ECONOMIA APLICADA PRQ – 3257 – A SEM I/10 EDWIN CHAMBI CANAZA 1 de 12 EJEMPLOS RESUELTOS DE ECONOMIA APLICADA PRQ – 3257 - A 1. Cuál es el capital de un depósito de $ 500 realizada a principio de cada mes durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9% nominal capitalizada mensualmente. Resp. 49666.43 $ 2. Un microempresario ahorra $ 7000 en un banco que paga interés del 8% anual capitalizable trimestralmente. Desea hacer 10 retiros semestrales iguales, empezando a retirar tres meses después de haber hecho el depósito inicial. ¿a cuánto ascienden cada uno de los diez retiros semestrales, para que el último extinga el fondo?, Resp. 847.79$ 3. Andrea Iñiguez necesita reunir $ 100000 en 8 años y con este propósito realiza depósitos iguales cada fin de año en un banco que abona el 6% de intereses. Transcurridos 4 años el banco eleva la tasa al 8%. Hallar el valor de los depósitos anuales, antes y después de que el banco elevara la tasa de interés. Resp. 10103.59 y 8847.38$ 4. En la fecha Ligia sarmiento efectúa apertura de cuenta en el banco BISA la suma de $50000 acordando hacer retiros trimestrales durante un periodo de 18 años, pero inesperadamente en el decimo año se le presenta hacer una gran inversión por lo cual debe liquidar su cuenta bancaria ¿Cuál será este monto? Si el interés es del 12% capitalizable trimestralmente. Resp. 34716$ 5. Una maquina cuyo precio de contado es de $8000 se ofrece en un plan de ventas por mensualidades sin cuota inicial, hallar el numero de cuotas necesarias de $ 800 para cancelar la maquina, si se carga el 8% de efectivo. Resp. 9cuotas de 800 y ultima de 1094.24$. 6. Una oferta expone ´´adquiera su auto sin cuota inicial y sin intereses páguelo en 40 mensualidades iguales´´ El plan que presentan al comprador es: DETALLE VALOR $ Valor inicial del auto al contado 25000 Costos de apertura de crédito (20%) 5000 Costos total de crédito 30000 Pago mensual (30000/40) como pago uniforme 750 El primer pago se realiza después de un mes del contrato ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual que se cobra por este tipo de ventas? 7. Una maquina industrial se vende a plazos en 6 cuotas trimestrales de $10000 cada una. Hallar el valor de contado si se carga el 12 % con capitalización semestral. Resp. 54250.46$ 8. Una residencia ubicada en inmediaciones del parque zoológico es ofertada en $ 40000 en un plan por mensualidades sin cuota inicial, mediante 21 cuotas de $ 2800 cada una. Hallar la tasa efectiva anual. Resp. 0.5652 9. Al adquirir un equipo de construcción se acuerda pagar $ 20000 al final de cada semestre durante cinco años aumentando los pagos en $1000 cada semestre hallar el valor presente de su compromiso a) a un interés del 24% anual b) a un interés del 24 % capitalizable bimestralmente. 10. Una deuda debe cancelarse en cinco años con cuotas de $10000 cada final de año a una tasa del 6%. Estos pagos se incrementan, después del primero en un 10% anual cada uno. Por otro lado debe pagarse cada semestre la suma de $ 500 hasta el final. Hallar el valor presente de la deuda, asuma capitalización mensual. Resp. 54877$.
