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Distribución normal

Date post: 12-Jul-2015
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La distribución normal 1
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Page 1: Distribución normal

La distribución normal

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La distribución normal

Reconocida por primera vez por Abraham Moivre. Posteriormente fue Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien profundizó sus estudios , formulando la ecuación de la curva conocida comúnmente, como la campana de Gauss.

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Page 3: Distribución normal

Utilidad

En muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la curva normal.

•Caracteres morfológicos de individuos: talla, pesos, diámetros, distancias, perímetros, etc. •Caracteres fisiológicos, como efectos de dosis de un fármaco o de una misma cantidad de inhibidor, flúor. •Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

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Page 4: Distribución normal

Utilidad

En muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la curva normal.

•Caracteres psicológicos, ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio, etc. •En estadística: errores cometidos al medir ciertas magnitudes, valores estadísticos muestrales como la media, varianza y moda.

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Page 5: Distribución normal

La función de distribución

•Puede tomar cualquier valor ( - ∞, + ∞)

•Hay más probabilidad para los valores cercanos a la media (µ).

•Conforme nos separamos de µ, la probabilidad va decreciendo de

igual forma a derecha e izquierda (es simétrica respeto a la media).

•Conforme nos separamos de µ, la probabilidad va decreciendo

dependiendo de la desviación estándar (σ)

µ

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Page 6: Distribución normal

Propiedades de la distribución normal

•La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros µ y σ.

•La media, mediana y moda son iguales.

•La curva normal es asintótica al eje de X.

•Es simétrica con respecto a su media µ, es decir el área que

corresponde a la mitad de la curva es igual a 0.50, o sea la probabilidad

de que X< µ, o de que X> µ, es 0.50.

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Page 7: Distribución normal

La desviación estándar (σ)

Distribuciones normales con distintas desviaciones estándar e igual media.

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Page 8: Distribución normal

La media (µ)

Distribuciones normales con distintas desviaciones estándar e igual media.

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Page 9: Distribución normal

Resumen

•Podemos decir que hay un conjunto de distribuciones con una forma

común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza.

•La desviación estándar (σ) determina el grado de apuntamiento de la

curva. A mayor la σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la

curva será más plana.

•La media indica la posición de la campana , de modo que para diferentes

valores de la µ, la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal.

•De entre todas, la más usada es la distribución normal estándar, que

corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1.

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La distribución normal estándar (z)

•A z se le denomina función tipificada de x, y a la curva de su función de densidad se le conoce como la curva normal estándar. •Es una distribución normal con promedio 0 y una desviación estándar de 1. •Todas las variables que se distribuyen normalmente se pueden transformar a la distribución normal estándar utilizando la fórmula para calcular el valor Z y ver en la tabla Z.

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Page 11: Distribución normal

Características de la distribución normal estándar

•Su media es 0, su varianza y desviación estándar es 1

•La curva f(z) es simétrica respecto al eje de Z.

•La media, mediana y moda es 0.

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Page 12: Distribución normal

Área bajo la curva normal estándar

•El área bajo la curva normal estándar es útil para

asignar probabilidades de ocurrencia de la variable X.

•Debemos tomar en cuenta que el área total bajo la

curva es igual a 1, por ser una gráfica simétrica cada

mitad tiene un área de 0.5.

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Page 13: Distribución normal

Pasos para determinar el área bajo la curva normal estándar

•Paso 1: interpretar gráficamente el área de interés

•Paso 2: Determinar el valor de Z.

•Paso 3: Buscar en la tabla de probabilidades

•Paso 4: Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la

probabilidad deseada.

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Page 14: Distribución normal

Ejemplos y ejercicios

SECCIÓN

Supongamos que sabemos que el peso de un grupo de estudiantes universitarios sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 70kg y una desviación estándar de 10kg.

µ=70kg σ=10kg

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Page 15: Distribución normal

Ejemplo 01

Determine la probabilidad de que un estudiante tenga un peso menor o igual a 75kg.

Paso 01: Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=75kg, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:

75kg [email protected]

Page 16: Distribución normal

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 75kg.

Paso 02: Determine el valor de Z: Z=(x-µ)/σ = (75-70)/10 =0.50 Paso 03: Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la tabla. El valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915

[email protected]

Page 17: Distribución normal

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 75kg.

Paso 04: Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo no es necesario realizar la resta a 1, ya que el área es la misma que se representa en la tabla . Por lo tanto la probabilidad de que X<75 es igual a 0.6915. (En porcentaje sería el 69,15%)

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Ejemplo 02

Si deseamos la probabilidad de que una persona elegida al azar , tenga un peso mayor a 75kg.

Paso 01: Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=75kg, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:

Supongamos que sabemos que el peso de los estudiantes universitarios sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 70kg y una desviación estándar de 10kg.

75kg [email protected]

Page 19: Distribución normal

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso mayor a 75kg.

Paso 02: Determine el valor de Z: Z=(x-µ)/σ = (75-70)/10 =0.50 Paso 03: Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la tabla. El valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915 (obtenido en la en el ejemplo 01, pero no es el área que nos piden).

[email protected]

Page 20: Distribución normal

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso mayor a 75kg.

Paso 04: Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo el área 0,6915 no es el área que nos interesa por tanto restamos a 1 y el resultado será igual a 0,3085. (En porcentaje sería el 30,85%)

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Ejemplo 03

Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso menor a 55kg.

Paso 01: Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=55kg, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:

Supongamos que sabemos que el peso de los estudiantes universitarios sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 70kg y una desviación estándar de 10kg.

55kg 70kg

75kg

[email protected]

Page 22: Distribución normal

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 55kg.

Paso 02: Determine el valor de Z: Z=(x-µ)/σ = (55-70)/10 =-1.50 Paso 03: Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la tabla. El valor Z=-1.50 y obtenemos el área de 0.0668

[email protected]

Page 23: Distribución normal

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 55kg.

Paso 04: Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo el área 0,0668 es el área que nos interesa por tanto es la probabilidad deseada. (En porcentaje sería el 6,68%)

[email protected]

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Ejemplo 04

Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso entre 55 y 75 kg.

Paso 01: Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=55kg, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:

Supongamos que sabemos que el peso de los estudiantes universitarios sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 70kg y una desviación estándar de 10kg.

75kg 55kg [email protected]

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Ejercicio:

Para la distribución normal tipificada , media 0, varianza 1. calcular:

[email protected]

Page 26: Distribución normal

Tabla Z


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