Date post: | 06-Jul-2015 |
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Lectura1. Ecuacionesdetercerycuartogrado
Lasecuacionespolinomialessonaquellasquepuedenrepresentarsedelaforma: Endonde: xeslavariableindependiente. selellamacoeficienteprincipal. selellamatrminoindependiente. nrepresentaelmximoexponente(ogradodelaecuacin)ydebeserentero. Esta ecuacin involucra las ecuaciones que has visto hasta el momento y las que vas a estudiar en esta actividaddeaprendizaje.
Nombre Primergrado o lineal
Ecuacin Endonde:
Ejemplo
Segundogrado o cuadrtica
Endonde: Endonde:
Tercergrado o cbica
Observaqueenesteejemplono
existeeltrminocuadrtico,es porestoque: Cuartogrado Endonde:
Observaqueenesteejemplono existeeltrminolinealespor estoque: Cuandocomenzasteaestudiarlasecuaciones,vistequelasolucindeunaecuacineselvalordelavariable (enestecasox)quehaceverdaderalaproposicin. Cuandolaecuacinestigualadaacero,loqueestshaciendoesigualandoyconcero,esdecir,y=0,porlo , as que a una que el valor encontrado representa en la grfica las intersecciones con el eje de las solucin,tambinselellamacerodelaecuacin.
Porlotanto,escomnquelaspalabrassolucin, ceroraz,seutilicencomosinnimosparanombrarlassoluciones deunaecuacin.
Porestarazn,esimportantequetefamiliaricesconlostrestrminosyaquelosutilizarsenestalectura, indistintamente. Recuerdas que para encontrar la solucin de una ecuacin lineal, solamente bastaba con realizareldespejedelavariable,aplicandolaspropiedadesdelaigualdad?
Veamosunejemplo: Paradespejar,solamentepasamossumandoel3ydividiendoel2delotroladodelaigualdad.
Porlotanto,elnmerodesoluciones,racesocerosqueproporcionaunaecuacinlinealodeprimergrado, siempreesuna. Unaecuacindesegundogradocuadrtica,esaquellaquecontienecomo mximo exponente el 2, por lo que para encontrar las soluciones, races o ceros de la ecuacin,puedeusarseeldespeje,factorizacinfrmula,dependiendosilaecuacinest completaono. Esimportanterecordarquelafrmulapuedeutilizarseencualquiercasoynosproporciona dossolucionesrealescomplejas. Veamosunejemplo: Enestecasolaecuacinsepuedefactorizarcomo: Yutilizandolapropiedaddelfactornulo,igualamoscadaunodelosfactoresacero ydespejamos.
y Porlotanto,setienendossolucionesreales Como puedes observar, una ecuacin de primer grado nos proporciona una solucin, y una ecuacin de segundogradonosproporcionadossoluciones.
Cuntassolucionescreesquenospuedeproporcionarunaecuacindetercergrado?Ycuntas,unade cuartogrado? El Teorema Fundamental del lgebra, el cual se aplica a polinomios con coeficientes reales o complejosdice: TeoremaFundamentaldellgebra Unpolinomiof(x)degrado tieneexactamente races,cerososoluciones, dondeestasracespuedenserrealesocomplejasynonecesariamentetienenque serdiferentes. Por lo tanto, de acuerdo al Teorema Fundamental del lgebra, una ecuacin de tercer grado tendr 3 races,cerososolucionesyunaecuacindecuartogradotendr4races,cerososoluciones. El Teorema Fundamental del lgebra seala que las races pueden ser reales o imaginarias y no necesariamentediferentes,loqueimplicaquelassolucionespuedenseriguales. Veamosunejemplo: Resuelvalaecuacin ,
Si resolvemos por frmula, primero se determinan los valores de las constantes, recuerdatomarelsigno Sustituirlosvaloresenlafrmula
Lassolucionesdelasecuacionesson y
Observaquecomoesunaecuacindesegundogrado, setienendossoluciones,peroestassolucionessoniguales. Enestecasosedicequelarazdelaecuacines ytienemultiplicidadiguala .
