divisores de 105?

Calcula todos los mltiplos de 12 compren-didos entre 100 y 150

Encuentra un nmero que sea mltiplo de:

a) 3 y 4 b) 7 y 9

c) 2, 5 y 7 d) 5, 8 y 11

Encuentra un nmero que tenga como divi-sores a 2, 3, 6 y 12

Escribe todos los divisores de 15, 18, 25 y 30

2|Nmeros primos y compuestos

De los siguientes nmeros, indica los primosy los compuestos:

34 161 13 60 48 73 202 33

De los siguientes nmeros, seala los com-puestos y exprsalos como producto de dosfactores distintos de 1 y de l mismo:

24 11 38 61 54 7 105 44Escribe los nmeros primos comprendidosentre 60 y 75

Indica si son primos entre s los nmeros:

a) 3 y 5 b) 6 y 15 c) 4 y 6 d) 7 y 20

Escribe dos nmeros primos entre s que seancompuestos.

Escribe cules de los siguientes nmeros sondivisibles por 2:

16 232 267 400 515

Indica cules de los siguientes nmeros sondivisibles por 3:

47 66 135 326 537

Seala cules de los siguientes nmeros sondivisibles por 5:

12 50 60 105 401

Descompn en factores primos mentalmente:

a) 8 b) 16 c) 32 d) 64

Halla mentalmente la descomposicin facto-

rial de los siguientes nmeros:a) 20 b) 30 c) 36 d) 45

Haz la descomposicin factorial de:

a) 120 b) 256 c) 504 d) 900

3|Mximo comn divisor

Calcula mentalmente el M.C.D. de:

a) 6 y 8 b) 6 y 15 c) 5 y 12 d) 7 y 21

Calcula el M.C.D. de:

a) 96 y 270 b) 264 y 525

c) 420 y 720 d) 450 y 6 750

En una terraza de un edificio de 40 m de lon-gitud por 24 m de anchura se desea colocarplacas solares cuadradas lo mayores posible.Cunto debe medir el lado de cada placa?

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392. Divisibilidad

| Para ampliar

4|Mnimo comn mltiplo

Calcula mentalmente el m.c.m. de:a) 6 y 8b) 5 y 15c) 4 y 6d) 8 y 12

e) 20 y 30

Calcula el m.c.m. de:

a) 96 y 132

b) 90 y 250

c) 210 y 350

d) 450 y 700

e) 360 y 400

f) 330 y 550

Calcula el m.c.m. de:

a) 17, 40 y 60

b) 12, 18 y 30

c) 200, 400 y 500d) 120, 60 y 100

Una fbrica de coches enva un camin decoches a Sevilla cada 24 das y a Mlaga cada36 das. Si un determinado da coinciden losdos camiones, cuntos das tardarn en vol-ver a coincidir?

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49

48

47

Completa en tu cuaderno las siguientes expre-siones con es divisor o no es divisor:

a) 18 de 54

b) 30 de 210

c) 45 de 90

d) 80

de 242Completa en tu cuaderno las siguientes expre-siones con es mltiplo o no es mltiplo:

a) 60 de 12

b) 135 de 45

c) 200 de 49

d) 300 de 60

Escribe todos los divisores de:

a) 24 b) 40 c) 45 d) 70

Encuentra todos los mltiplos de 24, com-prendidos entre 240 y 384

Halla mentalmente la descomposicin facto-rial de los siguientes nmeros:

a) 10 b) 15 c) 18 d) 24

Calcula la descomposicin factorial de:

a) 252 b) 450 c) 600 d) 1512

De los nmeros siguientes:

320 63 75 420 35 33 840

seala los que son divisibles:

a)Por 2 y por 3b) Por 2 y por 5

c) Por 3 y por 5

Escribe un nmero que sea divisible por 2 ypor 3

Halla el M.C.D. y el m.c.m. de:

a) 240 y 1100

b) 675 y 792

c) 300 y 1200

d) 1260 y 1350

Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de:a) 8, 12 y 20

b) 32, 54 y 90

c) 60, 80 y 120

d) 98, 392 y 441

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| Para ampliar



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Ejercicios y problemas propuestos


Dos barcos salen de un puerto un determina-

do da. El primero vuelve cada 24 das, y elsegundo, cada 36. Cuntos das tardarn envolver a encontrarse por primera vez?

