DISTRIBUCIÓN NORMAL /PRUEBA NORMALIDAD/ TRANSF. DATOS P. Reyes / Sept. 2007
DISTRIBUCIÓN NORMAL, PRUEBA DE NORMALIDAD Y TRANSFORMACIÓN
DE DATOS
DR. PRIMITIVO REYES AGUILAR
Septiembre 2007
Mail. [email protected] /Cel. 044 55 52 17 49 12
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CONTENIDO
1. Distribución normal
2. Estandarización de valores
3. Prueba de normalidad
4. Transformación de datos
5. Ajuste de datos con otras distribuciones de probabilidad
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LA DISTRIBUCIÓN NORMAL, PRUEBA DENORMALIDAD, TRANSFORMACIÓN Y AJUSTE DE DATOS
1. DISTRIBUCIÓN NORMALUn proceso opera en condiciones normales, si tiene los materiales dentro de de
especificaciones y del mismo lote, un método consistente, un medio ambiente
adecuado, el operador capacitado, y el equipo ajustado correctamente, si se
toman mediciones en alguna característica del producto, mostrará el siguiente
comportamiento:
LAS PIEZAS VARÍAN DE UNA A OTRA:
Pero ellas forman un patrón, tal que si es estable, se denomina distr. Normal
LAS DISTRIBUCIONES PUEDEN DIFERIR EN:SIZE TAMAÑO TAMAÑO
TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO
TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO
UBICACIÓN DISPERSIÓN FORMA
. . . O TODA COMBINACIÓN DE ÉSTAS
Distribución gráfica de la variación – La Curva normal
Fig. 1 Construcción de la distribución normal
La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes.
Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de
la ciencia, la industria y el comercio.
Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya
forma es muy parecida a la distribución normal. La distribución normal es
llamada también campana de Gauss por su forma acampanada.
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Cuando se incluyen todos los datos de un proceso o población, sus parámetros
se indican con letras griegas, tales como: promedio o media = (mu), y
desviación estándar (indicador de la dispersión de los datos) = (sigma).
Para el caso de estadísticos de una muestra se tiene media = X y desv. est.= s.
Propiedades de la distribución normal estándar
La distribución normal estándar tiene media = 0 y desviación estándar
=1. La media, Mediana y Moda coinciden, son iguales y se localizan en el
pico.
Fig. 2 Propiedades de la distribución normal
El área bajo la curva o probabilidad de menos infinito a más infinito vale 1.
La distribución normal es simétrica, la mitad de curva tiene un área de 0.5.
La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.
La forma y la posición de una distribución normal dependen de los
parámetros , por lo que hay un número infinito de distribuciones
normales.
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z0 1 2 3-1-2-3
z0 1 2 3-1-2-3 0 1 2 3-1-2-3
x x+ x+2 x+3x-x-2x-3 x x+ x+2 x+3x-x-2x-3XX
La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal
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Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes
Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes
3.9 = 5.0
3.9 = 5.0
Límite inferior de especs. Límite superior de especificaciones
Fig. 3 Distribuciones normales con varias desv. estándar
Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes
Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes
= 5, = 3 = 9, = 6 = 14, = 10
= 5, = 3 = 9, = 6 = 14, = 10
LIE LSE
Fig. 4 Distribuciones normales con varias medias y desviaciones estándar
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Existe una relación del porcentaje de probabilidad o área bajo la curva normal
a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo
la curva para tiene un porcentaje de 68.26%, = 95.46% y
.
Fig. 5 Área bajo la curva de Distribución normal
Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal o con Excel
(Fx =distr.norm.estand(Z) proporciona el área desde menos infinito hasta Z).
En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.
La primera tabla sirve para determinar el área o probabilidad que se encuentra
fuera de los límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores
de área bajo la curva para Z’s mayores a cero. En cada una se muestran
ejemplos de su uso.