Lamultiplicidaddeunarazeselnmerodevecesqueserepitelaraz. Enelcasoanteriorcomoserepitedosveces,entonceslamultiplicidades2. Hasta el momento has aprendido cmo resolver ecuaciones de primero y segundo grado, pero, cmo se podrnresolverlasecuacionesdetercerycuartogrado? Antesdecontestar,revisaalgunosteoremasquesepuedenaplicaracualquiertipodeecuacinpolinomialy queteayudarnaencontrarlasracesdelasecuacionesdetercerycuartogrado.
Teoremadelresiduo Siunpolinomio ,elresiduoesiguala ,esdivididoporunfactorlineal
TeoremadelfactorUnpolinomio dividirelpolinomioentreelfactorelresiduoesigualacero. ,tieneunfactor ,slosial
Teoremadelasracesracionales.Un polinomio enteros,tendrunarazracional Donde: Veamoscmoobtenerlasracesdeunaecuacindetercergradoutilizandolosteoremasanteriores. sonlosfactoresde sonlosfactoresde . con y coeficientes
Ejemplo1 Encuentralasracesdelasiguienteecuacinpolinomial.
Solucin
Teorema
Aplicacin Esteteoremanosayudaadeterminar el nmero de soluciones, races o ceros de la ecuacin, sin embargo, estas soluciones pueden ser reales o imaginarias. Este teorema nos permite encontrar las posibles races racionales que tengalaecuacin. Endonde: Unaposiblerazes sonlosfactoresde sonlosfactoresde
Ejemplo
Teoremafundamental dellgebra Teoremadelasraces racionales
Como la ecuacin es de tercer grado las races de la ecuacinson3.
Como: Losfactoresde: Lascombinacionesson:
Recuerdaquelosfactoresdeun nmero,sontodoslosnmerosigualeso mayores a1quelodividenexactamente. Ejemplos: Losfactoresdel5son:1y5. Losfactoresdel9son:1,3y9. Losfactoresdel12son:1,2,3,4,6
Lasposiblesracesson:
Teoremadelfactor Teoremadelresiduo
Esteteoremaestablecequepodemos tenerunfactor ,sielresiduoes cero, lo cual implica el teorema del residuo. El teorema del residuo, indica que si un polinomio es dividido entre un factor , el residuo se puede encontrarsisesustituyeelvalordela razenlafuncin.
Enbasealteoremadelresiduopodemosprobarunadelas posiblesraces. Comencemoscon ,estoimplicaquelarazes y podemos tener un posible factor, si el lo pasamos restandodelotroladodeligualrestando Sustituimos el valor de la posible raz en la ecuacin y el valor que se obtenga ser el residuo de la divisin del polinomioentreelbinomio
Cmo el residuo es cero y basndonos en el teorema del factor, se puede concluir que el binomio es un factordelpolinomio Hastaelmomentodelaecuacin solamentetenemosunfactor yporlotanto . unaraz Sinembargo,noshacefaltanencontrarlasdosracesfaltantes,paraello,tenemosdosopciones:
Laprimeraesutilizarnuevamenteelteoremadelfactorydelresiduoydeterminarlasotrasdosraces. Veamoscmosetendraquehacer. Sustituyendolasiguienteposiblesolucin en
Comoelresiduoescero,podemosdecirqueyaencontramoslasegundaraz ser Sigamossustituyendolasiguienteposibleraz Comoelresiduoescero,podemosdecirqueyaencontramoslaterceraraz en
yelfactor
yelfactorser
Comoyatenemoslas3races,sisustituimoselsiguientevalornospodremosdarcuentaquenoes unaraz. Sustituyendolasiguienteposibleraz Comopuedesobservar,elresultadoqueseobtuvonoescero,loqueindicaqueelresiduode dividir Alencontrarlostresfactorespodemosdecirquelaecuacinsepuedefactorizartotalmentecomo: entre esiguala14.yporlotantonoesunfactor. en
Yutilizandolapropiedaddelfactornulo,podemosverificarlasraces encontradasigualandoacerocadaunodelosfactoresencontrados.
Lasegundaopcinparaencontrarlasracesfaltantes,apartirdequeyaencontramosunadeellas,esrealizandoladivisinde sinttica. entre yunadelasformasespormediodedivisin
Recuerdasladivisinsinttica?
