MODELOS DE PROGRAMACION MATEMATICA DE LA EMPRESA

Enrique CASTELLO MUOZ Doctor en Ciencias Econmicas

Profesor Adjunto de la Universidad Complutense de Madrid

S U M A R I O

1. Consideraciones sobre los modelos clsicos y modernos de programacin.-2. El enfoque de la Investigacin Operativa y la Programacin Matemtica.-3. El modelo de la Programacin Lineal.-3.1. Planteamiento del problema.-3.2. Mtodos de resolucin.-3.3. Aplicaciones econmicas.-3.4. Posibilidades y limitaciones.-4. Otros modelos de Programacin Matemtica.

REVISTA ESPANOLA DE FINANCIACIN Y CONTABILIDADVol. IV, n. 14octubre-diciembre 1975pp. 577-590

E. Castell Muoz: Modelos de programacin matemtica de la empresa 579 1. CONSIDERACIONES SOBRE LOS En Economa, mientras se ha servido del

MODELOS CLASICOS Y anlisis marginal, no ha creado una ciencia de la MODERNOS DE PROGRAMACION empresa. Una de las razones est en la clase de

matemticas empleada, la otra en el fin pro- Lo que en Economa se designa con el nom- puesto al estudiar la unidad econmica de pro-

. bre de "Teora Econmica de la Empresa" es duccin. Sin embargo, los progresos hechos has- un grupo de teoras relativas al comportamiento ta ahora utilizando este mtodo sirve muchas de empresas que operan bajo un sistema muy veces de punto de partida (4). especial de condiciones ambientales, conocidas, pnncipal subyacente en en su conjunto, como U E ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ de M ~ ~ ~ ~ - anlisis marginal es que se puede alcanzar una do" ( 1 ) . posicin ptima intercambiando marginalmente

El anlisis marginal est relacionado con la una pequea cantidad adicional por otra. As lineal, pues ambos modelos se pues, los trminos clave, son los intercambios y

refieren a la optimizacin matemtica y a la la igualacin marginal. Y el objetivo, es el de adopcin racional de decisiones por la unidad Optener un ptimo, bien en forma de un mxi- econmica llamada empresa. mo en los beneficios o de un mnimo en los

El ncleo de la economa de gestin ha con- costes. &ido Iiistricamente en la aplicacin del anli- ES decir, que segn la teora econmica, el sis marginal a fin de obtener soluciones ptimas equilibrio de la empresa en el mercado de sus en determinados problemas directivos. ~1 anli- factores de produccin se consigue cuando se sis marginal y la teora de la empresa que lleva alcanza la nivelacin de las productividades aparejada, tiene profundas races en el clculo ponderadas de los mism0s Y en el matemtico (el instrumento analtico clsico de mercado de sus ~roductos, cuando se igualan optimalidad es el clculo diferencial). Los con- e ceptos bsicos, sin embargo, pueden ser explica- El problema de la produccin en la empresa, dos fcilmente en trminos no matemticos ( 2 ) . segn el anlisis marginal est supeditado a la

La teora de la empresa, segn cham- posibilidad de diferenciar las funciones de pro- berlin, ~ i ~ k ~ , ~ ~ b i ~ ~ ~ ~ , samuelson, viner y duccin, de ingresos y de costes con respecto a otros, tiene su primer antecedente en el anlisis cada uno de los factores y productos indepen- que hizo David Ricardo de los problemas de la dientemente, procedimiento matemtico que Agricultura inglesa hace siglo y medio ( 3 ) . tiene valor operativo solamente cuando las co-

La mayor parte de las versiones contempor- rrespondientes variaciones de valores son posi- neas de la teora econmica de la empresa se bles en la realidad. Tales casos existen en econo- deben a Agustin Cournot que en 1838 hizo la ma, caracterizndose por situaciones de pro- primera aplicacin del clculo diferencial a la duccin en que el campo de las elecciones tcni- teora de la empresa (a los efectos de obtener cas comprende variaciones infinitesimales en los un sistema de condiciones necesarias y suficien- factores y en los productos individuales; como tes para la maximizacin de beneficios de la sucede en los procesos agrcolas. empresa, dando como resultado la conocida re- Las condiciones de continuidad y derivabili- gla de igualar el ingreso marginal con el coste dad de la funcin de produccin, en las que marginal), pero esto no dio fruto hasta 1870, descansa el anlisis marginal, dan lugar al clcu- cuando Jevons, Menger y sus seguidores intro- lo de un mximo condicionado. De modo, que dujeron los mtodos formales del anlisis margi-

I nal. (4) Alcocer Chilln: "Economa de la Emmesa". l Introduccin a la Teora de la Programacin ~ i n e a l : Ejes, Madrid, 1957, pg. 2.

( 1 ) Naylor y Vernon: "Economa de la Empresa", (5) Fernndez Pirla, J.M.: "Economa y Gestin Amorrortu, Buenos Aires, 1973, pg. 13. de la Empresa", ICE, Madrid, 1970, pg. 14.-Walras y

(2) Farrar y Meyer: "Economa de Gestin", Pareto definen la interdependencia general de los mer- Prentice Hall, 1972, pg. 9. cados de factores y de productos. A la nocin de

(3) Dorfman, R.: "Programacin Lineal", Aguilar, interdependencia se aade el concepto de equilibrio, Madrid, 1962, pg. 3. de carcter estable.

Revista Espaola de Financiacin y Contabilidad el mtodo del multiplicador de Lagrange ha demostrado su utilidad para la solucin de pro- blemas que pueden formularse de esta manera.

Una vez rotos los estrechos lmites impues- tos por el anlisis marginal neoclsico, se ha podido pasar a una revisin de los modelos tradicionales, los cuales no se eliminan sino que ms bien pasan a constituir un caso especial de la moderna teora de la empresa ( 6 ) .

El tipo de decisin con el que se enfrenta una empresa que emplea procesos industriales es esencialmente distinto del que se examina en el anlisis marginal. Sara el anlisis de los pro- gramas industriales fue ideado el metodo de la programacin lineal.

La programacin lineal o, mejor, "el anlisis de actividades" (activity analysis) (7), ya que este mtodo se ha generalizado para funciones de mayor complicacin matemtica, ha sido creada para resolver problemas econmicos. En particular, ha podido sentar los cimientos de una verdadera ciencia de la empresa.

