EJERCICIOS 3º E.S.O. (Con Soluciones)
NÚMEROS
1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
2428,
1218,
205)b
2416,
84,
4235)a
Solución:
12(4,2,6)m.c.m
1214,
1218,
123
67,
23,
41ando)(simplific
2428,
1218,
205)b
6(6,2,3)m.c.m.
64,
63,
65
32,
21,
65ando)(simplific
2416,
84,
4235)a
2.- Calcula el valor de la siguiente expresión:
3:
25
34
51:
103
65:1
32
Solución:
34
27003600
1820
5090
323:
620
1015
56
323:
25
34
51:
103
65:1
32
3.- Calcula el valor de la siguiente expresión:
58
32
41
43
32
41
35
52
23
Solución:
37
614
65
619
240200
619
58
4825
619
58
48833
619
58
61
4833
3095
58
61
43
1211
35
1019
58
122
43
1283
35
10415
58
32
41
43
32
41
35
52
23
4.- Calcula el valor de las siguientes expresiones:
543:
61:
38)b
7:54
23:12)a
Solución:
1564
45192
415:
3485
43:
61:
38)b
10516
10582
354
3227:
54
23:12)a
5.- Julio pasa4
1 del día en el colegio,
8
1 lo dedica a comer,
6
1 a estudiar,
12
1 a hacer deporte
y el resto a dormir. ¿Qué fracción de día dedica a dormir?
Solución:
dormiradíadel83dedicaJulio
83
249
2415
2424
2424361
121
61
81
411
6.- Escribe los siguientes números decimales en forma de fracción:
a) 21,54545...b) 19,3333...c) 2,0715151...d) 3,2373737...
Solución:
a)11
237
99
2133
99
212154...54545,21
b)3
58
9
174
9
19193...3333,19
c)825
1709
9900
20508
9900
20720715...0715151,2
d)
198
641
990
3205
990
323237...2373737,3
7.- La cantidad total de un concurso de fotografía se ha repartido entre los tres ganadores de
la siguiente forma: el primero ha recibido8
5 del total; el segundo, el 32,5% y el tercero, 500 euros.
¿Cuál era el total para repartir entre los premiados?
Solución:
La fracción que recibe el segundo es: 32,5% =
4013
1000325
1005,32
La fracción de premio que recibe el tercero es:
201
402
40132540
4013
851
Como esa fracción equivale a 500 euros, la cantidad buscada es x de tal manera que:
201
x = 500.Por tanto la cantidad total a repartir era de 10 000 €
8.- Expresa primero en forma de fracción y luego opera:
9414,0....13333,1...5555,2
Solución:
150
259
900
1554
900
400
900
126
900
1020
900
23009
4
100
14
90
102
9
23
9
4
100
14
90
11113
9
225
9
414,0....13333,1...5555,2
9.- Realiza las siguientes operaciones, expresando primero los decimales en formafraccionaria:
4974,1·...828282,0
91
Solución:
330119
99003750
10051·
9970
100225
100174·
9981
9911
49
100174·
9982
91
4974,1·...828282,0
91
10.- Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:
2
π)a 23)b
3
3)c
100001
1)d
Solución:
a)2
IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no periódico.
b) 23 IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales noperiódicas.
c)3
3 IRRACIONAL , ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras decimales no
periódicas.
100001
1)d RACIONAL, porque el cociente de la fracción es un número decimal periódico
11.- Representa de todas las formas posibles el intervalo7
5,4
Escribe dos números reales del intervalo.
¿Son 5 y4
7 puntos del intervalo?
Solución:
a)b) Dos números reales del intervalo son 2 y 2,1.
c) 5 sí es del intervalo, pero, no4
7 .
POTENCIAS Y RAÍCES
1.- Una fábrica produce 3 toneladas de hierro al día. ¿Cuántos kilos de hierro fabricará en 5días? Expresa el resultado en notación científica.
Solución:1 tonelada son 1000 kg.3 toneladas son 3000 kg.
En cinco días fabricará:
105,10001553000 4 kilogramos.