En un taller tienen que hacer piezas de metalcon forma de rectngulo de 12 cm2 de super-ficie. El largo y el ancho deben ser unidadesenteras. Cuntas piezas distintas se puedenhacer?

Alba y Sonia van a ver a su abuela un determi-nado da; a partir de ese da Alba vuelve cada18 das, y Sonia, cada 30. Cuntos das tarda-rn en volver a encontrarse por primera vez?

El equipo de balonmano del centro escolarentrena una de cada 3 tardes y el de ftbol lohace una de cada 2. Coinciden en el centroun martes. Cundo volvern a coincidir sino contamos sbados y domingos?

En una frutera tienen 360 kg de manzanas y455 kg de peras, y las quieren distribuir enbolsas de un nmero entero de kilos e igualpeso. Con cuntos kilos, como mximo,pueden llenar cada bolsa?

Se podran dividir tres varillas de 20 cm, 24 cmy 30 cm en trozos de 4 cm de longitud sin quesobre ni falte nada entre cada varilla? Cul esla mayor longitud en la que podramos dividirlas varillas?

|Para profundizar

Leemos un libro de 12 en 12 pginas, y sobra1 pgina; si lo leemos de 15 en 15, tambinsobra 1 pgina. Calcula el menor nmero depginas que puede tener dicho libro.

Si un nmero es mltiplo de 15, tambin lo

es de 5? Intenta encontrar una regla general.Si un nmero divide a 24, tambin dividir a12? Intenta encontrar una regla general.

Reemplaza la letraA por un dgito para que elnmero 2A8 sea divisible por 3. Encuentratodas las soluciones posibles.

Tenemos tres rollos de tela de 22 m, 32 m y44 m, para hacer vestidos. Queremos cortar-los en trozos que tengan un nmero enterode metros e igual longitud. Cul es la mayorlongitud en que los podemos cortar?

Busca el valor de la letra Bpara que el nme-ro B6 sea divisible por 2. Busca todas las solu-ciones.

Halla el valor de la letra Cpara que el nme-ro 75Csea divisible:

a) Por 2 y por 3

b) Por 3 y por 5

c) Por 2, 3 y 5

Un cometa aparece en la Tierra cada 160 aos,y otro cada 210 aos. Si aparecieron juntos en2008, cundo volvern a hacerlo al mismotiempo por primera vez?

Cunto pueden valer las letrasA y Bparaque el nmeroA3Bsea divisible entre 2?

Busca todos los posibles valores deA para queel nmero 2A sea mltiplo de:

a) 2 y 3

b) 2 y 5

c) 3 y 5

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| Problemas



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412. Divisibilidad

Un problema de todos los das

Debemos desplazarnos una distancia de 1 750 km, y el vehculo que usamos puede recorrer tramos de

450 km sin repostar combustible. Podemos hacer el recorrido en un nmero exacto de tramos?

Puedo comprar con un billete de 20 un nmero exacto de garrafas de 2 cada una?

...

78

77

Busca en Internet criba de Eratstenes.

Escribe el criterio de divisibilidad para saber cundo un nmero es divisible por 3y pon un ejemplo.

Calcula los cuatro primeros mltiplos de 15

Calcula los divisores de: a) 24 b) 45

Escribe los nmeros primos comprendidos entre 10 y 30

Haz la descomposicin factorial de: a) 540 b) 1800

Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de 78 y 108

Alba y Sonia van a ver a su abuela un determinado da; a partir de ese da Alba vuelve cada18 das, y Sonia, cada 30. Cuntos das tardarn en volver a encontrarse por primera vez?

