DISEÑO DE COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO
Dimensionado de Columnas
Para analizar el diseño estructural de columnas se requieren los valores de cargas en losas
y vigas. Valores que ya se obtuvieron en cálculos anteriores. Todas las estimaciones
iniciales en cuanto a geometría de secciones estarán sujetas a modificaciones posteriores
a medida que se van teniendo más precisiones en los factores que influyen en la resistencia
y funcionamiento del elemento.
Para el dimensionado de las columnas se pueden usar los criterios establecidos en los
Ejemplos de Aplicación del CIRSOC 201-05, en el cual se establecen expresiones
simplificadas para resistencias usuales de hormigones y aceros con tensiones fy=420MPa
obtenidas fijando previamente algunos parámetros que influyen en el cálculo. De esta
manera se puede estimar una sección bruta de hormigón en la columna en función de un
valor de carga mayorada que provenga de las vigas que se apoyen sobre dicha columna.
Se hacen las siguientes consideraciones:
- Para el dimensionado se considera a las columnas como simples cortas, es decir sin
considerar posibles efectos de esbeltez, que luego deberán evaluarse y someterse a las
correcciones pertinentes.
- Se establece una cuantía geométrica, relación entre la sección de armadura total y la
sección bruta de hormigón Ast/Ag, de 0.02. Que según lo señalado en los ejemplos de
aplicación del reglamento CIRSOC 201/05, conduce a columnas de dimensiones
razonables, fáciles de armar y hormigonar.
- El acero de las armaduras es ADN 420, o sea tensión de fluencia fy=420MPa. La sección
bruta del hormigón es Ag = b×h, donde b y h son los lados de la sección transversal.
Inicialmente adoptamos columnas de sección rectangular 30x50cm para la planta baja. Al
analizar una columna de esquina adoptamos para todas 35x35cm.
Ahora a partir del esquema estructural propuesto se procede a clasificar las columnas
según su tipología, en columnas de Esquina (Momentos en dos direcciones -Flexión
Oblicua-), de Borde (Momento en una dirección –Flexión Simple-) e Interna (Sin
momentos). De las cuales evaluaremos una de cada tipo.
A su vez debemos calcular las rigideces de cada una de ellas en cada plano de análisis
para determinar si la columna es corta o esbelta.
Para el cálculo de las esbelteces tendremos las siguientes consideraciones:
1. Cálculo de los momentos en las vigas
Considerando empotrados en el extremo debido a la forma que se encuentran vinculadas
con la columna:
Designación U(KN/m) L(m) b(m) h(m) A(m2) I(m4) Map(KNm)
V001 9.65 5.00 0.20 0.30 0.0600 0.00045 20.10
V002 35.04 3.00 0.20 0.30 0.0600 0.00045 26.28
V003 17.21 5.00 0.20 0.40 0.0800 0.00107 35.85
V004 42.6 3.00 0.20 0.40 0.0800 0.00107 31.95
V005 7.3 3.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 5.48
V006 9.29 3.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 6.97
V007 9.29 3.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 6.97
V008 12.66 2.50 0.20 0.20 0.0400 0.00013 6.59
V009 12.66 2.50 0.20 0.20 0.0400 0.00013 6.59
V010 26.8 5.00 0.20 0.35 0.0700 0.00071 55.83
V011 29.04 5.50 0.20 0.35 0.0700 0.00071 73.21
V012 4.88 3.00 0.20 0.35 0.0700 0.00071 3.66
V013 10.21 3.75 0.20 0.25 0.0500 0.00026 11.96
V014 10.21 3.75 0.20 0.25 0.0500 0.00026 11.96
V015 11.76 2.00 0.20 0.35 0.0700 0.00071 3.92
V016 23.63 5.50 0.20 0.35 0.0700 0.00071 59.57
Teniendo en cuenta el cerramiento perimetral con mampostería, se requieren vigas de
encadenado estructural en las bases.
2. Cálculo de momentos en cabeza y pie de columnas
Una vez calculados los momentos sobre las vigas (M 2 ) provenientes de las cargas, estos
deben distribuirse a las columnas para mantener el equilibrio del nudo, por lo tanto esta
distribución se hace mediante:
Momento transferido a la columna Este valor de momento M3 es el valor de momento
que debe distribuirse entre las columnas concurrentes al nudo, y esta distribución se hace
mediante
c: coeficiente de distribución de momentos, que tiene en cuenta la rigideces de las vigas
y columnas que concurren al nudo analizado.
