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OPERACIONES AVANZADAS
DE MEVyT VIRTUAL
EJE DE MATEMÁTICAS
GUÍA
MODELO DE EDUCACIÓN PARA LA VIDA Y EL TRABAJO
(MEVyT)
DEPARTAMENTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS
OFICINA DE METODOS, CONTENIDOS Y MATERIALES
RECOPILACIÓN:
PROF. GONZALO RODRÍGUEZ HUERTA
FUENTES:
OPERACIONES AVANZADAS
3RA. EDICIÓN 2006
- LIBRO DEL ADULTO
- GUÍA DEL ASESOR
- REVISTA
- FOLLETO DE JUEGOS
MEVyT VIRTUAL Ver. 2.0
- OPERACIONES AVANZADAS v 1.0
- MATEMÁTICAS PROPEDÉUTICO PARA EL
BACHILLERATO v 1.0
ENCARTA VIRTUAL 2010
- Aritmética - Geometría
- Álgebra - Probabilidad y Estadística
MATEMÁTICAS TERCER GRADO
CUADERNO DE TRABAJO
Raúl Alberto Scherzer Garza
Ediciones Euterpe
Ediciones Lazzaro
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ESTIMADO EDUCANDO:
Bienvenido al ITEA Instituto Tlaxcalteca para la Educación de
los Adultos, institución pública al servicio de la Educación que
reconoce tu esfuerzo y dedicación por crecer y prepararte para
los retos de la vida.
Esta guía es para apoyarte en el estudio de los temas de los
módulos del MEVyT Modelo Para la Educación de la Vida y el
Trabajo, es un resumen con el propósito de facilitar la
comprensión de los temas a tratar en una expresión sencilla.
Cabe aclarar que esta guía no sustituye al estudio del módulo
correspondiente, por lo que te recomendamos estudiar y
realizar las prácticas que se indican en el libro y cuaderno del
adulto que recibas para tu formación.
En ITEA tenemos plena confianza de que harás uso adecuado
de este material para el logro de tu certificación y que llevarás a
la práctica los conocimientos adquiridos para resolver retos y
mejorar en la vida personal, en la familia y en la sociedad.
UNIDAD 1: NÚMEROS CON SIGNO
PROPÓSITO 1
Leerá, comparará y escribirá números con signo.
Aprender cuales son los números positivos y cuales
los números negativos.
Para ello debes conocer los siguientes conceptos:
Los Dígitos son: 0,1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7 ,8 y 9.
LOS NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS O NATURALES
Son los números de 1 o más dígitos positivos (+):
+1, +2, +3, +4, +5, 11, 122, 1540, y así sucesivamente
Pueden indicar ganancia, aumento, u otro concepto similar:
$ 70, 24 °C, 45 °F, + 2200 m sobre el nivel del mar
EL CERO: El 0, no es positivo ni negativo.
LOS NÚMEROS NEGATIVOS
Van indicados con el signo – (menos):
-1, -2, -3, -4, -5,-15, -235, -1540 y así sucesivamente
Indican deuda, pérdida, disminución, baja, u otro concepto
similar:
-10 °C, -37°F, -$40, -30 m (bajo) el nivel del mar, - 80 m de
profundidad.
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Los números enteros se pueden representar en una línea
llamada recta numérica, así:
Con los números y los signos + ó –, podemos expresar todo
cuanto nos rodea, como se muestra en los ejemplos:
Tlaxcala esta a 5 °C bajo cero → -5 °C
Chicago esta a 40 °F arriba de cero→ +40 °F
La mina esta 70 m de profundidad→ -70 m
El negocio tuvo pérdida de $ 7500→ -$7500
El barril de petróleo subio $10→ + $10
COMPARANDO NÚMEROS ENTEROS :
El símbolo “=“ se lee “igual a “ o “igual que”. Ejemplos:
A=A, 3 = 4 - 1, 7= 4 + 3 , 4 - 8 = - 4, - 15 + 4 = - 11
El símbolo “>” se lee “mayor que”. Ejemplos:
A>b, 5>3, 12>7, 15>11, 0 > -1, - 1> -3
Estas son comparaciones situadas en la recta númerica:
El símbolo “<” se lee “menor que”. Ejemplos:
a<B, 3<5, 7<12, 11<15, -1 <0, -3 < -1
Estas comparaciones situadas en la recta númerica:
POSITIVOS 60
NEGATIVOS
Altitud: 8 848 m sobre el nivel del mar (+ 8 848 m)
Profundidad: 11 000 m bajo el nivel del mar ( - 11 000 m)
< < < < 27
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Escribir, leer y comparar números decimales,
fraccionarios, positivos y negativos.
NUMEROS FRACCIONARIOS.
Son expresiones que indican la división de dos números enteros.
Y representan la parte proporcional, igual o equivalente de algo (el
todo) que ha sido divido en partes iguales.
El deposito contiene 2/3 de gasolina, el todo es el deposito y
equivale a 3/3.
Ejemplos de lectura de fracciones:
FRACCIÓN SE LEE:
Un noveno
Cuatro séptimos
Doce dieciseisavos
Once veinteavos
Tres décimos
Veinticinco cuarenta y sieteavos
COMPARANDO NÚMEROS FRACCIONARIOS
NUMEROS DECIMALES
Un número decimal tiene dos partes:
La parte entera, son los números a la izquierda del punto decimal.
La parte decimal, son los números a la derecha del punto decimal.
