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Carátula de Trabajo
Aplicación del teorema de Green para el cálculo de áreas Título del trabajo de linea Pseudónimo de integrantes
Matemáticas Área Externa Categoría Desarrollo Tecnológico Modalidad
7787227 Folio de Inscripción
1
Título del trabajo
Aplicación del teorema de Green para el cálculo de áreas.
Resumen
El trabajo consiste en la aplicación del teorema de Green para el cálculo de áreas con
contorno irregular. Se describen brevemente los conceptos relacionados al uso de este
teorema, la rutina para llevar a cabo su aplicación en Geogebra y la aplicación en diversas
figuras.
Si bien el trabajo se llevó a cabo principalmente en nuestra escuela, la concepción del
mismo y parte de las ideas fundamentales provienen de nuestro asesor externo de la
Facultad de Ciencias, quien muy gentilmente nos animó a llevar a cabo este proyecto.
2
Introducción
Marco teórico
En esta sección del trabajo se mencionará de manera breve sólo los conceptos necesarios
sobre los cuales fundamentamos nuestro trabajo.
Derivada
La derivada de una función es
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Ejemplo 1. Calcular el valor de la siguiente derivada.
𝑑
𝑑𝑥[9𝑥3 + 5𝑥−2] = 27𝑥2 − 10𝑥−3
Derivadas parciales
Para el caso de una función de dos variables, sus derivadas parciales pueden definirse como
(Stewart, 2008)
𝜕𝑓
𝜕𝑦= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
𝜕𝑓
𝜕𝑥= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
De manera práctica podemos decir que, para obtener la derivada parcial de la función con
respecto a una de sus variables, se considera la otra variable como una constante y se deriva
la función con respecto a la variable de interés, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2. Obtener las derivadas parciales de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦2 + 3𝑥3𝑦.
𝜕𝑓
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥[4𝑥𝑦2 + 3𝑥3𝑦] = 4𝑦2 + 9𝑥2𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑦[4𝑥𝑦2 + 3𝑥3𝑦] = 8𝑥𝑦 + 3𝑥3
3
Suma de Riemann
Es una suma de términos que se puede escribir como (Thomas, Cálculo. Una variable, 2006)
∑𝑓(𝑐𝑘)Δ𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
En donde
• Δ𝑥𝑘 es la longitud de la división 𝑘 de un intervalo.
• 𝑓(𝑐𝑘) es el valor de la función en un valor 𝑐𝑘 perteneciente a la división 𝑘 del intervalo.
Para una función de una variable, la suma de Riemann se puede interpretar como la suma del
área de rectángulos cuya base es Δ𝑥𝑘 y cuya altura es 𝑓(𝑐𝑘) como se muestra en la figura 1
izquierda.
Figura 1. En la imagen izquierda se parecía la representación gráfica de una suma de Riemann con cinco términos. En la
imagen derecha se muestra la representación gráfica de la integral definida de una función.
Integral definida
La integral definida en el intervalo [𝑎, 𝑏] es el valor límite de las sumas de Riemann, es decir
que puede escribirse (Thomas, Cálculo. Una variable, 2006)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= lim𝑛→∞
∑𝑓(𝑐𝑘)Δ𝑥
𝑛
𝑖=1
Para una función de una variable, puede interpretarse la integral definida como el área entre el
eje de las abscisas y la región debajo la gráfica de la función en el intervalo [𝑎, 𝑏], como se
muestra en la figura 1 derecha.
4
Por el teorema fundamental del cálculo, se sabe que el valor de la integral definida se puede
obtener mediante
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
En donde 𝐹 es una antiderivada de la función 𝑓.
Ejemplo 3. A continuación se muestra cómo obtener el valor de la integral ∫ sin(𝑥) cos(𝑥)𝜋
40
𝑑𝑥 y
su representación gráfica.
∫ sin(𝑥) cos(𝑥)
𝜋4
0
𝑑𝑥 = [sin2(𝑥)
2]0
𝜋4
=1
4− 0 =
1
4
Integral doble en regiones rectangulares
En el caso de una región rectangular en el plano 𝑅 = {(𝑥, 𝑦), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}, la integral
doble de la función 𝑓 continua es
∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
= lim𝑘→∞
∑𝑓(𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘
∗)
𝑛
𝑖=1
Δ𝑥𝑘Δ𝑦𝑘
Puede interpretarse el valor de esta integral como valor límite de la suma de pequeños
prismas rectangulares rectos de base Δ𝑥𝑘Δ𝑦𝑘 y altura 𝑓(𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘
∗), en donde (𝑥𝑘∗ , 𝑦𝑘
∗) es un punto
dentro de la base del prisma, o bien como el volumen del sólido arriba de la región 𝑅 y debajo
de la función 𝑓(𝑥, 𝑦).