Desig L(m) b(m) h(m) A(m2) I(m4) U(KN/m) Map
Ve001 5.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 19.31
Ve002 3.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 6.95
Ve003 5.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 19.31
Ve004 3.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 6.95
Ve005 3.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 6.95
Ve006 3.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 6.95
Ve007 3.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 6.95
Ve008 2.50 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 4.83
Ve009 2.50 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 4.83
Ve010 5.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 19.31
Ve011 5.50 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 23.37
Ve012 3.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 6.95
Ve013 3.75 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 10.86
Ve014 3.75 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 10.86
Ve015 2.00 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 3.09
Ve016 5.50 0.20 0.20 0.0400 0.00013 9.27 23.37
Este coeficiente de distribución se calcula mediante las siguientes formulas:
3. Calculo de la esbeltez de las columnas
Dónde:
λ: grado de esbeltez de la columna
k: factor de longitud efectiva
l: longitud de pandeo
le: longitud efectiva
r: radio de giro de la sección
A: área de la sección
I: momento de inercia de la sección
La longitud efectiva es función de la rigidez relativa ψ en cada extremo del elemento
comprimido, además de si el pórtico es desplazable o indesplazable:
Ψ: se calcula en cada extremo de la columna y la sumatorias se extienden sobre los
elementos que concurren a ese extremo que actúan en el plano en el que se analiza el
pandeo.
lv: es la longitud de cada una de las vigas que concurren al nudo tomadas entre ejes de
apoyo.
En estructuras construidas con una única calidad de hormigón los módulos de elasticidad
E se simplifican y desaparecen
La rigidez EI debe calcularse con base a E=4700*f ´c, y respecto al momento de inercia
I; para tener en cuenta la fisuración; el reglamento indica que, en forma simplificada, se
utilicen las siguientes propiedades:
I vigas → 0,35 Ig
I columnas → 0,70 Ig
(Ig es el momento de inercia de la sección bruta de hormigón)
Entonces, introduciendo la simplificación anterior y suponiendo un único hormigón, la
ecuación anterior se reduce a la siguiente:
4. Cálculo de la esbeltez limite
En el caso que no se verifique esto se debe considerar los efectos de segundo orden. El
método que se utiliza es el de amplificación de momentos.
De acuerdo a los requerimientos de la catedra se han evaluado tres tipos de columnas: de
borde, de esquina e interna.
Desig Tipo Eje Columnas H(m) He(m) Bx(m) By(m) A(m2) I(m4) Vigas L(m) I(m4) Nudo Cs Ci Mv MT Ms Mi ψs ψi ψmin K1 K2 K λlim λ Efecto 2° orden
C101 3.0 0.20 0.25 0.05 0.000260 V013 3.75 0.00026 S 1.3 0.9 12.0 8.1 3.29 -4.82
C001 4.4 4.2 0.20 0.25 0.05 0.000260 Ve013 3.75 0.00013 I 1.7 12.2 10.9 10.1 8.92 -1.22
CF001 0.6 0.20 0.25 0.05 0.000260
C101 3.0 0.20 0.25 0.05 0.000167 V007 3.00 0.00013 S 1.3 0.9 7.0 4.7 1.91 -2.81
C001 4.4 4.2 0.20 0.25 0.05 0.000167 Ve007 3.00 0.00013 I 0.9 6.3 7.0 6.1 5.36 -0.73
CF001 0.6 0.20 0.25 0.05 0.000167
C102 3.0 0.25 0.25 0.06 0.000326 V013 3.75 0.00026
C002 4.4 4.2 0.25 0.25 0.06 0.000326 V014 3.75 0.00026
CF002 0.6 0.25 0.25 0.06 0.000326 Ve013 3.75 0.00013
Ve014 3.75 0.00013
C102 3.0 0.25 0.25 0.06 0.000326
C002 4.4 4.2 0.25 0.25 0.06 0.000326
CF002 0.6 0.25 0.25 0.06 0.000326
C107 3.0 0.25 0.25 0.06 0.000326 V016 5.50 0.00071 S 0.8 0.6 59.6 34.8 14.11 -20.69
C007 4.4 4.2 0.25 0.25 0.06 0.000326 Ve016 5.50 0.00013 I 3.1 22.4 23.4 22.5 19.79 -2.70
CF007 0.6 0.25 0.25 0.06 0.000326
C107 3.0 0.25 0.25 0.06 0.000326 V005 3.00 0.00013
C007 4.4 4.2 0.25 0.25 0.06 0.000326 V006 3.00 0.00013
CF007 0.6 0.25 0.25 0.06 0.000326 Ve005 3.00 0.00013
Ve006 3.00 0.00013
58.2 SI CONSIDERAR8.2 2.5 1.3 1.00 34.0
4.2
4.2 14.2 4.2
1.00
1.00
2.3 1.1
1.6 1.1
C001
X
Y
4.2 27.7
E
SI CONSIDERAR
SI CONSIDERAR
38.4 58.2
38.6 72.7
X 2.8 50.9
C002 I
X 2.6 17.3
C007 B
Y 8.2 27.7
1.7
SI CONSIDERAR2.8 3.4 1.0 0.99 36.3 57.6
57.1 SI CONSIDERAR
Y - 0.7 0.9 0.70 34.0 40.7 SI CONSIDERAR
1.0 0.98 34.0 2.6
Disposiciones generales para todos los tipos de columnas
Columnas Cuadradas
Armadura mínima: Ast > 0,01 x Ag = 0,01 x 400cm2 = 4cm2
Armadura máxima: Ast < 0,08 x Ag = 0,08 x 400 cm2= 32cm2
Aparte del cálculo de armadura mínima, se establece como mínimo 4 db12mm.
