Date post: | 03-Jan-2015 |
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DETERMINANTES
• Determinante de una matriz cuadrada• Propiedades• Cálculo del rango de una matriz• Resolución de S.E.L con determinantes
– Teorema de Rouché– Regla de Cramer
• Cálculo de la matriz inversa
Determinante de una matriz cuadrada
1) Determinante de una matriz de orden 2:
Sea A una matriz cuadrada . Llamaremos determinante de A y lo designaremos por det(A) o |A| a un número que definiremos de la siguiente forma:
211222112221
1211 aaaaaa
aaA
34
12 A
04)·1()2·(224
12
A
Ejemplos:
=2·3-(-1)·4=10
2) Determinante de una matriz de orden 3 o superior:Para definir el determinante de una matriz de orden 3 o superior hay que definir previamente los siguientes conceptos:
Menor complementario del elemento aij (se designa por Mij) es el determinante que resulta al suprimir en la matriz A la fila i y la columna j
361
254
321
3121536
2511 M 14212
31
24
Adjunto del elemento aij (se designa por Aij)
En el ejemplo anterior: A11=(-1)2·3=3 A12=(-1)3·14=-14 A23=-8
Aij=(-1)i+j .Mij
M12=
M23= M22= M33= -308
El adjunto coincide con el menor complementario, tan solo cambia el signo: tendrá igual signo o signo contrario según el siguiente esquema:
...............
...
...
...
...
Determinante de una matriz cuadrada es el número que se obtiene al multiplicar los elementos de la primera fila por sus respectivos adjuntos:
|A|=a11A11+a12A12+a13A13+….+a1nA1n
Más adelante veremos que se puede obtener el mismo resultado si utilizamos cualquier otra fila o columna
361
254
321
61
54)·3(
31
24)·1·(2
36
25·1
111
201
002
·1
111
120
200
·1
1111
1201
2002
1001
Ejemplos:
a11A11+a12A12+a13A13=
=3-2·14-3·29=-112
=(-2)·(-2)-2·(-2)=8
2197
6328
0502
0003
=-750
Regla de Sarrus (para determinantes de matrices de orden 3)
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 112332332112312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Productos positivos: Productos negativos:
Ejemplo
363·1·23·2·2)3·(1)·3()3·(2·2)3·(2·13·1·3
323
211
323
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Por ejemplo, el determinante de una matriz de orden 4 desarrollado por la 3ª fila, quedaría:
|A|=a31A31+a32A32+a33A13+a34A34
1. Un determinante se puede desarrollar por cualquier fila o columna:
1101
1251
2002
1001
Ejemplo: para calcular el determinante siguiente lo haremos por la 2ª columna (que es la que tiene más ceros)
20)22·(5
111
202
101
·5
2. El determinante de una matriz coincide con el determinante de su transpuesta:
|A|=|At|
En consecuencia, todas las propiedades que se enuncien para filas serán también válidas para columnas
4. Si permutamos dos filas, el determinante cambia de signo
6. Un determinante con dos filas (o dos columnas) iguales vale 0
7. Si multiplicamos todos los elementos de una fila por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número
18·43
48·32
18·23
143
432
123
·8
3. Si una matriz tiene una fila (columna) de ceros, el determinante vale 0
5. Si en un determinante una fila es proporcional a otra fila entonces dicho determinante vale 0.
=8·84=672
8. Si descomponemos una fila (o columna) en suma de dos vectores, el determinante se puede obtener como suma de dos determinantes, de la siguiente forma:
33323231
23222221
13121211
acba
acba
acba
A
333231
232221
131211
aba
aba
aba
333231
232221
131211
aca
aca
aca
9. Si a una fila le sumamos una combinación lineal del resto de las filas, el determinante no varía. La misma operación se puede hacer con las columnas.
Esta propiedad nos servirá para “hacer ceros” en una fila o columna de un determinante antes de desarrollarlo
8271
11615
3602
9147
6940036
11615
3602
3523013
1628
694036
362
352313
)·1(
12. |A·B|=|A|·|B|
10. Si en un determinante, una fila (columna) es combinación lineal de las otras filas (de las otras columnas), el determinante vale 0
11. Recíprocamente: si un determinante vale 0, hay una fila que es combinación lineal de las demás filas. Y también hay una columna que es combinación lineal de las demás columnas.
0
213
145
321
Ya que la tercera columna es la suma de las dos primeras
Esta propiedad es la que utilizaremos para el cálculo del rango. Calcula los siguientes determinantes. ¿Qué puedes decir del rango de las respectivas matrices?
352
6135
013
A312
125
013 B
|A|=0 . Por tanto hay una fila C.L. de las otras; rang(A)<3
|B|=28 . Por tanto las tres filas son L.I. rang(B)=3
Cálculo del rango de una matriz con determinantes.RE
CUER
DA
El rango de una matriz es el mayor nº de filas (columnas) Linealmente independientes
La propiedad 11 nos dice que si un determinante vale 0 hay una C.L. entre sus filas. De aquí se deduce la siguiente propiedad:
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo
Llamamos menor a un determinante formado por algunas filas y algunas columnas de la matriz A
En la práctica, buscaremos un menor no nulo (de orden 2, por ejemplo). Le añadiremos una fila y una columna (“orlamos” el menor). Si todos los menores orlados que podemos hacer con una fila fija y todas las columnas son cero, entonces esa fila es C.L. de las otras (a efectos de rango, se podría suprimir). Si, por el contrario, hay alguno no nulo, pasamos a orlar éste y así sucesivamente.