Unidades enteras Unidades Decimales
decenas unidades décimas centésimas Milésimas
... 7 3 7 4 5
Algunos ejemplos de cómo se leen los números decimales:
2.5 “Dos con cinco décimas” (dos enteros, cinco décimas)
1.52 “uno con cincuenta y dos centésimas” (un entero, cincuenta y dos centésimas)
18.3 “dieciocho con tres décimas” (dieciocho, 3 décimas)
0.678 “seiscientos setenta y ocho milésimas”
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PROPÓSITO 2
Sumará y restará números con signo. Conozca los siguientes conceptos:
En Aritmética el valor absoluto:
Es la distancia de dicho número al origen (al cero):
El valor absoluto de +6 y - 6 es 6 y se indica así: │6│
Suma de números con signo. Al sumar dos números con el mismo signo:
Se suman los números, y el resultado sigue con el mismo signo
(+4) + (+6) = +10 (– 8) + (– 1)= – 9
–1 –3 = – 4 +5 +2 = +7
Al sumar dos números con signo diferente: Al número mayor se le resta el número menor, y el resultado es
con el signo del número mayor
(+3) + (– 8) = – 3 (– 7) + (+9) = 2
– 4 + 2 = – 2 + 5 – 2 = +3
Resta de números con signo. Para restar números con signo, se cambia el signo del sustraendo, y se procede como en la suma de números con signo.
(+8) – (+ 7) = 1, es igual que: (+ 8) + (– 7) = 1
(– 9) – (– 4) = – 5, es igual que: (– 9) + (+ 4) = – 5
SUMA DE NÚMEROS EN LA RECTA
(– 5) + (+3) =– 5 + 3 = – 2
(–2) + (+6) = – 2 + 6 = 4
RESTA DE NÚMEROS EN LA RECTA
5 – 6 = – 1
6 – 8 = – 2
6
PROPÓSITO 3
Multiplicar y dividir números con signo. Ley de los signos
Al multiplicar Al dividir Al multiplicar o dividir con:
(+) (+) = +
(–) (–) = +
(+) ÷ (+) = +
(–) ÷ (–) = + Signos iguales da +
(–) (+) = –
(+) (–) = –
(+) ÷ (–) = –
(–) ÷ (+) = – Signos diferentes da –
Entonces:
Multiplicación (también conocida como producto):
Al multiplicar dos números con el mismo signo, el resultado es con
signo positivo (+).
Nota: Se puede omitir el signo “+” en el resultado (y se sobreentiende que el resultado es de signo “+”).
(+6) x (+8) = + 48 = 48
(–9) x (–7) = + 63 = 63
Al multiplicar dos números con signo diferente, el resultado es con
signo negativo (–)
(–5) (+3) = – 15
(+9) (–6) = – 42
Se puede omitir los simbolos “x” o “·” que indican multiplicación,
pues la presencia de paréntesis indica multiplicación:
(-7)(+3) = – 21
(+7)(+2) = 18
División (también conocida como cociente):
La división consiste en repartir en partes iguales un todo.
En la división de dos números con el mismo signo, el resultado es
con signo positivo (+).
Nota: Se puede omitir el signo “+” en el resultado
(y se sobreentiende que el resultado es de signo “+”).
(+8) ÷ (+4) = + 2 , = 4
En la división de dos números con diferente signo, el resultado es
con signo negativo (-)
(+20) ÷ (– 4) = – 5, = – 4
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UNIDAD 2:
APLICACIONES DE LOS NÚMEROS CON SIGNO
PROPÓSITO 4
Ubicar puntos en el plano cartesiano a partir de sus
coordenadas (x, y) y viceversa.
Obtener las coordenadas a partir de la posición de un
punto en el plano.
En la figura se observa un plano cartesiano, tiene:
►El eje horizontal que se llama eje de abcisas ó eje X
►El eje vertical que se llama eje de ordenadas ó eje Y
►Punto y su coordenada: A (x, y)
►Y esta dividido en 4 cuadrantes: I, II, III, y IV.
Ubicar y reconocer los siguientes puntos y sus coordenadas en el
plano cartesiano:
PUNTOS COORDENADAS
(X, Y)
A (0, 9)
B (5, 2)
C (0, 2)
D (-8, 2)
E (0, 8)
F (0, 0)
G (8, 0)
H (6, -3)
I (-6, -3)
J (-8, 0)
K (0, 0)
E
j
e
V
e
r
t
i
c
a
l
(X, Y)
Verti
cal
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Ahora localizando puntos y coordenadas en mapa del mundo, esto
nos sirve para facilitar la localización exacta de cualquier punto
sobre la superficie terrestre.
Las líneas que van del polo norte al polo sur se denominan
meridianos (o longitudes)
El meridiano de Grenwicch marca la longitud 0°
Las longitudes al este de la longitud 0° se indican con signo “+”
Las longitudes al oeste de la longitud 0° se indican con signo “–”
Las líneas que cortan transversalmente al globo de la tierra se
llaman latitudes (o paralelos)
El paralelo ubicado sobre el Ecuador, marca la latitud 0°
Las latitudes al Norte del paralelo 0° se indican con signo “+”
Las latitudes al Sur del paralelo 0° se indican con signo “–”
Entonces, localizando ciudades en el mapa con sus respectivas
coordenadas de los siguientes puntos:
PUNTO:CIUDAD COORDENADA LONGITUD LATITUD
Nueva York, U.S.A. (-74°, 40°) 74° O 40° N
Tokio, Japón (139°, 35°) 139° E 35° N
México, Mx. (-99°, 19°) 99° O 10° N
Lima, Perú (-77°, -12°) 77° O 12 S
La ubicación geografica es:
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PROPÓSITO 5
Resolver problemas que involucran potencias.
Pontencia es la manera abreviada de escribir una multiplicación,
en donde el número llamado base se multiplica por sí mismo
tantas veces se indique en el exponente.
Y Se lee (en forma similar para otros): “5 elevado al cuadrado”
“5 elevado al exponente 2”
Así: 25 =2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
4 x 2
8 x 2
16 x 2 = 32
Resolviendo otras potencias, aplicando bien ley de los signos:
(-2)2 = (-2) x (- 2) = 4 22 = 2 x 2 = 4
(-2)3 = (-2) x (- 2) x (-2) = -8 23 = 2 x 2 x 2 =8
(-2)4 = (-2) x (- 2) x (-2) x (-2) = 16 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
(-2)5 = (-2) x (- 2) x (-2) x (-2) x (-2)= -32 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2=32
Del anterior ejemplo, se concluye que:
En un número de signo positivo elevado a cualquier
exponente, el resultado es “” (positivo).