2.- Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 25 millones de eurosb) Trescientos mil dólaresc) Cuatrocientos treinta y dos mil metrosd) Treinta milímetros (en metros)
Solución:
a) 25 millones de euros 7105,2 euros.
b) Trescientos mil dólares 5103 dólares
c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros 51032,4 metros
d) Treinta milímetros (en metros) 2103 metros
3.- Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de potencia:
4
52325
69
312b)3-:93a)
Solución:
9442
524
42
522
4
52
113143225325
3323332
323332
69312b)
33:33:333-:93a)
4.- Calcula las siguientes sumas y restas, convirtiendo previamente los radicales ensemejantes:
a) 18080455
b)49
7548
Solución:
37
333
7
543
7
534
27
325342
56564315654535
52322542523
497548b)
518080-455a)
5.- Halla en la forma más simplificada posible el resultado de las siguientes divisiones:
a) 8 25:5 b) 104 2 6:6
Solución:
a)48 28 248 28 48 555:55:525:5
b) 55 220 820 21020 220 52104 2 36666:66:66:6
6.- ¿Es correcto decir que 6 es el doble de 3 ? Razona tu respuesta
Solución:
No puesto que 3·23·26
El doble de 3 sería 123232 2
7.- Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales:
53 100:20·10
Solución:
30 132830 131530 131530 3151031530 10
30 12151530 1030 6230 1530 1053
5·25·2·210·210·2·1010·2·10
10:10·2·1010:10·2·10100:20·10
8.- Realiza las siguientes sumas de radicales:
a) 244554125 b) 27450512318
Solución:
a)65262536355
6·25·36·35·5244554125 2222
b)3622833·425·532·323
3·342·553·232·327450512318 2222
9.- Extrae factores de los siguientes radicales:
a) 300 b)8
1253
64
54)c
Solución:
a) 31035·23·5·2300 22
b)2
5
2
5
2·2
5·5
8
1252
2
c) 33333
3
3 24
32
2·2
3
2·2
2·3
64
54
10.- Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:
6:10d3 5:3 625c
3 123 9b28a
))
))
Solución:
3
5
6
10
3 1294
6:10d)5312535
6253 5:3 625c)
31083123 9b)162828a)
11.- Expresa el resultado como potencia única:
16
1
2
1
2
1c)164-4-b)822a)
32534
Solución:
343232
1025353
8344
21
21
21
21
161
21
21c)
4444164-4-b)
2222822a)
POLINOMIOS
1.- Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes:
a) )1)(42()2
1)(42( 22 xxxx
b) )1)(()1)(( 22 yxyyxxyxyx
Solución:a) El primer paréntesis es factor común:
2xx8x4)21x2)(4x2()x1
21x)(4x2( 23222
b) El primer paréntesis es común:32232222 yxy3yx3x)yxy2x)(yx()1yxy1xyx)(yx(
2.- Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos:
a) 225x ... 36 b) 24 18xx ... c) ... 2540 x
Solución:
a) 2)5( x ... 2)6( . Falta el doble producto de los dos términos: 2·5x·6 = 60x, para tener:
.)65( 2x
b) 222 )9(2)( xx ... Falta el cuadrado de 9 para tener el cuadrado: .)9( 22 x
c) ... 2)5()4(52 x . Falta el cuadrado de 4x para tener el cuadrado: 2)54( x .
3.- Halla el polinomio que hay que restar a 153)( 235 xxxxP , para
obtener .3542)( 245 xxxxQ
Solución:Nos piden R(x) para que P(x) - R(x) = Q(x).Despejamos y sustituimos los polinomios:
4x3x4x)3x5x4x2(1x5x3x)x(Q)x(P)x(R 345245235
4.- Efectúa las siguientes operaciones:
a) 1))2(3(2 234 xxxx
b) )())1()1(()1( 232323 xxxxxxxxx
Solución:
a) 1232 234 xxxx
b) 3333111 23232323 xxxxxxxxxxxx
5.- Dados los polinomios 22
3
2
1)( 3 xxxP y 5
3
2
3
1)( 2 xxxQ . Calcula:
a) 4P(x) + 3Q(x)b) 2P(x) -6Q(x)
Solución:
a) 2342)53
2
3
1(3)2
2
3
2
1(4 2323 xxxxxxx
b) 2672)53
2
3
1(6)2
2
3
2
1(2 2323 xxxxxxx
6.- Calcula las siguientes potencias y reduce los términos semejantes:
.)34()52()3( 222 xxx
Solución:Desarrollamos los tres binomios y agrupamos los términos.
