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UNIVERSIDAD DEL CAUCA Ing. ANDRES FELIPE MAYA BONILLAFACULTAD DE INGENIERÍA CIVILESPECIALIZACIÓN EN ESTRUCTURAS
Para la estructura de la figura:1. Analizar elásticamente y diseñar en concreto reforzado.2. Hallar cargas límite, usando los teoremas de límite.3. Hallar cargas límite, usando método aproximado
Análisis elástico y diseño en concreto reforzado de la estructura. Las cargas mostradas son las cargas últimas.
Los nudos y elementos de la estructura quedan definidos de la siguiente forma:
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Realizado el análisis matricial de la estructura, (anexo 1), se tiene los siguientes diagramas.
DIAGRAMA DE CORTANTE - [kN] DIAGRAMA DE MOMENTOS – [kN*m]
DISEÑO DE VIGAS – CONCRETO REFORZADO
El factor de reducción de resistencia según NSR-10 [C.9.3.2.1] está dado por: φ=0.90
DISEÑO VIGA ENTREPISO
M i−¿=62.9kN∗m¿
M cl+¿=145.6 kN∗m¿
M d−¿=193.7kN∗m¿
Diseño a momento Positivo
M u+¿=145600 N∗m¿
φM n=(φ)(A s)( f y )[d− (A s)( f y )2(0.85)( f ´ c)(b) ]
145600=(0.90)(A s)(420)[41− (A s)(420)2(0.85)(21)(30) ]
( A s )=10.44 cm2
Chequeamos que cumpla con A s mínimo:
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A smin=(0.25 )√ f ´ c
f y(bw ) (d )= (0.25 )√21
420(30 ) (41 )=3.36cm2
Tenemos A s+¿=10.44 cm2¿, adoptando como refuerzo 4 barras # 6, tenemos que:
A s+¿ 4¿6=11.40cm2
Chequeamos bmin, para refuerzo en una sola capa, adoptando estribo # 3
bmin= (2 ) (destribo)+N (db )+(N−1 ) (Smin )+2 rminbmin= (2 ) (0.95 )+(4)(1.91 )+(4−1 ) (2.54 )+2(3)
bmin=23.16cm<30cmok
Diseño a momento Negativo
M u−¿=193700N∗m¿
φM n=(φ)(A s)( f y )[d− (A s)( f y )2(0.85)( f ´ c)(b) ]
193700=(0.90)(A s)(420)[41− (A s)(420)2(0.85)(21)(30) ]
( A s )=14.51cm2
Chequeamos que este por debajo de con A s máximo:
A smax=ρ (b ) (d )=(0.0159 ) (30 ) (41 )=19.56cm2
Tenemos A s−¿=14.51 cm2¿, adoptando como refuerzo 4 barras # 7, tenemos que:
A s−¿=15.48 cm2¿
Chequeamos bmin, para refuerzo en una sola capa, adoptando estribo # 3
bmin= (2 ) (destribo)+N (db )+(N−1 ) (Smin )+2 rminbmin= (2 ) (0.95 )+(4)(2.22 )+(4−1 ) (2.54 )+2(3)
bmin=24.40cm<30cmok
Despiece del refuerzo:
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Despiece a momento negativo
M x= (R4 ) ( x )−(qu ) ( x )( x2 )−193.70=(201.8 ) ( x )−(60 )( x22 )−193.7
Punto teórico de corte donde el momento es cero
x=1.16m
Extensión de seguridad de la barra
Ext ≥ { d=41cm12db=12 (2.22 )=26.64cm
Se debe cortar la barra a 1,57 m, de los extremos
Despiece a momento Positivo
M x= (R4 ) ( x )−(qu ) ( x )( x2 )−193.7Punto teórico de corte donde la viga resista momento con 2 barras
φM n=(0.90)(5.73)(420)[ 41− (5.73)(420)2(0.85)(21)(30) ]
φM n=83936N∗m
83936=(201.8 ) ( x )−(60 )( x22 )−193.7x=1.93m
Extensión de seguridad de la barra
Ext ≥ { d=41cm12db=12 (2.22 )=26.64cm
Se debe cortar la barra a 1,52 m, de los extremos
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DISEÑO VIGA CUBIERTA
M i−¿=48.0kN∗m¿
M cl+¿=107.6 kN∗m¿
M d−¿=98.5 kN∗m¿
Diseño a momento Positivo
M u+¿=107600 N∗m¿
φM n=(φ)(A s)( f y )[d− (A s)( f y )2(0.85)( f ´ c)(b) ]
107600=(0.90)(A s)(420)[41− (A s)(420)2(0.85)(21)(30) ]
( A s )=7.48cm2
