Curso 2009–10 ECUACIONES DIFERENCIALES I Grupos A, B y D
Hoja 1.
1.1. Integrar las ecuaciones siguientes:
a/ .5x C 2y � 3/y0 D 9 � 12x � 5yI b/ y0 D ex�y I c/ y0 D y C sen xI d/ y0 D cos x � y � y2 senxcos2 x
I
e/ y0 D 2xy�y2
x2 I f/ y0 D xC2yxI g/ y0 D y
xCy3 I h/ y0 D x C xyI i/ y0 D 1 � 2
xCyI j/ .y0/2 D 9y4:
1.2. Hallar un factor integrante de la forma �.x C y2/ para la ecuación 3y2 � x C 2y.y2 � 3x/dy
dxD 0.
1.3. Calcular los polinomios de primer grado que son solución de la ecuación: y0�y2Cx.x�2/ D 0. Escribirla solución general de la ecuación en términos de una integral.
1.4. a) Comprobar que una ecuación de la forma y0 D xn�1f .y C axn/ se convierte en una de variablesseparadas haciendo el cambio ´ D y C axn. b) Hallar la solución general de y0 D 2x.y C x2/2.
1.5. Integrar mediante cambios de variables: dydxD f
�a1xCb1yCc1
a2xCb2yCc2
�. Resolver en particular dy
dxD
xC2yC2�2xCyC6
.
1.6. Estudiar existencia y unicidad, resolver si se puede y dibujar las curvas integrales:
a/ y0 D .x � 4y/�2I b/ y0 D x � 1yI c/ y0 D y�y2
xI d/ y0 D 3xyC2y2
x2CxyI e/ y0 D 1 � y�2I
f/ y0 D x2 C y2I g/ y0 D x2 � y2I h/ y0 D x � jyjI i/ y0 D cos.x�y/I j/ y0 D y � .2C2 cos x/y2I
k/ y0 D xy� xyI l/ y0 D y2
x2 � 2I m/ y0 DpxyI n/ y0 D 1C y2=3I ñ) y0 D y2 � ay3I o/ y0 D 2xy
ay2�x2 :
1.7. Integrar la ecuación diferencial y0 D y yC2x�1xCy
. ¿Cuántas soluciones verifican y.0/ D 0?
1.8. Dibujar aproximadamente las soluciones de y0 Dpy=x y determinar cuántas de ellas satisfacen cada uno
de los siguientes datos iniciales: i) y.�1/ D �1; ii) y.1/ D 0; iii) y.1/ D 1.
1.9. Sea xy0 D y C x sen x. Imponer un dato inicial para el que existan infinitas soluciones y otro para el quehaya solución única.
1.10. Sea y0 D 1C 2y�x
. Hallar su solución general y la ó las soluciones (si existen) que satisfagan y.1/ D �1.Dibujar aproximadamente sus curvas integrales.
1.11. Sea la familia de hipérbolas xy D C . Escribir la ecuación diferencial de la que son curvas integrales.Hallar las trayectorias ortogonales a ellas (las curvas que las cortan perpendicularmente). Resolver el mismoproblema para las circunferencias x2 C y2 D 2Cx y las parábolas y2 C 2Cx D C 2.
1.12. Sea y0 D .y � x C 1/2. Hallar su solución general. Dibujar aproximadamente sus soluciones. Precisarcuántas soluciones satisfacen: i) y.0/ D 0, ii) y.0/ D �2.
1.13. i) Resolver la ecuación xy0 D .1 � x/y C x2. ii) Para todo .x0; y0/ 2 R2, discutir cuántas solucionescumplen la condición inicial y.x0/ D y0. iii) Localizar los puntos del plano en los que y00 D 0.
1.14. Resolver la ecuación de Bernoulli y0 D 3x.y � y2=3/. Precisar cuántas soluciones de la ecuación satisfa-
cen: i) y.�1/ D 1; ii) y.0/ D 1; iii) y.1/ D 0.
1.15. Sea dydxD
y2C2xy
x2C2y2 . Probar que tiene un factor integrante que sólo depende de y. Hallar todas las solucio-nes que sean rectas. Hallar la ó las soluciones (si existen) que satisfacen i) y.1/ D 0, ii) y.1/ D 1.
