Date post: | 06-Jan-2015 |
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DISEDISEÑO DE EXPERIMENTOSÑO DE EXPERIMENTOS
Ing. Felipe Llaugel
Diseños con bloques aleatorizados
Ing. Felipe Llaugel
En muchos problemas de experimentos, es necesario hacer un diseño de tal manera que la variabilidad proveniente de fuentes conocidas pueda ser sistemáticamente controlada. El diseño con bloques completos aleatorizados pretende reducir el efecto de la variabilidad proveniente de causas propias del experimento pero independiente del efecto que se desea estudiar.
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
Para los fines del análisis de varianza el bloqueo introduce un efecto adicional ficticio, cuyo objetivo es separar del error experimental, alguna fuente de variabilidad conocida.
Ing. Felipe Llaugel
Se desea saber si el tipo de la herramienta de medida tiene efecto en las lecturas de dureza de cierto material. La prueba de dureza consiste en someter a cierta presión la herramienta sobre la muestra de metal y medir la profundidad del orificio producido en la muestra. No se sabe como la muestra de material podría afectar la medida registrada, pero se sabe que las muestras no necesariamente provienen de un material homogéneo. Para aislar el efecto del material sobre la medida, se somete la misma muestra a la prueba de dureza con todos los instrumentos y se analizan los resultados. Los resultados podemos verlos en la siguiente tabla:
Ejemplo:
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
RESULTADOS DE PRUEBAS DE DUREZAPARA CUATRO MUESTRAS
(Escala Rockwell)
Material de pruebaHerramienta a b c d
1 9.3 9.4 9.6 10.02 9.4 9.3 9.8 9.93 9.2 9.4 9.5 9.74 9.7 9.6 10.0 10.2
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
TABLA ANOVA
Fuente deVariación
Suma deCuadrados
Grados deLibertad
Cuadradosmedios
F0
Tratamientoi
i
a y yb N
. ..
2
1
2
a - 1 TratamientoSSa 1
Tratamiento
E
MSMS
Bloque. ..j
j
b y ya N
2
1
2
b - 1 BloqueSSb 1
ErrorESS (Por
diferencia)(a - 1)(b -
1)ESS
a b( )( ) 1 1
Totalij
j
b
i
a
yyN
2
11
2
..
N - 1
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
Para simplificar restemos 9.5 de cada una de las observaciones y multipliquemos por 10 para formar la tabla siguiente:
RESULTADOS DE PRUEBAS DE DUREZAPARA CUATRO MUESTRAS
(Escala Rockwell)
Material de PruebaHerramienta a b c d i
y.
1 -2 -1 1 5 32 -1 -2 3 4 43 -3 -1 0 2 -24 2 1 5 7 15
.jy -4 -3 9 18 ..
y20
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
Cálculo de resultados
TratamientoSS
2 2 2 2 2
3 4 2 15 204 16
38 50.
BloqueSS
2 2 2 2 2
4 3 9 18 204 16
82 50.
TSS 15416
129 002
20 .
E T tratamiento bloqueSS SS SS SS 129 00 38 50 82 50 8. . .
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
TABLA ANOVA
Fuente deVariación
Suma deCuadrados
Grados deLibertad
CuadradosMedios F0
Tratamiento 38.50 3 12.83 14.44Bloque 82.50 3 27.50Error 8.00 9 0.89Total 129.00 15
Buscando en la tabla F para un nivel de significación de 5% y 3 y 9 grados de libertad, tenemos que F 0.05,3,9 = 3.86, dado que 14.44 > 3.86, concluimos en que el tipo de herramienta si afecta la lectura de la dureza del material.
Ejercicio 4.1 con MINITAB (1 de 7)Ejercicio 4.1 con MINITAB (1 de 7)
Ejercicio 4.1 con MINITAB (2 de 7)Ejercicio 4.1 con MINITAB (2 de 7)
Ejercicio 4.1 con MINITAB (3 de 7)Ejercicio 4.1 con MINITAB (3 de 7)
Ejercicio 4.1 con MINITAB (4 de 7)Ejercicio 4.1 con MINITAB (4 de 7)
Ejercicio 4.1 con MINITAB (5 de 7)Ejercicio 4.1 con MINITAB (5 de 7)
Ejercicio 4.1 con MINITAB (6 de 7)Ejercicio 4.1 con MINITAB (6 de 7)
Ejercicio 4.1 con MINITAB (7 de 7)Ejercicio 4.1 con MINITAB (7 de 7)
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
Utilizar un diseño aleatorio con bloques completos para determinar si el compuesto químico afecta la resistencia a la tensión de piezas de tela.