NOTA: hablamos ahora de una matriz de cualquier dimensión, no necesariamente cuadrada
0 1 2 3
-1 4 1 7
1 -2 -3 3
0 1
-1 4=1
0 1 2
-1 4 1
1 -2 -3=0
0 1 3
-1 4 7
1 -2 3=4≠0
rang(A)=3
654113
01213
32150
21031
A
0
213
150
031
050
31
Por tanto, rang(A)≥2. De hecho, podemos afirmar que las dos primeras filas son L.I.
Añadimos al menor la fila 3 y las columnas 3, 4 y 5:
0
113
250
131
0
013
350
231
Podemos afirmar
que las fila 3 es CL de las filas 1 y 2
Añadimos al menor la fila 4 y las columnas 3, 4 y 5:
0
4113
150
031
0
5113
250
131
0
6113
350
231
Ejemplo. Vamos a calcular el rango de la matriz A
Rang(A)=2
60423
03213
32150
21031
A
0
213
150
031
050
31
Por tanto, rang(A)≥2. De hecho, podemos afirmar que las dos primeras filas son L.I.
Añadimos al menor la fila 3 y las columnas 3, 4 y 5 :
010
313
250
131
Podemos afirmar que las
tres primeras filas son L.I. rang(A)≥3
Añadimos al nuevo menor no nulo la fila 4 y las columnas 3 y 4 :
Otro ejemplo. Vamos a calcular el rango de la matriz A
rang(A)=4
0423
3213
2150
1031
80183
1093
2150
1031
018
8183
193
131
Resolución de sistemas con determinantes
Teorema de Rouche: Un S.E.L. es compatible ↔ rang(A)=rang(A’)
RECU
ERD
A
Expresión matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales:
2435
123
1
zyx
zyx
zyx
2
1
1
·
435
123
111
z
y
x
A · X = B
A: Matriz de coeficientes o matriz del sistemaB: Vector de términos independientes
A’: matriz ampliada [A|B] matriz de los coeficientes a la que se le añade una columna a la derecha, la columna de los términos independientes
En el ejemplo: rang(A)=rang(A’)=3. El sistema es compatible
El rango de una matriz es el mayor número de columnas L.I. Como la matriz A’ es tiene las mismas columnas de A más una (la de los términos independientes), el rango de A’ será igual al rango de A (S.C.) ó será mayor (en concreto, una unidad más, ya que sólo añadimos un vector); en este caso el sistema será S.I.
Además del teorema de Rouche, si el rango de la matriz coincide con el rango de la ampliada, podemos asegurar que:
- Si coincide con el número de incógnitas el sistema será determinado.
- En caso contrario, será indeterminado
RESUMEN
•Si rang(A)=rang(A’)= nº de incógnitas SCD (compatible determinado)•Si rang(A)=rang(A’) < nº de incógnitas SCI (compatible indeterminado)•Si rang(A)≠rang(A’) SI (incompatible)
Regla de Cramer
• El nº de ecuaciones es igual al nº de incógnitas•|A|≠0
Definición:Un sistema es de Cramer si:
Regla de Cramer
Un sistema de Cramer es compatible determinado (S.C.D.) y su solución viene dada por las siguientes fórmulas:
A
Ax x
A
Ay
yA
Az z
Donde Ax, Ay, Az,… son las matrices que resultan al sustituir la columna de la incógnita correspondiente (1ª, 2ª, 3ª,…) por la columna de los términos independientes
2435
123
1
zyx
zyx
zyx
435
123
111
A
0112310598
435
123
111
APor tanto es un sistema de Cramer: SCD
11
1235
123
111
A
z61
6425
113
111
A
y41
4432
121
111
A
x
Solución:
5
232
1
zx
zyx
zyx02 A
2
21105
322
111
A
x 4y2
11z
SCD
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Una matriz cuadrada tiene inversa |A|≠0
En este caso diremos que la matriz A es regular . En cambio, si |A|=0 entonces diremos que A es singular
Cálculo de la matriz inversa:
tAAdjA
A )(11
Donde Adj(A) es la matriz que resulta de sustituir cada elemento de A por su adjunto
3 9
1 4Ejemplo1: Calcula la inversa de la matriz A
4 -1
-9 3Adj(A)= 4 -9
-1 3Adj(A)t
|A|=3Por tanto, A tiene inversa. Para calcularla, calculamos primero los adjuntos de todos los elementos:
tAAdjA
A )(11 4/3 -3
-1/3 1==
Ejemplo2:
016
102
211
A |A|=-4+6-1=1 Adj(A)=
-1 6 -2
-2 12 -5
-1 5 -2
Adj(A)t
-1 -2 -1
6 12 5
-2 -5 2
=A-1
-1 -2 -1
6 12 5
-2 -5 2
=
Aplicaciones: ecuaciones matriciales
1) Resuelve la ecuación AX=B, siendo:
016
102
211
A
-3 6
2 0
-4 1
B=
2) Resuelve la ecuación: XB=C, siendo:
3 9
1 4B=
-1 2
4 6C=
A=
21-
32=C
14
63=B
21
32
3) Resuelve la ecuación: AXB=C, siendo: