DERIVADAS
RECTAS TANGENTES A UNA CURVA f(x)
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
CONCEPTOS
¿Cómo se halla la tangente a una curva?
RECTAS TANGENTES/ DERIVADAS
Descartes (Siglo XVII)
“El problema de hallar la tangente
a una curva es no sólo el problema
más útil y más general que conozco,
sino que pudiera desear conocer....”
ISAAC NEWTON, 1642-1727
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716
Newton no había publicado sus hallazgos en el cálculo diferencial e integral, obtenidos
alrededor de los años 1665 y 1666, sí había presentado algunos de sus manuscritos a
sus amigos. De Analysi, por ejemplo, se lo había dado a Barrow en 1669, quien se lo
había enviado a John Collins.
Leibniz estuvo París en 1672 y en Londres en 1673 y estuvo en contacto con gente
que conocía la obra de Newton. Publicó su obra matemática en 1684.
RECTA SECANTE A UNA CURVA
m = f(b)-f(a)
b-a
x
yf(x)
ba
f(b)
f(a)
RECTA TANGENTE A UNA CURVA
x
y f(x)
a
f(a)
Recta tangente a la curva f(x) en el
punto x=a
m =???????
RECTA TANGENTE A UNA CURVA
RECTA TANGENTE A UNA CURVA
Donde h tiende a cero...
x
y f(x)
a
f(a)
f(a+h)
a+h
hf(a)h)f(amtang
hf(a)h)f(alimm
0htang
Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)
en el punto x=a
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a
hf(x)h)f(xlimm
0htang
Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)
en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA
PROBLEMA
1
1xf(x)
A) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) dada en el punto x=8, y determina la ecuación de esta tangente
PROBLEMA
1
PROBLEMA
2
x1xf(x)
Halle la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto x
= -3
DEFINICIÓN DE DERIVADA
hf(5)h)f(5limm
0htang
f ’(5)=
hf(x)h)f(xlimm
0htang
f ’(x)=
PUNTO
CONCRETO
Ej: 5
PUNTO
CUALQUIERA
)f(x)(dxdf(x)' f NOTACIÓN. D
2xf(x)
Halla la derivada en cualquier punto de la función dada por:
x2(x)' fxf(x) 2
NOTA
Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c
3 21-xf(x)
NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE)
EN EL PUNTO X=0
PROPOSICIÓN
Ninguna función es derivable en los puntos “picudos”
Puede tener dos tangentes (derivadas)
+ tangente a la derecha
+ tangente a la izquierda
c
y=|x-c|+a
x
x
x
ee
1
1
11f(x)
NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE)
EN UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD
PROPOSICIÓN
Si f(x) es derivable en un punto x=a, entonces es continua en
ese punto
NOTA: el recíproco NO es cierto!
PROBLEMA
¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?:
• a. ¿Derivable?
• b. ¿Continua pero no
derivable?
• c. ¿Ni continua ni
derivable?
-- 33
F(x)F(x)
3311
xx
-- 33
F(x)F(x)
3311
xx
SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN
NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0….
Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.
REGLAS DE DERIVACIÓN
REGLAS DE DERIVACIÓN
1'
0'4
1(x)'f :entoncesx,f(x)Si0(x)'f :entoncesk,f(x)Si
x
REGLAS DE DERIVACIÓN
21
21
43
45
1nn
21'
3'
5'
nx(x)'f :entonces,xf(x)Si
xx
xx
xx
REGLAS DE DERIVACIÓN
Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex
Si f(x) = Lx, entonces f ´ (x) = 1/x
(4x)’ = 4x L4
(log6
x)’ = (1/x)/L6
REGLAS DE DERIVACIÓN
x2cos
1' xtg
xcos(x)'gsenxg(x)senx(x)'fcosxf(x)
Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)
xLx
xx1')(
123·4'4x
Kf´(x)(x)g'Kf(x)g(x)
223
Regla de la suma algebraica de funciones:
x
x 1cos'Lxsen(x)
(x)g'(x)' fg(x))'(f(x):g(x)yf(x)Sean
Regla del producto de funciones:
xxx exxee 22 2'x
(x)g'f(x)g(x)(x)f'g(x))'(f(x):g(x)yf(x)Sean
Regla del cociente de funciones:
22
2
'
1
11
1
11
'1
g(x)(x)g'f(x)g(x)(x)f'
g(x)f(x)
:g(x)yf(x)Sean
x
Lxx
x
Lxxx
xLx
Regla de la composición (Regla de la Cadena):
)22·()2(x2')2(x)2(x2
'3'')2(x
2221'·1')L(u')L(x
(x)'u · (u)'f(f(u(x))':u(x)yf(x)Sean
22222
2332
222
xxxx
uuuxxx
xxx
uu
Ejemplos
675)( 2 xxxf
Sean las funciones:
710' xfdxdf
1651034)( 256 xxxxxf
5201524' 45 xxxf
Ejemplo
)413)(58()( 22 xxxxf
)26)(58()413)(516(' 22 xxxxxf 2323 130208206564208 xxxxx
2064195416 23 xxx
Ejercicios propuestos
)3)(4()( 2xxxf
)2)(4()3)(1(' 2 xxxf
22 283 xxx
383 2 xx
Derivada de un producto de varios factores
)()()()( xhxgxkxf
dxdhxgxkxh
dxdgxkxhxg
dxdk
dxdf )()()()()()(
Ejemplo
)5)(2)(3()( xxxxf
)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1(' xxxxxxfdxdf
)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx
)236()32)(5( 2xxxxxx
)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx
31203 2 xx
Ejemplo
2354)(
xxxf
223)3)(54()23)(4('
x
xxf
223)1512(812'
x
xxf 223
7
x
Ejercicio propuesto
11168)(
2
xxxxf
2
2
)1()1)(1168()1)(616('
x
xxxxf
2
22
)1(1168161616
xxxxxx
2
2
)1(10168
xxx
Ejercicio propuesto
11)( 3
3
xxxf
23
2332
)1()3)(1()1(3'
x
xxxxf
23
2525
)1(3333
xxxxx
23
2
)1(6
xx
Ejemplo
2)45()( xxf
)5)(45(2' xf
)45(10 x
4050 x
Ejemplo
367)( 2 xxxf
61436721' 2
12
xxxf
21
2 367
37
xx
x
36737
2 xx
x
21
2 367)( xxxf
367)( 2 xxxf
21
2 367)( xxxf
Ejemplo
)3()( 2 xxsenxf
12)3cos(' 2 xxxf