1
Titulación:
Asignatura:
Autor:
Ingeniero Geólogo
Análisis Numérico
César Menéndez
Planificación:
Materiales:
Conocimientos previos:
Derivación Numérica
2 Teoría+1 Prácticas+0.5 Laboratorio
MATLAB
Tmas. básicos de Cálculo –
Desarrollos de Taylor – Sistemas
lineales –
Ultima actualización: 15/01/2008
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
2
Derivación Numérica
Descripción del problema
Evaluación de la derivada de una función en
un punto a partir de los valores de la función
– Función muy compleja (difícil de calcular su
derivada)
– No se conoce la función sino sólo sus valores en
algunos puntos
– …
Descripción
Objetivos
Temario
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
3
Derivación Numérica
Objetivos
Conocer las diferentes formas de obtener
fórmulas de derivación numérica
– Interpolación
– Desarrollo de Taylor
– Coeficientes indeterminados
Aprender a obtener el error de la fórmula
Reconocer las ventajas de las fórmulas
centradas.
Comprender que el error depende no solo de
la fórmula numérica y de la función a derivar
sino del punto en que se calcula y del valor
de espaciado h.
Descripción
Objetivos
Temario
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
4
Derivación Numérica
Planteamiento y definiciones
Fórmulas de derivación numérica
– Obtención de los valores de los coeficientes
– Determinación o acotación del error cometido
Error– Una fórmula es de orden n cuando es exacta para polinomios
de grado menor o igual que n
– El error de truncamiento de la fórmula es
– Se denomina parte principal del error de truncamiento al infinitésimo de menor orden
0
n
i i
i
f a f x error
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
0 0
: lim : lim 0k k
k kh h
error errorh cte h
h h
0
, 0,1,n
k
i i
i
f x x k n f a f x
2 5 6
1 2 3error k h k h k h
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
5
Derivación Numérica
Ejemplo
La siguiente fórmula de derivación es de
orden 1 y con error de truncamiento O(h)
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
2
0
2 22
2
02
0
0 0 0
2!
11 0 1 1
11
12 2
2!lim lim lim2!h h h
f a h f a ff a h RN h h
h
f xh
f x x a h ah
f x x a a h a a hh
fhf a RN h ferror
h h h
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
6
Derivación Numérica
Derivación Numérica
Métodos para obtener reglas de derivación
numéricas
– Interpolación
– Desarrollo de Taylor
– Coeficientes indeterminados
Obtener tales que sea exacta para el mayor orden
posible
n nf x P x E x
2
1! 2!
h hf a h f a f a f
0
, 1,2 :n
k
i i
i
f x x k f a f x
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
7
Derivación Numérica
Formulas de tipo interpolatorio
Se definen por el número de puntos del
polinomio interpolante
Las fórmulas genéricas se toman para puntos
equiespaciados, aunque su método de
obtención es válido para cualesquiera puntos
Motivación
0
1
01 !
nn
n i i
i
n n n nx
n k
k
n n
P x f x L x
f x P x E xf
E x x xn
df x P x e x e x E x
dx
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
8
Derivación Numérica
Derivadas primeras (Acotación del error)
Acotación del error
– No es posible la acotación para cualquier valor de x
– Se acota en uno de los puntos de interpolación
1
0
1 1
0 0
1 1
000
1 !
1
1 ! 1 !
siendo 1 ! 1 !
n nx
n k
k
n nn nx x
k k
k k
n nn nnx x
k kkjk
k j
fd de x E x x x
dx dx n
df f dx x x x
n dx n dx
f fdx x x x
n dx n
1
01 !
n nx
i i kk
k i
fe x x x
n
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
9
Derivación Numérica
Derivadas primeras (2 y 3)
2 puntos
– Equiespaciados
3 puntos
– Equiespaciados
1 01 01 0 1 1
0 1 1 0 1 0
1 2
0
0 1 001 ! 2!
n nx
i i kk
k i
f x f xx x x xP x f x f x P x
x x x x x x
f fe x x x e x x x
n
2
0 0 0
02!