En una tienda disponen de 12 figuritas de cristal y 15 de metal. Desean hacer paquetespara regalar a los clientes, con el mismo nmero de figuras y con la mayor cantidad posi-ble. Cuntos paquetes tienen que hacer y con cuntas figuritas?

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6

5

4

3

2

1

Aplica tus competencias

Compruebaloquesabes



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2. Divisibilidad

PASO A PASO


120SOLUCIN:

a) En la barra de mens, elige

b) Para escribir cada lnea de comentario, eli-ge Comentar. Escribe en un solo blo-que el nmero y el ttulo del tema, el nom-bre de los dos alumnos y Paso a paso. Parapasar de una lnea a la siguiente, sin cam-biar de bloque, pulsa [Intro]

c) Haz clicen Calcular para crear nuevobloque.

d) Elige Comentar y escribe:

Ejercicio 79

e) Pulsa [Intro] para cambiar de lnea dentrodel mismo bloque.

f) Escribe:

factorizar(120)

g) Haz clicen Calcular.

El resto de los ejercicios hazlos de igual forma.Escribe el ttulo de la actividad, ejercicio oproblema, y su nmero. Despus resulvelo.

Halla todos los divisores de 18

SOLUCIN:

Clasifica en primos y compuestos los siguien-tes nmeros:

a) 391 b) 503

SOLUCIN:

Para comprobar si un nmero es primo o com-puesto, se hallan todos sus divisores; si tienedos divisores, el 1 y el mismo nmero, es pri-mo; si adems hay ms divisores, es compuesto.

Halla el M.C.D. y el m.c.m. de 80 y 140

SOLUCIN:

Plantea el siguiente problema y resulvelo con ayudade Wiris:

Dos barcos salen de un puerto un determina-do da. El primero vuelve cada 24 das, y elsegundo, cada 36. Cuntos das tardarn envolver a encontrarse por primera vez?

SOLUCIN:

Internet.Abre la web: www.editorial-bru-no.es y elige Matemticas, curso y tema.

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432. Divisibilidad


a) 600b) 1072c) 888

d) 756

Halla todos los divisores de:

a) 36b) 48c) 64d) 96

Clasifica en primos y compuestos los siguien-tes nmeros:

a) 827 b) 2231c) 2431 d) 3457

Halla el M.C.D. y el m.c.m. de:

a) 120 y 260b) 450 y 850c) 230, 322 y 368d) 240, 600 y 960

Plantea los siguientes problemas y resulvelos conayuda de Wiris:

Alba y Sonia van a ver a su abuela un determi-nado da; a partir de ese da Alba vuelve cada18 das, y Sonia, cada 30. Cuntos das tarda-

rn en volver a encontrarse por primera vez?En una frutera tienen 360 kg de manzanas y455 kg de peras, y las quieren distribuir enbolsas de un nmero entero de kilos e igualpeso. Con cuntos kilos, como mximo,pueden llenar cada bolsa?

Leemos un libro de 12 en 12 pginas y sobra1 pgina; si lo leemos de 15 en 15, tambinsobra 1 pgina. Calcula el menor nmero depginas que puede tener dicho libro.

Tenemos tres rollos de tela de 22 m, 32 m y

44 m, para hacer vestidos. Queremos cortar-los en trozos que tengan un nmero enterode metros e igual longitud. Cul es la mayorlongitud en que los podemos cortar?

Un cometa se ve en la Tierra cada 160 aos, yotro, cada 210 aos. Si aparecieron juntos en2008, cundo volvern a hacerlo al mismotiempo por primera vez?

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Funciones de divisibilidad

factorizar(a)

Calcula la descomposicin factorial de adivisores(a) Calcula todos los divisores de amcd(a, b) Calcula el M.C.D. de a, bmcm(a, b) Calcula el m.c.m. de a, b

PRACTICA

AS FUNCIONA

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Criterios de Divisibilidad

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