En un número de signo negativo elevada a un exponente
par, el resultado es “” (positivo).
En un número de signo negativo elevado a un exponente
impar, el resultado es “–” (negativo).
PROPÓSITO 6
Utilizar la jerarquía de operaciones (incluyendo
potencias).
Al resolver una expresión aritmética con varias operaciones, es
adevuado seguir el siguiente orden:
Ejecutar las operaciones que esten dentro de paréntesis,
enseguida dentro corchetes y al final dentro de llaves.
Resolver las potencias o raíces
Solucionar las multiplicaciones y divisiones, y
Realizar las sumas y restas
Potenciate 12° S, 77° O
{3[(72+8)-(24-12)]+1}+125 = 5
{3[(49+8)-(16-12)]+1}+125 = 5
{3[(57)-(4)]+1}+125 = 5
{3[53]+1}+125 = 5
{159+1}+125 = 5
160+125 = 5 160+25 =185
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PROPÓSITO 7
Utilizar la notación científica con exponentes enteros
positivos y negativos.
POTENCIAS DE BASE 10
Para escribir grandes números en forma abreviada se puede
utilizar las potencias de base 10, será el número con tantos ceros
tenga que se indicarán en el exponente con la base 10. Así:
Sí 100 tiene 2 ceros, será 10 elevado al exponente 2
y así sucesivamente
100 = 102 = 10 x 10
1000 = 103 = 10 x 10 x 10
10, 000 = 104 = 10 x 10 x 10 x 10
Si la distancia de la Tierra al Sol es de 150, 000, 000 km; en
notación científica se escribirá de la forma
150, 000, 000 km =1.5 x 108, de acuerdo a:
●Se escribe el 1er dígito de la izquierda del número.…...… 1
●Se escribe el punto…………………….……………………………...… 1.
●Después las cifras significativas (diferentes de cero)….... 1.5
●Se indica la multiplicación por 10….……………………………... 1.5 x 10
●escribe el exponente que indica el no. de posiciones que
hay desde el 2do. dígito hasta el último de la derecha:.…1.5 x 108
150, 000, 000 km = 1.5 x 108
7, 860, 000 = 7.86 x 106
990, 000, 000 = 9.9 x 108
El peso de la tierra es 6, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 kg
En notación científica: 6 x1024 kg
Al escribir un número pequeño (0.000045) en notación científica:
Se escribe el 1er. dígito significativo diferente de cero... 4
Se escribe el punto…………………………………………….……….. 4.
Después las cifras significativas (diferentes de cero)..... 4.5
Se indica la multiplicación por 10………………………….….... 4.5 x 10
Se escribe el exponente con signo (–) que indica el no.
de posiciones que hay después del punto decimal y
hasta el 1er. dígito significativo del número………………..4.5 x 10-5
Entonces: 0.000045 = 4.5 x 10-5
0.009412 = 9.412 x 10-3
0.00000059 = 5.9 x 10-7
0.000089 = 8.9 x 10-5
Al escribir una notación científica con exponente negativo a forma
decimal (5.8 x 10-6): ●Se escribe el cero y el punto……………………………….….... 0. ●Se escribe tantos ceros a la derecha como indique el
exponente (absoluto) menos 1, ejemplo: 6-1 = 5..…....0.000000 ●Después los dígitos significativos (diferentes de cero)
para el ejemplo son 5 y 8…………………………………………..0.0000058
Entonces: 5.8 x 10-6 = 0.0000058
El peso de un electrón es 9 x 10-28 g, en forma decimal es:
9 x 10-28 g = 0.0000000000000000000000000009 g
El coeficiente de expansión del mercurio es 1.81 x 10-4 g,
En forma decimal es:
1.81x 10-4 g = 0.000181 g
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UNIDAD 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
PROPÓSITO 8
Conocer y utilizar reglas de escritura algebraica.
La escritura algebraica sirve para expresar relaciones de una
determinada situación.
SIMBOLOS SIGNIFICADO EXPRESION
ALGEBRAICA SIGNIFICADO VERBAL a, b, n son números
=
“Es igual”, “es igual
a”
2a, 2(a) “el doble de un número”
x, ∙, ( ) ( )
“por”, “multiplica
a”
, “la mitad de un número”
/, ÷, – “entre” a + b “la suma de dos números”
“más” a – b “la resta de dos números”
– “menos”
(a)(b), ab “multiplicación de 2 números
∙∙∙ “y así
sucesivamente”
an
“un número elevado al exponente n”
Como se observa en la tabla, una expresión algebraica está
compuesta de símbolos, números y letras que tienen un significado
Literal
Una literal puede representar una incógnita, o valor
desconocido de una función.
A, B, C, x, y, z, a, b, c,…
Coeficiente
Es el número que multiplica a una literal:
5a 5 es el coeficiente
8b, 3c, 5x, 9y, etc.
Términos semejantes
Son expresiones algebraicas que tienen la misma literal,
o la misma literal elevada al mismo exponente.
5m +3m m es el término semejante
a2+3a2 a2 es el término semejante
Dos o más términos semejantes se pueden simplificar:
5m +3m = 8m
a2+3a2 = 4a2
-9b + 7b = -2b
m +m + 6m +2b + b = 8m + 3b
2u - 5v - 4u – 6v = 2u – 4u – 5v – 6v = -2u – 11v La multiplicación de dos o más literales puede representarse así:
(X)(Y) X ∙ Y XY
La división de una incógnita entre un número se puede
representar así:
X÷2 X/2 X
En general la división de una incógnita o valor desconocido entre otra incógnita o valor desconocido sería:
X÷Y X/Y
Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica, se dan valores específicos a las literales y se lleva a cabo la solución: Si m=2, b=4; entonces: 8m + 3b = 8(2) + 3(4) = 16 + 12 = 28 Si x=2, y=6; entonces: 6x - 2y = 6(2) – 2(6) = 12 – 12 = 0 Si u= 2, v=3; entonces: 4u2+5v = 4(2)2+5(3) =4(4)+5(3) =16 + 15 = 31
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PROPÓSITO 9
Encontrar la regularidad que relaciona una lista de
cantidades.
