Ecuaciones Diferenciales

1

Módulo de Ecuaciones Diferenciales (2)

MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

0y

u

x

u

0yyy3y

0dy)xy(dx)yx(

0yxdx

dy

2

2

2

2

2


http://lc.fie.umich.mx/


Problemas con valores iniciales

PVI y Contorno


1000

2

2

)(;)( yxyyxy

xdx

yd

1100

2

2

)(;)( yxyyxy

xdx

yd



Problemas de valores iniciales (PVI)

Sea la solución general de la Ecuación Diferencial F(x,y,y´,…,yn)=0 el PVI, consiste en encontrar el valor de la constante C, para un y(x0) = y0, de manera que con éste se pueda determinar una solución particular de la ED.

Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo , el problema de

Resolver :

con condiciones:

Se le llama problema de valor inicial.Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales.

Si el problema es de contorno3

) , ,' , ,( )1( nn

n

yyyxfdx

yd

10)1(

1000 )( , ,)(' ,)( n

n yxyyxyyxy


Cxy

1100 )(;)( yxyyxy



Resolver:

sujeta a:

Resolver:

sujeta a:

4

00)( :

) ,( :

yxytosubject

yxfdxdy

solve

1000

2

2

)(' ,)( :

)' , ,( :

yxyyxytosubject

yyxfdx

ydsolve

PVIs de primer y segundo orden:

son problemas de valor inicial de primer y segundo orden, respectivamente. Fácilmente interpretables de manera geométrica, como vemos en las figuras.




Ejemplo:

Sabemos que y = cex es una familia uniparamétrica de soluciones de la EDO:

y’ = y en (-, ).

Si y(0) = 3, entonces

3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una

solución de este problema de valor inicial.

Si queremos una solución que pase por (1, -2), entonces la condición es: y(1) = -2. De modo que -2 = ce,

c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex. 5

y = 3ex

y = -(2/e)ex




6

Ejemplo: x = c1cos(4t) + c2sen(4t) es una solución de

x + 16x = 0.Hallar una solución del siguiente PVI:

x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1.

Solución: Sustituimos: x( /2) = − 2 en x = c1cos(4t) + c2sen(4t),

y obtenemos c1 = −2.

De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos c2 = ¼. La solución pedida es:

x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t




7

Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si asignamos y(0) = -1, obtenemos c = -1.

Considérense las siguientes distinciones:1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1) es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 1.

2) Como una solución: los intervalos de definición mayores posibles son (-, 1), (-1, 1) y (1, ).

3) Como un problema de valor inicial, cony(0) = -1. El intervalo de definición mayor es (-1, 1).




Teorema de Existencia y Unicidad

8

Sea R la región rectangular en el plano xy definida por

a x b, c y d que contiene el punto (xo, yo) en su interior. Si f(x, y) y f/y son continuas en R, entonces existe algún intervalo Io:

xo- h < x < xo + h, h > 0, contenido en a x b y una función única y(x) definida en Io que es una solución del PVI .

Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias...




Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

ED Lineales de Primer Orden

Las ED de la forma

Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple con el Principio de Superposición respecto al término independiente q(x).

Métodos para resolver una ED de Primer Orden:

i) Análisis Caulitativo (gráfico)

ii) Técnicas Analíticas

iii) Aproximaciones Numéricas.

(no se estudiará en este curso)

xqy)x(pdxdy




Análisis CualitativoIsóclinas


Para este análisis consideraremos EDOs Autónomas y NO Autónomas



Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden autónoma tiene la forma de

es decir si la derivada es función solamente de la variable dependiente.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden NO autónoma tiene la forma de Es decir si su derivada es una función tanto de la variable dependiente como de la independiente.

yxfy ,

yfy

)1( yyy

yxy 2




12

Empezaremos nuestro estudio de EDOs de primer orden analizando una EDO cualitativamente.

(a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y).(b) Elementos lineales: Suponemos que dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la pendiente de una recta, o un segmento de recta que llamaremos elemento lineal.

Curvas solución "sin una función solución"

dy/dx = 0.2 xy = f(x, y)




13

Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una red o malla de puntos rectangular en el plano xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el campo de direcciones o campo de pendientes.