1.16. Sea y0 D jxj � y. a) Precisar cuántas soluciones satisfacen y.0/ D 0. b) Dibujar aproximadamente sussoluciones. c) Escribir la solución con y.0/ D 1 para todos los valores de x para los que esté definida.
Hoja 2.
2.1. Resolver los problemas de valores iniciales:
a/ Px D��2 1
1 �2
�x; x.0/ D
�1
0
�I b/ Px D
�3 �4
1 �1
�x; x.0/ D
�1
0
�I c/ Px D
0 1 �2
0 0 �1
4 0 �5
!x; x.0/ D
0
0
1
!:
2.2. Hallar la solución general de los sistemas: a) x01 D x1C x2C x3; x02 D 2x1C x2 � x3; x
03 D �x2C x3;
b) x01 D x2 C x3; x02 D x1 C x3; x
03 D x1 C x2; c) x01 D x1; x
02 D x1 C 2x2; x
03 D x1 � x3.
2.3. Hallar la solución de
8<:x0 D x � 4y C 2´
y0 D x � 3y C ´
´0 D x � 2y C 1
con x.0/ D 2 ; y.0/ D ´.0/ D 1, y precisar su estabilidad.
2.4. Escribir las soluciones de las ecuaciones diferenciales:
a/ Rx � x D e2t ; b/ Rx C x D tet cos t; c/ Rx C x D tan t; d/ x000 C 2x00 C 5x0 D 5t; e/ x.4/C 4x D tet cos t;
f/ .t C 1/ Rx � Px D .t C 1/2; g/ t2 Rx � 2x D t3et ; h/ t2 Rx � t .t C 2/ Px C .t C 2/x D 0 :
2.5. Hallar las soluciones de los problemas de valores iniciales siguientes:
a/�x000 C 5x00 C 8x0 C 4x D �8e�2t
x.0/ D 1; x0.0/ D �1; x00.0/ D 9b/
�x00 C x0 D f .t/
x.0/ D �1; x0.0/ D 0; f .t/ D
�t C 1 ; t � 1
3 � t ; t � 1
c/�t3x000 C t2x00 � 2tx0 C 2x D 2t4
x.1/ D x0.1/ D x00.1/ D 0d/
�tx00 � .t C 1/x0 C x D t2et
x.1/ D x0.1/ D 0e/
�x00 C 2tx0 D 2t
x.1/ D x0.1/ D 1
2.6. Sea x000C5x00C4x0C cx D t . Hallar una solución particular para todo valor de la constante real c. Hallarla solución general para c D �10. Discutir la estabilidad de la ecuación según los valores de c.
2.7. Hallar la solución de:
a/
8<:x0 D x � 2y � t
y0 D 2x � 3y � t
x.0/ D y.0/ D 1
b/
8<:x0 D 2x C y
y0 D 3x C 4te3t
x.0/ D y.0/ D 1
c/
8<:x0 D �x � y
y0 D 2x � y
x.0/ D 1; y.0/ D 2
d/
8<:x0 D 2x � y
y0 D x C j2 � t j
x.0/ D 0; y.0/ D �1
2.8. Hallar K.t/ de forma que la solución de�Rx C 2 Px C 2x D f .t/
x.0/ D Px.0/ D 0se escriba x.t/ D
R t0 K.t � s/f .s/ds.
2.9. Sea x000 C 2x00 C .1 C a/x0 C 4a2x D e�t , con a 2 R. i) Para a D 0, hallar la solución que satisfacex.0/ D 0 ; x0.0/ D 0 ; x00.0/ D �1. ii) Hallar una solución particular de la ecuación para todos los valores dea. iii) Precisar para qué valores de a la ecuación es asintóticamente estable.
2.10. Considérese la ecuación u000 C a u00 C 3u0 C 9u D e3x , con a 2 R. i) Hallar su solución general paraa D �5 y para a D 3. ii) Determinar su estabilidad en función del parámetro a.
