TEMA 4. TANGENCIAS.
Los OBJETIVOS generales que se pretende logren los alumnos al acabar el tema son:
Conocer las propiedades en las que se fundan los trazados de las tangencias, así como resolver y construir adecuadamente los problemas básicos de tangencias, valorando el método de razonamiento y su acabado y presentación. Cuestiones básicas son: saber poner y señalar correctamente los puntos de tangencias y los centros de las circunferencias tangentes, así como realizar correctamente los enlaces y las uniones.
CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS.
1º BACHILLERATO
TangenciasMetodologíaPropiedadesTangencia entre rectas y circunferenciasTangencia entre circunferenciasNociones y aplicación de la potencia y eje radical.Casos especiales y aplicaciones en el dibujo técnico.EnlacesPropiedadesConstrucción de enlaces.
2º BACHILLERATO
sPropiedades de las tangencias.sEnlaces, planteamiento y aplicación.sTrazado de circunferencias sin conocer el radio.sEstudio sistemático de tangencias: circunferencias que pasan o son tangentes a...sTres puntos.sDos puntos y una recta.sDos rectas y un punto.sTres rectas.sDos puntos y una circunferencia.sUn punto, una recta y una circunferencia.sDos rectas y una circunferencia.sUna recta y dos circunferencias.sUn punto y dos circunferencias.sTres circunferencias.
TANGENCIAS
Nombre alumno Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS:
1. Si dos circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia se encuentra en la recta que une los centros. (figura 1)
T
O1O2
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
Cuando queramos dibujar una circunferencia que sea tangente a otra circunferencia y que además pase por un punto de tangencia de esta última,lo que tenemos que hacer es unir el centro de la circunferencia con el puntode tangencia y prolongar.En esta recta estarán todos los centros de las circunferencias (infinitas) que son tangentes a la primera.
T
O1
2. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto detangencia es perpendicular a la tangente.
Cuando queramos hallar una circunferencia que sea tangente a una recta porun punto de tangencia de ésta lo primero que tenemos que hacer es levantar una perpendicular por este punto a la recta.
T
O1
r90º
T
t t
3. Recordemos que una mediatriz es la recta de todos los puntos que equidistande otros dos (extremos de un segmento). Por lo tanto el centro de cualquier circunferencia que pase por dos punto está en la mediatriz del segmento que lo forman.
figura 1
figura 5
figura 2
figura 3
figura 3
figura 4
figura 4
T
O1
O2
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES
Se pueden hacer exteriores o interiores.
T
P
Mediatriz PT
figura 5
figura 2
4. El centro de cualquier circunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo que lo forman.
T
O1
r
t
figura 6
figura 6
T
P
O1
Aplicación de los principios anteriores en un caso de tangencias:
T
P
O1
Primer paso
Segundo paso
Mediatriz PT
- Circunferencia tangente a una circunferencia que pase por un punto T detangencia de ésta y pon un punto P exterior. figura 7
figura 7
1. Se aplica la propiedad 1: se une el centro O1 con el punto de tangencia T2. Se une P con T y se halla la mediatriz de PT. Donde corte la mediatrizcon la primera recta estará el centro de la circunferencia buscada.
ENLACES: Es la unión de varias curvas tangentes entre sí o bien curvas conrectas, creando un enlace continuo o curva continua.
O1 O2
O3
O1
r
T T
O1O2 = r1+r2O1O2 = r1-r2
Posiciones relativas de recta y circunferencia.
O1r
t
Exteriores
T
O1
rt
Tangentes
O1r
t
Secantes
A
B
figura 7
Posiciones relativas de dos circunferencias.
O1
O2
Exteriores
r1
r2O1r1
O2r2
Secantes
O1r1
O2r2
Interiores
r1O
r2
Interiores
Posición relativa rectas y circunferencias.
Nombre alumno
TANGENCIAS
Fecha
Nombre láminaN. lámina
Curso:
Nota:
TANGENCIAS: Dos o más figuras geométricas son tangentes cuando únicamente tienen UN PUNTO EN COMÚN.Los casos que nosotros vamos a estudiar son entre circunferencias o entre circunferencias y rectas.La construcción de tangencias sirve, básicamente, para diseñar objetos, figuras o planos donde intervengan curvasrealizadas con compás.
joyas
instrumental
arquitectura
muebles
Poleas
juguetes
juegos
grifos
encadenados
objetos industriales
ganchos
1.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES EXTERIORES a la dada y entre ellas.