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ECONOMIA APLICADA PRQ – 3257 – A SEM I/10
EDWIN CHAMBI CANAZA 1 de 12
EJEMPLOS RESUELTOS DE
ECONOMIA APLICADA
PRQ – 3257 - A
1. Cuál es el capital de un depósito de $ 500 realizada a principio de cada mes durante 15 años en una
cuenta de ahorros que gana el 9% nominal capitalizada mensualmente. Resp. 49666.43 $
2. Un microempresario ahorra $ 7000 en un banco que paga interés del 8% anual capitalizable
trimestralmente. Desea hacer 10 retiros semestrales iguales, empezando a retirar tres meses después
de haber hecho el depósito inicial. ¿a cuánto ascienden cada uno de los diez retiros semestrales, para
que el último extinga el fondo?, Resp. 847.79$
3. Andrea Iñiguez necesita reunir $ 100000 en 8 años y con este propósito realiza depósitos iguales
cada fin de año en un banco que abona el 6% de intereses. Transcurridos 4 años el banco eleva la tasa
al 8%. Hallar el valor de los depósitos anuales, antes y después de que el banco elevara la tasa de
interés. Resp. 10103.59 y 8847.38$
4. En la fecha Ligia sarmiento efectúa apertura de cuenta en el banco BISA la suma de $50000
acordando hacer retiros trimestrales durante un periodo de 18 años, pero inesperadamente en el
decimo año se le presenta hacer una gran inversión por lo cual debe liquidar su cuenta bancaria ¿Cuál
será este monto? Si el interés es del 12% capitalizable trimestralmente. Resp. 34716$
5. Una maquina cuyo precio de contado es de $8000 se ofrece en un plan de ventas por mensualidades
sin cuota inicial, hallar el numero de cuotas necesarias de $ 800 para cancelar la maquina, si se carga
el 8% de efectivo. Resp. 9cuotas de 800 y ultima de 1094.24$.
6. Una oferta expone ´´adquiera su auto sin cuota inicial y sin intereses páguelo en 40 mensualidades
iguales´´ El plan que presentan al comprador es:
DETALLE VALOR $
Valor inicial del auto al contado 25000
Costos de apertura de crédito (20%) 5000
Costos total de crédito 30000
Pago mensual (30000/40) como pago uniforme 750
El primer pago se realiza después de un mes del contrato
¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual que se cobra por este tipo de ventas?
7. Una maquina industrial se vende a plazos en 6 cuotas trimestrales de $10000 cada una. Hallar el
valor de contado si se carga el 12 % con capitalización semestral. Resp. 54250.46$
8. Una residencia ubicada en inmediaciones del parque zoológico es ofertada en $ 40000 en un plan
por mensualidades sin cuota inicial, mediante 21 cuotas de $ 2800 cada una. Hallar la tasa efectiva
anual. Resp. 0.5652
9. Al adquirir un equipo de construcción se acuerda pagar $ 20000 al final de cada semestre durante
cinco años aumentando los pagos en $1000 cada semestre hallar el valor presente de su compromiso
a) a un interés del 24% anual b) a un interés del 24 % capitalizable bimestralmente.
10. Una deuda debe cancelarse en cinco años con cuotas de $10000 cada final de año a una tasa del 6%.
Estos pagos se incrementan, después del primero en un 10% anual cada uno. Por otro lado debe
pagarse cada semestre la suma de $ 500 hasta el final. Hallar el valor presente de la deuda, asuma
capitalización mensual. Resp. 54877$.
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EJEMPLOS RESUELTOS DE
ECONOMIA APLICADA
PRQ – 3257 - A
1. Cuál es el capital de un depósito de $ 500 realizada a principio de cada mes durante 15 años en una