2.11. Sea y0 D Ay C f .t/ con A D
0B@0 0 1 0
c 0 0 �1
�1 2c 0 0
0 1 2c �2c
1CA, c 2 R, f .t/ D
0B@�t2
0
0
0
1CA, y sea b D
0B@1
0
�2
0
1CA :i) Si c D 0, hallar la matriz fundamental ˚.t/ del sistema homogéneo con ˚.0/ D 1 y la solución del nohomogéneo con y.0/ D b. ii) Hallar los valores de c para los que el sistema es asintóticamente estable.
2.12. Sea
8<:x0 D 4y C ´
y0 D ´ � 4
´0 D a´ � 2x
i) Para a D 5 hallar la solución con x.0/ D �2; y.0/ D 3; ´.0/ D 0.[Ayuda: el sistema tiene una solución constante.]
ii) Discutir la estabilidad del sistema según los valores de la constante a.
Hoja 3.
3.1. Clasificar los puntos singulares de las ecuaciones:
a/ x2y00 C1C x
1 � xy0 C y sen x D 0; b/ xy00 C y0 C y ln jxj D 0; c/ .sen x/y00 C xy0 C 4y D 0 :
3.2. Sea 4t2x00 � 3x D t2. a) Calcular el desarrollo hasta orden 4 en torno a t D 1 de la solución de la
homogénea que cumple x.1/ D 0; x0.1/ D 1. b) Hallar la solución general de la ecuación no homogénea.
3.3. ¿Cuántas soluciones linealmente independientes tiene .x � 1/x2y00 C y D 0 en el intervalo 0 < x < 1?¿Cuántas son de la forma xr
Pn�0
cnxn? ¿Y de la forma .x � 1/r
Pn�0
cn.x � 1/n?
3.4. Resolver x2y00 C xy0 C�x2 � 1
4
�y D 0 mediante una sustitución de la forma y.x/ D x�u.x/.
3.5. Sea 2x2.1C x2/y00 � x.3C 7x2/y0 C 2.1C 2x2/y D 0 . a) Hallar una solución que no sea analítica enx D 0 . b) Calcular la solución general de la ecuación en términos de funciones elementales.
3.6. Calcular una solución analítica en x D 0 de la ecuación x.1� x/y00 C Œ � .1C ˛ C ˇ/x�y0 � ˛ˇy D 0.
3.7. Estudiar las soluciones en el punto x D 0 de la ecuación .1 � x2/y00 � xy0 C p2y D 0, y calcular paraqué valores de p las soluciones son polinomios.
3.8. a) Hallar el desarrollo en serie de potencias de una solución no trivial de xu00 � u0 C 4x3u D 0 que seanule en x D 0 y expresarla en términos de funciones elementales. b) Hallar la solución general de la ecuación.Hacer un cambio de variable independiente de la forma s D xn y comprobar el resultado.
3.9. La ecuación diferencial u00 C 2u0
x� .e�x�1/2u D 0 aparece en el estudio de las vibraciones de una
molécula diatómica. i) Hallar hasta x4 el desarrollo en serie de una de sus soluciones. ii) ¿Están todas lassoluciones acotadas en x D 0?
3.10. Sea x2y00Cxy0C .x� 14/y D 0. a) Hallar el desarrollo de una solución acotada en x D 0. b) Determinar
si hay soluciones linealmente independientes de la anterior de la forma y D xr1PkD0
ckxk .
3.11. Sea .x C 1/2y00 C .x2 � 1/y0 C 2y D 0. Calcular una solución analítica en x D �1 y estudiar si existealguna solución linealmente independiente de la anterior que sea analítica en x D �1.
3.12. Dada .x2 � 1/y00 C xy0 � 4y D 0, calcular una solución analítica en x D 1. ¿Es analítica en x D �1?¿Cuántas soluciones analíticas linealmente independientes hay en el intervalo .�1; 1/?
3.13. Sea x2y00C x2y0C .x � 2/y D 0. Comprobar que y D 1x
es solución. Hallar los tres primeros términosno nulos del desarrollo en serie de una solución que se anule en x D 0.
3.14. Hallar el desarrollo en torno a x D 0 de la solución de .1 � x/.1 � 2x/y00 C 2xy0 � 2y D 0 cony.0/ D y0.0/ D 1. Hallar las raíces del polinomio indicial para cada punto singular regular. Estudiar cuántassoluciones de la ecuación satisfacen y.1/ D 0, y0.1/ D 1.