3.- Dibujar las circunferencias de r = 12 mm., TANGENTES a la dada y que pase por el PUNTO P.
P O1
4.- Circunferencias tangentes a otra de r = 18 mm. dada,que pase por un punto P exterior y por un punto de tangencia T.
T
5.- Hallar las circunferencias tangentesCOMUNES EXTERIORES de r= 12 mm., a las circunferencias dadas O1 y O2.
O1
P
O1
O1
6.- Hallar las circunferencias tangentesCOMUNES INTERIORES de r= 35 mm.,a las circunferencias dadas O1 y O2.
Nombre alumno
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
Fecha
Nombre láminaN. lámina
Curso:
Nota:
O1
O1
R = 23 mm
2.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES INTERIORES a la dada y entre ellas.
R = 32 mm
R = 18 mm
El radio de la circunferencia que se busca se sabrá cuando se acabe el ejercicio.
O1= 10 mm O2 = 15 mm O1-O2 = 40 mm
O2
O1= 10 mm
O1-O2 = 30 mm
O2 = 15 mm
O2
1.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES EXTERIORES a la dada y entre ellas.
3.- Dibujar las circunferencias de r = 12 mm., TANGENTES a la dada y que pase por el PUNTO P.
P O1
4.- Circunferencias tangentes a otra de r = 18 mm. dada,que pase por un punto P exterior y por un punto de tangencia T.
T
5.- Hallar las circunferencias tangentesCOMUNES EXTERIORES de r= 12 mm., a las circunferencias dadas O1 y O2.
O1
P
O1
O1
6.- Hallar las circunferencias tangentesCOMUNES INTERIORES de r= 35 mm.,a las circunferencias dadas O1 y O2.
Nombre alumno
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
Fecha
Nombre láminaN. lámina
Curso:
Nota:
T1
T2
O1
O2
O3
T1
T2
O1
O2
O3
R = 23 mm
R = 10 mm
2.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES INTERIORES a la dada y entre ellas.
R = 32 mm
R = 10 mm
R = 18 mm
T1
T2
O2
O3
El radio de la circunferencia que se busca se sabrá cuando se acabe el ejercicio.
O1= 10 mm O2 = 15 mm O1-O2 = 40 mm
O3
O2
O4
O1= 10 mm
O1-O2 = 30 mm
O2 = 15 mm
O2
O3
O4
1.-Dibuja la recta r tangente a la circunferencia O1 por el punto dado de tangencia (T).
2.- Dibuja la circunferencia de radio 13 mm. quesea tangente a la recta dada y que pase por elpunto T dado.
3.- Dibuja las rectas tangentes a la circunferencia 01dada y que pasen por P
P O1
4.- Dibuja la circunferencia de radio 15 mm. que sea tangente a las rectas que se cortan dadas.
5.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES EXTERIORES a las dos circunferencias dadas..
O1
O1
O2
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Nombre alumno
T
O1
T
6.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNESINTERIORES a las dos circunferencias dadas..
Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
O2
O1= 14 mm O2 = 23 mm O1= 10 mm O2 = 22 mm
1.-Dibuja la recta r tangente a la circunferencia O1 por el punto dado de tangencia (T).
2.- Dibuja la circunferencia de radio 13 mm. quesea tangente a la recta dada y que pase por elpunto T dado.
3.- Dibuja las rectas tangentes a la circunferencia 01dada y que pasen por P
P O1
4.- Dibuja la circunferencia de radio 15 mm. que sea tangente a las rectas que se cortan dadas.
5.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES EXTERIORES a las dos circunferencias dadas..
O1
O1
O2
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Nombre alumno
T
O1
T
6.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNESINTERIORES a las dos circunferencias dadas..
Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
O1
O1
15 mm
15 mm
O2
T1
T2
T3
T4T1
T2T3
T4
O1= 14 mm O2 = 23 mm O1= 10 mm O2 = 22 mm
1.-Dibujar una circunferencia tangente a la recta r y quepase por el punto P. (Circunferencia que pasa por 2puntos)
TANGENCIAS III
Nombre alumno
T
Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
P
2.- Circunferencias tangentes a una recta r dada, quepasan por un punto P y que tiene de radio 20 mm.
P
4.- Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectasr y s dado el punto de tangencia T en una de ellas.
