DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA Y LA
CONSTRUCCIÓN
CARRERA DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA Y DEL MEDIO AMBIENTE
TESIS PREVIO A LAOBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERIO GEÓGRAFO Y DEL MEDIO AMBIENTE
AUTOR: CAPT. DE E. ROMERO MICHILENA FREDDY OSWALDO
TEMA: MODELO PRELIMINAR DE MOVIMIENTO DE VELOCIDADES DE PLACAS TECTONICAS DE AL MENOS UNA ESTACIÓN DE MONITOREO
CONTINUO
DIRECTOR: PHD. TIERRA ALFONSO
CODIRECTOR: ING. ROBAYO ALEXANDER
SANGOLQUÍ, OCTUBRE 2013
i
CERTIFICACIÓN
PHD. ALFONSO TIERRA ING. ALEXANDER ROBAYO
CERTIFICAN:
Que el trabajo titulado “MODELO PRELIMINAR DE MOVIMIENTO DE
VELOCIDADES DE PLACAS TECTONICAS DE AL MENOS UNA
ESTACIÓN DE MONITOREO CONTINUO” realizado por el Sr. CAPT. de E.
Romero Michilena Freddy Oswaldo ha sido guiado y supervisado
periódicamente, cumple con las normas estatutarias de la Universidad de
Fuerzas Armadas ESPE, previo a la obtención del título de Ingeniero
Geógrafo y del Medio Ambiente.
Sangolquí, Octubre de 2013
_____________________ ________________________
DR. ALFONSO TIERRA ING. ALEXANDER ROBAYO
DIRECTOR CODIRECTOR
ii
DECLARACIÓN DE RESPONSABILIDAD
YO, CAPT. DE E. FREDDY OSWALDO ROMERO MICHILENA
DELACRO QUE:
El trabajo titulado “MODELO PRELIMINAR DE MOVIMIENTO DE
VELOCIDADES DE PLACAS TECTONICAS DE AL MENOS UNA
ESTACIÓN DE MONITOREO CONTINUO” ha sido desarrollado con base a
una investigación exhaustiva, respetando los derechos intelectuales de
terceros, conforme las citas que constan en las referencias bibliográficas a lo
largo y al final del documento. Consecuentemente el presente trabajo es de
mi autoría.
En virtud de esta declaración, me responsabilizo del contenido,
veracidad y alcance científico del proyecto de grado en mención.
Sangolquí, Octubre de 2013
_____________________
CAPT. FREDDY ROMERO
iii
AUTORIZACIÓN
YO, CAPT. DE E. FREDDY OSWALDO ROMERO MICHILENA
Autorizo a la Universidad De Fuerzas Armadas ESPE la publicación en la
biblioteca virtual de la institución del trabajo “MODELO PRELIMINAR DE
MOVIMIENTO DE VELOCIDADES DE PLACAS TECTONICAS DE AL
MENOS UNA ESTACIÓN DE MONITOREO CONTINUO”, cuyo contenido,
ideas y criterios, son de mi exclusiva responsabilidad y autoría.
Sangolquí, Octubre de 2013
_____________________
CAPT. FREDDY ROMERO
iv
DEDICATORIA
Dedico el presente proyecto de tesis a mi esposa Margarita Andrade, pilar
fundamental en todos mis logros alcanzados.
A mis hijos Camila Alejandra y Mathías Daniel, el motor que mueve mi vida.
A mis padres que siempre han sido un ejemplo y apoyo en toda mi vida.
A mis hermanos Karina y Pato por todo su apoyo y conocimientos brindados
A mis queridos suegros Don Camilo y Doña Georgina, que siempre han
estado preocupados por mi bienestar.
A toda mi familia y amigos que colaboraron de alguna u otra forma en mi
logro alcanzado.
v
AGRADECIMIENTO
Agradezco a mi institución el Glorioso Ejército Ecuatoriano por permitirme
mejorar como persona y ser mejor militar.
A mi querida Escuela Politécnica del Ejército por abrirme sus puertas y
dejarme ingresar en el fabuloso mundo del conocimiento.
A la Carrera de Ingeniería Geográfica y del Medio Ambiente por entregarme
todo los conocimientos prácticos teóricos y sobre todo de vida.
A todos los docentes con los que tuve el gusto de compartir buenos y malos
momentos en las aulas.
Al Dr. Alfonso Tierra por ser un ejemplo de maestro y permitirme desarrollar
mi tesis bajo su Dirección.
Al Ing. Alexander Robayo con quien compartir gratos momentos dentro y
fuera de aulas por colaborar como codirector de mi proyecto de tesis
A todos mis compañeros de aula: Lucho, Sebas, Carlos, Andrés, Belén los
cuales los llevo en un lugar muy especial de mi ser, gracias por permitirme
demostrar que los militares somos capaces y sobre todo gracias por
brindarme su amistad
Finalmente gracias a Dios por darme la sabiduría, la paciencia y sobre todo
la capacidad de poder culminar con éxito este reto que me propuse.
vi
ÍNDICE DE CONTENIDOS
Certificación i
Declaración de Responsabilidad ii
Autorización iii
Dedicatoria iv
Agradecimiento v
Índice de contenidos iv
Índice de tablas x
Índice de figuras xii
Índice de anexos xiii
Resumen xiv
Abstract xv
Glosario de términos xvi
CAPÍTULO I
1.1 Antecedentes 1
1.2 Definición del problema 4
vii 1.3 Descripción del área de estudio 5
1.4 Justificación e importancia del problema a resolver 6
1.5 Objetivos 7
1.5.1 Objetivo general 7
1.5.2 Objetivos específicos 8
CAPÍTULO II
2.1 Estaciones de monitoreo continuo 9
2.1.1 Definición 9
2.1.2 Componentes de una red de estaciones GPS permanente 9
2.1.3 Instalación de una estación GPS permanente 11
2.1.4 Objetivos de la estación GPS permanente 13
2.1.5 Red GNSS de monitoreo continuo del ecuador (REGME) 14
2.2 Tectónica de placas 15
2.2.1 Historia de la tectónica de placas 15
2.2.2 Medición del movimiento de las placas 20
2.3 Series temporales 24
viii
2.3.1 Componentes de una serie de tiempo 24
2.4 Método de mínimos cuadrados 28
2.5 Modelos ARIMA 31
2.5.1 Expresión general de un modelo ARIMA 32
2.5.2 Algunas propiedades de un modelo ARIMA óptimo 33
2.5.3 Pasos en la construcción de los modelos ARIMA 37
CAPÍTULO III
3.1 Preprocesamiento de los datos 40
3.2 Modelamiento por mínimos cuadrados 42
3.3 Modelamiento ARIMA 45
CAPÍTULO IV
4.1 Modelos de mínimos cuadrados 50
4.2 Modelos ARIMA 52
4.3 Prueba Chi-cuadrado 54
4.4 Utilidad de los modelos 59
4.5 Mapa de velocidades del ecuador continental 63
ix CONCLUSIONES 64
RECOMENDACIONES 65
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 66
ANEXOS
x
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1 Aplicación y Método GPS
Tabla 2 Principales Modelos de Movimiento de Placas
Tabla 3 Coordenadas UTM estación Esmeraldas
Tabla 4 Media, Desviación estándar, varianza de los datos de la
estación Esmeraldas
Tabla 5 Parámetros de modelo lineal estación Esmeraldas
Tabla 6 Parámetros de modelo lineal estación Riobamba
Tabla 7 Parámetros de modelo lineal estación Loja
Tabla 8 Modelamiento ARIMA para coordenada Este
Tabla 9 Modelo ARIMA aceptados
Tabla 10 Pronósticos para 10 semanas de los modelos aceptados
estación Esmeraldas
Tabla 11 Pronósticos para 10 semanas de los modelos aceptados
estación Riobamba
Tabla 12 Pronósticos para 10 semanas de los modelos aceptados
estación Loja
Tabla 13 Cálculo de Chi-cuadrado de las diferentes estaciones
xi Tabla 14 Residuos de los pronósticos con datos observados Estación
Riobamba
Tabla 15 Residuos de los pronósticos con datos observados Estación
Esmeraldas
Tabla 16 Residuos de los pronósticos con datos observados Estación
Loja
Tabla 17 Velocidad de desplazamiento de las estaciones del Ecuador
xii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura No. 1 Red GNSS de Monitoreo continuo del Ecuador (OCT-
2012)
Figura No. 2 Deriva Continental
Figura No. 3 Nombres y Distribución de las placas
Figura No.4 Serie de tiempo con tendencia creciente
Figura No. 5 Serie de tiempo con estacionalidad y ciclisidad
Figura No. 6 Serie de tiempo aleatoria
Figura No. 7 Esquema simplificado metodología Box-Jenkins
Figura No. 8 (a) Gráficas de la serie de tiempo, (b) Autocorrelación
total y (c) Autocorrelación parcial de la coordenada este
Figura No. 9 Mapa de Modelo de Velocidades de las Estaciones GPS
Permanente del Ecuador
xiii
ÍNDICE DE ANEXOS
ANEXO 1 Monografías de las estaciones GPS de monitoreo continuo
pertenecientes a la REGME; estación de Esmeraldas, Loja y
Riobamba
ANEXO 2 Gráficas de series de tiempo, autocorrelación total y
autocorrelación parcial de las estaciones permanentes GPS del
Ecuador
ANEXO 3 Modelos ARIMA
ANEXO 4 Datos observados, calculados y residuales de las estaciones
GPS de monitoreo continuo pertenecientes a la REGME
xiv
RESUMEN
En la actualidad existe la necesidad de reducir errores y mejorar las
precisiones en los trabajos de tanto de Topografía como de Geodesia,
existen organismos internacionales y nacionales que se encargan de
desarrollar tecnologías acordes a la época orientadas todas estas e tener
una mejor apreciación de la realidad de nuestro planeta, un planeta activo y
cambiante constantemente. La tecnología GPS ha permitido dar un salto
enorme en lo que concierne a redes geodésicas nacionales y regionales,
obteniendo gran cantidad de información, la que de no ser manejada
eficientemente sería únicamente eso, información. El presente proyecto de
tesis recopiló la información de estaciones GNSS del país pertenecientes a
la REGME, y se realizó modelos para determinar cómo y hacia donde se
mueven las placas del país. Esta información es importante ya que existen
modelos globales y regionales, pero se generó un modelo de velocidades
nacional que pretende ser útil en las diferentes transformaciones de datos
que se requiera.
xv
ABSTRACT
There is now the need to reduce errors and improve precision in the work of
both of Surveying and Geodesy, there are international and national
agencies are responsible for developing technologies appropriate to the time-
oriented all these and have a better appreciation of reality of our planet, a
planet active and constantly changing. GPS technology has enabled a
quantum leap with respect to national and regional geodetic networks,
obtaining large amount of information, which if not handled efficiently would
be only that, information. This thesis project information collected GNSS
stations belonging to the REGME country, and was made models to
determine how and where plates move the country. This information is
important as there are global and regional models, but generated a national
velocity model should be useful in the various data transformations required.
xvi
GLOSARIO DE TÉRMINOS
IGM Instituto Geográfico Militar
SIRGAS Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas
GNSS Sistema Mundial de Navegación por Satélite
IUGG Unión Internacional de Geodesia y Geofísica
CEPGE Centro de Procesamiento de datos GNSS del Ecuador
REGME Red GNSS de monitoreo continuo del Ecuador
ITRF Marco de Referencia Terrestre Internacional
GRS80 Geodetic Reference System de 1980
MORVEL Mid-ocean ridge velocities
VEMOS Modelo de Velocidades para América del Sur y El Caribe
PSAD 56 Preliminary South American Datum 1956
WGS84 World Geodesic Sistem de 1984
UTM Universal Trasversal of Mercator
NAVSTAR Navigation System Time And Ranging
GLONASS Russia´s Global Navigation Satellite System
CAPÍTULO I
ASPECTOS GENERALES
1.1 ANTECEDENTES
Las técnicas de posicionamiento GNSS (Global Navegation Satellite
System) han revolucionado dentro de la historia de metodologías de
mediciones y obtención de datos espaciales. Durante los últimos años se
han desarrollado estas técnicas con el avance de la tecnología satelital y de
las comunicaciones, que ahora no solamente se utilizan para obtener
posicionamiento, sino también para diferentes aplicaciones antes no
imaginadas. Vale la pena recordar cuando se realizaban apenas mediciones
a partir de cinta o levantamientos topográficos con taquímetros y regletas,
que actualmente han sido cambiadas por equipos de recepción GNSS.
