DeribatuenAplikazioakArik

8/18/2019 DeribatuenAplikazioakArik

http://slidepdf.com/reader/full/deribatuenaplikazioakarik 1/20

Deribatuen aplikazioak

Orr. 1

ARIKETAK

1. Izan bedix

13xf(x)

+= funtzioa,

a)

Bilatu gorakor- eta beherakor tarteak. Kalkulatu mutur erlatiboak (zein puntutanlortzen diren eta zein balio lortzen duten)

b) Kalkulatu funtzioaren inflexio puntua.Sol.: Gorakorra x>1/3 eta beherakorra x<1/3; Inflexio puntua (1,4)

2. Bila ezazu funtzio bat non f ‘(x)=x2+x-6 den eta funtzioak bere maximo erlatiboa duenpuntuan duen balioa minimo erlatiboa duen puntuan duenaren hirukoitza den.Sol.: f(x)=x 3 /3+x 2 /2-6x+71/4

3.

Izan bedi f(x)=2x3+12x2+ax+b funtzioa. Jakinda funtzioaren inflexio-puntuan zuzen

ukitzailearen ekuazioa y=2x+3 dela, bilatu a eta b-ren balioak.Sol.: a=26 eta b=19

4. Izan bedi f(x)=x2 Ln(x) funtzioa.

a)

Bilatu gorakor- eta beherakor tarteak. Kalkulatu mutur erlatiboak (zein puntutanlortzen diren eta zein balio lortzen duten)

b) Bila ezazu e x = abzisa puntuan funtzioari ukitzailea den zuzenaren ekuazioa.

Sol.: x<e-1/2 beherakorra eta x>e-1/2 gorakorra; y-e/2= 2 e1/2 (x-e1/2 )

5. Izan bedi f(x)=x2 e-x funtzioa,a) Kalkulatu mutur erlatiboak (zein puntutan lortzen diren eta zein balio lortzen duten)b)

Bilatu funtzioaren asintotak.Sol.: (0,0) minimoa eta (2,4/e2 ) maximoa; y=0 asintota horizontala

6. Izan bedi f(x)=(x-3) ex funtzioa,a) Kalkulatu mutur erlatiboak (zein puntutan lortzen diren eta zein balio lortzen duten)b) Inflexio-puntuan funtzioari ukitzailea den zuzenaren ekuazioa bila ezazu.

Sol.: (2,-e2

) minimoa; y+2e= -e (x-1)

7. Izan bedi4

3)(

2

2

−

+= x

x x f funtzioa,

a) Kalkulatu bere asintotak.b) Bilatu gorakor- eta beherakor tarteak. Kalkulatu mutur erlatiboak (zein puntutan

lortzen diren eta zein balio lortzen duten)c) Egin adierazpen grafikoaSol.: x=2, x=-2, y=1; (-∞ ,-2)∪ (-2,0) gorakorra eta (0,2)∪ (2, ∞ ) beherakorra

8.

Jakinda f ‘’(x)=x2-1 eta funtzioari x=0 abzisan ukitzailea den zuzena y=1 dela, bilatu

f(x) funtzioa.Sol.: f(x)=x 4 /12-x 2 /2+1

9.

Izan bedi f(x)=Ln (x2+1) funtzioa,

a) Bilatu gorakor- eta beherakor tarteak. Kalkulatu mutur erlatiboak (zein puntutanlortzen diren eta zein balio lortzen duten)

b) Kalkulatu zuzen ukitzailea abzisa negatiboa duen funtzioaren inflexio-puntuan.Sol,: x<o beherakorra eta x>o gorakorra; y-Ln(2)=-x-1

10.

Izan bedi xxf(x) 2 −= funtzioa,

a) Ikertu funtzioaren deribagarritasuna.b) Bilatu funtzioaren gorakor- eta beherakor tarteak.

c) Bilatu funtzioaren mutur erlatiboak.Sol.: x=0 ez da deribagarria; 0,1/2) beherakorra eta (1/2,∞ ) gorakorra, (1/2,-1/4) eta (-1/2,-

1/4) puntuetan minimo erlatiboak




Orr. 2

11. Jakinda f ‘’(x)=12x-6 dela eta funtzioari x=2 abzisan ukitzailea den zuzena 4x-y-7=0dela, bilatu f(x) funtzioa.Sol.: 2x 3-3x 2-8x+13

12. Bila ezazu2 x

e x y −⋅= kurbako puntu bat non zuzen ukitzailearen malda maximoa den.

Sol.: x=0 denean.

13. Izan bedi 0,3

)(4

≠+

= x x

x x f

a)

Kalkulatu, baldin badaude, ardatzekin ebaki-puntuak eta asintotak.

b) Kalkulatu gorakor- eta beherako-tarteak eta mutur erlatiboak.c) Egi bere adierazpen grafikoa.Sol.: Ez daude, x=0 asintota; (-∞ ,-1)∪ (1, ∞ ) gorakorra eta (-1,0) ∪ (0,1) beherakorra, (-1,-4)

maximoa eta (1,4) minimoa.

14. Izan bedi1

1)(

2

2

++

+−=

x x

x x x f funtzioa,

a) Kalkulatu, baldin badaude, funtzioaren asintotak.

b)

Kalkulatu gorakor- eta beherakor tarteak eta mutur erlatiboak.c) Egin adierazpen grafikoa.Sol.: y=1 asintota, -1>x>1 gorakorra eta -1<x<1 beherakorra, (-1,3) maximoa eta (1,1/3) mi-nimoa

15. Izan bedi2

2

)1(

))(()(

−=

x

x Ln x x f funtzioa, bilatu bere asintotak.

Sol.: y=0 asintota horizontala.

16.

Izan bedi⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤+−

<<=

43,82

30,3

2)('

x x

x x x f funtzioa,

a)

Bila ezazu f(x) funtzioa f(1)=16/3 bada.

b) Bila ezazu x=1 abzisa puntuan kurbari ukitzailea den zuzenaren ekuazioa.

Sol.:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤−+−

<≤+=

43,78

30,53)(2

2

x x x

x x x x f ; )1(

3

2

3

16−=− x y

17. Ezaguna da⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤−+−

<≤+=

52,14

20,)(

2

x x

xbxax x f funtzioa (0,5) tartean deribagarria dela.

a) Kalkulatu a eta b

b) Kalkulatu x=2 abzisa puntuan kurbari ukitzailea den zuzenaren ekuazioa.

Sol.: a=-7/2 eta b=1; x-2y-8=0

18. Izan bedi f(x)=x3+ax2+bx+1 funtzioa,a)

Kalkulatu a eta b, jakinda funtzioa (2,2) puntutik igarotzen dela eta x=0 abzisa pun-tuan inflexio-puntua duela.

b) Kalkulatu ukitzailea eta normalaren ekuazioa bere inflexio-puntuan.Sol.: a=0 eta b=-7/2; ukitzailea y=1-7/2x eta normala y=1+2/7x

19. f(x)=ax3+bx2+cx+d funtzioak x=-1 abzisa puntuan maximoa du, gainera OX ardatza

x=-2 denean ebakitzen du eta inflexio-puntua x=0 abzisa puntuan du. Horrez gain, x=2abzisan kurbari ukitzailea den zuzenaren malda 9 da. Kalkulatu a, b, c eta d-ren bali-

oak.Sol.: a=1, b=0, c=-3 eta d=2




Orr. 3

20. Izan bedi 0,1

)(2

≠+

= x x

x x f funtzioa,

a) Kalkulatu asintotak.b) Kalkulatu gorakor- eta beherako-tarteak eta mutur erlatiboak.c) Egin adierazpen grafikoa

Sol.: x=0 eta y=x; (-∞ ,-1) gorakorra eta (-1,0)∪ (0,1) beherakorra, (1,2) minimoa eta (-1,-2)maximoa

21. Izan bedi 0,1

)( ≠−

= x x

e x f

x

funtzioa,

a) Kalkulatu bere asintotak.

b) Kalkulatu gorakor- eta beherakor tarteak.c)

Kalkulatu ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak.

d) Egin adierazpen grafikoa.Sol.: x=1 eta y=o; (-∞ ,2) beherakorra eta (2,∞ )-{1} beherakorra, (-∞ ,1) ahurra eta (1,∞ ) gan-

bila.

