Departamento de Artes Plásticas
y Dibujo
DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO
TEMA 3. POLÍGONOS.
TEMA 3. POLÍGONOS.
1º
? Triánguloso Definición y notacioneso Clasificacióno Cuestiones generaleso Puntos y rectas notableso Construcciones
? Cuadriláteroso Definición y baseso Clasificacióno Construcciones
? Polígonos regulares e irregulareso Definición y baseso Clasificacióno Construccioneso Polígonos inscritos en circunferencias y circunscritos a las mismas. o Polígonos estrelladoso Redes modulares.
2º
- Triángulos: puntos y rectas notables. Casos especiales.
- Cuadriláteros inscriptible y circunscriptible.
- Polígonos regulares.
- Polígonos estrellados.
- Construcción de triángulos.
- Aplicación correcta de los puntos y rectas notables, así como las especiales, en los problemas planteados.
- Construcción de cuadriláteros.
- Análisis de las formas poligonales como base de diseño de objetos.
- División de la circunferencia y construcción de polígonos regulares por métodos particulares conociendo el radio.
- Construcción de polígonos regulares por métodos particulares conociendo el lado.
- Construcción de polígonos estrellados.
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Nota
2º BACHILLERATO
Polígono INSCRITOPolígono CIRCUNSCRITO
POLÍGONO IRREGULARPOLÍGONO REGULAR
diámetro(d)
ladovértice
ángulo interior
ánguloexterior
POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÓNCAVO POLÍGONO EXTRELLADO
DIAGONALES de un polígono
radio -
apotem
a
radi
o
r = radio circunferencia circunscrita r = apotema del polígono
r = radio de la circunferencia incrita
Las formas poligonales están en la estructura de muchos objetos y construcciones.
La palabra polígono es de origen griego y quiere decir “varios ángulos”.
Un polígono es: una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.
Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas de sus lados.
Los elementos básicos de los polígonos son: vértices, diagonales, ángulos interiores
y exteriores.
El número de lados de los polígonos determina su nombre: triángulo, cuadrilátero,
pentágono, hexágono, etc.
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Curso
Nota
2º BACHILLERATO
L
L
d
CUADRADO
Área: L2
B
A
d
RECTÁNGULO
Área: AxB
PARALELOGRAMO
Área: AxB
dd
B
A
1
2
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
a
Área: b x a/2
c
b
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
h
Área: b x h
b
c = a + b 2 2
2
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
h
Área: b x h
b
2
h
TRAPECIO
Área: B+b x hd
d
b
h
1
2
B
2
TRAPEZOIDE
Área: (h + H)a +bh +cH
dd12
2
h
H
b a c
PENTÁGONO
r
R
L108º
HEXÁGONO
r
R
L
120º
60º
Área: perímetro x apotema (r)
2
AREAS Y PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
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Curso
NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS
2º BACHILLERATO
Equilátero
LADOS
Todos iguales
ÁNGULOS
Iguales. Son los tres de
60º
Dos iguales =lados
Una diferente =base
Dos iguales. Uno,
el opuesto a la
base, diferente.
Los tresdiferentes
Los tres diferentes.
Isósceles
Escaleno
SEGÚN SUS LADOS SEGÚN SUS ÁNGULOS
Rectángulo
ÁNGULOS
Un ángulo recto.
Menores de 90º
Uno de los ángulosmayor de 90º
Obtusángulo
El lado mayor =hipotenusa.Dos lados menores =catetos.
Acutángulo
Ángulos agudos
Un ángulo obtuso
PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
A B
C
c
a
B
b
BARICENTRO.
Las medianas son lasrectas que van deel punto medio de unlado hasta el vérticeopuesto.
MEDIANAS.
mc
Se cumple queCB = 2 cB
a=b=ca b
cA B
C
a b
ca=b=c
a=b=ca
b
c
A
B
C
A
ABC < 90º
A > 90º
A A=90º
A B
C
c
b
ORTOCENTROALTURAS
O
hc
hc = ALTURAS
A
C
c
ba
CIRCUNCENTRO
Las mediatrices de suslados.El circuncentro es elcentro de la circunferenciacircunscrita.
MEDIATRICES.
C
mc
A B
C
c
ba
INCENTRO
Bisectrices de losángulos del triángulo.Es el centro de lacircunferenciainscrita.
BISECTRICES.