Una de las aplicaciones posibles para estos datos GNSS es la
geodinámica de las placas tectónicas del planeta
ASPECTOS GENERALES 2
La Tierra no es un cuerpo muerto como Marte, su núcleo central muy
caliente y actuando como verdadero motor de los cambios geológicos que
afectan a su superficie.
La erosión borra las huellas de pasados acontecimientos, pero los
volcanes y los terremotos continúan demostrando su actividad. Éstos
además, proporcionan pistas sobre la estructura interna de la Tierra: al situar
sobre un mapa se verá que su distribución no es aleatoria, al contrario, la
mayoría se encuentra siguiendo líneas de actividad bien definidas, zonas
donde el material del manto terrestre sale a la superficie o donde grandes
bloques de la corteza se desplazan produciendo movimientos sísmicos.
Aunque inicialmente controvertida, en los años sesenta surgió la teoría
que sugiere que estas líneas de actividad son en realidad los márgenes de
placas que se mueven sobre la superficie terrestre. La ciencia ha
demostrado que dicha superficie está compuesta por diversas placas de
unos 80 kilómetros de espesor, las cuales se desplazan lentamente sobre
una masa más fluida.
No está claro cuál es el motivo del movimiento de las placas, pero se
sustenta debido a un fenómeno de convección. La materia del manto
terrestre, más caliente, cuanto más cerca estuviera del núcleo, más
ascendería empujando las placas, para volver a descender al enfriarse. Algo
similar pasa con el aire de la atmósfera.
ASPECTOS GENERALES 3
Otra teoría alternativa sugiere que el fondo marino más antiguo, más frío
y pesado, sería atraído por la gravedad con mayor fuerza que los fondos
más jóvenes, provocando desplazamientos.
En todo caso, las placas cambian de posición, chocando entre ellas, y
deslizándose unas debajo de otras. En estos puntos la actividad geológica
es más intensa, provocando la aparición de montañas o de profundas cimas.
Los continentes y el fondo de los océanos descansan sobre las placas,
de esta manera, el desplazamiento modifica su aspecto.
Teniendo en cuenta esta necesidad de conocer como se mueven las
diferentes placas, los científicos del mundo han elaborado varios modelos de
movimiento siendo el mas reciente el modelo llamado MORVEL 2010 (mid-
ocean ridge velocities) para desarrollar este modelo los científicos modelaron
datos de 25 años, este ofrece una descripción precisa de los movimientos
relativos de 25 placas tectónicas que representan el 97 por ciento de la
superficie de la Tierra (Geophisical Journal Internartional, Geologically, 2010)
El Modelo de Velocidades para América del Sur y El Caribe (VEMOS
2009) ha sido calculado a partir de las coordenadas SIRGAS95 y
SIRGAS2000, de las velocidades de las estaciones SIRGAS-CON
determinadas por el IGS-RNAAC-SIR y de diferentes proyectos
geodinámicos desarrollados en la región.
ASPECTOS GENERALES 4
1.2 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
Existen Sistemas de Referencia que tienen el origen desplazado del
centro de masas de la Tierra, estos se encuentran referidos a datums locales
para buscar un mejor acoplamiento del elipsoide de referencia a una zona
determinada, el Ecuador sin quedar lejos de estas exigencias del momento,
realizó toda su cartografía en el Sistema PSAD 56.
Actualmente los sistemas de referencia geocéntricos están asociados a
sistemas globales o modernos, el Ecuador vio necesidad de transformar su
cartografía antigua referida a PSAD 56 a los nuevos sistemas de referencia
(WGS84, o los llamados ITRFs).
Para realizar esta transformación se realizaron varias investigaciones en
las que se determinó parámetros de transformación entre sistemas, sin
embargo en ninguna de estas investigaciones se calculó la velocidad de
movimiento, se limitaron a utilizar la velocidad generada en modelos
regionales (VEMOS 2009) para dicha transformación.
Además de ser necesario estos vectores de velocidad para la
transformación entre sistemas, también se requiere de los mismos para el
traslado de las coordenadas fiduciales desde la época de referencia a la
época de observación. Es decir, las coordenadas asociadas a SIRGAS95
deben trasladarse desde 1995.4 al día en que se hace el levantamiento
GNSS, por ejemplo 2013.0.
ASPECTOS GENERALES 5
Las velocidades Vx, Vy, Vz de las estaciones de referencia deben
obtenerse preferiblemente del análisis de posicionamientos GNSS repetitivos
que cubran un intervalo mínimo de tiempo de dos años (VEMOS 2009)
1.3 DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO
Ecuador es un país situado en la parte noroeste de América del Sur.
Ecuador limita al norte con Colombia, al sur y al este con Perú y al oeste con
el océano Pacífico. El país tiene una extensión de 283 561 km² y una
población de más de 15 millones de personas. Ecuador es surcado de norte
a sur por una sección volcánica de la cordillera de los Andes conformada por
alrededor de 70 volcanes, siendo el más alto el Chimborazo, con 6.310
msnm. Al oeste de los Andes se presentan el Golfo de Guayaquil y una
llanura boscosa; y al este, la Amazonia. Es el país con la más alta
concentración de ríos por kilómetro cuadrado en el mundo. En el territorio
ecuatoriano, que incluye las islas Galápagos 972 km al oeste de la costa, se
encuentra la biodiversidad más densa del planeta. Ecuador consta como el
principal exportador de banano a nivel mundial y uno de los principales
exportadores de flores, camarones y cacao. Políticamente, el Ecuador es un
Estado constitucional republicano y descentralizado, dividido político-
administrativamente en 24 provincias las cuales se dividen en cantones, los
mismos que se dividen en parroquias urbanas y rurales.
Para la presente investigación se utilizarán los puntos de la red GNSS de
monitoreo continuo del Ecuador (REGME). La REGME (IGM), se encuentra
constituida por 31 estaciones (hasta Oct-2013) distribuidas en todo el
ASPECTOS GENERALES 6 territorio continental y 2 estaciones en Galápagos, cubriendo el 95% de la
superficie nacional, las cuales captan datos GNSS las 24 horas del día, los
365 días del año, proporcionando información necesaria para realizar el
procesamiento diferencial de información GPS, sin necesidad de salir al
campo para la colocación de bases GPS, que muchas veces generan
problemas de logística y accesibilidad a los puntos; así como aumento del
presupuesto.
Figura No. 1 Red GNSS de Monitoreo continuo del Ecuador (Oct-2013)
Fuente: IGM, Disponible en: http://www.geoportaligm.gob.ec.
1.4 JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA DEL PROBLEMA A
RESOLVER
El Ecuador ha resuelto en parte el problema de transformar su
cartografía local referida al sistema PSAD 56, lo ha hecho calculando los
ASPECTOS GENERALES 7 parámetros de transformación, sin embargo no se ha calculado los vectores
de velocidad
En el Ecuador hay varias estaciones de monitoreo continuo de la red
GNSS, las cuales han sido distribuidas en diferentes puntos del país. Los
datos generados en estas estaciones desde su instalación pueden ser
utilizados para la generación de un modelo de movimiento de placas
tectónicas
La presente investigación tiene como objeto el modelar el
comportamiento de los datos generados por la REGME, para obtener los
valores de movimiento necesarios para realizar la trasformación de la
cartografía local, ya que actualmente se utilizan los vectores de velocidad del
modelo VEMOS 2009
Estos vectores no solo se utilizarán para la transformación entre
sistemas de referencia, sino que pueden ser utilizados en el posicionamiento
GPS, para el traslado de las coordenadas fiduciales a la época de
observación
1.5 OBJETIVOS
1.5.1 OBJETIVO GENERAL
Generar un modelo preliminar de movimiento de velocidades de placas
tectónicas de al menos una estación de monitoreo continuo
ASPECTOS GENERALES 8
1.5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Pre procesar los datos de las Estaciones de Monitoreo Continuo
obtenidos de la página oficial de SIRGAS, para obtener coordenadas UTM
entendibles para el usuario común, mediante el empleo del software Excel
Aplicar modelos matemáticos y estadísticos a los datos de las estaciones
de monitoreo continuo para obtener el mejor modelo de velocidades,
mediante el empleo de herramientas tecnológicas actuales
Generar un mapa de velocidades de las estaciones GPS permanentes
utilizadas en esta investigación, para tener una idea clara de cómo y hacia
donde se mueven estas, utilizando las técnicas cartográficas aprendidas a lo
largo de la formación académica
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1 ESTACIONES DE MONITOREO CONTINUO
2.1.1 DEFINICIÓN
Una estación de monitoreo continuo GPS es un antena más receptor
GPS que funciona de manera permanente, se encuentra ubicado en un
punto previamente seleccionado sobre la superficie terrestre (VILLELLA,
2006).
2.1.2 COMPONENTES DE UNA RED DE ESTACIONES GPS
PERMANENTE
Paraque los datos obtenidos por estaciones de monitoreo continuo sean
utilizables se deben asociar en una red de estaciones GPS, para Brunini,
CimbaroGalbán y Zakrajsek (2004), estas redes se encuentran
conformadas por tres componentes fundamentales;
MARCO TEÓRICO 10
La primera la constituyen las estaciones GPS permanentes funcionando
en forma autónoma, esta constituye la componente principal de la red,
pues cumple con la misión de recolectar las observaciones GPS de las
que se nutre toda la red.Los elementos básicos necesarios para instalar
una estación permanente son los siguientes:
Un receptor y una antena GPS geodésicos;
Una PC para almacenar y administrar la información;
Programas de automatización;
Conexión a Internet;
Fuente ininterrumpida de energía (UPS).