22.

Izan bitez 0,)()(,1

)(

12

≠==−

= x x Ln xhetae xg x

x x f x funtzioak,

a)

Bilatu f(x), g(x) eta h(x) funtzioen asintotak.

b) Ondoko grafikoetatik, zein dagokio f(x), g(x) edo h(x) funtzioari? Arrazoitu eran-tzuna.

Sol.: f(x): x=0 (4), g(x): y=1 (1) eta h(x): x=0 (3)

23. Izan bedi1

85)(

2 ++

+=

x x

x x f funtzioa,

a)

Bilatu ardatzekin ebaki-puntuak.

b) Kalkulatu asintotak.c) Kalkulatu gorakor- eta beherako-tarteak eta mutur erlatiboak.d) Egin adierazpen grafikoaSol.: (0,8), (-8/5,0); y=0; (-∞ ,-3)∪ (-1/5, ∞ ) beherakorra eta (-3,-1/5) gorakorra, (-1/5,25/3)

maximoa eta (-3,-1) minimoa

24.

Izan bedi 2x,2x

34xx

f(x)

2

≠−

+−

= funtzioa,

a) Kalkulatu bere asintotak.b) Kalkulatu gorakor- eta beherakor tarteak.c) Kalkulatu, baldin badaude, [0,2) tartean maximo eta minimo erlatiboak.Sol.: x=2; beti gorakorra; (0,-3/2) puntuan maximo absolutua.

25.

x

baxf(x)

2 += funtzioaren ukitzailea x=1 abzisa puntuan y=-2 da.

a) kalkulatu a eta b

b) Kalkulatu funtzioaren gorakor- eta beherakor tarteak.Sol.: a=b=-1; (0,1) gorakorra eta (1,∞ ) beherakorra, (1,-2) maximoa




Orr. 4

26. Izan bedi f(x)=(x-1)2 e-x funtzioa,a) Kalkulatu asintotak.b) Kalkulatu gorakor- eta beherako-tarteak eta mutur erlatiboak.c) Egin adierazpen grafikoaSol.: y=0; (-∞ ,1)∪ (3, ∞ ) beherakorra, (1,3) gorakorra, (1,0) minimoa eta (3,4/e3 ) maximoa

27. Funtzio bati buruz zera ezagutzen da f(3)=6 dela eta bere funtzio deribatua

⎪⎩

⎪⎨⎧

<≤+−

<<−=

51,86

10,25)('

2 x x x

x x x f dela.

a)

Kalkulatu x=3 abzisa puntuan kurbari ukitzailea den zuzenaren ekuazioa.

b) Kalkulatu gorakor- eta beherako-tarteak eta mutur erlatiboak.Sol.: y=-x+9; (0,2/5)∪ (2,5) beherakorra, (2/5,2)∪ (4,5) gorakorra, x=2/5 minimoa, x=4 mini-

moa eta x=2 maximoa

28. Izan bedi22)( x

e x x f −⋅= funtzioa,

a) Kalkulatu asintotak.b) Kalkulatu gorakor- eta beherako-tarteak eta mutur erlatiboak.

c)

Egin adierazpen grafikoa.Sol.: y=0; (-∞ ,-1)∪ (0,1) gorakorra, (-1,0) beherakorra, (-1,1/e) maximoa, (1,1/e) maximoa eta

(0,0) minimoa

29. M(0,1) puntutik igarotzen den, M puntuan ukitzailea 2x-y+3=0 zuzenari paraleloa dueneta f ‘’(x)=3x2 betetzen duen funtzioa bila ezazu.Sol.: f(x)=x 4 /4+2x+1

30. Funtzio bati buruz ezagutzen dugu f(1)=3 dela eta bere deribatuaren adierazpen grafi-koa

dela,

a) Kalkulatu x=1 abzisan ukitzailearen ekua-zioa.

b) Kalkulatu gorakor- eta beherakor tarteak. Zein puntutan lortzen da maximo absolu-tua?

c) Ikertu ahurtasuna eta ganbiltasuna.Sol.: y=x+2; beti gorakorra eta maximo absolutua x=4 denean; ahurra (1,3) eta ganbila(0,1)∪ (3,4)

31.

⎪⎩

⎪⎨⎧

<≤−

<<−+−=

1x0,x1

0x1c,x2

12xf(x)

2

funtzioa deribagarria da (-1,1) tartean.

a)

Kalkulatu c-ren balioab) Kalkulatu f ‘(x)c) Kalkulatu y=x zuzenari paraleloak diren zuzen ukitzaileen ekuazioak.

Sol.: c=1;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤−

−

<<−=

1x0,x12

1

0x1,2

1-x4

(x)'f ; y=x+39/32 eta y=-x+5/4




Orr. 5

32. Izan bedi f(x)=ex (cos(x)+sin(x)) funtzioa,a) Kalkulatu gorakor- eta beherakor-tarteak.b) Kalkulatu funtzioaren mutur erlatiboak eta absolutuak.

Sol.: ( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∪ π

π π 2,2

3

2,0 gorakorra eta ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ 2

3,

2

π π beherakorra; ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 2,

2

π π e maximo erlatiboa, ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − 2

3,

23

π π e mi-

nimo erlatiboa, (2π , e2π ) maximo absolutua, ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ − 2

3

,23 π

π e minimo absolutua

33. a) Kalkulatu y=x2 parabolari ukitzailea den zuzena eta 4x+y+3=0 zuzenari paraleloadena.b) Kalkulatu (2,0) puntutik igarotzen diren eta y=x2 parabolari ukitzaileak direnzuzenen ekuazioak.Sol.: y=-4x-4; y=0 eta y=8x-16

34.

Izan bedi xx2f(x) −= funtzioa,

a) Ikertu x=0 abzisa puntuan bere deribagarritasuna.b) Kalkulatu x=2 abzisa puntuan ukitzailearen ekuazioa.Sol.: Deribagarria da; y=-4x+6

35.

Izan bedi f(x)=(x+1)(x-1)(x-2) funtzioa,a) Kalkulatu x=1 abzisa puntuan kurbari ukitzailea eta normal diren zuzenen

ekuazioak.b) Bilatu ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak. Badu inflexio-punturik?Sol.: y=1/2(x-1); (-∞ ,2/3) ahurra, (2/3,∞ ) ganbila, (2/3,20/27) inflexio-puntua

36.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥++

<<−+−=

0,1

01,34

)( 2

2

x x

a x

x x x

x f funtzioa (-1,∞) tartean jarraitua da.

a)

Kalkulatu a-ren balioa. x=0 denean deribagarria da?b) Kalkulatu funtzioaren gorakor- eta beherako-tarteak.

Sol.: a=3, ez da deribagarria; (-1,0)∪ (0,1) beherakorra eta (1,∞ ) gorakorra

37. Ikertu

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

≠−≠−=

11,0

11,1)(

xedo x

xeta x x

x

x f funtzioaren deribagarritasuna.

