Procesos Industriales Área Manufactura

Materia: Estadística

Tema: Distribuciones de Probabilidad

Docente: Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz

Alumno: Josué Gilberto Álvarez Muñiz

18/marzo/2012

Ejemplos :

Bernoulli

La distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli , es una distribución de probabilidad discreta , que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( ).

Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .

La fórmula será:

Su función de probabilidad viene definida por:

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Ejemplo

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

ejercicios:

Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55

a) X = 1 si anotaX = 0 si noM =? x =?

Eventos probabilidad

1 0.55 (p) = 1(0.55) = 0.550 0.45 (1-P)= 0(0.45) = 0.00

0.55

Media = 0.55 (1-0.55)² (0.55) = 0.111375 x = 0.247500 (0-0.55)² (0.45) = 0.136125

0.247500

b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos: si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y el numero de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique porque.

Eventos probabilidad

2 0.55 no, porque siempre tiene que ser 1 y 0 en éxito o fracaso.

0 0.45

c) Determina la media y varianza Y

Media: Varianza2(0.55) = 1.1 (2-1.1)² (0.55) = 0.44550(0.45) = 0 (0.11)² (0.45) = 0.5445

1.1 0.9900

En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande. Sea x = 1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y x = 0 en cualquier otro caso. Sea y = 1 si la orden es una bebida mediana y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea z = 1 si la orden es una bebida pequeña o mediana y z = 0 para cualquier otro caso.

a) M = 0.25b) M= 0.35c) M = 0.60d) No es posible solo una de ellas puede ser igual a 1e) Si

Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica 5% es la probabilidad de que se decolore, 20% de que se agriete o ambas. Sea X = 1 su se produce una decoloración y X = 0 en cualquier otro caso. Y = 1 si hay alguna grieta y Y = 0 en cualquier otro caso. Z = 1 si hay decoloración o grieta o ambas y Z = 0 en cualquier otro caso.

a) 0.05b) 0.20c) 0.23d) Sie) Nof) No

Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X = 1 si sale cara en la moneda de 1 centavo y X = 0 en cualquier otro caso, sea Y = 1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale cara en ambas y Z = 0 en cualquier otro caso.

a) ½b) ½c) ¼d) Sie) Si

Binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Características analíticas

Su función de probabilidad es

Donde

Siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en )

Ejemplo:

Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

5 Ejemplos:

Sea x~Bin(8,0.4) Determine:

X P

0 0.01679616 a) 0.209018881 0.08957952 b) 0.232243202 0.20901888 c) 0.089579523 0.27869184 d) 0.007865324 0.23224320 e) 3.25 0.12386304 f) 1.926 0.041287687 0.007864328 0.00065536Sumatoria 1

Si se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos esta defectuoso.

X P

0 0.59049a) 0.000011 0.32805 b) 0.072902 0.07290 c)0.59049 3 0.00810 d) 0.000454 0.000455 0.00001

1

Se lanza una moneda 10 veces.

X P

0 0.000976562 a) 0.1171875001 0.009765625 b) 52 0.043945312 c) 2.53 0.117187500 d) 1.574 0.2050781255 0.2460937506 0.2050781257 0.1171875008 0.0439453129 0.00976562510 0.000976562 0.999999997

En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tiene cierta imperfección. Se elige aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil

X P

0 0.773780937 a)0.0000059371 0.162901250 b) 0.162901250 2 0.012860625 c) 0.773780937 3 0.0004512504 0.000005937

0.999999997

En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Supongamos que los valores de los bits son independientes.

Poisson

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Ejemplos

Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y , λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es

Este problema también podría resolverse recurriendo a una distribución binomial de parámetros k = 5, n = 400 y =0,02.

5 Ejemplos:

Si X Poisson (3), calc7ule (X=2), P(X=10), P(X=0), P(X=-1) y P(X=0.5)

Cuando se usa la funision de masa de probailiodad (4.9), con =3, se obtiene:

P=(X=2)= 0.2240

P=(X=10)=0.0008

P=(X=0)= 0.0498

P=(X=1)= O

P(X=O.5)=O

Si X Poisson (4), calcuyle P(X< 2) y P(X>1).

