ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.3 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas: La relación de congruencia en segmentos y ángulos.
Congruencia de triángulos.
Algunas propiedades referidas a triángulos isósceles.
1. Sean AB , ST segmentos no nulos ABIntM , STIntK . Determinar cuáles de las
afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su
determinación. En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo
adecuado.
1.1 Si SKAM entonces KTMB .
1.2 Si STAB entonces SKAM .
1.3 Si SKAM y KTMB entonces STAB .
1.4 Si KTMB y STAB entonces SKAM .
1.5 Si MBAM y KTSK entonces STAB .
1.6 Si STAB entonces MBAM y KTSK .
1.7 Si KTSK entonces K es un punto medio de ST .
1.8 Si M es punto medio de AB y K es punto medio de ST entonces STAB
1.9 Si KTSKMBAM entonces M es punto medio de AB y K es un
punto medio de ST .
1.10 Si M es un punto medio de AB y K es un punto medio de ST entonces
KTSKMBAM .
2. Sean BOA , QRP no nulos, no llanos; BOAIntM , QRPIntK . Determinar cuáles de
las afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su
determinación. En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo
adecuado.
2.1 OM y AB se cortan en un punto único.
2.2 Si A está entre O y L entonces LB y OM se cortan en un punto único.
2.3 Si KRPMOA entonces QRKBOM .
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
2.4 Si QRPBOA entonces KRPMOA .
2.5 Si QRKMOA y KRPMOB entonces QRPBOA .
2.6 Si QRKMOA y QRPBOA entonces KRPMOB .
2.7 Si MOBMOA y QRKKRP entonces QRPBOA .
2.8 Si QRPBOA entonces MOBMOA y QRKKRP .
2.9 Si QRKKRP entonces RK es bisectriz de QRP .
2.10 Si OM es bisectriz de BOA y RK es bisectriz de QRP entonces
QRPBOA
2.11 Si OM es bisectriz de BOA y RK es bisectriz de QRP entonces
QRKKRPBOMMOA .
2.12 Si QRKKRPBOMMOA entonces OM es bisectriz de BOA y RK es
bisectriz de QRP .
2.13 MOA y MOB son adyacentes.
2.14 MOBMOA entonces MOA y MOB hacen par lineal.
2.15 Si MOBMOA entonces ABOM .
3. Sean AB , CD rectas distintas, 0CDAB . Determinar cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su determinación. En el
caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado.
3.1 COA y BOD son opuestos por el vértice.
3.2 BODCOA y BOCDOA .
3.3 BOCDOABODCOA .
3.4 DOA y BOD son adyacentes.
3.5 Si BODDOA entonces ABDC .
3.6 BOC hace par lineal únicamente con DOB .
3.7 Si BOCDOA y BODCOA entonces CDAB .
3.8 Si CD es mediatriz de AB en C,B,AΠ entonces:
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.9 D es punto medio de AB .
3.10 DC es bisectriz de BDA .
3.11 ADBΔ es isósceles.
3.12 ACBΔ es isósceles.
3.13 ACBΔADBΔ .
3.14 O es un punto medio de CD .
3.15 DAOCAO .
3.16 BOCΔAOCΔ .
3.17 DOBΔAODΔ .
3.18 DOBΔAODΔBOCΔAOCΔ .
4. Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas,
justificando su determinación. En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un
contraejemplo adecuado.
4.1 En triángulos congruentes, a lados congruentes se oponen ángulos
congruentes.
4.2 En triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados
congruentes.
4.3 En triángulos congruentes, todos los lados son congruentes.
4.4 En triángulos congruentes, todos los ángulos son congruentes.
4.5 Si los tres ángulos de un triángulo son respectivamente congruentes, a los
tres ángulos de otro triángulo entonces los triángulos son congruentes.
4.6 Si los tres lados de un triángulo, son respectivamente congruentes, a los
tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
4.7 Si dos triángulos tiene un lado respectivamente congruente, entonces los
ángulos opuestos son respectivamente congruentes.
4.8 Si dos triángulos tiene un ángulo respectivamente congruente, entonces los
lados opuestos son respectivamente congruentes.
4.9 Si dos triángulos tienen un lado respectivamente congruente, entonces los
ángulos adyacentes a dichos lados son respectivamente congruentes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4.10 Si dos triángulos son equiláteros entonces son congruentes.
4.11 Si dos triángulos isósceles, tiene sus bases respectivamente
congruentes, entonces son congruentes.
4.12 Si dos triángulos son isósceles entonces los cuatro ángulos adyacentes
a sus respectivas bases son congruentes.
5. Para cada pareja de triángulos se indican los respectivos elementos congruentes.
Señale cuáles de ellos son congruentes, y cuales no lo son, justificando su afirmación.
5.1. 5.2.
5.3. 5.4.
5.5. 5.6.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
5.7 5.8.
5.9. 5.10.
Para aquellas parejas de triángulos congruentes indique el caso que lo justifica y las
conclusiones derivadas.
6. Se tiene el HREΔ con RERH . Los puntos M y K están en los lados del ERH de tal
manera que H está entre R y M. E está entre R y K. EM y HK se intersectan en el
punto T; TRETRH ; RT y HE se intersectan en el punto P.
6.1 Trace una figura que satisfaga todas las condiciones descritas.
6.2 Demuestre que PREPRHΔΔ
.
6.3 Demuestre que TRETRHΔΔ
.
6.4 Demuestre que TPETPHΔΔ
6.5 Demuestre que TEKTHMΔΔ
.
6.6 Demuestre que KRMΔ es isósceles.
7. En los triángulos de las figuras se tiene:
i. 'C'AAC .
ii. AH bisectriz de DACΔ
.
iii. 'H'A bisectriz de 'D'A'CΔ
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
iv. 'C'DDC .
v. DCAH , .
vi. .
Demostrar:
7.1 ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐷′𝐶′.
7.2 ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐷′.
7.3 .
8. Observe la figura y considere como hipótesis las siguientes proposiciones:
; B está entre A y C, y E está entre D y C ; .
Demuestre que:
8.1 .
8.2 .
8.3 .
8.4 es bisectriz de .
9. Si .
O: punto medio de y .
M está entre A y C.
N está entre D y B.
O está entre M y N.
Demuestre que:
9.1 .
9.2 .
9.3 .
10. En la figura se tiene y , , y además:
'C'D'H'A
'C'A'BCAB
'B'C'AΔACBΔ
BODBOA DCAC ODOA
DA
OEOB
CEBC
OC AOD
0CDAB
AB CD
BA
DNMC
ONOM
AODΔ BOCΔ EADOC FBCOD
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Hipótesis:
O es un punto medio de .
.
Tesis
i. .
ii. .
iii. .
iv. isósceles.
11. En la siguiente figura suponga que es bisectriz de y de , ,
. Demuestre que:
11.1 es isósceles.
11.2 .
11.3 .
11.4 .
12. En la figura se tiene:
N está entre O y A; M está entre O y B;
;
; .
Demuestre que:
12.1 es isósceles.
12.2 es bisectriz de .
13. En un triángulo isósceles ABC, . Se trazan las medianas y relativas a
los lados congruentes, las cuales se cortan en el punto I.
AB
COBDOA
BA
OCOD
BCAD
DC
EOFΔ
AB DAC DBC ABM
0 ABCD
CADΔ
ABCD
MDMC
CDMDCM
PBNAM
PMPN PBAP
OABΔ
OP BOA
ACAB BD CE
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
13.1 Demostrar que y son isósceles.
13.2 Demostrar que .
13.3 Demostrar que los puntos A, I y los puntos medios de y están
en línea recta.
14. En la figura se tiene:
Hipótesis:
es equilátero.
A está entre B y .
C está entre A y .
B está entre y C.
