8/4/2019 ECUACIONES_PARAMETRICAS

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

ALUMNO:RODAS REGALADO, RODNEY

PROFESOR:LUQUE BRAZAN,EMILIO PIERO

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ECUACIONES PARAMETRICASEL CICLOIDE Y EL EPICICLOIDE

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DEFINICIONES

Una curva plana es un conjunto C de paresordenados de la forma (f(t),g(t)), donde f y g sonfunciones continuas en un intervalo I.

C

a b

I

(f(a),g(a))

(f(b),g(b))

x

 y

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DEFINICIONES

Definición:

Sea C Una curva que consiste en todos los paresordenados (f(t),g(t)), donde f y g son funciones

continuas en un intervalo I. Las ecuacionesg(t)y),t(fx !!

Para t en I, se denominan ecuacionesparamétricas de C con parámetro t

Veamos algnos e jemplos que puedan ilustrar estas definiciones

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CÍRCULO

U

P(x,y)? AT�

°̄

®0,2 

s n y

sax:

)as n,sa() y,x(

222 a yx

a y

x

Ejemplo: Hallar las e uaciones parámetrica del círculo de radio a

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ELIPSE

Calculemos ahora las ecuaciones paramétricas de laelipse

1

a

2

2

2

2!

Solución:

De la gráfica tenemos que

U!! cosbONx

U!!! asenMQNP y

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ELIPSE

U

P(x,y)a

bO M N

Q

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1. La Cicloide

Fije un punto P sobre la circunferencia de

un círculo y déjelo rodar, sin resbalar, a

través de una recta. Suponga que P está

en el origen cuando el centro C está sobre

el e je Y. La trayectoria descrita por el

punto P se denomina Cicloide.

La CicloideLa Cicloide

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r 

cicloide ...cicloide ...

Ve amo s aho ra l a c urva de mane ra co nti nua

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C

 NP(x, y)

U

r 

cicloide ...cicloide ...

Calc ule mo s l as ec uacio ne s paramétric as de 

l a c urva

O L A

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cicloide ...cicloide ...De  l a gráfic a se tie ne que 

LAOAOLx !!Pe ro ,

rarcPCAOA !!Por otra parte  rsenPNLA !!

Así, rsenrx !

De una manera análoga, NCACLP y!!

Pero, ,rAC !

Por lo tanto, Urcosr y !

 rcosNC !

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2. Epicicloide.

Si un punto P es fijo sobre una circunferencia y

esta circunferencia está rodando, sin resbalar,

sobre otra circunferencia, la trayectoria descrita

por el punto P se denomina Epicicloide

La Epicicloide

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OX

Y

Epicicloide...

Pasemos ahora a calcular sus ecuaciones.

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Epicicloide...

C

R 

C r 

 N

L MO

U

U

F

 N

r 

X

Y

J

 Note que J = - U - F

P(x, y)A

D

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Epicicloide...

De la figura : LMOLOMx !!

Pero, ,r)cos(OL !  y además 

 rcosrcosrcosNPLM !!!!

esto implica que

! rcoscosRrx

Por otra parte, el arco AD = arco AP,

por lo tanto arco AD = RU, arco AP =rJ . Así,

RU = rJ, lo que equivale ar

R !

Sustitu yendo esto en x, resulta

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Epicicloide...

¹ º

 ¸©ª

¨!

r

Rrcoscos Rrx

Análogamente, NCLCMP y !! , pero

r)sen (RLC !

rsen�rsenrsen NC !!!

de esta manera obtenemos:

¹ º

 ¸©ª

¨!

r

Rrsensen Rr y

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