La programacin lineal representa una con- fluencia de diversas corrientes de desarrollo: estudios matemticos de la geometra superior del espacio, que arrancan probablemente de La- place y, con toda seguridad, de Weyl; un senci- io modelo de economa dinmica debido a von Neumann; la descripcin matricial de Leontief de las interrelaciones de la industria estadouni- dense, y la investigacin de Wood y Dantzig sobre los problemas de gestin. de las Fuerzas Areas. La teora de los juegos ayud cierta- mente a abrir camino a la programacin lineal, la cual, matemticamente, aunque no concep- tualmente, es un problema estrechamente rela- cionado con ella. De aqu, que apareciese esta tcnica en el "campo de la gestin cientfica ms que en el de la economa" siendo Koop- mans quien encauz los estudios sobre la aplica- cin de la programacin lineal a los problemas del bienestar econmico

Como dice el profesor Lpez Moreno: "Si en 1935 no hubiera escrito Weyl su trabajo sobre

(6) Garca Echevara, S.: "Planificacin y Pro- nstico en la Economa de la Empresa", ICE, Madrid, pg. 10.

(7) Koopmans: "Activity Analysis of Production and Allocation", Nueva York, 1951.

(8) Dorfman, R.: ob.cit., pg. 16.

la topologa de los poliedros convexos no se habra desarrollado la programacin lineal" (9).

Como importantes aportaciones a l desarrollo de la programacin destacan las de los econo- mistas ICoopmans, Dorfman y Cooper. Ha liabi- do aportaciones notables debidas a matemticos tales como el ruso Kantorovich, Kuhn, Tucker, Charnes y otros. Pero, sin duda, la ms impor- tante ha sido la de George Dantzig, inventor del mtodo Simplex.

La hiptesis de competencia perfecta (como dice Boulding olvida el papel de la informacin) por parte del marginalismo ha sido una atrevida simplificacin de la realidad, pues en sta slo existen estructuras monopolticas o cuasi mo- nopolticas. Los precios ya no son un dato para el empresario, ste puede influir sobre ellos convenientemente. Todo ello ha hecho ms ne- cesario que nunca la existencia de una disciplina cientfica (la economa de empresa), que permi- tiera resolver los problemas econmicos que se planteaban en el mbito empresdrial. El objeto formal de dicha disciplina es formular leyes de equilibrio en la empresa, pero no en sentido general y abstracto, ya que el equilibrio as considerado es estudiado por la teora econmi- ca, sino en tanto es susceptible tal equilibrio de aplicaciones concretas en el orden microecon- mico de la empresa (lo). En Programacin Li- neal se obtiene el equilibrio desde los factores que condicionan la produccin y los precios factoriales de equilibrio interno de optimacin.

Segn Dorfman, en sentido matemtico, la programacin lineal estudia la maximizacin o minimizacin de una funcin sujeta a desigual- dades lineales. Difiere, por tanto, del tipo de optimizacin tratado en el clculo diferencial en tres aspectos: 1 .O en que se ocupa de la optimizacin en sentido amplio, ms que en sentido reducido ; 2 .O en que considera desigual- dades resctrictivas, en vez de igualdades, y 3.'

(9) Lpez Moreno, M.J.: "La llamada Investiga- cin Opeiativa y la Ciencia Econmica". Primera reu- nin cientfica de ITECA, Len, 1959, pg. 3.

(10) Boulding, K.E.: "Etat actuel de la Thorie de l'Entreprise", en Boulding y Spivey: "La Programma- tion Lineaire et la Thorie de I'Entreprise", Pars, Dunod, 1964.-Surez, A.S.: "Nuevas tendencias de la empresa en una economa de Mercado", ESIC-Market, nm. 11, junio-septiembre 1973, pg. 215.-Fernndez Pirla: ob. cit. Cap. 11.

E. Castell Muoz: Modelos de programacin nzaz en que las restricciones son lineales y no de'otra forma ms general (11 1.

El anlisis marginal slo explica la naturaleza lgica de la posicin ptima de la produccin en una empresa industrial; pero no puede pro- porcionar ningn mtodo directo para decidir o seleccionar un programa ptimo de produccin. Alfred Marshall, fundador del principio de susti- tucin, dijo que sobre el problema de la produc- cin, los empresarios no trabajan con los clcu- los formales, sino con instintos experimentados. Sin embargo, actualmente, ya se dispone de un mtodo cientfico (la programacin matemti- ca) para calcular numricamente la solucin p- tima de los problemas de produccin, con res- pecto a la distribucin de los recursos limita- dos(12).

Por lo tanto, son dos enfoques tcnicos de la realidad productiva que es necesario interpretar. Cada uno de ellos parte de supuestos distintos para llegar a conclusiones diferentes.

2. EL ENFOQUE DE LA INVESTIGACION OPERATIVA Y LA PROGRAMACION MATEMATIC A Para caotar la realidad microeconmica de la

empresa, la metodologa prctica de la ciencia econmica, consistente en el anlisis marginal, resulta insuficiente. de ah la necesidad de una metodologa ms apropiada, tal es el llamado Mtodo Operativo (o Investigacin Operativa).

La disciplina de la economa de la empresa se caracteriza a partir de 1950 por la utilizacin de mtodos de carcter cuantitativo. Despus de la segunda guerra mundial y a travs de tres cauces bsicos: los modelos econmicos, las operaciones militares y las matemticas, se desa- rroll la llamada Investigacin Operativa (Ope- rations Research -americana- u Operational Research -inglesa-- (' 3).

(1 1) En la obra de Naylor y Vernon puede verse una comparacin de los modelos generales de anlisis marginal y programacin lineal, pgs. 243 y SS.

(12) Yu, L.: "Programacin Econmica en la ges- tin industrial", BEE, nm. 68, mayo-agosto 1966, pgs. 367 y 368.-Soldevila, E.: "Anlisis de la Progra- macin Lineal en el Anlisis de las Funciones de Pro- duccin", BEE, iim 71.

(13) Bueno Campos, E.J.: "Del mtodo operati- vo en el comportamiento econmico de la empresa y un ensayo sobre los orgenes de la Investigacin Opera-

'emtica de la empresa 581 Para la economa de la empresa ha sido, sin

duda, tan relevante el desarrollo de los mtodos operativos, que es a partir de su aplicacin en la teora y en la prctica cuando la investigacin y la fuildamentacin cientfica de las decisiones abren nuevas y amplias perspectivas.