3.15. Sea 2pxy00 � y0 D 0. Precisar si x D 0 es punto singular regular de la ecuación. Calcular, hasta tercer
orden, el desarrollo en serie en torno a x D 1 de la solución que cumple y.1/ D y0.1/ D 1.
3.16. Sea x.x � 1/y00 C 2.2x � 1/y0 C 2y D 0. Probar que existe una solución analítica en torno a x D 0 ycalcularla. Estudiar si todas las soluciones de la ecuación tienden a 0 cuando x !1.
3.17. Hallar una solución no nula de la ecuación 2x2 y00C x.xC 1/y0 � .2xC 1/y D 0 que sea analítica enx D 0. ¿Están acotadas todas las soluciones de dicha ecuación en un entorno del origen?
3.18. Sea xy00 C .1 � x2/y0 C pxy D 0. Precisar, resolviendo por series en torno a x D 0, todos los valoresde la constante p para los que hay soluciones polinómicas y escribir uno de estos polinomios para p D 4.
Hoja 4.
4.1. Representar en el plano de fases las órbitas de los siguientes sistemas lineales:
a/ Px D x C y; Py D x � y I b/ Px D x C y; Py D y � x I c/ Px D y; Py D �x C 1 :
4.2. Dibujar el mapa de fases de los sistemas:
a/ Px D y.x C 1/; Py D x.1C y3/I b/ Px D 4x � 2y; Py D 2x � xyI c/ Px D yex; Py D ex � 1I
d/ Px D 1 � x C 3y; Py D x C y � 1I e/ Px D y � 2xy; Py D y2 � 2xI f/ Px D x2 � 2xy; Py D y2 � 2xy
4.3. Dibujar el mapa de fases de las ecuaciones: a/ Rx D �4 Px� 4x I b/ Rx D x�x3 I c/ Rx D .1�x2/ Px�x :
4.4. Estudiar, usando coordenadas polares, los sistemas:
a/ Px D y C x.1�x2�y2/; Py D �x C y.1�x2�y2/ I b/ Px D y C xqx2Cy2; Py D �x C y
qx2Cy2 :
4.5. Clasificar los puntos críticos de los sistemas: a/ Px D x3 � y; Py D xC y3 I b/ Px D x2 � y; Py D xey .
4.6. Sea el sistema Px D x � x2y; Py D y � x3. Hallar sus órbitas, localizar todas las órbitas que sean rectas ydibujar el mapa de fases.
4.7. Sean los sistemas: a) Px D seny, Py D sen x; b) Px D 2xy, Py D 1�x2Cy2; c) Px D xC2xy, Py D y2�1.Dibujar su mapa de fases y estudiar qué soluciones están definidas para todo t 2 R.
4.8. Sea (S) x0 D 4xC2y, y0 D xC5y. Dibujar el mapa de fases de (S). Hallar la solución de (S) que satisfacex.0/ D 2; y.0/ D �1. Hallar la expresión de las órbitas de (S).
4.9. Sea el sistema Px D 1C y � x2, Py D 2xy. Clasificar sus puntos críticos, resolver la ecuación diferencialde las órbitas y dibujar aproximadamente su mapa de fases.
4.10. Sea x00 D .x0/2 � x. Hallar sus órbitas, dibujar el mapa de fases y hallar la solución de la ecuación quecumple x.2/ D 1=2, x0.2/ D 1.
4.11. Clasificar, según los valores de a, los puntos críticos de x00 D sen.axCx0/, a > 0. Dibujar el mapa defases para a D 2.
4.12. Una partícula se mueve por el eje x según Rx D �x.x2C 9/�2. Dibujar e interpretar el mapa de fases. Sila partícula pasa por el origen con velocidad v D 1=3, ¿qué velocidad tiene cuando pasa por x D 4? ¿Cuántotiempo tarda en llegar a x D 4?
4.13. Sea x00 D .ax � x0/.2C x0/. a) Clasificar sus puntos críticos elementales según los valores de a. b) Paraa D 3=2, dibujar el mapa de fases y hallar la solución x.t/ con x.1/ D 0; x0.1/ D �2.