18x38x4)x9x2416(25x20x49x6x)x34()5x2()3x( 2222222
7.- Efectúa las operaciones que se indican, y reduce los términos semejantes:
a) (2x + y) - [x + (3x - 2y) - (x - 2y)]
b) )52(2)2( 3432 xxxxx
Solución:a) 2x + y - x - 3x + 2y + x - 2y = -x + y
b) 852)10422( 2343432 xxxxxxxxx
8.- Divide los siguientes polinomios:)1x2x(:)x4x2x4x( 3346
.
Solución:
0x4x0x2x4x0x 23456 123 xx6x 34 xx2 123 xx
0x4x0xx2 234
4x2 0x2x4 2
0x2x4xx0 234 3x 1x2
2x4 -1
Es decir: 12)( 3 xxxC , 14)( 2 xxR .
9.- Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini:
a) )2(:)853( 24 xxxx
b) )2(:)453( 246 xxxx
Solución:
a) 1 0 - 3 5 - 8
- 2 - 2 4 - 2 - 6
1 - 2 1 3 - 14
32)( 23 xxxxC , R(x) = - 14
b) 1 0 -3 0 - 5 0 4
2 2 4 2 4 -2 -4
1 2 1 2 - 1 - 2 0
222)( 2345 xxxxxxC , R(x) = 0.
10.- En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes,quedando:
1 0 -9 0 2 6
2
Si sabemos que la división es exacta, ¿puedes reconstruirla, y escribir los polinomiosdividendo, divisor y cociente?
Solución:Como la división es exacta, el último coeficiente de la tercera fila es cero, y el que está enciam de él debeser -6. Entonces el coeficiente del divisor, el primero de la segunda fila debe ser -3, pues, al multiplicarlopor 2 resulta -6. Ahora, solamente consiste en continuar con el método.Los polinomios pedidos son:
0)x(Ry2x3x)x(C,3x)x(d,6x2x9x)x(D 3435
11.- Divide los siguientes polinomios:).2x(:)3x4x2( 223
Solución:
3x0x4x2 23 2x - 23x2 + 4x 2x + 4
3x4x4 2
2x4 + 8 4x + 5
Es decir: C(x) = 2x +4, R(x) = 4x + 5.
ECUACIONES Y SISTEMAS
1.- Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:).2x(x4)2x(x4 22
Solución:
Operamos: xxxxx 84444 222 Agrupamos los términos: 0442 xxResolvemos:
22
16164
x .
2.- Resuelve la siguiente ecuación:
x2
34
31
94
61x
21x
31
52
Solución:
Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 5, 6, 9) = 90: xxx 6040166
1
2
13612
Quitamos los paréntesis y dividimos por 2:6x - 9x + 3 + 8 = 20 - 30xAgrupamos y resolvemos:
27x = 93
1
27
9x .
3.- Resuelve la siguiente ecuación:
x
49
31)
32x(x4)
21x2)(
21x2(
Solución:Operamos:
x31
43x
38x4
41x4 22
Simplificamos y multiplicamos por el m.c.m.(3, 4) = 12: - 3 + 32x = 9 - 4x
Agrupamos y resolvemos:
36x = 123
1
36
12x .
4.- Resolver la siguiente ecuación:
5x2
6x52
105x8
Solución:Multiplicamos por el m.c.m.(5,6,10)=30: 3(8x+5) - 5(2-5x) = 60 -6xQuitamos los paréntesis: 24x + 15 - 10 +25x = 60 - 6xAgrupamos y resolvemos:
55x = 55 x = 1.
5.- Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:
a) 0327 2 xb) 0155 2 xx
Solución:
a) Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta. Despejamos: 39 xb) Como carece de término independiente, sacamos x como factor común: 5x(x-3) = 0, luego x = 0;
x = 3.
6.- Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de grado dos: 5x(x + 1) + 10(2x + 3) + 60 = 20(1 - x).
