Date post: | 13-Jun-2015 |
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Ecuaciones DiferencialesEcuaciones DiferencialesEcuaciones diferenciales lineales, reducción del orden
Por: Astrid MedinaEylin CalderónDavid Torres
Ecuaciones diferenciales lineales, Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del ordenreducción del orden
Dada una solución y1(x) de la ecuación diferencial de segundo orden
(4.11)
puede determinarse una segunda solución y´´(x) que sea linealmente independiente con y2(x), de la forma v(x)y1(x), para cierta función v(x) distinta de una constante.
Sea y(x) — y1(x)v(x), entoncesSustituyendo las expresiones anteriores para y, y' y y" en (4.11) y simplificando resulta
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Y como y1 es una solución de (4.11), el primer término en el lado izquierdo de la igualdad anterior es igual a cero. Así que
O bien
Luego, para que la función y1(x)v(x) sea una solución de la ecuación diferencial (4.11), v(x) debe satisfacer la ecuación diferencial de segundo orden (4.12). Nótese que haciendo la sustitución u(x) = v’(x) entonces u’(x) = v“(x) y (4.12) se reduce a la ecuacion
4.12
4.13
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La cual es ahora de primer orden para la función incógnita u. Es por esta razón que al método que estamos desarrollando para calcular y2 se le conoce como Método de Reducción de Orden.
La ecuación (4.13) es lineal en u y también de variables separables. Separando variables tenemos
e integrando y simplificando, obtenemos
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donde c es una constante arbitraria. Aplicando exponencial a ambos lados de la última igualdad encontramos que
Por consiguiente
Tomando c = 1 tenemos el siguiente resultado.
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Teorema 4.3.1 Si y1(x) es solución de la ecuación diferencial
entonces una segunda solución y2(x) de (4.14). linealmente independiente con y1(x) es
4.14
4.15
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EJEMPLO 1. Dado que y1(x) = x^-2 es solución de la ecuación diferencial
encuentre su solución general en el intervalo (0,α). Solución. Verifiquemos que y1(x) es solución de la ecuación diferencial (4.16). Tenemos que
4.16
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Sustituyendo en (4.16) resulta
Así, efectivamente y1 es una solución de (4.16). Ahora utilizaremos el resultado (4.15) del teorema anterior para determinar una segunda solución de la ecuación diferencial, l.i. con y1. Primero, reescribimos (4.16) en la forma
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de aquí que en este caso p(x) = -7/x y entonces
Note que una segunda solución l.i. con y1(x) es simplemente ỹ2(x) = x^10. De modo que la solución general en (0, α) de la ecuación diferencial (4.16) es
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EJEMPLO 2. Encuentre la solución general en (0,α) de la ecuación diferencial
si y1(x)=cos ln x, es una solución de la ecuación.Solución. Nuevamente emplearemos (4.15) para obtener una segunda solución y2 de (4.17). En este caso p(x) = 1/x , por lo cual
4.17
Ecuaciones diferenciales lineales, Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del ordenreducción del ordenEn consecuencia
De donde la solución general en (0, α) de (4.17) es
GRACIAGRACIASS