cuenta de ahorros que gana el 9% nominal capitalizada mensualmente. Resp. 49666.43 $
$ 500 $ 500
C
1 20 3 4 5 6 179 180
En vista de los periodos de pago y capitalización son idénticas hallamos directamente el interés
mensual:
𝑖𝑚 =9%
12= 0.75%/𝑚𝑒𝑠
𝐶 = 500 + 500 𝑃/𝐴, 0.75%, 179
𝐶 = 500 + 500 1 + 0.0075 179 − 1
0.0075 1 + 0.0075 179
𝑪 = 𝟒𝟗, 𝟔𝟔𝟔. 𝟒𝟑 $
2. Un microempresario ahorra $ 7000 en un banco que paga interés del 8% anual capitalizable
trimestralmente. Desea hacer 10 retiros semestrales iguales, empezando a retirar tres meses después
de haber hecho el depósito inicial. ¿a cuánto ascienden cada uno de los diez retiros semestrales, para
que el último extinga el fondo?, Resp. 847.79$
$ 7000
1 20 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 57mes
AA
P1=$ 7140
Encontramos el interés trimestral y el interés efectivo semestral
𝑖𝑡 =8%
4= 2% = 0.02
𝑖𝑒𝑠 = 1 +0.08
4
2
− 1 = 0.0404 = 4.04%
Calculamos el valor futuro de los $ 7000 un trimestre después del inicio:
𝑃1 = 7000 𝐹/𝑃, 2%, 1 = 7000 1 + 𝑖𝑡 1
𝑃1 = 7000 1 + 0.02 1
𝑃1 = 7140 $ Ahora la anualidad semestral a partir del diagrama tenemos:
𝑃1 = 𝐴 + 𝐴 𝑃/𝐴, 4.04%, 9
𝑃1 = 𝐴 + 𝐴 ∗ 1 + 𝑖𝑒𝑠
9 − 1
𝑖𝑒𝑠 1 + 𝑖𝑒𝑠 9
𝐴 =7140
1 + 1 + 0.0404 9 − 1
0.0404 1 + 0.0404 9
𝐴 = 847.80 $/𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
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3. Andrea Iñiguez necesita reunir $ 100000 en 8 años y con este propósito realiza depósitos iguales
cada fin de año en un banco que abona el 6% de intereses. Transcurridos 4 años el banco eleva la tasa
al 8%. Hallar el valor de los depósitos anuales, antes y después de que el banco elevara la tasa de
interés. Resp. 10103.59 y 8847.38$
1 20 3 4 5 6 7 8
años
A1A2
$ 100000
Los intereses anuales respectivos para los dos periodos son:
𝑖1 = 6% = 0.06
𝑖2 = 8% = 0.08 Primero calculamos la anualidad de los depósitos acordados al 6%:
𝐴1 = 100000 𝐴1/𝐹, 6%, 8
𝐴1 = 100000 ∗𝑖1
1 + 𝑖1 8 − 1
𝐴1 = 100000 ∗0.06
1 + 0.06 8 − 1
Esta anualidad representa los depósitos anuales realizados antes de que el banco elevara la tasa, es
decir durante los primeros cuatro años
𝐴1 = 10103.59 $ Ahora debo encontrar la cantidad acumulada al final del cuarto año (valor futuro) al 6% de interés
Entonces tenemos:
𝐹` = 10103.59 𝐹`/𝐴1 , 6%, 4
𝐹` = 10103.59 ∗ 1 + 𝑖1
4 − 1
𝑖1
𝐹` = 10103.59 ∗ 1 + 0.06 4 − 1
0.06
𝐹` = 44199.33 $
Al final del octavo año al 8% de interés este monto será:
𝐹1 = 44199.33 𝐹1/𝑃, 8%, 4
𝐹 = 44199.33 ∗ 1 + 𝑖2 4
𝐹 = 60132.70 $
Entonces la diferencia de los flujos 100000 𝑦 𝐹1 en el octavo año será el saldo que falta depositar
en los últimos cuatro años:
𝐹2 = 100000 − 60132.70
𝐹2 = 39867.30 $ Ahora la anualidad al 8% para los cuatro años siguientes es:
𝐴2 = 39867.30 𝐴2/𝐹2, 8%, 4
𝐴2 = 39867.30 ∗𝑖2
1 + 𝑖2 4 − 1
𝐴2 = 39867.30 ∗0.08
1 + 0.08 4 − 1
𝐴2 = 8847.38 $
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4. En la fecha Ligia sarmiento efectúa apertura de cuenta en el banco BISA la suma de $50000
acordando hacer retiros trimestrales durante un periodo de 18 años, pero inesperadamente en el
decimo año se le presenta hacer una gran inversión por lo cual debe liquidar su cuenta bancaria ¿Cuál
será este monto? Si el interés es del 12% capitalizable trimestralmente. Resp. 34716$
1 20 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
$ 50000
años
F=?