Ejemplo 4. Calcular el valor de la integral doble de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 − 2𝑥2 en la región
𝑅 = {(𝑥, 𝑦), 1 ≤ 𝑥 ≤ 3,0 ≤ 𝑦 ≤ 2}.
5
∬𝑦2 − 2𝑥2𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 𝑦2 − 2𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑥2
0
3
1
= ∫ [𝑦3
3− 2𝑥2𝑦]
3
1 0
2
𝑑𝑥 = ∫23
3− 2𝑥2(2) − 0
3
1
𝑑𝑥
= ∫8
3− 4𝑥2
3
1
𝑑𝑥 = [8
3𝑥 −
4
3𝑥3]
1
3
=8
3(3) −
4
3(3)3 − (
8
3(1) −
4
3(1)3) = −
88
3
Integral doble en regiones no rectangulares
Cuando la región sobre la cual se quiere calcular la integral no es un rectángulo, podemos
distinguir dos tipos de regiones (Stewart, 2008) como se muestra en la tabla 1.
Tabla 1. Dos tipos de regiones para integrales dobles.
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}
En este caso el valor de la integral se puede
obtener como
∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 =
𝑅
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑔(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑓(𝑦), 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}
En este caso el valor de la integral se puede
obtener como
∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 =
𝑅
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑓(𝑦)
𝑔(𝑦)
𝑑
𝑐
𝑑𝑦
Ejemplo 5. Para la región limitada entre 𝑥 = 𝑦3 y 𝑥 = 𝑦2 encontrar el valor de ∬ 2𝑥 + 𝑦2𝑑𝐴𝑅
La región de integración se muestra a continuación
6
El valor de la integral es
∬2𝑥 + 𝑦2𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 2𝑥 + 𝑦2𝑑𝑥𝑦2
𝑦3
1
0
𝑑𝑦
= ∫ [𝑥2 + 𝑦2𝑥]𝑦3𝑦2
1
0
𝑑𝑦
= ∫ 𝑦4 + 𝑦2𝑦2 − (𝑦6 + 𝑦2𝑦3)1
0
𝑑𝑦 =
= ∫ 2𝑦4 − 𝑦6 − 𝑦51
0
𝑑𝑦
= [2
5𝑦5 −
1
7𝑦7 −
1
6𝑦6]
0
1
=2
5−1
7−1
6
=19
210
Cálculo de áreas a través de integrales dobles
Cuando la función a integrar en una integral doble es 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1, entonces su integral de línea
∬ 1𝑑𝐴𝑅
corresponde al volumen de un cilindro con base 𝑅 y altura uno, por lo cual el valor
numérico de la integral corresponde al área de la región 𝑅.
Campo vectorial
Un campo vectorial es una función que asigna un vector a cada punto de su dominio. Un
campo vectorial en el plano puede expresarse como
𝐹 = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝒊 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝒋
Ejemplo 6. Tomando en cuenta el campo vectorial 𝐹 = −𝑦𝒊 + 𝑥𝒋 podemos considerar algunos
de sus valores en el plano como se muestra en la siguiente tabla y en la figura 2.
7
Punto Vector (valor del campo vectorial)
(0,0) < 0,0 >
(0,1) < −1,0 >
(0,2) < −2,0 >
(1,0) < 0,1 >
(2,0) < 0,2 >
Figura 2. Valores de un campo vectorial y su representación gráfica.
Integral de línea
Si 𝑓 está definida sobre una curva 𝐶 dada en forma paramétrica por 𝑟(𝑡) = (𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)), en
donde 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, entonces la integral de línea de 𝑓 sobre 𝐶 es
∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠𝐶
= ∫ 𝑓(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))√𝑔′(𝑡)2 + ℎ′(𝑡)2𝑑𝑡𝑏
𝑎
= lim𝑛→∞
∑𝑓(𝑥𝑖∗, 𝑦𝑖
∗)
𝑛
𝑖=1
Δ𝑠𝑖
En donde Δ𝑠𝑖 es una subdivisión de la curva y (𝑥𝑖∗, 𝑦𝑖
∗) es un punto dentro de la subdivisión Δ𝑠𝑖,
sobreentendiendo que el tamaño de las particiones de la curva tiende a cero cuando 𝑛 → ∞.