Sol.: x=-1 eta x=1 denean ez da deribagarria.

38. Jatorriarekiko simetrikoa den eta (-3,3) tartean definituta dagoen funtzioaren zati batondoko grafikoan agertzen daa) Kalkulatu, arrazoituz, f(0)b)

Osatu f(x)-ren adierazpen grafikoa.c) Kalkulatu f ‘(x), existitzen denean.

Sol.: f(0)=0; …;

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<<

<<

<<−

−<<−

=

31,2

1

10,0

01,0

13,2

1

)('

x

x

x

x

x f , x=0, x=-1 eta x=1

direnean ez da deribagarria.

39. f(x)=ax3+bx2+cx+d funtzioak ondokoak betetzen ditu: f(0)=4, (1,2) inflexio-puntua da

eta x=0 abzisa puntuan ukitzile horizontala du. Kalkulatu a, b, c eta d.Sol.: a=1, b=-3, c=0 eta d=4




Orr. 6

40. f(x)=x3+ax2+bx+c funtzioak ondokoak betetzen ditu: bere deribatua zero da x=1denean, baina ez da mutur erlatiboa eta f(1)=1 da. Kalkulatu a, b eta c-ren balioak.Sol.: a=-3, b=3 eta c=0

41. f(x) funtzio bat deribagarria da bere izate-eremuan (0,3), f(1)=0 da eta bere funtzio

deribatua

⎩⎨

⎧

<<+−

≤<−=

3x23,x

2x01,x(x)'f da. Kalkulatu funtzioaren adierazpen analitikoa.

Sol.:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<−−−

≤<+−=

32,2

7

2

20,2

1

2)(

2

2

x x x

x x x

x f

42. Izan bedi Raa x x x

a x x x f ∈∀

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+−

<−=

,75

,2)(

2 funtzio jarraitua.

a)

Kalkulatu a-ren balioa

b) Kalkulatu f ‘(x)

Sol.: a=3;

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

<<

<−

=

3,52

32,1

2,1

)('

x x

x

x

x f

43. Izan bedi f(x)=(x+3) e-x funtzioa,a) Kalkulatu asintotakb) Kalkulatu mutur erlatiboak eta inflexio-puntuak.c) Egin adierazpen grafikoa.Sol.: y=0; (-2,e2 ) maximoa, (-1,2e) inflexio-puntua

44.

Izan bedi ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

≤+

= 1,2

1,3

)( 2

2

x x

x x

x f funtzioa,

a) Kalkulatu, posible bada, x=1 abzisaren alboko deribatuak.

b) Kalkulatu funtzioaren gorakor- eta beherakor-tarteak.

Sol.:

⎩⎨⎧

>−

≤=

1x2x,

1x2x,(x)'f ; x>1 gorakorra, 0≤ x ≤1 beherakorra

45. Izan bedi 2x,2x

22xf(x)

2

≠++

= funtzioa,

a) Kalkulatu bere asintotak.b) Eztabaidatu funtzioaren posizio erlatiboa asintotekiko.

Sol.: x=-2 eta y=2x-4; x>-1 zuzenaren goitik, x<-1 zuzenaren azpitik

46. Funtzio baten funtzio deribatua ondokoa daa) Ikertu gorakor- eta beherakor tarteak. Kalkulatu

bere mutur erlatiboak.b) Ikertu ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak. Inflexio-

punturik badu?Sol.: (1/2,10/3) gorakorra, (-1,1/2)∪ (10/3,4) beherakorra;

(2,4) ahurra eta (-1,2) ganbila




Orr. 7

47. Ikertu

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤<−+=

1,4

1

10,3

)( 2

2

x x

x

x x x


Sol.: (0,∞ )-{1} deribagarria

48. ⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≤+=

+ 0,

0,3)(

)( xe

xbax x f

bax x funtzioa deribagarria izan daiten, kalkulatu a eta b-ren balioak.

Sol.: a=1/3 eta b=1

49. Ikertu

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤

>=

0,1

0,)sin(

)(

x

x x

x


Sol.: 121/8 u2

50.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−−

<

−=0,1

0,

1

1

)(2

x xmx

x

x x f funtzioa deribagarria bada, kalkulatu m-ren balioa.

Sol.: m=-1

51. Izan bedi⎪⎩

⎪⎨⎧

<≤−

<=

102,5

2,)(

x x

x x x f

x

funtzioa,

a)

Kalkulatu a-ren (a>0) balioa funtzioa jarraitua izan dadin.

b) Egin adierazpen grafikoa.c) Ikertu deribagarritasuna.Sol.: a=3; …; x=2, x=5 denean ez da deribagarria.

52. Kalkulatu a eta b,

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤+=

2x bx,x

a

2x,5xaxf(x)

2

funtzioa deribagarria izan daiten.

Sol.: a=-20 eta b=-5

53.

Objektu bat puntu finko batetatik eta bertikalki jaurtitzen da. t segundu igaro ondorenaltuera h(x)=5-5t-5e-2t funtzioak ematen du.a)

Zenbat denbora igaro da altuera maximoa lortu arte? Zein da altuera?

b) Kalkulatu abiadura 2 segundu igaro ondoren.Sol.: 0,767min; -4,9999 m/s2

54. Izan bedi

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠

+=

0x0,

0x,

e1

1

f(x) x1 funtzioa,

a) Bilatu x=0 abzisa puntuan alboko limiteak. x=0 abzisan jarraitua da?b)

Kalkulatu x=1 abzisa denean bere deribatuaren balioa.

Sol.: 0+ 0 eta o- 1, ez da jarraitua;

2)1()1('

e

e f

+=




Orr. 8

55. Ikertu

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<+−

≤<−

−≤+−

=

x x x

x

x x x

x f

1,

3

2

3

1

12,0

2,3

2

3

1

)(

3

3

funtzioaren deribagarritasuna.

Sol.: x=-2 denean ez da deribagarria.

56. Izan bedi f(x)=cos(x)+kx funtzioa,a) Kalkulatu k-ren balioak funtzioa bere definizio-eremuan gorakorra izan daiten.b) k=1 denean, kalkulatu x=0 abzisa puntuan funtzioari ukitzailea den zuzenaren

ekuazioa.Sol.: k ≥1; y=x+1

57.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤++=

0,)1(

0,

)(

2

x x

x Ln

xcbx x

x f funtzioa deribagarria da x=0 abzisa puntuan? Zeintzuk dira

b eta c-ren balioak?Sol.: Deribagarria; b=-1/2 eta c=1

58.

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤

<++=

xcx

xbax x x f

1,

1,)(

2

funtzioa bere izate-eremuan deribagarria da eta x=0 eta

x=4 abzisa puntuetan balio bera hartzen du. Kalkulatu a, b eta c.Sol.: a=-7/4, b=1 eta c=1/4

59. a) Bilatu f(x) funtzioa jakinda⎩⎨⎧

>

<=

3,

3,0)('

x x

x x f eta f(3)=9/2

b) Funtzioa x=3 abzisa puntuan deribagarria da?