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Ejemplo 1a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1.P(Z<= -1) = 0.1587
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2.P(Z<= - 2) = 0.0228c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1259
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Ejemplo 2a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1.P(Z <= 1) = 0.8413
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2.P(Z <= 2) = 0.9772 8c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369
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EJERCICIO 1:¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar o probabilidad está
incluido dentro de los siguientes rangos?
a) P(1.2 <= Z <= 2.2) = P(Z <= 2.2) – P(Z <= 1.2) =
b) P(-2.1 <= Z <= -0.4) = P(Z <= - 0.4) – P(Z <= -2.1) =
c) P( -1.3 <= Z <= 2.7) = P(Z <= 2.7) – P(Z <= -1.3) =
d) P( Z >= 2.4) = P(Z <= -2.4) =
e) P( Z<=-2.9) + P(Z>= 3.1) = P(Z <= -2.9) + P(Z <= -3.1) =
f) P(Z>= 1.9) = P(Z <= -1.9) =
2. Estandarización de valores realesEn la práctica, se tienen valores reales de promedio diferentes de cero y con
desviación estándar diferentes de uno, para determinar la probabilidad o área
bajo la curva, se determina el número de desviaciones estándar Z entre algún
valor X y la media de la población o de la muestra X como sigue:
sí se consideran los datos completos del proceso.
sí se consideran sólo los datos de una muestra.
Ejemplo 3 El departamento de personal de una empresa requiere que los
solicitantes a un puesto en cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si
las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media 485 y
desviación estándar 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la
prueba?
Calculando el valor de Z obtenemos:
=
Buscamos el valor correspondiente Z en las tablas de distribución normal
estándar o por medio de Excel =distr.norm.estand(0.5). Z0.5 = 0.69146 =
69.146%. donde la probabilidad de que la calificación sea menor a 500 es P (X
<= 500). Dado que el porcentaje pedido es la solución es 1-0.69146
=0.3085, por tanto sólo 30.85% de los participantes pasarán la prueba.
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Otra forma es tomando la Z como negativa con P(Z <= -0.5) = 0.3085.
Fig. 6 Área bajo la curva de Distribución normal
Ejemplo 1.4 Suponga que un proceso tiene una distribución normal dada tiene
una media de 20 y una desviación estándar de 4. Calcule la probabilidad
P (X >=24) = 1 – P(X <= 24) =
En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones
fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK. El sistema muestra la siguiente
ventana, en la cual llenamos los siguientes datos:
Fig. 7 Cálculo del área bajo la curva normal sin requerir Z
El resultado de la fórmula = 0.8413. , dado que esta es la probabilidad P(X
24), la probabilidad buscada es: P(X > 24) = 1 - 0.8413= 0.1587
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485
Z.05
30.85%
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EJERCICIO 2:
Un producto tiene un peso promedio de 75 Kgs. con una desviación estándar
de 10Kgs.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese más de 85Kgs.?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese menos de 55Kgs.?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 60 y 80 Kgs.?.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 55 y 70 Kgs.?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 85 y 100Kgs.?
3. PRUEBA DE NORMALIDADPara probar normalidad de datos, se pueden utilizar los métodos de Anderson
Darling o Ryan, y la gráfica de probabilidad normal.
a) En el método de Anderson Darling o Ryan Joiner, si el valor de probabilidad
P de la prueba es mayor a 0.05, se considera que los datos son normales.
Seguir los siguientes pasos:
Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación
estándar S = 32.02 con:
1. Calc > Random data > Normal
2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estandar deviation 32.02
OK
Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de
Anderson Darling o Ryanjoiner como sigue:
1. Stat > Basic statistics > Normality Test
2. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK
El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan
normalmente
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Datos
Perc
ent
350300250200150
99.9
99
959080706050403020105
1
0.1
Mean
>0.100
269.3StDev 30.72N 100RJ 0.994P-Value
Probability Plot of DatosNormal
Fig. 8 Gráfica de probabilidad de un proceso normal
b) Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:
3. Graph > Probability plot > Normal
4. Graph Variable C1
5. Distribution Normal OK
Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es
normal la distribución.