La regularidad ocurre en una sucesión, cuando en un conjunto de
números, un número es indicado como el primero, otro como el
segundo y así sucesivamente.
La sucesión de números es creciente cuando va en aumento:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…
La sucesión de números es decreciente va disminuyendo:
100, 90, 80, 70, 60,…
Analice la siguiente sucesión y determine una expresión
algebraica:
Posición: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, 60,…
Sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,…, 120,…
2 2 2 2 2 2 2 2
Se determina que es la posición del número multiplicado por 2,
entonces:
2(1)=2, 2(2)=4, 2(3)=6, 2(4)= 8, 2(5) =10, 2(6)=12,…, 2n
Cuando se conoce la expresión algebraica de la sucesión:
2n – 1, se sustituye en la incógnita la posición del valor esperado
2(1)-1=1, 2(2)-1=3, 2(3)-1=5, 2(4)-1=7, 2(5)-1=9,…
Y la sucesión numérica es: 1, 3, 5, 7, 9,…
Determinar la expresión algébrica de las siguientes sucesiones:
6, 11, 16, 21, 26, 31,…; seria: 5(1)+1=6, 5(2)+1=11,…, 5n+1
5 5 5 5 5
1, 4, 9, 16, 25,…; seria: (1)(1)=16, (2)(2)=4, (3)(3)=9,…, (n)(n)=n2
Una función es una ecuación en donde el resultado de una variable
(dependiente) depende de otra variable (independiente) a la que
se le asigna valores, se conoce como función algebraica:
Resolviendo la función algebraica:
Valor de X Y = 2x + 3
0 Y =2(0) + 3 = 3
1 Y =2(1) + 3 = 5
2 Y =2(2) + 3 = 7
3 Y =2(3) + 3 = 9
∙∙∙
Otra función algebraica para resolver:
Valor de X Y = 2X2 + 4
1 Y = 2(1)2 + 4 = 6
2 Y = 2(2)2 + 4 = 12
3 Y = 2(3)2 + 4 = 22
4 Y = 2(4)2 + 4 = 36
5 Y = 2(5)2 + 4 = 54
6 Y = 2(6)2 + 4 = 76
7 Y = 2(7)2 + 4 = 102
8 Y = 2(8)2 + 4 = 132
Y= 2x + 3
Variable independiente Variable dependiente
Constantes Coeficiente
13
∙∙∙
PROPÓSITO 10
Utilizar el lenguaje algebraico.
Modelar con expresiones algebraicas situaciones de
la física y la geometría.
Utilizando el leguaje algebraico:
Un número más 15…………………………………… Y + 15
Un número menos 20………………………………. X + 20
El doble de un número…………………………….. 2X
El triple de un número……………………………… 3X
El cuádruple de un número………………………. 4X
La suma de 2 números……………………………… X +Y
El doble de un número más 12…………………. 2X + 12
El triple de un número menos 4……………….. 3w - 4
La mitad de un número…………………………….. ½ X
La mitad de un número menos 7………………. ½ X - 7
Tres cuartas partes de un número……………. ¾Y
Un número divido entre otro……………………. x/y
La multiplicación de 2 números………………… X Y
La multiplicación de 2 números más 5……… XY + 5
5 menos un número…………………………………. 5 - a
2000 menos un número…………………………… 2000 - b
6 más un número…………………………………….. 6 + a
Un número más la mitad del mismo………… y + (½)y
Ocho veces un número……………………………. 8x
Un número al cuadrado……………………………. Y2
Un número al cubo…………………………………… Y3
Un número elevado al exponente ocho……. X8
Expresando en Lenguaje algebraico situaciones de la física.
Si la cantidad de km que recorre un automóvil está en función de
14 km por litro, ¿Cuáles son las diferentes distancias (d) que puede
recorrer el automóvil a diferentes consumos de gasolina (l)?
Valor de l
(litros)
d = (14)(l)
(km)
1 d =14(1) = 14 km
10 d =14(10) = 140 km
20 d =14(20)= 280 km
30 d =14(30)= 420 km
40 d =14(40)= 560 km
∙∙∙
Expresando en Lenguaje algebraico situaciones de la geometría. Mary compró un terreno de 2000 m2. Ella quiere elegir las
dimensiones de acuerdo a sus necesidades en metros enteros
considerando que tendrá forma rectangular.
¿Cuáles son las dimensiones que puede tener el terreno?
Si área A= (l)(a), despejando a, entonces: a= A/ l = 200/ l
Largo l (m) Ancho a=200/ l (m)
100 a=2000/ l =2000/(100)=20 m
50 a=2000/ l =2000/(50) =40 m
40 a=2000/ l =2000/(40) =50 m
20 a=2000/ l =2000/(20) =100 m
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10 a=2000/ l =2000/(10) =200 m
∙∙∙
UNIDAD 4: ECUACIONES DE PRIMER GRADO
PROPÓSITO 11
Aplicar la noción de ecuación de primer grado y una
incógnita.
Conceptos relacionados con ecuaciones algebraicas.
Igualdad indica que dos expresiones son equivalentes, iguales:
4 = 4 2(8) = 16 6x + 3 = 28 + x p = 3q
Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en
donde las literales son las incógnitas.
En la Ecuación de primer grado las literales o incógnitas están
elevadas al exponente 1 (x1, pero no suele escribirse x)
Ejemplo: ¿Qué número (x: es la incógnita) multiplicado por 8 da
40?
1er. Miembro 8x = 40 2do. Miembro Propiedades de la igualdad
Al sumar un número en ambos lados de la igualdad, el resultado
es el mismo x – 2 = 4
x – 2 + 2 = 4 + 2
Al restar un número en ambos lados de la igualdad, el resultado
es el mismo x + 5 = 15
x + 5 – 5 = 15 – 5 Al multiplicar por un número ambos lados de la igualdad, el
resultado es el mismo = 3
(4) = 3 (4)
Al dividir entre un número ambos lados de la igualdad, el
resultado es el mismo 2x = -30
2x = -30
2 2
PROPÓSITO 12
Resolver problemas que involucran ecuaciones de
1er. Grado de forma x ± a = b.
En las ecuaciones de la forma: x + a = b, x es la incógnita
x – a = b a, b son números
Ejemplo 1:
X + 20 = 60
Aplicando propiedades de la igualdad: X + 20 – 20 = 60 – 20 X = 40
Otra forma, es pasar la constante del miembro izquierdo hacia el
Miembro derecho de la igualdad con su operación contraria
(si está sumando, pasa restando): X + 20 = 60
X = 60 – 20
X = 60 – 20
X= 40
________________________________________________________
Ejemplo 2: – 45 – x = 8
– x = 8 – 45
Para que “x” sea positivo multiplicar ambos – x = – 37
miembros de la ecuación por (-1) x = 37
________________________________________________________
Ejemplo 3: X + 20 – 15 = 35
-bl
e
de
pe
nd
ie
nt
e
+
+ -
15
X + 5 = 35
x = 35 – 5
x=30
Resolviendo problemas con ecuaciones de 1er. Grado con una
incógnita de la forma x ± a =b.
Plantear las ecuaciones y soluciones correspondientes:
La temperatura del horno fue de 250° C y el pastel debió
hornearse a 180° C, ¿por cuantos grados (x) se pasó el horno?
° C de horneado + ° C que se pasó =250 °C del pastel de horneado 180 + x = 250
x = 250 – 180
x = 70
Entonces el pastel se pasó de horneado en 70 ° C
Lucía tiene 7 años, ¿Cuántos años (x) le faltan para votar?
La edad para votar es de 18 años
Años que falta para votar + edad actual = 18 años
x + 7 = 18
x = 18 – 7
x = 11
A Lucía le faltan 11 años para votar
Mary compro $ 286 de mercancía, paga con un billete de $ 500,
la cajera le pide $ 36 más, ¿Cuánto dinero (x) recibe de cambio?
Dinero de cambio + Compras – dinero a cajera = $ 500
x + 286 – 36 = 500
x + 250 = 500
x = 500 – 250
x =250
Mary recibirá de cambio $ 250
PROPÓSITO 13
Resolver problemas que involucran ecuaciones de
1er. Grado de la forma: ax=b y
xes incógnita a, bson números
Ejemplo 1, forma ax = b:
5x =50
Pasar el coeficiente que multiplica
al otro lado de la igualdad dividiendo
x =10
Ejemplo 2, forma = b:
= 20
Pasar el coeficiente que divide
al otro lado de la igualdad multiplicando x = 20 x 10 x = 200
Ejemplo 3 (forma ):
= 12
- +
÷
de
pe
nd
ie
nt
e
x
x ÷
÷
de
pe
nd
ie
nt
e
x
x ÷
16
Pasar al otro lado de la igualdad:
El coeficiente que divide pasa multiplicando x =
El coeficiente que multiplica pasa dividiendo X = 21
Resolviendo problemas con ecuaciones de 1er. Grado con una
incógnita forma: ax = b y
Plantear las ecuaciones y soluciones correspondientes: Una familia utiliza 29 cubetas de agua en la semana, lo que da un total de 580 litros, ¿de cuántos litros (x) es cada cubeta? 29 cubetas x litros (x) por cubeta = 580 litros 29x = 580 x = 580 29 Cada cubeta es de 20 litros x = 20 Una familia de 5 personas gasta diario 700 litros de agua para Bañarse, ¿Cuántos litros de agua gasta cada familiar? 5 personas x gasto de litros de agua (x) = 700 litros por persona 5x = 700 x = 700 5 Cada familiar gasta 140 litros x = 140 La comida en la fonda cuesta $35, es una tercera parte de lo que cuesta en el restaurant, ¿Cuánto cuesta comer en el restaurant?
(Costo de comida en restaurant) = $35
X = 35 3 El costo de la comida X = 35 x 3
en el restaurant es de $ 105 X = 105 Un señor cobra el doble que su hijo por hacer un trabajo. En este mes entre los 2 ganaron $ 4500, ¿Cuánto gano el papá y el hijo? 2(cobro de trabajo) + cobro de trabajo = 4500 2x +x = 4500 3x = 4500 El papa gana $3000 y el hijo $1500 X = 4500/3 =1500
PROPÓSITO 14
Resolver problemas que involucran ecuaciones de
1er. Grado de forma: ax + b = c y
Ejemplo 1 (forma ax + b = c): 5x + 10 = 50
5x = 50 -10
5x = 40
X= 40 5 X = 10
Ejemplo 2 (forma + b = c): + 30 = 84
= 84 – 30
= 54
X = (54) 10 X = 540
Ejemplo 3 (forma ax + b = c): 89x – 5 = – 1162
- +
x ÷
÷
de
pe
nd
ie
nt
e
x
- +
+ -
17
89x = – 1162 +5
89x = (– 1157)
x =
x = – 13
Resolviendo problemas con ecuaciones de 1er. Grado con una
incógnita forma: ax + b = c y
Plantear las ecuaciones y soluciones correspondientes: Doña Adelita recibió en total $2900 por 4 semanas de trabajo y una compensación de $300. ¿Cuánto gana semanalmente? 4(sueldo semanal) + Compensación = 2900 4x + 300 = 2900 4x = 2900 - 300 x = 2600 4 El sueldo semanal es de $ 650 x = 650 En un anuncio se colocaron 5 focos, juntos consumen 475 Watts. El 1ro. Es de 100 Watts, el 2do. Es de 150 Watts y los otros 3 consumen igual cantidad de energía eléctrica ¿Cuánto consume cada uno de los últimos 3 focos? 3 focos (x consumo) + Foco 100 W + Foco 150 W = 475 Watts 3x + 100+ 150 = 475 3x + 250 = 475 3x = 475 - 250
El consumo de c/u de los 3 focos es 75 Watts x = 75 En Tlaxcala la cosecha anual de maíz es de 1200 Kg en una hectárea, que es 1000 kg Menos que 2 terceras parte de lo que se
debe producir una hectárea ¿cuánto debe la cosecha normal?
