Guia de Cálculo I pág. 1
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro Guédez
UNIVERSIDAD “ALONSO DE OJEDA”
FACULTAD DE INGENIERIA CIUDAD OJEDA - ZULIA
Ejercicios resueltos y propuestos de Cálculo I y sus aplicaciones
EL CÁLCULO DESARROLLA TU MENTE TRANSFORMA TU VIVIR
xD (Disciplina + Esfuerzo + Consagración) = Profesionales Altamente Capacitados
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INTRODUCCIÓN.....................................................................................................................4 NÚMEROS REALES .................................................................................................................6
Desigualdades ....................................................................................................................6 Inecuaciones ......................................................................................................................6 Intervalos ..........................................................................................................................7 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................12 Valor Absoluto .................................................................................................................. 13 Propiedades del valor absoluto ............................................................................................13 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................15
FUNCIONES......................................................................................................................... 16 Dominio y Rango...............................................................................................................16 Simetría De Funciones .......................................................................................................17 Criterios De Simetría..........................................................................................................17 1.- Función Afín ................................................................................................................ 18 2.- Función Cuadrática .......................................................................................................18 3.- Función Exponencial .....................................................................................................19 Gráficas de la función exponencial: ......................................................................................19 Función Exponencial de base e ............................................................................................20 4.- Función Logarítmica......................................................................................................21 Grafica de la Función Logarítmica ........................................................................................22 Funciones Trigonométricas y sus gráficas..............................................................................22 5.- Función Seno ...............................................................................................................22 Gráfica de y = Sen(x) ........................................................................................................23 6.- Función Coseno............................................................................................................23 Gráfica de y = Cos(x) ........................................................................................................23 7.- La función Tangente .....................................................................................................23 Gráfica de y = tan(x) ........................................................................................................24 8.- La función Cotangente...................................................................................................24 Gráfica de y = cot x ..........................................................................................................24 9.- La función Secante .......................................................................................................24 Gráfica de y = sec(x) ........................................................................................................25 10.- La función Cosecante ..................................................................................................25 Gráfica de y = csc(x) ........................................................................................................25 Función compuesta............................................................................................................25
LIMÍTES..............................................................................................................................33 Definición informal de límite................................................................................................33 Definición formal de límite ..................................................................................................33 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................38 Teoremas sobre límites de funciones algebraicas....................................................................39 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................45 Teoremas sobre límites de funciones Trigonométricas .............................................................47 Teoremas sobre límites de funciones Trascendentales.............................................................48
Formulario de Identidades Trigonométricas..............................................................................48 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................49 Teorema De Estricción .......................................................................................................51 Ejercicios propuestos .........................................................................................................51 Limites Unilaterales ...........................................................................................................52 Limites por la derecha:.......................................................................................................52 Limites por la izquierda ......................................................................................................52
Teorema 26......................................................................................................................... 52 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................52 Limites Al Infinito .............................................................................................................. 53
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Límites al infinito de funciones polinomicas. ..........................................................................55 Límites Infinitos ................................................................................................................ 56 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................59 Nota: NE equivale a No Existe .............................................................................................60 Asíntotas Horizontales y Verticales.......................................................................................60 Asíntota Horizontal ............................................................................................................60 Asíntota Vertical................................................................................................................ 60 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................60
CONTINUIDAD DE FUNCIONES...............................................................................................61 Continuidad de una función en un punto ...............................................................................61 Continuidad de una función en un intervalo ...........................................................................61 Continuidad lateral ............................................................................................................61 Continuidad de funciones Algebraicas ...................................................................................61 Continuidad de Polinomios y de Funciones Racionales .............................................................62 Continuidad de la función compuesta: ..................................................................................62 Teorema del valor intermedio..............................................................................................62 Ejercicios propuestos .........................................................................................................62
DERIVADAS......................................................................................................................... 64 Pendiente de la recta tangente a una curva...........................................................................64 Definición de Derivada .......................................................................................................64 Derivadas de orden superior: ..............................................................................................64 Ejercicios propuestos .........................................................................................................65 Tabla de Derivadas ............................................................................................................65 Ejercicios propuestos .........................................................................................................66 Derivada de la función compuesta: ......................................................................................68 Regla de la cadena: ...........................................................................................................68 Ejercicios propuestos .........................................................................................................68 Derivación Logarítmica.......................................................................................................69 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................69 Derivada implícita: ............................................................................................................70 Ejercicios propuestos .........................................................................................................70 Regla de L’Hopital.............................................................................................................. 71 Ejercicios propuestos .........................................................................................................71 Técnicas de graficación: .....................................................................................................72 Puntos críticos de una función. ............................................................................................72 Extremos Absolutos de una función......................................................................................72 Extremos Relativos de una función.......................................................................................72 Crecimiento y decrecimiento de una función..........................................................................73 Concavidad....................................................................................................................... 73 Punto de inflexión.............................................................................................................. 73 Ejemplos Ilustrativos .........................................................................................................73 Ejercicios propuestos .........................................................................................................77
Referencias Bibliográficas ...................................................................................................... 79
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INTRODUCCIÓN
¿Por qué la resolución de problemas?
El hombre en su quehacer práctico dentro de la sociedad es un “solucionador” de
problemas lo cual lo ubica por encima de los animales más inteligentes del mundo entero y
dentro de su entorno se hace más importante, ser capaz de resolver problemas, que obtener
o acumular y manejar una simple información. El lenguaje matemático se universaliza cada
vez mas, haciéndose más preciso y exacto, y menos propenso a ambigüedades por esto el
estudio de la Matemática nos debe llevar por el camino de la inteligencia y autorrealización
hacia un mundo cada vez mas humano y perfecto.
La presente guía constituye un recurso didáctico para ser utilizado en el aprendizaje
del Cálculo I, aquí se proponen ejercicios que abarcan todos los aspectos considerados como
fundamentales en todo el curso de esta cátedra.
Mi motivación principal al realizar esta guía es ofrecer al estudiante, que cursa su
nivel universitario; una compilación de ejercicios que conforman el background para las
asignaturas Cálculo I, II, III y IV así como también para las todas asignaturas del área
numérica. La misma es producto de la recopilación de ejercicios interesantes a través de la
investigación e integración de textos de diversos autores y sobre todo del mí propio intelecto.
Los propósitos de la esta guía se centran en:
Propiciar la independencia intelectual del educando a través de la resolución de
problemas que le permitan desarrollar sus habilidades para aprender a
autorregular y controlar sus pensamientos y acciones.
Generar situaciones que propicien en el estudiante la adquisición de
conocimientos, habilidades, actitudes y valores relativos al área intelectual,
científica, tecnológica y humanística.
Promover en el educando el desarrollo de la investigación, la creatividad, el auto
aprendizaje, la transferencia de conocimientos habilidades y destrezas y la
formación de valores favorables para el desempeño como estudiante, futuro
profesional y generación de relevo en una sociedad democrática y en un mundo
cada vez mas globalizado.
Propiciar en el estudiante el desarrollo del autoestima e incentivación que
estimulen el aprendizaje efectivo de la Matemática.
Apreciado estudiante para que pueda serte provechoso el contenido de esta guía te
aconsejo resolver paso a paso por lo menos el 80% de los ejercicios propuestos en cada
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grupo.
Los problemas y ejercicios se han distribuido y presentado con una jerarquización en
su nivel de dificultad de resolución de los más sencillos y significativo a lo más complejo e
interesante.
La realización ordenada de los ejercicios presentados en este material auxiliar conlleva
al afianzamiento de los hábitos de estudio no solo en Matemática sino también en todas las
asignaturas. Otro aspecto que considero fundamental en este trabajo es la abundante y
variada cantidad de ejemplos ilustrativos y ejercicios propuestos que se presentan agrupados
por objetivos y/o contenidos.
Estoy plenamente convencido que el uso adecuado de esta guía ayudara de forma
determinante y definitiva a los alumnos a superar las debilidades detectadas en los
contenidos matemáticos fundamentales.
Someto esta versión de la guía al criterio de mis colegas y alumnos con la finalidad de
realizar las modificaciones necesarias y enriquecerla con sus valiosos e importantes aportes a
través de sus criticas constructivas y poder así mejorarla para que pueda llevar por el camino
de la excelencia intelectual y profesional a los alumnos que la utilicen adecuadamente.
Para finalizar quiero expresar mi mas alto nivel de agradecimiento a las autoridades
de la Universidad Alonso de Ojeda, a todo el personal que labora en esta ilustre universidad y
a los estudiantes, por brindarme la excelente oportunidad de realizar una labor dirigida a
engrandecer nuestro país al aportar mi humilde trabajo formando la generación de relevo
que enaltecerá nuestra cultura e idiosincrasia.
Pedro R. Guédez L
Prof. de Matemática
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NÚMEROS REALES Desigualdades
Ejemplos:
a) 4 < 8 se lee “cuatro es menor que ocho”
b) 5 > -3 se lee “cinco es mayor que menos tres”
c) 3 ≤ 7 a se lee “tres es menor o igual que a”
d) 8 ≥ 8 se lee “ocho es mayor o igual que ocho”
Propiedades de las desigualdades
Si x , y , a ℜ∈ entonces:
No. Propiedad Ejemplo
1.- X < y ⇒ a+x < a+y -2 < 4 ⇒ 5+(-2) < 5+4 ⇒ 3 < 9
2.- X < y ⇒ -a+x < -a+y -6<-1⇒ -3-6 < -3-1 ⇒ -9 < -4
3.- X < y ∧ a>0 ⇒ a·x < a·y 11 < 17 ∧ 2 > 0 ⇒ 22·11 < 2·17 ⇒ 22 < 34
4.- X < y ∧ a<0 ⇒ a·x > a·y -3 < 5 ∧ -4 < 0 ⇒ (-4) · (-3) >(-4) ·5⇒12 > -20
5.- 0
x1
0x >⇒> 031
03 >⇒>
6.- Si (x<0∧ y<0)∨ (x>0∧ y>0)⇒
X < y⇒y1
x1
>
2 < 5 ⇒51
21
>
Todas estas propiedades se cumplen también para las desigualdades >≥≤ ,,
a>0 es equivalente a decir que “a” es un número positivo
a<0 es equivalente a decir que “a” es un número negativo
Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo
Todo número negativo es menor que cualquier número positivo
Inecuaciones
Ejemplos de inecuaciones:
3x5
2
72x c) x65 x
32
b) 52x a) ≥+
>+<
Desigualdad Expresión o
proposición donde intervienen los
símbolos ≤ , <, ≥ , >
definir una relación de orden
usados para
Inecuación Expresión de la forma
ax<b la cual se cumple
Un conjunto infinito de valores de la variable
para es una
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Intervalos
Tipos de intervalos
1. Finito
1.1. ( ) { }bxa x ba, <<ℜ∈
1.2. [ ] { }bxa x b,a ≤≤ℜ∈
1.3. ( ] { }bxa x b,a ≤<ℜ∈
1.4. [ ) { }bxa x b,a <≤ℜ∈
2. Infinito
2.1. ( ) { }ax x a, >ℜ∈∞+
2.2. [ ) { }ax x ,a ≥ℜ∈∞+
2.3. ( ) { }bx x b ,- <ℜ∈∞
2.4. ( ] { }bx x b , ≤ℜ∈∞−
2.5. ( ) { }ℜ∈∞+∞ x x ,-
Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo Ilustrativo 1 Hallar la solución de la inecuación: )1(x102
-5x7
)1x2(31
23x
+≤+−
El m.c.m(2,3,5,10)=30 Multiplicando todos los términos de la inecuación por el m.c.m. tenemos:
)16(x-x42)1x2(1045x +≤+− 6-6x-x4210x2045x ≤−−
6-x361025x ≤− 10-6x3625x +≤−
4x11- +≤ )4()1()x(-11(-1) +⋅−≥⋅ Observa que al multiplicar por (-1) la desigualdad cambia de ≥≤ a
4x11 −≥
114
x −
≥
Sol: [114
−
, +∞ )
Conjunto solución de una
Inecuación
conjunto de números reales
Satisfacen la inecuación
que es un
Intervalo subconjunto de
la recta real es un
∞+
∞+
∞+
∞+
∞+
∞−
∞−
∞−
∞−
∞−
0
114−
+∞ −∞
[114
−
, +∞ )
a ( ∞+∞−
b )
a [ ∞+∞−
b ]
a ( ∞+∞−
b ]
a [ ∞+∞−
b )
a ( a [
b ) b ]
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0 -5 +∞ −∞
(-5 , +∞ )
0 -5 +∞ −∞
( −∞ , -5)
Ejemplo Ilustrativo 2 Determinar el conjunto solución de la inecuación: 015x7x2 2 >−+
015x7x2 2 >−+ al factorizar la expresión 15x7x2 2 −+ obtenemos )5x()3x2( +⋅− así: 0)5x()3x2( >+⋅−
para que un producto de dos factores sea mayor que cero (positivo) estos factores deben ser ambos del mismo signo lo cual nos lleva a analizar dos casos a saber: CASO I: Ambos factores negativos (-).(-) 2x-3<0⇒ x<3/2 X+5<0⇒ x<-5
CASO II: Ambos factores positivos (+).(+) 2x-3>0⇒ x>3/2 x+5>0⇒ x>-5
Luego el conjunto solución de la inecuación se obtiene por medio de la unión de las dos soluciones anteriores. SolT = SolI ∪ SolII SolT = x∈ ( −∞ , -5) ∪ (3/2 , +∞ ) otra forma mas simplificada de expresar este conjunto es: SolT = x∉[-5 , 3/2]
Ejemplo Ilustrativo 3 Determinar el conjunto solución de la inecuación: 2x
51x11x3
−≤
++
0 -5 +∞ −∞
23
SolT = x∈ ( −∞ , -5) ∪ (3/2 , +∞ )
Otra forma de representar esta solución sería:
SolT = x∉[-5 , 3/2]
0 -5 +∞ −∞
23
SolI = ( −∞ , -5)
La Solución del CASO I la obtenemos por la intersección de ambos
j
0 -5 +∞ −∞
23
SolII = (3/2 , +∞ )
La Solución del CASO II la obtenemos por la intersección de
b j
0 2
3+∞ −∞
( −∞ , 3/2)
0 2
3+∞ −∞
(3/2 , +∞ )
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Analicemos otro método de resolución:
2x5
1x11x3
−≤
++
02x
51x11x3
≤−
−++
0)2x()1x(
)1x(5)2x()11x3(≤
−⋅++⋅−−⋅+
0)2x()1x(
5x522x11x6x3 2≤
−⋅+−−−+−
0)2x()1x(
)9x(3 2≤
−⋅+−
0)2x()1x()3x()3x(3≤
−⋅+−⋅+⋅
Calculemos los números críticos, los cuales son los valores de la variable que hacen cero tanto el numerador como el denominador Por lo tanto los números críticos serán: x+3=0⇒ x=-3 x-3=0⇒ x=3 x+1=0⇒ x=-1 x-2=0⇒ x=2
Intervalos ( −∞ , -3] [-3 , -1) (-1 , 2) (2 , 3] [3 , +∞ )
Valor de prueba -4 -2 0 5/2 4 Factores (x+3) - + + + + (x-3) - - - - + (x+1) - - + + + (x-2) - - - + +
)3x()3x(3 −⋅+⋅ + - - - + )2x()1x( −⋅+ + + - + +
0)2x()1x()3x()3x(3≤
−⋅+−⋅+⋅ + - + - +
Conjunto solución No Si No Si No SolT = x∈[-3 , -1) ∪ (2 , 3]
Del ejercicio anterior observa que la solución a la inecuación 2x
51x11x3
−≥
++ es:
0 -3 +∞ −∞ 3 2 -1
] [ ) ( ) ( ] [
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0 3 +∞ −∞
(3 , +∞ )
0 3 +∞ −∞
( −∞ , 3)
SolT = x∈( −∞ , -3] ∪ (-1 , 2) ∪ [3, +∞ ) ¿por qué?
