Yaiza Soria Madrid

3º ESO A

Descubriendo los cuerpos geometricos

1. Los poliedros y sus clases

Un poliedro es una porción de espacio limitada por polígonos planos.

Están formados por caras (que son los polígonos que lo limitan),

aristas (que son los lados de las caras) y por vértices (donde

concurren tres o más caras).

Partes de un poliedro

2. Clasificación de los poliedros

Convexo: es aquel en el que podemos apoyar todas sus caras en

un plano.

Regulares: cuando sus caras son polígonos regulares idénticos y

cuando en cada vértice concurren el mismo número de caras. Los

poliedros regulares son el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el

dodecaedro y el icosaedro.

Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Irregulares: son aquellos poliedros en que sus caras no son

poligonos iguales.

Cóncavo: es aquel en el que no podemos apoyar todas sus caras

en un plano.

Regulares estrellados: son aquellos poliedros que tienen forma

de estrella.

No regulares: son aquellos poliedros en que sus caras son

desiguales.

3. Fórmula de Euler y principio de Cavalieri

Fórmula de Euler

Euler, un matemático, demostró la relación que tienen del número de

caras, el número de vértices y el número de aristas de un poliedro no

anular. Un poliedro no anular es el que no forma un anillo ninguna de

sus caras ni de sus aristas. A estos poliedros se les llama eulerianos.

Principio de Cavalieri

El principio de Cavalieri es una ley geométrica que dice que si dos

cuerpos tienen la misma altura y las bases tienen la misma área, al

cortarlos por cualquier plano paralelo a las bases de el área los dos

tienen el mismo volumen.

4. Áreas de los poliedros y cuerpos redondos

Prisma

Área lateral = Producto del perímetro de la

base por la altura.

AL = p . h

Área Total = Área lateral más el área de las

dos bases.

AT = AL + 2 · Área de la base

Desarrollo plano de un

prisma

Piràmide

Área lateral = Producto del perímetro

de la base por la apotema de la

pirámide, partido todo por dos.

AL =  

Área total = Área lateral + Área de la

base

AT = AL + AB

Cilindro

Área lateral  = Longitud de la circunferencia base

por la generatriz.

AL = 2· pi· r · g

Área total = Área lateral más el área de las dos

bases.

AT = 2· · r (g + r)

Desarrollo plano de un

cilindro

Desarrollo

plano de una

pirámide

Cono

Área lateral =  Producto del radio por la

generatriz y por pi.

AL = pi . r . g

Área Total = Área lateral más el área de la base.

AT = pi . r . (g + r)

Desarrollo plano de un

cono

5. Volumenes

Ortoedro

Volumen = a · b · c

Prisma

Volumen = Área de la base por su altura

V = AB · h

Piràmide

Volumen = Un tercio del  área de la base por

altura

                                                           V  =

Cono

Volumen = Un tercio del área de la base por la

altura.

  V=   

6. La esfera

Los elementos de la esfera son:

- El centro: es el centro del círculo.

- El radio: cualquier segmento que une el centro con cualquier

punto de la superficie.

- El diámetro: cualquier cuerda que pasa por el centro.

- La cuerda: segmento que une dos puntos de la superficie.

- Los polos: son los puntos de intersección del eje de giro con la

superficie esférica.

Área de la esfera es: 4.3’14.radio al cuadrado.

Volumen de la esfera es: 1/3.3’14.radio al cubo.

7. L ista de objetos cotidianos

Ortoedro: una caja de zapatos, la torre del ordenador, un tetrabric

de leche o de zumo...

Prisma: un móbil, un pote para lápices…

Piramide: las pirámides de Egipto, piramide alimentaria, el tejado

de una casa, una montaña…

Cono: gorro de payaso, el sombrero de irse a dormir, el cucurucho de

un helado…

Cilindro: tubo de escape de un vehículo, lata de un refresco, un

bote de spray, una vela

Esfera: una pelota, una cabeza, la tierra, el casco de un

astronauta…

8. Actividad

1. En la figura siguiente tienes dibujados algunos cuerpos

a. ¿Qué características comunes ves a todos ellos?

Que todos tienen caras planas, por lo tanto son poliedros. Y todos tienen una base donde se apoyan.

b. Piensa objetos reales en los que aparezcan poliedros.

2. Observa los siguientes poliedros.

Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?. Sin embargo, los otros dos sí.

El segundo y el ultimo

3. En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos.

a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos?El vértice es el punto donde se juntas dos aristasb.   ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro?Tiene 4 vértices y 6 aristasc. ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como

mínimo?Dosd.   ¿Cuánto pueden sumar los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice como máximo?

4. En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla.

¿Encuentras alguna relación entre C, V y A? Inténtalo con otros poliedros.

 

Poliedro

Nº de caras (C)

Nº de vértices (V)

Nª de aristas

(A)

(1) 5 5 8

(2) 7 10 15

(3) 12 10 16

(4) 9 13 10

5. En la tabla siguiente se dan algunos datos de poliedros convexos. Complétala e intenta dibujar alguno de ellos.

Poliedro

C V A

1 4   6

2   8 12

3 5 6  

6.Un poliedro tiene 7 caras. Cuatro de ellas son pentágonos y tres cuadriláteros.

¿Cuántas aristas tiene?

¿Cuántos vértices tiene?

7. Un poliedro tiene dos caras hexagonales y todas las demás son triángulos. Llamamos t al número de caras triangulares.a) Escribe una expresión para el número de aristas del poliedro.b) Usa la fórmula de Euler para una expresión del número de vértices.

Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer:

¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro? ¿Y el plano diagonal?

Diagonal: es el segmento que une dos vértices

Plano diagonal: es el plano que forman las diagonales

¿Cuál es el número de diagonales y de planos diagonales del poliedro anterior?

8. Explica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas:

- El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4. Falsa, son cuatro.- Las caras de un poliedro son todas iguales. Falsa, pueden ser o más grandes o más pequeñas depende del poliedro, un prisma tiene las caras iguales dos a dos. - Hay poliedros con tres caras. Falsa, como mínimo tiene qeu tener cuatro caras.- En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas. Si.- Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos. Si.- Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5

vértices. Si.- El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3. Si.- El cilindro es un poliedro. Si.