Cabe mencionar que una trayectoria es cerrada si su punto de inicio coincide con su punto
final y que una trayectoria es simple si no se cruza a si misma.
Ejemplo 7. Para la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦4, obtener su integral de línea sobre la trayectoria
𝑟(𝑡) = (4 cos(𝑡) , 4 sin(𝑡)) en el intervalo 3𝜋
2≤ 𝑡 ≤
5𝜋
2.
En este caso tenemos
8
∫𝑥𝑦4𝑑𝑠𝐶
= ∫ 4 cos(𝑡) [4 sin(𝑡)]4√[−4 sin(𝑡)]2 + [4cos(𝑡)]2𝑑𝑡
5𝜋2
3𝜋2
=
= ∫ 4 cos(𝑡) [256 sin4(𝑡)]√16 sin2(𝑡) + 16 cos2(𝑡) 𝑑𝑡
5𝜋2
3𝜋2
= ∫ 1024 cos(𝑡) sin4(𝑡)√16[sin2(𝑡) + cos2(𝑡)]𝑑𝑡
5𝜋2
3𝜋2
= 1024∫ cos(𝑡) sin4(𝑡)√16[1]𝑑𝑡
5𝜋2
3𝜋2
= 1024 × 4∫ cos(𝑡) sin4(𝑡) 𝑑𝑡
5𝜋2
3𝜋2
= 4096 [sin5(𝑡)
5]3𝜋2
5𝜋2
= 4096 [1
5− (−
1
5)] =
8192
5
Integral de línea respecto a los ejes
Si 𝑓 está definida sobre una curva 𝐶 dada en forma paramétrica por 𝑟(𝑡) = (𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)), en
donde 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, entonces las integrales de línea de 𝑓 sobre 𝐶 con respecto a 𝑥 y a 𝑦 se
definen como
∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝐶
= ∫ 𝑓(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))𝑔′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
= lim𝑛→∞
∑𝑓(𝑥𝑖∗, 𝑦𝑖
∗)
𝑛
𝑖=1
Δ𝑥𝑖
∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝐶
= ∫ 𝑓(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))ℎ′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
= lim𝑛→∞
∑𝑓(𝑥𝑖∗, 𝑦𝑖
∗)
𝑛
𝑖=1
Δ𝑦𝑖
Ejemplo 8. Obtener el valor de la siguiente integral
∫𝑥2𝑦3 − 𝑥12𝑑𝑦
𝐶
En donde 𝐶 es la trayectoria 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑡1
2) en donde 1 ≤ 𝑡 ≤ 4.
En este caso tenemos
9
∫𝑥2𝑦3 − 𝑥12𝑑𝑦
𝐶
= ∫ [(𝑡)2 (𝑡12)
3
− (𝑡)12]
4
1
(1
2𝑡−
12) 𝑑𝑡 = ∫ (𝑡
72 − 𝑡
12) (
1
2𝑡−
12) 𝑑𝑡
4
1
= ∫ (1
2𝑡3 −
1
2)𝑑𝑡
4
1
= [1
2
𝑡4
4−𝑡
2]1
4
= 30 − (−3
8) =
243
8
Teorema de Green
Este teorema establece la siguiente igualdad1 entre una integral de línea y una integral doble,
aplicadas a un campo vectorial 𝐹 = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝒊 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝒋, en el caso en cual la trayectoria 𝐶 =
(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)) de la integral de línea es una trayectoria cerrada simple que se recorre en seinto
antihorario y encierra una región 𝑅
∫𝑃(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))𝑔′(𝑡)𝑑𝑡𝐶
+∫𝑄(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))ℎ′(𝑡)𝑑𝑡𝐶
=∬(𝜕𝑄
𝜕𝑥−𝜕𝑃
𝜕𝑦)
𝑅
𝑑𝐴
Ejemplo 9. Para el campo vectorial 𝐹 = (𝑥 − 𝑦)𝒊 + (𝑥 + 𝑦)𝒋, verificar el teorema de Green
cuando la trayectoria es una circunferencia centrada en el origen de radio 2.