Solución:
Operamos: .x20206030x20x5x5 2
Agrupamos los términos: 5x2 + 45x + 70 = 0. Simplificamos: .01492 xxResolvemos:
7
2
259
256819x
.
7.- Resolver la siguiente ecuación:
0xx12 2
Solución:
2
712491
1·212·1·411
x2
Las soluciones son: 32
711
x y 42
712
x
8.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2y15x15151
3x
5y2
Solución:
Quitamos paréntesis:
21515
156
yx
xy
Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando:
3
553
21515
31815
yy
yx
yx
Sustituyendo en la 2ª ecuación se calcula x:5
9
15
27252152
3
5·1515 xxx
La solución es x =3
5, y =
5
9
9.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
12y2y3x44y33x
Solución:
Quitando paréntesis:
122124
433
yyx
yx
Agrupando los términos:
2434
13
yx
yx
Multiplicando por 1 la 1ª ecuación y sumando:
5
23235
2434
13
xx
yx
yx
Se calcula y:15
28
5
283
5
231313
5
23
yyyy
La solución es x =5
23, y =
15
28
10.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
5x5y2)y
2x(2
x)yx(2)3x(2
Solución:Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones:
x5y2y10x5
xy2x26x2
Agrupamos los distintos términos:
0y8x10
6y2x
(*)Multiplicamos la 1ª ecuación por 4, y restamos:
0y8x10
24y8x4
-6x = -24 x = 4Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación de (*):4 + 2y = -6 y = -5. Solución: (4, -5)
11.- Divide el número 392 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la menorobtengas 11 de cociente y 8 de resto.
Solución:Sean x e y con x > y las partes buscadas del número dado: x + y =392La ley de la división aplicada a los datos del enunciado nos da: x = 11y + 8
Debemos resolver el sistema:
8y11x
392yx
Restamos la segunda de la primera:12y = 384 y = 32. Sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 360.
12.- Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las cifras, el númerodisminuye en 9. ¿Qué número es?
Solución:Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades.El número en cuestión es: 10x+y.El número con las cifran en orden inverso: 10y+x.Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema:
9yx10xy109yx
Agrupando los términos y simplificando, resulta:
1yx9yx
Sumando las dos ecuaciones: 2y = 8 y = 4, x = 5.
El número pedido es el 54.
PROPORCIONALIDAD
1.- 5 personas consumen en 2 días 100 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua consumirán 8personas durante una semana?
Solución:5 personas _____ 2 días _____ 100 litros8 personas ____ 7 días _____ x litros
Proporcionalidad compuesta directa
Se reduce a una proporción simple: 56010
56100100
56
10100
7
2
8
5
x
xxlitros
2.- Reparte 330 en partes inversamente proporcionales a 5 y 10.
Solución:Sea k la constante de proporcionalidad inversa:
A 5 le corresponde:5
k
A 10 le corresponde:10
k
Por tanto:
1100k33010
k3330
10
k
5
k
Luego a 5 le corresponde 2205
1100
a 10 le corresponde 11010
1100
3.- Un ganadero quiere transportar cierto número de vacas. Para ello contrata 15 camionescon una capacidad de 8 vacas cada uno, que realizarán el trabajo en 10 días. ¿Cuántotiempo tardarán si contrata la tercera parte de camiones con una capacidad para 12 vacas?
Solución:15 camiones 8 vacas c/u 10 días5 camiones 12 vacas c/u x días
Proporcionalidad compuesta inversa
Se reduce a una proporción simple: 2060
1012010
120
6010
8
12
15
5
x
xx días
4.- Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando sereduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes?
Solución:Subida: 120 · 1,20 = 144 eurosRebaja: 144 · 0,8 = 115,20 eurosVale menos que antes de la subida.
5.- Un estanque contiene 25200 litros de agua, si se consume el 12,5 % del contenido y con lalluvia aumenta un 21% de lo que restaba ¿qué cantidad de agua contiene actualmente elestanque?
Solución:
El 12,5 % del agua del estanque se consume: 3150100
252005,12
25200100
5,12
x
x litros.
Por tanto, quedan en el estanque 25200 - 3150=22050 litros.El 21% de agua que procede de la lluvia equivale a:
5,4630100
2205021
22050100
21
x
xlitros.