T
3.- Hallar las circunferencias tangentes a una recta ry que pasan por dos puntos dados A y B. (aplicación deeje radical)
A
B
r
5.- Dibujar las circunferencias tangentes a O1 por elpunto de tangencia dado T y a la recta r.
6.- Representar las circunferencias de radio 20 mm.tangentes comunes a la circunferencia y a la recta dadas.
r r
r
t
T
r
o
r
o
1.-Dibujar una circunferencia tangente a la recta r y quepase por el punto P. (Circunferencia que pasa por 2puntos)
Nombre alumno
T
Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
P
2.- Circunferencias tangentes a una recta r dada, quepasan por un punto P y que tiene de radio 20 mm.
P
4.- Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectasr y s dado el punto de tangencia T en una de ellas.
T
T2
T1
3.- Hallar las circunferencias tangentes a una recta ry que pasan por dos puntos dados A y B. (aplicación deeje radical)
A
B
T
Tr
5.- Dibujar las circunferencias tangentes a O1 por elpunto de tangencia dado T y a la recta r.
r r
r
t
T
r
6.- Representar las circunferencias de radio 20 mm.tangentes comunes a la circunferencia y a la recta dadas.
r= 20
h=
20
o1 o2o1
o1
o2
o1
o2
o1
o2
o
oo1 o2
Habrían dos resultados más al otro extremo de la circunferencia O
r
TANGENCIAS III
1.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, dadossus respectivos radios.
Nombre alumno Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
TANGENCIAS IV
r1
r2
r3
2.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, conocidos sus centros respectivos.
o1
o2
o3
3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentesinteriores a los lados de los ángulos de los vértices delpentágono.
3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentesinteriores a los lados de los ángulos de los vértices delpentágono.
5.- Dadas las tres rectas r, s y t que se cortan entre sí,trazar una circunferencia tangente común a las tres.
6.- Dibuja la circunferencia que es tangente a la recta r,pasa por el punto P que está en la recta t y además tiene el centro en t.
P
r
t
o3
r
t
s
1.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, dadossus respectivos radios.
Nombre alumno Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
o1
TANGENCIAS IV
o2
o3
r1
r2
r3
r2
r1r1
r3r3
r2T
T
T
2.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, conocidos sus centros respectivos.
o1
o2
o3T
T
T
3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentesinteriores a los lados de los ángulos de los vértices delpentágono.
o´
o
3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentesinteriores a los lados de los ángulos de los vértices delpentágono.
o´
5.- Dadas las tres rectas r, s y t que se cortan entre sí,trazar una circunferencia tangente común a las tres.
o
T
T
T
6.- Dibuja la circunferencia que es tangente a la recta r,pasa por el punto P que está en la recta t y además tiene el centro en t.
P
o
T
r
t
o3
r
t
s
1.- Dibujar la circunferencia tangente a dos circunferencias O1 y O2, dado el punto de tangencia de una de ellas.
Nombre alumno Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
O1
O2
T
TANGENCIAS V
2.- Dadas las rectas r y t y el punto P, dibujar las circunferencias tangentes a las rectas r y t y que pasen por P.
P
r
s
1.- Dibujar la circunferencia tangente a dos circunferencias O1 y O2, dado el punto de tangencia de una de ellas.
Nombre alumno Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
TANGENCIAS V
O1
O2
O3
O4
O5
O6
T
T
T
2.- Dadas las rectas r y t y el punto P, dibujar las circunferencias tangentes a las rectas r y t y que pasen por P.
P
r
s
P
O1
T1T2
O2O3
T3
T4
1.- Dibuja la circunferencia tangente exterior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.
Nombre alumno Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
TANGENCIAS VI
O1
T
1.- Dibuja la circunferencia tangente interior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.
O1
Tr
r
N
M
O
1.- Dibuja las circunferencias tangentes a la circunferencia dada O y que pase por los puntos M y N
1.- Dibuja la circunferencia tangente exterior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.
Nombre alumno Fecha
Nombre láminaN. lámina Nota:
Curso:
TANGENCIAS VI
O1
T
R
R
T
1.- Dibuja la circunferencia tangente interior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.
O1
T
R
r
r
RT
N
M
P
Q
K
O
A
B
m
O1
O2
1.- Dibuja las circunferencias tangentes a la circunferencia dada O y que pase por los puntos M y N