En este caso, la trayectoria sobre la cual se hace la integral de línea se puede escribir como
𝑟(𝑡) = (2 cos(𝑡) , 2sin(𝑡))
En donde 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
Calculamos las integrales de línea necesarias2. El valor de la primera es
1 La notación encontrada en algunos libros es
∫𝑃𝑑𝑥𝐶
+∫𝑄𝑑𝑦𝐶
= ∬(𝜕𝑄
𝜕𝑥−𝜕𝑃
𝜕𝑦)
𝑅
𝑑𝐴
2 Utilizamos el hecho de que
∫sin2(𝑡) 𝑑𝑡 =𝑡
2−cos(𝑡) sin(𝑡)
2+ 𝐶
∫cos2(𝑡) 𝑑𝑡 =𝑡
2+cos(𝑡) sin(𝑡)
2+ 𝐶
10
∫𝑃(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))𝑔′(𝑡)𝑑𝑡𝐶
= ∫ (2 cos(𝑡) − 2 sin(𝑡)) (−2 sin(𝑡))𝑑𝑡2𝜋
0
= ∫ (−4cos(𝑡) sin(𝑡) + 4 sin2(𝑡))𝑑𝑡2𝜋
0
= 4∫ (−cos(𝑡) sin(𝑡) + sin2(𝑡))𝑑𝑡2𝜋
0
= 4 [cos2(𝑡)
2+𝑡
2−cos(𝑡) sin(𝑡)
2]0
2𝜋
= 4 [𝜋 +1
2−1
2] = 4𝜋
Mientras que el valor de la segunda es
∫𝑄(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))ℎ′(𝑡)𝑑𝑡𝐶
= ∫ (2 cos(𝑡) + 2 sin(𝑡))(2cos(𝑡))𝑑𝑡2𝜋
0
= ∫ 4 cos2(𝑡) + 4 sin(t) cos(𝑡) 𝑑𝑡2𝜋
0
= 4∫ (cos(𝑡) sin(𝑡) + sin2(𝑡))𝑑𝑡2𝜋
0
= 4 [sin2(𝑡)
2+𝑡
2+cos(𝑡) sin(𝑡)
2]0
2𝜋
= 4[𝜋 − 0]
= 4𝜋
Ahora obtenemos el valor de la integral doble y observaremos una simplificación pues
∬(𝜕𝑄
𝜕𝑥−𝜕𝑃
𝜕𝑦)
𝑅
𝑑𝐴 =∬(𝜕
𝜕𝑥[𝑥 + 𝑦] −
𝜕
𝜕𝑦[𝑥 − 𝑦])
𝑅
𝑑𝐴 =∬1 − (−1)
𝑅
𝑑𝐴 =∬2
𝑅
𝑑𝐴 = 2∬1
𝑅
𝑑𝐴
En este caso, la integral doble se reduce a la integral doble de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 y en
consecuencia corresponde al área de la región que es justamente el área del círculo, por lo
cual podremos escribir
∬(𝜕𝑄
𝜕𝑥−𝜕𝑃
𝜕𝑦)
𝑅
𝑑𝐴 = 2∬1
𝑅
𝑑𝐴 = 2(𝜋22) = 8𝜋
Con lo cual se verifica el teorema de Green.
Aplicación del teorema de Green al cálculo de áreas
En la integral doble del teorema de Green, si la resta de derivadas parciales es uno, entonces
tendremos ∬ 1𝑑𝐴𝑅
y la integral doble será igual al valor numérico del área de la región, con lo
cual podremos calcular áreas de regiones a través de integrales de línea.