Por tanto, el estanque contiene actualmente 22050 + 4630,5= 26680,5 litros
6.- Tres usuarios de Internet, que utilizan el mismo ordenador, pagan la facturaproporcionalmente al número de horas que ha estado conectado cada uno. Si tienen quepagar 16,50, 21 y 10,50 euros respectivamente, y han estado conectados un total de 120horas, ¿cuánto tiempo habrá utilizado cada uno el ordenador?
Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:El primer usuario habrá estado conectado: 16,50 kEl segundo usuario habrá estado conectado: 21 kEl tercer usuario habrá estado conectado: 10,50 kPor tanto:
5,21204812050,102150,16 kkkkkLuego: El primer usuario habrá estado conectado 25,415,2·50,16 41 h. y un cuarto
El segundo usuario habrá estado conectado 5,525,2·21 52 h. y media
El tercer usuario habrá estado conectado 25,265,2·5,10 26 h. y un cuarto
7.- Reparte 7700 en partes directamente proporcionales a 2, 5, 7 y 11.
Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:A 2 le corresponde: 2 kA 5 le corresponde: 5 kA 7 le corresponde: 7 kA 11 le corresponde: 11 kPor tanto:
308k7700k257700k11k7k5k2 Luego a 2 le corresponde 6163082
a 5 le corresponde 15403085 a 7 le corresponde 21563087 a 11 le corresponde 338830811
8.- Para cubrir el suelo de una casa se necesitan 270 baldosas de 24 cm de largo y 15 de ancho.¿Cuántas baldosas serían precisas si cada una mide 20 cm de largo y 12,5 cm de ancho?
Solución:270 baldosas 24 cm de largo 15 cm de anchox baldosas 20 cm de largo 12,5 cm de ancho
Proporcionalidad compuesta inversa
Se reduce a una proporción simple: 8,388250
360270
250
360
2705,12
15
20
24
270
x
xx
baldosas
SUCESIONES
1.- Averigua si65
11
13
6,
17
7,1 y son términos de la sucesión:
1
32
n
nan .
Solución:
1aluego,2n1n
3n1 22
177aluego,4n
1n3n
177
42
sucesiónladeomintérunesno136N
311n
1n3n
136
2
6511aluego,8n
1n3n
6511
82
2.- Halla el término general de las siguientes sucesiones:
a) 1, 4, 9, 16, ... b) 3, 6, 9, 12, ...
Solución:
a) 2nan b) nbn 3
3.- Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
a) na =3n + 2 b)12
5
n
nbn
Solución:
a) 51 a ; 82 a ; 113 a ; 144 a ; 175 a
b) 21 b ;5
72 b ;
7
83 b ; 14 b ;
11
105 b
4.- Averigua el término siguiente en cada una de las sucesiones:a) 3, 5, 7, 9, ___b) 5, 10, 20, 40, ___
Solución:a) 3, 5, 7, 9, 11b) 5, 10, 20, 40, 80
5.- Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética, sabiendo que elsexto término es -12 y la diferencia -4.
Solución:8a20a12d5aa 1116
dnaan )1(1 8 + (n - 1)(-4) = 8 - 4n + 4 nan 412
6.- Halla el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, sabiendo que elquinto término es 47 y el décimo 97.
Solución:
daa )510(510 97 = 47 + 5d d = 10
7a40a47d4aa 1115
7.- En una progresión aritmética el segundo término es 20 y el quinto 35. Halla el términogeneral.
Solución:
daa )25(25 35 = 20 + 3d 3d = 15 d = 5
521 aa =20 - 5 = 15
dnaan )1(1 = 15 + (n - 1)5 = 15 + 5n - 5 = 5n + 10 105 nan
8.- Halla la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética: 4, 2, 0, ...
Solución:d = -2
daa 29130 = 4 + 29(-2) = -54
7502
)544(302
)aa(30S 30130
9.- Halla la suma de los 23 primeros términos de la progresión aritmética: 6,3
20,
3
19,...
Solución:
d =3
1
340
3226
31226d22aa 123
3667
61334
23
5823
2340623
2)aa(23S 231
23
10.- En una progresión geométrica el primer término vale 4 y el cuarto 1/2. ¿Cuánto vale larazón?
