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7/22/2019 Ejercicios Resueltos de Ecuaciones No Lineales- Documento de Apoyo
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MAT 1105 B
EJERCICIOS RESUELTOS
1.De la siguiente ecuacin:Despejando , se tienen las siguientes ecuaciones de la forma :
a) b)
Calcule la raz por el mtodo de punto fijo, tomando en cuenta el criterio y el valor
inicial , en ambos casos, y determinar cual ecuacin converge a una raz de
Solucin
a) De la ecuacin: se obtiene la derivada:
1ra. Iteracin
Utilizando el valor inicial , se tienen los siguientes valores:
Como el error aun es relativamente grande se tendr que realizar otra iteracin.
El resultado del criterio de convergencia est muy cercano a 1 por lo que se puede decir que el
mtodo converge a un resultado pero que por el momento ser lentamente.
2da. Iteracin
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
CENTRO UNIVERSITARIO DEL SUROCCIDENTE
INGENIERIA EN ALIMENTOS
Ing. Aldo de Len Fernndez
MATEMATICA V
DOCUMENTO DE APOYO A LA DOCENCIA
ECUACIONES NO LINEALES
EJERCICIOS RESUELTOS
7/22/2019 Ejercicios Resueltos de Ecuaciones No Lineales- Documento de Apoyo
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3ra. Iteracin
Los valores de las prximas iteraciones se muestran en la siguiente tabla:
i xi |g(xi)| |xi - xi-1|
0 1,00000
1 2,46621 1,07682 1,46621
2 3,09552 1,00993 0,62931
3 3,30056 0,99143 0,20503
4 3,36214 0,98613 0,06158
5 3,38020 0,98460 0,01806
6 3,38546 0,98416 0,00526
7 3,38699 0,98403 0,00153
8 3,38744 0,98399 0,00044
9 3,38757 0,98398 0,00013
10 3.38760 0.98398 0.00004
Respuesta:La raz de la ecuacin es la siguiente:
b) De la ecuacin: se obtiene la derivada:
1ra. Iteracin
Utilizando el valor inicial , se tienen los siguientes valores:
Como el error aun es grande se tendr que realizar otra iteracin.
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El resultado del criterio de convergencia es mucho ms pequeo a 1 por lo que se podra decir que el
mtodo converge muy rpido, pero se tendr que ver otra iteracin.
2da. Iteracin
Respuesta:
El criterio de convergencia , es muy grande y el error aumento desde la anterior iteracin por
lo que se dir que:
El mtodo no converge con la ecuacin , y el valor inicial
por lo que no se podr obtener un resultado satisfactorio
2.La funcin:Tiene una cantidad infinita de races, graficando en el intervalo [-5,6] se tiene:
a) Se quiere emplear el mtodo de la biseccin para encontrar una solucin aproximada de la primeraraz de la ecuacin , en el intervalo [0.1, 0.5], con una exactitud de 10
-2
.
b) Aproximar mediante el mtodo de Newton-Raphson la raz de , tomando como valor inicial, con una exactitud de 10
-5.
Solucin
a) Resolviendo por el mtodo de biseccin, primero se grafica la funcin en el intervalo:
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y Raz
0.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4
-0.2
-1
Evaluando la funcin en los dos puntos se tiene:
x
0.5
( menor a 0)
( mayor a 0 )
Se observa que en el intervalo existe una raz de la funcin, cuando un punto es menor que cero y el
otro es mayor que cero, por lo que puede proceder a resolver la ecuacin por el mtodo de biseccin:
1ra. Iteracin
En primer lugar se divide el intervalo a la mitad y se obtiene un nuevo valor:
y Raz
0.2
x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-0.2
Nuevo intervalo
-1
Evaluando la funcin en este punto:
( menor a 0 )
Este valor tambin se considera para determinar la exactitud en este mtodo:
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Como este valor es mayor a la exactitud requerida de 10-2
, se deber continuar con un nuevo intervalo en
otra iteracin.
Comparando con los valores de los extremos:
Se obtiene el nuevo intervalo, con el punto medio y el punto externo que tenga el signo opuesto. Con lo
que el nuevo intervalo ser:
, (es reemplazado con el nuevo valor)
(se mantiene)
2da. Iteracin
( menor a 0 )
El nuevo intervalo es:
, (es reemplazado con el nuevo valor)
(se mantiene)
y Raz0.2
x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-0.2
Nuevo intervalo
-1
Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla:
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i error
1 0.1 0.3 0.5 -0,98987 -0,59673 0,22314 0,59673
2 0,3 0,4 0,5 -0,59673 -0,22901 0,22314 0.22901
3 0,4 0,45 0,5 -0,22901 -0,01150 0,22314 0.01150
4 0,45 0,475 0,5 -0,01150 0,10396 0,22314 0.10396
5 0,45 0,4625 0,475 -0,01150 0,04573 0,10396 0,04573
6 0,45 0,45625 0,4625 -0,01150 0,01698 0,04573 0,01698
7 0,45 0,453125 0,45625 -0,01150 0,00271 0,01698 2.7110-3
Respuesta
Luego de siete iteraciones se obtiene una raz con una exactitud menor al valor requerido:
b) Resolviendo por el mtodo de Newton-Raphson, se utiliza la siguiente formula:
Donde:
1ra. Iteracin
Con el valor inicial dado 6, se reemplaza en la ecuacin:
2da. Iteracin
3ra. Iteracin
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4ta. Iteracin
Respuesta
Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:
3.Resuelva las siguientes ecuaciones:a) Determine la raz real mxima deSolucin
Como la ecuacin es de tercer grado, luego pueden existir 3 races reales o complejas, graficando la
funcin se puede ver que las 3 races son reales, y que la raz con valor mximo esta cerca a 3.0.
y
1
Raz realmxima
x
0 1 2 3 4
Otras races
-1
Se resolver utilizando el mtodo de Newton-Raphson, con el valor inicial
un error admisible de 10-4
, por lo que se utilizarn 5 decimales.