Ejemplo Ilustrativo 4 Resolver la inecuación 2x38x
−≤−−
2x38x
−≤−−
02x38x
≤+−−
0x3
)x3(2)8x(≤
−−⋅+−
0x3
x268x≤
−−+−
0x32x≤
−−−
para que un cociente sea menor que cero (negativo) el numerador y el denominador deben ser de signos distintos por lo cual analizaremos dos casos: CASO I: numerador (-) y denominador (+)⇒ (-) ÷ (+) -x-2≤0 (-1)(-x-2)≥ (-1)(0) x+2≥0 x ≥ -2 3-x>0 -x>-3 (-1)(-x)< (-1)(-3) x<3
CASO II: numerador (+) y denominador (-)⇒ (+) ÷ (-) -x-2≥0 (-1)(-x-2)≤(-1)(0) x+2≤0 x≤-2 3-x<0 -x<-3 (-1)(-x)> (-1)(-3) x>3
0 -2 +∞ −∞ 3
SolI = [-2, 3)
La Solución del CASO I la obtenemos por la intersección de ambos conjuntos
0 -2 +∞ −∞ 3
SolII = φ
La Solución del CASO II la obtenemos por la intersección de ambos conjuntos
0 -2+∞ −∞
[-2 , +∞ )
0 -2+∞ −∞
( −∞ ,-2]
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Luego el conjunto solución de la inecuación se obtiene por medio de la unión de las dos soluciones anteriores. SolT = SolI ∪ SolII SolT = x∈[-2, 3) ∪ φ SolT = x∈[-2, 3)
Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular el conjunto solución de la inecuación 6x5x2x 23 −<−
6x5x2x 23 −<− 06x5x2x 23 <+−−
Factoricemos la expresión 6x5x2x 23 +−− Las posibles raíces enteras de la expresión 6x5x2x 23 +−− son los divisores de -6 son 6 , 3 , 2 , 1 ±±±± Aplicando la regla de Ruffini tenemos +1 -2 -5 +6 +1 +1 -1 -6 +1 -1 -6 0 +1 -1 -6 -2 -2 +6 +1 -3 0 +1 -3 +3 +3 +1 0 Por lo cual la expresión 6x5x2x 23 +−− se puede factorar como (x+2)(x-1)(x-3) entonces 06x5x2x 23 <+−− ⇒ (x+2)(x-1)(x-3) <0 y sus números críticos son x=-2 , x=1 , x=3
Intervalos ( −∞ , -2) (-2 , 1) (1 , 3) (3 , ∞+ )
Valor de prueba -3 0 2 4 Factores (x+2) - + + + (x-1) - - + + (x-3) - - - +
(x+2)(x-1)(x-3) - + - + Conjunto solución Si No Si No Así el conjunto solución de la inecuación 06x5x2x 23 <+−− será SolT =( −∞ , -2) U (1 , 3)
1 -2 +∞ −∞ 3 0
) ( ) ( ) (
0 -2 +∞ −∞ 3
SolT = x∈[-2 , 3)
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Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes inecuaciones:
Solución Solución
1) 3x-73--5x ≤ [-5 , +∞ ) 2) x2x-2-2 ≤−≤ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡− 0 , 3
2
3) 6x25x −>+ (-2 , +∞ ) 4) 53-2x31 ≥≥ [4 , 8]
5) 021
-x23
≤ ⎥⎦
⎤−∞ 3
1 , ( 6) 04-3xx2 <+ (-4 , 1)
7) 2
4x34
x6 −>
− (-∞ ,2) 8) )6x(
31
)2x(54
−<− ⎥⎦⎤−∞ 7
6- , (
9) 9x4 2 ≤≤ [-3,-2]U[2,3] 10) ( ) ( ) 01x352x <−⋅+ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
31 , 2
5
11) 4x2 ≥ (-∞ ,-2] U [2 ,+∞ ) 12) ( ) ( ) 05x3-x ≥+⋅ (-∞ ,-5] U [3 ,+∞ )
13) 010-3xx2 ≥+ (-∞ ,-5] U [2 ,+∞ ) 14) 043x2 ≥+ φ
15) 0xx2 ≤− [0 , 1] 16) 4x3x
2x1x
++
≥−−
(-4 , -1) U (2 ,+∞ )
17) 02-x2x
>+
(-∞ ,-2) U (2 ,+∞ ) 18) ( )0
1x
-8x
3<
+ (-∞ ,-1) U (0 ,+∞ )
19) 1x3
21x
1
−<
+ (-∞ ,-1] U (1/3 , 3) 20) 4
5-x)12(x
<+
(-∞ ,5) U (11 ,+∞ )
21) x3
xx-21x
+
<+
(-∞ ,-3) U (2 ,+∞ ) 22) x23
47-3x
1
−≥ ⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
1431 , 2
3 U (7/3 ,+∞ )
23) 23 4x-x4-x ≤ (-∞ ,-4]U[-1,1]
24) 11x6x
2x4
>−+
−−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛+
∪⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
4
1451,21,
4
1451
25) xx1x 23 +>+ { }1),1( −∞+−
26) 08x4x2x 23 ≥+−− ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞+− ,2
27) 0x4x3
2x3x23
2<
−+−+
(-2,-1) U (1/2 ,+∞ )
28) 01xxx
xx2x23
345>
−−+−+
(-∞ ,0) U (1 ,+∞ )
29) 1x2
11x
21-x
x
2 −≥
++ ),1()2
1,1( ∞+∪−
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30) ( )4
1x33x
21
x221
34 −
≥−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ⎥⎦
⎤⎜⎝⎛ −∞− 5
1,
31) 2)(x103
-3x2
)3x(21
52x
+≤−− [9/2 ,+∞ )
32) 0
6x5x6x
6xx2x
4x1x
222<
+−+
+−−
−+
−−
(-∞ ,-2) U (2 , 3)
33) 3 23 2 1x1xx3 +<−+ ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−−−
4
171,
4
171
34) 3x3
21x
x2 −≥
−+
⎟⎟
⎠
⎞
⎢⎢⎣
⎡∞+∪
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
−∞− ,21
32
241321,
35) ( )4
4x
2x-x
2
2
<+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−∞−
233
211
, U ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∞+
−,
233
211
36) 3x1x1x −≤−−+ ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∞++
,3
343
Valor Absoluto
Propiedades del valor absoluto
No. Propiedad Ejemplo
1.- x- = x 4- = 44 =
2.- yxyx ⋅=⋅ ( ) 3232- ⋅−=⋅
326- ⋅=
6=6
3.-
y
x
yx
=
44 312
4
3
12
312
=
=
=
Valor absoluto Valor absoluto de un
número real x denotado por x esta definido ⎩
⎨⎧
<−≥
=0 x si x0x si x
x por el
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4.- Desigualdad Triangular
yxyx +≤+
( ) 125125- +−≤+
125125 +−≤+−
1257 +≤
177 ≤
5.- Si ∧ℜ∈a a>0 entonces
x < a sii –a < x < a
3>0 ∧ x < 3 sii –3 < x < 3
6.- Si ∧ℜ∈a a>0 entonces
x > a sii x > a ∨ x < -a
12>0 ∧ x > 12 sii x > 12 ∨ x < -12
NOTAS:
1.- Las propiedades 6 y 7 se cumplen también para las desigualdades no estrictas ( ≥≤, )
2.- xx2 =
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular la solución de la ecuación 2x 5 5x 6− = −
Según la definición de valor absoluto se de cumplir que
2x 5 5x 62x 5x 5 6
3x 11
x3
1x
3
− = −− = −− = −
−=−
=
( )2x 5 5x 6
2x 5 5x 62x 5x 5 6
7x 1111
x7
− = − −
− = − ++ = +
=
=
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular la solución de la ecuación 4x 1
2x 32x 1
+= +
−
Según la definición de valor absoluto se de cumplir que
Ecuación 1 Ecuación 2
( ) ( )
4x 12x 3
2x 14x 1 2x 3 2x 1
+= +
−+ = + ⋅ −
2
2
4x 1 4x 2x 6x 3
4x 4
+ = − + −
=
2x 1x 1== ±
( )
( ) ( )
4x 12x 3
2x 14x 1 2x 3 2x 1
+= − +
−+ = − − ⋅ −
2
2
4x 1 4x 2x 6x 3
4x 8x 2 0
+ = − + − +
+ − =
2
2
2x 4x 1 0
b b 4acx
2a
+ − =
− ± −=
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( ) ( )24 4 4 2 1x
2(2)
4 16 8x
4
− ± − −=
− ± +=
4 24x
4
4 2 6x
4
2 6x
2
− ±=
− ±=
− ±=
Aca se descarta el signo negativoya que dicho valor no satisface laecuacion original
6x 1
2= − +
Finalmente la solución de 4x 1
2x 32x 1
+= +
− es: x=1 ; x=-1 ; 6
x 12
= − +
Ejercicios Propuestos 1.- Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto
Solución Solución
1) 51x2 =+ x=2
x=-3 2) 48x3 =− x= 3
28 x= 320
3) 85x2 =+ X= 32 x= 2
13− 4) x 2
4 xx 3+
= +−
x= 14±
x= 111 +−
5) x231x21x3
+=−+ X=
8651 ±−
x= 41 6) x2
3x5x
+=−+ x= 321 + x= ± 1
7) x4x7 −= X= 32− x= 2
1 8) 5x43x2 +=+ x=-1 x= 34−
9) 5x33x5 +=− X=4 x= 41− 10) x232x −=− x=1 x= 5
3
11) 52-x2x
=+
X=3 x= 34 12) 4
3-2x83x
=+
x=4 x= 114
2.- Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto, traza la gráfica del conjunto solución 13) 2x1 ≤− [-1 , 3] 14) 34x ≥+ (-∞ ,-7] U [-1 ,+∞ )
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15) 35x2 <− (1 , 4) 16) 24x3 ≤− ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ 2 , 32
17) 7x5 >− (-∞ ,-2) U (12 ,+∞ ) 18) 9x47 ≤− [ ]4 , 21−
19) 35x2 >− (-∞ ,1) U (4 ,+∞ ) 20) x36x3 −> (1 ,+∞ )
21) x4x29 ≥− ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
23 , 2
9 22) 6x24x −≤+ (-∞ , 32 ] U [10 ,+∞ )
23) 43-2x2x
<+
(-∞ , 910 ) U (2 ,+∞ ) 24)
21
x35x-6
≤+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
35 , 11
9
25) 12
1r ≥
+ (-∞ ,-3] U [1 ,+∞ ) 26)
52
153r
>− (-∞ ,1) U ( 37 ,+∞ )
27) 23
2x1x
1xx2
≤+
−+
⎟⎟⎠
⎞⎢⎣
⎡∞+∪⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡− ,31
51- , 2
1 28) 1x3x2
3-x2
−−
<
R-{1}
29) 2x3x1xx2 22 −+−>+− ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞+∪
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+−
,34
175,
4
175
En las expresiones siguientes obtenga todos lo valores de x para que esta sea un número real
1) x58 − (-∞ , 58 ] 2) 16x2 − (-∞ ,-4] U [4 ,+∞ )
3) 10-3xx2 + (-∞ ,-2] U [5 ,+∞ ) 4) 4x5x2 +− (-∞ ,1] U [4 ,+∞ )
FUNCIONES
Dominio y Rango
que Función
Una función de un conjunto A en un
conjunto B
regla o relación
es una
Asigna un único elemento “y” del conjunto B a cada
elemento x del conjunto A o Dominio y
se escribe y = f(x)
El conjunto A se denomina dominio de f. El conjunto de todos los valores f(x) en R⊂B, es decir{ }Axtq)x(f ∈ , se denomina Rango o imagen de f. Diremos que x es la variable independiente e y es la variable dependiente.
x • Dominio
• Y=f(x) Rango
A f
B
• r
• a
R
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Simetría De Funciones La simetría nos permite tener una idea general de la gráfica de una función así que consideraremos algunos aspectos muy importantes de simetría que no ayudaran en el trazado de las graficas de funciones. Criterios De Simetría La grafica de una función es:
a) simétrica respecto al eje x si y solo si al sustituir y por –y se obtiene una ecuación
equivalente.
b) simétrica respecto al eje y si y solo si al sustituir x por –x se obtiene una ecuación
equivalente.
c) simétrica respecto al origen si y solo si al sustituir x por –x y simultáneamente y por –y se
obtiene una ecuación equivalente
Función Par Una función f(x) se denomina par cuando la imagen de cualquier elemento x del dominio es igual a la imagen de su elemento opuesto de x, de otra forma se dice que f(x) es par si para toda x en el dominio de f, f(x) = f(-x). La grafica de una función par es simétrica respecto al eje y Función Impar Una función f(x) se denomina impar cuando la imagen de cualquier elemento x del dominio es igual al opuesto de la imagen del elemento opuesto de x, de otra forma se dice que f(x) es par si para toda x en el dominio de f, f(x) = -f(-x). La grafica de una función par es simétrica respecto al origen de coordenadas. Ejemplos:
Simetría respecto al Función
Origen Eje x Eje y xy=1 Si No No
f(x)= x No No Si
f(x)=x2 No No Si
Simetría respecto a un punto
dos puntos A , B son simétricos respecto a un tercer punto O
este punto O es el punto
medio del segmente AB si
Simetría respecto a una recta
dos puntos A , B son simétricos respecto a una recta l
la recta l es perpendicular
al segmente AB en su punto medio
si
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Estudio Detallado Algunas Funciones Importantes 1.- Función Afín Se define como función afín a toda expresión de la forma f(x) = mx + b donde m,b ℜ∈ Representación gráfica La representación gráfica de la función afín en el plano real es una línea recta por esta razón la función afín también es llamada función lineal El dominio y el rango de f es el conjunto de todos los números reales Pendiente de la recta Toda recta forma un ángulo α con el semi-eje x positivo medido en sentido antihorario, la medida de
dicho ángulo esta comprendida entre 0º y 180º es decir 1800 ≤≤ α este ángulo recibe el nombre de Inclinación de la recta. Y la pendiente de la recta que denotamos por m esta dada por la tangente de dicho ángulo así m= )(tg α En función de la pendiente podemos considerar los siguientes casos:
a) Si m=0 la recta es horizontal siendo α = 0º
b) Si m 0 ⟩ la recta estará inclinada hacia la derecha 90 0 ⟨⟨ α
c) Si m 0 ⟨ la recta estará inclinada hacia la izquierda 018 90 ⟨⟨ α d) Si m no está definida o equivalentemente no existe la recta será vertical en este caso no se
cumple la definición de función ya que a un elemento x del dominio son asignadas infinitas imágenes “y” del rango.