Solución:
21r
81rr4
21raa 333
14
11.- Halla término general de una progresión geométrica sabiendo que el sexto término es 486 yel tercero 18.
Solución:
1nn
112
13
33336
32a
2a9a18raa
3rr27r18486raa
12.- El primer término de una progresión geométrica4
27 y el cuarto
4
1 . Halla la razón.
Solución:
31r
271rr
427
41raaraa 333
141n
1n
13.- Halla la suma de los ocho primeros términos de la progresión geométrica: ,...1,2
1,
4
1
Solución:r = 2
32241raa 77
18
75,631
4164
1241232
1raraS 18
8
14.- ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primertérmino es 5, el último 640 y su suma 1 275?
Solución:
8n71n22212825640raa
2r2701r6355r6402751r27511r
5r64027511r
araS
1n71n1n1n1n
1nn
Por tanto, se han tomado 8 términos.
15.- Una profesora de Educación Física quiere hacer una demostración gimnástica con ungrupo de 28 alumnos. Para ello quiere formar con sus alumnos y alumnas un triángulo, demodo que la primera fila tenga un alumno, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántasfilas habrá?
Solución:Si llamamos a1, a2, ..., an al número de alumnos de la 1ª fila, 2ª fila, ... n-ésima fila, respectivamente, es
2a,1a 21 , ...,
nan
Hemos de hallar n para que: 21 aaSn ... 28 na
7ny)válidano(8n056nn56nn282
)n1(n2
)aa(nS 22n1n
Por tanto, el número de filas es 7.
FUNCIONES
1.- Si 1)( xxf , indica si 1x , 2x y 4x pertenecen a su dominio y en el caso
de que así sea cuál sería su imagen mediante )(xf .
Solución:
Si 1x , Rxf 0011)( .Por tanto 1x pertenece al dominio, y su imagen es 0.
Si 2x , Rxf 112)( . Por lo tanto 2x no pertenece al dominio.
Si 4x , Rxf 514)( . Por tanto 4x pertenece al dominio y su imagen es 5 .
2.- Escribe la función que nos da el área de cualquier rectángulo de altura 3cm. en función dela base.
Solución:
3 cm. x
xcm3xA .
3.- El coste del recibo del teléfono depende de los minutos hablados y una cuota fija de 12euros. Cada minuto hablado cuesta 4,4 euros. ¿Cuál es la función que nos da el coste dedicho recibo?
Solución:Si llamamos x al número de minutos hablados, el coste del recibo será una función que dependerá de x:
euros12x4.4)x(f
4.- Un vendedor de periódicos obtiene una ganancia de 0.5 euros por la venta de unadeterminada revista de economía, pero ha de pagar al mes al repartidor 7euros. ¿Cuál serála función que nos daría el beneficio del vendedor al cabo de un mes?
Solución:El beneficio del vendedor al cabo de un mes dependerá del número de ejemplares que venda de la revistaen cuestión.
Si llamamos x al número de ejemplares vendidos, entonces 75'0)( xxf €
5.- Sea f(x), la función que asocia a cada número racional su duplo más uno. ¿Es esta funcióncreciente? ¿Alcanza su máximo para algún punto de su dominio?
Solución:
La función es 12 xxf , que es una función creciente, pero no alcanza su máximo, porque para
cualquier número racional siempre podemos encontrar uno mayor de manera que su imagen también seamayor que la imagen del anterior.
6.- Estudia si las siguientes funciones son periódicas, en caso que sean periódicas indica elperiodo:
a) b)
Solución:a) Es una función periódica de periodo 2.b) Es una función periódica de periodo 3.
7.- A la vista de la siguiente función, di los intervalos en los que es creciente y en los que esdecreciente.
OO
Y
X
Solución:
Esta función es creciente en los intervalos 2,14,5 y es decreciente en los intervalos
5,31,3 . Para el resto de los valores de la variable independiente la función es constante.
8.- A la vista de la siguiente función di dónde es creciente y decreciente, así como sus máximosy mínimos relativos y absolutos.