EJERCICIO
Piezas de RopaCompuesto A B C D E
1 73 68 74 71 672 73 67 75 72 703 75 68 78 73 684 73 71 75 75 69
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑOS CUADRADOS LATINOS
Estos tipos de diseño son una ampliación de los diseños con bloques completos aleatorizados, en los que se trata de aislar los efectos de dos fuentes de variabilidad de los efectos atribuibles a los tratamientos. Estos diseños pueden modelarse usando tablas de ANOVA en los cuales hay tres fuentes de variación diferenciadas.
Ing. Felipe Llaugel
Se esta preparando un explosivo con cinco diferentes formulaciones y se desea saber si el poder del mismo esta afectado por la constitución de la formulacion. Se forma el explosivo a partir de cinco lotes de materias primas, y la mezcla es preparada por cinco diferentes operarios. Se diseño un experimento para medir el efecto de la formulacion en el poder explosivo de la mezcla, y se quiere separar las variaciones atribuibles a los operadores y al lote de materia prima. En la siguiente tabla vemos las diferentes corridas y los resultados de las pruebas del poder explosivo de las mezclas, según el diseño experimental seleccionado.
DISEÑOS CUADRADOS LATINOS
EJEMPLO
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑOS CUADRADOS LATINOS
Diseño cuadrado latino para la formulacion explosiva
OperadorLote 1 2 3 4 5
1 A=24 B=20 C=19 D=24 E=242 B=17 C=24 D=30 E=27 A=363 C=18 D=38 E=26 A=27 B=214 D=26 E=31 A=26 B=23 C=225 E=22 A=30 B=20 C=29 D=31
Las letras A,B,C,D, y E, representan las cinco formulaciones a ser evaluadas. En estos diseños se debe probar cada formulacion en cada bloque solo una vez. Debe haber el mismo numero de ocurrencias en cada bloque, de ahí viene el nombre de diseños cuadrados. El adjetivo “latino” proviene de las letras usadas para los niveles del factor a estudiar.
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑOS CUADRADOS LATINOS
TABLA ANOVA PARA DISEÑOS CUADRADOS LATINOS
Fuente deVariación
Suma deCuadrados
Grados deLibertad
CuadradoMedio F0
Tratamientos tratamientoSS p - 1 tratamientoSSp1
tratamiento
e
MSMS
Filas filaSS p - 1 filaSSp1
Columnas columnaSS p - 1 columnaSSp1
Error eSS (p -2)(p -1) eSSp p( )( ) 1 2
Total tSS p2 - 1
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑOS CUADRADOS LATINOS
Donde:
tratamiento
j
j
p
SSy yp N
. . ...
2
1
2
filai
i
p
SSy yp N
.. ...
2
1
2
columnak
k
p
SSy yp N
.. ...
2
1
2
t ijkk
p
j
p
i
p
SS yyN
2
11
2
1
...
p = Numero de filas o columnas N = Numero total de observaciones I = índice para la fila (lotes) j = índice para el tratamiento (formulacion) k = índice para la columna (operador)
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑOS CUADRADOS LATINOS
Codificando los datos para simplificar las operaciones, restando 25 de cada observación, tenemos la siguiente tabla:
Diseño cuadrado latino para la formulacion explosivaTabla codificada
OperadorLote 1 2 3 4 5 yi..
1 A=-1 B=-5 C=-6 D=-1 E=-1 -142 B=-8 C=-1 D=5 E=2 A=11 93 C=-7 D=13 E=1 A=2 B=-4 54 D=1 E=6 A=1 B=-2 C=-3 35 E=-3 A=5 B=-5 C=4 D=6 7
y..k -18 18 -4 5 9 y...=10
Los totales para los tratamientos son:
A y.1. = 18B y.2. = -24C y.3. = -13D y.4. = 24E y.5. = 5
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑOS CUADRADOS LATINOS
Las ecuaciones de estos resultados son:
tSS 68025
676 0
2
10( ).
loteSS
2 2 2 2 2 214 9 5 3 7 10
5 2568 0
( ).
operadorSS
2 2 2 2 2 218 18 4 5 9 10
5 25150 0
( ) ( ).
tratamientoSS
2 2 2 2 2 218 24 13 24 5 10
5 25330 0
( ) ( ) ( ).
e t lote operario tratamientoSS SS SS SS SS 676 0 68 0 150 0 330 0 128 0. . . . .