Repasaunpocoelprocedimiento. 1.Seordenaelpolinomioenordendescendente(encasodequenoloest). 2.Seescribenloscoeficientesdecadaunodelostrminosconsusignocorrespondiente;sino existealgntrmino,suespaciosedeberellenarconuncoeficientecero. Veamoscmorealizarladivisinde entre
Estaecuacinyaseencuentraordenadadeformadescendente,esdecir,primeroeltrmino cbico,luegoelcuadrtico,luegoellinealyporltimoeltrminoindependiente. Escribes los coeficientes del polinomio, sin olvidar escribir el coeficiente con su signo correspondiente.
Deldivisorqueesunpolinomiodelaforma ,igualamosaceroydespejamos ,deesta .Enesteejemplocomoqueremosdividirentre , ;estenmerolo forma escribimosaladerechadeloscoeficientesenunpequeocuadro. Sebajaelprimercoeficientedelaizquierdacomosigue:
Semultiplicaelnmeroquesebaj,enestecasoel1,ysemultiplicaporelnmerodelcuadro,en estecaso1,yselesumaalsegundocoeficiente.
Serepiteelprocedimientomultiplicandoelresultadoporelnmerodelcuadro,yas sucesivamente.
Residuo Resultado Losnmerosqueobtienesalhacerlaoperacinsonloscoeficientesdelpolinomioresultanteyelltimo es nmeroeselresiduodeladivisin,enestecasoelceroyeselvalorqueteindicaqueelbinomio unfactor. Elpolinomioresultantesiempreesdeungradomenoralpolinomiodeldividendo,comoeldividendoesde grado3,elresultadoserdegrado2,detalforma,queelresultadoseescribeapartirdeloscoeficientes1 12,como: Ylaecuacindetercergradoensuformafactorizadahastaelmomento,ser: Comoelsegundofactoresunaecuacincuadrtica,sepuederesolverporfrmulaoporfactorizacin, dependiendoquprocedimientoseamssencilloparati. Enestecaso,siseresuelveporfactorizacin tenemos
Recuerdaquealmultiplicarseencruz,lasumadelos trminosdebedareltrminolinealincluyendoelsigno, paraestecaso Detalformaquelosfactoresdelaecuacincuadrticasern
Ylaformatotalmentefactorizadadelaecuacindetercergrado,ser: Yutilizandolapropiedaddelfactornulo,puedesverificarlasracesencontradasigualandoacerocadauno delosfactoresencontrados. Veamosotroejemplo:
Ejemplo2
Encuentralasracesdelasiguienteecuacinpolinomial.
Solucin 1. 2. De acuerdo al Teorema fundamental del lgebra, el polinomio tiene 3 races que pueden ser realesocomplejas. DeacuerdoalTeoremadelaracesracionalesl
Como: Losfactoresde:
Lascombinacionesson:
Lasposiblesracesson: Como puedes observar las posibles races son 18 y slo tres de ellas pueden ser las races de la ecuacin, por lo que sustituir todos los valores en la ecuacin es un proceso largo, sin embargo, es necesariocomenzarabuscaralmenosunfactorutilizandoelTeoremadelresiduoyelTeoremadel factor. Comienzaaprobarconlaposibleraz Pruebacon Segnelteoremadelresiduo,aldividir elresiduoescero,porlotantoelbinomio Podemosdividirpormediodedivisinsintticaparadisminuirelgradodelpolinomio. entre esunfactor. yprobar
Apartirdeloscoeficientes409,elpolinomioresultantees .Comoelpolinomio resultanteesdesegundogradosepuedefactorizar,enestecasocomounadiferenciade cuadrados.
Lafactorizacinser: As,laecuacinpolinomial Utilizandolapropiedaddelfactornuloigualamoscadaunodelos factoreslinealesaceroydespejamoselvalordelavariable . ensuformatotalmentefactorizadaes
Despejando: Despejando: Despejando:
Comopuedesobservar,enesteejerciciofuemssencilloencontrarunadelasraces,luegohacerla divisinyobtenerunaecuacindesegundogradoocuadrtica,lacualesmssencillaresolverpor factorizacinoporfrmula. Sigraficamoslaecuacinpodemosverificarquelasinterseccionesconelejedelas correspondenalosvaloresencontrados. Recuerdasqueesporelloquealassolucionesdela ecuacintambinselesllamacerosdelaecuacin?
Ejemplo3 Encuentralasracesdelasiguienteecuacinpolinomial.