P(X< 2)= 0.2381

P(X>1)= 0.9084

Sea X Poisson(4). Determine:

P(X=1)0.0733 P(X=0)0.0183 P(X<2)000916 P(X>1)0.9084

Suponga que 0.03% de los contenedores plasticos producidos en cierto procesos tiene pequeños agujeros que lso dejan inservibles. X representa el numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10000 que tienen este defecto. Determine:

P(X=3)0.2240 P(X<3)0.4232 P(1<X<4)0.5974

Una ariable aletoria X tiene una distribucion binomial y una variable aleatoria Y tiene una distribucion de Poisson.Tanto X como Y tiene medias iguales a 3. ¿es posible determinar que variable aleatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de las siguientes respuestas:

a) Si, X tiene la varaianza mas grande.b) Si, Y tiene ka varianza mas grandec) No, se necesita cono cer el numerop de ensayos, n, para Xd) No, se necesita conocer la probailidad de éxito, p, para Xe) No, se necesita conocel el valor de X para Y

T de student

La distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Ejemplos:

Cual es la probabilidad de que una variable t de Student de 6 grados de libertad deja a la izquierda de -1,45:

los valores negativos no vienen en la tabla, pero según lo anterior:

en la tabla encontramos:

por tanto:

con lo que obtenemos:

Cual es la probabilidad acumulada a la derecha de 2,45, en una variable t de Student de 15 grados de libertad.

según lo anterior:

por la tabla tenemos que:

que sustituyéndolo en la expresión, resulta:

que da como resultado:

Cual es la probabilidad:

según lo anterior:

buscando el valor en la tabla, tenemos que:

Cual es la probabilidad acumulada de una variable t de Student de 25 grados de libertad, se encuentre entre: 0,75 y 1,25.

según lo anterior, tenemos:

en la tabla las probabilidades, tenemos los valores:

sustituyendo tenemos:

realizando la operación:

Calcular la probabilidad acumulada a la izquierda de 0,87 de una variable t Student de 10 grados de libertad:

el valor 0,87 no viene en la tabla, pero los valores 0,85 y 0,90 sí:

según la expresión:

sustituyendo los valores numéricos, tenemos:

operando:

esto es:

dando como resultado:

que es la solución al problema planteado:

Distribución Normal (Mu, Sigma)

La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial. De todas formas, la importancia de la distribución normal queda totalmente consolidada por ser la distribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a través de los teoremas centrales del límite. Las consecuencias de estos teoremas implican la casi universal presencia de la distribución normal en todos los campos de las ciencias empíricas: biología, medicina, psicología, física, economía, etc. En particular, muchas medidas de datos continuos en medicina y en biología (talla, presión arterial, etc.) se aproximan a la distribución normal.Junto a lo anterior, no es menos importante el interés que supone la simplicidad de sus características y de que de ella derivan, entre otras, tres distribuciones (Ji-cuadrado, t y F) que se mencionarán más adelante, de importancia clave en el campo de la contrastación de hipótesis estadísticas.La distribución normal queda totalmente definida mediante dos parámetros: la media (Mu) y la desviación estándar (Sigma).

Ejercicios:

1

Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar:

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.

2

En una distribución normal de media 4 y

desviación típica 2, calcular el valor de a para que:

P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934

3

En una ciudad se estima que la temperatura

máxima en el mes de junio sigue una distribución

normal, con media 23° y desviación típica 5°.

Calcular el número de días del mes en los que se

espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

4

La media de los pesos de 500 estudiantes de un

colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg.

Suponiendo que los pesos se distribuyen

normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 75 kg.

2.Más de 90 kg.

3.Menos de 64 kg.

4.64 kg.

5.64 kg o menos.

5

Se supone que los resultados de un examen

siguen una distribución normal con media 78

y desviación típica 36. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona

que se presenta el examen obtenga una calificación

superior a 72?

2.Calcular la proporción de estudiantes que

tienen puntuaciones que exceden por lo menos en

cinco puntos de la puntuación que marca la frontera

entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos

el 25% de los estudiantes que obtuvieron las

puntuaciones más bajas).

3.Si se sabe que la calificación de un estudiante

es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su

calificación sea, de hecho, superior a 84?

Distribución Gamma (a,p)

La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= n´lambda (escala) y p=n (forma).

Se denota Gamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundopaciente”).