Puntos de corte con los ejes coordenados i) Corte con el eje y: Haciendo x=0 obtenemos que la recta corta al eje y en el punto donde “y” vale
b (y = b)
ii) Corte con el eje x: Al hacer y=0 la recta cortará el eje x en mb
x−
=
2.- Función Cuadrática Se define como función cuadrática a toda expresión de la forma f(x) = ax2 + bx + c donde a,b,c, ℜ∈ y a 0≠
Representación grafica La representación gráfica de la función cuadrática en el plano real es una curva llamada parábola El dominio de f es el conjunto de todos los números reales El rango de la función lo estudiaremos en función del valor de “a”
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4aD-
, f :Rg 0 a Si ii)
, 4aD-
f :Rg 0a Si )i
⎥⎦
⎤⎜⎝
⎛ ∞−=⟨
⎟⎠
⎞⎢⎣
⎡ ∞+=⟩
Corte con los ejes coordenados i) Corte con el eje y: haciendo x=0 obtenemos que la parábola corta al eje y en el punto donde “y” vale c ( y = c ) ii) Corte con el eje x: los cortes con el eje x los analizaremos en función del discriminante
a) Si D ⟩ 0 la parábola corta al eje x en dos puntos los cuales se calculan mediante la expresión
2aDb-
x±
=
b) Si D = 0 la parábola corta al eje x en un solo punto el cual se calcula mediante la expresión
2a-b
x =
c) Si D ⟨ 0 la parábola no corta al eje x Vértice de la parábola
El vértice de la parábola se calcula mediante la fórmula V= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛4aD-
, 2ab-
Este vértice de la parábola será un Máximo (todos los puntos de la parábola están por debajo de él ) Si el valor de a es negativo (a ⟨ 0) por lo contrario será un Mínimo (todos los puntos de la parábola están por encima de él ) si el valor de a es positivo (a ⟩ 0) 3.- Función Exponencial La función exponencial se expresa mediante una ecuación de la forma: y = bx, donde b es un número real positivo, diferente de la unidad y la función f(x) esta definida para todos los valores reales de x. f(x) = bx b > 0 ∀ b≠1 donde b es una constante llamada base y el exponente x es una variable. El dominio de f, es el conjunto de todos los números reales. El rango de f es el conjunto de los números reales positivos.
b toma solamente valores positivos para evitar números complejos como (-2)1/2 ó 2− Gráficas de la función exponencial:
Siendo D el discriminante de la ecuación cuadrática
ax2 + bx + c=0 y se calcula mediante la formula
D=b2 - 4ac
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Gráfica de la función exponencial x2 f(x) =
Gráfica de la función exponencial x
21
f(x) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
X x
21
f(x) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
-3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 0,5 2 0,25 3 0,125
Función Exponencial de base e Para fines de introducción, las bases 2 y ½ son elecciones convenientes; sin embargo, cierto número irracional, designado como e, es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial, tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho, f(x) = ex se menciona con frecuencia como la función exponencial debido a su amplio uso y su gráfico se representa seguidamente.
X y=f(x) -3 1/8 -2 ¼ -1 ½ 0 1 1 2 2 4 3 8
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Gráfica de la función exponencial y = ex
X y = ex -3 0,0498 -2 0,1353 -1 0,3679 0 1 1 2,7183 2 7,3891 3 20,0855
Gráfica de la función exponencial y = 10e(-0.5x) 4.- Función Logarítmica y = logb x en la cual la base b es un número real positivo diferente de la unidad. Esta función esta definida para valores mayores que cero x > 0 . En general, se define la función logarítmica con base b como la inversa de la función exponencial de base b (b > 0, b ≠ 1). Definición de la función logarítmica: Para b > 0 y b≠1, y = logb x es equivalente a x = by
(El logaritmo base b de x es la potencia que se debe elevar b para obtener x) y = log10 x es equivalente a x = 10y y = loge x es equivalente a x = ey a este logaritmo se le conoce como el logaritmo Neperiano y se denota por Ln en honor a su descubridor John Neper (1550-1617) El dominio de una función logarítmica será el conjunto de los números reales positivos y su rango el conjunto de todos los números reales.
X y = 10e(-0.5x) -3 44,8169 -2 27,1828 -1 16,4872 0 10,0000 1 6,0653 2 3,6788 3 2,2313
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Grafica de la Función Logarítmica
y = logb x para b>1 y = logb x o<b<1 DOMINIO = (0, ∞+ ) DOMINIO = (0, ∞+ )
RANGO = R RANGO = R
Propiedades de la función logarítmica Las funciones logarítmicas tienen muchas y muy útiles propiedades que se deducen directamente del hecho de que son inversas de funciones exponenciales. Estas propiedades permiten convertir problemas de multiplicación en problemas de adición, los de división en problemas de resta y los que implican elevar a una potencia y extraer raíces, en multiplicaciones. Además, permiten resolver ecuaciones exponenciales tales como 2 = 10x Propiedades de las funciones logarítmicas
Si b , M y N son números reales positivos , b ≠ 1 y p es un número real, entonces Logaritmo en base b Logaritmo Neperiano 1. Logb bu = u 1. Ln eU = U 2. Logb X2Y = logb X + logb Y 2. Ln X2Y = Ln X + Ln Y
3. Logb YX
= logb X - logb Y 3. Ln YX
= Ln X - Ln Y
4. Logb XP = p logb X 4. Ln XP = p Ln X 5. Logb 1 = 0 5. Ln 1 = 0 Funciones Trigonométricas y sus gráficas 5.- Función Seno está definida por: y = Sen(x)
Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales R. Rango: El Rango es el intervalo [ ]1- , 1 Periodo: Tiene periodo 2π. Discontinuidad: Es continua en todo su dominio (No hay discontinuidad) Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos x = nπ donde n ∈ Z
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Gráfica de y = Sen(x)
Gráfica de y = Cos(x) 6.- Función Coseno está definida por: y = Cos(x)
Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales R. Rango: El Rango es el intervalo [ ]1- , 1 Periodo: Tiene periodo 2π. Discontinuidad: Es continua en todo su dominio (No hay discontinuidad)
Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos x = (1+2n)2π
donde n ∈ Z
Gráfica de y = Cos(x)
7.- La función Tangente se definen por: Y= Tag(x) = )xcos()x(sen para todos los números reales x
para los cuales cos(x) ≠ 0.
Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los de la forma x =
(1+2n)2π
donde n ∈ Z
Rango: El Rango es el conjunto de los números reales R Periodo: Tiene periodo π.
Discontinuidad: Es discontinua en x = (1+2n)2π
; donde n ∈ Z
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Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos x = nπ ; donde n ∈ Z
Gráfica de y = tan(x)
8.- La función Cotangente se definen por: Y= Cot(x) = )x(sen)xcos( para todos los números reales x
para los cuales sen(x) ≠ 0.
Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los de la forma x= nπ donde n ∈ Z
Rango: El Rango es el conjunto de los números reales R Periodo: Tiene periodo π. Discontinuidad: Es discontinua en x = nπ donde n ∈ Z
Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos x = (1+2n)2π
; donde n ∈ Z
Gráfica de y = cot x
9.- La función Secante se definen por: Y= Sec(x) = )xcos(
1 para todos los números reales x para
los cuales cos(x) ≠ 0.
Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los de la forma
x = (1+2n)2π
; donde n ∈ Z
Rango: El Rango es el conjunto R – (-1,1)
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Periodo: La función Secante es de periodo 2π.
Discontinuidad: La función Cotangente es discontinua en x = (1+2n)2π
; donde n ∈ Z
Intercepción con el eje x: No intercepta al eje x Gráfica de y = sec(x)
10.- La función Cosecante se definen por: Y= Csc(x) = )x(sen
1 para todos los números reales x
para los cuales cos(x) ≠ 0.
Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los de la forma x =nπ ; donde n ∈ Z
Rango: El Rango es el conjunto R – (-1,1) Periodo: Tiene periodo 2π. Discontinuidad: La función Cotangente es discontinua en x = nπ ; donde n ∈ Z Intercepción con el eje x: No intercepta al eje x
Gráfica de y = csc(x) Función compuesta
que Función Compuesta
f y g dos funciones, la
función compuesta
Otra función
es Se denota por (f g)(x) y se define
como (f g)(x)= f(g(x)) donde x∈ al dom de g tq g(x) esté en el dom de f
sean
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La composición es un proceso que se realiza en dos pasos como lo indica el siguiente esquema. Ejemplos Ilustrativos Ejemplo Ilustrativo 1 Halla el Dominio, Rango y traza la gráfica de la función f(x) = 2x-3 Cálculo del Dominio: Observemos que en la expresión 2x-3no existe alguna restricción para los valores de la variable x ya que ella o aparece ubicada en un denominador o dentro de un radical de índice par, por lo cual la variable x puede tomar cualquier valor, por esta razón el dominio de la función f será el conjunto de los números reales que simbolizamos por: R. de esta forma concluimos que: Dom:f = ) , ( ∞+∞− = R Cálculo del Rango: Para calcular el rango despejamos la variable x para así poder analizar el comportamiento de la variable “y” los cual nos representará el Rango de f
Y=2x-32
3yxx23y
+=⇒=+⇒ , basados en un análisis análogo al anterior podemos concluir que el
Rango de la función f es el conjunto de los números reales, así Rg:f = ) , ( ∞+∞− = R Gráfica de la función: Para trazar la grafica de la función f(x) = 2x-3 construimos una tabla de valores formada solo por dos valores ya que la gráfica de la función es lineal (una línea recta ) x y (x , y) 0 -3 (0 , -3) A 2 1 (2 , 1) B
Ejemplo Ilustrativo 2 Dada la función h(x) = 5x − Halla el Dominio, Rango y traza la gráfica de la
función.
x g f(g(x)) g(x) f
Gráfica de f(x)=2x-3
A
B
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Cálculo del Dominio: La expresión 5x − por definición de raiz cuadrada estará completamente
determinada para valores positivos del radicando por lo cual 5x05x ≥⇒≥− , por lo cual la variable x puede tomar valores a la derecha de 5, por esta razón el dominio de la función h será ) , 5[x ∞+∈ y simbolizado por: Dom:h = ) , 5[ ∞+ Cálculo del Rango:
a) Para x=5 Y= ⇒− 55 y=0
b) Para cualquier valor de x mayor que 5 ( 5x > ) 5x − siempre dará como resultado un numero
positivo o mayor que cero, luego de a) y b) los valores de “y” serán mayores o iguales a cero lo cual escribimos ),0[y0y +∞∈⇒≥ y el rango de la función h será Rg:h = ),0[ +∞
Gráfica de la función: Para trazar la grafica de la función construimos la tabla de valores x y (x , y) 5 0 (5 , 0) A 6 1 (6 , 1) B
7 41,12 ≈ (7 , 2 ) C
8 73,13 ≈ (8 , 3 ) D
9 2 (9 , 2) E
10 23,25 ≈ (10 , 5 ) F
11 44,26 ≈ (11 , 6 ) G
12 64,27 ≈ (12 , 7 ) H
13 82,28 ≈ (13 , 8 ) I
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcula domino y rango y traza la grafica de la función 9x
x4)x(g
2
2
−=
Cálculo del Dominio: Analizando la expresión 9x
x42
2
− debemos considerar que esta quedará definida
cuando el denominador sea distinto de cero lo cual nos lleva a expresar que:
3x3x9x9x09x 222 ±≠⇒≠⇒≠⇒≠⇒≠− , por lo cual el dominio de la función g será el
conjunto R sin el +3 ni el -3es decir: Dom:g = R- { }3,3 −+ Cálculo del Rango: Para calcular el rango despejamos la variable “x” para lo cual tenemos:
Gráfica de h(x)= 5x −
A
B C
D E F G H I
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)1(4y
y9x
4yy9
x
4yy9
x
y9)4y(x
y9x4xy
x4y9xy
x4)9x(y
9xx4
y
2
2
2
22
22
22
2
2
−=
−=
−=
=−
=−⋅
=−⋅
=−⋅
−=
Gráfica de la función: Para trazar la grafica de la función construimos la tabla de valores
x y (x,y) -9 4,5 (-9 , 4,5) A -8 4,7 (-8 , 4,7) B -7 4,9 (-7 , 4,9) C -6 5,4 (-6 , 5,37) D -5 6,3 (-5 , 6,25) E -4 9,1 (-4 , 9,1) F -2 -3,2 (-2 , -3,2) G
-1,5 -1,3 (-1,5 , -1,3) H -1 -0,5 (-1 , -0,5) I
-0,5 -0,1 (-0,5 , -0,1) J 0 0,0 (0 , 0) K 1 -0,5 (1 , -0,5) L
1,5 -1,3 (1,5 , -1,3) M 2 -3,2 (2 , -3,2) N 4 9,1 (4 , 9,1) O 5 6,3 (5 , 6,25) P 6 5,3 (6 , 5,3) Q 7 4,9 (7 , 4,9) R 8 4,7 (8 , 4,7) S 9 4,5 (9 , 4,5) T
