Date post: | 18-Jun-2015 |
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Matrices. Ejercicios y problemas
1Dadas las matr ices :
Ca lcu lar :
A + B; A - B; A x B; B x A; A t .
2Demostrar que: A 2 - A- 2 I = 0 , s iendo:
3 Sea A la matr iz . Ha l lar A n , para n
4Por qué matr iz hay que premul t ip l i car la matr iz
para que resu l te la matr iz .
5Calcu lar la matr iz inversa de:
6 Obtener las matr ices A y B que ver i f iquen e l s i s tema:
7 Una fábr ica produce dos modelos de lavadoras , A y B , en
t res terminac iones: N, L y S . Produce de l modelo A: 400 un idades
en la terminac ión N, 200 un idades en la terminac ión L y 50
un idades en la terminac ión S . Produce de l modelo B: 300 un idades
en la terminac ión N, 100 un idades en la terminac ión L y 30
un idades en la terminac ión S . La terminac ión N l leva 25 horas de
ta l ler y 1 hora de admin is t rac ión. La terminac ión L l leva 30 horas
de ta l ler y 1 .2 horas de admin is t rac ión. La terminac ión S l leva 33
horas de ta l ler y 1 .3 horas de admin is t rac ión.
1.Representar la in formac ión en dos matr ices .
2.Hal lar una matr iz que exprese las horas de ta l ler y de
admin is t rac ión empleadas para cada uno de los modelos .
8 Ca lcu lar e l rango de la matr iz s igu iente:
9 S iendo:
Ca lcu lar e l va lor de X en las s igu ientes ecuac iones:
10Reso lver ; en forma matr ic ia l , e l s i s tema:
Matrices. Ejercicios y problemas
2
Demostrar que: A 2 - A - 2 I = 0 , s iendo:
Matrices. Ejercicios y problemas
3
Sea A la matr iz . Ha l lar A n , para n
Matrices. Ejercicios y problemas
4
Por qué matr iz hay que premul t ip l i car la matr iz
para que resu l te la matr iz
.
Matrices. Ejercicios y problemas
5
Calcu lar la matr iz inversa de:
1 Constru i r una matr iz de l t ipo M = (A | I )
2 Ut i l i zar e l método Gauss para t ransformar la mi tad
i zqu ierda, A , en la matr iz ident idad, y la matr iz que resu l te en e l
lado derecho será la matr iz inversa: A - 1 .
Matrices. Ejercicios y problemas
7
Una fábr ica produce dos modelos de lavadoras , A y B , en
t res terminac iones: N, L y S . Produce de l modelo A: 400 un idades
en la terminac ión N, 200 un idades en la terminac ión L y 50
un idades en la terminac ión S . Produce de l modelo B: 300 un idades
en la terminac ión N, 100 un idades en la terminac ión L y 30
un idades en la terminac ión S . La terminac ión N l leva 25 horas de
ta l ler y 1 hora de admin is t rac ión. La terminac ión L l leva 30 horas
de ta l ler y 1 .2 horas de admin is t rac ión. La terminac ión S l leva 33
horas de ta l ler y 1 .3 horas de admin is t rac ión.
1.Representar la in formac ión en dos matr ices .
2.Hal lar una matr iz que exprese las horas de ta l ler y de
admin is t rac ión empleadas para cada uno de los modelos .
Matr iz de producc ión:
F i las : Modelos A y B Co lumnas: Terminac iones N, L , S
Matr iz de coste en horas :
F i las : Terminac iones N, L , S Co lumnas: Coste en horas : T ,
A
Matr iz que expresa las horas de ta l ler y de admin is t rac ión
para cada uno de los modelos :
Matrices. Ejercicios y problemas
8
Calcu lar e l rango de la matr iz s igu iente:
F 1 - 2 F 2
F 3 - 3 F 2
F 3 + 2 F 1
Por tanto r(A) =2.
Matrices. Ejercicios y problemas
9
Siendo:
Ca lcu lar e l va lor de X en las s igu ientes ecuac iones:
Matrices. Ejercicios y problemas
10
Reso lver ; en forma matr ic ia l , e l s i s tema:
1.Sean
a) ¿Qué clase de matrices son? b) Calcular: - A - B + C. A + B - C. 3A + C/2. c) Calcular: (A · B) /C. d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado. Resolución : a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí. b)
c) Puesto que (A B) /C = A B C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.
Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,
Por lo tanto, la matriz inversa de C es:
A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,
Por último, calculamos (AB)C-1.
= Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:
d) Primero se construye la matriz M = (A I) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:
Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene
. Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,
. Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,
Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:
Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir AA-1 = I. Procedamos a la comprobación:
2. Calcular los siguientes determinantes:
Soluciones:
= 2(-6-24+16+2)+ 5(-4-24+6)-1(4+12-16-3) = -24-110+3 = -131.
= 1·(16+0+24-(-4)-(-30)-0) -2·(-128-2+30-(-40)-12-(-16)) = 74-2·(-56) = = 74+112 = 186.
3. Calcular , la inversa de las siguientes matrices: a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son: B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B, denotado por adj B, será
b) Empezaremos por hallar el det A,
Los cofactores de los nueve elementos de A son:
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1: