Date post: | 26-Oct-2015 |
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
Es la probabilidad de que ocurra un evento con la condición de que
otro evento ya ha ocurrido antes.
Sean dos eventos A y B de un espacio muestral , entonces la
probabilidad de que ocurra el evento A “dado” que el evento B ya
ha ocurrido antes se define de la siguiente manera:
P(A/B) = P(A B)
P(B)
P(B/A) =
P(B A)
P(A)
O la probabilidad de que ocurra el evento B “dado” que el evento A
ya ha ocurrido antes:
Ejemplo: un empresario vende 2 tipos de gasolinas
84 y 95 octanos. La probabilidad de que la gasolina de 95 octanos aumente su valor es 0.89 y la probabilidad de que los dos tipos de gasolina aumenten su valor es de 0.65. Si la gasolina de 95 octanos ya había aumentado su valor. ¿Cuál es la probabilidad de que la gasolina de 84 Octanos aumente su valor?
Solución: sean los eventos: A:la gasolina de 84 octanos aumente su valor B:la gasolina de 95 octanos aumente su valor Luego: P(B)=0.89 P(AB)=0.65 entonces si la gasolina de 95 octanos aumentó quiere decir que el evento B ya ha ocurrido antes,luego:
P(A/B) =
P(AB) P(B)
= 0.65
0.89 = 0.73
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Se verifica que:
a) P(A/B) = 1- P(AC/B) ó P(AC/B) = 1- P(A/B)
b) Si A1 y A2 son eventos cualesquiera entonces usando
el teorema de la adición tenemos:
P[(A1U A2)/B] = P(A1/B) + P(A2/B) – P[(A1 A2)/B]
Tabla de doble entrada de Probabilidades
Comúnmente cuando se realizan ejercicios con probabilidad
condicional también es de utilidad una tabla de doble entrada de
de probabilidades.
En la disposición de una tabla de doble entrada vamos a tener
tanto en las filas como en las columnas a los eventos que se
definan,generalmente cuando definamos 2 o más eventos.
Ejemplo1: Un club consiste de 150 miembros. Del total, 3/5 son
Hombres y 2/3 son profesionales. Además, 1/3 de las mujeres son no
profesionales.Si se elige al azar un socio del club:
a) Calcular la probabilidad de que sea hombre y profesional.
b) Calcular la probabilidad de que sea hombre dado que es profesional.
c) Calcular la probabilidad de que sea no profesional dado que es
mujer.
Solución: sean los siguientes eventos
Hombre: H , Mujer: M , Profesional: F , No profesional: NF
Profesional(F) No profesional (NF) Total
Hombre (H)
Mujer (M)
60
40
30
20
90
60
Total 100 50 150
a) P( H F ) = 60
150
= 0.4
b) P( H / F) = P ( H F )
P( F) =
60/150
100/150 = 0.6
c) P( NF / M ) = P ( NF M )
P(M) =
20/150
60/150 = 0.33
n(HF)
n() =
Ejemplo2:
Se tienen los resultados de una encuesta efectuada
a los huéspedes de un hotel, evaluando si les gustaba la
comida o no , y también se les pregunto de donde
provenian. Los resultados de la encuesta se encuentran
en la siguiente tabla de doble entrada:
Lés agrado
mucho (M)
Lés agrado
(A)
Lés desagradó
(D)
Total
Franceses
(F)
30 30 40
Norteamericanos
(N) 50 25 35 110
Total 80 55 75 210
100
Calcular lo siguiente:
a) La probabilidad de que el huésped sea francés. P(F)=100/210
b) La probabilidad de que les agradó la comida. P(A)= 55/210
c) La probabilidad de que el huésped sea norteamericano y le
desagrade la comida. P(ND)=35/210
d) La probabilidad de que el huésped sea francés si le desagradó
la comida.
P(F /D) =
e) La probabilidad de que el huésped sea norteamericano si le agradó
la comida.
P(N/A) =
40P(F D) 40210= =
75P(D) 75
210
25P(N A) 25210= =
55P(A) 55
210
El Teorema o regla de la Multiplicación
La consecuencia más importante de la probabilidad condicional es el teorema de la multiplicación donde:
P(A B) = P(B) P(A/B)
P(A B) = P(A) P(B/A)
ó
Este teorema se puede generalizar para “n” eventos: P(A1A2 …. An) = P(A1)P(A2 /A1) P(A3 /A1 A2)…..P(An/A1A2 …. An-1)
Ejemplo:
Calcular la probabilidad de extraer una bola verde
en la primera extracción y una bola roja en la segunda
extracción sin reposición de una urna que contiene 3
bolas verdes y 4 rojas.
EVENTOS INDEPENDIENTES
En la definición de la probabilidad condicional deciamos que la
probabilidad del evento A ocurre dado que el evento B ya ha
ocurrido antes, es decir la ocurrencia de A depende si ocurre o no
el evento B, esto es:
P(A/B) =
P(A B)
P(B)
Ahora se dira que los eventos A y B son “independientes” si la
probabilidad que el evento A ocurra, no depende si ocurre
o no el evento B. Luego se tendrá que:
P(A/B) = P(A)
algunos ejemplos de eventos independientes:
1) En el lanzamiento de dos monedas, el que salga cara en una
de ellas no depende que salga cara en la otra.