Ejemplo Ilustrativo 4 Determine el dominio rango y trace la grafica de la función y = x1x −−
Sigamos cuidadosamente el siguiente desarrollo
Para que la expresión (1) exista se debe cumplir
que 04y
y9≥
−siendo la solucion de esta inecuación
el conjunto ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ +∞⎥⎦
⎤⎜⎝⎛ ∞− ,4U0, por lo cual tenemos que:
el rango de la función g será Rg:g = ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ +∞⎥⎦
⎤⎜⎝⎛ ∞− ,4U0,
o Rg:g = )4,0(y ∉
A B C D E
F
G H
I J K L
MN
O
P Q R S T
Gráfica de h(x)= 9X
X42
2
−
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)1()x1(x21y
)x1(x21y
1)x1(x2y
x1)x1(x2xy
x1x1x2xy
x1xy
x1xy
2
2
2
2
222
22
−=−−
−−=−
+−−=
−+−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
−−=
Cálculo del Dominio: En el segundo miembro de la expresión (1) se debe cumplir que x(1-x) lo cual
no lleva a establecer x(1-x)≥0 y al resolver dicha inecuación se obtiene que x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈ 0,1 por lo cual el
dominio de la función dada será Dom: = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ 0,1
Cálculo del Rango: En el segundo miembro de la expresión (1) observamos que 2
1y2
−−
es igual a una
raíz cuadrada por lo tanto debe ser positiva y como x toma el valor 1 dicha expresión también puede
ser igual a cero lo que nos lleva a establecer la inecuación 02
1y2≥
−−
que al resolverla se obtiene
1y1 ≤≤− ; ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈ 1,1y por lo que el Rg:= ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡− 1,1
Gráfica de la función: Para trazar la grafica de la función construimos la tabla de valores
x y (x , y) 0 -1,0 ( 0 , -1) A
0,2 -0,4 ( 0,2 , -0,4) B 0,4 -0,1 ( 0,4 , -0,1) C 0,6 0,1 ( 0,6 , 0,1) D 0,8 0,4 ( 0,8 , 0,4) E 1 1,0 ( 1 , 1) F
A
B
C
D
E
F
Gráfica de y= x1x −−
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Ejemplo Ilustrativo 5 Calcula el dominio, Rango y traza la gráfica de la función 4-x
xf(x) =
Por definición de valor absoluto tenemos:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤−−−
≥−−
=
04xsi)4x(
x
04xsi4x
x
y
Lo cual podemos desglosar en:
A)
1yy4
x
y4)1y(x
y4xxy
xy4xy
xy)4x(
4xsi4x
xy
−=
=−
=−
=−
=⋅−
>−
=
sustituyendo esta expresión en la condición 4x > obtenemos
41y
y4>
− al resolver esta inecuación
obtenemos SolA= ),1(y ∞+∈
B)
1yy4
x
y4)1y(x
y4xxy
xy4xy
xy)4x(
4xsi)4x(
xy
+=
=+−
−=−−
=+−
=⋅−−
<−−
=
sustituyendo esta expresión en la condición 4x < obtenemos
41y
y4<
− al resolver esta inecuación
obtenemos SolB= ),1(y ∞+−∈ la solución total la obtenemos al unir las dos soluciones anteriores SolT = SolA U SolB ⇒ SolT = ),1( ∞+ U ),1( ∞+− ⇒ SolT = ),1( ∞+− por lo tanto Rg:f = ),1( ∞+− Al observar las dos condiciones que cumple la variable x nos damos cuenta que: Dom:f = )4,(−∞ U ),4( ∞+ lo cual se traduce en Dom:f =R-{ }4
X y (x , y) -6 -0,6 (-6 , -0,6) A -4 -0,5 (-4 , -0,5) B -3 -0,4 (-3 , -0,4) C -2 -0,3 (-2 , -0,3) D -1 -0,2 (-1 , -0,2) E 0 0 (0 , 0) F 1 0,3 (1 , 0,3) G 2 1 (2 , 1) H 3 3 (3 , 3) I 5 5 (5 , 5) J 6 3 (6 , 3) K 7 2,3 (7 , 2,3) L 8 2 (8 , 2) M
A B C D E F
G H
I K
L M
J
Gráfica de 4-x
xf(x) =
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Ejemplo Ilustrativo 6 Dada la función x1
1f(x)
+= calcula el dominio el rango y traza su gráfica
Cálculo del Dominio: Analizando el denominador nos damos cuenta que este nunca podrá ser nulo ya
que no existe valor de x para el cual su raíz cuadrada sea igual a -1 sin embargo el radicando de x debe ser mayor o igual que cero lo que nos lleva a establecer que 0x ≥ y el dominio de f(x) será Dom:f = [ )∞+,0 Cálculo del Rango: la expresión dada la podemos expresar como sigue:
yy1
x
y1xy
1xyy
1)x1(y
x1
1y
x1
1f(x)
−=
−=⋅
=⋅+
=+⋅
+=
+=
Para cualquier valor de x en el dominio de la función, la x siempre será un valor mayor o igual a
cero, de esta manera 0y
y1≥
− y al resolver esta inecuación obtenemos ( ]1,0 por lo cual Rg:f= ( ]1,0
Gráfica de la función: x y (x , y) 0 1 (0 , 1) A 1 0,5 (1 , 0,5) B 2 0,41 (2 , 0,41) C 3 0,37 (3 , 0,37) D 4 0,33 (4 , 0,33) E 5 0,31 (5 , 0,31) F 6 0,29 (6 , 0,29) G 7 0,27 (7 , 0,27) H
A
B C D E F G H
Gráfica de x1
1f(x)
+=
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Ejercicios Propuestos 1.- Halla dominio, rango y traza la gráfica de las siguientes funciones:
Solución Solución
1) 3xf(x) += Dom: [-3 , +∞ ) Rg: [0 , +∞ )
2) 1x3f(x) −= Dom: R Rg: R
3) x-3f(x) = Dom: (-∞ , 3] Rg: [0 , +∞ )
4) 2x-16f(x) −= Dom: [-4 , 4] Rg: [-1 , 0]
5) 2x-1h(x) = Dom:[-1 , 1] Rg: [0 , 1] 6) 3 2 4xf(x) −=
Dom: R Rg: R
7) 4-xf(x) 2= Dom: (-∞ ,-2]U[2 , +∞ ) Rg: [0 , +∞ )
8) 4-xy = Dom: [4 , +∞ ) Rg: [0 , +∞ )
9) 2x-4f(x) = Dom: [-2,2] Rg: [0 , +∞ ) 10) x-1xh(x) −=
Dom: [0 , 1] Rg: [-1 , 1]
11) 3 22 )1x(f(x) −= Dom: R Rg: [0 , +∞ ) 12) 3xy = Dom: R
Rg: R
13) ( ) 21xy 2 +−= Dom: R Rg: [2 , +∞ ) 14) ( ) 12xy 3 −+=
Dom: R Rg: R
15) 2x3(x) +=ϕ Dom: R Rg: [0 , +∞ ) 16) 2x1y +=
Dom: R Rg: [1 , +∞ )
17) xy=1 Dom: R-{0} Rg: R-{0} 18) xy=-1
Dom: R-{0} Rg: R-{0}
19) y=x4 Dom: R Rg: [0 , +∞ ) 20) y=x2
Dom: R Rg: [0 , +∞ )
21) 23x-xf(x) 2 += Dom: (-∞ , 1]U[2 , +∞ ) Rg: [0 , +∞ )
22) 2x
7f(x)
−= Dom: R-{2}
Rg: R-{0}
23) 2)1x(
1f(x)
+= Dom: R-{-1}
Rg: (0 , +∞ ) 24) 1x
1s(x)
+= Dom: R-{1}
Rg: R-{0}
25) x4
xf(x)
−= Dom: R-{4}
Rg: R-{-1} 26) x7
xf(x)
−−
= Dom: R-{7} Rg: R-{1}
27) 2)2x(
2f(x)
−−
= Dom: R-{2} Rg: (-∞ , 0) 28) 2x
1f(x) = Dom: R-{0}
Rg: (0 , +∞ )
29) 3x
x4F(x)
2
2
−= Dom: R-{ 3± }
Rg: (-∞ , 0]U(4 , +∞ ) 30)
2
2
x8x3
F(x)+
= Dom: R Rg: [0 ,3)
31) 2
2
x9x5
F(x)−
= Dom: R-{ 3± } Rg: (-∞ , 5)U[0 , +∞ )
32) 6x
x9F(x)
2
2
+−
= Dom: R Rg: [0 ,9)
33) 3x
1f(x)
+= Dom: R-{-3}
Rg: (0 , +∞ ) 34) 2x
3f(x)
−
−= Dom: R-{-2}
Rg: (-∞ , 0)
35) 4x
xf(x)
−= Dom: R-{4}
Rg: (-1 , +∞ ) 36) x8
xf(x)
−
−= Dom: R-{8}
Rg: (-∞ , 1)
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37) t1
1f(t)
+= Dom: [0 , +∞ )
Rg: (0 , 1] 38)
3x2
f(x)+−
= Dom: R-{-3} Rg: R-{0}
39) 1x21x4
F(x)2
+−
= Dom: R-{1/2} Rg: R-{-2}
40) 4x
1f(x)
2 −= Dom: R-{-2 , 2}
Rg: (0 , +∞ )
41) 4x
11x7xf(x)
2
2
−
−+= Dom: R-{-2,2}
Rg: R 42) 6xx
12x4x3xf(x)
2
23
−−
+−−= Dom: R-{-2 , 3}
Rg: R-{-4 , 1}
43) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<+
=-2x si x-42-x si 3-2x si 7x6
g(x) 44) ⎩⎨⎧
≥+<+=
-3x si 3x-3x si x2g(x)
45) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<=
0x si x
0x si x1
f(x) 46) ⎩⎨⎧
≥+<+=
1x si 1x-1x si 1x h(x)
Dom: R Rg: (-∞ , 0]U[1 , +∞ )
47) ⎩⎨⎧
=≠−
=2x si 02x si 1x2
g(x) 48) ⎩⎨⎧
>−≤+=
5x si )5x( 5x si 4xs(x)
2
49) ⎩⎨⎧
>+≤+= 1x si 22x
1x si 2xr(x) 22
50)
2.- En los siguientes ejercicios se definen las funciones f y g determine a) g)(x)(f b) )(x)f(g
c) )(x)f(f d) g)(x)(g y el rango de cada una de ellas.
1) f(x)=x-5 ; g(x)x2-1 2) x1
g(x) ; 1x1x
f(x) =−+
=
3) 1-x g(x) ; xf(x) 2== 4) 2x3g(x) ; 1x f(x) 2 −=+=
5) 2x
xg(x) ;
1x1
f(x)−
=+
= 6) x
1 g(x) ; xf(x) 2 ==
7) 2x g(x) ; 1-xf(x) 2 +== 8) 223 xxf(x) ; x3x g(x) −=+=
9) xx2f(x) ; e g(x) 3x −== 10) x
1 g(x) ; xf(x) 3 ==
LIMÍTES Definición informal de límite: Sea f (x) una función definida en un intervalo abierto que contiene a “a”, posiblemente excepto en “a”. Si f (x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de a, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxime a “a”, y se escribe: L)x(flím
ax=
→
Definición formal de límite: Sea f(x) una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a “a” excepto posiblemente en el mismo número “a”. Decimos que el límite de
la función f(x) cuando X tiende a “a” es L y se escribe como: L)x(flímax
=→
sii para cada número ε>0,
existe un δ(ε)>0 tq si εδ <−⇒<−< |L)x(f||ax|0
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A continuación se desarrollaran algunos ejemplos ilustrativos para comprobar unos limites usando la definición Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo Ilustrativo 1 Probar que 35xlím4x
=+→
Se debe probar que 35xlím4x
=+→
si ε35x cuando δ 4x tq 0δ 0ε <−−<−>∃>∀
( ) ( )
(A) ε35x
14x
ε35x
4x
ε35x
95x
ε35x
35x35x
ε35x
<+−
⋅−
<+−
−
<+−
−+
<+−
+−⋅−−
<−−
Debemos restringir δ para conseguir una cota superior de 35x
1
+−tomando un 1≤δ a partir de
δ 4x <− por lo cual tendremos:
38
1
35x
1
38
1
35x
1
310
131035x38
105x8
105x814x1
1 4x
+<
++
+<
++<
+
+<++<+
<+<
<+<<−<−
<−
De esta forma la expresión (A) se transforma en:
3)8(ε4x
ε38
14x
+⋅<−
<+
⋅−
Que al comparar con δ 4x <− obtenemos 3)8(εδ +⋅= por lo que debemos tomar
3))8(ε , 1min(δ +⋅= Ejemplo Ilustrativo 2 Probar que 0a axlím 22
ax>∀=
→
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Se debe probar que 22
axaxlím =
→ si εax cuando δ ax tq 0δ 0ε 22 <−<−>∃>∀
εaxax
εa)a)(x-(x
εax 22
<+⋅−
<+
<−
Debemos restringir δ para conseguir una cota superior de ax + tomemos un 1≤δ y por lo cual
tendremos:
a21
axa21
ax
)a21(ax
a21ax
a21axa211ax1
1ax
+=
<−+
<−
<+⋅−
+<⋅+
+<+<+−<−<−
<−
εδ
δ
ε
ε
De esta forma debemos tomar ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=2a1ε
, 1minδ
Ejemplo Ilustrativo 3 Demostrar que 21
1x1x
lím1x
=−−
→
Se debe demostrar que 21
1x1x
lím1x
=−−
→ si ε
21
1x1x
que siempre δ 1x 0 tq 0δ 0ε <−−−
<−<>∃>∀
( )
[ ]
ε)1x(2
11xε
)1x(2
)1x(ε
)1x()1x(2
)1x(
ε)1x()1x(2
)1x()1x(ε
)1x()1x(2
)1x()1x(ε
)1x(2)1x(
ε)1x(2
)1x2x(
ε)1x(2
1x2xε
)1x(21x2x2
ε)1x(2
)1x(1x2ε
21
1x1x
222
2
2
2
2
222
<+⋅
⋅−⇒<+⋅
−−⇒<
+⋅−⋅
−−
⇒<+⋅−⋅
+⋅−−⇒<
+⋅−⋅
+⋅−−⇒<
−⋅−−
⇒<−⋅
+⋅−−
⇒<−⋅
−⋅+−⇒<
−⋅+−−⋅
⇒<−⋅
−−−⋅⇒<−
−−
Restringiendo δ conseguiremos una cota superior de 2)1x(2
1
+⋅ tomando un 1≤δ a partir de
δ 1x <− por lo cual tendremos:
x 1 1
1 x 1 1
− <
− < − <
0 x 2
0 x 2
< <
< <
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1 x 1 2 11 1
12 1 x 1
< + < +
< <+ +
2 2
2 2
2
1 11
( 2 1) ( x 1)1 1 1
22 ( 2 1) 2 ( x 1)
1 122 ( x 1)
< <+ +
< <⋅ + ⋅ +
<⋅ +
ε2
1x
ε21x
ε21
1x
⋅=
<−
⋅<−
<⋅−
δ
δ
Por lo que debemos tomar ε)2 , 1min(δ ⋅=
Ejemplo Ilustrativo 4 Demostrar que 41
)1x2x(lím 2
21x
=−+→
Demostremos que 41
)1x2x(lím 2
21x
=−+→
si ε41
)1x2x( cuando δ 21
x tq 0δ 0ε 2 <−−+<−>∃>∀
(A) ε21
x2
5x2ε
21x2
25x2
ε4
)1x2()5x2(
ε4
5)x2(4x4ε
45
x2xε41
1x2x 2
22
<−⋅+
⇒<−
⋅+
⇒<−⋅+
<−+
⇒<−+⇒<−−+
Si restringimos δ podemos obtener una cota superior de 2
5x2 + tomemos un 1≤δ así tendremos:
1x 1
2
11 x 1
2
− <
− < − <
12 ( 1) 2 x 2 1
2
2 2x 1 2
⎛ ⎞⋅ − < − < ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
− < − <
2 6 2x 1 6 2 64 2x 5 8− + < − + < +< + <
4 2x 5 82 2 2
2x 52 4
2
+< <
+< <
2x 54
2+
<
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Ahora bien con esta cota podemos expresar (A) como sigue
δ<−
<−
<−⋅
<−⋅+
21
x
4ε
21
x
ε21
x4
(A) ε21
x2
5x2
De lo anterior concluimos que 4ε=δ y como hepos impuesto dos restricciones a δ debemos tomar la
menor entre ella que será ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
4ε
, 1minδ
Ejemplo Ilustrativo 5 Demostrar que 21
x5
1lím
1x=
−→
El ejercicio se basa en demostrar que 21
x5
1lím
1x=
−→ si δ 1x 0 tq 0δ 0ε <−<>∃>∀ cuando
ε<−− 2
1
x5
1 basándonos en la búsqueda de un δ que dependerá de ε y cumplirá la condición
anterior así que:
(A) )x5x522
11x
)x52(x52
11x
)x52(x52
)1x(
)x52(x52
x1
)x52(x52
)x5(4
)x52(x52
)x52)(x52(
x52
x5221
x5
1
ε
εεε
εεεε
<−+−⋅⋅
⋅−
⇒<−+⋅−⋅
⋅−⇒<−+⋅−⋅
−−⇒<
−+⋅−⋅
+−
⇒<−+⋅−⋅
−−⇒<
−+⋅−⋅
−+−−⇒<
−⋅
−−⇒<−
−
En este momento restringiremos a δ para poder conseguir una cota superior de )x5x522
1
−+−⋅⋅
Para lo cual tomaremos 1≤δ x 1 1
1 x 1 1
− <
− < − <
0 x 2( 1) 0 ( 1) x ( 1) 2< <
− ⋅ > − ⋅ > − ⋅
2 x 03 5 x 5 (B)− < − << − <
3 5 x 5
2 3 2 5 x 2 5 (C)
< − <
⋅ < ⋅ − < ⋅
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2 3 3 2 5 x (5 x) 2 5 51 1 1
2 5 5 2 5 x (5 x) 2 3 3
⋅ + < ⋅ − + − < ⋅ +
< <⋅ + ⋅ − + − ⋅ +
1 1 1
2 (2 5 5) 2 (2 3 3)2 2 5 x (5 x)
1 1
2 (2 3 3)2 2 5 x (5 x)
< <⎡ ⎤⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ − + −⎣ ⎦
<⎡ ⎤ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ − + −⎣ ⎦
De esta forma hemos conseguido una cota superior para la expresión )x5x522
1
−+−⋅⋅ la cual nos
permite transformar la expresión (A) en:
ε
ε
ε
⋅+⋅<−
<+⋅
⋅−
<−+−⋅⋅
⋅−
)332(21x
)332(2
11x
(A) )x5x522
11x