11
Una posibilidad de que esto suceda se tiene cuando el campo vectorial es 𝐹 = −1
2𝑦𝒊 +
1
2𝑥𝒋,
pues en este caso
𝜕𝑄
𝜕𝑥−𝜕𝑃
𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑥[1
2𝑥] −
𝜕
𝜕𝑦[−
1
2𝑦] =
1
2+1
2= 1
Así pues, considerando este campo vectorial, el teorema de Green queda expresado como
∫𝑃(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))𝑔′(𝑡)𝑑𝑡𝐶
+∫𝑄(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))ℎ′(𝑡)𝑑𝑡𝐶
= ∬(𝜕𝑄
𝜕𝑥−𝜕𝑃
𝜕𝑦)
𝑅
𝑑𝐴 =∬1
𝑅
𝑑𝐴 = 𝐴
Si la trayectoria es 𝑟(𝑡) = (𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)), entonces podremos escribir el área de la región como
𝐴 = ∫ −1
2𝐶
ℎ(𝑡)𝑔′(𝑡)𝑑𝑡 + ∫1
2𝑔(𝑡)ℎ′(𝑡)𝑑𝑡
𝐶
O bien como ambas integrales tienen los mismos límites de integración
𝐴 = ∫ −1
2𝐶
ℎ(𝑡)𝑔′(𝑡) +1
2𝑔(𝑡)ℎ′(𝑡)𝑑𝑡 =
1
2∫𝑔(𝑡)ℎ′(𝑡) −𝐶
ℎ(𝑡)𝑔′(𝑡)𝑑𝑡
Ejemplo 10. Calcular el área de un círculo de radio tres a través de una integral de línea.
En este caso, la trayectoria es 𝑟(𝑡) = (3 cos(𝑡) , 3sin(𝑡)) en donde 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, así que el área
sería
𝐴 =1
2∫ 3 cos(𝑡) (3cos(𝑡)) − 3 sin(𝑡) (−3 sin(𝑡))𝑑𝑡
2𝜋
0
=1
2∫ 9 cos2(𝑡) + 9 sin2(𝑡) 𝑑𝑡
2𝜋
0
=1
2∫ 9[cos2(𝑡) + sin2(𝑡)]𝑑𝑡
2𝜋
0
=9
2∫ 1𝑑𝑡
2𝜋
0
=9
2[𝑡]0
2𝜋 =9
2(2𝜋 − 0) = 9𝜋
Aproximación al área de una región mediante una integral de línea
Retomando la expresión para el cálculo del área de una región 𝑅 en términos de la integral de
línea, observamos que podemos escribir
𝐴 =1
2∫𝑔(𝑡)ℎ′(𝑡) −𝐶
ℎ(𝑡)𝑔′(𝑡)𝑑𝑡 =1
2[∫𝑔(𝑡)ℎ′(𝑡)𝑑𝑡
𝐶
−∫ℎ(𝑡)𝑔′(𝑡)𝑑𝑡𝐶
]
12
O bien, considerando el intervalo de variación del parámetro de la trayectoria, es decir
considerando que 𝑟(𝑡) = (𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)) en donde 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 podemos escribir
𝐴 =1
2[∫ 𝑔(𝑡)ℎ′(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
+∫ ℎ(𝑡)𝑔′(𝑡)𝑑𝑡𝑏
𝑎
]
Observando que si definimos 𝑦 = ℎ(𝑡) y 𝑥 = 𝑔(𝑡), entonces 𝑑𝑦 = ℎ′(𝑡)𝑑𝑡 y 𝑑𝑥 = 𝑔′(𝑡)𝑑𝑡,
podremos reescribir esta expresión mediante la suma de Riemann como
𝐴 =1
2[ lim𝑛→∞
∑𝑔(𝑡𝑖∗)Δ𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
+ lim𝑛→∞
∑ℎ(𝑡𝑖∗)Δ𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
]
Con lo cual podremos aproximar el valor del área mediante
𝐴 ≈1
2[∑𝑔(𝑡𝑖
∗)Δ𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
+∑ℎ(𝑡𝑖∗)Δ𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
]
En el caso de usar el extremo izquierdo de cada subintervalo como punto de muestro,
podremos escribir
𝐴 ≈1
2[∑𝑔(𝑡𝑖)Δ𝑦𝑖
𝑛−1
𝑖=0
+∑ℎ(𝑡𝑖)Δ𝑥𝑖
𝑛−1
𝑖=0
]
Objetivo
Desarrollar un prototipo de algoritmo de aproximación al área de una región con base en la
aproximación a una integral de línea en un programa que no requiera grandes conocimientos
de programación.
Problema
Calcular área de distintas figuras planas irregulares.
Hipótesis
Podremos implementar una serie de instrucciones en Geogebra con las cuales podremos
calcular el área de una figura o región al recorrer su perímetro.
13
Desarrollo
Hemos decidido implementar la fórmula para el cálculo del área en Geogebra pues es una
herramienta de uso libre y de fácil acceso, la cual tiene desarrollo suficiente como para facilitar
la puesta en práctica de dicha fórmula.
