Date post: | 18-Apr-2015 |
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ECONOMETRIAECONOMETRIA
INFERENCIA ESTADISTICAINFERENCIA ESTADISTICA
ECONOMETRIAECONOMETRIA
INFERENCIA ESTADISTICAINFERENCIA ESTADISTICA
Mtro. Horacio Catalán Alonso
Taller de Econometría
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría
Prueba de Hipótesis Estadística
La hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de la distribución de una o más variables aleatorias
Modelo estadístico
(.)
),;(
f
x
xf
Representa el conjunto de variables aleatorias
Parámetros de interés
Función de densidad de probabilidad conjunto.
Espacio de parámetros
Taller de Econometría
La conjetura se refiere a que el parámetro proviene de algún subconjunto del espacio de parámetros
Se define la hipótesis nula
Hipótesis alternativa
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00 θ:H
01 θ:H
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En el caso de la hipótesis nula es acompañada por la posibilidad de cometer uno de los siguientes dos tipos de error:
Error tipo I: rechaza la hipótesis nula cuando de hecho es verdadera
Error tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando de hecho no es verdadera
El error tipo I es el más importante, desde el punto de vista del análisis estadístico
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Lo ideal es obtener una prueba donde ambos errores se minimicen
Desafortunadamente, ambos errores generan un conflicto
La aproximación convencional, en las pruebas de hipótesis, es fijar el error tipo I y tratar de minimizar el error tipo II
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Se elige un nivel de significancia, denotado por
que también se identifica como el tamaño de la prueba (magnitud del error tipo I)
Generalmente se asignan los siguientes valores:
1,0
%10
%5
%1
Equivocarse en 1 de 100 casos.
Equivocarse en 5 de 100 casos.
Equivocarse en 10 de 100 casos.
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En econometría se fija el tamaño de la prueba en un nivel de 5% de significancia
Este valor, representa el nivel del error tipo I
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Si denotamos como el estadístico de prueba, que es un escalar. Entonces se puede calcular la región de aceptación de H0, denotado como Cpara el nivel de significancia
t
cia)significan de (nivel 0ˆ |ˆPr HCt
La regla es rechazar H0 si y aceptar en caso contrario. En la práctica el problema es cómo elegir el estadístico que depende de la distribución del estimador.
Ct ˆˆ
t
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En un modelo de demanda de dinero
Ecuación cuantitativa del dinero
Si 1=1 como establece la teoría monetarista la ecuación puede reespecificarse como:
Es una ecuación de demanda por saldos reales.
YPVΜ
tt
ttt uv
YP )1
ln(lnlnln 321
tt
ttt uv
YP
1lnlnlnln 32
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Hipótesis de estructura de tasa de interés.
tmt
nt uRR 10
mt
nt
R
R Tasa de interés de largo plazo.
Tasa de interés de corto plazo.
0=0, 1=1
Se cumple la eficiencia en el mercado de tasa de interés.
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Prueba de cambio estructural
1995 t1,
1995 t0,
10
t
tttt
D
uD xY
Si existe cambio estructural0
MCO RestringidosMCO RestringidosMCO RestringidosMCO Restringidos
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Sea el modelo
tttt uxxY 22110
Se considera la siguiente restricción
1,1,0: 00 21 H
Es necesario definir una matriz de restricciones tal que
13
12
11
2
1
0
333231
232221
131211
0 :
q
q
q
rrr
rrr
rrr
qRH
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Es importante observar que
00
011
011
22
11
que implica esto Si
que implica esto Si
0
1
1
0
100
010
000
2
1
0
qR
qR
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Con la restricción el modelo debería especificarse como:
ttt xxY 21
*21
* )( tttt uxxY
1*
*tu errores del modelo con restricciones
Su forma econométrica es
Si las restricciones son válidas es el estimador del modelo con restricciones
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En general
uXY
Para algún coeficiente que sea cero 0j
00100 R y q = 0
Si dos coeficientes son iguales jk
01100 R y q = 0
Si la suma de los coeficientes es uno 1432
011100R y q = 0
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Un subconjunto de coeficientes es cero
00100
00010
