1.5.1.-ECUACIÓNES HOMOGÉNEAS (REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES). Si una ecuación en la forma diferencial: M(x, y) dx+N(x, y) dy=0 y además tiene la propiedad que: M (tx,ty)=t n M(x,y) Y N (tx,ty)=t n N(x,y) se dice que tiene coeficientes homogéneos o que es una ecuación diferencial Método de solución Sea una ecuación de la forma M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 donde M y N son coeficientes homogéneos del mismo grado, es posible reducirla a una ecuación diferencial de variables separables, mediante cualquiera de las sustituciones y=ux o x=vy, donde u y v son nuevas variables dependientes, si se elige y=ux, entonces, dy=xdu + udx. Por lo tanto, la ecuación diferencial: M(x, y) dx+N(x, y) dy=0, se transforma en: M(x, ux) dx+N(x, ux) (udx + xdu)=0. Ahora por definición de función homogénea. x n M ( 1 ,u) dx + x n N ( 1 +u)( udx+ xdu ) =0 Dividiendo toda la ecuación entre x n M ( 1 ,u) dx+ N ( 1 ,u ) udx+ N ( 1 ,u ) xdx=0 [ M ( 1 ,u ) + uN( 1 ,u) ] dx+ XN ( 1 ,u ) du=0 Se aprecia que es posible separar variables. dx x + N ( 1 ,u) du M ( 1 ,u) + uN ( 1 ,u) =0 Conclusión: toda ecuación homogénea es posible reducirla a una separación de variables, mediante una adecuada sustitución. Ejemplos:
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1.5.1.-ECUACIÓNES HOMOGÉNEAS (REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES).
Si una ecuación en la forma diferencial : M(x, y) dx+N(x, y) dy=0 y además t iene la propiedad que: M (tx,ty)=t nM(x,y)Y N (tx,ty)=t nN(x,y) se dice que t iene coef icientes homogéneos o que es una ecuación diferencial
Método de soluciónSea una ecuación de la forma M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 donde M y N son coeficientes homogéneos del mismo grado, es posible reducir la a una ecuación diferencial de variables separables, mediante cualquiera de las sustituciones y=ux o x=vy, donde u y v son nuevas variables dependientes, s i se el ige y=ux, entonces, dy=xdu + udx. Por lo tanto, la ecuación diferencial : M(x, y) dx+N(x, y) dy=0, se transforma en: M(x, ux) dx+N(x, ux) (udx + xdu)=0.
Ahora por def inición de función homogénea.xn M (1 ,u )dx+xn N (1+u ) (udx+ xdu )=0
Dividiendo toda la ecuación entre xn
M (1 , u ) dx+N (1 , u ) udx+N (1 ,u ) xdx=0[ M (1 , u )+uN (1 , u)]dx+XN (1 ,u ) du=0
Se aprecia que es posible separar variables.dxx
+N (1, u ) du
M (1 , u )+uN (1 , u)=0
Conclusión: toda ecuación homogénea es posible reducir la a una separación de variables, mediante una adecuada sustitución.Ejemplos:
1.-Hal lar s i la función: f(x,y)= x−3√ xy+5 y, es homogénea y el grado.f ( x , y )=x−3√ xy+5 yf (tx+ ty )=tx−3√ txty+5tyf (tx+ ty )=tx−3 t √ xy+5 tyf (tx+ ty )=t ( x−3 t √ xy+5 y )f ( tx+ ty )=tf ( x , y )❑
⇒ que es homogénea y de grado 1.
2.-hal lar si la función: f ( x , y )=√ x3+ y3, es homogénea y el grado.
Por definición de función homogénea.f ( tx , ty )=√ ( tx )3+ (ty )3
f (tx , ty )=√ t3 x3+ t3 y3=√ t3 ¿¿
f (tx , ty )=t32 √ x3+ y3❑
⇒Qué es homogénea y de grado 3/2.
3.-hal lar si la función: f ( x , y )=x2+ y2+1 , es homogénea y el grado Aplicando la definición de función homogéneaf (tx , ty )=t 2 x2+ t2 y2+1Ahora vemos que:t 2 f (x , y )=t2 ( x2+ y2+1 )=t 2 x2+t 2 y2+t 2=∴ f (tx , ty )=t 2 x2+ t2 y2+1≠ t2 f ( x , y )❑
⇒no es homogé nea .
4.-hal lar si la función: f ( x , y )= x2 y
+4, es homogénea y el grado.Aplicando la definición de función homogénea
f (tx , ty )= tx2ty
+4❑⇒
f ( tx , ty )=t0 x2 y
+4 t 0=t 0( x2 y
+4)f (tx , ty )=t 0 ( x , y )❑
⇒es homegé nea yde grado 0.
5.-Hal lar s i la función: f ( xy )=6 x y3−x2 y2 , es homogénea y el grado.Aplicando la definición de homogeneidad f ( tx , ty )=6 tx ( ty )3−t2 x2 t 2 y2
, f ( tx , ty )=t 4 (6 x y3 )−t 4 ( x2 y2 )❑⇒
f (tx ,ty )=t 4 f ( x , y ) , eshomog é nea y de grado 4.
Otra forma es observando que cada uno de los términos tengan el mismo grado.
6.-resolver: ( x2 y2 ) dx+( x2−xy ) dy=0
Se observa que se trata de una ecuación diferencial homogénea de grado. Se hace la sustitución: y=vx y dy=vdx+xdv.( x2+v2 x2 ) dx+( x2−v x2 ) (vdx+xdv )=0x2dx+v2 x2 dx+vx2 dx−v2 x2 dx+x3dv−v x3 dv=0( x2+v x2) dx+( x3 dv−v x3 dv )=0x2 (1+v )dx+x3 (1−v ) dv=0
7.-resolver: (2√xy− y ) dx−xdx=0 es una ecuación diferencial homogénea de grado 1.Efectuando la sustitución y=vx y dy=vdx+xdv, en la ec. Dif.(2√vx2−vx )dx−x (v dx+ xdv )=0(2 x√v−vx ) dx−vxdx−x2 dv=02 x√v dx−vxdx−vx❑dx−x2 dv=0(2 x√v−2vx)dx−x2 dv=02 x(√v−v)dx−x2 dv=0
Separando variables
2 xdxx2 − dv
√v−v=0
2 dxx
− dv√v−v
=0
Integrando ambos miembros∫ 2dx
x−∫ dv
√v−v=0
Realizando un cambio de variable en la integral de 2 termino del 1er. Miembro v=u2 , dv=2udu.
2 lnx−∫ 2udu√u2−u2
=0❑⇒
2lnx−2∫ uduu−u2 =0
2 lnx+2∫ duu−1
=0∴lnx+ln (u−1 )=lnc ∴lnx (u−1 )=lnc
Regresando a las variables inícialesx (√v−1 )=c∴ x (√ y
x−1)=c∴(x √ y
√ x−x)=c∴ (√xy−x )=c
8.-resolver: 2 x3 ydx+( x4+ y4 ) dy=0i ) . - Ecuación diferencial homogénea por la suma de los exponentes de las variables de los términos de los coeficientes M y N respectivamente, se deduce que se trata de una ecuación diferencial homogénea de grado 4i i) . - Reducción de una ecuación de variables separables efectúa la sustitución y=ux y dy= udx + xdu, en la ecuación diferencial homogénea, 2 x3 ydx+( x4+ y4 ) dy=0
El calculo de la integral del 1er. Término del primer miembro es bastante di f íc i l de efectuarlo por lo tanto, se opta por la otra sustitución, estos nos indica que cuando con una
sustitución se dif iculte la integración, se opte por la otra sustitución, entonces.Si empleamos x=vy y dx= v dy+y dv .sustituyendo en la ecuación diferencial2 x3 ydx+( x4+ y4 ) dy=02 x3 y4 ( vdy+ ydv )+ (v4 y4+ y4 ) dy=02 v4 y4 dy+2 v3 y5 dv+v4 y4 dy+ y 4 dy=0(3 v4 y4 dy+ y4 dy )+2 v3 y5 dv=0(3v¿¿ 4+1) y4 dy+2 v3 y5 dv=0¿
Se efectúa la sustitución y=vx y dy=vdx+xdv . En la ecuación diferencial ( y+x ctg y
x )dx−x dy=0.