f x h f x ff x h
h
1 2 0 2 0 1
2 0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
1 2 0 2 0 1
2 0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
2 2 2
x x x x x x x x x x x xP x f x f x f x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x xP x f x f x f x
x x x x x x x x x x x x
3
0 2
0 0 0 0
3
0 2
1 1 1
1 3 12 2
2 2 3
1
2 6
ff x f x f x h f x h h
h
ff x f x h f x h h
h
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
10
Derivación Numérica
Derivadas primeras: (4 y 5)
4 puntos
5 puntos
0 0 0 0 0 0
5
0 4
1 1 1 1 1 1
5
1 4
2 2 2 2 2
5
2 4
125 48 36 2 16 3 3 4
12
5
16 20 36 12 2 2 3
24
20
12 8 8 2
12
30
f x f x f x h f x h f x h f x hh
fh
f x f x h f x f x h f x h f x hh
fh
f x f x h f x h f x h f x hh
fh
4
0 3
0 0 0 0 0
4
1 3
1 1 1 1 1
111 18 9 2 2 3
6 4
12 3 6 2
6 12
ff x f x f x h f x h f x h h
h
ff x f x h f x f x h f x h h
h
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
11
Derivación Numérica
Aplicación: f(x)=cos(x), calcular f’(/4) tomando h=0.5 y h=0.1
Pts h=0.5 h=0.1
2 -0.7413
3 -0.7096
-0.7059
4 -0.7070
-0.7072
5 -0.7071
-0.7071
-0.7071
4 4sin 0.7071f
4 4cos 0.5 cos
0.85110.5
4 4 4 4
111cos 18cos 0.5 9cos 1.0 2cos 1.5
3
0.7015
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
4 4 4
1 3 1cos 2cos 0.5 cos 1 0.7822
0.5 2 2
4 4
1cos 0.5 cos 0.5 0.6780
1
4 4 4 4
12cos 0.5 3cos 6cos 0.5 cos 1 0.7127
3
4 4
4 4
cos 1 8cos 0.510.7057
6 8cos 0.5 cos 1
f
4 4 4
4 4
6cos 0.5 20cos 36cos 0.510.7099
12 cos 1 2cos 1.5
4 4 4
4 4
25cos 48cos 0.5 36cos 110.6951
6 16cos 1.5 3cos 2
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
12
Derivación Numérica
Derivadas orden superior
Acotación del error
– ¡ No se anula en los puntos de
interpolación !
– No es posible la acotación usando este método
12 2
2 20
12
20
1 1 2
20 0
1 !
1
1 !
12
1 ! 1 !
n nx
n k
k
n nx
k
k
n nn nx x
k k
k k
fd de x E x x x
dx dx n
d fx x
n dx
df fd dx x x x
n dx dx n dx
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
13
Derivación Numérica
Obtención por desarrollo de Taylor
Plantea la obtención de las derivadas de cualquier orden en un punto a partir del desarrollo de Taylor de la función en otros puntos
Proceso:– Desarrollar en serie en los puntos conocidos en
torno al valor deseado
– Combinar las expresiones anteriores, anulando todos los términos posibles
– Obtener la expresión final de la formula y el error (cuando sea posible)
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
14
Derivación Numérica
Ejemplo 1 (a)
Obtener f’(a) y f”(a) a partir de los valores de f(x) en {a-h,a,a+h}
– Desarrollamos por Taylor
– Combinamos los desarrollos
– Anulamos los términos no deseados
Derivada 1ª: anula términos en h2
Derivada 2ª: anula términos en h
2 3 1
2 3 1
1! 2! 3! !
1! 2! 3! !
nn
nn
f a f a f a ff a h f a h h h h I
n
f a f a f a ff a h f a h h h h II
n
0
1
2 1
2!
2 12 1 1
2 1 !
22 1
2 !
:
:
:
:
:
kk
k
kk
k
h f a h f a h f a
h f a
h f a
h f a
h f a
I II
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
15
Derivación Numérica
Ejemplo 1 (b)
Derivada 1ª
Derivada 2ª
Derivada 3ª
3
1 2
2
1
2
23!
6h
hf a h f a h f a h f f
hf a f a h f a h f
2
42
1 2
2
1
24!
212
iv iv
iv
h
hf a h f a h f a f a h f f
hf a f a h f a h f a f
3 2
3 2
3 5
1 2
2
3 62
2 2
3 6 122
2 23! 5!