Sol.:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<=3,

2

3,29)(

2 x x

x x f

60. Kalkula ezazu 12)( −+−= x x x f funtzioaren funtzio deribatua.

Sol.:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<−

+−

>−

+

=21,

1

11

2,1

11

)('

x x

x x

x f

61. f(x) funtzia R osoan deribagarria da eta

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−

++−=

3,1

3,3

3)3(

)('

2

x

x x

a xa x

x f da.

a) Zein da a-ren balioa?

b) Kalkulatu, arrazoituz, f ‘(3)Sol.: a=2; f ‘(3)=1




Orr. 9

62. Funtzio bati buruz egindako baieztapenetatik, zeintzuk IZAN BEHAR dute egiazkoak,zeintzuk IZAN DAITZEZKE batzutan egiak edo INOIZ egiak?Arrazoitu erantzunak.Erantzuna IZAN DAITEKE bada, jarri adibide bat egia denean eta beste bat gezurradenean.

a) 1)(

lim

0

=

→ x

x f

x

bada eta f(x) jarraitua, orduan f(0)=1 da.

b) 3)0()(

lim0

=−

→ x

f x f

x bada, f ‘(o)=3 da.

c) 3)0()(

lim0

=−

→ x

f x f

x bada, x=0 abzisa puntuan kurbari ukitzailea den zuzena

y=3x+1 da.Sol.: INOIZ; EGIA; IZAN DAITEKE (1996)

63.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤+=

1,

1,5

)( x

x

b xa

xax

x f funtzioa deribagarria da. Kalkulatu a eta b

Sol.: a=-10 eta b=5

64. Izan bedi f(x) funtzio deribagarri bat. Jakina da f ‘(x) jarraitua dela eta

f ‘(0)=0, f ‘(2)=1, f ‘(3)=0, f ‘(4)=-1, f ‘(5)=0

f ‘(x) gorakorra (-∞,2)∪(4, ∞) tartean

f ‘(x) beherakorra (2,4 tartean

y=2x+3 zuzena f ‘(x)-ren asintota x∞ a) Egin bere adierazpen grafikoa.b) f(x) funtzioak x-ren zein balioetan lortzen ditu bere maximoak eta minimoak?Sol.: x=3 maximoa eta x=0 eta x=5 minimoa

65.

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤−+

<≤+=

5x2,1xc

2x0, bxaxf(x)

2

funtzioa (0,5) tartean deribagarria da eta f(0)=f(5).

Kalkulatu a, b eta c.Sol.: a=-3/2, b=1/2 eta c=-2

66. Izan bedi f(x)=|8-x2| funtzioa,a) Kalkulatu mutur erlatiboak.b) Kalkulatu x=-2 abzisan funtzioari ukitzailea den zuzena eta kurbaren arteko ebaki-

puntuak.

Sol.: )0,8()0,8( eta− minimoa, (0,8) maximoa; y=4x+12, )6820,622( −− ,

)6820,622( ++ eta (-2,4)

67.

Izan bedi 1

22

)( += x

x

e x f funtzioa,a)

Kalkulatu asintotak.b) Kalkulatu gorakor- eta beherakor-tarteak. Kalkulatu mutur erlatiboak.Sol.: y=1; 1<x<-1 beherakorra eta -1<x<1 gorakorra, minimoa (1,e-1 ) maximoa (1,e)

68. Izan bedi f(x)=(x+1)(x-1)(x-2) funtzioa,a)

Kalkulatu x=1 abzisan kurbari ukitzailea eta normala diren zuzenen ekuazioak.

b) Kalkulatu ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak. Badu inflexio-punturik?Sol.: y=-2x+2 eta y=1/2(x-1); ahurra x<2/3 eta ganbila x>2/3




Orr. 10

69. Izan bedi

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤−

<<−+

−≤

=

x x

xbxax

x

x f

2,1611

21,

1,0

)( 3 funtzioa,

a) Kalkulatu a eta b f(x) funtzioa beti jarraitua izan dadin.

b)

Ikertu bere deribagarritasunac)

Egin adierazpen grafikoa.Sol.: a=1 eta b=-1; x=-1 denean ez da deribagarria eta x=2 denean bai.

70. Izan bedi⎪⎩

⎪⎨⎧

≤++

>−=

1,2

1),1()(

2 xbax x

x x Ln x f funtzioa,

a)

Kalkulatu a eta b-ren balioak funtzioa jarraitua bada eta jatorritik igarotzen bada.

b) Ikertu deribagarritasuna.c) Kalkulatu zein puntutan den kurbari ukitzailea abzisa ardatzari paraleloa.Sol.: a=-3 eta b=0; x=1 denean deribagarria; P(3/4,-9/8)

71. Kalkulatu a, b eta c-ren balioak f(x)=x2+ax+b eta g(x)=x3+c kurben grafikoak (1,2)

puntutik igaro daitezen eta puntu horretan ukitzaile bera izan dezaten.Sol.: a=1, b=0 eta c=1

72. Izan bitez f(x)=log(x)-b eta b xa xg +=)( funtzioak (log, logaritmo nepertarra

adierazten du),a) Kalkulatu a eta b-ren balioak bi funtzioak x=1 abzisatik igarotzean ukitzaileak izan

daitezen.b)

Kalkulatu zein puntuetan anulatzen den funtzioetariko bakoitza.

c) Kalkulatu h(x)=f(x)g(x) funtzioaren definizio-eremua.Sol.: a=2, b=-1; f(x) (1/10,0) eta g(x) (1/4,0); D=(0,∞ )

73. Izan bedi2

1)(x

4xf(x)

−

+= funtzioa,

a) Kalkulatu definizio-eremua eta asintotak.b) Kalkulatu maximo eta minimo erlatiboak eta gorakor- eta beherakor-tarteak.c) Egin adierazpen grafikoa.Sol.: R-{1}, x=1, y=x; x>3 gorakorra, 1<x<3 beherakorra, minimoa x=3 denean

74. Kalkulatu bigarren deribatua f ‘’(x)=x ex duten funtzio guztiak. Horietatik, bilatu (0,2)eta (2,0) puntuetatik igarotzen dena.Sol.: f(x)=xe x -2e x +kx+m; f(x)= xe x -2e x -2x+4

75. Izan bedi

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>−+−

≤≤++−

<+

=

2),1(

20,2

3

0,2

)(

2

23

2

x xd x

xcbx xax

x x x

x f funtzioa,

a) Kalkulatu, arrazoituz, a, b, c eta d-ren balioak f(x) funtzioa jarraitua etaderibagarria izan dadin.

b) Egin f ‘(x) eta f ‘’(x) funtzioen adierazpen grafikoa.Sol.: a=1/2, b=2, c=0 eta d=6

76. Izan bedi 31)( 2 −−+−= x x x f funtzioa,

a) Kalkulatu definizio-eremua.

b) Kalkulatu kurbako puntuak non ukitzaileak x-y=0 zuzenari paraleloak diren.c)

Kalkulatu kurbaren asintotak

Sol.: );,3[)3,( ∞∪−−∞ P=(-2,2) eta Q=(2,-2); y=1 (-∞

) eta y=-2x+1 (+∞

)




Orr. 11

77. f(x)= ex sin(x) funtzioa [0,2π] tartean definitua dago. Kalkulatu bere mutur erlatiboaketa inflexio-puntuak.Sol.: maximoa x=3π /4 eta minimoa x=7 π /4, inflexioa x=π /2 eta x=3π /2 denean.

78. [-3,3] tartean definitutako f(x) funtzioaren adierazpen grafikoa ematen da:a) Ikertu bere jarraitasunab) Ikertu bere deribagarritasunac)

Egin f ‘(x) funtzioaren adierazpen grafikoa.Sol.: x=1 denean ez da jarraitua, x=1 eta x=0 denean ez daderibagarria

79. Izan bedi2)1(

4

−+=

x x y funtzioa,

a) Kalkulatu definizio-eremua eta asintotak.b) Bilatu gorakor- eta beherakor-tarteak eta maximo eta minimo erlatiboak.c) Egin funtzioaren adierazpen grafikoa.