(vx+ xctg vxx )dx−x (vdx+xdv )=0.
( vx+x ctg v ) dx−vxdx−x2 dv=0.
vx dx+x ctg v dx−vx dx−x2 dv=0.x ctg vdx−x2 dv=0.
Separando variables.xdxx2 − dv
ctg v=0.
dxx
− dvctg v
=0.
Integrando.
∫ dxx
−∫ dvctg v
=0∴∫ dxx
−∫ tg v dv=0∴ ln x+ ln cosv=ln c .
ln x cosv= ln c∴ x cosv=c .
Regresando a las variables iníciales.x cos y
x=c .
10.- Resolver la ecuación diferencial, dydx
= x− y−3x+ y−1
.
Estas ecuaciones di ferenciales es conveniente real izar una traslación de ejes coordenados, en el punto donde precisamente, se interceptan las rectas, es decir.
y y ' x− y−3=0 , pasa por los puntos (0 ,−3 ) ; (3,0 ) .
x+ y−1=0 , pasa por los dos puntos (0,1 ) ; (1,0 ) .
x x 'Nuevo origen en el nuevo sistema de ejes coordenados x ' y ' .Obviamente para hal lar el nuevo or igen, se resuelve el sistema x− y−3=0 sumando ambas ecuaciones, se el imina la variable y , y se
x+ y−1=0 obtiene el valor de x .2 x−4=0∴ x=2 y sustituyendo en x+ y−1=0 , se t iene
2+ y−1=0∴ y=−1.
Según las ecuaciones de traslación: x=x '+h y y= y'+k .Como ambas ecuaciones pasan por el nuevo or igen, entonces, x− y−3=0⇒ h−k−3=0 y x+ y−1=0⇒h+k−1=0.
∴h=2 y k=−1⇒ Nuevo origen (2 ,−1 ) , entonces, las ecuaciones de traslación quedan: x=x '+2 y y= y '−1 , sustituyendo estos en la ecuación diferencial , dy
dx= x− y−3
x+ y−1, queda:
d ( y '−1)d ¿¿
en lo sucesivo cambiaremos las variables x ' por u y y ' por v , para evitar confusiones en la denotación de la derivada.
Determine si la función es homogénea, s i lo es, indique su grado.
1.- x3 y−x2 y2
x+8 y.
Aplicando la definición de la ecuación homogénea, se t iene.f (tx , ty )= x2 y−x2 y2
x+8 y= tx2 ty−tx 2+ ty2
tx+8 ty=t 3 x3 ty−t2 x2 t 2 y
tx+8tt 4(x3 y )−t 4(x2 y)
t 2(x+8 y )⇒ t 4−t4
t2 =t2−t 2 ∴ t 2(x3 y )−t 2(x2 y )(x+8 y )
=¿
t 2( ( x3 y )−( x2 y )( x+8 y ) ). Es una homogénea de 2º grado.
2.- cos x2
x+ y.
Aplicando la definición de la homogénea se t iene que:f (tx , ty )=cos x2
x+ y.
f (tx , ty )=cos t x2
tx+ty=cos t 2 x2
tx+ ty=cos t2 x2
t2(x+ y )=cos t 0[ x2
x+ y ] .La ecuación es homogénea de grado 0.
3.- lnx−2lny .Si la ecuación diferencial está escrita en la forma.
M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0.
Serían homogéneos sí y sólo sí los coeficientes M (x , y ) y N ( x , y ) son funciones homogéneas del mismo grado.Aplicando la definición de la ecuación homogénea.
f (tx , ty )= ln tx2 ln ty
= ln t +ln x2 ¿¿
ln t +ln x−¿t (lnx )−¿ Por lo tanto es una ecuación homogénea de grado 1.
5.- ( x+ y+1 )2 .Determinar si la función es homogénea, si lo es indique su grado.
f ( x , y ) :(x+ y+1)2 .
Desarrol lando la ecuación.( x+ y+1 ) ( x+ y+1 )=x2+2 xy2+2 x+ y2+ y+1.
f ( x , y )=x2+2 xy2+2 x+ y2+ y+1. Se concluye que no es homogénea debido a que no todos cumplen con el 2º grado. Resuelva la ecuación diferencial, usando una sustitución apropiada.
22.- Suponga que M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 , es una ecuación homogénea. Demuestre que la sustitución x=vy , reduce a una ecuación de variables separables.23.- Suponga que M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 , es una ecuación diferencial homogénea. Pruebe que las sustituciones x=r cosθ y y=r senθ , reducen a una ecuación diferencial de variables separables.
1.6.- Ecuaciones Diferenciales Exactas y No Exactas.
1.6.1.- Ecuaciones diferenciales exactas.
A).- Definición: Se dice que una ecuación diferencial de la forma M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 , es exacta, s i existe al menos una función f (x , y ) en una región del plano xy , tal que, la
expresión del pr imer miembro de esta corresponde a la diferencial total de la función f ( x , y ) . Es decir.
M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy= ∂ f∂ x
dx+ ∂ f∂ y
dy .
Por lo tanto M (x , y ) dx=∂ f∂ x
dx y N ( x , y ) dy= ∂ f∂ y
dy .
Entonces, ∂ f∂ x
=M ( x , y ) y ∂ f∂ y
=N ( x , y ) .
Y si M (x , y ) dx y N ( x , y )dy son continuas en R , entonces, se cumple la igualdad de las derivadas y por lo tanto.
∂ M (x , y)∂ y
= ∂∂ y ( ∂ f
∂ x )= ∂2 f∂ y ∂x
= ∂∂ x ( ∂ f
∂ y )= ∂∂ x
N ( x , y ) .
Esto impl ica que ∂ M (x , y)∂ y
=∂ N (x , y )
∂ x. condición necesaria y
suf iciente para que una ecuación diferencial de la forma M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 , sea exacta.
B).- Método de solución.Sabemos que ∂ f
∂ x=M ( x , y )⇒df =M ( x , y ) dx∴ f =∫ M ( x , y )dx+c .
f ( x , y )=∫M ( x , y )dx+c , donde la constante de integración puede ser una función en términos de y , puesto que, se integra con respecto a x , sea g ( y ) , entonces.f ( x , y )=∫M ( x , y )dx+g ( y ) . (1)
Si se deriva la función con respecto a y , entonces.∂ f (x , y)
∂ y=N ( x , y )= ∂
∂ y∫M ( x , y ) dx+g ' ( y ) .