Como el periodo de pago es igual al periodo de capitalización (1año=4trim) entonces el interés
trimestral es:
𝑖𝑡 =12%
4= 3% = 0.03
Hallamos la los pagos trimestrales (72 trimestres);
𝐴 = 50000 𝐴/𝑃, 3%, 72
𝐴 = 50000 ∗𝑖𝑡 1 + 𝑖𝑡
72
1 + 𝑖𝑡 72 − 1
𝐴 = 50000 ∗0.03 1 + 0.03 72
1 + 0.03 72 − 1
𝐴 = 1702.70 $/𝑎ñ𝑜
Ahora encontramos el valor presente de los 8 años (32trimestres) restantes, en el decimo año:
1 20 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18años
P1 A
𝑃1 = 1702.70 ∗ 1 + 𝑖𝑡
32 − 1
𝑖𝑡 1 + 𝑖𝑡 32
𝑃1 = 1702.70 ∗ 1 + 0.03 32 − 1
0.03 1 + 0.03 32
Por lo tanto el monto a liquidar será de:
𝐹 = 𝑃1 = 34716 $
Y el total acumulado en el decimo año es: 1702.70 + 34716 = 36418.70 $
5. Una maquina cuyo precio de contado es de $8000 se ofrece en un plan de ventas por mensualidades
sin cuota inicial, hallar el numero de cuotas necesarias de $ 800 para cancelar la maquina, si se carga
el 8% de efectivo. Resp. 9cuotas de 800 y ultima de 1094.24$.
Debido a que el interés es efectivo anual, encontramos la tasa equivalente mensual como sigue:
1 + 0.08 = 1 + 𝑖𝑚 12
𝑖𝑚 = 1.08 1
12 − 1
𝑖𝑚 = 0.006434 = 0.6434%/𝑚𝑒𝑠
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EDWIN CHAMBI CANAZA 6 de 12
Ahora bien encontramos el número de cuotas:
8000 = 800 ∗ 𝑃/𝐴, 0.6434%, 𝑛
8000 = 800 ∗ 1 + 𝑖𝑚 𝑛 − 1
𝑖𝑚 1 + 𝑖𝑚 𝑛
10 = 1 + 0.006434 𝑛 − 1
0.006434 1 + 0.006434 𝑛
𝑛 = 10.37 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎𝑠
6. Una oferta expone ´´adquiera su auto sin cuota inicial y sin intereses páguelo en 40 mensualidades
iguales´´ El plan que presentan al comprador es:
DETALLE VALOR $
Valor inicial del auto al contado 25000
Costos de apertura de crédito (20%) 5000
Costos total de crédito 30000
Pago mensual (30000/40) como pago uniforme 750
El primer pago se realiza después de un mes del contrato
¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual que se cobra por este tipo de ventas?
Como los pagos son mensuales, entonces inicialmente calculamos el interés mensual:
25000 = 750 ∗ 𝑃/𝐴, 𝑖, 40
25000 = 7500 ∗ 1 + 𝑖 40 − 1
𝑖 1 + 𝑖 40
i) Mediante interpolación (usando tablas) obtenemos:
𝑃/𝐴, 𝑖, 40 = 33.33333
I P/A
0.0075 34.4469
Z 33.3333
0.01 32.8346
𝑧 − 0.0075 =0.01 − 0.0075
32.8346 − 34.4469∗ 33.3333 − 34.4469
𝑧 = 0.0075 + 0.0017267
𝑖 = 𝑧 = 0.00922672 𝑚𝑒𝑠
ii) Mediante una calculadora tenemos: 𝑖 = 0.00920865 𝑚𝑒𝑠
Por lo tanto empleando el valor más exacto, efectuamos el interés efectivo anual:
𝑖𝑒 = 1 + 0.00920865 12 − 1
𝑖𝑒 = 0.116275 = 11.63%/𝑎ñ𝑜
7. Una maquina industrial se vende a plazos en 6 cuotas trimestrales de $10000 cada una. Hallar el
valor de contado si se carga el 12 % con capitalización semestral. Resp. 54250.46$
trim
VC
1 2 3 4 5 6
Ya que se tiene periodos de capitalización más largos que los periodos de pago, entonces hallamos el
interés trimestral equivalente a la tasa efectiva semestral del 6%:
ECONOMIA APLICADA PRQ – 3257 – A SEM I/10
EDWIN CHAMBI CANAZA 7 de 12
1 +0.12
2= 1 + 𝑖𝑡
2
𝑖𝑡 = 1.06 12 − 1
𝑖𝑡 = 0.02956 = 2.956%/𝑡𝑟𝑖𝑚
Con este resultado calculamos el valor al contado de las seis cuotas:
𝑉𝐶 = 10000 ∗ 𝑃/𝐴, 2.956%, 6
𝑉𝐶 = 10000 ∗ 1 + 𝑖𝑡
6 − 1
𝑖𝑡 1 + 𝑖𝑡 6
𝑉𝐶 = 10000 ∗ 1 + 0.02956 6 − 1
0.02956 1 + 0.02956 6
𝑉𝐶 = 54251 $
8. Una residencia ubicada en inmediaciones del parque zoológico es ofertada en $ 40000 en un plan
por mensualidades sin cuota inicial, mediante 21 cuotas de $ 2800 cada una. Hallar la tasa efectiva
anual.