4.14. Clasificar, en función de los valores de k � 0, los puntos críticos de Rx D 1 � x2 � k Px. Dibujar el mapade fases para k D 0, k D 1 y k D 3 y dar una interpretación física de las órbitas.
4.15. Dibujar el mapa de fases de Rx D x.1�x� Px/. Si x0.t/ es la solución que cumple x0.1/ D 2, Px0.1/ D 0,hallar el lim
t!1x0.t/.
4.16. Sea Px D x , Py D 2y � y2 C x4. Hallar la expresión de sus órbitas y dibujar su mapa de fases. [Ayuda:y D ˙x2 son soluciones de la ecuación de las órbitas].
Soluciones hoja 1.
1.1. a/ y2 C 6x2 C 5xy � 3y � 9x D C; b/ y D log.C C ex/; c/ y D Cex � 12.sen x C cos x/;
d/ y D cos x C 2 cos2 xCex�cosx�senx ; e/ y D x2
CCx; f/ y D Cx2 � x; g/ x � Cy � 1
2y3 D 0;
h/ y � 12x2 � log j1C yj D C; i/ y � x C log jx C y � 1j D C; j/ y D 1
C˙3x.
1.2. �.x C y2/ D 1.xCy2/3
. Solución: x�y2
.xCy2/2D C .
1.3. yp.x/ D x � 1 ; y.x/ D x � 1C ex2�2x
k�R xes2�2sds
.
1.4. a)R
d´f .´/Cna
D1nxn C C; b) y D tan.x2 C C/ � x2.
1.5. Si c1 D c2 D 0; ´ D y=x; si c21 C c22 ¤ 0 y a1b2 � a2b1 D 0; ´ D a1x C b1y;
si c21 C c22 ¤ 0; a1b2 � a2b1 ¤ 0;
a1x0 C b1y0 C c1 D 0
a2x0 C b2y0 C c2 D 0; t D x � x0; ´ D y � y0; u D ´=t .
Solución: .x � 2/2 C 4.x � 2/.y C 2/ � .y C 2/2 D C .
1.6.y
x
y
x
y
x
4y C logˇ̌̌x�4yC2x�4y�2
ˇ̌̌D C No resoluble y D x
CCx
y
x
y
x
y
x
y2 C 2xy D Cx4 y C 12
logˇ̌̌1�y1Cy
ˇ̌̌� x D C No resoluble
y
x
y
x
y
x
No resoluble�x � 1C Ce�x y � 0
�x � 1C Cex y � 0y D x � 2 arctan 1
C�x
(más 1.6)y
x
y
x
y
x
y D 1Ce�xC2CsenxCcosx y2 D 1C Ce�x
2
y D xCx3C2
1�Cx3
y
x
y
x
y2 D 43x3=2 C C y1=3 � arctany1=3 D x
3C C
x C 1y� a log
ˇ̌̌y
1�ay
ˇ̌̌D C; a > 0 y D 1
C�x; a D 0 x C 1
y� a log
ˇ̌̌y
1�ay
ˇ̌̌D C; a < 0
x2y�y2
x2 �3a
�D C; a < 0 y D C
x2 ; a D 0 x2y�y2
x2 �3a
�D C; a > 0
1.7. Solución general: y2 C 2xy � Ce2x D 0. Las soluciones y.x/ D 0; y.x/ D �2x verifican y.0/ D 0.
1.8. Solución única para i) e iii).
Satisfacen y.1/ D 0 infinitas soluciones, como por ejemplo
y � 0 e yc.x/ D
�0 ; x < c2
.px � c/2 ; x � c2
; para todo c � 1.
y
t
1.9. Si y.x0/ D y0 con x0 ¤ 0 hay solución única.Todas las soluciones y D Cx C x
R x sen ssds cumplen y.0/ D 0.
K=3K=2
K=–1K=01
–2
K=∞�
0 K=1/3
–1
t+2√t
t–2√t
1.10. ´ D y � x o exacta. Solución general: y D x ˙p4x C C .
La única solución con y.1/ D �1 es y D x � 2px.