∂ f (x , y)∂ y
=g' ( y )=N ( x , y )− ∂∂ y∫M (x , y ) dx . (2)
Si se deriva con respecto a x , se debe cumplir.∂2 f
∂ y ∂ x=
∂ N ( x , y )∂ x
− ∂∂ y ( ∂
∂ x∫M (x , y ) dx)∂2 f
∂ y∂ x=
∂ N (x , y)∂ x
−∂ M (x , y )
∂ y=0 ,
Puesto que ∂2 f∂ y∂ x
= ∂2 f∂ y ∂ x
⇒ ∂ M (x , y)∂ x
=∂ M (x , y )
∂ y.
Si la expresión (1), g' ( y )=N ( x , y )− ∂∂ y∫M ( x , y )dx , se integra con
respecto a y .
g ( y )=∫(N (x , y )− ∂∂ y∫M ( x , y )dx )+c .
Y sustituye en (1), se t iene la solución.f ( x , y )=∫M ( x , y )dx+∫ [N ( x , y )− ∂
∂ y∫M ( x , y ) dx ]dy+c .
Ejemplos.1.- resolver la ecuación diferencial , 2 x ydx+( x2−1 ) dy=0.
i).- Se veri f ica si es exacta.
∂ M∂ y
= ∂ N∂ x
⟹ ∂(2 xy )∂ y
=∂(x2−1)
∂ x=2 x , se cumple.
i i).- Se integra con respecto a x .∂ f∂ x
=M ( x , y )=2 xy⟹ f (x , y )=∫Mdx+g ( y ) . (1)f ( x , y )=∫2 xydx+g ( y ) ∴f ( x , y )=x2 y+g ( y ) . (2)
i i i).- Se deriva con respecto a y , puesto que.∂ f (x , y)
∂ y= ∂
∂ y( x2 y )+g ' ( y )=N ( x , y ) .∴ x2+g ' ( y )=x2−1.
g' ( y )=1.
iv).- Se integra g' ( y ) y se sustituye en (2).g' ( y )= d
dyg ( y )=−1∴d ( g( y ))=−dy⟹∫ d (g ( y ))=∫−dy .
g ( y )=− y ∴ f (x , y )=x2 y+g ( y ) ∴ f ( x , y )=x2 y− y=c . la solución: x2 y− y=c . Véase la graf ica, muestra algunas curvas de la famil ia uniparamétrica. Y
C=-1 C=1C=1 XC=-1 C=-1
C=1
Nota: observe que esta ecuación es posible resolverla por variables separables.
2.- Resolver la ecuación diferencial. (e2 y− ycosxy ) dx+( 2 xe2 y−xcosxy+2 y ) dy=0. Se observa que no es una ecuación diferencial homogénea, ni de variables separables, se veri f ica si es exacta.
Si M (x , y )=e2 y− ycosxy y N ( x , y )=( 2xe2 y−xcosxy+2 y ) , entonces.∂ M∂ y
= ∂∂ y
(e2 y− y cosxy )=2 e2 y−cosxy+xy senxy .
⇒ ∂ M∂ y
=∂ N∂ x
.
∂ N∂ x
= ∂∂ x
(2 xe2 y−xcosxy+2 y )=2e2 y−cosxy+xy senxy .
Si ∂ M∂ y
=∂ N∂ x
, entonces, es exacta, por lo tanto.
Si ∂ f∂ x
=M ( x , y )⇒∂ f =M ( x , y )∂ x∴∫ df =∫M ( x , y ) dx+c . donde c=g ( y ) , puesto que se está integrando con respecto a x , entonces y es una constante.f ( x , y )=∫M ( x , y )dx+g ( y ) . (1).f ( x , y )=∫ (e2 y — y cosxy ) dx+g( y ) . f ( x , y )=∫e2 y dx− y∫cosxy dx+g ( y ) . f ( x , y )=xe2 y−senxy+g ( y ) . (2).
Sabemos que ∂ f∂ y
( x , y )=N ( x , y ) , entonces.∂ f∂ y
( x , y )= ∂ f∂ y ( x e2 y−senxy+g ( y ) )=2 xe2 y−x cosxy+g' ( y )=N (x , y ) .
2 xe2 y−x cosxy+g' ( y )=2x e2 y−xcosxy+2 y ∴g' ( y )=2 y .
Integrando esta ult ima expresión.ddy
g ( y )=2 y∴d ( g ( y ))=2 ydy⇒∫d ( g ( y ) )=∫2 y dy .
g ( y )= y2+c . (A)Sustituyendo A en (2).g ( y )= y2+c . (A) en f ( x , y )=x e2 y−senxy+g( y) (2), quedaf ( x , y )=x e2 y−senxy+ y2+c o x e2 y−senxy+ y2=c .x e2 y−senxy+ y2=c .
3.- Resolver la ecuacion diferencial, (cosx senx−xy2 ) dx+ y ( 1+ x2 ) dy=0.Sujeta a la condicion, y (0 )=2.
i).- Condicion necesaria y suficiente, para que cumpla con una ecuacion diferencial exacta.Si M (x , y )=cosx senx−xy2 y N ( x , y )= y−x2 y2∴ ∂ M
∂ y=−2 xy y
∂ N∂ x
=−2 xy ∴ ∂ M∂ y
= ∂ N∂ x
⇒ que es exacta.
i i).- Integrando con respecto a x .
Si ∂ f∂ x
=M ( x , y )⟹∂ f =M ( x , y ) ∂ x ∴∫df ( x , y )=∫M ( x , y ) dx .
f ( x , y )=∫M ( x , y )dx+c , donde c=g ( y ) , ya que y se considera constante, puesto que, se está integrando con respecto a x .
f ( x , y )=∫M ( x , y )dx+g ( y ) .f ( x , y )=∫ (cosx senx−xy2 ) dx+g ( y ) .
f ( x , y )=∫ senx (cosx dx )−∫ xy 2dx+g ( y ) .
f ( x , y )= sen2 x2
− x2
2y2+g ( y ) . (1)
i i i).- Derivando con respecto a y .
Puesto que: ∂ f∂ y
( x , y )=N ( x , y )=−2x2 y2
+g' ( y ) .
−x2 y+g' ( y )=N ( x , y )⇒−x2 y+g' ( y )= y−x2 y ∴g' ( y )= y .
iv).- Integrando con respecto a y .
Puesto que: g' ( y )= ddy ( g ( y ) )= y ∴d ( g( y ))= ydy⇒∫d ( g ( y ) )=∫ y dy
g ( y )= y2
2+c . (A)
v).- Sustituyendo A en 1.f ( x , y )= sen2 x
2−1
2x2 y2+ y2
2+c⟹ f ( x , y )=sen2 x+ y2−x2 y2+c .
f ( x , y )=sen2 x+ y2 (1−x2 )=c , sujeta a la condición, x=0 y y=2.sen2 x+ y2 (1−x2 )=4.
4.- Resolver la ecuacion diferencial, ( tgx−senx seny ) dx+cosx cosy dy=0.i).- Condicion necesaria y suf iciente.M (x , y )=tgx−senx seny y N ( x , y )=cosx cosy . ∂ M
∂ y=−senx cosy
∂ N∂ x
=−senx cosy ∴ ∂ M∂ y
=∂ N∂ x
⟹ Ecuación Diferencial exacta.
i i).- Calculo de ∫M ( x , y ) dx+g ( y ) .
Puesto que ∂ f∂ y
=M ( x , y ) , entonces ∂ f =M (x , y ) ∂ x ∴ f =∫M ( x , y )dx .
f ( x , y )=∫M ( x , y )dx+g ( y ) , puesto que, se integra con respecto x , una función en términos de y , es una constante.f ( x , y )=∫ (tgx−senx seny ) dx+g ( y )=∫ tgx dx−seny∫ senx dx+g ( y )− ln cosx+seny cosx+g ( y )=f (x , y) . (1)
i i i).- ∂ f∂ y
f ( x , y )=N (x , y )∴ cosy cosx+g' ( y )=N (x , y ) .
cosx cosy+g ' ( y )=cosx cosy⟹ g' ( y )=0⟹g ( y )=. (A)Sustituyendo en (1) f ( x , y )=−lncosx+seny cosx=c .
=M ( x , y )⇒ f ( x , y )=∫ M ( x , y ) dx+c , donde, c=g ( y ) .
f ( x , y )=∫ (2 y senx cosx− y+2 y2 exy2 )dx+g ( y ) .
f ( x , y )=2 y sen2 x2
−xy+2∫ exy2
( y2dx )+g ( y ) .
f ( x , y )= ysen2 x−xy+2exy2
+g ( y ) . (1)
i i i).- Derivando con respecto a y .∂ f∂ y
( x , y )=N ( x , y )=sen2 x−x+4 xy exy2
+g ' ( y ) .
sen2 x−x+4 xy exy2
+g' ( y )=−x+sen2 x+4 xy exy2
∴g' ( y )=0⟹g ( y )=0. (A)
iv).- Sustituyendo A en 1.
f ( x , y )= y sen2 x−xy+2 exy2
+0=c⟹ y sen2 x−xy+2 exy2
=c .
6.- Resolver la ecuación diferencial, (e y+2 xy coshx ) y '+xy2 senhx+ y2 coshx=0.
i).- Condición necesaria y suficiente.Dándole forma: (e y+2 xy coshx ) dx+( xy 2 senhx+ y2coshx ) dx=0. Entonces:∂ M∂ y
=2 xy senhx+2 y coshx y ∂ N∂ x
=2 y coshx+2 xy senhx ∴ ∂ M∂ y
=∂ N∂ x
.
i i).- Integrando con respecto a y .
Si ∂ f∂ y
=N ( x , y )⟹ f ( x , y )=∫ N (x , y ) dy+c , donde c=h (x ) , puesto se integra con respecto a y .
f ( x , y )=∫ (e y+2 xycoshx ) dy+h ( x )=e y+2 c coshx ( y2
2 )+h ( x ) .
f ( x , y )=e y+xy2 coshx+h (x ) . (1)
i i i).- Derivando con respecto de x . Puesto que, ∂ f∂ x
(x , y )=M ( x , y ) .
∂ f∂ x
(x , y )= y2 coshx+ y2 x senhx+h' ( x )=M ( x , y ) .
y2 coshx+xy2 senhx+h' (x )=xy2 senhx+ y2coshx⇒h ' ( x )=0∴h ( x )=0.
iv).- Solución sustituyendo A en 1:e y+xy2 coshx=c .
7.- Resolver la ecuación diferencial, ( y¿¿2cosx−3 x2 y−2 x)dx+ (2 y senx−x3+ ln y ) dy=0 , ¿ sujeta a las condiciones in íciales, y (0 )=e .i).- Condición necesaria y suficiente.∂ M∂ y
(x , y )=2 y cosx−3 x2 y ∂ N∂ x
( x , y )=2 y cosx−3x2∴ ∂ M∂ y
=∂ N∂ x
⟹ se trata de una ecuación diferencial exacta.
i i).- Integrando con respecto a x .
Si ∂ f∂ x
(x , y )=M ( x , y )⟹ f (x , y )=∫M (x , y ) dx+g ( y ) .
f ( x , y )=∫ y2 cosx dx−∫ 3 x2 y dx−∫ 2 x dx+g ( y ) .f ( x , y )= y2 senx−x3 y−x2+g ( y ) . (1)
i i i).- Derivando con respecto a y .∂ f∂ y
( x , y )=N ( x , y )⇒ ∂ f∂ y
( x , y )=2 ysenx−x2+g' ( y )=N ( x , y ) .
2 ysenx−x3+g' ( y )=2 ysenx−x3+ln y∴g ' ( y )=ln y⇒ g ( y )=∫ ln y dy .g ( y )=∫ ln y dy , Integrando por partes.u=ln y ; dv=dy g ( y )= y ln y−∫ y ( 1
y )dy= y ln y− y
du= 1
ydy ;v= y g ( y )= y ln y− y (A)
iv).- Solución.Sustituyendo A en 1. ⇒ y2 senx−x3 y−x2+ y ( ln y−1 )=c .Si x=0 y y=e⟹ c=0∴ y2 senx−x3 y−x2+ y ( ln y−1 )=0.8.- Hallar el valor de k , de modo que la ecuación diferencial sea exacta.
(2 x y2+ y ex ) dx+ (2 x2 y+k ex−1 ) dy=0.i).- Condición necesaria y suficiente.
∂ M∂ y
(x , y )=∂ N∂ x
( x , y )⟹ ∂∂ y
(2 xy2+ yex )= ∂∂ x
(2 x2 y+k ex−1 ) .
4 xy+ex=4 xy+k ex∴ k ex=ex⟹ k=1.
1.6.2.- Ecuaciones diferenciales no exactas.
Se dice cuando la ecuación diferencial de la forma M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 , no cumple la condición.
∂∂ y
M ( x , y )= ∂∂ x
N ( x , y ) .
Entonces, la ecuación diferencial se mult ipl ica por un factor integrante u ( x ) , u( y) o u ( x , y ) , que se calculan por métodos diferentes que se verán con más detal le en el tema 1.8. Sustituciones diversas, en este tema nos concretaremos a proporcionar el factor integrante.
Ejercicios resueltos.1.- Resolver: 6 xy dx+ (4 y+9 x2 ) dy=0 , s i el factor integrante es u ( x , y )= y2 .
i).- Condición necesaria y suficiente.∂
∂ yM= ∂
∂ xN , donde M=6 xy y N=4 y+9 x2 .
∂∂ y
6 xy=6 x≠ ∂∂ x
(4 y+9 x2 )=18 x , es una ecuación diferencial no exacta.Entonces se afecta por el factor integrante u ( x , y )= y2 .
i i).- Se veri f ica la condición de exactitud nuevamente.∂
∂ y6 x y3=18 xy2= ∂
∂ x(4 y3+9 x2 y2 )=18 xy2⇒Ec. Diferencial exacta.
i i i).- Se resuelve como ecuación diferencial exacta.Si ∂ f
∂ x=M ( x , y )⟹d ( f )=M (x , y ) dx∴∫d ( f )=∫M (x , y ) dx .
f ( x , y )=∫M ( x , y )dx+c , donde c=g ( y ) , puesto que se integra con respecto a x .
f ( x , y )=∫6 xy3 dx+g ( y )= x2 y3
2+g ( y )=3 x2 y3+g ( y ) . (1)
Derivando con respecto a y .∂ f∂ y
=9 x2 y2+g ' ( y )=N ( x , y ) , puesto que, ∂ f∂ y
=N (x , y )
9 x2 y2+g' ( y )=4 y3+9 x2 y2∴g ' ( y )=4 y3⇒ g ( y )= y4+c .
1.7.- Ecuaciones Lineales.