Estribos mínimos: Se especifica que todas las barras estén restringidas con una
rama de estribo, a menos que este ubicada a una distancia ≤ 15dbe de otra
arriostrada. La separación entre estribos debe ser:
Donde:
db: diámetro de la barra longitudinal.
dbe: diámetro del estribo.
b: lado menor de la columna.
Diseño por resistencia a flexo-compresión de columnas cortas
En las columnas cortas la resistencia depende solo de la resistencia de los
materiales y de la geometría de la sección transversal. Los efectos de segundo
orden pueden ser despreciados.
Compresión axial
La deformación ultima a compresión del hormigón es εcu = 0,003, para la cual el
acero, en general, está en periodo de fluencia, ya que 0,002 . 200000 =420Mpa.
Entonces para la deformación ultima de 0,003, igual para ambos materiales, la
resistencia nominal es:
Luego la resistencia nominal debe afectarse por el coeficiente de minoración de
resistencia:
Donde:
Pu: es el esfuerzo normal ultimo obtenido de las cargas mayoradas.
f = 0,65 para columnas con estribos.
f = 0,60 para columnas zunchadas.
El código CIRSOC 201 establece una limitación adicional en la resistencia de
columnas, para tener en cuenta excentricidades accidentales de las cargas no
tratadas en el análisis. Se especifica:
FLEXO-COMPRESIÓN RECTA
En edificios es frecuente encontrar elementos cargados axialmente cargados axialmente
acompañados de flexión recta u oblicua, debido al aporticamiento de vigas con columnas
(construcción monolítica) para resistir acciones verticales gravitacionales y horizontales.
La condición de resistencia en este caso es:
El factor de reducción de resistencia dependerá de la deformación de la armadura más
traccionada (o menos comprimida) εs4
Como ayuda para el diseño se utilizan los diagramas de interacción que se encuentran al
final de los Ejemplos de Aplicación del reglamento CIRSOC 201/05.
DISEÑO A FLEXO-COMPRESION OBLICUA
El método de la carga inversa consiste en determinar un valor de resistencia nominal a la
flexo compresión oblicua (carga con excentricidades en “x” e “y”) para una sección dada,
mediante la determinación de resistencias nominales de flexo-compresión recta en torno
a cada eje de flexión por separado, combinadas con compresión pura, para dicha sección.
Esto permite hacer el estudio de la resistencia cuando se tiene flexión oblicua mediante
los procedimientos para flexión recta, que son más simples.
La expresión de Bresler es:
Pn= valor aproximado de la resistencia nominal con excentricidades ex y ey.
Pnxo= resistencia nominal cuando solo se tiene excentricidad ey, o sea con ex=0. Es decir,
que se supone una flexo-compresión recta en torno al eje “x”. Este valor se obtiene con
ayuda de diagramas de interacción para flexión recta.
Po= resistencia nominal para carga centrada, o sea compresión pura. Se obtiene con la
expresión básica para resistencia a compresión:
Donde
Ag= área de la sección bruta de hormigón.
Ast= área de acero de las armaduras.
El procedimiento consiste en determinar los valores de resistencia para luego comparar
el valor de resistencia Pn con el valor de la carga exterior solicitante. El diseño será
confiable cuando se cumpla la condición básica de diseño por resistencia:
Dónde: Pn = valor aproximado de resistencia nominal para carga con excentricidades ex y
ey, obtenido
de la expresión de Bresler.