Chequeamos que cumpla con A s mínimo:
A smin=(0.25 )√ f ´ c
f y(bw ) (d )= (0.25 )√21
420(30 ) (41 )=3.36cm2
Tenemos A s+¿=7.48 cm2¿, adoptando como refuerzo 4 barras # 5, tenemos que:
A s+¿ 4¿5=7.94cm2
Chequeamos bmin, para refuerzo en una sola capa, adoptando estribo # 3
bmin= (2 ) (destribo)+N (db )+(N−1 ) (Smin )+2 rminbmin= (2 ) (0.95 )+(4)(1.59 )+ (4−1 ) (2.54 )+2(3)
bmin=21.88cm<30cmok
Diseño a momento Negativo
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M u−¿=98500N∗m¿
φM n=(φ)(A s)( f y )[d− (A s)( f y )2(0.85)( f ´ c)(b) ]
98500=(0.90)(A s)(420)[41− (A s)(420)2(0.85)(21)(30) ]
( A s )=6.80 cm2
Tenemos A s−¿=6.80cm2¿, adoptando como refuerzo 4 barras # 5, tenemos que:
A s−¿=7.94cm2¿
Despiece del refuerzo:
Despiece a momento negativo
M x= (R6 ) ( x )−(qu ) (x )( x2 )−98.50=(128.4 ) ( x )−(40 )( x22 )−98.5
Punto teórico de corte donde el momento es cero
x=0.89m
Extensión de seguridad de la barra
Ext ≥ { d=41cm12db=12 (2.22 )=26.64cm
Se debe cortar la barra a 1,30 m, de los
Despiece a momento Positivo
M x= (R6 ) ( x )−(qu ) (x )( x2 )−98.5Punto teórico de corte donde la viga resista momento con 2 barras
φM n=(0.90)(3.97)(420)[41− (3.97)(420)2(0.85)(21)(30) ]
φM n=59191N∗m
59.191=(201.8 ) ( x )− (40 )( x22 )−98.5x=1.65m
Extensión de seguridad de la barra
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extremosExt ≥ { d=41cm
12db=12 (2.22 )=26.64cm
Se debe cortar la barra a 1.24 m, de los extremos
DISEÑO DE COLUMNAS
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e=M u
Pu
= 99.4300.2
=0.33m
Pu=300.2kN∗(101.97 )=33671.5kg
M u=99.4 kN∗(101.97 )=10135.8 kg∗m
A smin= (0.01 ) Ag=0.01 (30 ) (30 )=9.0cm2
A smax= (0.04 ) Ag=0.04 (30 ) (30 )=36.0cm2
Adoptamos un A s en el rango, suponemos 8 # 7 así: A s=30.96cm2
Entonces: ρ=A s
Area=30.96900
=0.0344≅ 3.44%
Del diagrama de interacción obtenemos:
φ Pnx=30.3
φ Pnmax=0.85φ [0.85 f ´c ( Ag−A st )+A st f y ]φ Pnmax=0.85 (0.70 ) [0.85 (210 ) (900−30.96 )+(30.96 ) (4200 ) ]
φ Pnmax=169667.6
1φ Pn
= 1φPnx
+ 1φPny
− 1φ Pno
1φ Pn
= 130.3
+0− 1169.667
=0.0271
φ Pn=36.90Ton
Como:Pu≤φPn
33.67≤36.9
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Con φ Pn hallamos φM u, con el diagrama de interacción:φM u=12.6Ton∗m=123.6kN∗m
Así queda definido los momentos resistentes del pórtico:
ANÁLISIS PLÁSTICO DEL PÓRTICO
MÉTODO DE COMBINACIÓN DE MECANISMOS
La carga equivalente está dada por:
Peq=W L2
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Mecanismo de viga – se deforman cada una de las vigasMecanismo [1]
T ext=(120 ) vα
T∫¿=2θ (123.6 )+2θ (113.7 ) ¿
θ= v3
T∫¿=2 ( v3 ) (123.6 )+2( v3 ) (113.7 )=158.2 v ¿
T ext=T∫¿¿
(120 ) vα=158.2 vα=1.32
Mecanismo de viga – se deforman cada una de las vigasMecanismo [2]
T ext=(180 ) vα
T∫¿=4θ (157.4) ¿
θ= v3
T∫¿=4( v3 ) (157.4 )=209.9 v ¿
T ext=T∫¿¿
(180 ) vα=209.9vα=1.17
Nota: No existe traslado a las columnas, la suma de las dos columnas (247.2) mayor que (204.3) de la viga
Mecanismo de PisoMecanismo [3]
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T ext=(25 )uα
T∫¿=4θ (123.6) ¿
θ=uh= u3.5
T∫¿=4( u
3.5 ) (123.6 )=141.3 u¿
T ext=T∫¿¿
(25 )uα=141 .3uα=5.65
Mecanismo de Piso Mecanismo [4]
T ext=(60 )uα
T∫¿=4θ (123.6) ¿
θ=uh= u3.5
T∫¿=4( u
3.5) (123.6)=141.3u¿
T ext=T∫¿¿
(60 )uα=141.3uα=2.35
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Mecanismos AlternosMecanismo [5] – Suma mecanismos 1 y 2
T ext=[ (25 )u+(120 ) v ]α
T∫¿=2θ (123.6 )+2θ (113.7 )=721.8θ ¿
θ= u3.5
θ= v3.0
T ext=[ (25 ) (3.5 )θ+(120 ) (3.0 )θ ] α
T ext=(447.5 )θα
T ext=T∫¿¿
(447.5 )θα=721.8θα=1.61
Mecanismos AlternosMecanismo [6] – Suma mecanismos 2 y 4
T ext=[ (60 )u+(180 ) v ] α
T∫¿=2θ (123.6 )+2θ (157.4 )+2θ (204.3) ¿
T∫¿=(970.6 )θ ¿
θ= u3.5
θ= v3.0
T ext=[ (60 ) (3.5 )θ+(180 ) (3.0 )θ ] α
T ext=(750.0 )θα
T ext=T∫¿¿
(750.0 )θα=970.6θα=1.29
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Mecanismos AlternosMecanismo [7] – Suma mecanismos 5 y 6
T ext=[ (60 )u+(300 ) v ]α
T∫¿=2θ (123.6 )+2θ (157.4 )+2θ (204.3)+4θ (113.7 ) ¿
T∫¿=(1425.4 )θ ¿
θ= u3.5
θ= v3.0
T ext=[ (60 ) (3.5 )θ+(300 ) (3.0 )θ ] α
T ext=(1110.0 )θα
T ext=T∫¿¿
(1110.0 )θα=1425.4θα=1.28
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MÉTODO APROXIMADO
Se asume que el pórtico es un pórtico principal de la estructura.
Comportamiento a carga lateral
(V r ) (hr )=∑col
(M ib+M i
t )Primer Piso
(60 ) (3.5 )=4M r
M r=52.5
Cubierta(25 ) (3.5 )=4M r
M r=21.9
Nota: debemos cumplir con:
∑Mr columnas≥1.2∑ Mr vigas
Comportamiento a carga lateral
Momentos resistentes de la estructura, se obtienen los de las vigas con el diseño, y las columnas con el equilibrio.
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Para cada piso se obtiene la condición límite,
Wmax=4
L2[M i+2M cl+M
d ]Primer piso
Wmax=4
62[204.3+2 (157.4 )+204.3 ]=80.38 kN /m
Cubierta
Wmax=4
62[113.7+2 (113.7 )+113.7 ]=50.53kN /m
Máximo cortante en la estructura
V r=1hr∑col
( M b+M t )
V r=13.5
(131.5 ) (4 )=150.3
Mecanismo de Nivel [Primer Piso]
(V r ) (hr )+(wr
4 )∑ (Lr )2=∑
col(M br+M br+1 )+2∑ (M cl+M d )
(V r ) (3.5 )+(w r
4 ) (6 )2= [131 .5+131 .5 ]+2 [157.4+204.3 ]
(V r ) (3.5 )+ (w ) (9 )=986.4
Mecanismo de Nivel [Segundo Piso]
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(V r ) (hr )+(wr
4 )∑ (Lr )2=∑
col(M br+M br+1 )+2∑ (M cl+M d )
(V r ) (3.5 )+(w r
4 ) (6 )2= [113.7+113.7 ]+2 [113.7+113.7 ]
(V r ) (3.5 )+ (w ) (9 )=682.2
Tabulando Primer piso Segundo pisoCuando V r=0→w=109.6 Cuando V r=0→w=75.8Cuando w=0→V r=281.8 Cuando w=0→V r=194.9
OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES
Para el análisis elástico de la estructura se usó el método matricial, obteniendo así los
momentos, cortantes y fuerzas axiales en la estructura.
El método de combinación de mecanismos se obtiene como mecanismo que lleva a la
estructura al colapso es el número 2, con α=1.17
En el método aproximado se evidencia que la estructura soporta las cargas
proporcionadas, con una buena capacidad.
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Médiate los dos métodos es evidente la coincidencia o concordancia de los momentos
resistentes, con muy poca variación entre los dos métodos empleados.
BIBLIOGRAFÍA
ANÁLISIS PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS, M.R. Dalmau, primera edición, Universidad de Catalunya. 2003
CALCULO PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS DE BARRAS, RUA C. Guillermo, Universidad de Granada, 2008.