Una ecuación diferencial es l ineal t iene la forma an ( x ) dn y
dxn +an−1 ( x ) dn−1 ydxn−1 +…+a2 ( x ) d2 y
dx2 +a1 ( x ) dydx
+a0 ( x ) y=g ( x ) . y además todos los coeficientes an ( x ) , an 1 ( x ) , …,a3 (x ) , a2 ( x ) , a1 ( x ) y a0 ( x ) y g ( x ) , únicamente están en términos de x , y todas las derivadas y la variable y , son pr imer grado. Ahora cuando n=1 , se t iene la ecuación l ineal de primer orden.
a1 ( x ) dydx
+a0 ( x ) y=g ( x ) .
Que dividiendo entre a1 ( x ) .a1(x)a1(x)
dydx
+a0(x )a1(x )
y= g(x )a1(x )
.
dydx
+a0(x)a1( x)
y=g( x)a1(x)
. Si: a0(x )a1(x )
=p (x) y g (x)a1(x)
=f ( x ) .
Se t iene la forma mas practica.
dydx
+ p ( x ) y=f ( x ) .
Si le damos la presentacion de exacta.dydx
+ [ p ( x ) y−f (x)]=0⟹dy+[ p ( x ) y−f (x )] dx=0.
Se aprecia que es una ecuación diferencial no exacta, puesto que, por s imple inspección no cumple la condición de exactitud, ∂ M
∂ y=∂ N
∂ x. Pero si la mult ipl icamos por un factor
integrante, intentemos con u ( x ) .
u ( x )dy+u ( x ) [ p ( x ) y−f ( x ) ] dx=0.
Ahora ya es posible considerarla como exacta, entonces, debe cumplir con la condición de exactitud. ∂ M
∂ y=∂ N
∂ x.
∂∂ y
u ( x ) [ p (x ) y− f ( x ) ]= ∂∂ x
u ( x ) .
Pero ahora la pregunta ¿Quién es el factor integrante u ( x ) .? Veamos, para esto se efectúan las operaciones que indican la condición de exactitud.
u ( x ) p ( x ) ∂ y∂ y
− ∂∂ y
f ( x )= ∂∂x
u ( x ) .
u ( x ) p ( x )= ∂∂ x
u ( x ) , Pero como, lo que, se quiere es saber el valor de u ( x ) , entonces.Sustituyendo en (1), se t iene: 3 x2 y3+ y4=c .
2.- Resolver: (− y2 ) dx+( x2+xy ) dy=0 , s i u ( x , y )= 1x2 y
, es un factor integrante.
Por la condición de exactitud.∂
∂ y(− y2 )=−2 y ≠ ∂
∂ x( x2+xy )=2 x+ y⟹ Es una Ec. Dif. No exacta.
Afectando por el factor integrante.1xy
(− y2 ) dx+ x2+xyxy
dy= 0xy⟹− y
xdx+( x
y+1)dy=0.
Verif icando nuevamente la exactitud.∂
∂ y (− yx )=−1
x= ∂
∂ x ( xy+1)=1
y no cumple, entonces, u ( x , y ) , no es un factor integrante.
3.- Resolver la ecuación diferencial:(−xy senx+2 y cosx ) dx+2x cosx dy=0 ,Si u ( x , y )=xy , es un factor integrante.Por s imple inspección, se aprecia que se trata de una ecuación diferencial no exacta, entonces, se afecta por el factor integrante u ( x , y )=xy .
f ( x , y )=x2 y2 cosx+h(x ) (1), derivando con respecto a x .∂ f∂ x
(x , y )=M ( x , y )=2 xy2 cosx−x2 y2 senx+h' ( x ) .
−x2 y2 senx+2 xy2 cosx+h' ( x )=−x2 y2 senx+2 xy2cosx ∴h ' ( x )=0h ( x )=0+c . (A) sust ituyendo A en (1).f ( x , y )=x2 y2 cosx+h(x ) y h ( x )=c ∴ f ( x , y )=x2 y2 cosx+c o x2 y2 cosx=c .
4.- Resolver: y ( x+ y+1 ) dx+( x+2 y¿dy=0 ) , si u ( x , y )=ex , es un factor integrante de la ecuación diferencial.Por s imple inspección, se aprecia que es una ecuación diferencial no exacta, entonces, afectando por el factor integrante, u ( x , y )=ex .y ex ( x+ y+1 ) dx+ex (x+2 y ) dy=ex (0 ) . ⇒ y ex ( x+ y+1 ) dx+ex ( x+2 y ) dy=0.
∂∂ y
y ex ( x+ y+1 )=e x ( x+ y+1 )+ y ex= ∂∂ x
e x ( x+2 y )=ex (x+2 y )+ex⟹ ∂ M∂ y
= ∂ N∂ x
.
Por lo tanto, se resuelve como una ecuación diferencial exacta.Si sabemos que ∂ f
∂ y=N ( x , y )⟹d ( f )=N ( x , y )dy ∴∫d ( f )=∫N ( x , y ) dy .
f ( x , y )=∫N ( x , y ) dy+c , donde, c=h (x ) ∴ f ( x , y )=∫N ( x , y ) dy+h ( x ) .
f ( x , y )=∫ ( xex+2 ye x) dy+h ( x )=∫ x ex dy+2∫ y ex dy=¿¿x ex+ y2ex+h ( x ) . (1)
Derivando con respecto a x , se t iene. ∂∂ x
f ( x , y )=M ( x , y ) .
y ex+xy ex+ y2 ex+h' ( x )=M ( x , y ) .y ex+xy ex+ y2 ex+h' ( x )= y ex ( x+ y+1 )=xy ex+ y2 ex+ y ex ∴h' ( x )=0.
h ( x )=0+c⟹h ( x )=c . (A) sustituyendo en (1). ⇒ xy ex+ y2 ex=c .
5.- Resolver: (2 y2+3 x ) dx+2 xy dy=0 , s i u ( x , y )=x , es un factor integrante.Por simple inspección, se observa, que se trata de una ecuación dif. No exacta.
Entonces, afectando por el factor integrante, a la ecuación diferencial.(2 xy2+3 x2 ) dx+2x2 y dy=0.∂ M∂ y
=4 xy= ∂ N∂ x
=4 xy⟹ ∂ M∂ y
= ∂ N∂ x
∴se resuelve como una ecuación diferencial exacta.Si ∂ f
∂ y=N ( x , y )⟹df =N ( x , y )dy .
f ( x , y )=∫N ( x , y ) dy+h ( x )=∫ 2 x2 y dy+h ( x )=x2 y2+h (x ) . (1)
Derivando esta ult ima expresión con respecto a x .∂
∂ xf ( x , y )=M ( x , y )= ∂
∂ x [ x2 y2+h ( x ) ]=2 xy2+h' ( x )=M ( x , y ) .
2 xy2+h' ( x )=2 xy2+3x2⇒h' (x )=3 x2 ∴h ( x )=x3 (A).