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑOS CUADRADOS LATINOS
TABLA ANOVA PARA DISEÑOS CUADRADOS LATINOS
Fuente deVariación
Suma deCuadrados
Grados deLibertad
CuadradoMedio
F0
Formulacion 330.0 4 82.5 7.73Lotes 68.0 4 17.0
Operarios 150.0 4 37.5Error 128.0 12 10.67Total 676.0 24
Buscando en la tabla del estadístico F para = 0.05 y 4 y 12 grados de libertad, tenemos que F 0.05,4,12 = 3.26, lo que indica que las formulaciones difieren ya que se rechaza la hipótesis nula de que sean iguales porque F0 > F0.05,4,12.
Ing. Felipe Llaugel
Se dice que el diseño es balanceado, cuando la combinación de tratamientos en cada bloque es igual, es decir, cada par de tratamientos ocurre junto el mismo numero de veces en cada bloque.
Se dice que el diseño es balanceado, cuando la combinación de tratamientos en cada bloque es igual, es decir, cada par de tratamientos ocurre junto el mismo numero de veces en cada bloque.
DISEÑO CON BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS
En ciertos experimentos con frecuencia no es posible probar todas las combinaciones de los tratamientos para cada bloque. Situaciones como esta suelen ocurrir debido a falta de material para pruebas o el tamaño físico del bloque. En casos como estos recurrimos al uso de diseños con bloques incompletos.
En ciertos experimentos con frecuencia no es posible probar todas las combinaciones de los tratamientos para cada bloque. Situaciones como esta suelen ocurrir debido a falta de material para pruebas o el tamaño físico del bloque. En casos como estos recurrimos al uso de diseños con bloques incompletos.
Ejercicio 4.2 con MINITAB (1 de 3)Ejercicio 4.2 con MINITAB (1 de 3)
Ejercicio 4.2 con MINITAB (2 de 3)Ejercicio 4.2 con MINITAB (2 de 3)
Ejercicio 4.2 con MINITAB (3 de 3)Ejercicio 4.2 con MINITAB (3 de 3)
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO CON BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS
RESULTADOS DE EXPERIMENTO DE CATALÍTICO
LOTE DE MATERIA PRIMACatalítico 1 2 3 4 yi.
1 73 74 - 71 2182 - 75 67 72 2143 73 75 68 - 2164 75 - 72 75 222y.j 221 224 207 218 870= y...
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO CON BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS
TABLA ANOVA PARA DISEÑOSDE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS
Fuente deVariación
Suma deCuadrados
Grados deLibertad
Cuadradosmedios
F0
Tratamientos(ajustados)
k
aiQ
2
a - 1 tratamiento ajustadoSSa
(
1tratamiento ajustado
e
MSMS
(
Bloque. ..jy yk N
2 2
b - 1 BloqueSS
b 1
Error eSS N -a - b + 1eSS
N a b 1Total
ijyyN
2
2
..
N - 1
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO CON BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS
Donde:
T ijji
SS yyN
2
2
..
T tratamiento ajustado bloque ESS SS SS SS ( )
bloque
j
j
b
SSy yk N
. ..
2
1
2
tratamiento ajustado
ii
a
SSQk
a( )
2
1
i i ij jj
b
Q y n yk
. .
1
1i=1,2,...,a
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO CON BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS
Sustituyendo en las fórmulas tenemos:
TSS 63 15612
8100
2
870, .
( )
bloqueSS
2 2 2 2 2
221 207 224 218 8703 12
55 00.
1218 1
3 221 224 218 9 3Q ( ) /2
214 13 207 224 218 7 3Q ( ) /
3216 1
3 221 207 224 4 3Q ( ) / 4222 1
3 221 207 218 20 3Q ( ) /
tratamiento ajustadoSS ( )
( / ) ( / ) ( / ) ( / )( )( )
.
3
2 422 75
2 2 2 2
9 3 7 3 4 3 20 3
SSE = 81.00 - 22.75 - 55.00 = 3.25
Ing. Felipe Llaugel
DISEÑO CON BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS
Sustituyendo en la tabla ANOVA tenemos:
Fuente deVariación
Suma deCuadrados
Grados deLibertad
Cuadradomedio
F0
Tratamiento (ajustado)
22.75 3 7.58 11.66
Bloque 55.00 3 -Error 3.25 5 0.65Total 81.00 11
Del análisis de varianza mostrado en la tabla anterior, vemos que para un nivel de significación de 0.05, F 0.05,3.5 = 5.41, lo que indica que hay diferencia notable entre los catalíticos.
Ejercicio 4.3 con MINITAB (1 de 2)Ejercicio 4.3 con MINITAB (1 de 2)
Ejercicio 4.3 con MINITAB (2 de 2)Ejercicio 4.3 con MINITAB (2 de 2)