Comparando esta ultima expresión con δ 1x <− obtenemos que εδ ⋅+⋅= )332(2 y como tenemos
dos valores para δ basta con tomar el menor de ambos valores así ε)3)3(22 , 1min( ⋅+⋅=δ Ejercicios Propuestos 1.- Usar la definición de limite para demostrar que:
1) 3)8x5(lím1x
=+−→
Sol: ε=δ51
2) 2)x37(lím3x
−=−→
Sol: ε=δ31
3) 5)x31(lím2x
−=+−→
Sol: ε=δ31
4) 21x1x
lím2
1x−=
+−
−→ Sol: ε=δ
5) 10)x3x(lím 2
5x=−
→
Sol: )81
,1min( ε=δ 6) 1xlím 2
1x=
→ Sol: )
31
,1min( ε=δ
7) 21x
4lím
3x=
−→ Sol: )
21
,1min( ε=δ 8) 24x
2lím
5x=
−→ Sol: )
41
,21
min( ε=δ
9)21
1x1x
lím1x
=−−
→ Sol: )2,1min( ε=δ 10) 35xlím
4x=+
→
Sol:
))322(,1min( ε+=δ
11) 9)1x2(lím4x
=+→
Sol: ε=δ21
12) 23
2x3x3
lím2x
=+−→
Sol: )32
,1min( ε=δ
13)31
x1
lím3x
−=−→
Sol: )6,1min( ε=δ
14)
31
x23
1lím
3x=
−−→
Sol:
))2179(21
,1min( ε+=δ
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15) 1)xx5(lím 2
3x−=−−
−→ Sol: )
61
,1min( ε=δ
Teoremas sobre límites de funciones algebraicas Teorema 1 Si ℜ∈a entonces
axlímax
=→
Ejemplos
a) 8xlím8x
−=−→
b) 2xlím2x
=→
c) 23
xlím2
3x
−=
−→
Teorema 2 Límite de una constante Si c = cte entonces
cclímax
=→
Ejemplos a) 1212lím
5x=
→ b) 33
7x55lím =
−→ c) 9)9(lím
3x−=−
−→
Teorema 3 Límite de una Combinación Lineal Si c = cte y f(x) es una función entonces
)x(flímc)x(fclímaxax →→
⋅=⋅
Ejemplos
a) 632xlím2x2lím3x3x
=⋅=⋅=⋅→→
b) 31551
xlím51
5x
lím15x15x
=⋅=⋅=→→
Teorema 4 Si m = cte ∧ b = cte entonces
bma)bmx(límax
+=+→
Ejemplos
a) 16462)4x2(lím6x
=+⋅=+⋅→
b) 34
331
5)3x5(lím3
1x
−=−⋅=−⋅
→
Teorema 5 Límite de una Suma Si G)x(glím
ax=
→ y H)x(hlím
ax=
→ con G,H ∈ R entonces
HG)x(hlím)x(glím)x(h)x(glímaxaxax
+=+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
→→→
Ejemplos
a) 28)2(38límx3lím)8x3(lím2x2x2x
=+−=+=+−→−→−→
b) 823
25x2lím5lím)x25(lím2
3x23x2
3x=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=+=+→→→
Teorema 6 Límite de una Diferencia Si G)x(glím
ax=
→ y H)x(hlím
ax=
→ con G,H ∈ R entonces
HG)x(hlím)x(glím)x(h)x(glímaxaxax
−=−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
→→→
Ejemplos
a) 11)0(51límx5lím)1x5(lím2x2x0x
−=−=−=−−→−→→
b) 2732límx3lím)2x3(lím7x7x7x
−=−=−→→→
Teorema 7 Límite de un Producto Si G)x(glím
ax=
→ y H)x(hlím
ax=
→ con G,H ∈ R entonces
Guia de Cálculo I pág. 40
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HG)x(hlím)x(glím)x(h)x(glímaxaxax
•=•=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ •
→→→
Ejemplo [ ] [ ] 15354)1(3)1(2)4x(lím)3x2(lím)4x()3x2(lím
2x2x1x−=⋅−=+−⋅−−=+⋅−=+⋅−
−→−→−→
Nota: Los teoremas 5, 6 y 7 pueden ser aplicados para cualesquier número finito de funciones Teorema 8 Límite de un Cociente Si G)x(glím
ax=
→ y H)x(hlím
ax=
→ con G,H ∈ R con H ≠ 0 entonces
HG
)x(hlím
)x(glím
)x(h)x(g
límax
ax
ax==
→
→
→
Ejemplo
203
406
353814
)7(538)7(2
)x53(lím
)8x2(lím
x538x2
lím7x
7x
7x
−=
−=
++−
=−−+−
=−
+=
−+
−→
−→
−→
Teorema 9 Límite de una Potencia Si G)x(glím
ax=
→ y m , n ∈ Z con n ≠ 0 entonces
nmn
m
ax
nm
axG)x(glím)x(glím =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
→→
Ejemplo
[ ] [ ] ( ) 4648)4(2x2límx2lím 33 2323
2
4x3
2
4x==−=−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
−→−→
Dos consecuencias inmediatas del teorema 9 son los corolarios 9.1 y 9.2 Corolario 9.1 Si en el teorema 9 hacemos n = 1 y g(x) = x entonces
mmax
axlím =→
Ejemplo
272
271
231
2x2lím3
3
31x
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=→
Corolario 9.2 Límite de una raíz Si n es un número entero positivo par 0L ≥ y en el teorema 9 hacemos m = 1 entonces
[ ] n1
n1
axn
axGg(x) lím)x(g lím ==
→→
Ejemplo
[ ] [ ] 2)2()32(5)3(353x lím5x3 lím 5155
15
125
12
ax
5 2
3x===+=+=+
→→
Teorema 10 Límite de un polinomio: Si P(x) es una función polinómica y Ra ∈
)a(P)x(P límax
=→
Ejemplo
711518271)3(5)3(2)3()1x5x2x(lím 2323
3x=+++−=+−−−+−=+−+
−→
Guia de Cálculo I pág. 41
Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro Guédez
Teorema 11 Si G)x(glímax
=→
y H)x(hlímax
=→
con G,H ∈ R* entonces
H
)x(hlím
ax
)x(h
axG)x(glím)x(glím
ax
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ →
→→
Ejemplo [ ] [ ]
1649
47
24
1)2(
)2(21
xx21
límxx21
lím268)2(38)x38(lím
2x
)x38(
2x
2x
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−++
−→
+
−→
−→
Ejemplos Ilustrativos Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular el 2 3
1x 3
lím (2x 1)→
− aplicando los teoremas
potencia una de Límite 9 T )1x2(lím)1x2(lím
3
2
31x
32
31x ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=−
→→
729343
97
192
191
2
potencia una de Límite 9 T1límxlím2
lineal ncombinació una de Limite de Límite 3 T1límxlím2
diferencia una de Límite 6 T1lím2xlím
3
3
3
3
31x
2
31x
3
31x
2
31x
3
31x
2
31x
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
→→
→→
→→
Ejemplo Ilustrativo 2 Aplica los teoremas de limite para calcular ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−→ 2x3
3x53x2x42
lím3
2
1x
9.2 C 2x3
3x53x2x42
lím2x3
3x53x2x42
lím3
2
1x3
2
1x ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−→−→
2
3x 1 x 1
2 4x 5x 3lím lím T 7
2x 3 3x 2→− →−
⎛ ⎞− +⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠
2
x 1 x 13
x 1 x 1
lím(2 4x ) lím(5x 3) T 8
lím(2x 3) lím(3x 2)→− →−
→− →−
− += ⋅
− −
Guia de Cálculo I pág. 42
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2
x 1 x 1 x 1 x 13
x 1 x 1 x 1 x 1
2
x 1 x 1 x 1 x 13
x 1 x 1 x 1 x 1
lím 2 lím 4x lím 5x lím 3 T 5 - T 6
lím 2x lím 3 lím 3x lím 2
lím 2 4 lím x 5 lím x lím 3 T 3
2 lím x lím 3 3 lím x lím 2
→− →− →− →−
→− →− →− →−
→− →− →− →−
→− →− →− →−
− += ⋅
− − −
− += ⋅
− −
( )( )
2
x 1 x 1 x 1 x 13
x 1 x 1x 1 x 1
2
3
lím 2 4 lím x 5 lím x lím 3 T 9
2 lím x lím 3 3 lím x lím 2
2 4( 1) 5( 1) 3 (A) T 1 - T 2
2( 1) 3 3( 1) 2
→− →− →− →−
→− →−→− →−
− += ⋅
− −
− − − += ⋅
− − − −
2 4 5 32 3 3 2
2 25 5
425
25
− − += ⋅
− − − −
− −= ⋅
− −
= ⋅
=
Apreciado lector observa que en este ejercicio la expresión (A) es equivalente a sustituir el valor al cual está tendiendo la variable x en el límite original lo cual simplifica el procedimiento de la aplicación de los teoremas en el cálculo de los límites siendo esto un artificio matemático que usaremos de aquí en adelante para calcular los límites.
Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular 2
2
2
2x 4xx2
1x3xlím ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
+−−→
36121
611
428164
4)2()2(2
1)2(3)2(
4xx2
1x3xlím
222
2
22
2
2
2x=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−−
+−−−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
+−−→
Observa que al sustituir la variable x por el valor al cual tiende desaparece la expresión 2x
lím−→
Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular 1x2x
9x6xlím
2
2
21x +−
++→
49149
17
21
27
121
321
1x3x
lím)1x(
)3x(lím
1x2x
9x6xlím
2
22
2
21x2
2
21x2
2
21x
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
=−
+=
+−
++→→→
Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular 32
2
2x 3x4x4
10x3xlím
++
−−→
312
2712
38161064
3)2(4)2(4
10)2(3)2(
3x4x4
10x3xlím
3333
2
23
2
2
2x
−=
−=
++−−
=+⋅+⋅
−⋅−=
++
−−→
Guia de Cálculo I pág. 43
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Analicemos ahora las indeterminaciones del tipo 00
y las estrategias para resolver dichas
indeterminaciones
Ejemplo Ilustrativo 6 Hallar el valor del x3x
x9x6xlím
2
23
0x −
+−→
Si sustituimos x por el valor se obtiene 00
)0(3)0(
)0(9)0(6)0(2
23
=−
+− lo cual es una indeteminación
trabajando con la expresión x3x
x9x6x2
23
−
+− se debe factorizar tomando un factor común x tanto en el
numerador como en el denominador 2x(x 6x 9) xx(x 3)− +
=− x
2 2x 6x 9 x 6x 9x 3 x 3− + − +
⋅ =− −
lo cual se resume
como 3x
9x6x
x3x
x9x6x 2
2
23
−+−
=−
+− teniendo que
33
93)0(
9)0(6)0(3x
9x6xlím
x3x
x9x6xlím
22
0x2
23
0x−=
−=
−+−
=−
+−=
−
+−→→
de esta manera
3x3x
x9x6xlím
2
23
0x−=
−
+−→
y no 00
Ejemplo Ilustrativo 7 Calcular 3x2x
6x5xlím
2
2
3x −+
++−→
Observemos lo que sucede al sustituir x por -3
00
991515
3696159
3)3(2)3(
6)3(5)3(
3x2x
6x5xlím
2
2
2
2
3x=
−−
=−−+−
=−−+−
+−+−=
−+
++−→
Obtenemos la indeterminación 00
sin
embargo el valor real de este limite es 41
veamos como se calcula este valor
2
2
(x 3)(x 3)(x 2)x 5x 6(x 3)(x 1)x 2x 3
++ ++ += =
+ −+ − (x 3)+
(x 2) (x 2) (x 2)1
(x 1) (x 1) (x 1)+ + +
⋅ = ⋅ =− − −
de lo cual se puede concluir que
)1x()2x(
3x2x
6x5x2
2
−+
=−+
++ y así
41
1323
1x2x
lím3x2x
6x5xlím
3x2
2
3x=
−−+−
=−+
=−+
++−→−→
En este ejercicio se factorizó por tanteo tanto el numerador como el denominador observa que para el numerador se escogieron dos números que multiplicados den 6 y que sumados den 5 ellos son el 3 y el 2 y en el denominador se escogieron dos números que multiplicados den 3 y que restados den 2 siendo estos el 3 y el 1
Ejemplo Ilustrativo 8 Calcular 4x
8xlím
2
3
2x −
−→
evidentemente es una indeterminación 00
trabajando
con la expresión 4x
8x2
3
−
−mediante factorizaciones basadas en diferencia de cubos y diferencias de
cuadrados se obtiene2 23 3 3
2 2 2
(x 2)(x 2)(x 2x 2 )x 8 x 2(x 2)(x 2)x 4 x 2
−− + +− −= = =
− +− − (x 2)−
2 2 2(x 2x 2 ) x 2x 4(x 2) x 2+ + + +
⋅ =+ +
Guia de Cálculo I pág. 44
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Por lo que 32)2(
4)2(2)2(2x
4x2xlím
4x
8xlím
22
2x2
3
2x=
++⋅+
=+
++=
−
−→→
Ejemplo Ilustrativo 9 Calcular 1x1x
lím4
1x −−
→ es obvio que cuando x 1→
00
1x1x4
=−−
por esta razón se
debe factorizar el numerador usando diferencia de cuadrados dos veces
( ) ( )22 2 2 24 x 1x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)(x 1)x 1x 1 x 1 x 1 x 1
−− − + − + +−= = = =
− − − − ( )x 1−2 2(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)⋅ + + = + +
De esta forma se establece que )1x)(1x(1x1x 2
4
++=−−
por lo que
4)11)(11()1x)(1x(lím1x1x
lím 22
1x
4
1x=++=++=
−−
→→
Ejemplo Ilustrativo 10 Calcular x3
x9xlím
2
9x −
−→
La factorización del denominador no es evidente y tampoco significativa, en estos casos en que se tienen raíces cuadradas se procede mediante el método de racionalización así se utilizara la conjugada
del denominador la cual es x3 +
2
2 2
x(x 9) x(x 9)(3 x) x(x 9)(3 x) x(x 9)(3 x)x 9x 3 x9 x3 x 3 x 3 x (3 x)(3 x) (3) ( x)
x(9 x)(3 x) 9 x9 x
− − + − + − +− += ⋅ = = =
−− − + − + −
− − + −= =
− 9 x−( )x (3 x) x(3 x)⋅ − + = − +
Entonces )x3(xx3
x9x2
+−=−
− y así [ ] 5469)93(9)x3(xlím
x3
x9xlím
9x
2
9x−=⋅−=+−=+−=
−
−→→
Ejemplo Ilustrativo 11 Calcular 35x
10x3xlím
2
2
2x −+
−+→
Por una indeterminación del tipo 00
Trabajaremos con la expresión 35x
10x3x2
2
−+
−+ para aplicar el
procedimiento de racionalización
2 2 22 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
(x 3x 10)( x 5 3) (x 5)(x 2)( x 5 3)x 3x 10 x 3x 10 x 5 3
x 5 3 x 5 3 x 5 3 ( x 5 3)( x 5 3) ( x 5) (3)
(x 5)(x 2)( x 5 3) (x 5)(x 2)( x 5 3) (x 5)(x 2)( x 5 3)x 5 9 x 4 x 2
(x 5)(x 2)( x 5 3)(
+ − + + + − + ++ − + − + += ⋅ = =
+ − + − + + + − + + + −
+ − + + + − + + + − + += = =
+ − − −
+ − + +=
x 2x 2)(x 2)
−=
− + x 2−
2 2(x 5)( x 5 3) (x 5)( x 5 3)x 2 x 2
+ + + + + +⋅ =
+ +
Guia de Cálculo I pág. 45
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221
442
4)39(7
22)352)(52(
2x)35x)(5x(
lím35x
10x3xlím
22
2x2
2
2x==
+=
++++
=+
+++=
−+
−+→→
Ejemplo Ilustrativo 12 Calcular 23x
x1lím
21x −+
−→
Cuando x 1→00
23x
x12
=−+
−por lo que se debe racionalizar pero en este caso se usa el
procedimiento en el numerador y en el denominador (doble racionalización)
22
2 2 2 2 2
2 2 22 2
2 22 2 2
2
(1 x)(1 x)( x 3 2)1 x 1 x x 3 2 1 x
1 xx 3 2 x 3 2 x 3 2 ( x 3 2)( x 3 2)(1 x)
(1) ( x) ( x 3 2) (1 x) ( x 3 2) (1 x) ( x 3 2)
(x 3 4) (1 x) (x 1) (1 x)( x 3) (2) (1 x)
(x 1) ( x 3 2)
(x
− + + +− − + + += ⋅ ⋅ =
++ − + − + + + − + + +
⎡ ⎤− ⋅ + + − ⋅ + + − ⋅ + +⎣ ⎦= = =⎡ ⎤ + − ⋅ + − ⋅ ++ − ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦
− − ⋅ + +=
(x 1)
1) (x 1) (1 x)
−=
− ⋅ + ⋅ + (x 1)−
2 2( x 3 2) ( x 3 2)
(x 1) (1 x) (x 1) (1 x)
− + + − + +⋅ =
+ ⋅ + + ⋅ +
Luego tenemos que 122
)24(
)11()11(
)231(
)x1()1x(
)23x(lím
23x
x1lím
22
1x21x−=
⋅+−
=+⋅+
++−=
+⋅+
++−=
−+
−→→
Ejercicios Propuestos
Ejercicios Resp. Ejercicios Resp.