La segunda componente la constituye un centro de coordinación y
almacenamiento de datos, a este centro se encuentran conectadas
todas las estaciones GPS permanentes. Su finalidad es la coordinar el
funcionamiento de la red y almacenar las mediciones realizadas por
todas las estaciones en un único servidor, donde se pone a disposición
de los usuarios, constituyéndose en el primer producto tangible de la red.
Este centro es también la boca de acceso a toda la información
concerniente a la red y a todos los servicios que esta brinda a sus
usuarios.
La tercera componente tiene la misión de procesar las observaciones de
la red en uno o varios centros de cálculo, para obtener coordenadas de
las estaciones, correcciones ionosféricas para receptores GPS de simple
MARCO TEÓRICO 11
frecuencia y otros productos útiles para la comunidad profesional o
científica.
Toda la información y productos generados por la red, son puestos a
disposición de la comunidad a través de un servicio en línea es decir a
través del Internet (p.1)
2.1.3 INSTALACIÓN DE UNA ESTACIÓN GPS PERMANENTE
La instalación de una estación permanente es libre, para hacerlo no se
requiere de ningún permiso, ni es necesario su registro; sin embargo para
que sus datos sean confiables es recomendable que pertenezca a una red
en la que si se exigen ciertas reglas básicas para su instalación y
funcionamiento entre las que se destaca las siguientes:
Contar con receptor y antena de doble frecuencia
Posibilidad de rastrear al menos 8 satélites sobre los 10º de
elevación
Disponer , también, que el receptor reciba los códigos C/A y P
Antena estable
Distribución libre de los datos, preferentemente en forma diaria
Acceso a los datos a través de Internet
Intervalo de registro 30 segundos o menor
Mantenimiento adecuado de todas las instalaciones
MARCO TEÓRICO 12
Si bien lo ideal es cumplir con todas estas condiciones, existen dos
aspectos de gran importancia práctica que siempre obligan a buscar una
solución de compromiso:
La operación rutinaria de la estación simplifica si el receptor
esta instalado en el mismo lugar donde trabaja el personal que
la atiende, de manera que estos no están obligados a
trasladarse para realizar los controles de rutina
Si la estación se halla lejos de los centros que concentran la
actividad económica de la región su impacto socioeconómico
es mucho menor.
Para elegir un sitio adecuado para instalar una estación permanente
deben observarse algunos requisitos, entre los más importantes se tiene:
El horizonte entorno a la antena debe estar despejado para
permitir la recepción de satélites con ángulo de elevación
mayor a 3°
En las cercanías de la antena no debe encontrarse objetos que
puedan interferir con las señales GPS o la existencia de multi
trayectorias
El terreno debe ser geológicamente estable
La antena debe estar montada sobre una estructura rígida y
perdurable
MARCO TEÓRICO 13
El sitio debe estar libre de interferencias electromagnéticas que
puedan perturbar o impedir la recepción de las señales de los
satélites
Debe contarse con la infraestructura indispensable para
asegurar el funcionamiento de la estación (energía eléctrica,
con Internet, seguridad, accesibilidad fácil para el personal,
etc.)
2.1.4 OBJETIVOS DE LA ESTACIÓN GPS PERMANENTE
Una estación permanente puede ser instalada por cualquier organismo
público o privado, pero es verdaderamente importante que todas las que se
instalen se integren en la red nacional de estaciones GPS permanentes.
Esta red permite satisfacer objetivos muy importantes, entre los que pueden
distinguirse:
Reducir costos en equipamiento que deben realizar los
profesionales para trabajar con GPS.
Mejorar el rendimiento de los trabajos de campo, pues muchas
tareas podrán llevarse a cabo con un solo receptor de simple
frecuencia.
Mejorarla georreferenciación de los catastros provinciales y
municipales
Perfeccionar el marco de referencia nacional y contribuir con el
marco de referencia mundial ITRF
Determinarlos movimientos de la corteza terrestre
MARCO TEÓRICO 14
Realizar estudios climatológicos
Investigarla variabilidad ionosférica, etc.
2.1.5 RED GNSS DE MONITOREO CONTINUO DEL ECUADOR (REGME)
Actualmente, la REGME materializa el sistema SIRGAS – ECUADOR en
el país. Es un conjunto de estaciones (receptores GNSS doble frecuencia
con sus respectivas antenas geodésicas del tipo choke ring) de recepción
continua, enlazadas a SIRGAS, que captan datos GPS y GLONASS los 365
días del año las 24 horas del día proporcionando al usuario información
satelital necesaria para realizar el procesamiento diferencial satelital,
considerando la variación de las coordenadas en el transcurso del tiempo.
Se encuentra constituida por 31 estaciones distribuidas en todo el territorio
continental y 2 estaciones en Galápagos, cubriendo el 95% de la superficie
nacional como se muestra en la fig. 1 (Red GNSS de Monitoreo continuo del
Ecuador).
Esta red se constituye en el marco geodésico de referencia nacional y
proporciona a los usuarios de información georeferenciada, una referencia
de alta precisión compatible con los sistemas satelitales de navegación
global para la realización de trabajos geodésicos, topográficos, obras de
ingeniería, mapeo, geofísica, demarcación, prospección minera y petrolera,
entre otros.
La REGME cuenta con el apoyo de las siguientes instituciones
nacionales e internacionales:
MARCO TEÓRICO 15
CLIRSEN, Centro de Levantamientos Integrados de Recursos
Naturales por Sensores Remotos.
Colegio Militar No. 7, Grad. Miguel Iturralde.
DGFI, Deutsches Geodätisches Forschungs institut (Alemania)
ETAPA, Empresa Pública Municipal de Telecomunicaciones,
Agua Potable, Alcantarillado y Saneamiento de Cuenca.
GAPMS, Gobierno Autónomo Provincial de Morona Santiago
GMCM , Gobierno Municipal del Cantón Macas
GPI, Gobierno Provincial de Imbabura .
IBGE, Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (Brasil)
IGEPN, Instituto Geofísico de la Escuela Politécnica Nacional
ILUSTRE MUNICIPALIDAD DE CUENCA
NGA, National Geospatial Intelligence Agency
SIRGAS, Sistema de Referencia Geocéntrico para las
Américas
UTEQ, Universidad Técnica Estatal de Quevedo
UTPL, Universidad Técnica Particular de Loja
2.2 TECTÓNICA DE PLACAS
2.2.1 HISTORIA DE LA TECTÓNICA DE PLACAS
Durante miles de millones de años se ha dado un lento pero continuo
desplazamiento de las placas que forman la corteza del planeta Tierra, esto
originó la llamada "tectónica de placas". La tectónica de placas es el nombre
MARCO TEÓRICO 16 de un modelo de la superficie de la Tierra esta teoría considera que la
corteza y el manto superior (litósfera) están formados por una serie de
placas que continuamente cambian su posición relativa, unas respecto a
otras produciendo elevaciones, fallas, volcanes, mares y terremotos.
En 1620, el filósofo inglés Francis Bacon se fijó en la similitud que
presentan las formas de la costa occidental de África y la costa oriental de
Sudamérica, aunque no sugirió que los dos continentes hubiesen estado
unidos antes. La propuesta de que los continentes podrían moverse la hizo
por primera vez en 1858 Antonio Snider, un estadounidense que vivía en
París. En 1915 el meteorólogo alemán Alfred Wegener publicó el libro "El
origen de los continentes y océanos", donde desarrollaba esta teoría, por lo
que se le suele considerar como autor de la teoría de la "deriva continental"
como se muestra en la fig. 2
MARCO TEÓRICO 17
Figura No. 2 Deriva Continental
Fuente: http://www.portalplanetasedna.com.ar
La tectónica de placas considera que la litósfera está dividida en varios
grandes segmentos relativamente estables de roca rígida, denominados
placas, como se muestra en la fig. 3, las mismas que se extienden por el
MARCO TEÓRICO 18 globo como caparazones curvos sobre una esfera. Existen siete grandes
placas como la Placa del Pacífico y varias más chicas como la Placa de
Cocos frente al Caribe.
Por ser las placas parte de la litósfera, se extienden a profundidades de
100 a 200 km. Cada placa se desliza horizontalmente relativa a la vecina
sobre la roca más blanda inmediatamente por debajo. Más del setenta por
ciento del área de las placas cubre los grandes océanos como el Pacífico, el
Atlántico y el Océano Indico.
Figura No. 3 Nombres y Distribución de las placas
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
MARCO TEÓRICO 19
Las placas descansan sobre una capa de roca caliente y flexible,
llamada astenósfera, que fluye lentamente a modo de alquitrán caliente.
Los geólogos todavía no han determinado con exactitud cómo
interactúan estas dos capas, pero las teorías más vanguardistas afirman que
el movimiento del material espeso y fundido de la astenósfera fuerza a las
placas superiores a moverse, hundirse o levantarse.
“El concepto básico de la teoría de la tectónica de placas es simple y
muy similar a lo que ocurre en la atmósfera y con el agua de los océanos: El
aire caliente asciende por encima del aire frío y las corrientes de agua
caliente flotan por encima de las de agua fría. El mismo principio se aplica a
las rocas calientes que están bajo la superficie terrestre: el material fundido
de la astenósfera, o magma, sube hacia arriba, mientras que la materia fría y
endurecida se hunde cada vez más hacia al fondo, dentro del manto. La roca
que se hunde finalmente alcanza las elevadas temperaturas de la
astenósfera inferior, se calienta y comienza a ascender otra vez”.(Tectónica
de placas disponible en: http://www.astromia.com/tierraluna/tectonica.htm)
Este movimiento continuo y, en cierta forma circular, se denomina
convección. En los bordes de la placa divergente y en las zonas calientes de
la litosfera sólida, el material fundido fluye hacia la superficie, formando una
nueva corteza.
MARCO TEÓRICO 20
2.2.2 MEDICIÓN DEL MOVIMIENTO DE LAS PLACAS
Hace 225 millones de años, aún existía un único continente denominado
Pangea. Hoy en día, Pangea se ha fragmentado, el agua ha invadido las
zonas bajas y la apariencia de la Tierra ha variado sustancialmente. Por
supuesto, seguirá cambiando con el paso del tiempo.
Sin embargo, no ha sido fácil demostrar, que efectivamente las placas se
están moviendo hoy en día, ya que el desplazamiento es muy lento y su
medición muy complicada; hemos tenido que esperar a la llegada de la era
espacial para poder constatar que efectivamente aún existe una tectónica de
placas es decir que estas se mueven.
Las velocidades calculadas para este fenómeno no suelen superar unos
pocos centímetros al año, así que el grado de precisión en la medición de las
distancias entre placas debe ser muy elevado. El uso de satélites es uno de
los sistemas más precisos empleados en la actualidad, en sus dos
modalidades, óptica y electrónica.