OO
Y
X
Solución:
La función es creciente en los intervalos )3,2()0,2()4,5( y es decreciente en
.)5,3()20()2,4( La función tiene dos máximos relativos en )1,4( y )1,0( , mínimo relativo en 3,2 un máximo
absoluto en 4,3 y un mínimo absoluto en 4,2
9.- Termina la representación de cada una de las siguientes funciones, para que tengan lassimetría que se indica:
a) Par Impar c) Ni par, ni par
OO
Y
X OO
Y
X OO
Y
X
Solución:
OO
Y
X OO
Y
X OO
Y
X
10.- Dada la recta 12 xy , calcula una recta paralela a ella que tenga por ordenada en el
origen 3. Representa las dos rectas.
Solución:Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es:
3x2y
Y
X
11.- La pendiente de una determinada recta es2
1, siendo uno de los puntos por los que pasa
es )1,3( . Calcula su ecuación y representa dicha recta.
Solución:
La pendiente de esta recta es2
1, entonces: nxy
2
1. Para saber cuál es la ordenada en el origen,
utilizamos el hecho de que )1,3( pertenece a esta recta.
21nn
231n3.
211
. Así que2
1
2
1
xy
Y
X
12.- Representa las rectas 2 xy e 1 xy y calcula el punto que tienen en común.
Solución:El punto que tienen en común estas dos rectas se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:
1xy
2xy
21y,
23x
Y
X
13.- La pendiente de una recta es -1, y su ordenada en el origen 2. ¿Cuál será la ecuación de unarecta paralela a ella que tiene como ordenada en el origen -3?. Represéntalas gráficamente.
Solución:Se trata de una recta paralela a otra con pendiente -1, con lo cual la recta pedida tiene la misma pendiente.La ecuación será:y = -x-3
Y
X
14.- Calcula la ecuación de una recta paralela a la recta de ecuación 32
1
xy , que pasa
por el punto de intersección de las rectas: 121 xyexy .
Solución:Resolviendo el sistema, el punto de intersección de las rectas dadas es (-2, -3) , con lo cual la ecuación dela recta pedida será:
4x21y
15.- La ecuación de una recta es2
3
5
1 xy ¿Cuál será la ecuación de la recta que tiene la
misma ordenada en el origen y como pendiente la mitad? ¿Son estas dos rectas secantes?.En caso afirmativo, calcula el punto que tienen en común.
Solución:La ecuación de la recta pedida es:
23x
101y
Estas dos rectas son secantes puesto que no tienen la misma pendiente. El punto que tienen en común es
)23,0(
16.- Averigua si los siguientes puntos están alineados: )1,0(),2
1,3(),0,2( CBA
y )2
1,1(D .
Solución:Si están alineados pertenecerán a la misma recta. Tomamos dos de los puntos y calculamos la ecuación dela recta que los contiene:
nm.20
no.m1
21m,1n
con lo cual, la recta tiene como ecuación: 12
1
xy . Comprobamos ahora si el resto de los puntos
pertenecen a esta recta:
Si2
11
2
313.
2
13
yx ,por tanto B pertenece a esta recta
Si2
111.
2
11
yx ,con lo cual, D también pertenece a la recta.
Por lo tanto, los puntos A, B, C, y D estan alineados.
ESTADÍSTICA
1.- Los precios en €/kg de algunos productos son:40, 45, 50, 45, 55, 60, 45, 50, 65, 45, 50, 75, 65, 50, 55, 45, 60, 65, 70, 55, 60, 50, 45, 60, 65, 55,45, 50, 50, 65.a) Realiza una tabla de frecuencias.b) Dibuja un diagrama de barras.c) Dibuja un diagrama de sectores.
Solución:a)
Precio fi
40 145 750 755 460 465 570 175 1
b)
c)
2.- Construye una tabla de frecuencia agrupando previamente los datos enintervalos y dibuja un histograma de la siguiente colección de pesos, extraída deuna muestra de 20 personas:66, 59, 53, 57, 51, 58, 49, 59, 68, 65, 54, 56, 59, 66, 58, 61, 65, 62, 55, 68.
Solución:
3.- En un test efectuado a 9 alumnos hemos obtenido los siguientes resultados:Respuestasexactas
NºAlum.
[30, 40) 2[40, 50) 8[50, 60) 20[60, 70) 29[70, 80) 14[80, 90) 10[90, 100) 7
Calcula la media, moda, la mediana y la varianza.