2) En los tiros al blanco, el que dé al blanco en el tercer tiro
no depende de los tiros en el segundo ni en el primero.
3) Encestar canastas en el juego del baloncesto.
4) Los tiros penales en el futbol, etc..
DEFINICION GENERAL
Dos eventos A y B son independientes si se cumple que:
P(A B) = P(A).P(B)
PROPIEDADES:
Si dos eventos A y B son independientes entonces:
i) Ac y Bc también son independientes.
ii) Ac y B también son independientes.
iii) A y Bc también son independientes.
Luego:
i) quiere decir que si Ac y Bc son independientes entonces
por definición P(Ac Bc ) = P(Ac).P(Bc)
ii) quiere decir que si Ac y B son independientes entonces
por definición P(Ac B) = P(Ac).P(B)
iii) quiere decir que si A y Bc son independientes entonces
por definición P(A Bc ) = P(A).P(Bc)
Ejercicio: Carlos y José juegan tiro al blanco.Las probabilidades de dar en el
blanco son 0.3 y 0.4 respectivamente. Hallar la probabilidad de que
por lo menos uno de ellos dé en el blanco.
Solución:
Sean C: Carlos dá al blanco P(C) = 0.3
J: José dá al blanco P(J) = 0.4
*Por ser tiros al blanco los eventos C y J son independientes, es decir:
P(CJ) = P(C) P(J)
Entonces:
P(por lo menos uno dá al blanco) = P(CJ) =P(C)+P(J)-P(CJ) …….Teor.Adición
=P(C)+P(J)-P(C)P(J)
= 0.3+0.4 – 0.3x0.4
= 0.58
Primer
Nivel Segundo
Nivel
DIAGRAMA DE ARBOL DE PROBABILIDADES
Donde se cumple que:
P(A1)+P(A2) = 1
P(B/A1)+P(BC/A1) = 1
P(B/A2)+P(BC/A2) = 1
(Primer Nivel)
(Segundo
Nivel)
……….. Tercer
Nivel
ramas del árbol
Ejemplo: construir el diagrama de árbol para el siguiente
enunciado:
La probabilidad que Luis estudie es 0.20. Si estudia la
probabilidad que apruebe es de 0.80 y si no estudia la
probabilidad que apruebe es de sólo 0.50.
Solución: Sean los eventos A1: Luis estudia
A2: Luis no estudia
B : aprueba BC: no aprueba
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES
PARTICION DEL ESPACIO MUESTRAL
Se denomina partición del espacio muestral , a una colección de
“k” eventos A1,A2,……,Ak que sean mutuamente excluyentes y
colectivamente exhaustivos, tales que verifican lo siguiente:
1) P(Ai)>0 , para cada i=1,2,….,k
2) Ai Aj = Ø ij (mutuamente excluyentes)
k
1i iA
3) = (colectivamente exhaustivos)
………….
A1 A2 A3 Ak
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Si “k”eventos A1,A2,……..,Ak constituyen una partición del
Espacio Muestral(),entonces para cualquier evento B en se cumple lo siguiente:
P(B)=
k
1i)
iA/B(P)
iA(P
A1 A2 A3
……….
Ak
B
entonces la probabilidad que
ocurra el evento B esta dado:
Ejemplo1:La probabilidad que Luis estudie es 0,20. Si
estudia la probabilidad que apruebe es de 0,80 y si no
estudia la probabilidad que apruebe es de sólo 0,50.
¿Cuál es la probabilidad que Luis apruebe su examen?
Solución: Sean A1: Luis estudia A2: Luis no estudia
B : aprueba BC: no aprueba
Ejemplo2: 3 máquinas producen la misma pieza; las
máquinas A1, A2 y A3 fabrican el 35%, el 25% y el 40%
de la producción total respectivamente. De lo que producen
el 5%, 4% y 2% son defectuosos respectivamente.
Si se escoge un artículo al azar, de cuál tipo de máquina es
más probable que provenga la pieza defectuosa.
EL TEOREMA DE BAYES
Si los k eventos A1,A2,……..Ak constituyen una partición del
espacio muestral , entonces para cualquier evento B incluído
en tal que P(B)>0 se cumple:
P(Ai/B) = P(Ai) P(B/Ai)
P(B)
Donde:
k
1i)
iA/B(P)
iA(PP(B)=
Probabilidad
Total
Solución:
Ejemplo3: 3 máquinas producen un mismo artículo; las
máquinas A1, A2 y A3 fabrican el 35%, el 25% y el 40%
de la producción total respectivamente. De lo que producen
el 5%, 4% y 2% son defectuosos respectivamente.
Si se escoge un artículo al azar y esta resulto defectuoso, ¿cuál
la probabilidad de que el artículo provenga de la maquina 2?