1) )4x2(lím3x
+→
10 2) )6x8x2(lím 23x
−+−→
-12
3) 326x
)10x5x(lím −+−→
3136 4) 22
52x
)3x6(lím +→
9801/625
5) 2x27x
lím2
21x +
−→
-9/4 6) 2x3x4
lím34x ++
→ 19/66
7) 1x
5x2xlím
2
2
1x +++
→ 4 8)
1−s
s2 s− 6−
s2 5s− 14−lim→
½
Guia de Cálculo I pág. 46
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9) 1x
x4 1−
x2 1+lim→
0 10) 2x
x2 4x− 4+
x2 8x− 12+lim→
0
11) 2−x
2x3 5− x2 2x− 3−
4x3 13x2− 4x+ 3−lim→
83/95 12) 3−x
3 5 2x+
5 x−lim→
-1/2
13) 4x
3x2 3x− 4+
2x2 x− 1−lim→
2/3 14) 1x1x
lím3
1x −−
→ 3
15) x2x3
xx2x4lím
2
23
0x +
+−→
½ 16) 2x5x3
10x3xlím
2
2
2x −−
−+→
1
17) 2x4x
lím2
2x −−
→ 4 18)
2−x
x3 x2+ 2 x⋅−
x2 x− 6−lim→
-6/5
19) 20x12x
6x5xlím
2
2
2x +−
+−→
1/8 20) 5x
x 1− 2−
x 5−lim→
¼
21) ( )
hxhx
lím33
0h
−+→
3x2 22) 9x
3 x−
9 x−lim→
1/6
23) x
1x1lím
0x
−+→
½ 24) 3−x
x2 9−
2x2 7x+ 3+lim→
530
25) 0x
1 3 1 x+−
xlim→
-1/3 26) 32
x
8x3 27−
4x2 9−lim
→
223
27) 1x
1− x3+
x 1−lim→
3 28) 8y
7 3 y+ 3−
y 8−lim→
1/72
29) 3x
x 3−
x3 27−lim→
391
30) 0h
2 4 h−−
hlim→
¼
31) 7r
5 4 3r+−
7 r−lim→
3/10 32) 0x
x 2+ 2−
xlim→
241
33) 1x
3 x 1−
x 1−lim→
1/3 34) 0h
3 h 1+ 1−
hlim→
1/3
35) 2−x
x3 x2− x− 10+
x2 3x+ 2+lim→
-15 36) 1−x
2x2 x− 3−
x3 2x2+ 6x+ 5+lim→
-1
37) 4x
x2 16−
x 4−lim→
8 38) 2−x
x3 8+
x 2+lim→
12
39) 3x
x3 27−
x 3−lim→
27 40) 4x
x 2−
x 4−lim→
¼
Guia de Cálculo I pág. 47
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41) 12
x
34x2 4x+ 3−
4x2 1−lim
→
3 2 42) 3−z
z2 9−
z 3+lim→
-6
43) 1x
x4 1−
x2 1−lim→
2 44) 0t
9 t− 3−
tlim→
-1/6
45) 1−x
2x2 x− 3−
3x2 8x+ 5+lim→
-5/2 46) 1−x
x4 1−
x 1+lim→
-4
47) 0r
3r a+( )2 3
a2−
rlim→
3 a3
2 48)
9x
2 x 6−
x 9−lim→
1/3
49) 0x
4x4 1+ x2 1+−
x2lim→
-1/2 50) 0x
4x4 1+
4x2 1+−
x2lim→
-1/4
51) 1x
2x3xlím
2
2
1x −−+
−→ -1/2 52)
x3
xx9lím
2
9x −
−→
54
53) 4x
x2 16−
x2 x+ 20−lim→
8/9 54) 1x
x 1−
x2 3+ 2−
lim→
2
55) 3x
x2 x+ 12−
x2 5x− 6+lim→
7 56) 1x
2x
x2 1−
1
x 1−−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
lim→
½
57) 2x
x 2−
x2 5+ 3−
lim→
3/2 58) 6tt
t4t4tlím
2
23
2t −−++
−→ 0
59) x2x3
xx2x4lím
2
23
0x ++−
→ 1/2 60)
1x
1xlím
3
1x −
−→
2/3
61) 22x
31x2lím
4x −−
−+→
232
62) 35x
2x2lím
22x −+
−→
¾
63) 23x
x1lím
21x −+
−→
-1 64) 2x3x
1xlím
2
2
1x −−
−−→
8/5
Teoremas sobre límites de funciones Trigonométricas Sea “a” un número real en el dominio de la función trigonométrica dada entonces: Teorema 12 (a) sen sen(x)lím
ax=
→
Teorema 13 (a) cos cos(x)lím
ax=
→
Teorema 14 (a) tg tg(x)lím
ax=
→
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Teorema 15 (a) csc csc(x)límax
=→
Teorema 16 (a) sec sec(x)lím
ax=
→
Teorema 17 (a) ctg ctg(x)lím
ax=
→
Dos límites trigonométricos Importantes
Teorema 18 1x
)x(senlím
0x=
→
Teorema 19 0x
)xcos(1lím
0x=
−→
Teoremas sobre límites de funciones Trascendentales Teorema 20 ax
axe elím =
→
Teorema 21 (a) Log (x)Loglím bb
ax=
→
Una consecuencia inmediata del teorema 21 es el corolario 21.1 haciendo b=e obtenemos el logaritmo natural o Neperiano llamado así en honor a su descubridor Jhon Nepper teniendo que:
(x) Ln (x)Loge = Corolario 21.1 (a) Ln Ln(x)lím
ax=
→0a >∀
Formulario de Identidades Trigonométricas
1. 1)x(Sen)x(Cos 22 =+ 2. coh
)(Csc hco
)(Sen =θ=θ
3. )x(Tan1)x(Sec 22 += 4. cah
)(Sec hca
)(Cos =θ=θ
5. )x(Cot1)x(Csc 22 += 6. coca
)(Cot caco
)(Tan =θ=θ
h = Hipotenusa co = Cateto Opuesto ca = Cateto Adyacente
7. 1)x(Csc)x(Sen = 8. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Cosx nm Cos21
nx Sen mx Sen +−−=
9. 1)x(Sec)x(Cos = 10. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Cosx nm Cos21
nx Cos mx Cos −++=
11. 1)x(Cot)x(Tan = 12. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Senx nm Sen21
nx Cos mx Sen −++=
13. )x(Cos)x(Sen
)x(Tan = 14. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Senx nm Sen21
nx Sen mx Cos −−+=
θ
h co
ca
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15. )x(Sen)x(Cos
)x(Cot = 16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ySenxCosyCosxSenyx Sen ⋅+⋅=+
17. [ ])x2(Cos121
)x(Sen2 −= 18. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ySenxSenyCosxCosyx Cos ⋅−⋅=+
19. [ ])x2(Cos121
)x(Cos2 += 20. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ySenxCosyCosxSenyx Sen ⋅−⋅=−
21. )x(Sen)x(Sen −=− 22. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ySenxSenyCosxCosyx Cos ⋅+⋅=−
23. (x) Cos)x(Cos =− 24. )x(Cos)x(Sen2)x2(Sen =
25. )x(Tan)x(Tan −=− 26. )x(Sen)x(Cos)x2(Cos 22 −=
27. (x) Cot)x(Cot −=− 28. )y(Tan)x(Tan1
)y(Tan)x(Tan)yx(Tan
⋅−+
=+
29. )x(Sec)x(Sec −=− 30. )y(Tan)x(Tan1
)y(Tan)x(Tan)yx(Tan
⋅+−
=−
31. (x) Csc)x(Csc −=−
Ejercicios Propuestos
Resp. Resp.
1) )xcos(lím1x
π→
-1 2) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π→ 2
xsenlím
1x 1
3) )x(tglímx π→
0 4) x
)x(tglím
0x→ 1
5) )y5(sen
y3lím
0y→ 3/5 6) )x(cos1
)x(cos1lím
0x +−
→
0
7) 2
3
0x x
)x(senlím→
0 8) )x(cos1
)x(senlím
2
0x −→ 2
9) 0β
sin 5β( )
sin 2β( )lim→
5/2 10) )x5(sen)x3(sen
lím0x→
3/5
11) 0θ
csc 3θ( )
cot θ( )lim→
1/3 12) 20x x
)x(cos1lím
−→
½
13) x
)x4(senlím
0x→ 4 14)
2
2
0x x
)x(cos1lím
−→
1
15) x
)x(cos33lím
0x
−→
0 16) )xcos()x(sen)x(tg1
lím4x −
−π→
2−
17) 0x
2x
sin 3x( )lim→
2/3 18) 0x
sin 9x( )
sin 7x( )lim→
9/7
19) 0α
sin 3α( )
sin 6α( )lim→
½ 20) 0x
x2
sin 3x( )( )2lim→
1/9
21) 0x
sin 3x( )( )5
4x5lim→
243/4 22) 0x
x
c os x( )lim→
0
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23) 0x
1 cos 4x( )−
xlim→
0 24) 0z
1 cos 2z( )−
4zlim→
0
25) 0x
3x2
1 cosx
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2−
lim→
12 26) 0x
1 cos x( )( )2−
2x2lim→
½
27) 0x
tan x( )
2xlim→
1/2 28) 0x
tan 2x( )( )4
4x4lim→
4
29) 0x
1 cos 2x( )−
sin 3x( )lim→
0 30) 0x
1 cos x( )( )2−
xlim→
0
31) 0t
4t
tan t( )lim→
4 32) x
x4senlím
0x→ 4
33) [ ]gxcotxcossenx2lím2x
+−π→
2 34) 30x x
senxtgxlím
−→
½
35) 2x
x
0x xe
exlím
−
+→
1 36) xcos1
xlím
0x −→ 2/√2
37) 2
2
0x x3x
senlím→
1/9 38) )xcot(xlím0x→
1
39) 2
1x2
0x xx
xelím
+
+−
→ E 40)
1e
1elím
x
3 x
0x −
−
→
41) 1e1e
límx
x3
0x −−
→ 42)
1e2ee
límx2
xx2
0x −−+
→
42) 1e1e
límx3
x4
0x −−
→ 44) 1e4
3e4e4lím
x2
xx2
0x −−+
→
43) 1e1e
límx2
x4
0x −−
→
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Teorema De Estricción Se le llama también el teorema del emparedado del Sándwich o del encaje y se refiere a una función
ƒ cuyos valores quedan contenidos entre los valores de otras dos funciones g y h que tienen el
mismo limite L en el punto a. Al estar atrapado entre los dos valores de las dos funciones que se
aproximan a L, los valores de ƒ deben aproximarse a L.