00001
0,0,01
R
y 32
y q = 0
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0
0
1
110000
101000
000110
6
5
4
3
2
1
Se pueden combinar diferentes restricciones
0,0,1 6632 54 y
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Las restricciones en los coeficientes generan un problema en el proceso de estimación
j
qR
uxY
0
Restricciones lineales
El problema es minimizar la suma de errores al cuadrado (u´u) sujeta a las restricciones lineales
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Ejemplo:
ttttt uxbxbxbY 332211)1
Modelo sin restricciones asumiendo que b3=0
Minimizar
T
tttt xbxbY
1
22211 )(
Si la restricción es b1+ b2+ b3 = 1
Entonces b3=1-b1-b2
Minimizar
T
ttttttt xxbxxbxY
1
23223113 ))()()((
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Modelo sin restricciones
uuQ
xyu
xYxY
ˆ´ˆ
ˆˆ
ˆ
))´((Min
Estimadores sin restricciones
Errores del modelo sin restricciones
Suma de errores al cuadrado del modelo sin restricciones
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• Se deben comparar ambos modelos con restricciones y sin restricciones
• Bajo la hipótesis nula se espera que la suma de errores sea parecida
ceroQ Q
Q Q
*
*
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MÍNIMOS CUADRADOS CON MÍNIMOS CUADRADOS CON RESTRICCIONESRESTRICCIONES
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MÍNIMOS CUADRADOS CON MÍNIMOS CUADRADOS CON RESTRICCIONESRESTRICCIONES
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Resolver para la restricción
)´(2))´((),()1 qRxyxyL
Derivando la función con respecto a
0
0´2´´´´´
0´2´)´´)(()´(
2R´2x´x2x´y
Rxxxyxxyx
Rxyxxyx
0´´´)2 Rxxyx
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Derivando la función con respecto a
0
022)3*
*
qR
qR
De las ecuaciones 2) y 3) se obtienen el siguiente sistema
qR
yxRxx
*
** '´´)4
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En su forma matricial
q
yx
R
Rxx ´
0
´´)5
*
*
De la ecuación 2)
**
**
´´´
´´´
xxyxR
yxRxx
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Dado que * es el estimador con restricciones
)´(´´ ** xyxxxyx
Errores del modelo con restricciones
** ´´´)6 xxyxR
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Multiplicando la ecuación 6) por (x´x)-1
*11*1 ´)´(´)´(´)´( xxxxyxxxRxx
Nota: es el estimador sin restriccionesyxxx ´)´( 1
Ixxxx
´)´(
ˆ1
identidad
**1 ˆ´)´)...(7 Rxx
La diferencia entre los estimadores sin restricciones y con restricciones
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De la expresión 7) multiplicando por R
**1 ˆ´)´()8 RRRxxR
Nota. R=q
Por lo tanto qRRR ˆˆ *
De la ecuación (8) se obtiene *
)ˆ(´)´()911* qRRxxR
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Sustituyendo 9) en la ecuación 7)
*111 ˆ)ˆ(´)´(´)´()10 qRRxxRRxx
Despejando para *
)ˆ(´)´(´)´(ˆ)11111* qRRxxRRxx
El estimador de mínimos cuadrados restringidos es una función del estimador sin restricciones y de las restricciones definidas en R
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De la ecuación 11) es importante señalar que:
1) es un “vector discrepancia” entre y las restricciones
¿Qué sucede cuando ?
qR
0ˆ qR
)ˆ(´)´()211* qRRxxR
¿Cuándo se cumple que ? 0*
´)´(ˆ)3 1* Rxx
¿bajo qué condiciones se cumple que ? ˆ*
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El problema original es determinar
Q Q *
Se define
))´(()2
ˆˆ)1***
**
xyxyQ
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Sustituyendo 1)
)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ()4
)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ
)ˆˆ()ˆˆ()3
*´*
*´*
*´*
xxyxxy
xxyxxy
xyxy
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Desarrollando
)ˆ(´)´ˆ()ˆ)´(ˆ(
)ˆ(´)´ˆ()ˆ´()´ˆ(
)ˆ()´ˆ()ˆ)´(ˆ(
)ˆ()ˆ(´)´ˆ()´ˆ(
**
**
*
**
*
xxxyxy
xxxyx
xxyxyxy
xxy xxy
Nota uxy ˆ)ˆ(
Bajo el supuesto de que U´X=X´U=0. Entonces
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0)ˆ´(
0)´(
xyx
xxy
Por otra parte uuxyxy ˆ´ˆ)ˆ)´(ˆ(
)ˆ(´)´ˆ()6
)ˆ(´)´ˆ(ˆ´ˆ´)5***
****
xxQQ
xxuuuu
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)ˆ(´)´(´)´(ˆ 111* qRRxxRRxx
Sustituyendo en (6)
)ˆ(´)´()´ˆ(11* qRRxxRqRQQ
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Nota:
1)´(´ xxxx
*1**
111
´)´(´
I´´)´(´)´(
RxxRQQ
RRxxRRxx
Las restricciones en los parámetros se pueden probar con la suma de errores al cuadrado del modelo con restricciones y sin restricciones
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