Pu = carga ultima.
El método de la carga inversa no es un método usado para hacer el dimensionamiento
de la sección, sino es más bien un método aproximado de verificación de capacidades
de columnas sometidas a flexo-compresión oblicua. Esto significa que las
dimensiones de la sección y las cantidades de armadura deben determinarse previamente mediante algún método, para luego verificar la resistencia nominal
mediante la fórmula de Bresler.
En las siguientes tablas se presentan los valores de la carga última que existen sobre la columna de planta baja debido a los nueve pisos altos que se tiene encima de la
misma y el techo.
h(m) 3
φ 0.65 h(m) 4.4 N°Pisos 9
Designacion Dirección bx (m) hy (m)Designacion
vigas
Reacciones
de vigas(KN)
Reacciones de
vigas
total(KN)
Reacciones
de
techo(KN)
PPS(KN) Usup(KN) PPi(KN) Uinf(KN) Uns(KN) Uni(KN)
X 0.2 0.25 V013 14.4
Y 0.2 0.25 V007 13.9
0.25 0.25 V013 23.9
0.25 0.25 V014 23.9
X 0.25 0.25 V016 52.6
V005 14.1
V006 17
C007
C001
430.2C002
254.7
0.25 0.25
X
Y
6.6
8.25
8.25
486.21
809.31
306.15 481.15
494.46 760.70
1257.78
471.00
748.01
1245.09817.56
312.75
Columnas PS:
Columnas PB:
41.01
41.01
15
15
15753.3
36.45
Dadas las condiciones de esbeltez (condición más desfavorable de los planos de pandeo)
de todas las columnas se procede a dimensionar a través del método de los momentos
amplificados.
Diseño por resistencia a flexo-compresión de columnas esbeltas
Ahora se analiza la esbeltez de las columnas del primer piso. En el estudio del
comportamiento de elementos esbeltos hay que considerar que la resistencia a compresión
Pn no sólo depende de los materiales, geometría, excentricidades de aplicación de la carga
ex, ey, sino también de los efectos de segundo orden que pueden conducir a un problema
de inestabilidad del equilibrio.
Para considerar la esbeltez de los elementos comprimidos, se considera el método de los
MOMENTOS AMPLIFICADO.
Efectos de segundo orden a través de amplificación de momentos:
Si se verifica que:
El CIRSOC 201-2005 permite la consideración simplificada de efectos de segundo orden
utilizando en el dimensionamiento el siguiente momento flector:
𝑀𝑐 = 𝛿𝑛𝑠 ∙ 𝑀2
Siendo:
𝑀2: mayor momento entre los dos extremos del plano analizado.
𝛿𝑛𝑠 =𝐶𝑚
[1 −𝑃𝑢𝜑 ∙ 𝑃𝑐
]≥ 1
φ =0.75: factor de reducción de rigidez.
Pc: carga crítica de Euler.
Cm: factor de corrección del momento.
Expresión de la carga critica de Euler:
𝑃𝑐 =𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
(𝑘 ∙ 𝑙)2
Considerando la no linealidad en la relación tensión-deformación del hormigón, y la
fluencia lenta, los estudios analíticos y experimentales indican que la rigidez EI se puede
obtener con:
𝐸 ∙ 𝐼 =0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔
1 + 𝛽𝑑
P (KN) M (KNm) P (KN) M (KNm)
X 4.2 0.2 0.25 0.05 0.000260 3.29 -1.22 58.20 1.00
Y 4.2 0.2 0.25 0.05 0.000167 1.91 -0.73 72.75 1.00
X 4.2 0.25 0.25 0.0625 0.000326 57.11 0.98
Y 4.2 0.25 0.25 0.0625 0.000326 0.70
X 4.2 0.25 0.25 0.0625 0.000326 14.11 -2.70 57.64 0.99
Y 4.2 0.25 0.25 0.0625 0.000326 58.20 1.00
Seccion (m²)By (m)Bx (m)
312.75
494.46
Superior InferiorInercia (m
4)
817.56
K
C007
E
I
B
Direccion
306.15
486.21
809.31
Longitud
(m)TipoColumnas Esbeltez
C001
C002
Dónde:
Ec, Es: módulos de elasticidad del hormigón y del acero.
Ig: momento de inercia baricéntrico de la sección bruta de hormigón.
Ise: momento de inercia de la armadura con respecto al eje baricéntrico de la sección
transversal del elemento.