Los satélites geodésicos como el ANNA-1B (Primer satélite geodésico
puesto en órbita en 1962), sirven como puntos de referencia de dos o más
lugares situados sobre la superficie terrestre. Basta con utilizar una cámara
en dirección al satélite para obtener una imagen sincronizada de su paso
sobre el bien conocido cielo estelar. La comparación de diversas imágenes
procedentes de varios lugares de observación permite realizar cálculos de
triangulación bastante aproximados.
MARCO TEÓRICO 21
Mayor precisión se obtiene utilizando señales de radio (teniendo en
cuenta el efecto Doppler) o, sobre todo, rayos láser, que son enviados hacia
el satélite para ser reflejados y retornar al punto de origen. El láser es
apuntado hacia el vehículo y activado según un protocolo de tiempo
predeterminado. Cuando se detecta el retorno del pulso mediante un
dispositivo fotoeléctrico, es posible medir la distancia exacta entre el satélite
y el punto de observación.
Este tipo de medidas se hace en condiciones de luminosidad ambiental
adecuadas. Dos mediciones simultáneas desde dos puntos distintos permite
determinar las coordenadas de uno de ellos respecto al otro y por tanto la
distancia entre ambos.
Otro método muy utilizado en la actualidad es el sistema GPS
La mejora al nivel de centímetro o a una precisión mejor es obtenida
usando los retardos de la fase de los portadores de la microonda. El uso de
señales diferenciadas reduce errores de reloj. Combinar ambas frecuencias
transmitidas quita los retardos causados por el paso de las señales del GPS
a través de la ionosfera. Los retardos troposféricos se pueden estimar para
reducir errores de la posición y, además, para proporcionar datos
atmosféricos valiosos. El elemento final para los levantamientos de alta
precisión es proporcionado por un continuo funcionamiento de las estaciones
permanentes GPS y de los centros de datos a los que estas estaciones
pertenecen. Con estas respectivas correcciones la precisión a la que llegan
puede ser de 5 a 10 mm.
MARCO TEÓRICO 22
La distribución mundial de las estaciones permanentes es crucial para
los estudios locales del GPS y proporciona valiosos datos para los estudios
globales. Un rango de instrumentos y de las técnicas del GPS está
disponible para tratar una variedad amplia de aplicaciones de la
investigación.
Tabla 1 Aplicación y Método GPS
Fuente: José Francisco Espinoza Matos, Universidad Nacional de
Ingeniería, Lima-Perú
Precisión Método Ciencia Escala Típica
2-5 mm Geodesia Alta
Precisión
(Doble
frecuencia)
Tectónica de placas, Deformación de
límite de placas, rebote glacial,
Deformación intersísmica y
postsísmica, volcanes
10 - 1000´s km
2-5 mm Geodesia Alta
Precisión
(frecuencia
única)
Volcanes, zonas de falla, tide
gauges,
edificios y estructuras
<10 km
1-10 cm Cinemática en
tiempo real,
rápida estática
Faultscarpde bastante alta precisión
y mapeo de intersección,
upliftedterracemapping,
topografía de alta precisión,
volcanes,
edificios y estructuras.
<10 km
MARCO TEÓRICO 23
Con los datos proporcionados por las estaciones GPS permanentes y
aplicando varias metodologías han sido desarrollados varios modelos que
explican el movimiento de las placas tectónicas
Los modelos más reconocidos desarrollados en base a esta temática son
los siguientes:
Tabla 2 Principales Modelos de Movimiento de Placas
Fuente: UNAVCO
MODELO AUTOR
MORVEL (2010) DeMets, Gordon, y Arugs [2010]
APKIM2005 Drewes [2009]: soluciones ITRF2005 sitio DGFI o IGN
GSRM v1.2 (2004) Kreemer, Holt, y Haines [2003] + actualizaciones
CGPS (2004) Prawirodirdjo y Bock [2004] + actualizaciones
mensuales
REVEL 2000 Sella, Dixon, y Mao [2002]
ITRF2000 (AS&B [2002])
Altamimi, Sillard, y Boucher [2002]
HS3-NUVEL 1ª Gripp y Gordon [2002]
APKIM2000 Drewes [1998], Drewes y Angermann [2001]
ITRF2000 (D&A [2001])
Drewes y Angermann [2001]
HS2-NUVEL 1ª Gripp y Gordon [1990], DeMets, Gordon, Argus, y
Stein [1994]
NUVEL 1ª DeMets, Gordon, Argus, y Stein [1994]
NUVEL 1 Argus y Gordon [1991]
VEMOS 2009 Drewes and Heidbach 2009
MARCO TEÓRICO 24
2.3 SERIES TEMPORALES
Una serie temporal es un conjunto de observaciones ordenadas en el
tiempo(TERRÁDEZ, 2004), que pueden representar la evolución de una
determinada variable a lo largo de periodos iguales de tiempo (horas, días,
semanas, meses, trimestres, años, etc) ; estas variables pueden ser de
carácter físico, económico, ambiental, entre otras, y en nuestro caso en
particular las variables a estudiar son las coordenadas de determinadas
estaciones permanentes GPS de la REGME.
El objetivo del análisis de una serie temporal es el conocimiento de su
patrón de comportamiento, para así prever su evolución futura, suponiendo
que las condiciones no variarán.
Las observaciones de una serie de tiempo serán denotadas por:
ntYtYtY , .... , , 21 (1)
Donde: Y es la variable a estudiar que varia en un periodo de tiempo ti
2.3.1 COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO
El análisis clásico de las series de tiempo se basa en la suposición de
que los valores que toma la variable de observación es la consecuencia de
tres componentes, cuya actuación conjunta da como resultado los valores
medidos, estos componentes son (REDUAZ 2012):
MARCO TEÓRICO 25
Tendencia
Estacionalidad
Ciclisidad
Aleatoriedad
La tendencia de una serie de tiempo es el componente de largo plazo
que representa el crecimiento o disminución en la serie sobre un periodo
amplio (figura 4), es decir que no cambiará en el futuro lejano mientras no
hayan cambios significativos o radicales en el entorno en el que se
encuentra inmersa y que determina el comportamiento de la serie de tiempo
en estudio, cambios que podrían ser originados como por ejemplo, por
descubrimientos científicos, avances tecnológicos, fenómenos naturales,
cambios culturales, geopolíticos, demográficos, religiosos, etc.
MARCO TEÓRICO 26
Figura No. 4 Serie de tiempo con tendencia creciente
Fuente: Jorge Galbiati Riesco
El componente estacional es un patrón de cambio que se repite a sí
mismo en un periodo similar de tiempo.El patrón de cambio por lo general es
un aumento o una disminución cuantitativa en los valores observados de una
serie de tiempo específica.
El componente cíclico es la fluctuación en forma de onda alrededor de la
tendencia (figura 5) ; estas ondas señalan las expansiones (ascensos) y las
contracciones (descensos) de los movimientos de una serie alrededor del
valor nominal; en cada ciclo dan las cúspides (valores más altos) y una sima
(valor más bajo). La duración del ciclo se mide por el número de unidades de
período que transcurren de una cúspide previa a la siguiente. Las fuerzas
que son responsables de las fluctuaciones cíclicas son numerosas y
complejas, pero son fundamentalmente factores económicos: por ejemplo:
niveles de inversión, producción, consumo y gastos del sector público, que
MARCO TEÓRICO 27 originan los intervalos de prosperidad, retroceso, depresión y recuperación
de la economía..
Figura No. 5 Serie de tiempo con estacionalidad y ciclisidad
Fuente: Jorge Galbiati Riesco
Esta componente no responde a ningún patrón de comportamiento, sino
que es el resultado de factores fortuitos o aleatorios que inciden de forma
aislada en una serie de tiempo como se muestra en la figura 6
Figura No. 6 Serie de tiempo aleatoria
Fuente: Jonh E. Hanke
MARCO TEÓRICO 28
2.4 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Se trabaja con sistemas de ecuaciones lineales homogéneas (GEMAEL,
1994)
11 LXA nuun (2)
Donde:
ntesindependie términos de Matriz Lincógnitas de Matriz X
escoeficient de Matriz A
Se requiere:
un
Las ecuaciones deben ser linealmente independientes
LAX
LAXAALXA
I
1
11 (3)
La matriz A debe ser una matriz cuadrada, es decir n=u
En el caso de que n>u
MARCO TEÓRICO 29
LAAAX
LAAAXAAAA
LAXAA
TT
TT
I
TT
TT
1
11
(4)
Cada ecuación tiene una inconsistencia, es decir por ejemplo
mm 05,1010
Para esto se debe aumentar un vector de residuos o residuales (V)
VLXA
VVVVV
mT
n
,,.....,,
05,005,1010
321 (5)
Como ahora se tiene mayor número de incógnitas que ecuaciones se
utiliza el método de mínimos cuadrados que nos permite minimizar los
errores
MínimoLXALXA
LXAVMínimoVV
T
T
(6)
Por ser mínimo 0
x
DERIVADAS BILINEALES DE MATRICES
MARCO TEÓRICO 30
yAx
yAx
xAy
yAx
T
TT
(7)
DERIVADAS CUADRÁTICAS DE MATRICES
xAxT xAxAx
xAx TT
(8)
DERIVADA DE UN PRODUCTO
By
Byy
Byy
By
BY
Ay
yAy
yAy
yAYA
TTTnnn
nnn
......
......
21
1
21
1
(9)
LAAAX
LAXAALAXAA
LALAXAAx
TT
TT
TT
TTT
1
022
02
(10)
Para la presente investigación se considera que todas las observaciones
tienen el mismo peso, es decir que ninguna es más importante que otra por
MARCO TEÓRICO 31 lo que se utiliza la matriz identidad para pesos, es decir que lo antes
expuesto no cambia.
2.5 MODELOS ARIMA
En 1970, Box y Jenkins desarrollaron un cuerpo metodológico destinado
a identificar, estimar y diagnosticar modelos dinámicos de series temporales
en los que la variable tiempo juega un papel fundamental, los modelos
ARIMA (MODELO AUTOREGRESIVO INTEGRADO A MEDIAS MÓVILES).
La metodología ARIMA es sólo una pequeña parte de los que se conoce
normalmente como “Econometría de Series Temporales” pero, sin duda
alguna, una de las más utilizadas y germen de otros muchos desarrollos
posteriores.
La principal ventaja de esta metodología es que proporciona
predicciones óptimas en el plazo inmediato y en el corto plazo. Esto se debe
a que la metodología Box-Jenkins nos permite elegir entre un amplio rango
de distintos modelos según represente mejor el comportamiento de los
datos. El sentido de predicciones óptimas significa que ningún modelo
univariante puede ofrecer mejores predicciones que un modelo ARIMA. Esto
no se cumple si se amplía el modelo ARIMA con regresión múltiple o se
utiliza una metodología multivariante.