Datos
Perc
ent
400350300250200150
99.9
99
959080706050403020105
1
0.1
Mean
0.533
269.3StDev 30.72N 100AD 0.317P-Value
Probability Plot of DatosNormal - 95% CI
Fig. 9 Gráfica de probabilidad normal con Int.de confianza
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4. TRANSFORMACIÓN DE DATOSSi los datos no son normales, se pueden tratar de transformar con alguna
función para normalizarlos utilizando el Método de Box Cox, que encuentra un
exponente lamda al que se deben elevar los datos:
Por ejemplo los datos del archivo Tiles.Mtw de Minitab:
Torcedura
Perc
ent
1086420-2-4
99.9
99
959080706050403020105
1
0.1
Mean
0.010
2.923StDev 1.786N 100AD 1.028P-Value
Probability Plot of TorceduraNormal
Fig. 10 Gráfica de probabilidad de un proceso no normal
Para tratar de normalizarlos con el Método de Box Cox se tiene:
1. File > Open worksheet Tiles.mtw
2. Stat > Control Charts > Box Cox transformation
3. All observations in a column Torcedura (Warpness) Subgroup size 1
4. Options: Store transformed data in: TorceduraTransf
5. OK
Si no se encuentra un intervalo de confianza (rayas rojas), indica que los datos
no son transformables por este método.
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Lambda
StDe
v
543210-1-2
20
15
10
5
0
Lower CL Upper CL
Limit
Lambda
0.500000
(using 95.0% confidence)Estimate 0.345504Lower CL 0.052120Upper CL 0.642093Best Value
Box-Cox Plot of Torcedura
Fig. 11 Determinación del exponente Lambda de Box Cox
Aquí indica que para normalizar los datos, se deben elevar a la 0.5 (raíz
cuadrada), al probar la normalidad de los datos transformados se tiene:
TorceduraTransf
Perc
ent
3.53.02.52.01.51.00.50.0
99.9
99
959080706050403020105
1
0.1
Mean
0.574
1.624StDev 0.5380N 100AD 0.301P-Value
Probability Plot of TorceduraTransfNormal
Fig. 12 Gráfica de probabilidad del proceso normalizado
5. AJUSTE DE DATOS CON OTRAS DISTRIBUCIONES DE PROB.
Si los datos no son transformables, se puede identificar una función a la que se
ajusten los datos, para que con esta se determine la capacidad del proceso:
1. File > Open worksheet Tiles.mtw
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2. Stat > Reliability / Survival > Distribution Analysis (right sensoring) > Distribution ID Plot
3. Variables Torcedura
4. Seleccionar Use all distributions
5. OK
Los resultados se muestran a continuación, se indica el valor del coeficiente de
correlación, se puede seleccionar la distribución que tenga el mayor, o el
menor valor de Anderson Darling:
Goodness-of-Fit Anderson-Darling CorrelationDistribution (adj) CoefficientWeibull 0.379 0.994Lognormal 1.566 0.978Exponential 11.735 *Loglogistic 1.852 0.9743-Parameter Weibull 0.400 0.9973-Parameter Lognormal 0.515 0.9942-Parameter Exponential 7.325 *3-Parameter Loglogistic 0.944 0.985Smallest Extreme Value 7.609 0.909Normal 1.170 0.978Logistic 1.330 0.973
Las gráficas resultantes son:
Torcedura
Perc
ent
10.01.00.1
99.99050
10
1
0.1Torcedura
Perc
ent
10.01.00.1
99.99990
50
101
0.1
Torcedura
Perc
ent
10.0001.0000.1000.0100.001
99.99050
10
1
0.1Torcedura
Perc
ent
100.010.01.00.1
99.9999050101
0.1
Correlation CoefficientWeibull0.994
Lognormal0.978
Exponential*
Loglogistic0.974
Probability Plot for TorceduraLSXY Estimates-Complete Data
Weibull Lognormal
Exponential Loglogistic
Fig. 13 Gráficas de varias distribuciones de probabilidad
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