βd: factor que tiene en cuenta la fluencia lenta, y es la relación entre la máxima carga
axial mayorada que actúa en forma permanente y la máxima carga axial mayorada
asociada a la misma combinación de cargas. Al no haber diferenciado las cargas
permanentes de las sobrecargas en los cálculos adoptamos βd=0.5
Si sobre el elemento analizado no actúan cargas transversales se tendrá:
𝐶𝑚 = 0.6 + 0.4𝑀1𝑀2
≥ 0.4
Si los momentos mayorados en los extremos (M1, M2) son muy pequeños o nulos, el
diseño de columnas esbeltas se debe realizar en función a una excentricidad mínima,
resultando:
𝑀𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 ∗(15𝑚𝑚 + 0.03 ∙ ℎ)
1000𝑚𝑚 𝑚⁄=
h: altura de la sección en el plano del pandeo. [mm]
Amplificación de momentos en elementos sometidos a flexión compuesta oblicua:
En estos casos, la amplificación de momentos se hace en forma independiente para cada
una de las direcciones. Luego se dimensiona la sección a flexión compuesta oblicua
actuando ambos momentos amplificados simultáneamente.
Disposición de armaduras
Armadura longitudinal mínima según el CIRSOC 201-205
Cuando se utilicen estribos cuadrados o rectangulares el número mínimo de barras
longitudinales será de cuatro.
Estribos
Para ello se especifica que todas las barras estén restringidas con una rama de estribo, a
menos que esté ubicada a una distancia ≤ 15dbe de otra arriostrada.
Los diámetros mínimos de los estribos se obtienen a partir del diámetro de las armaduras
longitudinales.
Si la barra longitudinal es menor o igual a 16 mm, los estribos mínimos serán de 6mm, si
16mm < db < 25mm entonces dbe = 8mm, si 25mm < db < 32mm entonces dbe = 10mm,
y para barras superiores a 32 mm, los estribos mínimos serán de 12 mm. Por otra parte,
la separación “s” entre estribos debe ser menor o igual a las siguientes condiciones:
Columna 001
Eje x-x
𝑀𝑥−𝑚𝑖𝑛 = 306.15𝐾𝑁 ∗(15𝑚𝑚 + 0.03 ∙ 250𝑚𝑚)
1000𝑚𝑚 𝑚⁄= 6.89𝐾𝑁𝑚
𝐶𝑚 = 0.6 + 0.4𝑀1𝑀2
≥ 0.4 => 𝐶𝑚 = 0.6 + 0.41.22𝐾𝑁𝑚
3.29𝐾𝑁𝑚= 0.75
𝐸 ∙ 𝐼 =0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔
1 + 𝛽𝑑=0.4 ∙ 23500𝑀𝑃𝑎 ∙ 0.0002604𝑚4
1 + 0.5= 1.63𝑀𝑁𝑚²
𝑃𝑐 =𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
(𝑘 ∙ 𝑙)2=𝜋2 ∙ 2.04𝐾𝑁
(4.2𝑚)2= 0.91𝑀𝑁
𝛿𝑛𝑠 =𝐶𝑚
[1 −𝑃𝑢𝜑 ∙ 𝑃𝑐
]≥ 1 => 𝛿𝑛𝑠 =
1
[1 −0.30615𝑀𝑁0.75 ∙ 0.91𝑀𝑁
]= 1.81
𝑀𝑐 = 𝛿𝑛𝑠 ∙ 𝑀2 = 1.81 ∙ 𝑀𝑚𝑖𝑛 = 1.81 ∙ 6.89𝐾𝑁𝑚 = 12.47𝐾𝑁𝑚
P (KN) M (KNm) P (KN) M (KNm)
X 4.2 0.2 0.25 0.05 0.0002604 3.287045 -1.21594 58.197 1
Y 4.2 0.2 0.25 0.05 0.0001667 1.914148 -0.73133 72.746 1C001 E
Esbeltez K
306.15 312.75
By (m) Seccion (m²) Inercia (m4)
Superior InferiorColumnas Tipo Direccion
Longitud
(m)Bx (m)
Calculo de armadura.