1.11. xy D C ) y C xy0 D 0I ortogonales: y0 D xy) x2 � y2 D C .
x2 C y2 D 2Cx) y0 D y2�x2
2xyI ortogonales: y0 D 2xy
x2�y2 ) x2 C y2 D Cy .
y2 C 2Cx D C 2) yy0 D �x ˙py2 C x2I ortogonales: y0 D y
x˙py2Cx2
) y2 C 2Cx D C 2 .
K=4
K=4
K=9
K=1
K=0
1
–2
K=1
0
K=9
1.12. Solución general: y D xC 2Ce�2x�1
.
Existe solución única para cualquier dato inicial.
i) y D x (no incluida en la solución general);ii) y D x � 2.
1.13. i) y.x/ D x.1C Ce�x/.
ii) Solución única si x0 ¤ 0, infinitas si x0 D y0 D 0, ninguna si x0 D 0; y0 ¤ 0.
iii) y D x (recta solución) y x D 2 (curva de puntos de inflexión).
1.14. Solución: y D .1C Cx/3 (e y D 0). i) Solución única. ii) y iii) Infinitas soluciones.
1.15. .y2C2xy/�.y/� .x2C2y2/�.y/dydxD 0 exacta si �0 D � 2
y�, de donde (por ejemplo) �.y/ D 1
y2 . Las
soluciones verifican y D 0 ó x2 C xy � 2y2 D Cy.
Soluciones rectas: y D 0; y D x; y D �x2
.
i) y D 0 , ii) y D x, soluciones únicas.
1.16. a) Única solución para cualquier dato inicial.
c) y D�1 � x; x � 0
x � 1C 2e�x; x � 0 1
–1
Soluciones hoja 2.
2.1. a/ x.t/ D 12
�e�t C e�3t
e�t � e�3t
�b/ x.t/ D et
�1C 2t
t
�c/ x.t/ D
0@ e�t � e�2t � 3te�2te�t � e�2t � 2te�2t
e�t � 4te�2t
1A2.2. a/ x D C1
0@ 3
�4
�2
1Ae�t C C20@ 0
1
�1
1Ae2t C C3240@ 11
0
1AC0@ 0
1
�1
1A t35e2t ;
b/ x D C1
0@ 111
1Ae2t C C20@ 1
�1
0
1Ae�t C C30@ 1
0
�1
1Ae�t ; c/ x D C10@ 2
�2
1
1Aet C C20@ 010
1Ae2t C C30@ 001
1Ae�t .2.3. x D 2t C 2e�t ; y D t C e�t ; ´ D 1C t . � D �1 doble, � D 0 ) estabilidad no asintótica.
2.4. a) x D C1et C C2e�t C 13e2t ;
b) x D C1 cos t C C2 sen t C 125Œ.5t � 2/ cos t C .10t � 14/ sen t �et ;
c) x D C1 cos t C C2 sen t � cos t log j sec t C tan t j ;
d) x D C1 C .C2 cos 2t C C3 sen 2t/e�t C t2
2�2t5
;
e) x D .C1 cos t C C2 sen t /et C .C3 cos t C C4 sen t /e�t C t32Œ.3 � t / cos t C t sen t � et ;
f) x D C1.t2 C 2t/C C2 C t3
3C
t2
2;
g) x D C1t2 C C2 1t C .t � 2C2t/et ;
h) x D C1t C C2tet .
2.5. a/ x.t/ D e�t C 4t2e�2t ; b/ x.t/ D
� 12t2 � 1 ; t � 1
�12t2 C 4t � 6C 2e1�t ; t � 1
c/ x.t/ D 115
�t4 � 5t2 C 5t � 1
t
�; d / x.t/ D .t C 1/e C 1
2.t2 � 5/et ; e/ x.t/ D t .
2.6. a) xp D tc�
4c2 , si c ¤ 0; xp D t2
8�5t16
, si c D 0. b) x D C1et C e�3t ŒC2 cos t C C3 sen t � � t10�
125
.
c) Asintóticamente estable si 0 < c < 20, estable si c D 0; 20 e inestable para los demás c.
2.7. a/ .1 � t /�1
1
�; b/ 1
16
�.8t2 � 4t C 17/e3t � e�t
.8t2 C 12t C 13/e3t C 3e�t
�; c/ e�t
�cosp2t �p2 sen
p2t
p2 sen
p2t C 2 cos
p2t
�,
d/
�t
2t � 1
�si t � 2 ;
��t C .8 � 2t/et�2
1 � 2t C .10 � 2t/et�2
�si t � 2 .