La importancia del mtodo que pudiramos denominar operativo es tan grande en la econo- ma de la empresa, que como algunos economis- tas han afirmado esta disciplina no se manifiesta autnomamente como ciencia hasta que no ha surgido un mtodo apto ara la resolucin de su

(1 4 P amplia problemtica . El mtodo operativo aporta a la economa

de la empresa un vehculo singular que hace po- sible una reformulacin de su contenido. Asi- ~nismo, coadyuva a una parte muy considera- ble de los sistemas de estiucturas funcionales, que las definen coino entidad econmica inde- pendiente. Sucede as por cuanto se permite un importante avance en pro de un mtodo que hace viable la unificacin del fragmentado an- lisis microeconmico, para satisfacer una fina- lidad de la mayor importancia: la toma de de- cisiones (' ).

Se han dado muchas y muy dispares defmi- ciones de Investigacin Operativa. Una de las definiciones ms acertadas es la que considera a la Investigacin Operativa como "la ciencia que se ocupa de la preparacin cientfica de las decisiones". Ofrece a la Economa de la Empre- sa un instrumento para la determinacin de decisiones ptimas (la o ptimizacin es la revolu- cin de la Investigacin Operativa). La Investi- gacin Operativa viene a ser una especie de rplica al anlisis marginal, y constituye, una manifestacin del pragmatismo anglosajn (' 6 ) .

Las tres caractersticas esenciales de la Inves-

tiva", Anales de Economa, nm. 10, abril-junio 1971.-Garca Echevarra, S.: "Economa de la Em- presa y Poltica Econmica de la Empresa", Esic, Madrid, 1974, pgs. 272 y SS.

(14) Fernndez Pirla, J.M.: ob. cit., pg. 18, "So- bre el concepto y contenido de la Economa de la Empresa", Tcnica Econmica, nm. 1, Madrid, 1959.

(15) Lpez Moreno, M.J.: "Gestin de la Empresa y Programacin Lineal: momento crtico de un into- do cientfico", segundas reuniones cientficas de ITECA, Tarragona, octubre 1964, pg. 9.

(1 6) Surez, A.S.: "Investigacin Operativa y Economa de la Empresa", BEE, nm. 84, diciembre 1971, pg. 947.

Revista Espaola de Financiacin y Contabilidad tigacin Operativa son: 1 .O orientacin de siste- mas; 2.' utilizacin de equipos mixtos y 3.' adaptacin del mtodo cientfico,( ' 7).

El mtodo ms frecuente seguido por los equipos de Investigacin Operativa, es el si- guiente: l .' formulacin del problema; 2.' construccin del modelo; 3.' obtencin de la solucin; 4.' comprobacin del modelo y de la solucin; 5.' estab1ecimiento.de controles sobre la solucin y 6.' puesta en prctica de las soiuciones (' 8).

El modelo es el centro de la Investigacin Operativa, como lo es en toda ciencia (19). La posibilidad de elaborar modelos en la gestin empresarial, ha constituido la aportacin ms importante para la madurez de la economa de la empresa.

Los modelos econmicos y, en general todo modelo, es una abstraccin ms o menos acen- tuada de una realidad. El grado mximo de abstraccin se consigue cuando se utiliza un lenguaje simblico, caso de las matemticas. El modelo matemtico representa la estructura del sistema real en trminos cuantitativos (el con- cepto de estructura es ingrediente esencial de los modelos) (20).

En general, en todo problema de Investiga- cin Operativa es necesario construir en primer lugar el modelo matemtico que ha de servir de base para su estudio; esto requiere un conoci-

(17) Ackoff, R. y Rivett, P.: "La Investigacin Operativa en la Empresa", Sagitario, Barcelona, 1966, pg. 21.

(18) Cliurchman, Ackoff y Arnoff: "Introduccin a la Investigacin Operativa", Aguilar, Madrid, 1971, pg. 13.

(1 9) Rivett, P.: "La Investigacin Operacional", Labor, Barcelona, 1971, pg. 23.

(20) Riggs, J.L.: "Modelos de Decisin Econmi- ca", Alianza Universidad, Madrid, 1973.-Churchman, Ackoff v Arnoff. ob.cit.-Garca Echevarra, S.: ob. c i t . -~kpedro , J.'L.: "Realidad Econmica ; Anlisis Estructural", Aguilar, Madrid.-White, D.G.: "Teora d e la Decisin", Alianza Universidad, Madrid, 1972.-Blond, D.: "La Gestin Programada", Sagita- rio, Barcelona, 1975.-Lesourne, J.: "Los estudios Econmicos en la Empresa", Sagitario, Barcelona. "h'iodelos de Desarrollo de las Empresas", Dunod, Pars, 1973.-Ackoff, R.L.: "Un concepto de Planea- c in de Empresas", Limusa Wiley, Mxico, 1972.-Beach: "Modelos Econmicos", Aguilar, Ma- drid, 1961.

miento profundo del caso y una gran experien- cia. Se trata del siguiente planteamiento:

PROBLEMA (REAL)

DECISION

1 DECISION 1 OPTIMA

Consiste en recoger el problema real y repro- ducirlo en un modelo de decisin, modelo que se trata de resolver en base de un algoritmo. La solucin constituye una informacin sobre la decisin ptima.

Segn Ackoff y Rivett, todos los modelos de la Investigacin Operativa pueden sintetizarse en una ecuacin, en la cual, la medida de una caracterstica P es funcin de un grupo de as- pectos controlables del sistema Ci y de un gru- po de aspectos incontrolables Vj. As pues, la frmula bsica de cualquier modelo de Investi- gacin Operativa es: P = f (Ci, Vj) (2 ').

La medida del rendimiento de un sistema es la que se trata de optimizar (maximizar o mini- mizar). Las variables controladas son las que puede manipular quien toma las decisiones, por ejemplo, la cantidad de dinero invertido en varias actividades de la empresa, el tamao y la ubicacin de las fbricas, etc. Las variables no controladas son las que no se sujetan al control de quien toma decisiones; pero que, sin embar- go, afectan al rendimiento del sistema; por ejemplo, el clima, la coyuntura econmica, etc.

~ o h e n y Cyert, clasifican los modelos econ- micos de la empresa utilizando tres dimensio- nes: 1.' grado de racionalidad (objetivamente racional, subjetivamente racinal y no racional); 2.' dimensin temporal (estticos o dinmicos), y 3.' estado de informacin (certidumbre, ries- go e incertidumbre) (2 2).

(21) Ackoff, R. y Rivett, P.: ob. cit., pg. 41. (22) Cohen, K.J. y Cyert, R.M.: "Theory of the

firm: Resource ailocation in a Market Economy", En- glewood Cliffs, N.J. Prentice Hall, 1965, pg. 308.

