Date post: | 14-Apr-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | wilfrido-meneses-gel-vis |
View: | 236 times |
Download: | 3 times |
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Esp. Maestrante. Daniel Sáenz C
Sea una función continua para la cual existen sus derivadas parciales, la expresión
Se denomina la diferencial total
DIFERENCIAL TOTAL
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 2
Encuentre la diferencial total de
Buscamos las derivadas parciales
Como la diferencial total es
Ejemplo 1.
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 3
Reemplazando se tiene
Ejemplo 1.
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 4
Encuentre la diferencial total de
Buscamos las derivadas parciales
Remplazando en la diferencial total
Ejemplo 2.
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 5
Encuentre la diferencial total de
Ejemplo 3.
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 6
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 7
Si la función es constante, ,la diferencial total es igual a cero
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 8
Una ecuación diferencial de la forma
Se denomina EXACTA , si es la diferencial total de una función constante. Es decir si
Definición
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 9
Por el teorema de las segundas derivadas parciales tenemos que las derivadas cruzadas
son iguales, es decir
Criterio para verificar si una E.D es EXACTA
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 10
Como
Entonces
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 11
Con lo que se tiene
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 12
Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta.
Ejemplo
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 13
Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta.
Ejemplo
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 14
Diga cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas
ACTIVIDAD
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 15
0)12(2 22 dyeyxdxyexy xx
0)2(23 322 dyyLnxySenxdxxyxCosxy
0)(2 2 dyxSecyxdxTanyxy
Sea la ecuación diferencial EXACTA
Para encontrar la solución, se tienen en cuenta lo siguiente.1. Hacemos
SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL EXACTA
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 16
2. Integramos con respecto a x, tomando la constante de integración como una función de y (g(y) )
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 17
3. El resultado de la integral lo derivamos con respecto a y, e igualamos a la función
4. Simplificamos e integramos con respecto a y, para determinar la función .
5. Hacemos la función , y reemplazamos la función en el resultado de la primer integral, para obtener la solución
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 18
Solucionar la ecuación diferencial exacta
1. Hacemos
Ejemplo
N
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 19
2. Integramos con respecto a x.
3. El resultado anterior lo derivamos con respecto a y e igualamos a N(x,y)
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 20
Simplificando
Integrando con respecto a y
La solución es:
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 21
1. Hacemos
2. Integramos con respecto a x.
SOLUCIONAR
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 22
0)12(2 22 dyeyxdxyexy xx
3. Derivamos con respecto a y
4. Integrando con respecto a y
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 23
La solución es
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 24
Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas
ACTIVIDAD
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 25
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 26
Buscar parejas de diferenciales que sean la diferencial de un termino
Ejemplo solucionar
Eliminamos signos de agrupación
Otra forma de solución es
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 27
Agrupamos el primer con el tercer termino, y el segundo con el cuarto
Se derivó con respecto a x, la contante es
Se derivó con respecto a y, la contante es
Se derivó con respecto a x, la contante es
Se derivó con respecto a x, la contante es
Se derivó una
constante
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 28
Con los términos constantes de cada diferencial, se forma el termino que buscamos al cual se le calculo el diferencial total
=
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 29
Solucionar
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 30
ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 31