2.8. K.t/ D e�t sen t .
2.9. i) x D �12t2e�t . ii) La anterior, si a D 0 ; x D 4te�t , si a D 1=4 ; x D 1
a.4a�1/e�t , si a ¤ 1; 1=4 .
iii) Asintóticamente estable si a 2 .�12; 0/ [ .0; 1/.
2.10. i) u D 18x2e3x C C1 e
�x C e3x.C2 C C3 x/ ; u D172e3x C C1 e
�3x C C2 cosp3x C C3 sen
p3x.
ii) Asintóticamente estable si a > 3, inestable si a < 3 y estable si a D 3.
2.11. i) ˚.t/ D
0B@cos t 0 sen t 0
0 cos t 0 � sen t� sen t 0 cos t 0
0 sen t 0 cos t
1CA. ii)
0B@cos t � 2t
0
t2 � 2 � sen t0
1CA. iii) 14< c < 1
3p4
.
2.12. i) x D 10 � 12e�t ; y D �1C 4e�t ; ´ D 4 � 4e�t .
ii) Asintóticamente estable si a < �4, estable si a D �4, inestable si a > �4.
Soluciones hoja 3.
3.1. a) x D 0 , singular irregular; x D 1 , singular regular.b) x D 0 , singular irregular. c) x D n� , singulares regulares.
3.2. a) x D .t � 1/C 18.t � 1/3 � 1
8.t � 1/4 C � � � . b) x D C1 jt j3=2 C C2 jt j�1=2 C 1
5t2.
3.3. En 0 < x < 1 hay dos soluciones linealmente independientes.x D 0 punto singular regular con r D .1˙
p5/=2; hay dos soluciones l.i. de la forma xr
Pn�0
cnxn.
x D 1 singular regular con r D 1; 0; hay sólo una solución de la forma: y1 D .x � 1/Pn�0
cn.x � 1/n,
pues para la otra l.i. y2 DPn�0
bn.x � 1/n C c y1 log.x � 1/ resulta ser c D �b0.
3.4. Eligiendo � D �1=2 se obtiene u00 C u D 0. Solución: y.x/ D .A cos x C B sen x/=px.
3.5. a) y2.x/ D x1=2 , solución no analítica. b) y.x/ D C1x1=2 C C2.x2 C 37x4/ .
3.6. ¤ 0;�1;�2; : : :) y.x/ D1PnD0
.˛/n.ˇ/nnŠ. /n
xn � F.˛; ˇ; I x/, donde .˛/n D ˛.˛C1/ � � � .˛Cn�1/.
D 0;�1;�2; : : :) y.x/ D x1� F.˛ � C 1; ˇ � C 1; 2 � I x/.
3.7. y1.x/ D 1�P1nD1
p2.22�p2/���..2n�2/2�p2/.2n/Š
x2n ; y2.x/ D xCP1nD1
.12�p2/.32�p2/���..2n�1/2�p2/.2nC1/Š
x2nC1.Hay soluciones polinómicas cuando p es entero.
3.8. i) x D 0 punto singular regular, r D 2; 0. u1.x/ DP1kD0
.�1/k
.2kC1/Šx2.2kC1/ D sen.x2/ :
ii) u.x/ D C1 sen.x2/C C2 cos.x2/.
3.9. x D 0 singular regular, r D 0;�1. u1 D 1C x4
20C � � �. La otra solución no está acotada en x D 0.
3.10. a) x D 0 singular regular, r D ˙1=2. y1 DP1kD0
.�1/n
nŠ.nC1/ŠxkC1=2 está acotada en x D 0.
b) Para la otra y2 DP1kD0 bkx
k�1=2 C ay1 log x resulta ser a D �b0.
3.11. a) x D �1 singular regular, r D 2; 1. y1 D .x C 1/2e�.xC1/ es solución analítica en x D �1.b) Reduciendo el orden: y2 D .x C 1/2e�.xC1/
R xC1 et
t2dt que no es analítica en x D �1.