(Cosecha normal) -1000 kg = 1200 kg
(x) – 1000 = 1200
x = 1200 + 1000
x = (2200)
La cosecha debe ser de 3300 kg/hectárea x = 3300
UNIDAD 5: RELACIONES EN EL PLANO CARTESIANO
PROPÓSITO 15
Resolver problemas que involucran la relación entre
dos variables.
En una situación que plantea utilizar 2 variables (incógnitas), se dice que el valor de una variable está en función de la otra. En una función el valor de la variable dependiente “f(x)” ó “Y” será determinada por el valor que se asigne a la variable independiente “x”; y al construir la función con una serie de datos, esta función se expresa en forma de ecuación:
Variable Dependiente y = mx + b Variable Independiente Ejemplo: X Y = 8X – 3 (X,Y)
÷
de
pe
nd
ie
nt
e
x
18
Los taxis cobran $5.00 por cada km recorrido más $ 8.00 por el servicio ¿Cuánto cobran por un viaje? Si: viaje = $5.00 (x km recorridos) + $8.00 por recorrido Entonces: y = 5x +8
X km Y = 5x + 8
1 Y = 5(1) +8 =13
2 Y = 5(2) +8 =18
3 Y = 5(3) +8 =23
4 Y = 5(4) +8 =28
5 Y = 5(5) +8 =33
6 Y = 5(6) +8 =38
Graficando:
PROPÓSITO 16
Graficar la relación entre 2 variables.
Plantear la ecuación y solución correspondiente: Si el impuesto sobre la renta representa el 10 % del salario del trabajador, entonces: ¿Cuánto dinero recibe al mes una persona por su trabajo? Salario mensual neto= salario total – 10 % de salario total y = x – 0.10 x Asignando valores a “x”
x y = x – 0.10x
$ 3000 Y = 3000 – 0.10(3000)=$ 2,700
$ 4000 Y = 4000 – 0.10(4000)=$ 3,600
$ 5000 Y = 5000 – 0.10(5000)=$ 4,500
$ 6000 Y = 6000 – 0.10(6000)=$ 5,400
$ 7000 Y = 7000 – 0.10(7000)=$ 6,300
19
$ 8000 Y = 8000 – 0.10(8000)=$ 7,200
Graficando:
PROPÖSITO 17
Resolver problemas utilizando gráficas.
Las tablas y las gráficas permiten encontrar regularidades en los
datos y compararlos. Ejemplo:
Quiere usted saber que le conviene más, contratarse:
Por $2,300 al mes más $10 de comisión por cada venta, o sea:
Salario total (Y) = $2300 + $10 (X no. de ventas)
Y = 2300 + 10X
Por $1,500 al mes más $30 de comisión por cada venta, o sea:
Salario total (Y) = $1500 + $30 (X no. de ventas)
Y = 1500 + 30X
Asignando valores a “X”
X Y =2300 + 10X Y =1500 + 30X
10 Y = 2300 + 10(10)=$ 2,400 Y = 1500 + 30(10)=$ 1,800
20 Y = 2300 + 10(20)=$ 2,500 Y = 1500 + 30(20)=$ 2,100
30 Y = 2300 + 10(30)=$ 2,600 Y = 1500 + 30(30)=$ 2,400
40 Y = 2300 + 10(40)=$ 2,700 Y = 1500 + 30(40)=$ 2,700 50 Y = 2300 + 10(50)=$ 2,800 Y = 1500 + 30(50)=$ 3,000
Con más de 40 ventas le conviene el segundo contrato.
UNIDAD 6: SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS.
PROPÓSITO 18
Resolver problemas que involucran un sistema de
ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
mediante los métodos de suma o resta, y sustitución.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se
utiliza básicamente el método de eliminación de una incógnita que
implica reducir el sistema a una sola ecuación aplicando:
Eliminación por Igualación
Eliminación por sustitución
Eliminación por suma o resta
Nota: Se hará referencia de ecuaciones como ①, ②, ③, ….
Y= X - 0.10X
20
Ejemplo:
Luz compró el uniforme escolar de sus hijas, por 4 blusas y 2 faldas
pago $1200; En esa tienda Rita por 2 blusas y 3 faldas pago $1200.
¿Cuál es precio de cada blusa y cada falda del uniforme?
MÉTODO DE SUMA Y RESTA
Si b= blusa, f=falda, el sistema de ecuaciones es:
: 4b + 2f = 1200
: 2b + 3f = 1200
x(-2): -4b – 6f =-2400
+ : 4b + 2f = 1200
4f = – 1200
Por (-1) (-1) ( 4f = – 1200)
4f = 1200
f= 1200 =300
4
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Gaby elabora tapetes de dos tamaños, el tapete pequeño lo vende
en $250 y el tapete grande lo vende en $450. En total vendió y
reunió $4000. ¿Cuántos tapetes de cada tamaño vendió?