I
bc
TRIÁNGULO COMPLEMENTAARIO
Resultado de unir los pies de las medianas(baricentro)
OTRAS PROPIEDADES- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º - Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos,pero mayor que su diferencia. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los lados (catetos). - La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 meces su mediana. Recta de Euler: recta que pasa por el baricentro, ortocentro y circun-centro de un triángulo. - Si dividimos la mediana de un triángulo en tres partes iguales, el baricentro estará a 2/3 de esa recta.
En un triángulo el vértice y el ladoopuesto se nombran con la mismaletra, en mayúsculas y minúsculasrespectivamente.
A B
C
c
a b
La altura de un triángulo (h)es la recta perpendicular aun lado hasta elvértice opuesto.
hh
Resultado de unir los pies de las alturas(ortocentro)
TRIÁNGULO ÓRTICO
MN
QTRIÁNGULO PODAR
Resultado de unir los pies de las perpen-diculares desde un punto cualquiera P
P
Las mediatrices ylas alturas se pueden cortarfuera del triángulo,por lo que el circuncentroy el ortocentro puedenestar fuera también.
O
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NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS
2º BACHILLERATO
CUADRILÁTEROS
Cuadrado
LADOS
Igualesparalelos dos a dos
ÁNGULOS
Iguales. Son todos rectos.
DIAGONALES
Iguales. PerpendicularesSe cortan en elpunto medio.
Rectángulo Son Iguales los ladosparalelos.
Iguales. Son todos rectos.
Iguales. No perpendicularesSe cortan en elpunto medio.
Rombo Los cuatro iguales.Paralelos dos a dos.
Iguales los opuestos. No son rectos.
Distintas,perpendiculares yse cortan en unpunto medio.
Romboide Son iguales los ladosparalelos.
Iguales los opuestos. No son rectos.
Distintas,No perpendicularesSe cortan en unpunto medio.
TrapecioIsósceles
Son iguales Los que se apoyanen la misma baseson iguales.
Son iguales. No secortan en el puntomedio.
TrapecioEscaleno
Son distintos Son todos distintosNo son rectos
Son distintos.No se cortan enun punto medio.
TrapecioRectángulo
Son distintosUn lado es perpendi-cular a las bases
Tienen dos ángulos rectos.
Son distintos.No se cortan enun punto medio.
Trapecios
Base Menor
Base Mayor
Lado
Diagonales
Los trapecios tienensiempre dos lados paralelos: son las bases.
Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo
Es el único tipo de trapecios que esinscriptible en unacircunferencia.
LadoTrapezoide
PA
RA
LE
LO
GR
AM
OS
TR
AP
EC
IO
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NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS
2º BACHILLERATO
POLÍGONOS
CLASIFICACIÓN.
DECENAS
kai
UNIDAD
gono
POLÍGONO LADOS POLÍGONO LADOS POLÍGONO LADOS
NOMBRE DE UN POLÍGONO MENOR DE 100 LADOS. Polígono de 22 lados: Icosakaidígono.
triángulo cuadrado pentágono hexágono
heptágono octágono eneágono decágono
triángulo
cuadrado
pentágono
hexágono
heptágono
octágono
eneágono
decágono
Endecágono
Dodecágono
Tridecágono
Tetradecágono
Pentadecágono
Hexadecágono
Heptadecágono
Octadecágono
Eneadecágono
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Triacon tágono
Tetracon tágono
Pen tacon tágono
Hexacon tágono
Hep tacon tágono
O ctacon tágono
Eneacon tágono
Hectágono
Chiliágono
Miriágono
M egágono
20
30
40
50
60
70
80
90
100
.000
10 .000
.000 .0001
1
Triacon t
Icoságono o Isodecágono
20:Icosa-
30:Triaconta-
40:Tetraconta-
50:Pentaconta-
60:Hexaconta-
70:Heptaconta-
80:Octaconta-
90:Eneaconta-
1:hená
2:dí
3:trí
4:tetrá
5:pentá
6:hexá
7:heptá
8:octá
9:eneá
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Curso
NotaTRIÁNGULOS
2º BACHILLERATO
1
Fecha
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Curso
NotaTRIÁNGULOS
2º BACHILLERATO
1.- Dibujar un triángulo ISÓSCELES cuya base es AB= 30 mm. y el ángulo opuesto C = 30º
3.- Construir el triángulo ABC, siendo el ángulo de A = 60º, el ángulo de C = 45º y el lado a = 60 mm.