Sol.: R-{1}, x=1 eta y=x; gorakorra (-∞ ,1)∪ (3,∞ ) eta beherakorra (3,4), minimoa (3,4)

80. Izan bedi

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−+−

≤≤++−

<+

=

2),1(

20,2

3

0,2

)(

2

23

2

x xd x

xcbx xax

x x x

x f funtzioa,

a) Bilatu, arrazoituz, a, b, c eta d-ren balioak f(x) funtzioa R osoan jarraitua izandadin.

b) Egin f ‘(x) eta f ‘’(x) funtzioen adierazpen grafikoa.Sol.: ½, 2, 0, 6

81. Izan bedi 31)( 2 −−+−= x x x f funtzioa,

a) Bilatu definizio-eremua.b) Kalkula ezazu zein puntu (puntutan) funtzioaren zuzen ukitzailea x-y=0 zuzenari

paraleloa den.c) Kalkulatu bere asintotak.

Sol.: ),3()3,( ∞∪−−∞ ; P(-2,2) eta Q(2,-2); y=-2x+1 asintota

82.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<<+

≤+

=

1,

10),(2

0),cos(1

)(

2 x x

b

x xa

x x

x f funztioa izanik, kalkulatu a eta b funtzioa jarraitua izan

dadin.Sol.: a=1, b=4

83. f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d funtzioak (1,0) puntuan ukitzaile horizontala du eta (-1,-32)

inflexio-puntua da.a) Bilatu f(x) funtzioa.b) Kalkulatu bere maximo eta minimo erlatiboak.

Sol.: f(x)=x4-x3-9x2+17x-8; x=1 denean maximoa eta8

2731±−= x denean minimo erlati-

boa




Orr. 12

84.

2

2

2

3

3)(

+

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

ax

x

x x x f funtzioaren asintota horizontala y=2 bada, kalkulatu a.

Sol.: a= 3 Ln(2)

85.

Izan bedi cx

5 bxax

f(x) 2

23

−

++

= funtzioa,

a)

Kalkulatu a, b eta c jakinda x=2 eta y=3x+2 bere asintotak direla.

b) f(x) funtzioak badu beste asintotarik? Egiazkoan, kalkulatu.Sol.: a=3, b=2, c=4; x=-2

86. ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤−+

<≤+=

52,1

20,)(

2

x xc

xbxax x f funtzioa (0,5) tartean deribagarria da eta, gainera,

f(0)=f(5). Kalkulatu a, b eta cSol.: a=-3/2, b=1/2 eta c=-2

87. f(x)=ax3+bx2+cx+d funtzioari buruz zera esagutzen da: x=-1 denean maximoa duela,bere kurbak abzisa ardatza x=-2 abzisan ebakitzen duela, x=0 denean inflexio-puntua

duela eta x=2 abzisa puntuan ukitzailearen malda 9 dela. Kalkulatu a, b, c eta d.Sol.: a=1, b=0, c=-3 eta d=2




Orr. 13

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK

1. Izan bedi f, x=a puntuan deribagarria den funtzioa. Eman f funtzioaren zuzen uki-tzailearen ekuazioa puntu horretan. Zein da zuzen horren esanahi geometrikoa? Emanf(x) = x3 + 16 funtzioaren zuzen ukitzailearen ekuazioa x=a den puntu orokor ba-tean. Zuzen horien artean ba al dago baten bat kurban ez dagoen P=(0,0) puntutikigarotzen dena?Sol: y=24x

2. Izan bedi f(x) ondoko moduan definitutako funtzioax6 exf(x) −= . Aztertu f(x) fun-

tzioaren maximo eta minimo lokalak. Ba al du f(x) funtzioak asintotarik?Sol: (0,0) minimoa; (6,...) maximoa; y=0 asintota

3. f funtzio bati buruz zuzen errealeko puntu guztietan deribagarria dela ezaguna da. Ho-rrez gain f(0)=2 eta f ‘ (0)= -2 dira. Ondoko bi funtzioak definitzen baditugu:

g(x) = ef(x) eta h(x)= f(ex)Datu nahiko al dugu g‘(0) kalkulatzeko? Eta h‘(0) kalkulatzeko? Erantzuna baiezkoaizatekotan, balioa kalkulatu eta ezezkoa izatekotan, esan zergatik den ezinezkoa.Sol: (a) BAI (b) EZ

4. Aztertu1)2)(x(x

12xf(x)

−++

= funtzioaren definizio-eremua, gorakortasun eta beherakorta-

sun tarteak, maximo eta minimo lokalak eta asintotak.Sol: BETI gorakorra; (-1/2,0) inflexioa

5. Azaldu zertan datzan funtzio konposatuak deribatzeko erregela (edo katearen erre-gela). Ondoko funtzioak emanda: f(x) = x2+1 eta g(x) = cos (x2), erabili katearenerregela ondoko funtzioen deribatua kalkulatzeko: H(x) = f(g(x)) eta J(x) = g(f(x))Sol: H(x)=1+cos2(x 2 ) eta J(x)=cos(1+x 2 )2

6. Izan bedi f(x) ondoko moduan definitutako funtzioa:2xx

xf(x)

2

2

−+= . Aurkitu f fun-

tzioaren definizio-eremua, gorakortasun- eta beherakortasun-tarteak eta asintotak. Ffuntzioak maximo edo minimorik al du?Sol: D=R-{-2,1}; (-∞ ,-2)∪ (-2,0) ∪ (4, ∞ ) gorakorra; y01, x=-2 eta x=0 asintotak; (0,0) maximoa

eta (4,8/9) minimoa

7. Aurkitu f(x) = x4 + 16 funtzioaren zuzen ukitzailearen ekuazioa x=a puntuan. Ba al

dago a parametroaren baliorik non zuzen ukitzailearen malda 1 den? Ba al dago aparametroaren baliorik non zuzen ukitzailea kurbatik kanpo dagoen P=(0,0) puntutik

igarotzen den? Erantzunak arrazoitu ezezkoak izatekotan, eta baiezkoak izatekotan kal-kuluak egin.

Sol: a= 34

1; a=

4 3

2±

8.

f(x) = x2 e-x funtzioaren gorakortasun- eta beherakortasun-tarteak, mutur lokalak etaasintotak aztertu. Egin aurreko funtzioaren adierazpen grafikoa.Sol:(0,2) beherakorra, (-∞ ,0)∪ (4, ∞ ) gorakorra; (0,0) minimoa, (2,...) maximoa; y=0

asintota

9. Izan bedi f ondoko moduan definitutako funtzioa:

⎩⎨⎧

≥

<++=

bada2x2x,

bada2x b,axxf(x)

2

.