E: Castell Muoz: Modelos de programacin matemtica de la empresa 583 La Investigacin Operativa (que expresa un

conjunto de conocimientos derivados del cam- po de la ciencia matemtica y de la estadstica), comporta un conjunto de modelos de distinta naturaleza matemtica (tambin llamada mto- dos de optimizacin), que caen dentro de las llamadas "tcnicas cuantitativas al servicio de la empresa". Como tcnicas propiamente de Inves- tigacin Operativa (cada una de ellas puede aplicarse a la optimizacin de uno o varios subsistemas integrantes del sistema empresa), tenemos las siguientes : Programacin Lineal, Programacin Entera, Programacin no Lineal, Mtodo de Transporte, Renovacin de Equipos, Teora de los Inventarios, Mtodo PERT, Teo- ra de los Juegos, Teora de las colas o lnqas de espera, Programacin Dinmica y Proceso de Markov, Teora de la Informacin, Teora de Grafos, Teora de la Decisin, Simulacin Mate- mtica, Juegos de Empresas, etc.

La Investigacin Operativa y la Teora de la Programacin se desarrollaron en ligazn con las necesidades de las operaciones de guerra y se hallan estrechamente vinculadas entre s.

La Investigacin Operativa encuentra su ra- zn de ser en la asignacin ptima de recursos escasos y la programacin constituye la teora matemtica de la aplicacin del principio de explotacin econmica racional.

Cuando se habla de programar, hay que po- ner previamente en claro estas tres cuestiones: 1 .O cules son los objetivos de la programacin (es decir, qu se pretende conseguir programan- do); 2.' cules son los datos o supuestos previos de que se parte y 3.' cul es el modelo matem- tico que reflejar mejor la realidad (2 3) .

El saber plantear el problema de la progra- macin e interpretar econmicamente los resul- tados, es de vital importancia para el economis- ta (la formulacin matemtica ha de servirle nicamente como medio de exposicin o de investigacin).

Todos los modelos de "Programacin Mate- mtica" (puede considerarse como el ncleo central de la Investigacin Operativa), son ins- trumentos de gran utilidad en la economa de la empresa, en especial los de Programacin Lineal

(23) Ballestero, E. "Principios de Economa de la Empresa", Alianza Universidad, Madrid, 1973, pgs. 262 y 263.

y Programacin Lineal paramtrica (por estar ms desarrollados y experimentados que otras formas de programacin, ofreciendo unas posi- bilidades ms amplias sobre todo en la planifica- cin empresarial a corto plazo y a nivel de proceso de produccin bsicamente).

En resumen, la Programacin Matemtica es uno de los instrumentos bsicos que usa el especialista en Investigacin Operativa o el mo- derno economista directivo al enfrentarse con sus responsabilidades.

Como dice Kaufmann, "El hombre de accin deber adquirir los principios bsicos de una ciencia nueva, una ciencia hecha para l: la Praxeologa o ciencia de la a ~ c i , n " ( ~ ~ ) .

La Praxeologa estudia los mtodos que per- miten aportar a la intuicin v.n suplemento de lgica matemtica. Denominando "Praxeogra- mas" a los modelos matemticos de la accin y "Praxegrafos" a los mapas o representaciones de estos modelos de los que da una idea el mtodo PERT. La variada gama de mtodos aplicados para la toma de decisiones ha sido agrupada bajo distintos neologismos; as tene- mos, entre otros: Econometra, Investigacin Operativa, Ciberntica, e Infornltica.

La diferencia de la Investigacin Operativa con la Econometra es posible que consista en que la primera trata en general de resolver pro- blemas de optimizacin y no de previsin.

Los diferentes caminos a travs de los cuales ha surgido la concepcin ciberntica han sido los siguientes ( 2 ):

1 .O Las limitaciones de la Programacin Ma- temtica. Pues al elevarse en el nivel de direc- cin se impone una concepcin que al ser ms de tipo biolgico que econmico, ponga su acento en los problenlas estratgicos y en la definicin de estructuras, teniendo en cuenta' las mltiples iteraciones. Es decir, una conce&-: cin ms prxima al comportamiento rea1;del:: hombre de empresa. Es preciso, se diie;, . .iitro-: . .. /

< . . . . . . ' .. .

. . . . : . . . . . .:

. . . . . C . ' .. ..

(24) Kaufmann, A.: "El Iiombre y. li!

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ducir, junto a las "cajas blancas" de la Investiga- cin Operativa, las "cajas negras" de la Cibern- tica.

2.' La Automatizacin que al generar siste- mas complejos hace surgir la necesidad de los procesos de regulacin y control.

3.' Al mismo tiempo surge la Teora de los Sistemas dentro de ese movimiento interdisci- plinar que aborda el estudio de los fenmenos o elementos del problema, en su conjunto.

Ante el creciente desarrollo de la Teora de los Sistemas (manifestacin del mtodo estruc- turalista) (' 6 ) , 10 que permite considerar a la empresa como un sistema integrado por mlti- ples subsistemas funcionales totalmente interre- lacionados, la Investigacin Operativa (Metodo- loga de carcter interdiscipliriario), vuelve a cobrar un enorme inters y actualidad.

La tendencia a la determinacin de modelos globales (o supermodelos en la terminologa de Sclmeider) que permiten el anlisis sinultneo y con ello la sincronizacin de los distintos sectores constituye el campo de investigacin actual y futuro. Asimismo se tiende a la solu- cin interdisciplinaria para resolver el complejo fenmeno real que es la empresa.

La Ciberntica y la Investigacin ,Operativa estn siendo los medios ms utilizados para alcanzar un conocimiento suficiente de la reali- dad, que permite actuar en condiciones de segu- ridad. Tambin la aplicacin de los modelos economtricos al campo de la empresa, y en es- pecial a las actividades del marketing, est ad- quiriendo un fuerte impulso en la actualidad.

3. EL MODELO DE LA PROGRAMACION LINEAL El problema general de la Programacin Ma-

temtica puede enunciarse como el de determi- nar los valores de n variables X1, Xz, ..., X, que

(26) Lpez Moreno, M.J.: "El Problema Concep- tual en la Economa de la Empresa. Perspectivas en materia de decisiones", BEE, nm. 84, diciembre 1971.-Melese, J.: "La gestion par les Syst&mes", Hommes et Thecniques, Pars, 1968.-Optner: "Anli- sis de Sistemas para Empresas y solucin de problemas industriales", Diana, Mxico, 1968.

La aplicacin de tcnicas analticas al conjunto de un sistema tcnico y de organizacin se denomina "anlisis de sistemas".

maximizan o minimizan (o sea, optimizan) una funcin objetivo:

Z = f (X1, Xz, o . . , X") = = max. (o bien, min.).