d=18cm
h=25cm
b=20cm
𝛾 =𝑑
ℎ=
18𝑐𝑚
25𝑐𝑚= 0.72
𝑃𝑢 = 306.15𝐾𝑁 𝑀𝑢 = 12.47𝐾𝑁𝑚
𝛾 = 0.70 𝑃𝑢𝑏 ∙ ℎ
=0.30615𝑀𝑁
0.20𝑚 ∙ 0.25𝑚= 6.12
𝑀𝑢𝑏 ∙ ℎ2
=0.01247𝑀𝑁𝑚
0.20𝑚 ∙ (0.25𝑚)2= 0.99
}
𝜌𝑔 < 0.01
𝛾 = 0.80 𝑃𝑢𝑏 ∙ ℎ
=0.30615𝑀𝑁
0.20𝑚 ∙ 0.25𝑚= 6.12
𝑀𝑢𝑏 ∙ ℎ2
=0.01247𝑀𝑁𝑚
0.20𝑚 ∙ (0.25𝑚)2= 0.99
}
𝜌𝑔 < 0.01
𝜌𝑔 < 0.01
Eje y-y
𝑀𝑥−𝑚𝑖𝑛 = 306.15𝐾𝑁 ∗(15𝑚𝑚 + 0.03 ∙ 200𝑚𝑚)
1000𝑚𝑚 𝑚⁄= 6.43𝐾𝑁𝑚
𝐶𝑚 = 0.6 + 0.4𝑀1𝑀2
≥ 0.4 => 𝐶𝑚 = 0.6 + 0.40.73𝐾𝑁𝑚
1.91𝐾𝑁𝑚= 0.75
𝐸 ∙ 𝐼 =0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔
1 + 𝛽𝑑=0.4 ∙ 23500𝑀𝑃𝑎 ∙ 0.0001667𝑚4
1 + 0.5= 1.04𝑀𝑁𝑚²
b
h
Cc
d'
d
d'
dh
b
Cc
𝑃𝑐 =𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
(𝑘 ∙ 𝑙)2=𝜋2 ∙ 1.04𝐾𝑁
(4.2𝑚)2= 0.58𝑀𝑁
𝛿𝑛𝑠 =𝐶𝑚
[1 −𝑃𝑢𝜑 ∙ 𝑃𝑐
]≥ 1 => 𝛿𝑛𝑠 =
1
[1 −0.30615𝑀𝑁0.75 ∙ 0.58𝑀𝑁
]= 3.38
𝑀𝑐 = 𝛿𝑛𝑠 ∙ 𝑀2 = 3.38 ∙ 𝑀𝑚𝑖𝑛 = 3.38 ∙ 6.43𝐾𝑁𝑚 = 21.73𝐾𝑁𝑚
Calculo de armadura.
d=13cm
h=20cm
b=25cm
𝛾 =𝑑
ℎ=
13𝑐𝑚
20𝑐𝑚= 0.65
𝑃𝑢 = 306.15𝐾𝑁 𝑀𝑢 = 21.73𝐾𝑁𝑚
𝛾 = 0.60 𝑃𝑢𝑏 ∙ ℎ
=0.30615𝑀𝑁
0.25𝑚 ∙ 0.20𝑚= 6.12
𝑀𝑢𝑏 ∙ ℎ2
=0.02173𝑀𝑁𝑚
0.25𝑚 ∙ (0.20𝑚)2= 2.17
}
𝜌𝑔 = 0.011
𝛾 = 0.70 𝑃𝑢𝑏 ∙ ℎ
=0.30615𝑀𝑁
0.25𝑚 ∙ 0.20𝑚= 6.12
𝑀𝑢𝑏 ∙ ℎ2
=0.02173𝑀𝑁𝑚
0.25𝑚 ∙ (0.20𝑚)2= 2.17
}
𝜌𝑔 < 0.01 ≅ 0.008
𝜌𝑔 < 0.01
Como en las dos direcciones la cuantía necesaria es menor a la cuantía propuesta
inicialmente del 2%, procedemos a dimensionar las armaduras con el porcentaje
propuesto.
𝐴𝑠 = 𝜌𝑔 ∗ 𝐴𝑔 = 0.02 ∙ 0.05𝑚2 ∙10000𝑐𝑚2
1𝑚2= 10𝑐𝑚²
Teniendo en cuenta que la cuantía fue obtenida de las tablas de interacción parte II de los
ejemplos del reglamento CISRSOC 201/05, y que estas están diseñadas para armaduras
iguales en sus cuatro lados, adoptamos la siguiente disposición de las armaduras.