Existitzen al dira a eta b parametroen baliorik non f funtzioak batez besteko balioa-ren teoremaren hipotesiak betetzen dituen [0,4] tartean? Erantzuna arrazoitu eta bai-ezkoa izatekotan parametroen balioak aurkitu.Sol: a=-2 eta b=4




Orr. 14

10. Izan bedi f ondoko moduan definitutako funtzioa: f(x)= e2x – 4ex + 1 Aurkitu f fun-tzioaren gorakortasun- eta beherakortasun-tarteak eta asintotak. F funtzioak maximoedo minimorik al du?Sol: (ln 2, ∞ ) gorakorra, (-∞ ,ln 2) beherakorra; (ln 2,...) minimoa; y=1 asintota

11. Zer esan nahi du y=ax+b zuzena f(x) funtzioaren asintota zeiharra izateak? Aurkitu

ondoko funtzioaren asintota zeiharra c parametroaren arabera:53x

cxxf(x)2

23

++=

Sol: y=(x+c)/3

12. Izan bedi f ondoko moduan definitutako funtzioa: f(x)= 2x3+ax2+bx+c. Aurkitu a, beta c parametroen balioak f funtzioaren muturrak x=1 eta x=2 puntuetan egon daite-zen eta P=(1,6) puntua f funtzioaren grafikoan egoteko.Sol: a=-9, b=12, c=1

13. P(x)= x3 + Ax2 +Bx polinomioari buruz ondoko datuak ezagunak dira: bere zuzen uki-tzailea x=1 deneko puntuan y= 7x –3 zuzenarekin paraleloa da eta bestalde, polino-mioak, x= -1 deneko puntuan mutur erlatibo bat dauka. Aurrekoa ezagututa, aurkitu Aeta B parametroen balioak. Arrazoitu balio horiekin P(X) polinomioak beste mutur er-

latiborik daukan ala ez, x= -1 deneko puntukoaz gain.Sol: a=7/4 eta b=1/2; x=-1/6 denean

14. Eman funtzio deribagarri baten puntu bateko zuzen ukitzailearen definizioa. Deskribatu,

laburki, zuzen ukitzailearen esanahi geometrikoa. Aurkitu1x

xexf(x)

2

3x2

++= funtzioa-

ren zuzen ukitzailea x=1 deneko puntuanSol: y – (1/2 +e) = (1+3e) (x-1)

15. h parametroaren balio bakoitzerako, izan bedi f(x)=2x3-3x2+h moduan definitutakofuntzioa. Aurkitu f funtzioak balio maximoa eta minimoak iristen ditueneko puntuak.Aurkitu h parametroaren balioa aurreko atalean aurkitutako minimo lokalean f fun-tzioaren balioa 0 izan dadin.

Sol: (0,h) maximoa; (1,h-1) minimoa; h=1 denean

16. Aztertu1x

xf(x)

2

−= funtzioaren definizio-eremua eta maximo eta minimo lokalak eta

ondoren funtzioaren adierazpen grafikoa egin. Ba al du f funtzioak asintota zeiharrik?Erantzuna ezezkoa izatekotan, arrazoitu eta baiezkoa izatekotan asintota kalkulatu.

Sol: (0,0) maximoa; (2,4) minimoa; y=x+1

17. Bila ezazu ondoko funtzioaren maximo, minimo eta inflexio-puntuak:4x

4xy

2 += . Kal-

kula itzazu funtzioaren balioak puntu hauetan.

Sol: (2,1) maximoa; (-2,-1) minimoa; ,...)32(,...)32( −eta inflexio-puntuak

18.

Bi higikor bertikal berdinean aurkitzen dira momentu guztietan ondoko ekuazioen trai-

ektoriak jarraituz y= 2x2-8x+1 eta 2y=x2+8x-5. Zein puntutan dira paraleloak be-raien ukitzaileak?Sol: (4,1) eta (4,43/2) puntuetan

19. Kalkula itzazu4x

193xxy

2

+−−

= funtzioaren puntu kritikoak eta gorakor beherakor tar-

teak. Kalkula ezazuxsinx

xsinxtanlim

0x −

−→

Sol: (-7,-17) maximoa eta (-1,-5) minimoa; limitea 3




Orr. 15

20. Froga ezazu1x

1xy

2 +

+= kurbak lerrokaturik dauden hiru inflexio-puntu dauzkala.

Sol:

21. Azter ezazu y= x4-2x2 funtzioaren gorapen eta beherapen tarteak.Sol: (-1,0)∪ (1.∞ ) gorakorra eta (-∞ ,-1)∪ (0,1) beherakorra

22. x1

1xlny

−+

= ekuazioa duen kurbaren tangenteen ekuazioak bila itzazu, jakinik x-

y+10=0 zuzenari paraleloak direla.Sol: y=x

23. y= x-ln (1+x) funtzioa emanik, aurki ezazu beraren izate-eremua. Halaber, kalkulaitzazu gorapen-tarteak.

Sol: D=(-1,∞ ); (0, ∞ ) gorakorra eta (-1,0) beherakorra

24. y= ln ((x+1)(x+2)) funtzioa emanik, azter itzazu izate-eremua, gorapen eta behera-pen tarteak.

Sol: D=(-∞ ,-2) ∪ (-1, ∞ ); )1,(

2

32, ∞−∪⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −− gorakorra; ( ) ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −

−∪−∞− 1,

2

32, beherakorra

25.

Aurki itzazu y= 16x-8x ln(4) funtzioaren maximoak eta minimoak.

Sol: (-1/2,4-4ln(4)) minimoa

26. Aurki itzazu a eta b konstanteen balioak, y= a ln(x) + bx2 +x funtzioak, x1=1 eta

x2=2 abzisadun puntuetan mutur erlatiboak izan ditzan. Kasu bakoitzean determinaezazu maximoak ala minimoak diren.Sol: (1/3,5/6) minimoa eta (-1/6,...) maximoa

27. Idatz itzazu2

2

x3

3x1y

+

+= kurbaren zuzen ukitzaileen ekuazioak, y=1 deneko puntuetan.

Aurki ezazu zuzen hauek eratutako angelua eta adieraz itzazu plano koordenatuan.

Sol: y=x eta y=-x; 90º

28. Froga ezazu4x

4xy

2 += kurbak lerrokaturik dauden hiru inflexio-puntu dauzkala. Bi-

latu puntu horiek.Sol:

29.

Puntu batetik 16xy −= funtziora zuzen ukitzailea irudikatzen da. Zeintzuk dira

puntu honen koordenatuak, baldin eta bertan ukitzaileak eta abzisa ardatzak eratzenduten angelua 60ºkoa bada?

Sol: ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ 3,

3

2

30.

O(0,0) puntutik, y=x2

-4x+1 parabolara bi zuzen ukitzaile irudikatzen dira. Bila itzazuzuzen horien ekuazioak. Egizu adierazpen grafikoa.Sol: y=6x eta y=-6x

31. Kalkula ezazu ondoko funtzioaren deribatua2

x2xx)sin(1arcy −+−= , emaitza ahalik

eta gehien sinplifikatuz. Aurki ezazu zuzen ukitzailearen ekuazioa x0=1 abzisadun pun-

tuan.Sol: y=-x+2

32. Kalkulatu1x

1xarcseny

2

2

+

−= (x>0) funtzioaren deribatua, emaitza ahalik eta gehien la-

burtuz. Kalkula ezazu zuzen ukitzailearen ekuazioa x0=1 abzisadun puntuan.

Sol:1x

2(x)'f 2 +

= ; y=x-1+π




Orr. 16

33. Aurki itzazu y= x4 – 2ax2, (a>0), funtzioaren maximo eta minimoak. Kalkula ezazu adelakoaren balioa, maximo eta minimo horiei dagozkien puntuek eratutako triangelua-

ren azalera2

u24 koa dela jakinik.

Sol: (0,0) maximoa, ( a− ,-a2) eta ( a ,-a2) minimoak; a=2

34. Aurki itzazu y=ln (x2+1) funtzioaren izate-eremua, gorakortasun eta beherakortasuntarteak, eta ahurra eta ganbila deneko tarteak.