Campo de direcciones




14

Ejemplo: El campo de direcciones de EDO No Autónoma

dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a). Compárese con la figura (b) donde se han representado unas curvas de la familia de soluciones.



15

Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar una curva solución aproximada de la ecuación autónoma dy/dx = sen y, con y(0) = −3/2.

Solución:

Apelando a la continuidad de f(x, y) = sen y y f/y = cos y, el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia de una única curva solución que pasa por algún punto especificado en el plano. Ahora dividimos la región que contiene a (-3/2, 0) en una malla rectangular. Calculamos el elemento lineal de cada nodo para obtener la siguiente figura:




16

EDO autónomas y campos de direcciones

La figura muestra el campo de direcciones de dy/dx = 2y – 2.Podemos observar que los elementos lineales que pasan por los puntos de cualquier recta horizontal mantienen la pendiente.

Recordemos que una EDO autónoma es de la forma dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y.




Método de las Isoclinas

El procedimiento para dibujar el campo direccional puede ser simplificado construyendo primero las isóclinas.Una Isóclina es una curva en el plano xy sobre la cual la derivada de las soluciones de la ED es constante. Es decir:

podemos encontrar las curvas f(x,y)= c, en donde las soluciones pasan con un mismo ángulo de inclinación.

cdx

dyy




i) Construimos las isóclinas, éstas son curvas de la forma:

Donde c es una constante para varios valores de C.ii) Dibujar el campo de direcciones o de pendientes. Sobre la isóclina correspondiente a la constante C, la derivada de la solución de la ecuación diferencial tiene pendiente c. Dibujar rectas tangentes con pendiente ciii) Construir soluciones.iV) Recordar que las soluciones no se intersecan.

Procedimiento para realizar el análisis cualitativo de una EDO

autónomaNocyxf

autónomacyfy

),(

)(




Construya un campo direccional para la ecuación diferencial: 122 yxy

Las isóclinas está definidas estableciendo calculamos para c=0, c=4 y c=1Claramente se puede notar que es un círculo centrado en el origen.En cada punto de éstas isóclinas trazamos los campos direccionales.

cy

Mostramos las posibles curvas de solución,La superior pasa por (0,1)La de en medio pasa por (0,0)La inferior pasa a través de (0,-1)Obsérvese que cada curva de la solución sigue el flujo de los elementos de línea en el campo direccional y que no se cortan.




Método de las Isoclinas

a) Encontrar la ecuación de las isóclinas para la ecuación diferencial:

b) ¿Qué tipo de curvas son estas isóclinas?

c) Dibujar las isóclinas y con ayuda de éstas dibujar el campo de direcciones y algunas curvas solución.

taller


2

xy



Técnicas Analíticas




Métodos de Solución Analítica

NO existe un método general para resolver Ecuaciones Diferenciales, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento general para hallar su solución analítica.

Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.





El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de Ecuación Diferencial que se quiere resolver.

Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente.

Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido.





Si no funciona lo anterior, algunas alternativas consisten en buscar soluciones:

Basadas en Series

Numéricas

Geométricas




25

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Primer Orden y Primer Grado

EDO DE VARIABLE

SEPARABLE

EDO REDUCIBLE A

VARIABLE SEPARABLE

EDOS HOMOGÉNEAS

EDOS LINEALES

HOMOGÉNEAS

EDOS REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS

SUSTITUCIÓN LINEAL

SUSTITUCIÓN RACIONAL

SUSTITUCIONES DIVERSAS

EDOS REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS

IMPLÍCITAS

EDO EXACTAS

EDO REDUCIBLES

A EXACTAS




26

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO

Se las representa de la siguiente forma:

Si despejamos la derivada tenemos:

Si a ésta ecuación la podemos expresar en forma:

Se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria de Variable Separable y la solución general se obtiene por integración directa.

0),,( dx

dyyxF

),( yxgdx

dy

0)()( dyyNdxxM




Separación de variables

La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas:

Donde M(x) es una función exclusivamente de x y N(y) es una función exclusivamente de y.

Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:

Siendo c una constante de integración.