1
2.- Construir un triángulo con los siguientes datos:lado AB = 40 mm., ángulo C = 45º y altura h = 37 mm.
Fecha
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Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
NotaTRIÁNGULOS
2º BACHILLERATO
A B
C
30º
3.- Construir el triángulo ABC, siendo el ángulo de A = 60º, el ángulo de C = 45º y el lado a = 60 mm.
A´
B´
CA
B
45º60º
a
a
A
BC
Construcción por semejanza Construcción por arco capáz
60º
60º
45º
o
o
1
A
B
C 30º
Por arco capaz.
Por semejanza.
A B
C
h
45º
o
1.- Dibujar un triángulo ISÓSCELES cuya base es AB= 30 mm. y el ángulo opuesto C = 30º
2.- Construir un triángulo con los siguientes datos:lado AB = 40 mm., ángulo C = 45º y altura h = 37 mm.
4.- Hallar el triángulo sabiendo que: el ángulo de B = 60º, el ángulo de C = 75º y la mediana que pasa por el vérticeA mide 4 cm.
6.- Dibuje un triángulo a escala 1:500 sabiendo que dos de sus lados miden 20 y 15 metros respectivamente, yel tercero es media proporcional de dichos lados.
Fecha
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Nombre de Alumno
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Curso
Nota
2º BACHILLERATO
TRIÁNGULOS2
5.- Dibujar el triángulo ABC sabiendo que el lado a mide 55 mm., el ángulo A=45º y la mediana de a (ma)= 6 cm.
60º 75º
B´ C´
A
B C
ma´
ma=
4
b)1metro=1000 mm. 1000:500 =10:5 =2 1metro real = 2 mm dibujoa = 20 metros = 40 mm b =15 metros = 30 mm.
0 1m 2m
Razonamiento de la escala. Dos opciones:
a)1metro=100 cms. 100:500 =1:5
ABC
a
Media proporcional de los lados a y b:
b
c
a
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Nombre de Alumno
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Curso
Nota
2º BACHILLERATO
TRIÁNGULOS2
ccb
= c2
= a bx c = a bx
a
bc
A
B
C
B C
A
45º
45º
ma=
6
a
o
Resultado:
a
bc
A
BC
4.- Hallar el triángulo sabiendo que: el ángulo de B = 60º, el ángulo de C = 75º y la mediana que pasa por el vérticeA mide 4 cm.
5.- Dibujar el triángulo ABC sabiendo que el lado a mide 55 mm., el ángulo A=45º y la mediana de a (ma)= 6 cm.
6.- Dibuje un triángulo a escala 1:500 sabiendo que dos de sus lados miden 20 y 15 metros respectivamente, yel tercero es media proporcional de dichos lados.
7.- Construya un triángulo conocido el valor de dos de sus ángulos: A = 60º y B = 45º El valor del radio de la circunferencia circunscrita r = 30 mm.
Fecha
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Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
Nota
2º BACHILLERATO
TRIÁNGULOS3
8.- Dibuje un triángulo con los siguientes datos: la altura sobre la hipotenusa mide 40 mm. y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa mide 32 mm. Dibuje e indique el ortocentro, baricentro, circuncentro y el incentro.
7.- Construya un triángulo conocido el valor de dos de sus ángulos: A = 60º y B = 45º El valor del radio de la circunferencia circunscrita r = 30 mm.
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
Nota
2º BACHILLERATO
TRIÁNGULOS3
60º B´
C´
A´45º
º
A B
C
Por homotecia: Semejanza
8.- Dibuje un triángulo con los siguientes datos: la altura sobre la hipotenusa mide 40 mm. y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa mide 32 mm. Dibuje e indique el ortocentro, baricentro, circuncentro y el incentro.
B
Cortocentro - alturasincentro - bisectricesbaricentro - medianascircuncentro - mediatrices
A
B
C
A
Primer paso
Segundo paso
h
b
Proyección de b:32 mm
M
Segmento AB dividido en:AM = proyección de b y MB diferenciaentre AB y AM.Arco capaz de 90º del segmento AB
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Nombre de Alumno
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Curso
NotaPROBLEMAS DE TRIÁNGULOS
Departamento deDibujo
2º BACH
B H C
1.- Dibuje el triángulo rectángulo ABC, siendo A el vértice del ángulo recto, conociéndose la hipotenusa BC y el punto H por el que la bisectriz del ángulo recto corta al lado BC.