La principal desventaja de estos modelos es que la determinación del
modelo que mejor se adecua a la serie de datos no es trivial y, por tanto, se
requiere que la persona que realice predicciones tenga amplios
MARCO TEÓRICO 32 conocimientos sobre esta metodología. Esto ha inhibido el uso de esta
metodología para realizar predicciones en el mundo de la empresa, ya que el
aumento de precisión de las mismas no compensaba el coste de
implantación. No obstante, es posible manejar algoritmos automáticos, que
permiten que la persona que utilice estas técnicas no tenga que tener
conocimientos extensos sobre esta materia. Así se lograrán mejores
modelos y, por tanto, mejores predicciones, sin necesidad de ese aumento
del coste de implantación.
2.5.1 EXPRESIÓN GENERAL DE UN MODELO ARIMA
Los modelos ARIMA se construyen a partir de los modelos ARMA, pero
considerando que la serie en estudio para que sea estacionaria en media
tendrá que diferenciarse una serie de veces.
Un modelo ARIMA (p,d,q) es un modelo ARMA(p,q) sobre la serie
diferenciada d veces. Es decir, su expresión algebraica será:
dt
dqtq
dt
dtp
dt
dt pYYY
Movil Media de Comp.
11
sivaAutorregre Comp.
)(110 ...
(11)
Donde:
Yt = variable respuesta;
Yt-1; Yt-p = variable respuesta en los retrasos t-1; t-p
Φ0, Φ1, Φp = coeficientes calculados
MARCO TEÓRICO 33
Ɛt-1; Ɛt-q = errores en períodos anteriores al tiempo t
Ɛt = término de error en tiempo t
(d) = diferenciales de orden d
2.5.2 ALGUNAS PROPIEDADES DE UN MODELO ARIMA ÓPTIMO
A continuación se verán las características generales (MATE, 1994) que
ha de tener un buen modelo ARIMA. Estas características servirán para
posteriormente poder identificar, estimar y verificar el comportamiento de un
modelo ARIMA que ha sido optimizado.
PARSIMONIA (PARQUEDAD)
Box y Jenkins ponen énfasis en que la clave de un buen modelo ARIMA
es que cumpla el principio de parsimonia, que significa sencillez. Así, un
modelo se dice que es parsimonioso si se ajusta a la serie de forma
adecuada sin usar coeficientes innecesarios. Por ejemplo, si un modelo
AR(1) y un modelo AR(2) se comportan de forma prácticamente idéntica,
elegiremos el modelo AR(1) ya que así tendremos que estimar un coeficiente
menos.
El principio de parsimonia es importante porque, en la práctica, un
modelo parsimonioso suele generar mejores predicciones. La idea de la
parsimonia da una fuerte orientación práctica a la hora de modelar e
identificar una modelo ARIMA. Así, no se tiene que buscar el proceso ARIMA
que realmente genera la serie temporal, sino que se conforma con encontrar
MARCO TEÓRICO 34 un modelo que se aproxime correctamente, tanto práctica como
estadísticamente, al comportamiento de la serie temporal que se estudia.
Una idea importante es que el principio de parsimonia no tiene que ser
sobrevalorado. También tenemos que tener en cuenta el resto de
propiedades de un buen modelo ARIMA y valorarlas equitativa y
proporcionalmente.
ESTACIONARIEDAD
Otra condición de gran importancia para lograr un buen modelo ARIMA
es que la serie sea estacionaria.
Asumir que una serie sea estacionaria permite desarrollar un marco de
trabajo bastante simple y usar herramientas estadísticas de muestreo de
gran potencia. Así, si la media de un proceso es constante, podremos usar N
observaciones para estimarla, mientras que sería mucho más complicado si
la media no fuese estacionaria.
Las técnicas más comunes para conocer si una serie temporal es
estacionaria son los contrastes de existencia de raíces unidad.
Si una serie no es estacionaria se puede modificar dicha serie para
convertirla en estacionaria. Dado que las modificaciones son conocidas,
podemos posteriormente invertirlas para obtener las predicciones en la
misma métrica que la serie original.
MARCO TEÓRICO 35
Existen distintas técnicas para estabilizar la media y la varianza, como ya
se ha comentado.
BUENOS COEFICIENTES ESTIMADOS
Que un modelo tenga unos buenos coeficientes estimados, está
relacionado con dos vertientes distintas:
La primera es que los coeficientes, tanto los de la componente
autorregresiva (φ’s) como los de la componente de media móvil (θ’s) sean
significativamente distintos de cero. Esto se realiza mediante contrastes de
hipótesis.
La segunda es que las estimaciones de los coeficientes φ’s y θ’s no
deben estar altamente correladas entre sí. Si están muy correladas, tienden
a ser inestables, incluso siendo estadísticamente significativos.
LOS RESIDUOS SON RUIDO BLANCO
Esta proposición es muy importante a la hora de verificar un modelo
ARIMA, una vez se han realizado las etapas de identificación y ajuste.
La hipótesis crítica es la de incorrelación. Para comprobar esta hipótesis
se utilizan distintos métodos de inferencia estadística (típicamente contrastes
t y chi-cuadrado) aplicados a cada coeficiente de la función de
autocorrelación y a la función de autocorrelación completa.
MARCO TEÓRICO 36
DEBE AJUSTARSE BIEN A LOS DATOS
Que un modelo se ajuste todo lo bien posible a los datos de los que es
generado, es una hipótesis asumible y lógica. Esta bondad del ajuste se
mide en términos de error. Distintas medidas de error son computables en la
etapa de ajuste y se han analizado previamente.
Los márgenes asumibles del valor de estos errores de ajuste depende,
ciertamente, de la naturaleza de la serie, por lo que no hay un criterio
unívoco de comprobación de la adecuación del ajuste.
DEBE DAR BUENAS PREDICCIONES
Aunque el modelo haya sido ajustado y prediga el pasado de una forma
suficientemente correcta, lo que realmente se requiere de cualquier modelo
de predicción es que realice predicciones satisfactorias.
La evaluación de un modelo según este criterio se debe realizar
mediante el uso durante un periodo de prueba o de verificación.
2.5.3 PASOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS ARIMA
Box y Jenkins proponen un procedimiento práctico en tres etapas
(QUESADA) para hallar el modelo ARIMA óptimo. Su esquema simplificado
se muestra en la figura 7 se analiza de manera más pormenorizada cada
etapa.
MARCO TEÓRICO 37
Figura No. 7 Esquema simplificado metodología Box-Jenkins
Fuente: Universidad Pontificia Comillas Madrid
IDENTIFICACIÓN
En esta etapa se analiza mediante distintas técnicas cual es el modelo
ARIMA que, a priori, mejor se puede ajustar a la serie. Según la metodología
clásica, las herramientas que permiten identificar el patrón que sigue la serie
son las funciones de autocorrelación.
MARCO TEÓRICO 38
La idea básica para utilizar estas funciones de autocorrelación es la
siguiente: cada modelo ARIMA tiene asociadas unas funciones de
autocorrelación teóricas. En esta etapa se compara las funciones de
autocorrelación estimadas con las teóricas y se elige como modelo tentativo
aquel al que más se aproximen ambas. Luego se debe realizar el resto de
las etapas para comprobar que realmente es el adecuado.
ESTIMACIÓN
En esta etapa se obtiene las estimaciones de los parámetros del modelo
ARIMA, una vez fijados en la etapa de identificación los órdenes
autorregresivo y de media móvil. Esta estimación se realiza mediante
minimización cuadrática del error de ajuste. Esta etapa proporciona señales
de aviso sobre si el modelo es adecuado o no. En particular, si los
coeficientes no cumplen ciertas inecuaciones derivadas de la invertibilidad y
la estacionariedad, el modelo ajustado debe ser rechazado.
COMPROBACIÓN
Box y Jenkins proponen algunas comprobaciones de hipótesis que
deben ser realizadas para comprobar que el modelo estimado es
estadísticamente adecuado. Algunas de las comprobaciones que se deben
realizar son que los residuos cumplen las hipótesis de ruido blanco o que no
existen coeficientes no significativos.
Una vez comprobado que el modelo es correcto, se puede realizar
predicciones usando el mismo.
MARCO TEÓRICO 39
Para solventar el problema de la identificación mediante comparación de
funciones de autocorrelación, hay desarrollos de algoritmos que unen la
etapa de identificación y estimación. Así se logra poder orientar el desarrollo
del algoritmo a medidas de error y comprobación de hipótesis del modelo.
Mediante estos algoritmos se puede ajustar de una manera correcta
modelos ARIMA con órdenes altos.
CAPÍTULO III
MODELAMIENTO
3.1 PREPROCESAMIENTO DE LOS DATOS
Para iniciar con el modelamiento de los datos se deber realizar varios
procesos previos que se cita a continuación:
Descargar de la página oficial de SIRGAS los datos de las
estaciones de monitoreo continuo GPS del Ecuador, es
necesario tener en cuenta que estos datos vienen dados en
coordenadas cartesianas, divididos por semana GPS y vienen
los datos de todas las estaciones SIRGAS, es decir que de
cada archivo se debe seleccionar los datos de las estaciones
del Ecuador.
Analizar la continuidad de los datos de las estaciones del
Ecuador, se considera que un buen modelo debe tener datos
continuos de al menos 2 años, es decir aproximadamente 100
observaciones o más, teniendo en cuenta este
MODELAMIENTO 41
condicionamiento se ha seleccionado a 3 estaciones para el
modelamiento, Esmeraldas, Riobamba y Loja (Las monografías
de las estaciones se encuentran en el Anexo1)
Los datos vienen dados en coordenadas cartesianas por lo que
se requiere realizar una transformación a coordenadas que
sean más entendibles para el futuro usuario, para este caso
particular se decidió transformar a coordenadas UTM y la altura
considerada es la elipsoidal.
Se procede a hacer un análisis estadístico básico; se obtiene la
media y la desviación estándar, con el fin de analizar la “validez de los
datos”
Una regla empírica indica lo siguiente; en una distribución de
frecuencias simétrica, con forma de campana, aproximadamente el
95% de las observaciones se encontrarán entre más dos y menos dos
desviaciones estándar desde la media, a partir del valor medio.
Se analiza individualmente los requerimientos de cada uno de
los modelamientos matemáticos uno vez determinados los
mismos se procede a los diferentes modelamientos.