Básicamente, nuestra herramienta tiene tres etapas. La primera es el trazado de trayectorias
para formar una región simple cerrada; la segunda etapa consiste en el muestreo de puntos
en cada una de las trayectorias y la tercera etapa consiste en la aplicación de la fórmula para
aproximar el área de la región. Estas etapas se muestran en el diagrama de flujo de la figura 3
en colores amarillo, azul y verde respectivamente. En la figura 3, se muestran también los
comandos a emplear en Geogebra. Cabe mencionar que el término 𝑇𝑖 corresponde a los
puntos muestreados de la trayectoria 𝑖, mientras que los valores inicial y final de la abscisa de
la trayectoria 𝑖 se denotan respectivamente como como 𝑥𝑖1 y 𝑥𝑖𝑓.
Figura 3. Diagrama de flujo que muestra los comandos y la secuencia seguida en nuestra rutina para aproximar
el valor del área.
14
Resultados
Aplicación a regiones sencillas para la validación de las instrucciones
La figura 4 muestra el resultado de la aplicación de la aproximación al área de la región
comprendida entre las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 22𝑥 + 9 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 − 𝑥 − 9 en
el momento en cual se realiza el muestreo con veinticuatro puntos por trayectoria. El valor real
en este caso se puede calcular por integración y es
∫ −𝑥2 − 𝑥 − 9 − (2𝑥2 − 22𝑥 + 9)𝑑𝑥6
1
= ∫ −3𝑥2 + 21𝑥 − 186
1
𝑑𝑥 = [−𝑥3 +21
2𝑥2 − 18𝑥]
1
6
= 54 − (−17
2) = 62.5
También se muestra una tabla en la cual puede apreciarse que en este caso para obtener el
valor del área se necesitarían 112 puntos por trayectoria.
𝑛 𝐴
3 55.56
5 60
10 61.88
25 62.34
112 62.5
Figura 4. Aplicación a una figura sencilla.
Por su parte la figura 5 muestra el resultado de la aplicación a una región más compleja
cuando el número de puntos muestreados por trayectoria es de nueve; en este caso se ha
tenido que hacer el trazado de la región con la herramienta figura a mano alzada de
Geogebra. Puede apreciarse que se necesitaron cuatro trayectorias (numeradas como S1, S2,
S3 y S4 en la figura 5). Aún en este caso se puede calcular el valor de la región a través de
integración con la ayuda del programa Geogebra; si denotamos como 𝑆𝑖𝑓𝑥 la coordenada 𝑥
del final de cada trayectoria, podríamos expresar el valor que nos arroja Geogebra como
𝐴 = ∫ 𝑆2(𝑥) − 𝑆3(𝑥)𝑆3𝑓𝑥
𝑆2𝑓𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 𝑆2(𝑥) − 𝑆4(𝑥)𝑆1𝑓𝑥
𝑆3𝑓𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 𝑆1(𝑥) − 𝑆4(𝑥)𝑆4𝑓𝑥
𝑆1𝑓𝑥
𝑑𝑥 = 20.7
15
Tomando este valor como referencia, hicimos crecer el número de puntos de muestreo y los
resultados también se muestran en la figura 5. En este caso, cuando hubo 23 puntos en cada
trayectoria se alcanzó por primera vez que el valor objetivo, sin embargo, aumentando el
número de puntos de muestro se obtienen ligeras oscilaciones alrededor del valor 20.7.
𝑛 𝐴
3 16.68
5 19.72
10 20.59
23 20.7
25 20.68
Figura 5. Aplicación a una figura un compleja.
Aplicación a imágenes y regiones más complejas
Construimos un pequeño triángulo rectángulo de catetos 13 y 15 centímetros. El área de este
triángulo es
𝐴 =13 × 15
2= 97.5[𝑐𝑚2]
Tomamos una fotografía a este triángulo, la insertamos en Geogebra y aplicamos nuestra
rutina a ella; los resultados se muestran en la figura 6, en donde se muestra el proceso
cuando hay 5 puntos de muestreo en cada trayectoria. En este caso se necesitaron seis
puntos para que el proceso de aproximación se estabilizará; cabe mencionar que el cálculo
del área a través de los comandos de integración de Geogebra arroja un valor de 13.54.
16
𝑛 𝐴
3 13.53
5 13.53
6 13.54
7 13.54
Figura 6. Aplicación a una imagen de un triángulo.