En este caso, las variables X1, Xz ..., X, estn sujetas a m restricciones de la forma:

< Hi (X1, Xz, ..., X ) = B i ; i = 1,2, ..., m. 2 As como: a restricciones de no negatividad.

En la segunda expresin analtica se verifica uno y slo uno de los smbolos

E Castell Muoz: Modelos de programacin ma 2.' Las limitaciones (de capacidad). 3.' Las condiciones de no negatividad de las

variables(27 ). Por lo tanto, el modelo matemtico de la

Programacin Lineal (en el caso de mximo), presenta la siguiente estructura:

Max. Z = cl xl + cz xz + ... + cnxn Sometida a las restricciones especficas:

Y las condiciones de no negatividad de las variables:

Los supuestos sobre los que se fundamenta la formulacin de la Programacin Lineal (mo- delo esttico v elaborado en condiciones de certidumbre) del problema de la empresa son: 1 .O linealidad; 2.' divisibilidad. 3 .O adicionali- dad, y 4.' condicin de finitud (2 S).

1 El carcter esttico supone que las condicio- l nes tcnicas y econmicas fundamentales en las cuales se ha definido el problema no varan a l corto plazo. Las restricciones, definen los lmites de las 1 soluciones posibles, y pueden resultar de condi- ! cienes internas, tales como las instalaciones dis- ponibles, o pueden resultar de consideraciones

xternas, ejemplo: los Mercados Potencia- ! les (29) . 1 (27) Baumol, W.J.: "Teora Econmica y Anlisis ! de Operaciones", Herrero Hermanos, Mxico, 1964, I pg. 82.

(28) Dorfman: ob. cit., pgs. 106 y 107. (29) Riggs, J.L.: Ob. cit., pg. 116. Para el estudio de la Programacin Lineal y el

Mtodo Simplex pueden verse las siguientes obras, entre otras:

Gass, S.L: "Programacin Lineal", CECSA, Mxi- co, 1966.-Simonnard, M.: "Programmation Linaire". Dunod, Pars, 1962.-Vajda: "Lecons sur la program- mation mathmatique", Dunod, Pars, 1965.-Kauf- mann, A.: "Mtodos y modelos de la Investigacin Operativa", CECSA, Mxico.-Dantzig: "Linear Pro- gramming and Extensions", Princenton University Press, 1964.-Alcocer Chilln y Lpez Moreno: "Apli- caciones de la programacin al campo econmico", Ejes, Madrid, 1968.-Naylor y Vemon: ob. cit., Caps. VI1 y VII1.-Fernndez Pirla: ob. cit. Caps. XV a XIX.

,temtica de la empresa 585 Los valores de las variables (niveles de em-

pleo de los procesos o de las actividades) han de ser mayores o iguales que cero, pero nunca menores que cero, ya que ello no tendra signi- ficado econmico alguno.

Si la empresa programa econmicamente la produccin empleando todos los posibles proce- sos productivos que pueden utilizarse, a distin- tos niveles, el rendimiento total de dicho pro- grama vendr expresado por la siguiente fun- cin objetivo:

Esta funcin est condicionada por la limita- cin de recursos disponibles, es decir, que la cantidad empleada de cada factor en los distin- tos procesos productivos utilizados a los corres- pondientes niveles, ha de ser menor o igual que la cantidad que de dicho factor se dispone (la matriz tecnolgica conjuntamente con el vector de las existencias define la capacidad limitada de produccin de la empresa):

En Programacin Lineal, un ejemplo del pro- blema de minimizacin es "el problema de la dieta" perteneciente histricamente a la serie de los primeros problemas que fueron resueltos mediante los mtodos de programacin. Fue Stigler quien desarroll una formulacin de di- cho problema publicando en 1945 un trabajo con el ttulo "The Cost of Substance".

Las variables de holgura permiten poner las relaciones de condicin en forma de igualdad y si aparecen en la solucin ptima definen el grado de inactividad de los factores limitados. En cambio, las variables artificiales carecen de significado econmico.

3.2. Mtodos de resolucin

Como quiera que no es posible aplicar los mtodos de clculo marginal a los programas lineales (se trata de un problema de mximo o mnimo condicionado con funciones lineales), no queda ms remedio que buscar otras formas

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de resolucin de dichos problemas. Nos la ofrece la teora de la Programacin Lineal.

Existen dos mtodos fundamentales de reso- lucin del problema de la programacin lineal: el primero de carcter geomtrico, y el segundo algortmico, operando en el lgebra lineal.

En 1947, Dantzig, elabor un prctico pro- cedimiento numrico, denominado "Mtodo Simplex" (de ningn modo debe inferirse sim- ple de simplex), para resolver problemas de programacin lineal. Se trata de un mtodo iterativo, el cual consiste en partir de una solu- cin bsica v deducir de ella otra tambin bsi- ca que proporcione un aumento de los benefi- cios o disminucin de costes. Esta operacin se repite hasta hallar la solucin ptima.

El mtodo de Simplex o Algoritmo de Dantzig (como variaciones de este mtodo es- tn: el Simplex Primario y el Simplex Dual) detaca por la sencillez de su estructura lgica (prescindimos de los aspectos matemticos del mismo), ahora bien, en caso de tener un gran nmero de incgnitas y de ecuaciones, requiere aburridos clculos. Por esta razn. la historia del desarrollo de los mtodos de programacin lineal se halla ligada prcticamente a la aplica- cin, para tales fines, de los ordenadores elec- trnicos.

Segn Beckmann puede considerarse como el "mtodo estndar" para la resolucin de los problemas de programacin lineal.

3.3. Aplicaciones econmicas

La Programacin Lineal se ha utilizado con xito en una extensa variedad de problemas industriales especficos. Como ejemplos, pode- mos citar los problemas de produccin, almace- naje, transporte, juegos, financiacin, inversin, etc. As como en el planteamiento resolucin

(30Y de problemas macroeconmicos .

