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Cuando observamos edificios, terrenos, las hojas de un libro, la pizarra, la ventana denuestro colegio, una cancha de futbol nos encontramos con figuras de 4 lados a los quellamamos cuadriláteros.
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CCCUUUAAADDDRRRIIILLLAAATTTEEERRROOOSSS
DEFINICIÓN :Se denomina cuadrilátero a una región delplano limitada por cuatro segmentosrectilíneos que tienen dos a dos un extremocomún.
ELEMENTOS DE UN CUADRILATERO
Los elementos de un cuadrilátero son:
Lados AB , BC , CD Y DASon los segmentos rectilíneos que lo
limitan.Los lados que no tienen ningún vérticecomún reciben el nombre de ladosopuestos.
Así:AB y CD , BC y DA son lados
opuestos.
Vértices (A, B, C y D)Son las intersecciones de dos ladosconsecutivos.En todo cuadrilátero, el número de lados esigual al número de vértices.
Angulos interiores (a1, a2 a3, y a4)Son los ángulos formados por dos ladosconsecutivos.La suma de ángulos interiores en uncuadrilátero es igual a 360°.
(a1 + a2 + a3 + a4 ) = 360°
Angulos Exteriores (B1, B2 B3, y B4 )Son los ángulos formados en un vértice porun lado y la prolongación del ladoconsecutivo.Los ángulos exteriores son adyacentes a losinteriores.
La suma de ángulos exteriores en uncuadrilátero es igual al 360°.
( B1 + B2 + B3 + B4 = 360°)
Diagonales AC y BDSon los segmentos de recta que unen dosvértices no consecutivos.
CLASIFICACIÓN
A. PARALELOGRAMOS
CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADESDE LOS PARALELOGRAMOS.
Los paralelogramos son cuadriláterosque tienen sus lados opuestosparalelos.
a) ParalelogramoParalelogramo o romboide: Es aquelque tiene sus ángulos y sus ladosopuestos iguales dos a dos.
Propiedades:
I. Los ángulos opuestos son iguales ylos ángulos adyacentes a un mismolado son suplementarios.
A = C B + C = 180°
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II. Los lados opuestos son iguales.
AB = CD AD = BC
III. Los diagonales se cortanmutuamente en partes iguales.
AO = OC BO = OD
b. RectánguloEs un paralelogramo que tiene suscuatro ángulos iguales y rectos, y suslados opuestos iguales dos a dos.
Propiedades
1. Los ángulos de un rectángulo soniguales.
A = B = C = D = 90°
2. Las diagonales son iguales.
AC = BD
Se cumple también las propiedadesI, II, III del paralelogramo.
c. RomboEs un paralelogramo que tiene suscuatro lados iguales y sus ángulosopuestos iguales dos a dos.
AB = BC = CD = AD
Se cumple las mismas propiedades elparalelogramo.
d) CuadradoTiene sus 4 lados iguales y ángulosiguales y rectos.
Propiedades
1. Los ángulos opuestos son iguales ysus ángulos adyacentes sonsuplementarios y cada uno mide90°.
A = B = C = D = 90°
2. Los diagonales son iguales.
AB =CD = AD = BC
3. Las diagonales son iguales.
AC = BD
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B. TRAPECIOS
Definiciones en el Trapecio
a. Mediana del TrapecioEs el segmento que une los puntosmedios de los lados no paralelos.Se le conoce también como “basemedia”.
b. Altura del TrapecioEs la distancia que existe entre lasdos bases.En el trapecio mostrado se tiene :
Clasificación de los Trapecios
Se distingue tres clases de trapecios:
a. RectangularEs aquel que tiene dos ángulosrectos. Uno de los lados noparalelos es perpendicular a lasbases.
b. IsóscelesEs aquel que tiene sus lados noparalelos iguales.
Propiedades
- Los lados no paralelos son iguales.
- Los ángulos adyacentes a unamisma base son iguales.
- Los ángulos opuestos sonsuplementarios.
DH = IC =2
bB
c. EscalenoEs aquel que tiene sus lados no
paralelos desiguales.
AB CD
“ L a M a t e m á t i c a t i e n ec o m o o j o s a l a g e o m e t r í ay l a t r i g o n o m e t r í a , c o m oc e r e b r o a l á l g e b r a yc o m o c o r a z ó n a l aa r i t m é t i c a ” .
AD = BC
DCBA ˆˆ;ˆˆ
180ˆˆˆˆ CADB
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Propiedades del Trapecio
- Mediana del TrapecioLa mediana de un trapecio es igual a lasemisuma de sus bases.
- Segmento que une los puntosmedios de las diagonales.
Es todo trapecio, el segmento de rectaque une los puntos medios de lasdiagonales es igual a la semidiferenciade las bases.
TRAPEZOIDES
Trapezoides son los cuadriláteros que notienen ningún lado paralelo al otro.
Clasificación y Propiedades de losTrapezoides
a. Simétrico:Es aquel en el que una de susdiagonales es mediatriz de la otra.
Ejemplos :
1. ABC es un paralelogramo, AC = 12mCD = 8m, hallar BC
Resolución :
Como BC = AD
Hallamos AD
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CONSTRUYENDO
MIS CONOCIMIENTOS
Teorema de Pitágoras
AD = 12 2 – 82
AD = 64144 AD = 5480
BC = 54
2. De las siguientes figuras determinarcuales son cuadriláteros
Son cuadriláteros
a , b , y d
3. El trapecio
Se llama: Isóceles
4. Como son las diagonales de un rombo.
Rpta. Son perpendiculares y bisectrices.
CUADRILÁTEROS
1. Grafica 4 cuadriláteros y 2 figuras queno son cuadriláteros.
2. ¿Cuántas diagonales se pueden trazaren un cuadrilátero?
3. Coloca (V) o (F) en :
a) Todo trapezoide es un cuadrilátero ( )
b) Todo cuadrado es un rectángulo. ( )
c) Un trapecio isósceles es unparalelogramo ( )
d) Todo cuadrado es un rombo ( )
4. Hallar z en:
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ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Un romboide puede ser equilátero oequiángulo.
2. Grafique un cuadrillátero no convexo ytraze sus diagonales.
3. ¿Cuánto suman los ángulos exterioresde un cuadrilátero?
4. ¿Porqué se llama trapezoide simétrico?
5. En todo cuadrilátero al unir los puntosmedios de sus lados que figura seforma?
6. ¿Cómo son los diagonales de unrombo?
7. Los cuadriláteros pueden serequiláteros.
8. Define lo que es una diagonal.
9. Grafica polígonos regulares.
CUADRILATERO II
Ejemplos
1. En un paralelogramo ABCD
A = 3x + 30°B = 13x – 10°
Hallar “x”
Resolución :
Por propiedad
3x + 30 + 13x – 10 = 180°
16 x = 160°
x = 10°
2. En un trapecio el segmento que unelos puntos medios de las diagonales es13cm. Y la suma de la base es 48 cm.Hallar la longitud de la base menor.
Resolución :
a + b = 48
Además :
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13 =2
ba
a – b = 26
a + b = 48a – b = 26
2a = 74
a = 37
Calculamos la base menor
b = 48 – a
b = 48 – 37
b = 11
3. Hallar en :
Resolución :
2y + 2z + 3x = 360°
2 (y + z) + 3 = 360°
2 + 3 = 360°
= 72°
4. Hallar “x” en :
x =2
12 bb
x = 6
TE RETO5. Hallar la distancia de C a L en :
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REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
1. En la figura MN = NC = BCHallar “x”
a) 80° b) 75° c) 90°d) 60° e) 85°
2. En la siguiente figura AB BC yAB = BC. Hallar AD si BH = 10 m.
a) 18m b) 25m c) 15md) 16m e) 20m
3. En el trapecio ABCD, AE = 2EB EF //BC . Hallar EF sabiendo que BC =5cm y AD = 14 cm.
a) 9 cm b) 10 cm c) 6cmd) 8 cm e) 7, 5
4. Si sumamos las longitudes de lasbases y la mediana de un trapecioobtenemos 24 cm. ¿Cuál es la longitudde la mediana?
a) 6 cm b) 8 cm c) 10 cmd) 9 cm e) n.a
5. El segmento de mediana comprendidoentre las diagonales de un trapeciomide 30 cm. Calcular la longitud detoda la mediana sabiendo que la bsemayor mide el cuádruple de la basemenor.
a) 40 cm b) 48 cm c) 50 cmd) 24 cm e) 100 cm
6. Calcular z NF // MS .
a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) n.a
7. El perímetro de un rombo es 80 m. yuno de sus ángulos agudos mide 60°¿Cuál es la diferencia entre la diagonalmayor y la diagonal menor.
8. Hallar “P” NR // MS .
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e)n.a
9. Las bases de un trapecio isóscelesmiden 8 y 14 m y la altura 4m ¿Cuántomiden los lados no paralelos?
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
10. La mediana de un trapecio mide 8 cmy el segmento determinado por lospuntos medios de las diagonales mide2cm ¿Cuánto miden las bases deltrapecio?
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1. PROYECCIÓN
a) Proyección de un puntoLa proyección ortogonal de unpunto M, sobre una recta L, es elpie de la perpendicular trazadadesde M a L.
b) Proyección de un segmento
La proyección del segmento MN
sobre la recta es el segmento´´NM cuyos extremos son las
proyecciones de los extremos M y N
sobre L .
2. DEFINICIÓN
Se llama Relación métrica entre variossegmentos a la relación que existeentre sus medidas con respecto a unamisma unidad.
3. TEOREMAS
Si en un triángulo rectángulo MNR,recto en N, se traza la altura NHcorrespondiente a la hipotenusa MRresultan:
a) La altura correspondiente a lahipotenusa es media proporcionalentre los segmentos de lahipotenusa.
b) La altura correspondiente a lahipotenusa es cuarta proporcionalentre la hipotenusa y los catetos.
c) Cada cateto es media proporcionalentre la hipotenusa y su proyecciónsobre ella.
Z 2 = xy
r 2 = n.x m 2 = n.y
n.z = r.m
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d) La inversa del cuadrado de la alturarelativa a la hipotenusa es igual a lasuma de las inversas de loscuadrados de los catetos.
e) Teorema de Pitágoras:
Ejemplos :
1. La proyección ´´BA de un segmentoAB sobre una recta mide 105 cm y lossegmentos ´AA y ´BB miden 24 cm y60 cm respectivamente. Halla la longituddel segmento AB .
Resolución :
Z2 = 362 + 1052 Z = 111 cm
2. La proyección de un segmento sobreuna recta puede ser un punto.
Resolución :
Si es verdadero
3. La proyección de un segmento ABsobre una recta es menor o igual queAB .
Resolución :
Si es verdadero4. TE RETO. Hallar m
DEMOSTRAR LOS TEOREMAS A – B – C –D
2
1
Z =
22
11
rm
n2 = r2 + m2