𝟖∅𝟏𝟔 (𝟏𝟔. 𝟎𝟖𝒄𝒎𝟐)
𝒅𝒃𝒆 = 𝟔𝒎𝒎 Con una separación de 𝒔 =19cm
Columna 002
𝑀𝑥−𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 ∗(15𝑚𝑚 + 0.03 ∙ ℎ)
1000𝑚𝑚 𝑚⁄=
𝑀𝑥−𝑚𝑖𝑛 = 486.21𝐾𝑁 ∗(15𝑚𝑚 + 0.03 ∙ 250𝑚𝑚)
1000𝑚𝑚 𝑚⁄= 10.94𝐾𝑁𝑚
𝐶𝑚 = 0.6 + 0.4𝑀1𝑀2
≥ 0.4 => 𝐶𝑚 = 1
𝐸 ∙ 𝐼 =0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔
1 + 𝛽𝑑=0.4 ∙ 23500𝑀𝑃𝑎 ∙ 0.0003255𝑚4
1 + 0.5= 2.04𝑀𝑁𝑚²
𝑃𝑐 =𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
(𝑘 ∙ 𝑙)2=𝜋2 ∙ 2.04𝑀𝑁𝑚²
(0.98 ∙ 4.2𝑚)2= 1.19𝑀𝑁
𝛿𝑛𝑠 =𝐶𝑚
[1 −𝑃𝑢𝜑 ∙ 𝑃𝑐
]≥ 1 => 𝛿𝑛𝑠 =
1
[1 −0.48621𝑀𝑁0.75 ∙ 1.19𝑀𝑁
]= 2.19
𝑀𝑐 = 𝛿𝑛𝑠 ∙ 𝑀2 = 2.19 ∙ 𝑀𝑚𝑖𝑛 = 2.19 ∙ 10.94𝐾𝑁𝑚 = 23.95𝐾𝑁𝑚
P (KN) M (KNm) P (KN) M (KNm)
X 4.2 0.25 0.25 0.0625 0.0003255 0 0 57.114 0.98
Y 4.2 0.25 0.25 0.0625 0.0003255 0 0 0 0.7
Superior InferiorEsbeltez K
C002 I 486.21 494.46
Longitud
(m)Bx (m) By (m) Seccion (m²) Inercia (m
4)Columnas Tipo Direccion
d'
dh
b
Cc
Calculo de armadura.
d=18cm
h=25cm
b=25cm
𝛾 =𝑑
ℎ=
18𝑐𝑚
25𝑐𝑚= 0.72
𝑃𝑢 = 486.21𝐾𝑁 𝑀𝑢 = 23.95𝐾𝑁𝑚
𝛾 = 0.70 𝑃𝑢𝑏 ∙ ℎ
=0.48621𝑀𝑁
0.25𝑚 ∙ 0.25𝑚= 7.78
𝑀𝑢𝑏 ∙ ℎ2
=0.02395𝑀𝑁𝑚
0.25𝑚 ∙ (0.25𝑚)2= 1.53
}
𝜌𝑔 < 0.01
𝛾 = 0.80 𝑃𝑢𝑏 ∙ ℎ
=0.48621𝑀𝑁
0.25𝑚 ∙ 0.25𝑚= 7.78
𝑀𝑢𝑏 ∙ ℎ2
=0.02395𝑀𝑁𝑚
0.25𝑚 ∙ (0.25𝑚)2= 1.53
}
𝜌𝑔 < 0.01
𝜌𝑔 < 0.01
Como la cuantía necesaria es menor a la cuantía propuesta inicialmente del 2%,
procedemos a dimensionar las armaduras con el porcentaje propuesto.
𝐴𝑠 = 𝜌𝑔 ∗ 𝐴𝑔 = 0.02 ∙ 0.0625𝑚2 ∙10000𝑐𝑚2
1𝑚2= 12.5𝑐𝑚²
Teniendo en cuenta que la cuantía fue obtenida de las tablas de interacción parte II de los
ejemplos del reglamento CISRSOC 201/05, y que estas están diseñadas para armaduras
iguales en sus cuatro lados, adoptamos la siguiente disposición de las armaduras.