Tabla 3 Coordenadas UTM estación Esmeraldas
SEM ESTE NORTE h SEM ESTE NORTE h SEM ESTE NORTE h
1543 0,5237 0,4214 0,6565 1575 0,5316 0,4217 0,6425 1607 0,5409 0,4218 0,6503
1544 0,5204 0,4215 0,6511 1576 0,5302 0,4217 0,6454 1608 0,5393 0,4217 0,6536
1545 0,5249 0,4214 0,6609 1577 0,5313 0,4216 0,6398 1609 0,5389 0,4218 0,6527
1546 0,5208 0,4215 0,6568 1578 0,5346 0,4217 0,64 1610 0,5385 0,4218 0,6532
1547 0,5221 0,4215 0,6582 1579 0,5301 0,4217 0,6399 1611 0,5381 0,4218 0,6536
MODELAMIENTO 42 1548 0,5209 0,4215 0,6577 1580 0,5342 0,4216 0,6443 1612 0,5416 0,4218 0,6605
1549 0,5214 0,4215 0,6568 1581 0,5332 0,4216 0,6364 1613 0,5425 0,4218 0,6566
1550 0,5231 0,4215 0,6545 1582 0,5332 0,4216 0,6366 1614 0,544 0,4218 0,6544
1551 0,5237 0,4215 0,6563 1583 0,5347 0,4217 0,6376 1615 0,5445 0,4218 0,655
1552 0,523 0,4215 0,656 1584 0,5341 0,4216 0,6452 1616 0,5451 0,4218 0,6577
1553 0,5226 0,4215 0,6588 1585 0,5338 0,4216 0,6389 1617 0,5444 0,4219 0,6538
1554 0,524 0,4215 0,6595 1586 0,5352 0,4216 0,6418 1618 0,5446 0,4219 0,6591
1555 0,5246 0,4215 0,6544 1587 0,5374 0,4216 0,6437 1619 0,5455 0,4219 0,6622
1556 0,5245 0,4215 0,657 1588 0,5376 0,4216 0,6464 1620 0,5468 0,4218 0,6577
1557 0,5237 0,4215 0,6565 1589 0,5362 0,4217 0,6477 1621 0,5474 0,4218 0,658
1558 0,5226 0,4215 0,6578 1590 0,5366 0,4217 0,6499 1622 0,5453 0,4219 0,6551
1559 0,5238 0,4215 0,6541 1591 0,5365 0,4217 0,6472 1623 0,5465 0,4219 0,6556
1560 0,5207 0,4215 0,6544 1592 0,5361 0,4217 0,6478 1624 0,548 0,4219 0,6522
1561 0,5253 0,4216 0,6557 1593 0,5393 0,4217 0,6459 1625 0,548 0,4219 0,6479
1562 0,5276 0,4216 0,6514 1594 0,5386 0,4217 0,6463 1626 0,5468 0,4219 0,6434
1563 0,5253 0,4216 0,6513 1595 0,5379 0,4217 0,6489 1627 0,5484 0,4219 0,6519
1564 0,525 0,4216 0,6539 1596 0,538 0,4217 0,6463 1628 0,5493 0,4219 0,6484
1565 0,5278 0,4217 0,6521 1597 0,5393 0,4217 0,6512 1629 0,5505 0,4219 0,6486
1566 0,53 0,4216 0,6543 1598 0,539 0,4217 0,6485 1630 0,5505 0,4219 0,6445
1567 0,5304 0,4216 0,6534 1599 0,5396 0,4217 0,6512 1631 0,5501 0,4219 0,6421
1568 0,5313 0,4216 0,6515 1600 0,54 0,4217 0,6508 1632 0,5517 0,422 0,6306
1569 0,53 0,4217 0,6516 1601 0,5395 0,4218 0,6488 1633 0,5513 0,422 0,6343
1570 0,5326 0,4216 0,6526 1602 0,5398 0,4217 0,6505 1634 0,5525 0,422 0,6342
1571 0,5308 0,4216 0,6482 1603 0,5456 0,4219 0,6559 1635 0,5531 0,422 0,6368
1572 0,5304 0,4216 0,65 1604 0,5406 0,4217 0,6515 1636 0,5534 0,422 0,637
1573 0,5308 0,4217 0,6482 1605 0,5401 0,4218 0,6522 1637 0,5523 0,422 0,6407
1574 0,5322 0,4216 0,647 1606 0,54 0,4217 0,6485 1638 0,5529 0,422 0,6381
3.2 MODELAMIENTO POR MÍNIMOS CUADRADOS
Como se indicó en el punto anterior se realizó el análisis respectivo de
los datos, y se determinó que no es necesario la continuidad de los mismos
por lo que se procede a descartar de este análisis los datos que no cumplen
la regla empírica de más menos dos desviaciones estándar de la media.
MODELAMIENTO 43 Además por facilidad del modelamiento se procede a tomar la parte decimal
de las coordenadas, es decir se resta un mismo valor entero a las
coordenadas.
Para el presente modelamiento se debe considerar que para cada una
de las coordenadas (Este, Norte y altura elipsoidal), se va a realizar un
modelo totalmente independiente. A continuación se realiza el modelamiento
de la estación de Esmeraldas (Tabla 3.1)
Se realiza el análisis preliminar de los datos para determinar si son
óptimos para el modelamiento
Tabla 4 Media, Desviación estándar, varianza de los datos de la estación
Esmeraldas
ESTE NORTE h
MEDIA 0,5468 0,4219 0,6467
DESVIACION
ESTÁNDAR 0,0157 0,0003 0,0072
Analizando la regla empírica ya mencionada los datos que no cumplen
esta condición son las siguientes:
Para las coordenadas Este y Norte todas las observaciones
cumplen la regla
Para la Altura Elipsoidal no cumplen con la regla las semanas
1619 y 1632
MODELAMIENTO 44
Aplicando lo establecido en el capítulo anterior (2.4.1 CASO DE UNA
RECTA) se procede a calcular los parámetros a, y b para cada coordenada
teniendo como resultado:
Tabla 5 Parámetros de modelo lineal estación Esmeraldas
COORDENADA A b r r2
ESTE 0,345 X 10-3 -0,013 0,995 0,990
NORTE 0,006 X 10-3 0,412 0,991 0,982
He -0,102 X 10-3 0,811 -0,659 0,434
El proceso se repite para las otras estaciones obteniendo los siguientes
resultados:
Tabla 6 Parámetros de modelo lineal estación Riobamba
COORDENADA A b r r2
ESTE 0,027 X 10-3 0,510 0,640 0,410
NORTE 0,003 X 10-3 0,428 0,981 0,963
He -0,162 X 10-3 0,322 -0,808 0,652
Tabla 7 Parámetros de modelo lineal estación Loja
COORDENADA A b r r2
ESTE 0,331 X 10-3 4,502 X 10-3 0,995 0,990
NORTE 0,003 X 10-3 0,708 0,975 0,950
He -0,044 X 10-3 0,900 -0,314 0,099
MODELAMIENTO 45
3.3 MODELAMIENTO ARIMA
Vasado en la metodología ARIMA se procede a analizar los datos,
considerando que es necesario que todos los datos sean continuos. Para
este trabajo, en caso de no existir algún valor, este se debía calcular
sacando el promedio entre la observación anterior y posterior, para así tener
la continuidad de los datos.
A continuación se va a realizar el proceso con las coordenadas de la
estación de Esmeraldas.
Analizando la continuidad de los datos se visualiza que la semana 1662
no posee información, por lo que se procede a realizar un promedio entre la
semana 1661 y 1663.
Se analiza por separado cada coordenada, en este caso la coordenada
ESTE
Posteriormente se realiza el análisis de las gráficas de las coordenadas
1601441281129680644832161
0,5600
0,5575
0,5550
0,5525
0,5500
Índice
ESTE
Gráfica de series de tiempo de ESTE
(a)
(b)
MODELAMIENTO 46
(c)
Figura No. 8 (a) Gráficas de la serie de tiempo, (b) Autocorrelación
total y
(c) Autocorrelación parcial de la coordenada este
Realizando un análisis de la gráfica a de la fig. 8 de la serie se deduce
que la serie no es estacionaria, y que presenta una tendencia creciente. (Las
gráficas de todas las estaciones se encuentran en el ANEXO 2)
Analizando las gráficas a y b de la fig. 8 autocorrelación y
autocorrelación parcial se deduce que nuestro modelo se puede ajustar a los
siguientes modelos ARIMA (0,1,1); (1,1,0); (2,1,0); (2,0,0); ya que presenta
un desfase significativo en el primer desfase y un desfase menor en el
segundo desfase en el software Minitab procedemos a correr los modelosy a
analizar los resultados para ver cual modelos es el óptimo, obteniendo los
siguientes resultados:
MODELAMIENTO 47
Tabla 8 Modelamiento ARIMA para coordenada Este
Modelo ARIMA: ESTE (0,1,1) Estimados en cada iteración
Iteración SSE Parámetros
0 1,91113 0,100 0,100
1 0,01709 0,057 0,010
2 0,00155 0,207 0,003
3 0,00043 0,357 0,001
4 0,00032 0,496 0,000
5 0,00031 0,506 0,000
6 0,00031 0,511 0,000
7 0,00031 0,512 0,000
8 0,00031 0,512 0,000
El cambio relativo en cada estimado es menor que 0,0010
Estimados finales de los parámetros
Tipo CoefCoef. de EE T P
MA 1 0,5119 0,0693 7,38 0,000
Constante 0,00032474 0,00005578 5,82 0,000
Diferenciación: 1 Diferencia regular
Número de observaciones: Serie original 156, después de
diferenciar 155
Residuos: SC = 0,000308625 (se excluyeron pronósticos
retrospectivos)
MC = 0,000002017 GL = 153
Estadística chi-cuadrada modificada de Box-Pierce (Ljung-Box)
Desfase 12 24 36 48
Chi-cuadrada 7,7 22,9 36,0 52,5
GL 10 22 34 46
Valor P 0,657 0,408 0,374 0,238
Modelo ARIMA: ESTE (0,0,1) Estimados en cada iteración
Iteración SSE Parámetros
0 1,97013 0,100 0,647
1 1,09173 -0,050 0,633
2 0,70103 -0,200 0,626
3 0,48528 -0,350 0,620
4 0,35210 -0,500 0,616
5 0,26321 -0,650 0,613
MODELAMIENTO 48
6 0,19786 -0,800 0,609
7 0,12873 -0,950 0,600
8 0,01139 -0,960 0,550
9 0,01103 -0,959 0,547
10 0,01103 -0,958 0,547
El cambio relativo en cada estimado es menor que 0,0010
Estimados finales de los parámetros
Tipo CoefCoef. de EE T P
MA 1 -0,9582 0,0195 -49,18 0,000
Constante 0,546814 0,001283 426,17 0,000
Media 0,546814 0,001283
Número de observaciones: 156
Residuos: SC = 0,0109985 (se excluyeron pronósticos
retrospectivos)
MC = 0,0000714 GL = 154
Estadística chi-cuadrada modificada de Box-Pierce (Ljung-Box)
Desfase 12 24 36 48
Chi-cuadrada 1248,3 1976,1 2326,7 2441,1
GL 10 22 34 46
Valor P 0,000 0,000 0,000 0,000
Modelo ARIMA: ESTE (1,1,0) Estimados en cada iteración
Iteración SSE Parámetros
0 1,25778 0,100 0,090
1 0,00932 0,133 0,008
2 0,00267 -0,017 0,004
3 0,00089 -0,167 0,002
4 0,00036 -0,317 0,001
5 0,00032 -0,400 0,000
6 0,00032 -0,407 0,000
7 0,00032 -0,408 0,000
8 0,00032 -0,408 0,000
El cambio relativo en cada estimado es menor que 0,0010
Estimados finales de los parámetros
Tipo CoefCoef. de EE T P
AR 1 -0,4079 0,0736 -5,54 0,000
Constante 0,0004537 0,0001167 3,89 0,000
Diferenciación: 1 Diferencia regular
MODELAMIENTO 49
Número de observaciones: Serie original 156, después de
diferenciar 155
Residuos: SC = 0,000322705 (se excluyeron pronósticos
retrospectivos)
MC = 0,000002109 GL = 153
Estadística chi-cuadrada modificada de Box-Pierce (Ljung-Box)
Desfase 12 24 36 48
Chi-cuadrada 10,8 27,8 44,2 61,8
GL 10 22 34 46
Valor P 0,375 0,183 0,113 0,060
El resultado de los modelamientos en Minitab de todas las estaciones se
encuentran en el ANEXO 3
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE RESULTADOS
El siguiente análisis pretende determinar si los modelos calculados son
óptimos para poder generar los pronósticos adecuados.