Sol: D=R; (0,∞ ) gorakorra eta (-∞ ,0) beherakorra; (-1,1) ahurra

35. Kalkula ezazu y= 3 sin4x cos2x + sin3x funtzioaren deribatua, emaitza ahalik eta ge-

hien sinplifikatuz. Aurki itzazu maximoak eta minimoak [0,π] tartean.Sol: ....; ( π /2,1) minimoa

36. Aurki itzazu a eta b konstanteen balioak, y= a ln x + bx2 + x funtzioak, x1=1 etax2=2 abzisa puntuetan mutur erlatiboak izan ditzan. Kasu bakoitzean determina ezazuea maximoak ala minimoak diren.Sol: a=-2/3 eta b=-1/6; (1,...) minimoa eta (2,...) maximoa

37. Kalkula ezazu lehen koadranteko erdikariko puntu bat, non bertatik A(0,5) etaB(11,0) puntuetarainoko distantzien karratuen batura minimoa den.Sol: (4,4)

38. Aurki itzazu1x

xy

2 += funtzioaren gorapen eta beherapen tarteak, eta ahurtasun tar-

teak.

Sol: (-1,1) gorakorra eta (-∞ ,-1)∪ (1, ∞ ) beherakorra; ( ) ( )∞∪− ,3,03 ahurra eta ( ) ( )30,3, ∪−∞−

ganbila

39.

Aurki itzazu2

2

)1(

1ln

3

1

−

++=

x

x x y funtzioaren izate-eremua, eta maximo eta minimoak.

Sol: D=(-∞ ,1)∪ (1,∞ ); ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −−

3

)2ln(2,1 maximoa

40.

Bila ezazu 3. mailako polinomio bat jakinik bere adierazpen grafikoak (0,4) puntuan

maximoa eta (2,0) puntuan minimoa dituela.Sol: f(x)=x 3-3x 2+4

41. 1x

axy

2 += kurbari x=0 abzisa puntuan ukitzailea den zuzena, y=(x+1)3+4 kurbaren

inflexio puntutik pasatzen da. Aurki ezazu a-ren balioa.Sol: a=-4

42. f(x)=ln ((x+1)(x+2)) funtzioa emanik, aurki itzazu definizio-eremua, eta gorapen etabeherapen tarteak.Sol: D=(-∞ ,-2)∪ (-1,∞ ); (-∞ ,-2) beherakorra eta (-1,∞ ) gorakorra

43. Aurki itzazux

2

x2

ey−

= funtzioaren gorapen- eta ahurtasun-tarteak.

Sol: (1,∞ ) gorakorra eta (-∞ ,1) beherakorra

44. y= (x+b) eax funtzioak minimo bat dauka (0,-1) puntuan. Aurki itzazu a eta b-ren bali-oak.Sol: a=1 eta b=-1

45. )t(ωsinAf(t) += funtzioa emanik, non A, ϖ eta ϕ konstanteak diren, aurki ezazu

f‘’(t) bigarren deribatua. Egiazta ezazu, f ‘’(t)= -c f(t) ekuazioa betetzen dela, c kons-tantea izanik. Aurki ezazu c-ren balioa.Sol: c=w 2




Orr. 17

46. Egiazta ezazu, y= x3-9x2+24x-18 funtzioaren maximoa, minimoa eta inflexio-puntua,lerrokaturik daudela.Sol:

47. Aurki ezazu y= ln (1 + x2) kurbako puntua, zeinetan zuzen ukitzailea, x=1 abzisadun

puntutik marrazturiko tangentearen perpendikularra den.Sol: (-1,ln(2))

48.

y = ax3 + bx2 + cx + d funtzioa emanik, aurki itzazu a, b, c eta d koefizienteak, kur-

baren tangentearen ekuazioa (1,0) inflexio-puntuan y= -3x+3 dela, eta funtzioakx=0 abzisadun puntuan mutur bat daukala jakinik.Sol: a=1, b=-3, c=0 eta d=2

49. Kalkulatu y=arcsin(1-x)+ 2 x-x2 funtzioaren deribatua emaitza sinplifikatuz. Kalku-

latu x0=1 abzisa puntuan ukitzailea den zuzenaren ekuazioa.

Sol: ( )32x2y −+=

50. Zatika definitutako⎩⎨⎧

≥

<=

0x(px),sin

0x2x,f(x) funtzioa emanik: a) Egiazta ezazu f(x) funtzioa

jarraitua dela, p parametroak edozein balio duelarik. b) f(x) funtzioa bere izate-eremuan deribagarria izan dadin aurki ezazu p parametroaren balioa. c) Egizu adie-

razpen grafikoa [-π,π] tartean, aurreko atalean lortutako p-ren baliorako. Eskala ori-entagarria: 1 unit.= 1 cmSol: p=2

51. Aurki itzazu perimetro handienetako errektanguluaren aldeak, jakinik R=10 unitatekoerradiodun zirkunferentzierdi batean inskribaturik dagoela, eta beraren aldeetariko batzirkunferentzierdiaren diametroaren gainean dagoela.

Sol: unitate58 eta unitate52

52. Ibai lerrozuzen baten ertzetik 12 km-tara kokaturik dagoen lantegi batek, ibaiertzeankokaturik dagoen hiri batetara garraiatu behar ditu bere produktuak, fabrikatik hurbilen

dagoen ibaiko puntutik hirirako distantzia 80 km-takoa delarik. Kamioien bidez eginikogarraioaren tonako eta kilometroko kostua 130 pta-takoa da, ibaian zeharreko ga-rraioa, gabarren bidez eginikoaren tonako eta kilometroko kostua 50 pta-takoa delarik.

Ibaiertzeko zein puntutan kargatu behar da merkantzia gabarretan, garraioaren kostuosoa minimoa izan dadin?Sol: Fabrikatik hurbilen dagoen puntutik 5 km-tara

53. y=ln(x3-3x) funtzioa emanik. (a) Kalkula ezazu izate-eremua. (b) Kalkula itzazu mu-tur erlatiboak. (c) Kalkula itzazu ahurtasun- ganbiltasun-tarteak. (d) Kalkula itzazuasintotak.

Sol: D= ( 30,3,R ∪−∞−− ; ( )∞,3 gorakorra eta ( )0,3− eta beherakorra; x=0, x= 3 , x=- 3

54. Aurki itzazu a eta b-ren balioak, f(x) = ax3 + bx2 + x + 1 funtzioak x=1 puntuan ma-ximo bat eta x=2 puntuan minimo bat eduki ditzan.Sol: a=1/6 eta b=-3/4

55. Aurki ezazu k parametroaren balioa,k x

ef(x)

2

x

+= funtzioak zehazki mutur erlatibo ba-

kar bat eduki dezan.Sol: k=1

56. Aurki ezazu zein (edo zeintzuk) puntutan y=x3-3x+1 kurbarekiko zuzen tangentea OXardatzarekiko paraleloa den eta aurki ezazu zuzen horren (edo horien) ekuazioa.Sol: (1,-1) eta (-1,3) puntuetan

57. y = x2 + 9 kurbaren kanpotik dagoen P=(0,0) puntutik igarotzen den eta kurbari uki-tzailea den zuzenaren ekuazioa bila ezazu, baita ukitzaile puntua.

Sol: y=6x eta y=-6x




Orr. 18

58. Azpian ageri diren grafikoak, f funtzio bati, f ‘ bere deribatuari eta g funtzio bati da-gozkie. Hiru funtzioak tarte berean definituta daude. Zoritxarrez, irudia eraikitzerakoan(zeinetan koordenatu ardatzak ere ageri diren) grafikoak zoriz kokatu dira.

Erabaki, erantzuna

arrazoituz, zein denfuntzio bakoitzari da-gokion grafikoa.