El procedimiento es despejar en una ecuación una incógnita y
sustituir su expresión algebraica en la otra ecuación, realizando las
operaciones necesarias para obtener su solución.
p= Tapete Chico
t= Tapete Grande
: p + g = 12
: 250p + 450g = 4000
Despejando “x” de: p = 12 – g
Sustituyendo “p” en: 250(12 - g) + 450g = 4000
3000 – 250g + 450g = 4000
3000 + 200g = 4000
200g = 4000 – 3000
g =
g = 5 Sustituyendo g=5 en : p + g = 12 P + (5) = 12 p = 12 – 5 p = 7 Comprobando en : p + g = 12 (7) + (5) = 12 12 = 12
PROPÓSITO 19
Aplicar métodos para resolver un sistema de
ecuaciones con dos incógnitas: suma o resta,
sustitución y método gráfico.
MÉTODO DE IGUALACIÓN. Por 7 veladoras y 8 kg de piloncillo, Toño cobro $74; y por 9 veladoras y 3
kg de piloncillo cobro $66. ¿Cuánto vale 1 veladora y 1 Kg de piloncillo?
X= veladora, y= kg de Piloncillo; determinando el sistema de ecuaciones:
7x + 8y = 74
9x + 3y = 66
Despejando “y” en ambas ecuaciones:
7x + 8y = 74 9x + 3y = 66
8y = 74 – 7x 3y = 66 – 9x
Básicamente el método consiste en igualar los números de una de las incógnitas a eliminar en ambas ecuaciones, de tal manera que una resulte de signo contrario a la otra, para realizar la suma algebraica y sea eliminada, obteniendo una sola ecuación con una incógnita.
21
y = 74 – 7x y = 66 – 9x
8 3
Igualando las dos expresiones algebraicas de “y”; luego resolviendo hasta obtener el valor de “x”: 74 – 7x = 66 – 9x
8 3
3(74 – 7x) = 8(66 – 9x)
222 – 21x = 528 – 72x
72x – 21x = 528 – 222
51x = 306
x =
x = 6
Sustituyendo el valor de x en cualquier ecuación del sistema original:
7x + 8y = 74 8y = 74 – 42 y =
7(6) + 8y = 74 8y = 32 y = 4
42 + 8y = 74
MÉTODO DE GRAFICACIÓN.
¿En una tienda hay 20 paquetes de papel sanitario, pero no se sabe
cuántos son de 18 rollos y cuantos de 24 rollos?, solo se sabe que
en total hay 384 rollos.
X = paquete de 18 rollos; y = paquete de 24 rollos
Se determina el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 20
18x + 24y = 384
Despejando “y” en ambas ecuaciones:
x +y = 20 18x + 24y = 384
y = 20 – x 24y = 384 –18x
y = 384 – 18x
24
Realizando una tabla de datos asignando valor a X, y calculando Y
X y = 20 – x y = 384 – 18x
24
0 20 16
4 16 13
8 12 10
12 8 7
16 4 4 20 0 1
Analizando la gráfica realizada, se concluye que:
22
Como las líneas se cortan en el punto (16, 4):
X = 16, Y= 4
Entonces hay 16 paquetes de 18 rollos y 4 paquetes de 24 rollos
Comprobando en una de las ecuaciones del sistema original:
18x + 24y = 384
18(16) + 24(4) = 384
288 + 96 = 384
UNIDAD 7: MONOMIOS Y POLINOMIOS
PROPÓSITO 20
Modelar Monomios y Polinomios con figuras
geométricas.
Monomio:
Es la expresión algebraica compuesta por un solo término.
3xy -x5
Literal: Es la letra que representa a una incógnita El doble de un número 2x donde la literal x es la incógnita
Coeficiente y Exponente:
5X4
Términos semejantes
Cuando 2 o más expresiones algebraicas (monomios) tienen las mismas
literales y los mismos exponentes se dice que son semejantes.
x, 2x , 25x tienen como termino semejante a x
4xy3, 12xy3, 6xy3, xy3 tienen como termino semejante a xy3
Binomio:
Es la expresión algebraica compuesta por 2 binomios indicando la
operación de suma o resta.
ax – by, 3ab2 + 10ab x2 + 2x2 - 4a +a
Polinomio
Expresión algebraica compuesta por 2 o más términos indicando la
operación de suma o resta.
a2 + 2b – c2 2x2y3 + 5xy – 4ax + 8by
Suma algebraica (suma y/o resta) de términos semejantes
Exponente n $ Literal
Coeficiente
23
Un polinomio se puede reducir al sumar o restar los términos
semejantes que lo componen:
-9x + 21x +2y – y
11x + y
2n + 5mn2 + 4n = 6n + 5mn2
-6xy2 + 2x3y + 2xy2 –x = - 4xy2 +2x3y – x
MODELANDO MONOMIOS EN FIGURAS GEOMETRICAS
Si el contorno de una figura geométrica es el perímetro.
Podemos expresar este perímetro como un monomio:
5a 6d
MODELANDO POLINOMIOS EN FIGURAS GEOMÉTRICAS
Verificando que el perímetro de la figura se expresa como un
polinomio
P= 3m + 4n +6p
PROPÓSITO 21
Sumar y restar Monomios y Polinomios.
Al realizar la suma algebraica de un polinomio, lo que se realiza es
la suma o resta de los términos semejantes del polinomio
(simplificación).