0)()( dyyNdxxM

cdyyNdxxM )()(




Ecuación de variables separadas

• Ejemplo: Resolver la ecuación

• Integramos

• Se obtiene:

• La solución es una

familia de circunferencias

concéntricas con c>0


122

22

22cyxc

xy

0 ydyxdx

xdxydy




La ED de la forma:

Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:

dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211

dxxg

xgdy

yf

yf

)(

)(

)(

)(

2

1

1

2


Debemos tomar en cuenta que: 0)(0)( 21 xgyf




Ejemplo: Resolver la ecuación

Solución: Separando variables tenemos:

Integrando:

Obtenemos:


0)1()1( 22 dyxydxyx

0)1()1(

22

dyy

ydx

x

x

dxx

xdy

y

y

)1()1(

22

Cyxyx )1)(1ln(2)1()1( 22




Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a variables separables, por ejemplo:

Haciendo el cambio z=ax+by+c, se obtiene una ecuación de variables separadas:

tesconssoncbadondecbyaxfdx

dytan,,),(

cdxzbfa

dzzbfa

dx

dz

)()(





Ejemplo: La ecuación

Se puede reescribir como

Donde:

Integrando se obtiene

Regresando a las variables originales:

taller

1)( 2 dx

dyyx

2

11

zdx

dz

cxzz )(tan 1

1dx

dz

dx

dyxzyyxz


)cytan(yx



Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas




Una función f(x,y) se dice Homogénea de grado n si

f(tx,ty)=tn f(x,y)

Ejemplo: f(x,y)=xy2+3x3 es homogénea de grado 3

ya que:

)3(),( 323 xxyttytxf

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

)3(3)(3),( 323332332 xxytxtxyttxtytxtytxf




La Ecuación Diferencial

se denomina Homogénea, si las funciones

Son homogéneas y del mismo grado.

Para solucionarlas, Realizamos el cambio de variable

Con lo cual se transforma en una Ecuación Diferencial de Variables separables.

Ejemplos:

0),(),( dyyxNdxyxM

),(),( yxNyxM

grado segundo homogénea,0)()( 222 dyyxydxyx

homogénea No0)()( 3222 dyyxydxyx


xduudxdyuxy



Otra forma de determinar la Homogeneidad de la

Ecuación Diferencial

Consiste en expresarla de la forma

0),(),( dyyxNdxyxM

x

yf

yxN

yxM

dx

dy

),(

),(

Haciendo el cambio de variable z = y/x, se convierte a la siguiente ED de variables separables:

zzfdxdz

x





Ejemplo:

Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Homogénea de tercer grado.

Realizamos el cambio de variable

Se tiene

03)( 233 dyxydxyx

grado3 homogénea3),(

3 grado homogénea)(),(2

33

xyyxN

yxyxM

xduudxdyuxy

0)(3)( 22333 xduudxxxudxxux





• Realizando las operaciones tenemos:

Integrado:

Resulta:

Regresando a la variable original se tiene:

021

33

2

duu

u

x

dx

duu

u

x

dx

3

2

21

3

Cux )21( 32

CxyxCx

yx 33

3

32 3)21(21(




Segunda forma:

• Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Homogénea de tercer grado.

03)( 233 dyxydxyx

2

3

3

2

3

33

2

33

3

1

3

)(

3

)(

xy

xy

dx

dy

xxyx

yx

dx

dy

xy

yx

dx

dy

Haciendo el cambio de variable u = y/x, se convierten a la siguiente ED de variables separables:

uufdx

dux




Segunda forma:

Reemplazando tenemos:

Separando las variables tenemos:

• Integrando:

La solución implícita es:

uu

u

dx

dux

2

3

3

1

dxx

duu

u 1

21

33

2

dxx

duu

u

1

21

33

2

Cxyx 33 2




ED Homogéneas de Primer Orden

Ejemplo: La función

Es homogénea de grado cero y se puede escribir como:

Por lo tanto la ED

Se puede transformar en la ED con variables separables

Donde z=y/x.

32

32

2

3),(

yyx

xxyyxf

3

2

2

3),(

xy

xy

xy

yxf

32

32

2

3

yyx

xxy

dx

dy

zzz

z

dx

dzx

3

2

2

3




Date post:	24-Jul-2015
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