Sustituyendo h ( x )=x3 en x2 y2+h ( x )=0⟹ x2 y2+x3=c
y=x5 ex−x 4ex+cx4
Ahora la resolveremos por el procedimiento que se empleo para obtener la fórmula.1.- Determinar el factor integrante u(x)u ( x )=e∫ p ( x ) dx=¿e
∫−4x
dx=¿e−4ln x=¿ e lnx−4=x−4¿¿¿
u ( x )=x−4= 1x4
2.- Resolución
Se mult ipl ica la ecuación por el factor integrante u(x)= 1x4
1x4 . dy
dx− 1
x4 ( 4x ) y= 1
x 4 . x5 ex
x−4 dydx
−4 x−5 y=xe x
Se observa que ddx
( x−4 y )=x−4 dydx
−4 x−5 y=xe x
ddx
( x−4 y )=xex
Integrando ambos miembros ∫ d ( x−4 y )=∫ xe x dx⇒ x−4 y=xe x−e x+cDespejando y:y= xex
x−4 − e x
x−4 +c
x−4=x5 ex−x4 ex+cx4
y=x5 ex−x 4ex+cx4
2.-Resolver: dydx
−3 y=0
i ) Por la fórmulasi P(x)=-3 y f (x)=0y=e−∫−3 dx∫(0 )e∫−3dx dx+ce−∫−3 dx=ce 3 x
y=ce3 x
i i ) Con el procedimientoSi P(x)=-3; entonces, μ( x )=e∫P (x )dx=e−∫3 dx=e−3 x
Multipl icando la ecuación diferencial por el factor integrante e−3 x dy
dx−3e−3 x y=0 .
Se aprecia que: ddx
( ye−3 x )=e−3 x dydx
−3 e−3 x y=0.
ddx
( ye−3 x )=0.
Integrando. ∫ d ( ye−3 x )=0⇒ ye−3 x+c=0∴ ye−3 x=−c
ye−3 x=c∴ y= ce−3 x
=ce3 x ⇒ y=ce3 x .
3.- Resolver: ( x2+9 ) dy
dx+xy=0 .
i ) . - Aplicando la fórmula.y=e−∫ p ( x ) dx∫ f (x ) e∫ p ( x ) dx dx+ce−∫ p ( x ) dx .Si le damos la forma de ecuación diferencial l ineal de 1er. orden. dydx
+ xx2+9
y=0
Se sabe que p ( x ) x
x2+9 y esta función es continua en -∞<x<∞, puesto que, x2+9=0 . solo se verif ica para el conjunto de los números complejos. Entonces:
y=e−∫ xdx
x 2+9∫0 e∫ p ( x )dx dx+ce−∫ xdx
x2+9 .
y=ce−∫ xdx
x 2+9=ce− 1
2∫2 xdxx2+9 =ce
− 12
ln( x2+9)=celn (x2+9 )
− 12
.
y=ce
ln1
(x 2+9 )1 2
=c 1√x2+9
= c√x2+9
y= c√ x2+9 .
i i ) . - Con el procedimiento.
La ecuación dydx
+ xx2+9
y=0 .
Se mult ipl ica por el factor integrante u ( x ) .
u ( x )=e∫ p ( x ) dx .=e∫ xdx
x2+9=e12∫
2xdxx2+9 =e
12
ln (x2+9 )=e ln (x2+9 )
1 2
.
u ( x )=√ x2+9 .
√ x2+9 dydx
+ x√ x2+9x2+9
y=0 .
Simpl if icando: √ x2+9 dy
dx+ x
x2+9y=0 .
Se observa que: ddx
( y √ x2+9 )=√ x2+9 dydx
+ x√x2+9
y=0∴ ddx
( y √x2+9 )=0∴
y √x2+9+c=0∴ y√ x2+9=−c .
y √x2+9=c⇒c
√x2+9
4.- Resolver: dydx
+2 xy=x .
Se trata de una ecuación diferencial l ineal de 1er. orden.i) . - Resolución por la fórmula.P ( x )=2 x y f ( x )=x .
y=e−∫ 2 xdx∫ xe∫ 2 xdx+ce−∫exdx=e−x2∫ xe x 2dx+ce−x 2
.
y=e−x2
∫ 12
ex2(2 xdx )+ce−x2
=e−x2 12∫ ex2
(2 x )dx +ce− x2.
y=e−x2 12
ex2+ce−x2
=12+ce− x2
=12+ c
x2 = 12
x2+c .
5.- Resolver: x dy
dx+ y=2 x .
i ) . - Resolución por la fórmula.Se le da la forma de ecuación diferencial l ineal de primer orden.dydx
+ 1x
y=2 . Donde
P ( x )=1x y .2xf
Sustituyendo en la fórmula.
y=e−∫ 1
xdx∫2 e
∫ 1x
dxdx+ce
−∫ 1x
dx=e−ln x∫2e ln x dx+celn x−1
.
y=2 x−1∫ xdx+cx−1=2x
x2
2+ c
x=x+ c
x= x2+c
x
y= x2+cx
.
6.- Resolver: dydx
= 1x+ y2
. Sujeta a y (−2 )=0 .
Si identif icamos la ecuación vemos que no es una ecuación diferencial l ineal de 1er. orden, tampoco es homogénea ni de variables separables, pero si se sust ituye esta expresión
por su recíproca tenemos: dxdy
=x+ y2
, se observa que es una
ecuación l ineal con respecto a x, puesto que, dxdy
−x= y2
, ahora P ( x )=−1.
f ( y )= y2 . Resolviéndola
por la fórmula: x=e−∫ p ( y ) dy∫ f ( y ) e∫ p ( y )dy dy+ce−∫ p ( y )dy .
x=e−∫−dy∫ y2e− y dy+ce y……(1)
Integrando dos veces por partes se t iene a: ∫ y2 e− y dy . Donde u= y2 ;dv=e− y dydu=2 y ; v=−e− y
∫ y2 e− y dy=− y2 e− y+∫2 ye− y dy=− y2e y+2∫ ye− y dy .u= y ; dv=e− y dydu=dy ;v=−e− y
⇒∫ y2e− y dy=− y2e− y+2 (− ye− y−∫−e− y dy )…..(A)Sustituyendo (A) en (1).x=e y (− y2e− y−2 ye− y−2 e− y )+ce y .
Sustituyendo: 0=c∴ x=− y2−2 y−2 .
7.- Hallar una solución continúa que verif ique, dydx
+ y=f (x ),
Donde f(x) = 1, s i 0 ≤ x ≤ 1 0, x > 1
y la condición inicial y (0) = 0
i) . Gráfica de la función f (x) y=f ( x )=1 , si 0≤ x≤ 1
De acuerdo a la gráf ica, se aprecia una discontinuidad en x = 1. Entonces, la ecuación diferencial se resolverá para ambos casos por partes. Considerado cuando f(x) = 1, si 0 ≤ x ≤ 1.
Se t iene dydx
+ y=1. Observe que es posible resolverla por
variables separables.
Nos indica que y = 1 en el intervalo de [ 0,1 ]Ahora f(x) = y =0, x
>1.Entonces, y = 0 en el intervalo (1, +∞)
dy = (-y+1) dx ∴ dy
1− y=dx ∴ dy
y−1=−dx
Integrando: ∫ dy
y−1=∫−dx∴ ln ( y−1 )=−x+c⇒ y−1=ℓ−x+c
y=1+cℓ−x ∴ y=1+cℓ−x , Pero como y (0 )=0 ,entonces, x=o y y=o ∴0=1+cℓ−0 ,∴c=−1 ,entonces y=1−ℓx ,cuando 0≤x≤1.
Ahora cuando f ( x )=0 , en x>1 , la ecuación diferencial queda: dydx
+ y=0 ,si x>1.
Resolviendo por variables separables:dy=− ydx∴ dy
y=−dx .
Integrando: ∫ dy
y=−∫dx ∴ ln y=−x+c∴ y=ℓ−x+c=ℓc ℓ−x
y=cℓ−x No se considera la condición in icial, puesto que x>1 y la condición es x=0 .