20
6 20
v v
v
h h
v
hh h
h hf a h f a h f a h f a f f
hf a f a h f a h f a f
h hf a f a h f a h f a h f a h f f
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
16
Derivación Numérica
Derivadas de orden superior (2)
Derivada segunda– Laterales
– Centradas
Ejemplo– f(x)=cos(x), calcular la derivada segunda en /4 tomando h=0.5 y h=0.1
2
0 1 0 12
4
0 2 1 0 1 22
12
116 30 16
12
f x f x f x f x hh
f x f x f x f x f x f x hh
0 0 1 22
2
0 0 1 2 32
12 9
12 5 4
f x f x f x f x hh
f x f x f x f x f x hh
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
BibliografíaPts Cent. h=0.5 h=0.1
3 No -0.6325
3 Si -0.7065
4 No -0.7128
5 Si -0.7071
4 4cos 0.7071f
2
1cos 2cos 0.5 9cos 1 0.2757
0.5 4 4 4
2
12cos 5cos 0.5 4cos 1 cos 1.5 0.7600
0.5 4 4 4 4
2
1cos 0.5 2cos cos 0.5 0.6925
0.5 4 4 4
4 4 4 4 4
1cos 1 16cos 0.5 30cos 16cos 0.5 cos 1
3
0.7066
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
17
Derivación Numérica
Derivadas de orden superior (3)
Derivada tercera– Laterales
– Centradas
Ejemplo– f(x)=cos(x), calcular la derivada tercera en /4 tomando h=0.5 y h=0.1
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
BibliografíaPts Cent. h=0.5 h=0.1
4 No 0.8038
5 No 0.7211
5 Si 0.7053
7 Si 0.7071
4 4sin 0.7071f
3
1cos 3cos 0.5 3cos 1 cos 1.5 0.9686
0.5 4 4 4 4
2
1cos 1 2cos 0.5 2cos 0.5 cos 1 0.6640
0.5 4 4 4 4
4 4 4 4 42
15cos 18cos 0.5 24cos 1 14cos 1.5 3cos 2
0.5
1.1217
4 4 4
4 4 4
cos 1.5 8cos 1 13cos 0.510.7046
1 13cos 0.5 8cos 1 8cos 1
0 0 1 2 33
2
0 0 1 2 3 43
13 3
15 18 24 14 3
2
f x f x f x f x f x hh
f x f x f x f x f x f x hh
2
0 2 1 1 23
4
0 3 2 1 1 2 33
12 2
2
18 13 13 8
8
f x f x f x f x f x hh
f x f x f x f x f x f x f x hh
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
18
Derivación Numérica
Derivadas de orden superior (4)
Derivada cuarta– Laterales
– Centradas
Ejemplo– f(x)=cos(x), calcular la derivada cuarta en /4 tomando h=0.5 y h=0.1
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
BibliografíaPts Cent. h=0.5 h=0.1
5 No 0.5516
5 Si 0.7059
6 No 0.7223
7 Si 0.7071
4 4cos 0.7071ivf
4 4 4 4 44
1cos 4cos 0.5 6cos 1 4cos 1.5 cos 2 0.2042
0.5
4 4 4
4
4 4 4
3cos 14cos 0.5 26cos 110.6443
0.5 24cos 1.5 11cos 1 2cos 1.5
4 4 4 4 44
1cos 1 4cos 0.5 6cos 4cos 0.5 cos 1 0.6782
0.5
4 4 4 4
4 4 4
cos 1.5 12cos 1 39cos 0.5 56cos80.7059
3 39cos 0.5 12cos 1 cos 1.5
0 0 1 2 3 44
2
0 0 1 2 3 4 54
14 6 4
13 14 26 24 11 2
iv
iv
f x f x f x f x x f x hh
f x f x f x f x f x f x f x hh
2
0 2 1 0 1 24
4
0 3 2 1 0 1 2 34
14 6 4
112 39 56 39 12
6
iv
iv
f x f x f x f x f x f x hh
f x f x f x f x f x f x f x f x hh
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
19
Derivación Numérica
Obtención por el método de Coeficientes Indeterminados
Fija los puntos de la fórmula
Parte de una relación de coeficientes
Plantea un sistema para que la fórmula sea
exacta para el mayor orden posible (grado
del polinomio)
Obtiene el orden del error
0
0
22
0
0
1
0
1 0
1
2
n
i
i
n
i i
in
ni i
i i i
i
nnn n
i i
i
f x
f x x x
f a f xf x x a x
f x x na x
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
20
Derivación Numérica
Ejemplo de obtención por coef. Indet.
Calcular f”(a) a partir del valor de f(x) en {a-h,a,a+h}– Sistema
– Solución
– ¿Orden?