(30) Surez A.S.: "Aplicaciones econmicas de la Programacin Lineal", Guadiana, Madrid, 197 1. -Vo- kuhl, P.: "Programacin Lineal aplicada a la empresa", Sagitario, Barcelona, 1968.-Lesourne: "Tcnica eco- nmica y gestin industrial", Aguilar, Madrid, 1964.-Riley y Gass: "Linear Programming and Asso- ciated Techniques", Baltimore, Johns Hopkins Press, 1958.-Calafell, A.: "Teora Lineal de la asignacin ptima de los recursos financieros en los entes pbli- cos", Financiacin y Contabilidad, nm. 2.-Enrick,

Como tipos generales de problemas que pue- den ser resueltos mediante la programacin li- neal, citamos los siguientes (31):

1 .O Problemas de "transporte y asignacin". Esencialmente los problemas del transporte im- plican el movimiento de cantidades limitadas de un grupo de procedencias a un grupo de desti- nos. El objetivo puede ser establecido de diver- sas maneras: minimizar la distancia total reco- rrida, maximizar el beneficio total, minimizar el tiempo total recorrido, o minimizar los costes totales. El problema del transporte o de distri- bucin (distribution method) fue planteado y resuelto por Hitchcok en 1941, con anteriori- dad al desarrollo de la programacin lineal. Para la resolucin del mismo, junto al mto- do general del simplex, se han desarrollado va- rios mtodos operativos.

Los problemas de asignacin constituyen una variante de este problema de programacin lineal. En l nos enfrentamos con la asignacin o aceptacin de una clase de recursos o de productos a otras tantas clases de uso, de modo que el programa total sea ptimo.

Dicho problema puede resolverse por el m- todo del simplex sin dificultad o por el mto- do hngaro o algoritmo de Kuhn.

2 .O Problemas de "afectacin de recursos limitados a usos o actividades alternativas". En esta clase de problemas, las entradas (o input) se fijan como cantidades totales mximas sus- ceptibles de ser repartibles entre los usos alter- nativos. La solucin ptima, por 10 tanto, em- plear el total disponible de cada entrada, o una cantidad menor. La primera formulacin de un

L.: "Planificacin de la gestin", Paraninfo, Madrid, 1974.-Vinader, R.: "Estudios de diversos modelos de programacin de produccin", Estudios empresariales, nm. 6811, abril 1968.-Castell, E.: "El mtodo de Dantzig aplicado a la programacin econmica de la produccin", CEU, Anuario de Ciencia Econmica, nm. 3.

(31) Lindsay, F.: "Tcnicas modernas de ges- tin", Sagitario, Barcelona, 1966, pgs. 70 y SS.-Fer- nndez Pirla: ob. cit., pgs. 104, 151, 334,465 y 494. Surez, A.S.: "La programacin econmica por el m- todo del transporte", IDE, Madrid, 1972.

Con todo rigor se estudia cl problcma del trans- porte simple sirvindose de dos instrumentos funda- mentales: la Teora de los Grafos y la Teora de la Programacin Lineal.

/ E. Castell Muoz: Modelos de programacin matemtica de la empresa 5 8 7 problema de programacin lineal de este tipo fue hecha por George Stigler en 1945.

3.' El problema de "programa ptimo de almacenamiento de mercancas", o sea, dicho en otras palabras, el problema de la distribucin ptima en el tiempo, de las compras y ventas, con la condicin de que la diferencia entre la cifra de ingresos y de gastos sea mxima. Este problema de programacin de almacenes o de planificacin del horizonte (horizon plarzing) se resuelve por aplicacin de la programacin li- neal y se suele conocer con el nombre de pro- blema de Charnes y Cooper en atencin a los que le plantearon y resolvieron.

4.' El problema de resolver un juego rectan- gular arbitrario, puede considerarse como un problema esencial de Programacin Lineal e in- versamente, muchos de estos problemas se redu- cen a otros que pertenecen a la teora de los juegos (32).

5.' En el campo de la "Teora de la Infor- macin" si se conoce el valor informativo real (despus del filtraje del mensaje) de todas las fuentes en relacin con la totalidad de las cues- tiones acerca de las cuales se requiere informa- cin, y se conoce asimismo cul es el coste del empleo de dichas fuentes, cabe plantearse el problema de "seleccin de las fuentes informa- tivas" como una aplicacin de la Programacin Lineal(33).

6.' El establecimiento del Programa tempo- ral de las inversiones y en relacin con el mis- mo, la distribucin de los recursos financieros de la empresa puede resolverse con el auxilio de la Programacin Lineal. Para el estudio del pro- blema de la Programacin de inversiones, se lian elaborado diferentes modelos, tales como los de Lorie y Savage, Weingartner, Capri, Shackle, Baumol y Quan t , Carleton, Markowitz, etc.

7.' En materia de localizacin han sido varios los intentos de aplicar la Programacin Lineal (el mtodo del transporte ofrece gran-

(32) Moakiiisey, J.: "liitroduccin a la Teora Ma- temtica de los Juegos", Aguilar, Madrid, 1960, pgs. 299 y 300.

(33) Vegas y Pirla: "Los problemas de decisin y la valoracin de la iiiformaciii", reuniones nacionales de Investigacin Operativa del Instituto de Racionali- zacin del Trabajo, Madrid, 1962.

des posibilidades en el mbito de la localiza- cin econmica, en general, y en particular, en la resolucin de los problemas que plantea la localizacin de plantas industriales y esta- blecimientos comerciales) y en el campo de la publicidad para determinar la combinacin p- tima de medios publicitarios (media selectiorz).

8.' El mtodo factor producto fue desarro- llado inicialmente por Wassily Leontief para analizar globalmente una economa. Matemti- camente, es una variante de la programacin lineal y proporciona un mtodo de trabajo cuantitativo para la descripcin de una econo- ma completa.

Tambin, el uso de las tcnicas iizput-output aplicadas a nivel microeconmico, unido a las posibilidades que abre la programacin lineal, permite resolver con rigor intrincados problemas de utilizar los resultados econmicos de la ex- plotacin de los complejos industriales (35). 3.4. Posibilidades y ljrnitaciones

El modelo de la Programacin Lineal ofrece dos grandes posibilidades: el anlisis de la sensi- bilidad de los programas lineales y la dualidad en programacin lineal ( 3 'j).

El anlisis de la sensibilidad de los programas lineales tiene por objeto analizar la estabilidad de la solucin ptima ante ciertas alteraciones de los datos numricos (coeficientes de la fun- cin objetivo, trminos independientes del siste-

(34) Surez, A.S.: "Decisiones ptimas de inver- sin cn la empresa", apuntes de la Facultad de Cien- cias Econmicas y Empresariales, Madrid, 1974.-Gar- ca Eclievarra, S.: "Teora de la inversin en la econo- ma de la empresa", Esick-Market, nm. 10, febrero- mayo 1972.-Ribas, E.: "Programacin de inversiones en la empresa: inodelos", Financiacin y contabilidad, Vol. 4.', nm. 11, enero-marzo 1975.-Naylor y Ver- non: ob. cit., pgs. 415 a 451.