4.1 MODELOS DE MÍNIMOS CUADRADOS
Para los modelos lineales de mínimos cuadrados se realiza el siguiente
análisis:
Se analizamos las tablas 5, Parámetros de modelo lineal estación
Esmeraldas; 6, Parámetros de modelo lineal estación Riobamba y
7Parámetros de modelo lineal estación Loja del capítulo anterior; en estas se
muestra los coeficientes calculados para cada estación y coordenada, ( a, b,
r y r2) de estos el valor para el análisis que se utiliza es el valor del
coeficiente de correlación lineal r , este indica el grado de dependencia entre
las dos variables (coordenada y tiempo).
Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una
correlación que es perfecta e inversa.
MODELAMIENTO 51
Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.
Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una
correlación que esperfecta y directa.
ESTACIÓN ESMERALDAS
Para la coordenada Este el valor de r=0,995 y para la coordenada norte
r=0,991, esto indica que la relación lineal existente entre el tiempo y las
coordenadas es alta y directamente proporcional, es decir que las
coordenadas aumentan conforme el tiempo aumenta; para la altura
elipsoidal r=-0,659, indica que la relación es baja e inversamente
proporcional, es decir que la altura disminuye con el tiempo, sin embargo no
es determinante para saber si existe o no relación entre el tiempo y la altura
elipsoidal es decir que puede existir una relación distinta a la planteada en
esa investigación
ESTACIÓN RIOBAMBA
Para la coordenada Este el valor de r=0,640 y para la coordenada norte
r=0,981, esto indica que la relación lineal existente entre el tiempo y las
coordenadas es alta para la coordenada Norte y baja para la coordenada
Este y es directamente proporcional, es decir que las coordenadas
aumentan conforme el tiempo aumenta; para la altura elipsoidal r=-0,808,
indica que la relación es alta e inversamente proporcional, es decir que la
altura disminuye con el tiempo, sin embargo no es determinante para saber
MODELAMIENTO 52 si existe o no relación entre el tiempo y la altura elipsoidal es decir que
puede existir una relación distinta a la planteada en esa investigación
ESTACIÓN LOJA
Para la coordenada Este el valor de r=0,995 y para la coordenada norte
r=0,975, esto indica que la relación lineal existente entre el tiempo y las
coordenadas es alta y es directamente proporcional, es decir que las
coordenadas aumentan conforme el tiempo aumenta; para la altura
elipsoidal r=-0,314, indica que la relación es baja e inversamente
proporcional, es decir que la altura disminuye con el tiempo, sin embargo no
es determinante para saber si existe o no relación entre el tiempo y la altura
elipsoidal es decir que puede existir una relación distinta a la planteada en
esa investigación
4.2 MODELOS ARIMA
Para los modelos ARIMA se ejemplariza el análisis de los datos
arrojados en el capítulo anterior, para la coordenada Este de la estación de
Esmeraldas
Analizando los valores de los errores para los modelos se tiene:
ARIMA (0,0,1) s2 = 0,0000714
ARIMA (1,1,0) s2 = 0,000002109
ARIMA (0,1,1) s2 = 0,000002017
Se hace un análisis de los resultados arrojados por Minitab:
MODELAMIENTO 53
El error (MC) es menor en el modelo ARIMA (0,1,1) sin embargo es muy
similar al error del modelo ARIMA (1,1,0), basados en este parámetro los
dos modelos pueden aplicarse; aplicando el principio de parsimonia
(sencillez), los dos modelos presentan 2 términos, es decir que por este
principio los dos modelos pueden aplicarse de igual manera, un último
análisis de los resultados de chi-cuadrado vemos que los valores del modelo
ARIMA (0,1,1) son menores, basados en este parámetro podemos decidir
que el modelo ARIMA (0,1,1) es el que mejor resultado ofrece.Aplicando
esta metodología se obtiene los siguientes modelos para las respectivas
coordenadas de cada estación, los modelos se presentan en el ANEXO 2; se
debe tener en cuenta que estos modelos se generan siempre con un 95% de
confianza, esto ya viene dado por el fabricante del software (Minitab)
Tabla 9 Modelos ARIMA aceptados
ESTACIÓN COORDENADA ARIMA COEFICIENTES ERROR s2
RIOBAMBA
ESTE (2,0,0) Φ0=0,0728298
Φ1=0,5893
Φ2=0,2793
0,000001427
NORTE (2,0,0) Φ0=-3,61391E-03
Φ1=0,7026
Φ2=0,3057
0,0000000004584
H (1,1,0) Φ0=-0,0001093
Φ1=-0,2452
0,00000797
ESMERALDAS
ESTE (0,1,1) µ=0,00032474
w1=0,5119
0,000002017
NORTE (1,0,0) Φ0=-3,07241E-03
Φ1=1,0073
0,000000000847
H (2,0,0) Φ0=0,0153617
Φ1=0,5753
Φ2=0,4012
0,00000928
MODELAMIENTO 54
LOJA
ESTE (2,0,0) Φ0=0,166600
Φ1=0,4403
Φ2=0,2510
0,000005400
NORTE (2,0,0) Φ0=-7,02412E-03
Φ1=0,5642
Φ2=0,4457
0,000000000600
h (0,1,1) µ=-0,0001056
w1=0,6239
0,00002888
4.3 PRUEBA CHI-CUADRADO
Mediante los modelos aceptados se calcula los pronósticos para 10
semanas, posteriormente se evalúa los modelos con observaciones de esas
semanas
Tabla 10 Pronósticos para 10 semanas de los modelos aceptados
estación Esmeraldas
SEMANA
GPS
MÍNIMOS CUADRADOS ARIMA
ESTE NORTE ESTE (0,1,1) NORTE (1,0,0) h (2,0,0)
1699 641938,5738 10001791,4223 641938,5730 10001791,4223 251,6396
1700 641938,5742 10001791,4223 641938,5733 10001791,4223 251,6396
1701 641938,5745 10001791,4223 641938,5736 10001791,4223 251,6400
1702 641938,5749 10001791,4223 641938,5739 10001791,4223 251,6401
1703 641938,5752 10001791,4223 641938,5743 10001791,4223 251,6404
1704 641938,5756 10001791,4223 641938,5746 10001791,4223 251,6406
1705 641938,5759 10001791,4223 641938,5749 10001791,4223 251,6408
1706 641938,5762 10001791,4223 641938,5752 10001791,4223 251,6411
1707 641938,5766 10001791,4223 641938,5756 10001791,4223 251,6413
1708 641938,5769 10001791,4224 641938,5759 10001791,4223 251,6415
MODELAMIENTO 55
Tabla 11 Pronósticos para 10 semanas de los modelos aceptados
estación Riobamba
SEMANA
GPS
MÍNIMOS
CUADRADOS ARIMA
NORTE ESTE (2,0,0) NORTE (2,0,0) h (1,1,0)
1699 9996834,43228971 761339,55403238 9996834,43226741 2817,04614055
1700 9996834,43229252 761339,55409367 9996834,43227023 2817,04617701
1701 9996834,43229532 761339,55406295 9996834,43227307 2817,04605880
1702 9996834,43229813 761339,55406196 9996834,43227593 2817,04597853
1703 9996834,43230093 761339,55405279 9996834,43227881 2817,04588895
1704 9996834,43230374 761339,55404712 9996834,43228171 2817,04580166
1705 9996834,43230654 761339,55404121 9996834,43228463 2817,04571380
1706 9996834,43230935 761339,55403615 9996834,43228756 2817,04562608
1707 9996834,43231215 761339,55403152 9996834,43229051 2817,04553833
1708 9996834,43231496 761339,55402737 9996834,43229349 2817,04545059
Los pronósticos para todas las semanas se encuentran en el ANEXO 4
Tabla 12 Pronósticos para 10 semanas de los modelos aceptados
estación Loja
SEMANA
GPS
MÍNIMOS CUADRADOS ARIMA
ESTE NORTE ESTE (2,0,0) NORTE (2,0,0) h (0,1,1)
1699 700011,5668 9992353,7135 700011,5437 9992353,7135 2142,8165
1700 700011,5672 9992353,7135 700011,5436 9992353,7135 2142,8164
1701 700011,5675 9992353,7135 700011,5424 9992353,7135 2142,8163
1702 700011,5678 9992353,7135 700011,5419 9992353,7135 2142,8162
MODELAMIENTO 56
1703 700011,5682 9992353,7135 700011,5414 9992353,7135 2142,8161
1704 700011,5685 9992353,7135 700011,5410 9992353,7135 2142,8160
1705 700011,5688 9992353,7135 700011,5407 9992353,7135 2142,8159
1706 700011,5692 9992353,7135 700011,5405 9992353,7135 2142,8158
1707 700011,5695 9992353,7135 700011,5403 9992353,7135 2142,8157
1708 700011,5698 9992353,7135 700011,5402 9992353,7135 2142,8155
Un buen modelo tiene residuales próximos a cero, sin embargo lo
importante de un modelo es pronosticar a futuro así se puede evaluar los
modelos con datos observados a futuro. Se ha evaluado para 5
observaciones por lo que se realiza la prueba de chi-cuadrado para validar
nuestros modelos, mediante la siguiente fórmula:
fefefocaldx
22
Donde:
fo = Frecuencia del valor observado
fe = Frecuencia del valor esperado
Tabla 13 Cálculo de chi-cuadrado de las diferentes estaciones
MÍNIMOS CUADRADOS ARIMA
ESTACIÓN ESTE NORTE ESTE NORTE H
ESMERALDAS 3,1338E-12 2,2671E-16 8,6577E-12 3,439E-16 3,8992E-08
RIOBAMBA 1,2194E-16 1,1085E-11 2,62E-16 1,3019E-08
LOJA 4,8518E-09 3,5312E-16 1,3272E-10 3,9917E-16 4,4294E-08
MODELAMIENTO 57
Una vez calculados los valores de chi-cuadrado se procede a verificar en
la tabla los valores críticos para un nivel de confianza del 95% con 4 grados
de libertad; el valor en la tabla es de 9,448; como se puede apreciar todos
los valores calculados son menores por lo que se acepta la hipótesis nula de
que los valores se ajustan correctamente al modelo.