Ejemplos ilustrativos 1.- Dada ( )21x32)x(g −≤− Hallar )x(glím
1x→
Solución:
( ) ( )22 1x32)x(g1x3 −≤−≤−− por propiedad de valor absoluto
( ) ( )22 1x32)x(g1x32 −+≤≤−− transponiendo de miembro el 2
( )( ) ( )( )2
1x1x
2
1x1x32lím)x(glím1x32lím −+≤≤−−
→→→ Aplicando lím
( ) ( )21x
2 1132)x(glím1132 −+≤≤−−→
sustituyendo x por 1 para calcular el limite
2)x(glím21x
≤≤→
por propiedades de limite
2)x(glím1x
=→
por teorema del Sándwich
Ejercicios propuestos Usa el teorema de estricción para hallar los siguientes limites:
1.-⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅→ x
1cosxlím 2
0x 2.- ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅→ x
1senxlím 2
0x 3.- ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅→ x
1cosxlím 2
0x
4.- Si x)xcos(2)x(gx2 2 ∀≤≤− Hallar )x(glím
0x→
5.- Si 1x1x5)x(fx25 22 ≤≤−−≤≤− Hallar )x(flím
0x→
Teorema 25 Teorema de estricción
Si ƒ(x) < g (x) < h (x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a a (excepto quizás en a) y L)x(hlím)x(flím
axax==
→→ entonces: L)x(glím
ax=
→
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Limites Unilaterales Limites por la derecha:
Limites por la izquierda
Teorema 26 El Límite de f(x) existe y es igual a L sii Laigualessonyexisten)x(flímy)x(flím
axax −+ →→
Ejercicios Propuestos En cada caso trazar la grafica y hallar el límite indicado:
1.- ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=−<
=1xsi31xsi11xsi2
)x(f )x(flím)c)x(flím)b)x(flím)a1x1x1x →→→ −+
2.- ⎩⎨⎧
≥<−
=0xsi20xsi2
)x(g )x(glím)c)x(glím)b)x(glím)a0x0x0x →→→ −+
3.- ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
=<+
=
1xsi2x
1xsi41xsix32
)x(f2
)x(flím)c)x(flím)b)x(flím)a1x1x1x →→→ −+
4.- ⎩⎨⎧
−>−−≤+
=4xsix44xsi4x
)x(h )x(hlím)c)x(hlím)b)x(hlím)a4x4x4x →→→ −+
5.- ⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
≤−=
1xsix2
1xsix4)x(g
2
2
)x(glím)c)x(glím)b)x(glím)a1x1x1x →→→ −+
6.- ⎪⎩
⎪⎨⎧
>−≤=
2tsit282tsit)t(h
2 )t(hlím)c)t(hlím)b)t(hlím)a
2x2x2x →→→ −+
7.- ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=<+
=1rsir271rsi21rsi3r2
)r(f )r(flím)c)r(flím)b)r(flím)a1x1x1x →→→ −+
8.- ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=<−
=
2xsix4
2xsi42xsi4x
)x(f2
2
)x(flím)c)x(flím)b)x(flím)a2x2x2x →→→ −+
se dice que f(x) tiene un límite por la izquierda L en “a” y escribimos
ε<−⇒<<δ−∀>δ∃>ε∀=−→
L)x(faxatq00siL)x(flímax
Se dice que f(x) tiene un límite por la derecha L en “a” y escribimos
ε<−⇒δ+<<∀>δ∃>ε∀=+→
L)x(faxatq00siL)x(flímax
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9.-
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−≤≤−−
−<
=2xsi2
2x2six4
2xsi2
)x(f 2 )x(flím)c)x(flím)b)x(flím)a2x2x2x −→−→−→ −+
)x(flím)f)x(flím)e)x(flím)d2x2x2x →→→ −+
10.-⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−≤≤−
−<+
=xsix1
1x1six
1xsi1x
)x(f 2 )x(flím)c)x(flím)b)x(flím)a1x1x1x →→→ −+
)x(flím)f)x(flím)e)x(flím)d1x1x1x −→−→−→ −+
Limites Al Infinito
Aquí consideraremos un problema diferente al considerado en capítulos anteriores. En ellos nos
hemos preguntado qué pasa con f(x) cuando x se aproxima a un valor determinado c. Aquí nos
preguntaremos qué pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando decrece
ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los límites al infinito.
Teorema 27 Si n es cualquier entero positivo, entonces
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
=
−∞→
+∞→
0x1
lím)b
0x1
lím)a
nx
nx 0x ≠∀
Propiedades de los límites al infinito Ejemplos 1.- Si k es una constante entonces
kklím)bkklím)axx
==−∞→+∞→
( ) ( ) 55lím)b1212lím)axx
=−=−−∞→+∞→
Se dice que f(x) tiene un límite L cuando x tiende a mas infinito y escribimos
ε<−⇒>∀∃>ε∀=+∞→
L)x(fMxtqM0siL)x(flímx
Se dice que f(x) tiene un límite L cuando x tiende a menos infinito y escribimos
ε<−⇒<∀∃>ε∀=−∞→
L)x(fNxtqN0siL)x(flímx
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2.- Si n es un número natural par entonces
+∞=+∞=−∞→+∞→
n
x
n
xxlím)bxlím)a +∞=+∞=
−∞→+∞→
8
x
4
xxlím)bxlím)a
3.- Si n es un número natural impar entonces
−∞=+∞=−∞→+∞→
n
x
n
xxlím)bxlím)a
( ) ( ) −∞=++∞=−−∞→+∞→
5
x
3
x2xlím)b4xlím)a
4.- Si n es un número natural par entonces +∞=
+∞→
n
xxlím +∞=+
+∞→
4
x7x3lím
5.- Si n es un número natural impar entonces −∞=+∞=
−∞→+∞→
n
x
n
xxlím)bxlím)a −∞=−+∞=
−∞→+∞→
5
x
3
x6x9lím)bx7lím)a
Ejemplos Ilustrativos
1.- Calcular ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
∞→12
x
1lím
3x
Solución: Tenemos
3 3x x x
1 1lím 12 lím lím12 0 12 12
x x→∞ →∞ →∞
⎛ ⎞+ = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
2.- Calcular ( )3
xl im 3x 5x 6→∞
− − +
Solución: Usualmente, con el fin de utilizar las propiedades anteriores, se procede en estos casos del
siguiente modo:
( )3 32 3x x
5 6l im 3x 5x 6 l im x 3
x x→∞ →∞
⎛ ⎞− − + = ⋅ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
Observa que lo que se hizo fue factorizar la expresión "sacando" el término de mayor exponente, por
esta razón dentro del paréntesis quedan fracciones en las que aparece la variable en el denominador.
El objetivo que se persigue con esto es muy claro: estas fracciones que acabamos de mencionar
tienden a 0 y, por lo tanto, el límite solo va a depender del término de mayor exponente. Entonces,
( )
( )
3 32 3x x x
3 32 3x x x x x
5 6l im 3x 5x 6 l im x l im 3
x x
5 6l im 3x 5x 6 l im x l im3 l im l im ( 3 0 0) 3
x x
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
⎛ ⎞− − + = ⋅ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− − + = ⋅ − − + = ∞ ⋅ − − + = ∞ ⋅ − = − ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
El procedimiento que acabamos de utilizar en el ejemplo anterior se usa en el cálculo de muchos de
los límites al infinito.
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3.- Calcular 2
2x
x 5 x 4lim
x 2 x 1→∞
+ ⋅ +− ⋅ +
Solución: Procedemos del siguiente modo: se divide entre la variable de mayor exponente tanto en el numerador como en el denominador
0 02 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2x x x x
22 2 2 2
0 0
x 5 x 4 x 5x 4 5 41
x 5 x 4 1 0 0xx x x x xlim lim lim lim 12 1 1 0 0x 2 x 1 x 2 x 1 x 2x 1 1x xx x x x
→∞ →∞ →∞ →∞
+ ⋅ ++ + + +
+ ⋅ + + += = = = =
− +− ⋅ + − ⋅ + − +− +
Límites al infinito de funciones polinomicas.
El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de él las dos reglas siguientes.
Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x)=anxn+an-1xn-1+ ··· +a1x+a0 (con an diferente de 0) entonces
( )n n 1 n 2 nn n 1 n 2 1 0 nx x
lim a x a x a x ... a x a lim a x− −− −→+∞ →∞
+ + + + + = y también
( )n n 1 n 2 nn n 1 n 2 1 0 nx x
lim a x a x a x ... a x a lim a x− −− −→−∞ →−∞
+ + + + + =
Regla 2: Si tenemos dos polinomios n n 1 n 2
n n 1 n 2 1 0P(x) a x a x a x ... a x a− −− −= + + + + + , con an distinto de 0)
y m m 1 m 2m m 1 m 2 1 0Q(x) b x b x b x ... b x b− −
− −= + + + + + con an y bm distintos de cero entonces
n n 1 n 2n n 1 n 2 1 0
m m 1 m 2x xm m 1 m 2 1 0
a x a x a x .. . a x aP (x )l im lim
Q (x ) b x b x b x .. . b x b
− −− −
− −→ ∞ → ±∞− −
⎛ ⎞+ + + + += ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠
Este limite se resuelve según análisis que se compone de tres casos que son:
CASO CONDICION RESULTADO
I Si n=m n
xm
aP(x)lim
Q(x) b→∞=
II Si n<m x
P(x)lim 0
Q(x)→∞=
III Si n>m x
P(x)lim
Q(x)→∞= ±∞
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Límites Infinitos Teorema 28 Si r es cualquier número entero positivo, entonces
⎪⎩
⎪⎨⎧
∞+∞−=
+∞=
−
+
→
→
paresrsiimparesrsi
x1
lím)b
x1
lím)a
r0x
r0x
Teorema 29 Si a es cualquier número real y si c)x(nlímy0)x(dlím
axax==
→→, donde c es una
constante diferente de cero, entonces:
+∞=→>→ )x(d
)x(nlímentonces)x(ddepositivosvaloresdetravésa0)x(dy0cSi)I
ax
−∞=→>→ )x(d
)x(nlímentonces)x(ddenegativosvaloresdetravésa0)x(dy0cSi)II
ax
−∞=→<→ )x(d
)x(nlímentonces)x(ddepositivosvaloresdetravésa0)x(dy0cSi)III
ax
+∞=→<→ )x(d
)x(nlímentonces)x(ddenegativosvaloresdetravésa0)x(dy0cSi)IV
ax
Teorema 30 i) Si ∞+=
→)x(glím
ax y c)x(hlím
ax=
→ ∀ c ∈ R entonces
∞+=+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
→→→)x(hlím)x(glím)x(h)x(glím
axaxax
ii) Si ∞−=
→)x(glím
ax y c)x(hlím
ax=
→ ∀ c ∈ R entonces
∞−=+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
→→→)x(hlím)x(glím)x(h)x(glím
axaxax
Teorema 31
Sea f(x) una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contenga al numero “a”, excepto, posiblemente en el numero “a”. Cuando x tiende a “a” f(x) crece sin límites lo cual se escribe:
N)x(fax0sitq00Nsi)x(flímax
>⇒δ<−<>δ∃>∀+∞=→
Sea f(x) una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contenga al numero “a”, excepto, posiblemente en el numero “a”. Cuando x tiende a “a” f(x) decrece sin límites lo cual se escribe:
N)x(fax0sitq00Nsi)x(flímax
<⇒δ<−<>δ∃<∀−∞=→
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Si ∞+=
→)x(glím
ax y c)x(hlím
ax=
→ ∀ c ∈ R* entonces
∞−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ •<
∞+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ •>
→
→
)x(h)x(glím 0c Si)ii
)x(h)x(glím 0c Si )i
ax
ax
Teorema 32 Si ∞−=
→)x(glím
ax y c)x(hlím
ax=
→ ∀ c ∈ R* entonces
∞+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ •<
∞−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ •>
→
→
)x(h)x(glím 0c Si)ii
)x(h)x(glím 0c Si )i
ax
ax
Nota Los teoremas 29 30 31 y 32 también son validos para los límites unilaterales es decir si
−+ →→ axax Ejemplos ilustrativos Calcular los siguientes límites.
Ejemplo Ilustrativo 1 Calcula: 22x )2x(
x3lím
−→
Solución: Observe que podemos escribir
( ) ( )2 2
3x 13x
x 2 x 2= ⋅
− − así
( ) ( ) ( )2 2 2x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
3x 1 1lim lim3x lim 3 lim x lim 3 2 6
x 2 x 2 x 2→ → → → →= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +∞ = ⋅ +∞ = +∞
− − −
Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular: 1x
x2lím
21x −+→
En este caso: 2
2x 2x 2x 1(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)x 1
= = ⋅+ ⋅ − + −−
luego
2x 1 x 1 x 1 x 1
2x 2x 1 2x 1 2lím lím lím lím 1
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 1 1x 1+ + + +→ → → →
⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⋅ +∞ = ⋅ +∞ = +∞⎢ ⎥+ − + − +− ⎣ ⎦
Ejemplo Ilustrativo 3 Hallar el 2x 1
2xlím
x 1−→ −
En este caso: 2
2x 2x 2x 1(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)x 1
= = ⋅+ ⋅ − + −−
luego
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2x 1 x 1 x 1 x 1
2x 2x 1 2x 1 2lím lím lím lím 1
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 1 1x 1− − − −→ → → →
⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⋅ −∞ = ⋅ −∞ = −∞⎢ ⎥+ − + − +− ⎣ ⎦
Ejemplo Ilustrativo 4 Calcula: 9x
2xlím
23x −
+−→
2
x 2 x 2 x 2 1(x 3) (x 3) (x 3) (x 3)x 9
+ + += = ⋅
+ ⋅ − + −−
2x 3 x 3
x 3 x 3
2x 3
x 2 x 2lím lím como x 3 x 3 x 3 0
(x 3) (x 3)x 9
x 2 1 3 2 1 5lím lím
(x 3) (x 3) 3 3 0 6x 2
límx 9
− −
− −
−
−
→ →
→ →
→
⎡ ⎤+ += → ⇒ < ⇒ − <⎢ ⎥+ ⋅ −− ⎣ ⎦
+ += ⋅ = ⋅ − = ⋅ −∞ = −∞
+ − ++
= −∞−
Ejemplo Ilustrativo 5 2x 1
3lím 5x
(x 1)→−
⎡ ⎤+⎢ ⎥+⎣ ⎦
2 2x 1 x 1 x 1
3 3lím 5x lím lím 5x
(x 1) (x 1)→− →− →−
⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
( )( )
( )2
2
2
x 1 x 1 x 1 0 x 1 0Si x 1 x 1 0
x 1 x 1 x 1 0 x 1 0
+
−
⎧ → − ⇒ > − ⇒ + > ⇒ + > ⎫⎪→ − ⇒ ⇒ + >⎨ ⎬⎭→ − ⇒ < − ⇒ + < ⇒ + >⎪⎩
Entonces 2x 1 x 1
3lím y lím 5x 5
(x 1)→− →−= +∞ = −
+por lo tanto
2 2x 1 x 1 x 1
3 3lím 5x lím lím 5x 5
(x 1) (x 1)→− →− →−
⎡ ⎤+ = + = +∞ − = +∞⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
en conclusión
2x 1
3lím 5x
(x 1)→−
⎡ ⎤+ = +∞⎢ ⎥+⎣ ⎦
Ejemplo Ilustrativo 6 x5x
6xlím
25x −
−+→
Descomponemos la función de la siguiente manera
( )2
x 6 x 6 x 6 1x x 5x x 5x 5x
− − −= = ⋅
−−−
x 5
x 6 5 6 1lím
x 5 5+→
− − −= = y x 5 x 5 x 5 0+→ ⇒ > ⇒ − > así:
x 5
1lím
x 5+→= +∞
−
Luego 2x 5
x 6 1lím ( ) ( )
5x 5x+→
−= − ⋅ +∞ = − ⋅ + ∞ = −∞
−
2x 5
x 6lím
x 5x+→
−= −∞
−
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Ejercicios Propuestos 1.- Calcula los siguientes límites aplicando las propiedades y los teoremas vistos anteriormente.