𝟖∅𝟏𝟔 (𝟏𝟔. 𝟎𝟖𝒄𝒎𝟐)
𝒅𝒃𝒆 = 𝟔𝒎𝒎 Con una separación de 𝒔 =19cm
Columna 003
Eje x-x
𝑀𝑥−𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑢 ∗(15𝑚𝑚 + 0.03 ∙ ℎ)
1000𝑚𝑚 𝑚⁄=
𝑀𝑥−𝑚𝑖𝑛 = 809.31𝐾𝑁 ∗(15𝑚𝑚 + 0.03 ∙ 250𝑚𝑚)
1000𝑚𝑚 𝑚⁄= 18.21𝐾𝑁𝑚
𝐶𝑚 = 0.6 + 0.4𝑀1𝑀2
≥ 0.4 => 𝐶𝑚 = 0.6 + 0.42.70𝐾𝑁𝑚
14.11𝐾𝑁𝑚= 0.68
𝐸 ∙ 𝐼 =0.4 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑔
1 + 𝛽𝑑=0.4 ∙ 23500𝑀𝑃𝑎 ∙ 0.0003255𝑚4
1 + 0.5= 2.04𝑀𝑁𝑚²
𝑃𝑐 =𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
(𝑘 ∙ 𝑙)2=𝜋2 ∙ 2.04𝑀𝑁𝑚²
(0.99 ∙ 4.2𝑚)2= 1.16𝑀𝑁
𝛿𝑛𝑠 =𝐶𝑚
[1 −𝑃𝑢𝜑 ∙ 𝑃𝑐
]≥ 1 => 𝛿𝑛𝑠 =
0.68
[1 −0.80931𝑀𝑁0.75 ∙ 1.16𝑀𝑁
]= 9.75
Como el valor de amplificación de momento es muy grande, adoptamos un valor menos
conservador pero que genere una amplificación en el momento que nos permita tener una
cierta seguridad frente a posibles aleatoriedades en la construcción y en las cargas.
𝑀𝑐 = 𝛿𝑛𝑠 ∙ 𝑀2 = 2 ∙ 𝑀𝑚𝑖𝑛 = 2 ∙ 18.21𝐾𝑁𝑚 = 36.42𝐾𝑁𝑚
Calculo de armadura.
d=18cm
h=25cm
b=25cm
𝛾 =𝑑
ℎ=
18𝑐𝑚
25𝑐𝑚= 0.72
P (KN) M (KNm) P (KN) M (KNm)
X 4.2 0.25 0.25 0.0625 0.0003255 14.10602 -2.69808 57.642 0.99
Y 4.2 0.25 0.25 0.0625 0.0003255 0 0 58.197 1
Esbeltez K
C007 B 809.31 817.56
By (m) Seccion (m²) Inercia (m4)
Superior InferiorColumnas Tipo Direccion
Longitud
(m)Bx (m)
b
h
Cc
d'
d
𝑃𝑢 = 809.31𝐾𝑁 𝑀𝑢 = 36.42𝐾𝑁𝑚
𝛾 = 0.70 𝑃𝑢𝑏 ∙ ℎ
=0.80931𝑀𝑁
0.25𝑚 ∙ 0.25𝑚= 12.94
𝑀𝑢𝑏 ∙ ℎ2
=0.03642𝑀𝑁𝑚
0.25𝑚 ∙ (0.25𝑚)2= 2.33
}
𝜌𝑔 = 0.027
𝛾 = 0.80 𝑃𝑢𝑏 ∙ ℎ
=0.80931𝑀𝑁
0.25𝑚 ∙ 0.25𝑚= 12.94
𝑀𝑢𝑏 ∙ ℎ2
=0.03642𝑀𝑁𝑚
0.25𝑚 ∙ (0.25𝑚)2= 2.33
}
𝜌𝑔 = 0.024
𝜌𝑔 =(0.024 − 0.027)
0.8 − 0.7∙ (0.72 − 0.7) + 0.027 = 0.0264
Como la cuantía necesaria es menor al 4% (para prever empalmes), procedemos a
dimensionar las armaduras con el porcentaje obtenido.
𝐴𝑠 = 𝜌𝑔 ∗ 𝐴𝑔 = 0.0264 ∙ 0.0625𝑚2 ∙10000𝑐𝑚2
1𝑚2= 16.5𝑐𝑚²
Teniendo en cuenta que la cuantía fue obtenida de las tablas de interacción parte II de los
ejemplos del reglamento CISRSOC 201/05, y que estas están diseñadas para armaduras
iguales en sus cuatro lados, adoptamos la siguiente disposición de las armaduras.
𝟖∅𝟐𝟎 (𝟐𝟓. 𝟏𝟑𝒄𝒎𝟐)
𝒅𝒃𝒆 = 𝟖𝒎𝒎 Con una separación de 𝒔 =20cm
Detalle de armado de las armaduras
Columna 001 Columna 002 Columna 007
18
13
13
18
5
5
25
8,2
16,4
5,7
20
8 db 16mm
1 db 6mm c/19cm
18
18
18
18
5
5
25
8,2
16,4
8,2
25
18
18
18
18
5
5
25
8
16
8
25
8 db 16mm
1 db 6mm c/19cm
8 db 20mm
1 db 8mm c/20cm