Solucin 1. 2. De acuerdo al Teorema fundamental del lgebra, el polinomio tiene 4 races que pueden ser realesocomplejas. DeacuerdoalTeoremadelaracesracionalesl
Como: Losfactoresde:
Lascombinacionesson: Lasposiblesracesson: Enestecasolasposiblesracesson6,4puedenserlasracesdelaecuacin,comienzaabuscaruno delosfactoresporTeoremadelresiduoyelTeoremadelfactor. Comienzaaprobarconlaposiblelaraz Pruebacon Segnelteoremadelresiduo,aldividir elresiduoescero,porlotantoelbinomio Podemosdividirpormediodedivisinsintticaparadisminuirelgradodelpolinomio,recuerdaque debesrellenarconceroellugarde yelde ,yaquenoapareceenelpolinomio. esunfactor. entre yprobar ,
Apartirdeloscoeficientes1199,elpolinomioresultantees .Comoel polinomioresultanteesdetercergrado,tenemosquebuscarotrarazutilizandoTeoremadel factoryTeoremadelresiduo. Sepuedecomenzaraprobarnuevamentecon
Comoelresultadoes16,estonosindicaque Probemosahoracon Comoelresultadoes0,estonosindicaque nuevamentede entre esunfactorysepuedehacerladivisin paradisminuirelgradoalaecuacin. yanoesunfactor.
Ahoraelpolinomioresultanteesdesegundogrado sepuedefactorizarcomo: As,laecuacinpolinomial Utilizandolapropiedaddelfactornuloigualamoscadaunodelosfactoreslinealesaceroy despejamoselvalordelavariable Despejando: Despejando: Despejando: Despejando: ensuformatotalmentefactorizadaes ,comoesunadiferenciadecuadrados
Enesteejemplofuenecesario:primeroencontrardosdelasracesparaobtenerunaecuacinde segundogradoocuadrtica,lacualesmssencillaresolverporfactorizacinoporfrmula. Sigraficamoslaecuacinpodemosverificarquelasinterseccionesconelejedelas correspondenalosvaloresencontrados.
Ejemplo4 Encuentralasracesdelasiguienteecuacinpolinomial.
Solucin 1. 2. Comoenestecasotodoslostrminostienenlavariable porfactorcomn. ,entonceslaecuacinsepuedefactorizar De acuerdo al Teorema fundamental del lgebra, el polinomio tiene 3 races que pueden ser realesocomplejas. En este caso Teorema de la races racionales no puede aplicarse, ya que en esta ecuacin el valorde
Factorizando Observaqueahoratenemoselproductodedosfactores:unolinealyelotrocuadrtico.Elfactor cuadrticosepuedefactorizarnuevamenteoresolveraplicandolafrmulaparalascuadrticas. Enestecaso,aplicamoslafrmulapararesolver Primerosedeterminanlosvaloresdelasconstantes, Sustituirlosvaloresenlafrmula. Lassolucionesdelasecuacionesson Enestecaso,elfactores Porlotanto,lafactorizacinde ,paralasolucin y paralasolucin . y ,recuerdatomarelsigno de
As,laecuacinpolinomial Utilizandolapropiedaddelfactornuloigualamoscadaunode losfactoreslinealesaceroydespejamoselvalordelavariable . Despejando: Enesteejemplo,primerofuenecesariofactorizarporfactorcomnyapartirdeestafactorizacin obtuvisteunaecuacindesegundogradoocuadrtica,lacualseresolviporfrmula. correspondena Sigraficaslaecuacinpuedesverificarquelasinterseccionesconelejedelas losvaloresencontrados. Despejando: Despejando: ensuformatotalmentefactorizadaes:
Ejemplo5 Encuentralasracesdelasiguienteecuacinpolinomial.
Solucin 1. 2. De acuerdo al Teorema fundamental del lgebra, el polinomio tiene 4 races que pueden ser realesocomplejas. DeacuerdoalTeoremadelaracesracionalesl
Como: Losfactoresde:
Lascombinacionesson: Lasposiblesracesson: Pruebacon Enestecaso,lasposiblesracesracionalesson2,ylaecuacintiene4,comienzaabuscarunodelos factoresporTeoremadelresiduoyelTeoremadelfactor. Comencemosaprobarcon .
Comoelresiduoes4, Probemoscon Comoelresiduoes0, Podemosdividir entre pormediodedivisin sintticaparadisminuirelgradodelpolinomio,recuerdaquedebesrellenar conceroellugarde ,yaquenoapareceenelpolinomio. esunarazyporlotanto esfactor. . noesunarazyporlotanto noesfactor.
Elpolinomioresultantees Puedescomenzaraprobarnuevamentecon Comoelresultadoes2,estoteindicaque Nuevamentepruebacon noesunfactor. .Comoelpolinomioresultanteesdetercergrado,tienesque buscarotrarazutilizandoTeoremadelfactoryTeoremadelresiduo.
Comoelresultadoes0,estoteindicaque nuevamentede entre esunfactor,ypuedeshacerladivisin paradisminuirelgradoalaecuacin.
Ahoraelpolinomioresultanteesdesegundogrado formula. Primerosedeterminanlosvaloresdelasconstantes, Sustituirlosvaloresenlafrmula. ,recuerdatomarelsigno ,elcualresolverspormediode
x1 =
1 + 1 4 1 + 3 1 + 3i = = 2 2 2
x2 =
1 1 4 1 3 1 3i = = 2 2 2
x1 =
1 + 3i 2
x2 =
1 3i 2
Lassolucionesdelasecuacionesson x1
=
1 + 3i 1 3i y x2 = 2 2
Enestecaso,elfactorparalasolucin x1 Yel 1 pasarestandoy
=
ladodelsignoigual,deestaformacomoel2estdividiendo,pasamultiplicandoala
1 + 3i seobtienepasandolosvaloresdelotro 2
2x = 1 + 3i pasarestando,detalformaqueelfactores:
( 2x 1 3i ) ( )
Realizandoelmismoprocedimiento,elfactorparalasolucin Porlotanto,lafactorizacinde x As,laecuacinpolinomial 2
x2 =
1 3i es 2x 1 + 3i 2
x + 1 = 2x 1 3i 2x 1 + 3i
(
)(
)
f (x) = x 4 + x 3 + x + 1 ensuformatotalmentefactorizadaes:
x 4 + x 3 + x + 1 = ( x + 1) ( x + 1) 2x 1 3i 2x 1 + 3i Tambinpuedeexpresarsecomo: 2
(
)(
)
x 4 + x 3 + x + 1 = ( x + 1) 2x 1 3i 2x 1 + 3i Utilizandolapropiedaddelfactornuloigualamoscadaunodelos factoreslinealesaceroydespejamoselvalordelavariable paraobtenerlas solucionesdelaecuacin.
(
)(
)
Despejando:
x +1= 0
Despejando:
x +1= 0
Despejando:
Despejando:
2x 1 3i = 0
2x 1 + 3i = 0
x=
1 + 3i 2
x=
1 3i 2
Sepuededecirquelaecuacindecuartogrado lascualesson: conmultiplicidad=2
tiene4races,
x=
1 3i 2 1 + 3i 2
x=
Recuerdaquelamultiplicidadindicacuntasvecesserepiteunaraz. Enestecaso,setienen2racesrealesy2complejas. Lagrficasevecomosigue:
,ya Comopuedesobservar,enestagrficasolamentehayunpuntodeinterseccinconelejedelas quelaraz serepiteendosocasionesylasotrasdosracessoncomplejasynopuedengraficarseen unsistemadeejescoordenados,yaquesolamentesegraficanlosnmerosreales.
Ejemplo6 Encuentralasracesdelasiguienteecuacinpolinomial.
Solucin
Observaqueenestecaso,laecuacinesttotalmentefactorizadaylosexponentesencadafactorindican elnmerodevecesqueestrepetidoelfactor. Porlotantolaecuacinsepuedereescribircomo: Ysepudeconcluirque: Laecuacintiene9races,lascualesson: conmultiplicidad=3 conmultiplicidad4 Deestas,7racessonrealesydoscomplejas. Comopuedesdartecuenta,paraencontrarlasracesdeunaecuacindegradomayorados,esnecesario utilizartantoelTeoremadelresiduocomoelTeoremadelfactor,quenospermitendeterminarculesson races y por medio de la divisin sinttica, ir factorizando la ecuacin hasta obtener su forma totalmente factorizadayconbaseenesto,determinarlasracesdelaecuacin. EsfundamentalquesigaspracticandolaaplicacindelosTeoremas,ascomolasolucindeecuacionesen laseccindeejercicios,paraquedespuspuedascontestartutarea.