Ejercicio Selectividad UA, junio 2010.
Fecha
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Nombre de Alumno
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Curso
NotaPROBLEMAS DE TRIÁNGULOS
Departamento deDibujo
2º BACH
B H C
1.- Dibuje el triángulo rectángulo ABC, siendo A el vértice del ángulo recto, conociéndose la hipotenusa BC y el punto H por el que la bisectriz del ángulo recto corta al lado BC.
Ejercicio Selectividad UA, junio 2010.
45º
ARCO CAPAZ DE 90º ARCO CAPAZ DE 45º
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Nombre de Alumno
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Curso
NotaPROBLEMAS DE TRIÁNGULOS
Departamento deDibujo
2º BACH
Fecha
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Nombre de Alumno
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Curso
NotaPROBLEMAS DE TRIÁNGULOS
Departamento deDibujo
2º BACH
a
b c
B60º
a
b+c
60º
C
mediatriz
AB
A´B´
CB
A
a=50 mm
bc
30º
hc 40 mm
hc 40 mm
A
MN perímetro 150
M NC/2
C/2
B/2
B/2
B C
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Nombre de Alumno
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Nota
2º BACHILLERATO
TRIÁNGULOS
Fecha
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Curso
Nota
2º BACHILLERATO
TRIÁNGULOS
A
A
haha
ma
ma
aB C
a+cB
b a
b-c
a
h
b
CB
60º
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Nota
2º BACHILLERATO
CUADRILÁTEROS
Fecha
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Nombre de Alumno
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Curso
Nota
2º BACHILLERATO
CUADRILÁTEROS
bl=20
A
B
C
D
A
B
C
D
bl
A
B
C
D
B
A D
C
l1
l2
h
B
A D
CBase m
Base M
d h
Base m
Base M
Fecha
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Nombre de Alumno
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Curso
Nota
2º BACHILLERATO
CUADRILÁTEROS
Dibuja un trapecio dados los cuatro lados: Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm. L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.
ATENCIÓN: Este ejercicio ha cambiado con respecto al original, al estar repetido en la siguiente y faltar el ejercicioahora mostrado.
Construir un trapecio conocida la base mayor, la altura y las dos diagonales
base mayor = 70 mm altura = 50 mm
diagonal 1 = 80 mm diagonal 2 = 60 mm
Construir un trapezoide conocidos tres lados y dos ángulos.
Lado 1 = 70 mm Lado 2 = 40 mm Lado 3 = 50 mm
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
Nota
2º BACHILLERATO
CUADRILÁTEROS
Dibuja un trapecio dados los cuatro lados: Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm. L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.
Base mayor
Base menor
AB
D C
MBase menor
Base mayor - Base menor
L2L1 L2
ATENCIÓN: Este ejercicio ha cambiado con respecto al original, al estar repetido en la siguiente y faltar el ejercicioahora mostrado.
Construir un trapecio conocida la base mayor, la altura y las dos diagonales
base mayor = 70 mm altura = 50 mm
diagonal 1 = 80 mm diagonal 2 = 60 mm
diagonal 2
diagonal 1
base mayor = 70 mm
altura
A
B C
D
Construir un trapezoide conocidos tres lados y dos ángulos.
Lado 1 = 70 mm Lado 2 = 40 mm Lado 3 = 50 mm
Lado 1
Lado 2 Lado 3
AD
C
B
b´
A
Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD.
b
d
d´
C CD
DB
B
A B
Dado el centro O de una circunferencia y una cuerda AB de la misma,represente el trapecio isósceles inscrito en la circunferencia, siendo subase mayor la cuerda AB, y sabiendo que las diagonales forman con ellaun ángulo de 45º. Deduzca razonadamente el valor de los ángulos queforman las diagonales con la base menor.
O
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
Nota
2º BACHILLERATO
CUADRILÁTEROS
b´
A
Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD.
b
d
d´
C CD
DB
B
A B
Dado el centro O de una circunferencia y una cuerda AB de la misma,represente el trapecio isósceles inscrito en la circunferencia, siendo subase mayor la cuerda AB, y sabiendo que las diagonales forman con ellaun ángulo de 45º. Deduzca razonadamente el valor de los ángulos queforman las diagonales con la base menor.