Sol:

59. Ba al dago I=[1,5] tartean definitutako funtzio jarraiturik, x=3 puntuan maximo lokal(erlatibo) bat duena baina x=3 puntuan deribagarria ez dena? Erantzuna arrazoitu.Sol:

60. Izan bedi f(x)= x2 – 3x + 4 funtzioa. (a) Kalkulatu f funtzioaren zuzen ukitzailearenekuazioa hautazko x=a puntuan. (b)Aurkitu a parametroaren balioa (edo balioak), au-rreko zuzena P=(0,0) puntutik (zeina kurbatik kanpo dagoen) igarotzeko.Sol: y=(2a-3)x+4-a2; a=± 2

61. Existitu al daiteke I=[0,5] tartean definituriko f funtzioa, I tarteko puntu guztietan jarraitua dena, x=3 puntuan maximo lokal bat duena baina x=3 puntuan deribagarriaez dena? Erantzuna arrazoitu.Sol:

62.

Izan bedi ondoko funtzioa:14x

xf(x)

2

3

+= Kalkulatu bere asintota zeiharraren ekuazi-

oak. Aztertu f funtzioaren gorakortasuna eta maximo eta minimoen existentzia.Sol: y=1/4x; (0,0) inflexioa

63. Aurkitu a eta b balioek bete behar dituzten baldintzak ondoko funtzioak x=0 puntuanmaximo bat eta x=1 puntuan minimo bat izan ditzan: f(x) = ax3 + bx2 +4

Sol: 2b+3a=0

64. Zehaztu zein izan behar diren ondoko kurbaren koefizienteak y= x3 + Ax2 + Bx + Cbere (1,1) puntuko zuzen ukitzailea y= 3x – 2 izan dadin eta x=4 puntuan mutur lo-kal bat izan dezan.Sol: A=-8, B=16 eta C=-8

65. Leiho bat zati laukizuzen batez eta honen gainean kokatuta dagoenzirkuluerdi batez osaturik dago. Leiho osoaren perimetroa 12 metro-koa bada, zein dira leihoak izan behar dituen neurriak ahalik eta argigehien sar dadin?

Sol: metroπ4

2π1Hetametro

π4

12R

++

=+

=

66. f(x) funtzioari buruz ondoko datuak ezagunak dira: puntu guztietan deribagarria da etahorrez gain, f(1)=0 eta f ‘(1)= -2 dira. Izan bedi h(x)= ef(x) + x2

f(x) + (f(x))2 fun-

tzioa. Kalkulatu h ‘(1) era arrazoituan.Sol: -4

67. Izan bedi f(x)= x + xe-x. Kalkulatu funtzioaren zuzen ukitzailea x puntuan non zuzenukitzaile hori (1,1) eta (3,3) puntuetatik igarotzen den zuzenarekin paraleloa den.

Sol: y=x+1/e

A

B

C

H

R




Orr. 19

68. 8 metro koadroko azalera duen leiho errektangeluar baten markoa egin nahi da. Markobertikalaren prezioa 300 euro metroko da eta horizontalarena 150. Aurkitu leihoan izanbehar dituen dimentsioak markoaren kostua minimoa izan dadin.Sol: 4 m luze eta 2 m zabal

69. Aztertu ondoko funtzioaren asintotak eta maximo eta minimoak1x

x

f(x) 2

3

−=

Sol: ( ,...3 ) minimoa eta ( ,...3− ) maximoa; (0,0) inflexioa

70. h funtzioari buruz ondoko datuak ezagunak dira: puntu guztietan deribagarria da eta,

horrez gain, h(2)=3 eta h ‘(2)=-1 dira. Izan bedi [ ] 3xh(x)f(x) 22 ++= funtzioa. Kal-

kulatu f funtzioaren grafikoaren zuzen ukitzailearen ekuazioa x=2 deneko kasuan.Sol: ...; y=(-x+18)/4

71. 20 luzerako alanbre-zati bat bi zatitan banatu dugu. Lehenengo zatiarekin laukizuzenbat egin dugu non oinarria altueraren bikoitza den eta bigarren zatiarekin karratu bategin dugu. Aurki bi zatien luzerak laukizuzenaren eta karratuaren azaleren batura mi-nimoa izan dadin.

Sol: 30/17 eta 160/17

72. f funtzioari buruz ondoko datuak ezagunak dira: puntu guztietan deribagarria da eta

horrez gain, f(0)=1, f ‘(0)=2 eta f ‘’(0)=3 dira. Izan bedi [ ] )(8)(3g(x) 2

x f x f += fun-

tzioa. Kalkulatu, era arrazoituan, g ’’(0).Sol: 66

73. Izan bedi f(x)=x3 + Ax2 +Bx + 5. Aurkitu A eta B parametroen balioak f funtzioakx=1 denean maximo bat eta x=2 denean minimo bat izan ditzan.Sol: A=-9/2 eta B=6

74. Izan bitez p eta q bi zenbaki positibo, eta haien batura, 20. Aurkitu, eta arrazoitu, p etaq zenbakien balioak lehenengo zenbakia eta bigarrenaren karratuaren arteko biderka-dura maximoa izan dadin.Sol: 39/2 eta 1/2

75.

Hirugarren mailako f(x)= Ax3+Bx2+Cx+D polinomioari buruz datu hauek ditugu:

f(0)=1, f ‘(0)=2, eta x=1 eta x=2 direnean bi mutur erlatibo ditu. Kalkulatu A, B, C etaD, eta arrazoitu mutur erlatiboak maximo edo minimo diren.Sol: A)=1/3, B=-3/2, C=2, D=1; (1,11/6) maximoa eta (2,5/3) minimoa

76. Izan bedi f(x)=x2 e-x + H. Aztertu f funtzioaren gorapen- eta beherapen-tarteak. Aur-kitu H parametroaren balioa, f funtzioak haren maximoan hartzen duen balioa 1 iza-teko.Sol: (-∞ ,0)∪ (2,∞ ) beherakorra eta (0,2) gorakorra; H=1-4e-2

77. Produktu baten x unitateren ekoizpen-kostua, C(x), honela adierazita dator (eurotan):

1520x4

xC(x)

2

++= eta salmenta-prezioa unitateko4

x45V(x) −= . Idatzi irabazi to-

tala ematen duen funtzioa x unitate saltzen direnean. Kalkulatu zenbat unitate saldubehar diren irabazia maximoa izan dadin.Sol: 25 unitate

78. Idatzi y=10x+2 zuzenarekin paraleloak diren eta f(x)=4x3-2x+1 kurbaren ukitzai-leak diren zuzenen ekuazioak. Aztertu f funtzioaren maximo eta minimoak.

Sol: y=10x-7 eta y=10x+9; ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ,...

61 minimoa eta ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ − ,...6

1 maximoa




Orr. 20

79. Izan bedi f(x)= x2 e-2x funtzioa. (a) Aztertu funtzioaren gorapen- eta beherapen-tarteak. (b) Aztertu funtzioaren maximo eta minimoak eta egin beraren grafikoaren es-kema.Sol: (0,1) gorakorra eta (-∞ ,0)∪ (1,∞ ) beherakorra; (0,0) minimoa eta (1,1/e2 ) maximoa

80. Izan bedi f(x)= x3+a x2+ bx + c. Aurkitu a, b eta c parametroen balioak baldintzahauek aldi berean bete daitezen: f funtzioaren grafikoa (0,1) puntutik igarotzen da; f

funtzioaren ukitzaileak x=0 eta x=1 balioetarako y=3x+5 zuzenarekin paraleloakdira.Sol: a=-3/2, b=3 eta c=1

Date post:	06-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	mikel-guerra-lopez
View:	242 times
Download:	0 times

DeribatuenAplikazioakArik

Documents