Ahora se desea obtener una solución continua, entonces, se quiere que la función que representa una discontinuidad, represente una continuidad, es decir, que la gráfica se continua en los intervalos indicados [ 0,1 ] y (1 ,∞ ) . Véase la gráfica siguiente. La pregunta es ahora que función representa tal gráfica. Únicamente nos concentramos a decir que es una función y que debe estar en términos de x
, y ( x ) .
Para esto establecemos el l ímite x→1+ y ( x )= y (1 )
limx❑
→1+¿ y ( x )= y(1)¿
¿
1−ℓ−x , 0≤x≤1.
y = cℓ− x , s i x>1 .
Pero cual de las dos funciones de las soluciones de la ecuación diferencial debemos considerar s i las soluciones son:
Se aprecia claramente que debe ser y=cℓ−x , lógicamente puesto que, se desea conocer cual es el valor de c , de esa famil ia uniparamétrica, tal que, permite la continuidad, entonces, y ( x )=cℓ−x
, ahora:lim
x❑→
1+¿ y ( x )= limx❑
→1+¿ce−x=y (1) y y(1)
¿¿ ¿
¿ Tiene que ser la primera, puesto que, esta única que permite x=1, mientras que la segunda únicamente t iende por la derecha de x=1, por x > 1.lim cℓ−x=1−ℓ−x ∴cℓ−1∴c= 1
ℓ−1−ℓ−1
ℓ−1=ℓ−1 .
x→1c=ℓ−1.Entonces la función que permite la continuidad, más no diferenciable en x=1, es:
Y= 1−ℓ−x , 0≤x≤1.
(ℓ−1 )ℓ− x , six>1 .
8.-Hal lar una solución continua para la ecuación diferencial dada, sujeta a las condiciones siguientesdydx
+2 xy= f ( x ) , donde f ( x )¿¿
y(0)=2
i) . - Gráf ica de f(x)
y=f ( x )=x , si o≤x <1. . .. .. . .(1 )
y=f ( x )=0 , si x≥1 .
i i ) Resolviendo la ecuación diferencial en partes puesto que existe discontinuidad en x=1.
La función de la ecuación diferencial con esas condiciones y su gráfica se muestra con anterioridad como ya se menciono.
1
Para f(x)=x, s i 0≤x<1⇒ dy
dx+2 xy=x
Se aprecia que es posible resolverlas por variables separables, pero ahora la resolveremos como Ecuación Diferencial Lineal de primer orden, apl icando la fórmula.Se sabe que P ( x )=2 x y f ( x )=x .
y=e∫ 2 xdx∫ xe∫ 2 xdx dx+ce−∫ 2 xdx
y=e−x2∫ xex2
dx+ce− x2
=e− x2 12
ex2
+ce−x2
y=12+ce−x2
, si y (0 )=2∴ 2=12
+ce0 ; c=32
y=12+3
2e−x2
Para la segunda parte se t ienen, f ( x )=0 donde:dydx
+2 xy=0 ,Se resuelve como la ecuación diferencial l ineal
.Pero como la condición y(0)= 2 y la famil ia uniparamétrica que se acaba de obtener, esta restringida para el intervalo x≥1 .entonces se establece el lim
x❑→
1−¿ y ( x )= y(1)¿
¿
limx❑
→1−¿ 1
2+32 e−x2
=c e−x2
∴12+
32 e−1=c e−1∴c=
12 e+ 3
2 ¿
¿
Entonces la solución f(x)=y=
1.8 ECUACIONES DE BERNOULLI.
12+ 3
2ℓ− x2
, si 0≤x<1
12+ 3
2ℓ− x2
, si 0≤x<1
En este tema abarcaremos tres ecuaciones clásicas que, en algunos casos, pueden transformarse en ecuaciones que ya se han estudiado, a la ecuación diferencial.dydx
+ p( x ) y=f ( x ) yn , Donde n∈R
Se le l lama ecuación de bernoul l i en honor al matemático suizo Jacob bernoull i (1654 – 1705)Si n≠0 y n≠1 , la sustitución w= y1−n, l leva a la ecuación l ineal .dwdx
+(1−n) p ( x )w=(1−n) f ( x )
Demostración:Dividiendo la ecuación diferencial entre yn .
y−n dydx
+p ( x ) y1−n=f ( x ) . .. .. . .. ..(1 )
Si w= y1−n y dwdx
=(1−n ) y−n dydx
∴ dydx
= 11−n
yn dw .…………..(A)
Sustituyendo (A) en (1)y−n 1
1−nyn dw
dx+ p( x )w=f ( x )∴ 1
1−ndwdx
+ p (x )w= f ( x ) .
Multipl icando por (1-n).dwdx
+(1−n ) p ( x )w=(1−n ) f ( x )
Ejercicios resueltos.
1.- Resolver: dydx
+ 1x
y=xy 2 .
i ) . - Identif icación del t ipo de la ecuación diferencial . Vemos que posee característ icas muy similares a una ecuación l ineal, excepto por el termino del segundo miembro que posee y2 , s in embargo este precisamente la identif ica como una ecuación de Bernoul l i , es decir de la forma dydx
+ p ( x ) y=f ( x ) yn .
i i ) . - Transformación a una ecuación diferencial l ineal de primer orden y de pr imer grado.Si debemos transformarla a ecuación l ineal que t iene la
forma dwdx
+(1−n ) p ( x )w=(1−n ) f ( x )……..(1)
Donde de la ecuación diferencial : dydx
+ 1x
y=xy 2
Se t iene que, p ( x )=1
x; f ( x )=x
y n=2. Entonces w= y1−2= y−1 y
la sustitución en la ecuación (1) dwdx
+(1−2 ) 1x
w= (1−2 ) x ⇒
dwdx
−1x
w=−x… (2)
i i i ) . - Resolución por la fórmula.y=e−∫ p ( x ) dx∫ f (x ) e∫ p ( x ) dx dx+ce−∫ p ( x ) dx
Que en este caso la variable dependiente de la ecuación (2), es w, por lo tanto l fórmula será:
w=e−∫ p (x ) dx∫ f ( x ) e∫ p ( x )dx dx+ce−∫ p ( x ) dx
w=e−∫(−1
xdx)∫ (−x ) e
−∫ 1x
dxdx+cee
∫ dxx Efectuando operaciones indicadas.
w=e ln x∫ (−x )e−ln x dx+celn x=−x∫ x ( x−1) dx+cxw=−x ( x )+cx=−x2+cx Regresando a la variable inicial y−1=−x2+cx ⇒ 1
y=(−x2+cx )∴ y= 1
−x2+cx
iv).- Resolviendo por el procedimiento (Bernoul l i) .
La ecuación diferencial dydx
+ 1x
y=xy 2
Dividiendo toda la ecuación entre y2
y−2 dydx
+ 1x
y−1=x⇒w= y−1∴ dwdx
=− y−2 dydx
dydx
=− y2 dwdx , real izando el cambio de variable
y−2(− y2 dwdx )+ 1
xw=x∴−dw
dx+ 1
xw=x
dwdx
−1x
w=−x⇒ Ecuación diferencial l ineal.