1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 2 22
1 2 3
1 0 1 1 1
0
2
f x
f a f a h f a f a h f x x a h a a h
f x x a h a a h
21
1
22 2
2 2 23
23
2
11 1 1 0
20
2 1
12
h
a h a a hh
a h a a hh
f a f a h f a f a hh
3 3 33
2
4 4 44 2 2 2
2
16 2
112 2 12 2
f x x a a h a a hh
f x x a a h a a h a hh
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
21
Derivación Numérica
Obtención de fórmulas de mayor orden
Sea M un valor exacto y N0(h) la fórmula numérica que lo aproxima dependiendo del parámetro h, pudiéndose expresar como
Donde los coeficientes son constantes. Aplicándola para h/2, se tiene
y anulando entre ambas expresiones los términos en h1: 2(II)-(I),
se consigue aumentar la precisión de la fórmula. Repitiendo el proceso para anular h2:
Y por inducción se llega a
2 3
0 1 2 32 2 2 2 2
n
n
h h h h hM N k k k k II
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
2 3
0 1 2 3 0
n
nM N h k h k h k h k h N h h I
2 22 31 1 12 2 20 0 2 3
2 3 2
1 2 3 1
2 1 1 12
nn
n
n
n
hM N N h h k k h k h
N h k h k h k h N h h III
111 22 3
1 1 3
3 3
2 3 2
1114
4 1 2 4 1 4 1
n
n
n
n
n
hM N N h k h k h
N h k h k h N h h IV
1
1 1 1 1
1
donde
22 2
2 1 2 2 1
n
n
n
n n n n
n nn n
M N h h
h hN N h N N h
hN h N
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
22
Derivación Numérica
Ejemplo
Dada la fórmula de derivación numérica
Aplicar la extrapolación de Richardson, tomado f(x)=cos(x) para calcular f’(/4) tomando h=0.5. Compararla con la solución exacta: -0.7071
En este caso
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
2 3
1 2 3 0
n
n
f a h f af a k h k h k h k h N h h I
h
1 1
1
1
2 donde
2 2 1
n nn
n n n n
hN N h
hM N h h N h N
h N0(h) N1(h) N2(h) N3(h) N4(h)
0.5 -0.8511
0.25 -0.7877 -0.7243
0.125 -0.7494 -0.7111 -0.7067
0.0625 -0.7287 -0.7081 -0.7071 -0.7071
0.03125 -0.7180 -0.7073 -0.7071 -0.7071 -0.7071
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
23
Derivación Numérica
Obtención de fórmulas de mayor orden
NOTA: Si la formula fuera
Este proceso generaría la relación
– Aplicar al ejemplo anterior tomando
2 2
1 1 1 1
1
donde
42 2
4 1 2 4 1
n
n
n
n n n n
n nn n
M N h h
h hN N h N N h
hN h N
Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
- Interpolación.
- Taylor
- Coef. Indetermin.
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía
2 4 6 2 2
0 1 2 3 0
n
nM N h k h k h k h k h N h h I
h N0(h) N1(h) N2(h) N3(h) N4(h)
0.5 -0.6780
0.25 -0.6998 -0.7070
0.125 -0.7053 -0.7071 -0.7072
0.0625 -0.7066 -0.7071 -0.7071 -0.7071
0.03125 -0.7070 -0.7071 -0.7071 -0.7071 -0.7071
2 4 6 2 2
1 2 3 02
n
n
f a h f a hf a k h k h k h k h N h h I
h
Análisis Numérico por César Menéndez Fernández
24
Derivación Numérica
Inestabilidad numérica de la derivación
Partiendo de la fórmula de derivación numérica
pero al operar con aritmética finita, se evalúa
siendo el error de representación del ordenador. El error total es por tanto
que tiene un mínimo para
Por tanto le precisión no mejora indefinidamente con la disminución del valor de h.En la práctica no podemos calcular el valor de h óptimo, ya que la cota del error de representacióndepende de la máquina y M depende de la función y del intervalo en estudio.
2 ( ) ( )
( ) , con ,3! 2
h f a h f a hf a N a h f N a h
h
1 21 2
( ) ( )( ) ( ), donde ,
2 2
f a h f a hf a h f a hN a h
h h
2
( ) , ( ) , , , con sup3! a h x a h
hE h f a N a h f a N a h N a h N a h M M f x
h
33
opthM
con Descripción
Objetivos
TemarioIntroducción
Obtención
Extrap. Richardson
Inestabilidad
Bibliografía