Tesis: es equilátero.
15. En la figura se tiene:
y
𝐷𝐶 ∩ 𝐵𝐸 = {𝐴}
B está entre O y D.
C está entre O y E.
Demostrar que 𝑂𝐴 es bisectriz de
16. En el se tiene y , G, H, I, J colineales. H está entre G e I, I
entre H y J.
Probar que:
i. 𝐺𝐾 ≅ 𝐽𝐾 .
ii. .
BICΔ DIEΔ
DICΔBIEΔ
ED BC
CBAΔ
1A
1C
1B
111 CCBBAA
111 CBAΔ
ACAB AEAD
GIKΔ IKHK IJGH
JKIHKG
EOD
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
17. Demuestre que un triángulo es isósceles si:
17.1 es a la vez mediana y altura.
17.2 es a la vez bisectriz y altura.
17.3 ¿Podrá decirse que el triángulo es isósceles si la bisectriz es a la vez
mediana?
Observación: Estos resultados pueden considerarse como “recíprocos” con relación a lo
planteado en el teorema Nº 20.
18. En la siguiente figura tenemos:
;
;
N está entre O y C.
M está entre O y D.
Demostrar que:
18.1 .
18.2 .
18.3 .
19. Demostrar que las medianas asociadas a los lados congruentes de un triángulo
isósceles son congruentes.
20. Demostrar que las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles
son congruentes.
21. Demostrar que en triángulos congruentes, las medianas homólogas son
congruentes, las bisectrices homólogas son congruentes.
CBAΔ
AD
AD
OCOA OBOD
OBOA ODOC
EBCAD
BCAD
AB
NCEΔMDEΔ
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
22. En ∆ ABC y ; y son bisectrices de y
respectivamente. , , . Demostrar que:
.
23. En y se tiene: y medianas de y
respectivamente, , , . Demostrar que
.
24. Sea no nulo y no llano. C, D sobre la semirrecta tal que C está entre O y
F; y ; . Demostrar:
24.1 .
24.2 .
24.3 𝑂𝑃 es bisectriz de .
Nota: Este problema establece una construcción alterna de la bisectriz de un ángulo.
25. En la figura se tiene:
; .
Demostrar que las medianas, alturas y bisectrices del
pasan por O.
26. Sean: y isósceles, tales que ; , : altura
asociada a , : altura asociada a .
Demostrar:
'C'B'AΔ AD 'D'A CAB 'C'A'B
'D'AAD 'C'A'BCAB 'B'AAB
'C'B'AΔABCΔ
ABCΔ 'C'B'AΔ AM 'M'A BC 'C'B
'M'AAM 'B'AAB 'C'AAC
'C'B'AΔABCΔ
BOA OA
OEOC OFOD PDECF
OCFΔOEDΔ
EPFΔCPDΔ
BOA
AOCCOBBOA OCOBOA
ABCΔ
ABCΔ 'C'B'AΔ ACAB 'C'A'B'A AH
BC 'H'A 'C'B
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
26.1 Si y entonces .
26.2 Si y entonces .
27. Sean , tales que: bisectriz de , 𝐷𝐾 : bisectriz de .
Demostrar que si , y entonces .
Propongo el siguiente problema como una conjetura (Proposición que creo que puede
ser verdadera, pero de la que no se tiene una demostración). Estudiela bien y trata de
demostrarla, ó por el contrario si usted encuentra que es falsa, construya un
contraejemplo.
28. Sean y tales que es bisectriz de y es bisectriz de
; , Si , y
, entonces,
'C'A'BCAB 'H'AAH 'C'B'AΔABCΔ
'C'BBC 'H'AAH 'C'B'AΔABCΔ
ABCΔ DEFΔ AT CAB FDE
FDECAB EDBA DKAT DEFΔABCΔ
ABCΔ DEFΔ AT CAB DK
FDE TBCAT KEFDK FDECAB DKAT
EFBC DEFΔABCΔ
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial