Distribuciones de Probabilidad

REALIZADO POR:

Antillano

DEFINICION DE MODELO BINOMIAL

Un experimento binomial: Es un experimento que tiene las siguientes propiedades:

• El experimento consiste de n ensayos idénticos.

• Cada ensayo produce uno de los dos resultados posibles. A uno se le llama acierto, y el otro falla.

• Los ensayos son Independientes.

• El experimento esta interesado en la variable “Y” que representa el número de aciertos observados en los n ensayos.

Se pueden registrar de dos formas:

Supóngase que existe un población deaproximadamente 1000,000 consumidores potencialesde una articulo producido por determinada empresa yque una proporción desconocida p de ellos lo prefieresobre los producidos por la competencia. Con elpropósito de llevar a cabo un estudio del mercado, seselecciona una muestra de 1000 compradores deforma que cada una de los elementos de la poblacióntenga la misma oportunidad de ser seleccionado. Acada comprador seleccionado se le pregunta siprefiere el producto producido por esta empresa o no¿Es este un experimento Binomial?

Distribución de Probabilidad Binomial.

Su media o valor esperado es:

Varianza y desviación estándar es.

Donde y puede tomar los valores 0, 1,2…n

𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞

𝜎 = 𝑛𝑝𝑞

𝜇 = 𝑛𝑝

Distribución Multinomial

El experimento multinomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene más de dos resultados posibles. Por ello la clasificación de un producto fabricado como ligero, pesado o aceptable y el registro de accidente en cierta zona franca de acuerdo con el día de la semana constituyen experimentos multinomiales.

Propiedades del experimento multinomial.• El experimento consiste en n pruebas idénticas.

• El resultado de cada prueba cae en una de k clases o casillas.

• La probabilidad de que el resultado de una sola prueba se localice en una casilla particular, digamos casilla i, 𝑒𝑠 𝑝𝑖 (𝑖 = 1,2,… . . 𝑘) y permanece igual de prueba en prueba donde: 𝑃

1+ 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃4……… . . +𝑃

𝑘= 1

• La pruebas son independientes.

• Las variables aleatorias estudiadas son 𝑌1, 𝑌2, 𝑌3, 𝑌4……… . . , 𝑌

𝑘en donde 𝑌𝑖 𝑖 = 1,2,3…… . 𝑘 es

igual al numero de pruebas en las cuales el resultado cae en la casilla i, donde: 𝑌

1+ 𝑌2 + 𝑌3 +

𝑌4……… . . +𝑌𝑘= 𝑛

Definición:

• 𝑝 𝑦1,𝑦2,… . 𝑦𝑘, =𝑛𝑙

𝑦1! 𝑦2!….𝑦𝑘!𝑝𝑦11 𝑝𝑦22𝑝𝑦33 …𝑝𝑘

𝑦𝑘

Si una prueba dada puede conducir a k resultados

𝐸1, 𝐸2, ……… , 𝐸𝑘 , con probabilidades

𝑝1, 𝑝2, ……… , 𝑝𝑘 , entonces la distribución de

probabilidad de las variables aleatorias

𝑌1, 𝑌2, ……… , 𝑌𝑘 que representa el numero de

ocurrencia parta 𝐸1, 𝐸2, ……… , 𝐸𝑘 en n pruebas

independientes es:

Ejemplo

De acuerdo con los datos ajustados del censo de 1990, las proporciones de adultos (las personas de mas de 18 años) en Nicaragua, clasificados en cinco categorías de edad, son como sigue:

Si se selecciona al azar cinco adultos de esta población,encuentre la probabilidad de que la muestra contenga auna persona entre las edades de 18 a 24, dos entre lasedades de 25-34 y dos entre las edades de 45-64

Edad Proporción

18-24 0.18

25-34 0.23

35-44 0.16

45-64 0.27

65 a más. 0.16

Distribución de Poisson.

Los experimentos que dan valores numéricos de unavariable aleatoria X, el número de resultados que ocurrendurante un intervalo dado o en una región especifica, sellaman Experimento de Poisson. El intervalo dado puede sede cualquier longitud, como un minuto, un dia, unasemana, un mes o incluso un año. Por ello un experimentode Poisson puede generar observaciones para la variablealeatoria X que representa el numero de llamadastelefónicas por hora que recibe una oficina, el numero dedías que una escuela esta cerrada debido a la fuerte lluviadurante el invierno. La región específica podría ser unsegmento de línea.

Propiedades del proceso de Poisson.

• El numero de resultados que ocurren en un intervalo o región especifica es independiente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. Por lo cual el proceso de Poisson no tiene antecedentes.

• La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del numero de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

• La probabilidad de que ocurra mas de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante .

Ejemplos

Los siguientes casos son ejemplos de experimentos en los cuales la variable aleatoria “y” puede ser considerada como de Poisson.

• El numero de llamadas recibidas en un conmutador telefónico durante un periodo corto de tiempo.

• El numero de reclamaciones contra Unión Fenosa durante una semana.

• El numero de llegadas tardes a clases por parte de los profesores durante un día determinado.

• El numero de ventas hechas por un agente de Seguros en la capital en un determinado día. El numero de ventas realizadas por una dependiente del mercado Oriental durante el mes.

• En cada caso, “y” representa el numero de eventos raros que ocurren durante un periodo de tiempo en el cual se espera que un promedio de ellos ocurra.

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo dado o

región especifica que se denota con t, es.

𝑝 𝑥; 𝑡 =𝑒−𝑡 𝑡

𝑥!𝑥 = 0,1,2… . .

Donde ; es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región

Media ==np

Varianza. 𝟐 = = 𝐧𝐩

Desviación Estándar. 𝟐 =

= 𝒏𝒑

= = 𝐧𝐩

Ejemplo:

El gerente local de una empresa de renta de automóvilesen Mangua compra neumáticos en lotes de 500 paraaprovechar los descuentos por compras al mayoreo. Elgerente sabe por experiencias anteriores, que el 1% delos neumáticos nuevos adquiridos en un determinadoalmacén salen defectuosos y se deben reemplazardurante la primera semana de uso. Cuantos neumáticosespera encontrar defectuoso el gerente, Encuentre laprobabilidad de que en un envío de 500 neumáticos hayasolamente uno defectuoso. No mas de tres neumáticosdefectuosos, ningún neumático defectuoso, más decuatro neumáticas defectuoso.

Distribución Normal

La distribución continua de probabilidad más importante entodo el campo de la estadística es la distribución normal.Su gráfica que se denomina curva norma o gausiana enforma de campana. La cual describe muchos fenómenosque ocurren en la naturaleza, industria, economía y lainvestigaciónUna variable aleatoria normal continua X que tiene ladistribución en forma de campana, se llama variablealeatoria normal. La ecuación matemática para ladistribución depende de dos parámetros 𝑦 , su media y

desviación estándar. De aquí, denotamos los valores de ladensidad de X con ( ,)

Propiedades de la curva Normal

La distribución continua de probabilidad más importante entodo el campo de la estadística es la distribución normal.Su gráfica que se denomina curva norma o gausiana enforma de campana. La cual describe muchos fenómenosque ocurren en la naturaleza, industria, economía y lainvestigaciónUna variable aleatoria normal continua X que tiene ladistribución en forma de campana, se llama variablealeatoria normal. La ecuación matemática para ladistribución depende de dos parámetros 𝑦 , su media y

desviación estándar. De aquí, denotamos los valores de ladensidad de X con ( ,)

Curva Normal

Además de la distribución normal, existen otras distribuciones como lo son, la t de student, F de Fisher, Chi-cuadrado.