3.12. x D 1 singular regular, r D 12; 0. Analítica en x D 1 es y2 D 1C 4.x � 1/C 2.x � 1/2 D 2x2 � 1,
que también lo es en x D �1. Las dos soluciones del punto regular x D 0 son analíticas en .�1; 1/.
3.13. x D 0 singular regular, r D 2;�1. Se anula en x D 0: y1 D x2.1 � 34x C 3
10x2 � � � �/.
O reduciendo el orden: y2 D 1x
Re�xx2dx D 1
x
R.x2 � x3 C x4
2� � � �/dx D 1
3x2 � 1
4x3 C 1
10x4 � � � �.
3.14. x D 0 regular! y DP1kD0 ckx
k ! ck D3.k�2/ck�1�2.k�3/ck�2
k; c0 D c1 D 1! y D
P1kD0 x
k .x D 1=2 (con r D 2; 0) y x D 1 (con r D 0;�1) son singulares regulares.Como y D c1x C c2
1�xninguna solución satisface esos datos.
3.15. x D 0 no es singular regular. y D 1C .x � 1/C 14.x � 1/2 CO..x � 1/4/.
3.16. x D 0 singular regular, r D 0;�1 ! y1 DP1kD0 ckx
k analítica ! y1 DP1kD0 x
k D11�x
.Haciendo x D 1
sse tiene s2.1� s/y00 � 2sy0 C 2y D 0, cuyas soluciones! 0 cuando s ! 0 (r D 2; 1).
3.17. x D 0 punto singular regular. r D 1;�1=2) no todas las soluciones están acotadas en el origen.Solución analítica en x D 0: y.x/ D x
�1C x
5
�.
3.18. r D 0 doble; y1 DP1kD0 ckx
k; recurrencia: ck D �p�kC2
k2 ck�2; c1 D 0 D c3 D � � �.Si p D 2n; n D 0; 1; : : :, entonces y1 es un polinomio de grado 2n. Si p D 4, y1 D 1 � x2 C 1
8x4 .
Soluciones hoja 4.
4.1.
a)
b)
c)
x
y
x
y
x
y
4.2.
a)
x
y
x
y
x
y
b)
c)
d)y
x
e) y
x
f)
2
x
y
4.3.
a) b) c)
x
y
x
y
x
y
4.4.
a)�r 0 D r.1 � r2/
� 0 D �1
b)�r 0 D r2
� 0 D �1
y
x
y
x
a) b)
4.5. El origen es el único punto crítico en los dos casos. Es un foco inestable de a) y un centro de b).
4.6. Órbitas: y2
2�x2
2�yxD C .
Órbitas rectas:
y D x; y D �x; x D 0.
y
x
4.7. No están definidas 8t las soluciones asociadas a la órbita x D 0 de b) y a las órbitas de c) con jyj > 1.yy
y
x xx
a) b) c)
4.8. Solución: x D 2e3t ; y D �e3t . Órbitas: .2y C x/.y � x/�2 D C .
4.9. .0;�1/ es un centro; .˙1; 0/ son puntos silla. Órbitas: y2 C 2y.1 � x2/ D C .
4.10. Órbitas: y2 D Ce2x C x C 12
. Solución: x D t2
4�12
.
4.8, 4.9, 4.10.y
yv
x xx
4.11. .2k�a; 0/ son sillas.
. .2k�1/�a
; 0/ son: nodos estables si 0 < a � 1=4
y focos estables si a > 1=4 .
v
x
4.12.Velocidad: v D 1=5 .
Tiempo: T DR 40
p9C x2dx D 10C 9
2log 3 .
v
x
4.13. a) Si a D 0 , es x D 0 recta de puntos críticos (no elementales).El origen (único punto crítico si a ¤ 0) es:silla si a > 0, nodo estable de dos tangentes si 0 > a > �1
2,
nodo estable de una tangente si a D �12
y foco estable si �12> a.
b) x D 2 � 2t . –2
4.14. .�1; 0/ es silla 8k. .1; 0/ es centro si k D 0, foco estable si 0 < k < 2p2, nodo estable si k � 2
p2.
x x
k=1 k=3
k=0
x
v v v
4.15. 4.16. y D x2 C 2x2
Cex2�1
.
21
2
limt!C1
x0.t/ D 1 .