(35) Leonato, R.: "Programacin Lineal aplicada a los procesos interrelacionados", BEE, nm. 68, ma- yo-agosto 1966, pgs. 237 y SS.

A travs de su "Tableau economique", Quesnay y- los fisicratas hacen aparecer el concepto de interde- pendencia de las actividades econmicas que ms tarde Walras habra de redescubrir y adoptar un mtodo de anlisis que Leontief resucit en el presente siglo (Ba- rre, R.: "Economa Poltica", Ariel, Barcelona, 1964, tomo 1, pg. 51).

(36) Alcocer Chilln y Lpez Moreno: ob. cit., pgs. 218 y 234.-Surez, A.S.: ob. cit., pgs. 18 y 47.

588 Revista Espaola de Financiacin y Contabilidad

ma de restricciones y coeficientes de las varia- bles del sistema). Y al suponer que dichos datos del programa lineal ya no son fijos, sino que varan, los modelos de programacin lineal se hacen ms generales y ms realistas simulando as situaciones econmicas que en otro caso no hubiera sido posible.

Bajo el epgrafe general de "anlisis de la sensibilidad de los programas lineales" pueden englobarse los siguientes mtodos: "el anlisis de la sensibilidad" (sensitivity analysis), que supone introducir modificaciones o variaciones en los elementos que componen el modelo, con objeto de investigar las repercusiones que tienen lugar en la solucin ptima obtenida (supone un anlisis a prion). En la "Programacin Lineal paramtrica", los datos numricos de un progra- ma lineal varan en funcin de un parmetro que interviene linealmente bajo la forma de funcin implcita; y, por ltimo, la "teora de la postoptimizacin" que permite analizar la sensibilidad del programa lineal una vez que el cambio se ha producido (supone un anlisis a posteriori).

Otro aspecto que interesa resaltar es la duali- dad en programacin lineal. Segn afirma Dantzig, la nocin del problema dual y su rela- cin con el problema original, que llamamos primal, fue introducido por J. Von Neumann, el creador de la teora de los juegos. La formula- cin explcita de los teoremas que relacionan ambos problemas fue realizada formalmente, por primera vez, por Gale, Kuhn y Tucker.

Al problema primal:

le corresponde el siguiente problema dual en. forma generalizada:

Los problemas primal y dual tienen una gran semejanza y relacin, puesto que los objetivos y las condiciones del primal son las condiciones y los objetivos del dual. Precisamente a causa de esta semejanza se llaman "duales". Adems, la solucin ptima del primal que se trata de

maximizar o minimizar, es exacta a la solucin ptima del dual que se trata de minimizar o maximizar .

Si un problema econmico puede formularse como un problema de Programacin Lineal, ha- br entonces, por lo general, otro problema econmico que corresponde al dual. La duali- dad de los programas lineales es, en defmitiva, un fenmeno matemtico que simula diferentes problemas econmicos(37).

La interpretacin econmica de las variables dudes es la de los "precios contables" o "pre- cios sombra" (shadow pnces) de los recursos utilizados.

La dualidad en los programas lineales tiene un gran inters en los pases socialistas en don- de el mercado tiene una importancia mnima y como consecuencia, para la fijacin de los pre- cios se enfrentan tales pases con complejsimos problemas.

Hemos dest~cado que para cada problema de asignacin de recursos (primarios) existe un problema asociado de fijacin de precios (dual). Pero, adems, puede haber ventajas de cmputo si se resuelve el problema dual en lugar del primario. Si ste, por ejemplo, tiene ms restric- ciones que variables, el dual puede resultar de ms fcil solucin, puesto que tendra menos restricciones.

La Programacin Lineal como mtodo tiene sus limitaciones. La primera de ellas es que todas las relaciones que puede tratar son linea- les y, adems, las formulaciones de la programa- cin lineal no tienen en cuenta la incertidum- bre (38).

Otros dos grandes defectos de que adolece la programacin lineal son:

lo. Que es esttica (es decir, al observar la empresa en un momento dado, en lugar de hacerlo en el devenir del tiempo, hemos en realidad, eliminado por abstraccin la variable tiempo).

2.O El de considerar solamente un objetivo

(37) Dorfman, R.; Samuelson, P.A. y Solow, R.: "Programacin Lineal y Anlisis Econmico", Agui- lar, Madrid, 1964, pg. 44.

(38) Dorfman, R.: "Investigacin Operativa", en panoramas contemporneos de la Teora Econmica, Vol. 111, asignacin de recursos, Alianza Universidad, Madrid, 1970, pg. 67.

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(maximizacin de beneficios o minimizacin de cos'tes).

Para paliar estos problemas, contamos con la programacin dinmica y la programacin por objetivos (se trata de optirnizar un problema de programacin en el caso de multiplicidad de objetivos. Los estudios sobre esta materia se iniciaron y desarrollaron por: Klahr, 1958; Charnes y Cooper, 1961; Ijiri, 1963; Zadeh, 1963; Khingr, 1964; Da Cunha y Polack, 1967; Gesffrion, 1968, hasta llegar a las ltimas for- mulaciones de programacin lineal multiobjeti- vo de Zehny, 1 9 7 4 ) ( ~ ~ ) .

Por otra parte, en programacin lineal es muy difcil manejar ms de un conjunto de condiciones al mismo tiempo y, como dice Lindsay resulta esencial la simplificacin del problema, a base de suprimir algunos de los elementos menos importantes al aplicar esta tcnica de gestin (al igual que ocurre con las dems aplicaciones del anlisis matemtico a los problemas de direccin). Finalmente, como la mayor parte de los mtodos de anlisis, la Pro- gramacin Lineal entraa un costoso programa de recoleccin de datos.

4. OTROS MODELOS DE PROGRAMACION MATEMATICA

1 Como subconjuntos de Programacin Mate- 1 mtica, adems de la program&in Lineal, est

la Programacin Entera y la Programacin no Lineal (modelos estticos y en condiciones de certidumbre).

La "Programacin Entera" (40) est caracte- 1 rizada por la restriccin de que las variables de 1 soliicin deben expresarse por valores enteros. Es1.e tipo de programacin se emplea mucho en

problemas de naturaleza econmica. En 1958 Gomory desarroll un mtodo para resolver

(39) Lange, O.: ob. cit., Cap. VI.-Villalba, D.: "Programacin por Objetivos", Financiacin y Conta-

uilidad, nm. 8, abril-junio 1974. -Buenos Campos, E.: "La programacin de los objetivos empresariales: anlisis crtico de los mtodos", Financiacin y Con- tabilidad, nm. 10, octubre-diciembre, 1974.