Donde:
1ra. Iteracin
3.05000
. Tomando en cuenta
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2da. Iteracin
3ra. Iteracin
Respuesta
Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:
b) Determine la raz positiva mnima deSolucin
Graficando la funcin se puede ver que existen dos races positivas, la raz mnima esta muy cerca al
origen, por lo que se tomar como valor inicial.
y
1
Raz positiva
mxima
x
0 1 2 3 4
Raz positiva
mnima
-1
Resolviendo por el mtodo de Newton-Raphson, con el valor inicial , y tomando en cuenta un
error admisible de 10-5
, Por lo que se utilizaran 6 decimales.
Donde:
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1ra. Iteracin
2da. Iteracin
3ra. Iteracin
4ta. Iteracin
Respuesta
Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:
4.Resuelva las siguientes ecuaciones:a) , por el mtodo de la secante.
Solucin
Graficando la funcin:
y
10
Raz
8 9 x
0 5 10
-10
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Resolviendo por el mtodo de la secante, se necesitan dos valores iniciales, pero a diferencia del
mtodo de biseccin estos puntos no tienen que estar alrededor de la raz, sino que tienen que estar
prximos, como en el mtodo de Newton-Raphson.
Se utilizarn los siguientes valores iniciales: ,
10-5
.
La formula que se utilizar en este mtodo es:
1ra. Iteracin
,
2da. Iteracin
3ra. Iteracin
Respuesta
Luego de realizar tres iteraciones al evaluar la funcin en lo
que se tomar como resultado exacto:
b) , por el mtodo de la falsa posicin
Solucin
. Tomando en cuenta un error admisible de
, se tiene un valor igual a cero, por
Resolviendo por el mtodo de Falsa Posicin, se necesitan dos puntos alrededor de la raz de la
funcin. En este caso utilizaremos y . Tomando en cuenta un error admisible de 10-5
.
Graficando la funcin:
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y
1
Raz
x
0 0.5 0.7 1.0
-1
La formula que se utiliza en este mtodo es:
1ra. Iteracin
,
Como el error es mayor que el criterio de exactitud de 10-5
, se contina con un nuevo intervalo, de la
misma forma que el mtodo de biseccin:
Se reemplaza por el valor de
2da. Iteracin
,
Se reemplaza por el valor de
Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla:
i error
1 0,5 0,700000 0,673667 -0,606404 0,091947 0,020923 0,020923
2 0,5 0,673667 0,667875 -0,606404 0,020923 0,004642 0,004642
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3 0,5 0,667875 0,666600 -0,606404 0,004642 0,001024 0,001024
4 0,5 0,666600 0,666319 -0,606404 0,001024 0,000226 0,000226
5 0,5 0,666319 0,666257 -0,606404 0,000226 0,000050 0,000050
6 0,5 0,666257 0,666243 -0,606404 0,000050 0,000011 0,000011
7 0,5 0,666243 0,666240 -0,606404 0,000011 0,000002 0,000002
Respuesta
Luego de siete iteraciones se obtiene una raz con una exactitud menor al valor requerido:
c) , por el mtodo de Newton Raphson.
Solucin
Resolviendo por el mtodo de Newton-Raphson, se utiliza la siguiente ecuacin:
Donde:
Graficando la funcin.
y
20
Raz
x
0 1 2
-20
Se utilizar como valor inicial . Con un error admisible de 10-5
.
1ra. Iteracin
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2da. Iteracin
3ra. Iteracin
4ta. Iteracin
Respuesta
Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:
5.Resuelva la siguiente ecuacin, utilizando cualquier mtodo:
Encuentre el valor de , si se tiene que: , y un valor de
Solucin
Reemplazando la lo valores de Rey de nen la funcin, se tiene:
Realizando un cambio de variable:
, adems , reemplazando:
Lo que nos da la siguiente funcin:
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Resolviendo por el mtodo de punto fijo, ya que el trmino xya esta despejado en la ecuacin, por lo
que se tiene la siguiente formula:
Para determinar el criterio de convergencia se debe hallar la derivada de la funcin :
Graficando las funciones, donde la raz en este mtodo esta en el punto de interseccin entre y
, adems de graficar la derivada de para determinar la convergencia (se puede ver que
cerca de la raz la grfica tiene un valor menor a 1):
y
-40
Raz
-20
x
-20 0 20 40 60
-20
De la grfica se puede tomar como valor inicial , y para hallar un resultado se tomar como
error admisible 10-6
.
1ra. Iteracin
.568038
2da. Iteracin
3ra. Iteracin
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Los valores de las prximas iteraciones se muestran en la siguiente tabla:
i xi |g(xi)| |xi - xi-1|
0 20,000000
1 20,568038 0,138153 0,568038
2 20,490655 0,134337 0,077382
3 20,501070 0,134845 0,010415
4 20,499666 0,134776 0,001404
5 20,499856 0,134784 0,000189
6 20,499830 0,134784 2.610-5
7 20,499834 0,134784 310-6
8 20,499833 0,134784 510-7
Luego el valorxes igual a:
Volviendo a la variable original:
Respuesta
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