En las siguientes tablas se presenta los datos utilizados para el cálculo
de chi-cuadrado para cada estación.
Tabla 14 Residuos de los pronósticos con datos observados
Estación Riobamba
SEMANA
GPS
COORDENADAS OBSERVADAS
RESIDUOS
MÍNIMOS
CUADRADOS ARIMA
ESTE NORTE He NORTE ESTE
(0,1,1)
NORTE
(1,0,0)
h
(2,0,0)
1700 761339,5546 9996834,432 2817,046506 -0,00003152 0,00053098 -0,00000924 0,00032852
1701 761339,555 9996834,432 2817,047546 0,00000087 0,00095558 0,00002311 0,00148718
1702 761339,555 9996834,432 2817,047546 -0,00000194 0,00095657 0,00002025 0,00156746
1703 761339,5562 9996834,432 2817,050529 -0,00000502 0,00210117 0,00001710 0,00464041
1704 761339,5554 9996834,432 2817,049021 0,00001399 0,00138369 0,00003601 0,00321951
MODELAMIENTO 58
Tabla 15 Residuos de los pronósticos con datos observados
Estación Esmeraldas
SEMANA
GPS
CCORDENADAS OBSERVADAS RESIDUOS
MÍNIMOS CUADRADOS ARIMA
ESTE NORTE h ESTE NORTE ESTE
(0,1,1)
NORTE
(1,0,0)
h
(2,0,0)
1700 641938,5733 10001791,42 251,6400 -0,000896 -0,000041 -0,000017 0,000001 0,000378
1701 641938,5747 10001791,42 251,6380 0,000134 -0,000011 0,001034 0,000030 -0,001918
1702 641938,5747 10001791,42 251,6380 -0,000211 -0,000017 0,000709 0,000023 -0,002111
1703 641938,5762 10001791,42 251,6396 0,000982 -0,000013 0,001923 0,000027 -0,000749
1704 641938,5752 10001791,42 251,6416 -0,000427 -0,000004 0,000535 0,000036 0,000986
Tabla 16 Residuos de los pronósticos con datos observados
Estación Loja
SEMANA
GPS
CCORDENADAS OBSERVADAS
RESIDUOS
MINIMOS
CUADRADOS ARIMA
ESTE NORTE h ESTE NORTE ESTE
(0,1,1)
NORTE
(1,0,0)
h
(2,0,0)
1700 700011,5435 9992353,714 2142,823 -0,02375 -0,00001 -0,00019 0,00001 0,00661
1701 700011,5375 9992353,714 2142,82 -0,03007 -0,00003 -0,00500 -0,00001 0,00453
1702 700011,5375 9992353,714 2142,82 -0,03040 -0,00003 -0,00447 -0,00002 0,00464
1703 700011,5473 9992353,714 2142,813 -0,02094 0,00003 0,00585 0,00004 -0,00253
1704 700011,5448 9992353,714 2142,81 -0,02378 0,00003 0,00370 0,00004 0,00169
Para que el modelo sea completo es necesario tener un cálculo de las 3
coordenadas por estación
MODELAMIENTO 59
4.4 UTILIDAD DE LOS MODELOS
Determinando el desplazamiento anual es decir 52 semanas se sabe
directamente hacia donde y cuanto se mueve el Ecuador Continental.
Se obtiene el desplazamiento semanal el que se utiliza para la
transformación entre épocas de referencia
zioio
yioio
xioio
VtttZtZVtttYtYVtttXtX
)()()(
)()()()()()(
Siendo X(to), Y(to), Z(to) las coordenadas en la época deseada, X(ti), Y(ti),
Z(ti) las coordenadas en la época de referencia, (to-ti) el intervalo de tiempo
transcurrido entre la realización del sistema de referencia y el levantamiento
GNSS y Vx, Vy, Vz las velocidades de las estaciones de referencia
En las siguientes tablas se presentan los desplazamientos calculados
por los modelos para las diferentes estaciones; este cálculo se lo realizó
partiendo de la definición de velocidad que es la magnitud física que muestra
y expresa la variación en cuanto a posición de un objeto y en función del
tiempo, que sería lo mismo que decir que es la distancia recorrida por un
objeto en la unidad de tiempo; pero además del tiempo, para definir la
velocidad de desplazamiento de un objeto, será preciso tener en cuenta
también la dirección y el sentido del mencionado desplazamiento.
MODELAMIENTO 60
Para la presente investigación se consideró los pronósticos generados
en cada uno de los modelos, obteniendo la velocidad de la siguiente manera:
tiempoentodesplazamiv
El desplazamiento está dado por la diferencia entre coordenada final,
con la coordenada inicial; para el tiempo se tiene la diferencia entre el
número de semana GPS final con el número de semana GPS inicial; con
estos valores se obtiene el valor de velocidad para 1 semana;
posteriormente se multiplica por 52 que es el número de semanas GPS que
tiene un año GPS para obtener el valor de velocidad anual.
Tabla 17 Velocidad de desplazamiento de las estaciones del
Ecuador
MINIMOS CUADRADOS ARIMA
ESTACIÓN
ESTE
mm/año
NORTE
mm/año
ESTE
(0,1,1)
mm/año
NORTE
(1,0,0)
mm/año
h
(2,0,0)
mm/año
ESMERALDAS 17,84859 0,30348 16,54987 0,28976 4,99109
RIOBAMBA 0,14495 0,17598 0,14097 -5,06324
LOJA 17,11813 0,17082 0,22825 0,14468 -4,98991
NOTA: Según la resolución SIRGAS 2011 No. 04 del 10 de agosto de
2011 sobre el Proyecto MoNoLin: Incorporación de movimientos no lineales
en marcos de referencia geodésicos SIRGAS del 10 de agosto de 2011,
manifiesta que:
MODELAMIENTO 61
Considerando
1. Que las coordenadas de los puntos materializados sobre
la superficie de la Tierra cambian con el tiempo de un modo
complejo que responde a diferentes procesos geofísicos del
Sistema Tierra, p. ej. eventos sísmicos, dinámica de la atmosfera y de
la hidrosfera, etc.;
2. Que la cinemática de los marcos de referencia se
describe usualmente a través de cambios lineales de coordenadas
(i.e. velocidades constantes);
3. Que esta descripción resulta insuficiente para representar
la posición real de las estaciones que conforman los marcos de
referencia;
4. Que es necesario definir metodologías que permitan la
incorporación de movimientos no lineales en la realización de los
marcos de referencia;
5. Que la Presidencia del Grupo de Trabajo I de SIRGAS
(Sistema de Referencia) y del Grupo de Trabajo II (SIRGAS-
GTII: SIRGAS en el Ámbito Nacional) han propuesto la creación
de un proyecto orientado a este tema específico;
Se resuelve
1. Establecer un proyecto específico denominado MoNoLin
(Incorporación de movimientos no lineales en marcos de referencia
geodésicos), suscrito a los Grupos de Trabajo SIRGAS-GTI y
MODELAMIENTO 62
SIRGAS-GTII. El objetivo de este proyecto es definir la estrategia
más adecuada para incluir los movimientos no lineales de las
estaciones de referencia en la determinación de sus coordenadas
y consecuentemente mejorar la representación de la cinemática de
los marcos de referencia que conforman;
2. Que la coordinación del proyecto esté a cargo de Juan Carlos
Báez de la Universidad de Concepción, Chile y Sergio Cimbaro
del Instituto Geográfico Nacional de Argentina, con el propósito de
que definan la estrategia y cronograma necesarios para alcanzar los
objetivos propuestos y reporten rutinariamente al Consejo
Directivo de SIRGAS sobre los avances dados;
3. Que la vigencia inicial de este proyecto sea de 4 años.
Esto indica que los modelos lineales actuales no representan totalmente
la realidad del movimiento de placas tectónicas.
4.5 MAPA DE VELOCIDADES DEL ECUADOR
CONTINENTAL
Para los resultados obtenidos en la tabla 17; considerando que existen
velocidades con la metodología ARIMA tanto para las coordenadas Este,
Norte y Altura elipsoidal se procede a elaborar un mapa de velocidades de
cada una de las estaciones, Esmeraldas Riobamba y Loja; al tener datos en
Este y Norte, se procede a obtener el vector resultante de estas, obteniendo
una dirección y un desplazamiento representados en la figura 9; al ser el
movimiento mucho mayor de la estación de Esmeraldas, no se puede
MODELAMIENTO 63 representar con un único símbolo, razón por la cual se los representa con
vectores de diferentes colores; al ser los movimientos de las estaciones de
Loja y Riobamba similares si se los representa con vectores del mismo color.
Figura No. 9 Mapa de Modelo de Velocidades de las Estaciones GPS
Permanente del Ecuador
64
CONCLUSIONES
El modelamiento por mínimos cuadrados, ajuste a una recta,
no es aplicable en la presente investigación ya que se necesita
que se generen modelos para las coordenadas Este, Norte y
Altura Elipsoidal de cada estación, y esta metodología se aplica
únicamente a las coordenadas Este y Norte de las estaciones
de Esmeraldas y Loja y a la coordenada Norte de la estación
de Riobamba, quedando inconcluso el modelamiento.
La metodología ARIMA es adecuada para realizar el
modelamiento de las coordenadas Este, Norte y Altura
Elipsoidal de las tres estaciones; esta metodología permite
realizar modelos con un nivel de confianza del 95%.
Dado que con la metodología ARIMA permite generar varios
tipos de modelos, no se puede generalizar modelo para todas
las coordenadas de las diferentes estaciones, el tipo de modelo
generado obedece a aplicar los principios propios de esta
metodología y está en base a las observaciones y a la realidad
propia de cada estación.
El movimiento anual en las coordenadas Este y Norte en las
estaciones es relativamente mínimo en el orden de decimas de
milímetro, sin embargo en la coordenada Este de la estación de
Esmeraldas el movimiento anual es de 16.55 mm.
Las estaciones de Riobamba y Loja presentan un movimiento
negativo de alrededor de 5 mm anuales en el Altura Elipsoidal,
65
mientras que la estación de Esmeraldas presenta un
movimiento de 5 mm anuales en la Altura Elipsoidal.
SIRGAS considera que se deben calcular modelos no lineales
para el movimiento de placas tectónicas, por lo que la
metodología ARIMA, podría satisfacer esta necesidad.
RECOMENDACIONES
Se utilice la metodología ARIMA para modelar todas las
estaciones GPS permanentes del país, para de esta manera
poder generar un modelo de velocidad propio.
Se realice los trámites necesarios para poder reactivar la
estación GPS permanente de la ESPE e integrar esta estación
a la REGME; esto permitirá tener datos propios que permitirá
realizar mayores estudios.
66
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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http://agimensoft.com.ar
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Geodésicas,.
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Quesada Pegalajar, M. Análisi de Series, Modelos Hetericedásticos.
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Universidad Técnica Particular de Loja. (s.f.). Recuperado el 2011, de
http://www.utl.edu.ec