(40) Surez, A.S.: "Programacin Lineal en n- meros enteros", Economa Poltica, nm. 53, septiem- bre-diciembre 1969.-Baumol: ob. cit., Cap. 7.

problemas de programacin lineal entera deno- minado "de formas enteras" o "del plano de corte". Siguiendo a Naylor y Vernon los autores que hn contribuido al desarrollo de esta tcni- ca son los siguientes: Dantzig y Glover; Dantzig, Fulkerson y Johnson; Gomory y Baumol; Go- mory y Hoffman; Land y Doig; Markowitz y Manne. Para resolver el problema de presupues- tacin de capital Weingartner aplica este mto- do.

La "Programacin no Lineal" (4 ). consiste en que la funcin que debe .optimizarse o las que contienen las restricciones o todas a la vez son no lineales. Los primeros estudios sobre Programacin no Lineal datan de 1950, cuando Kuh y Tucker publicaron sus primeros trabajos bajo el ttulo "Nonlinear programming". Poste- riormente, diversos autores tales como Charnes y Lemke en 1954; Frank y Wolfe en 1956; Baal en 1959; Kelley y Zonntendijk en 1960; Char- nes y Cooper, etc., han desarrollado la progra- macin "cuadrtica" (consiste en maximizar o minimizar funciones cuadrticas sometidas a restricciones lineales. Es un caso especial de la Programacin no Lineal).

Entre las tcnicas de Programacin no Lineal disponibles en la actualidad, se encuentran: 1 .O la programacin separable; 2.' la programacin cuadrtica; 3.' las tcnicas de gradiente; 4.' los mtodos de descomposicin, y 5.' los mtodos de plano de corte.

El inters terico por los problemas de pro- gramacin no lineal provienen de sus aplicacio- nes prcticas. Durante los ltimos aos numero- sas aplicaciones, principalmente del campo in- dustrial, han impulsado los estudios de la pro- gramacin no lineal y conducido a interesantes resultados.

Otros dos problemas importantes de la pro- gramacin matemtica son: la programacin di- nmica (las variables del modelo dependen fun- cionalmente del tiempo), y la estocstica (mo- delos en situaciones de riesgo e incertidumbre).

(41) Gutirrez Cabria: "Algunos aspectos nuevos de la Programacin no Lineal", Estadstica Espaola, nm. 21. "Programacin Lineal y Economa de la Empresa", ITECA, Tanagona, 1964.-Baumol: ob.cit., Cap. 6.-Naylor y Vernon: ob. cit., Cap. 9.-Dorfman, Samuelson y Solbw: ob. cit.-Yu, L.: Art. cit., pgs. 393 a 403.

Revista Espaola de Financiacin y Contabilidad

La "Programacin ~inmica" (42 ) es un m- todo para resolver problemas de programacin con mltiples estados en los que las decisiones

, tomadas en un estado fijan las condiciones que van a gobernar los estados sucesivos. La caracte- rstica esencial de este mtodo.es que se accede a soluciones ptimas por etapas (es decir, se- cuencialmente). Adems, la interdependencia de las decisiones en los diversos estados es lo que distingue los problemas de programacin dinmica. Es una tcnica apta para tratar los llamados procesos de decisin secuenciales.

Bellman en los Estados Unidos y Pontryagin en la Unin Sovitica han introducido un prin- cipio fundamental para ese tipo de problemas: "el principio de optimacin" (una poltica pti- ma tiene la propiedad de cualquiera que sea el estado inicial y la decisin inicial, las restantes decisiones deben de constituir una poltica pti- ma con relacin al estado resultante de esta primera decisin).

Los procesos de adaptacin secuencia1 nos conducen directamente a los conceptos de la ciberntica, que pueden ser descritos como un tipo de cinemtica de la accin.

La programacin dinmica se est aplicando con xito al planteamiento y resolucin de pro- blemas econmicos: eleccin de inversiones, re- novacin de equipos, programacin de almace- ries, problemas de financiacin, etc.

La "Programacin Estocstica" (4 3) , incluye aq,uellos casos en q,ue la funcin objetivo que hay que optimimr y las que contienen las res- tricciones son variables aleatorias. Entre las con-

tribuciones ms importantes a la literatura so- bre programacin estocstica se encuentran los trabajos de: Charnes y Cooper, Dantzig, Elma- ghraby, Evers, Kataoka, Madansky, Tintner y Vaj da.

Por ltimo sealamos los ti os de modelos de planificacin segn Starr (44f), que son:

1 .O Los modelos que pueden ser definidos por redes y secuencias de decisiones, las cuales se encuentran unvocamente determinadas. Esta situacin se tiene cuando puede predecirse con certeza, todos los posibles estados que puede adoptar el medio (p. ej., modelos de programa- cin lineal, no lineal, tcnicas de redes, etc.).

2.' Modelos en los que no existe, n priori, una forma mejor que las dems para alcanzar un ptimo. Quiere decir que no existen una estra- tegia ptima claramente definida, exigiendo una amplia flexibilidad para enjuiciar las distintas situaciones de decisin, modelos que por otra parte slo pueden considerarse cuando se est cerca de la certeza.

3.' Modelos que corresponden a aquellos casos en los que puede incurrirse en severas penas, por ejemplo, la ruina del j,ugador. Se busca en estos modelos unos criterios que per- mitan separar o distinguir todas aquellas alter- nativas o planes que pueden indicar tal ruina.

Toda esta gama de modelos de optimacin constituye una importante herramienta para el empresario a la llora de adoptar decisiones eco- nmicas en la gestin empresarial.

(42) Beliman, R.: "Dynamic Programming", Prin- empresa", Coiifcderacin Espaola de Cajas de Aho- centon, New Jersey, 1959.-Vadja, S.: "Mathematical rros, Madrid, 1973. Programing", Addisoii-Wesley, Reading, Massachusetts, (43) Naylor y Vernon:, ob. cit., pgs. 317 y 1961.-Kosenbtlelil, P. y Ghouila-Houri, A.: "Les

ob. cit., Caps. VII, IX, XI y XII, Choix Economiques, dcisions sequentielles et simula- tion", Dunod, Pars, 1960.-Kaufmann, A. y Cruoii, (44) Verhulst, M.: "Nueva orientacin de la inves- R.: "La Programacin Dinmica", CECSA, Mxico, tigacin en materia de planificacin y de gestin a 1967.-Caiiibano, L.: "Las dccisiones sccuenciales en la nivel de empresa", BEE, nm. 73, abril 1962.