En la figura 7, se muestra la aplicación de nuestro procedimiento de aproximación al área a la
imagen de una alberca de forma irregular cuando hay doce puntos muestreados en cada
trayectoria. En este caso se alcanza cierta estabilidad alrededor del valor 31.8.
𝑛 𝐴
10 31.4
20 31.68
30 31.77
40 31.82
50 31.84
Figura 7. Aplicación a la fotografía de una alberca. Imagen de la alberca tomada de: http://www.grupofpv.mx/hotel/46
En la figura 8, se muestra la aplicación de nuestra metodología a dibujo de un pájaro cuando
en cada trayectoria se toman siete puntos de muestreo. En este caso, la figura se tuvo que
17
descomponer en doce trayectorias y se alcanza estabilidad en el resultado alrededor del valor
15.4.
𝑛 𝐴
3 15.34
5 15.49
10 15.45
15 15.48
20 15.47
Figura 8. Aplicación al dibujo de un pájaro. Imagen del pájaro tomada de https://animales.dibujos.net/aves/pajaro-4.html
Análisis e interpretación de resultados
A través de la validación de los resultados llevada a cabo con los comandos de integración,
hemos podido constatar que nuestra rutina sí calcula la región sobre la cual se está
trabajando.
Con respecto a la aproximación del área del triángulo a través de la imagen, tomemos en
cuenta que, de acuerdo con la teoría, el área de dos triángulos semejantes es su razón de
semejanza al cuadrado. Tomando en consideración este resultado, supusimos semejanza
entre la fotografía y el triángulo real para estimar su razón de semejanza
18
𝑟 = √13.54
97.5≈ 0.37
Luego hemos medido los lados de la imagen del triángulo en Geogebra obteniendo 4.95, 5.63
y 7.55; con estos valores planteamos las razones entre los lados del triángulo y su imagen,
obteniendo los siguientes resultados
4.95
13≈ 0.38
5.63
15≈ 0.37
7.55
√132 + 152≈ 0.38
Estos resultados hacen razonable suponer semejanza entre el triángulo real y su imagen, lo
cual a su vez hace posible conjeturar que en el caso general, una fotografía será semejante a
su objeto real y por lo tanto el área calculada con nuestra rutina tendrá cierta proporción con el
área de la figura real.
La aplicación a la alberca y al dibujo del pájaro son generalizaciones de nuestra rutina. El
pájaro es una región compleja, al grado de presentar dificultades para la definición de su
contorno. Sin embargo, una vez obtenido el contorno de la región, el cálculo del área es
relativamente sencillo a través de nuestra rutina.
Debe comentarse que, sobre todo en regiones complicadas parecen suceder inestabilidades
con Geogebra pues en ocasiones desaparecen los objetos creados en la rutina. Para aclarar
esta situación, consideremos la aplicación a una región con 15 puntos por trayectoria,
modificando posteriormente el cálculo a 20 puntos por trayectoria y volviendo a tomar a 15
puntos por trayectoria. Algunas veces luego de realizar este proceso, la rutina funcionará,
pero en otras puede suceder que al regresar a 15 puntos desaparezcan objetos importantes
de la rutina provocando un fallo.
Conclusiones
Luego de llevar a cabo nuestro proceso, podemos comentar que la parte más complicada del
mismo es la definición de las trayectorias que definen la región pues para regiones
complicadas se necesitan muchas. Si bien parece factible llevar a cabo el cálculo del área a
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través de integración y el concepto de área entre curvas, realizar el cálculo de esta manera
podría ser aún más complejo que hacerlo a través de la integral de línea.
Una de las principales ventajas de nuestro proyecto, aparte de la riqueza conceptual
involucrada, radica en la posibilidad de calcular el área de regiones en las cuales se
involucran secciones curvas.
Finalmente, debemos comentar que el programa usado, es decir Geogebra, si bien facilita en
gran medida la implementación del algoritmo, presenta inestabilidades, como ya se ha
mencionado. Sin embargo, las ideas de la rutina se pueden llevar a lenguajes de
programación más sofisticados, lo cual podría ser una aportación.
Fuentes de información
Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas. Cengage learning.
Thomas, G. (2006). Cálculo. Una variable. Pearson Educación.
Thomas, G. (2010). Cálculo varias variables. Addison- Wesley.