O
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
Nota
2º BACHILLERATO
CUADRILÁTEROS
A B
b´b
d
d´d
d
d´
b´
A
Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD.
b
d
d´
C CD
DB
B
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
Nota
2º BACHILLERATO
CUADRILÁTEROS
A B
b´b
d
d´d
d
d´
Con el teorema de las paralelas existen multitud de ejercicios resueltos. Para ver cuadriláteros, en concreto trapecios,vamos a estudias dos ejercicios en concreto: Trapecio cuando nos dan los cuatro lados y trapecio cuando nos danlas dos bases y las dos diagonales.
a
s
P X
R Z
Q Y
t
b
c
Teorema: Si tres o más paralelas intersectan en segmentos congruentes a una recta secante, entonces cortan a cualquier otra recta secante en segmentos congruentes.
Si dos o más rectas paralelas son cortadas por dos o másrectas también paralelas, los segmentos resultantes serániguales.
Base m
AB
DC
M NBase m
Base m
AB
DC
Base m
Dibuja un trapecio dados los cuatro lados:Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm.L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.
Base mayor
Base menor
AB
D C
MBase menor
Base mayor - Base menor
L2L1 L2
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
Nota
2º BACHILLERATO
CUADRILÁTEROS
Construye un trapecio isósceles dedatos: Base mayor = 45 mm.base menor = 30 mm y altura h = 25 mm.
Construye un trapecio rectángulo de Base mayor AB = 40 mm, base menor DC= 30 mm y altura = 25 mm.
Dibujar un trapecio rectángulo dados loscuatro lados:Base mayor = 75 mmBase menor = 25 mmlado 1= 24 mmlado 2 = 29 mm
Dibuja un trapecio dados los cuatro lados:Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm.L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.
Dibuja un trapezoide de lados:L1 AB = 50 mm, L2 AD = 48 mm, L3 BC = 38 mm, L4 CD = 45 mm y una diagonal d1BD = 37 mm
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
Nota
2º BACHILLERATO
CUADRILÁTEROS2
Construye un trapecio isósceles dedatos: Base mayor = 45 mm.base menor = 30 mm y altura h = 25 mm.
B
CD
A
h
Construye un trapecio rectángulo de Base mayor AB = 40 mm, base menor DC= 30 mm y altura = 25 mm.
h
90º
Dibujar un trapecio dados los cuatro lados:Base mayor = 75 mmBase menor = 25 mmlado 1= 24 mmlado 2 = 29 mm
Base menor
Base menor
Base mayor
A B
D C
M N
MN = CD AM = AB - CD Realizar un triángulocon los dos lados l1 y l2 = AD y BC
A B
D C
Dibuja un trapecio dados los cuatro lados:Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm.L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.
Base mayor
Base menor
Dibuja un trapezoide de lados:L1 AB = 50 mm, L2 AD = 48 mm, L3 BC = 38 mm, L4 CD = 45 mm y una diagonal d1BD = 37 mm
A
B
C
D
Tomando la diagonal BD como basese realizan los triángulos BAD y BCDcon las medidas de los respectivoslados.
d1
Base mayor
Base menor
AB
DC
M
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
NotaCUADRILATEROS
2º BACHILLERATO
1.- Dibuja un paralelogramo romboide conociendo sus diagonales y el ángulo que las forman.d1 = 64 mm.d2 = 27 mm.ángulo = 135º.
1
2.- Trazar un paralelogramo del que se conocensus diagonales AC = 68 mm. y BD = 50 mm.y el ángulo de A = 45º
3.- Dibuja un rombo de lado 40 mm, y la suma de sus diagonales 100 mm.
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
NotaCUADRILATEROS
2º BACHILLERATO
1.- Dibuja un paralelogramo romboide conociendo sus diagonales y el ángulo que las forman.d1 = 64 mm.d2 = 27 mm.ángulo = 135º.
135º
1
d1/2
d2/2
135º
B
C
D
Ad1
d2
2.- Trazar un paralelogramo del que se conocensus diagonales AC = 68 mm. y BD = 50 mm.y el ángulo de A = 45º
d1
d2
A
B
C
D
45º
º
3.- Dibuja un rombo de lado 40 mm, y la suma de sus diagonales 100 mm.
B
A C
D
Lado 40 mm.
M
MC = 100 mmmediatriz de MCbisectrices de los 4 ángulosLado 40 mm de C hasta quecorte a las bisectrices.
Fecha
Nº de lámina
Nombre de Alumno
Título de lámina
Curso
NotaPOLÍGONOS.
Departamento deArtes Plásticas