Resolviéndola por el procedimiento de las ecuaciones diferenciales l ineales. Se mult ipl ica por el factor integrante
u=e∫ p ( x ) dx=e
∫(− 1x )dx
=e−ln x=eln x−1
=x−1∴u ( x )=x−1
x−1 dwdx
−x−1 1x
w=−x ( x−1)
x−1 dwdx
−x−2 w=−1
En este procedimiento siempre se cumplirá que el pr imer miembro es igual al di ferencial del producto de la variable dependiente por la variable independiente w ( x−1 )ddx
( x−1 w )=−1
d ( x−1 w )=−dx
Integrando ∫ d ( x−1w )=−∫ dx∴ x−1 w=−x+c
w=− xx−1
+ cx−1
=−x2+cx
Regresando a la variable inicial w= y−1
y−1=−x2+cx ∴ 1y=(−x2+cx )∴ y= 1
−x2+cx
2.- Resolver: x dy
dx+ y= 1
y2.
i ) . - Transformación a una ecuación diferencial.Por las característ icas que t iene, es posible considerar una ecuación de Bernoul l i .Para apreciarla más fáci lmente, se expresa en la ecuación. x dy
dx+ y= y−2
Entonces dividiendo entre y−2 o apl icando por y2
(1). xy 2 dy
dx+ y3=1
observe que seria factible resolverla por variables separables.
Entonces, w= y1−n= y1− (−2 )= y3∴ dw
dx=3 y2 dy
dx
∴ dydx
= 13 y2
dwdx Sustituyendo en (1).
xy 2( 13 y2 ) dw
dx +w=1⇒x3
dwdx +w=1
dwdx
+ 3x
w=3x⇒
Ecuación diferencial l ineal, donde p ( x )=3
x y f ( x )=3
x
i i ) . - Resolución por el procedimiento.dwdx
+ 3x
w= 3x …..(2)
Se calcula el factor integrante u ( x )=e∫ pdx=e∫ 3
xdx=e3 ln x
u ( x )=e ln x3=x3
Multipl icando (2) por el factor u ( x )=x3
x3 dwdx
+3 x2 w=3 x2 .
Como siempre se cumple en la ecuación diferencial l ineal que, en el primer miembro, entonces.ddx
( x3 w )=x3 dwdx
+3 x2 w dxdx
=x3 dwdx
+3 x2 w
ddx
( x3 w )=3 x2∴d ( x3 w )=3 x2dx
Integrando. ∫ d ( x3w )=∫3 x2dx ∴ x3w=x3+c
w=1+ cx3
⇒
y3=1+ cx3 ∴ x3 y3−x3=c
3.- Resolver : dydx
= y (x y3−1)
i ) identif icación del t ipo de ecuación diferencial .dydx
= y (x y3−1) Se presenta en la forma de bernoull i para apreciar s i efectivamente lo es. dy
dx+ y=x y4 Si es una ecuación diferencial de bernoull i .
i i ) transformación a una ecuación l ineal con la intención de transformarla en una ecuación l ineal la, indica que hay que dividir la entre y 4 . y− 4 dy
dx+ y−3=x , ahora el 2º termino indica que
W=y-3, o esta sustitución se consigue observando que n=4 por lo tanto
w= y 1 - n= y1 - 4 = y - 3
dwdx
+3 y−4 dydx
dydx
= −13 y−4
dwdx
=− y4
3dwdx
Por lo tanto dydx
=− y4
3dwdx
A en 2
y− 4(− y4
3dwdx )+w=x → −1
3dwdx
+w=x
→ dwdx
−3 w=−3 x
dwdx
−3 w=−3 x →Eecuación diferencial l ineal 3
i i i ) calculo del factor integrante.Si u(x)= e∫ p ( x ) dx, entonces, u(x)=e∫−3 dx= e−3 x
U(x)= e−3 x
iv) resolución de la ecuación diferencial.Se mult ipl ica la ecuación 3 por u(x) = e−3 x
e−3 x dwdx
−3e−3 x w=−3 xe−3 x
En una ecuación diferencial l ineal s iempre se cumple d (e¿¿−3 xw)
dx=e
−3 x dwdx
−3 e−3 x w ¿ por lo tanto
d(e¿¿−3 xw)
dx
❑
=−3e−3 x x¿ por lo tanto d (e¿¿−3 x w)=−3 e−3 x dx ¿ →∫ d (e¿¿−3x w)=∫−e−3x 3 xdx ¿Integrando por partes: e−3 x w=−∫3 x e−3 x dx
e−3 x w=3∫ e−3 x xdxe−3 x w=−3∫e−3 x xdx , sea u=x; dv=e−3x dx
du=dx v=−e−3 x
3e−3 x w=−3¿
e−3 x w=xe−3 x+ e−3x
3 +c por lo tanto
w=x+ 13+ce3 x
Recuperando la variable inicial y−3=x+ 13+c e3 x
4.- Resolver x2 dydx
+ y2=xy
Forma de ecuación diferencial de Bernoull ix2 dy
dx−xy=− y2→ dy
dx−1
x=−1
x2 y2
Transformación en una ecuación diferencial l inealdwdx
+(1−n ) p ( x )w=(1−n ) f ( x ) si p ( x )=1x
;f ( x )=−1x2 ;n=2
dwdx
+(1−2 )❑ −1x
w=−( 1x2 )
Por lo tanto
dwdx
+1∃x
w= 1x2 ← Ecuación1
i i i ) Resolución.Primeramente se calcula u(x), si u ( x )=e
∫ dxx dx
=e¿ ( x )=xSe mult ipl ica toda la ecuación 1 por el factor integrante u(x)=x
x dwdx
+w=1x
Como ya sabemos que.d (xw)
dx=x dw
dx+w → d (xw)
dx=1
x→ d (xw)=1
xdx
Integrando ∫ d (xw)=∫ 1x
dx
xw=¿ ( x )+¿(c ) regresando la variable inicial w= y 1 - n w= y1−2= y−1∴ y−1 x=lncx ∴ x
y=ln cx
xy=¿ ( xc )→ e
xy=xc
cx=exy
5.- Resolver la ecuación diferencial y1 /2 dydx
+ y3/2=1, sujeta a y(0) = 4
Forma de la ecuación diferencial de Bernoull i
Dividiendo a la ecuación diferencial dada entre y 1 / 2 .y1/2
y1/2dydx
+ y3/2
y1/2=1
y1 /2 → dydx
+ y= y−1 /2 Forma de Bernoull i
Transformación en una ecuación diferencial l inealdwdx
+(1−n ) p ( x )w=(1−n ) f (x ) donde p ( x )=1; f ( x )=1; n=1/2w= y1−n= y1−−1 /2= y1+1 /2= y3 /2
dwdx
+(1−−1/2 ) w=(1−−1 /2 ) por lo tanto dwdx
+32
w=32 1
i i i ) Resolución de la ecuación diferencial.Calculo de u(x),¿e∫ p (x)dx=e
∫ 32 dx
=e32 x
Multipl icando por el factor integrante a 1e
32 x dw
dx+ 3
2e
32 x
w=32
e32 x
d (w e3 x2 )
dx =e32
x dwdx +
32 e
32
xw →d (w e
3 x2 )=3
2 e32
x→ d (w e
3 x2 )=3
2 e32
xdx
∫ d (w e3 x2 )=∫ 3
2e
32 x
dx→ w e3 x2 =e
32 x
+c→ w=1+ c
e32
xsi w= y
32 → y
32=1+ce
−32 x
si w= y1−n= y1−−1/2= y1+1 /2= y3 /2→ y3/2=1+c e−32 x