Solución:Completando la tabla:
Inter. x f x·f x2·f[30, 40) 35 2 70 2450[40, 50) 45 8 360 16200[50, 60) 55 20 1100 60500[60, 70) 65 29 1885 122525[70, 80) 75 14 1050 78750[80, 90) 85 10 850 72250[90, 100) 95 7 665 63175
90 5980 415850
Peso x f h[49, 54) 51,5 3 3/20[54, 59) 56,5 6 3/10[59, 64) 61,5 5 1/4[64, 69) 66,5 6 3/10
Suma= 20 1
Precios (€/kg)
012345678
40 45 50 55 60 65 70 75
Precio (€/kg)
40
45
5055
60
65
70
75
66,4490
5980x ; Mo = 65; Me = 65; 206,2866,44
90
415850 22 S
4.- Las puntuaciones obtenidas en un test de razonamiento abstracto por 20 alumnos hanquedado reflejadas en el siguiente diagrama de barras:
0123456
13 15 16 17 18 20 21 22 23
Puntuaciones
Nº a
lum
nos
Halla la media aritmética, la moda.
Solución:Puntuaciones Número de alumnos xi·fi
13 1 1315 1 1516 2 3217 3 5118 2 3620 2 4021 2 4222 5 4423 2 46
20 319
La media es: 95,1520
319x
La moda es 22.
5.- En una distribución en la que se estudia la talla de 500 personas se sabe que la mediana esigual a 1,67 m. ¿Qué quiere decir?
Solución:Que hay 250 personas con tallas inferiores a 1,67 m y otras 250 personas con tallas superiores a 1,67 m.
6.- Al realizar una encuesta telefónica sobre el número de personas que habitan cada casa, seobtiene los siguientes resultados:
personasi fi
1 1022 2053 3564 3725 210
Calcula la varianza y desviación típica de esta distribución.
Solución:personasi fi Fi xi fi |xi-
x |2 |xi-x |2 fi
1 102 102 102 5,33 543,172 205 307 410 1,71 350,533 356 663 1068 0,09 33,694 372 1035 1488 0,48 178,335 210 1245 1050 2,86 601,46
1245 4118 1707,18
La media es: 31,31245
4118x .
La varianza es: 37,11245
18,17072 s .
La desviación típica es: 17,137,1 s .
7.- Calcula la varianza y la desviación típica para la distribución de frecuencias siguiente:xi fi
1 22 13 34 45 1
Solución:xi
fi Fi xi
fi|xi-
x |2 |xi- x|2 fi
1 2 2 2 4,37 8,742 1 3 2 1,19 1,193 3 6 9 0,01 0,024 4 10 16 0,83 3,315 1 11 5 3,64 3,64
11 34 16,91
La media es: 09,311
34x
La varianza es: 54,111
91,162 s
La desviación típica es: 24,154,1 s
8.- Un profesor de educación física ha obtenido los siguientes resultados de sus alumnos en unacarrera de 100 m lisos.Calcula la moda y la mediana de los resultados agrupándolos de 1 s en 1 s.
10,3 13,1 11,2 12,7 10,811,4 14,2 12,6 11,9 10,511,5 11,8 13,0 12,8 14,212,0 13,5 14,1 14,7 12,710,3 13,1 11,2 12,7 10,8
Solución:Clase Marca fi Fi
[10,11) 10,5 5 5[11,12) 11,5 6 11[12,13) 12,5 6 17[13,14) 13,5 4 21[14,15) 14,5 4 25
25Las modas son 11,5 y 12,5La mediana es 12,5.
9.- Calcula la desviación típica para los datos de una distribución dada por el siguientediagrama de barras.
01234567
1 2 3 4 5
Solución:xi
fi Fi xi
fi|xi-
x |2 |xi-x |2 fi
1 2 2 2 6,76 13,522 2 4 4 2,56 5,123 4 8 12 0,36 1,444 6 14 24 0,16 0,965 6 20 30 1,96 11,76
20 72 32,80
La media es: 6,320
72x .
La varianza es: 64,120
80,322 s .
La desviación típica es: 28,164,1 s .