40000 = 2800 ∗ 𝑃/𝐴, 𝑖, 21
40000 = 2800 ∗ 1 + 𝑖 21 − 1
𝑖 1 + 𝑖 21
1 + 𝑖 21 − 1
𝑖 1 + 𝑖 21= 14.285714
El interés podemos hallarlo de dos maneras: directamente por calculadora y mediante interpolación.
i) Mediante interpolación (usando tablas):
𝑃/𝐴, 𝑖, 21 = 14.285714
i P/A
0.03 15.4150
Z 14.285714
0.04 14.0292
𝑧 − 0.03 =0.04 − 0.03
14.0292 − 15.4150∗ 14.285714 − 15.4150
𝑧 = 0.03 + 0.0081489
𝑖 = 𝑧 = 0.0381489
ii) Mediante una calculadora tenemos 𝑖 = 0.0380409 𝑚𝑒𝑠
Por lo tanto empleando el más exacto procedemos a obtener el interés efectivo anual:
𝑖𝑒 = 1 + 0.0380409 12 − 1
𝑖𝑒 = 0.56521 = 56.52%
9. Al adquirir un equipo de construcción se acuerda pagar $ 20000 al final de cada semestre durante
cinco años aumentando los pagos en $1000 cada semestre hallar el valor presente de su compromiso
a) a un interés del 24% anual b) a un interés del 24 % capitalizable bimestralmente.
ECONOMIA APLICADA PRQ – 3257 – A SEM I/10
EDWIN CHAMBI CANAZA 8 de 12
años
2000021000
22000
2900028000
2700026000
2500024000
23000VP
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
El diagrama es equivalente a la suma de los dos diagramas siguientes:
años
10002000
90008000
70006000
50004000
3000
P2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10años
$ 20000P1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 104
a) Trabajamos directamente con el interés semestral:
𝑖 =24%
2= 12% = 0.12
Vemos que el primer diagrama tiene pagos uniformes:
𝑃1 = 20000 ∗ 𝑃1/𝐴, 12%, 10 = 20000 ∗ 1 + 𝑖 10 − 1
𝑖 1 + 𝑖 10
𝑃1 = 350974.70 $
Y el segundo diagrama en la cual notamos gradiente uniforme:
𝑃2 = 1000 ∗ 𝑃/𝐺, 12%, 10 =5000
𝑖∗
1 + 𝑖 10 − 1
𝑖 1 + 𝑖 10−
10
1 + 𝑖 10
𝑃2 = 12152.45 $ Por lo tanto el VALOR PRESENTE es:
𝑉𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2
𝑉𝑃 = 133258.55 $
Calculando directamente tenemos:
𝑖 =24%
2= 12% = 0.12
𝑉𝑃 = 20000 ∗ 𝑃/𝐴, 12%, 10 + 1000 ∗ 𝑃/𝐺, 12%, 10
𝑉𝑃 = 20000 ∗ 1 + 𝑖 10 − 1
𝑖 1 + 𝑖 10+
1000
𝑖∗
1 + 𝑖 10 − 1
𝑖 1 + 𝑖 10−
𝑛
1 + 𝑖 10
𝑉𝑃 = 20000 ∗ 1 + 0.12 10 − 1
0.12 1 + 0.12 10+
1000
0.12∗
1 + 0.12 10 − 1
0.12 1 + 0.12 10−
10
1 + 0.12 10
𝑉𝑃 = 133258.55 $
b) Ya que existe capitalización bimestral, debemos encontrar el interés efectivo de acuerdo al
periodo de pago (periodos capitalización más cortos que los periodos de pago), así el interés