Utilizando correctamente las leyes de los signos resolver:
Primero las operaciones dentro de paréntesis
Si hay operaciones en paréntesis dentro de paréntesis, resolver
Las operaciones de paréntesis interiores y después las siguientes
Operaciones de paréntesis hacia el exterior
= (2n + 4n) + (45nm – 7mn2 +8n)
= 2n +4n + 45nm – 7mn2 +8n
= 14n + 45nm - 7mn2
= (2n + 4n) – (45mn +7mn2 + 8n)
= 2n + 4n – 45mn – 7mn2 – 8n
= - 2n – 45mn – 7mn2
= - (2n + 4n) – [- (9mn +15n) + (45mn +7mn2 8n)]
= - (2n + 4n) – [- 9m - 15n + 45mn – 7mn2 + 8n]
= - 2n – 4n + 9m + 15n - 45mn + 7mn2 – 8n
= n - 36mn + 7mn2
Al restar polinomios, una forma es cambiar el signo a al sustraendo
y realizar la suma correspondiente:
= (3a2 - 6ab) - (7a3 – 8ab)
= (3a2 - 6ab) + (–7a3 + 8ab)
= 3a2 - 6ab – 7a3 + 8ab
= – 4a3 + 2ab
Otra forma de realizar la suma algebraica (suma y/o resta) de
polinomios es acomodar los polinomios en filas con términos
4n 6p
3m
24
semejantes y en caso de resta cambiar el signo al sustraendo y
realizar la suma algebraica correspondiente.
(5mn + 9x2y + 7y) – (8x2y + 3mn – 7y)=
5mn + 9x2y + 7y –
3mn + 8x2y – x 5mn + 9x2y + 7y –3mn – 8x2y + x 2mn + x2y + 7y +x (3a3 – 6ab) – (7a3 – 8ab) =
3a3 – 6ab
–
7a3 – 8ab 3a3 – 6ab –7a3 + 8ab –4a3 + 2ab
(10b2 + 7x3 – 5x) – (6b2 – 9x3 + + x) =
10b2 + 7x3 – 5x
–
6b2 – 9x3 + x 10b2 + 7x3 – 5x
–6b2 + 9x3 – x 4b2 + 16x3 –6x
PROPÓSITO 22
Multiplicar monomios, y un polinomio por un
monomio.
Recordando
Monomio: a 3a 7a2
Binomio: 3m + 2b –7a + 8b2 5x – 3y
Polinomio: 2x – 6y + 5z+ 3w 10a + 5b – 13c +25b2 + c3
Podemos modelar monomios en figuras geométricas y calcular
también sus áreas
Calcular el área de la figura
Si el área de un = lado x lado,
obteniendo las áreas individuales
Entonces:
Área = a2 + ab + ab + b2
Área = a2 + 2ab + b2
25
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.
Al multiplicar un monomio por otro monomio, multiplicar sus
coeficientes y sus literales semejantes.
(a)(a)=a2 (x y) (x y)=x2y2 (x2y2) (x2y2)= x4y4 (x3y2) (x2y3)= x5y5
Al multiplicarse literales semejantes, se obtiene la literal con la
suma de sus exponentes
(x3y2)(x2y3)= x5+2y2+3 = x5y5
(2m)(8m) = (2) (3) (m) (m) = 6m2
(3x)(6y) = (3) (6) (x) (y) = 18xy
(5m2)(4ab) = (5) (4) (m2) (a) (b) = 20m2ab
(m)(m) = m2
(5m)(8m) = (5) (8) (m) (m) = 40 m2
(4x2y2)(2x2y3) = (4) (2) (x3+2) (y2+3) = 8x4y5
MULTIPLICACION DE UN POLINOMIO CON UN MONOMIO
Multiplicar el monomio por cada término del polinomio
(8x + 2xy – y)(5x)= (8x) (5x) + (2xy)(5x) – (y)(5x) = 40x2 + 10x2y – 5xy
Otra forma es: Otro ejemplo:
(8x + 2xy – y) (7x + 4m) (-5x + 3m) =
x (5x) (7x + 4m)
– 40x2 + 10x2y – 5xy x (-5x + 3m)
-35x2 – 20mx
. + 21mx + 12m2
-35x2 + mx + 12m2
.
UNIDAD 8: TEOREMA DE PITAGORAS
PROPOSITO 23
Resolver problemas con potencias cuadradas.
“Raíz cuadrada de”
Si: (L)(L) = L2 Entonces: = L
Si: (L)(L)(L) = L3 Entonces: = L
En ecuaciones con literales elevadas al exponte 2, realizar la
solución hasta despejar la incógnita de la siguiente forma:
X2 + 3 = 28
X2 = 28 – 3
X2 = 25
=
x =
x = 5
26
El área de un kiosco circular es de 200.96 m2, Calcular el radio
= 3.1416
r = radio =?
Área del circulo: A = r2
También: r2= A
Despejando a “r”: r2 =
r =
r =
r =
r = 8 m
PROPÓSITO 24
Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
27
TEOREMA DE PITÁGORAS
“En un triángulo rectángulo
la suma de los cuadrados de los catetos (a2 + b2)
es igual al cuadrado de la hipotenusa (c2)”
Sea: L, a, b, c = lados del cuadrado
A = Área del cuadrado = L2, a2, b2, c2
u2= de 1 x 1
Entonces: L2= L x L
a2 = a x a
b2 = b x b
c2 = c x c
Observado la figura: a= 3, b= 4, c= 5
Por lo tanto: a2 = (a) (a) = 3 x 3 = 9 u2
b2 = (b) (b) = 4 x 4 = 16 u2
c2 = (c) (c) = 5 x 5 = 25 u2
Relacionando valores: 25 = 9 + 16
Relacionando variables: c2 = a2 + b2
despejando “c”: c2 = a2 + b2
c =
despejando “a”: a2 = c2 - b2
a =
despejando “b”: b2 = c2 - a2
b =
¿Cuál es el alto del mástil del velero?
Si a = 5 m y c = 14 m
Entonces: b =
Sustituyendo valores: b =
b =
b =
b = 13.07 m es la altura del mástil.
28
Un poste de 8 m de altura está sujeto por 2 cables que se fijan a
4.5 m de él, de acuerdo a la figura.
¿Cuál es la longitud de cada cable?
Si a =4.5 m
y b = 8 m
Entonces: c =
Sustituyendo valores: c =
c =
c =
c = 9.2 m es la altura del mástil.