Solución Solución
1) 2x x4
xlím
+
−−∞→
1 2) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+
+∞→1x1xlím 22
x 0
3) 1x4x3
1x2xlím
23
3
x −++−
−∞→ 1/3 4) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
−∞→x1xxlím 2
x −∞
5) 1x4x35x2x
lím2
3
x −++−
+∞→ +∞ 6)
1xx1
lím2
x ++
−∞→ -1
7) 1x4x)x(Senx
lím2
2
x −+−
+∞→ 1 8) 2x x
4x1
2lím +−+∞→
2
9) 1x4x4
5xx3lím
23
3
x −++−
+∞→ 3/4 10)
x1x
límx
++∞→
1
11) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+∞→x3xlím 2
x 0 12)
5x3
1x2x4lím
3
23
x −
+−+∞→
4/3
13) 3 3
2
x 1x
3xlím
+
−+∞→
1 14) 1xx1
lím2
x ++
+∞→ 1
15) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+∞→x1xxlím 2
x ½ 16)
x
x x2
1lím ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++∞→
℮2
17) x2x
elím+∞→
+∞ 18) x4x
elím −+∞→
0
19) )x2(Coselím )x3(x
⋅−+∞→
0 20) )x2(Lnlímx +∞→
+∞
21) )x2(Lnxlím0x
⋅+→
0 22) 1x
1lím
1x −→ NE
23) ( )21x 1x
1lím
−→ +∞ 24)
1x1
lím1x +
−−→
NE
25) 2x3x
lím2x −
−+→
+∞ 26) x31
lím0x +→
+∞
27) 9x
xlím
2
2
3x −+→ +∞ 28)
x31
lím0x→
NE
29) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−→ x1
1lím0x
−∞ 30) 2x
1lím
2x −−→ −∞
31) 4x3x
lím22x −−
+→ −∞ 32)
8xx2
lím8x ++−→
−∞
33) ( )23x 3x
2lím
−→ −∞ 34) ( )27x 7x
4lím
−→ +∞
35) 1xx21
lím21x −−
−→ +∞ 36)
1xx21
lím21x −−
→ NE
37) ( )22
3x 3x
x2lím
−
−→
+∞ 38) 22x x4
xlím
−
−−→
−∞
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39) ( ) 32
21x
3x2xlím−
−→−−
− +∞ 40) ( ) 3
22
1x3x2xlím
−
−→−−
+ +∞
Nota: NE equivale a No Existe Asíntotas Horizontales y Verticales Asíntota Horizontal Asíntota Vertical Ejercicios Propuestos Determinar las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones y trazar su gráfica
1) 1x4x2)x(f 3 +−= 2) 2
2
x4
x)x(f
−= 3)
1x
x)x(f
2
2
−=
4) 2x3x
)x(f−+
= 5) 4x
8)x(f
2 −
−= 6)
1xx
1x4x)x(f
5
3
+−
++=
7)2x
1)x(f = 8)
6xx
1x)x(f
2 −−
+= 9)
4x
x)x(f
2 +=
10)1xx
x2)x(f
2
3
+−= 11)
2x4
x)x(f
−= 12)
1x
2x)x(f
2
2
−
−=
13)1x
x)x(f
2 −= 14)
4x
1)x(f
2 −= 15)
( )22x
1)x(f
−=
16) ( )24x
3)x(f
+
−= 17)
4x
8)x(f
2 += 18)
5x2x
)x(f−
=
La recta y = b es una asíntota horizontal de la curva de la función y = ƒ(x) si se cumple cualquiera de las dos condiciones:
b)x(flímób)x(flímxx
==−∞→+∞→
La recta x = a es una asíntota vertical de la curva de la función y = ƒ(x) si se cumple cualquiera de las dos condiciones:
±∞=±∞=−+ →→
)x(flímó)x(flímaxax
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CONTINUIDAD DE FUNCIONES Continuidad de una función en un punto
Continuidad de una función en un intervalo Continuidad lateral Continuidad de funciones Algebraicas Teorema Si las funciones f y g son continuas en el punto x = a entonces las siguientes funciones son continuas en el punto x = a a) )x(g)x(f)x(g)x(f −+ b) )x(g)x(f ⋅ c) ℜ∈∀⋅ k)x(fk
d) 0)a(gsi)x(g)x(f
≠
e) [ ] [ ] nm
nm
)x(fsi)x(f está definida en un intervalo que contenga a “a” con m,n Ζ∈
Se dice que la función y = ƒ(x) es continua en el punto x = a de su dominio sii:
)a(f)x(flímax
=→
Se dice que la función y = ƒ(x) es continua en el intervalo abierto (a , b) sii es continua en todo punto de dicho intervalo.
Se dice que la función y = ƒ(x) es continua a la derecha del número x = a de su dominio sii
)a(f)x(flímax
=+→
y continua a la izquierda del número x = a de su dominio sii
)a(f)x(flímax
=−→
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Continuidad de Polinomios y de Funciones Racionales Teorema a) Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. b) Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero. Continuidad de la función compuesta: Si f(x) es una función continua en x=c y g(x) es continua en f(c) entonces ( )( )xfg es continua en x=c Observemos la siguiente gráfica Teorema del valor intermedio Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Evaluar la continuidad de cada una de las funciones dadas a continuación en el punto indicado.
1) ⎩⎨⎧
≥<−
=0xsi20xsi2
)x(g en x= 0 2) ⎩⎨⎧
=≠−
=2x si 02x si 1x2
g(x) en x=2
3)⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<+
=-2x si x-42-x si 3-2x si 7x6
g(x) en x=-2 4) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
=<+
=
1xsi2x
1xsi41xsix32
)x(f2
en x= 1
5)⎪⎩
⎪⎨⎧
≥<−=3x si 1-2x3x si 4xg(x)
2 en x=3 6)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=−<
=1xsi31xsi11xsi2
)x(f en x= 1
7) ⎩⎨⎧
−>−−≤+
=4xsix44xsi4x
)x(h en x=-4 8) ⎪⎩
⎪⎨⎧
>−≤=
2xsit282tsit)t(R
2 en x=2
Se la función y = ƒ(x) es continua en el intervalo cerrado [a , b] y y0 es un número comprendido entre f(a) y f(b) existe por lo menos un número x0 comprendido entre a y b tal que f(x0)=y0
f
c f(c)
Continua en c
g
g(f(c))
Continua en f(c)
Continua en c
fg
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9) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=<+
=1rsir271rsi21rsi3r2
)r(f en r=1 10) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=<−
=
2xsix4
2xsi42xsi4x
)x(f2
2
en x=2
11) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤+
<+=
-2x si 3x
-2x si x2g(x) en x=-2 12)
⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
≤−=
1xsix2
1xsix4)x(g
2
2
en x=1
13) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−≤≤−
−<+=
xsix11x1six
1xsi1x
)x(f 2
En x=-1 y x=1
14)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−≤≤−−
−<
=2xsi2
2x2six4
2xsi2
)x(f 2
En x=-2 y x=2
15)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥<<
≤+
=4x si x-6
4x4- si x-16
-4x si 6x
g(x) 2
En x=-4 y x=4
16) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−
−−=
4xsi 2
4xsi4x
4x3x)x(f
2
en x=4
17) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−=
3x si 0
3x si 3xg(x) en x=3 18)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=−<
=1xsi31xsi11xsi2
)x(f en x= 1
19) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=<+
=1xsix271xsi 51xsi3x2
)x(f en x= 1 20) 1x en 1xg(x) =+=
21)⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+=<+
=1xsi4x
1xsi 41xsi3x2
)x(f2
en x= 1
En los ejercicios siguientes indica ¿para qué valor de x? falla la continuidad de la función dada
1) 1x)x(g 2 += Ninguno 2) 2x
x3f(x)
−= x=2
3) 3x4x
1xf(x)
2 +−
+= x=1, x=3 4) ( ) 2
1x3f(x)
−−= x=3
5) 2x
2xg(x)
2 −−
= x=2, x=-2 6) 9x
x2x8f(x)
2
2
−
−= x=3 , x=-3
7) 3x
2f(x)
−= x=3 8)
6x4x-x
1xf(x)
23 ++
+= x=2 ,x=3 , x=-1
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DERIVADAS Pendiente de la recta tangente a una curva
Definición de Derivada
Existen otros tipos de notaciones como: fDdxdf
dxdy
)x('f'y x
Teorema Si f es una función derivable en x=c, entonces f es continua en x=c Derivadas de orden superior: Luego de derivar una función podemos estar interesados en hallar la derivada de esta derivada. En efecto tales derivadas reciben el nombre de derivadas de orden superior Sea f(x) una función derivable por lo cual f’(x) existe, entonces si f’(x) es derivable podemos hallar la derivada de f´(x) la cual se denota por f’’(x) y se llama segunda derivada de f, de igual forma si f’’(x) es derivable su derivada será la tercera derivada de f y se denota por f’’’(x) y asi sucesivamente. A partir de la primera derivada estaremos en presencia de las derivadas de orden superior las cuales podemos denotar como se indica a continuación
Orden de la derivada Notaciones
1 fDdxdf
dxdy
)x('f'y x
2 fDdx
fd
dx
yd)x(''f''y 2
x2
2
2
2
3 fDdx
fd
dx
yd)x('''f'''y 3
x3
3
3
3
4 fDdx
fd
dx
yd)x(fy 4
x4
4
4
4)4()4(
5 fDdx
fd
dx
yd)x(fy 5
x5
5
5
5)5()5(
La pendiente de la recta tangente a una curva en el punto (x,f(x)) es el número representado por m el cual se calcula mediante la fórmula:
h)x(f)hx(f
límm0h
−+=
→ siempre que este limite exista
La derivada de la función f(x) con respecto a la variable x es la función f’ cuyo valor en x está dado por:
h)x(f)hx(f
lím)x('f0h
−+=
→ siempre que este limite exista
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n fDdx
fd
dx
yd)x(fy n
xn
n
n
n)n()n(
Ejemplo: dada la función f(x)= 6x3x25
x32 23 +−+
f’(x)= 2x2+5x-3 f’’(x)= 4x+5 f’’’(x)= 4 f(4)(x)= 0 f(5)(x)= 0 f(n)(x)= 0 4n ≥∀ Ejercicios propuestos 1.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado.
a) 1x)x(g 2 += en (0,1) b) 3xy = en (-2,-8)
c) 2x4)x(f −= en (-1,3) d)2x
x)x(f
−= en (3,3)
e) x)x(g = en (4,2) f) ( ) 11x)x(h 2 +−= en (1,1)
g) x3x)x(f 3 += en (1,4) h) 2x
1)x(f = en (-1,1)
2.- Hallar la derivada de la función dada usando la definición y evaluarla en el punto dado.
a) )0('g)1('g1x3x2)x(g 2 −+= b) )2('f)5('f6x4)x(f −+=
c) )1('f)2('fx2x1
)x(f −−
= d) )3('f)2('f)1('ft
1)t(f
2−=
e) )21('R)1('R)0('R1s2)s(R += e) )1('f)0('f5x3x2x)x(f 23 −+−−=
Tabla de Derivadas
1. 0cDx = c= cte 8. uuD
Ln(u)D xx = 15. 2
xx
u1
uD )u arcSen(D
−=
2. uDnu)u(D x1nn
x−= 9. uD u Cos )u Sen(D xx = 16. 2
xx
u1
uD - )u arcCos(D
−=
3. vDuD)vu(D xxx +=+ 10. uD u Sen- )u Cos(D xx = 17. 2x
xu1
uD )u arcTan(D
+=
4. uvDvuD)uv(D xxx += 11. uD uSec )u Tan(D x2
x = 18. 2x
xu1
uD- )u arcCot(D
+=
5. 2xx
xv
vuDuvD)
vu
(D−
= 12. uD uCsc )u Cot(D x2
x −= 19. 1uu
uD )u arcSec(D
2
xx
−=
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6. uDe)e(D xuu
x = 13. uD Cot u Csc )u Csc(D xx −= 20. 1uu
uD - )u arcCsc(D
2
xx
−=
7. uD Ln(a) a)(aD xuu
x = 14. uD u Tanu Sec )u Sec(D xx =
Ejercicios propuestos 1.- Calcula la primera derivada de las siguientes funciones algebraicas.
1) 34)x(g = 2) x4x3)x(f 2 −=
3) 1)x(h −= 4) 32 t23t3)t(f −=
5) 5x23
)x(f −= 6) 4 53 t4t9)t(R +−=
7) 4x3)x(f 2 −= 8) ( )63 ss3)s(g −=
9) 7x8x6)x(f 2 +−= 10) ( ) ( )x6x51x2)x(f 34 +⋅−=
11) 2x5x3x)x(f 23 ++−= 12) ( ) ( 1x2x21x2x2)x(f 22 ++⋅+−=
13) 23 xx3x)x(f −++= 14) ( )
( )8x8x2)x(f 3
3
+−=
15) 424 x4x5xy −− −+−= 16) ( )
1x35x1x2
)x(f −⋅++
=
17) 31
23
s3s2)s(f −= 18) x2
1x3x3)x(f
2 +−=
19) 23
21
y2y2)y(Q −=−
20) x
3xx4)x(f
2 +−=
21) 24 x
3
x
5)x(h += 22) ( ) ( ) ( )7x31x22x)x(f +⋅+⋅−=
23) 2xx
2)x(h 3
4+−= 24)
( )( ) ( )5x3x2
3xx)x(f
+⋅−−⋅
=
25) x2x
10)x(h −= 26)
( )( ) ( )1x2x
1x2x)x(f
−⋅−+⋅
=
2.- Calcula la primera derivada de las siguientes funciones trascendentales y trigonométricas.
1) 4)x(sen3)x(f −= 2) 1z
)zcos(2)z(f
+=
3) x)x(sen4)x(f −= 4) x
)xcos()x(T =
5) )x(csc)x(tg)x(f −= 6) )xcsc()x(ctg)x(f ⋅=
Guia de Cálculo I pág. 67
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7) )xcos(x)x(f = 8) )ycos()y(ctg)y(f ⋅=
9) )x(sen2x4)x(f −= 10) )xcos(1
)x(sen)x(M
−=
11) x
)x(sen)x(f = 12)
)scos(4s
)s(R+
=
13) )t(sec)t(sen)t(H −= 14) 4)xcos(
)x(tg)x(f
−=
15) )xcos()x(sen3)x(f ⋅= 16) )x(sen1
)x(cot)x(H
−=
17) )xcos(x2)x(senx)x(f 2 += 18) )r(sen1)r(sen1
)r(f−+
=
19) )x(tg)x(csc3)x(f ⋅= 20) 1)xcos(1)x(sen
)x(f+−
=
21) )x(cot)x(tg)x(f −= 22) ( ) ( ))x(cosx)x(senx2)x(f 2 +⋅−=
23) xe4)x(f x −= 24) 2)r(csc1)r(csc2
)r(f+−
=
25) xxe)x(f = 26) 1)x(tg1)x(tg
)x(f−+
=
27) x2x)x(f += 28) )x(cos2)x(xsen2)x(cosx)x(f 2 −−=
29) 1xe2)x(f += 30) ( ) ( ))x(cosx)x(senx)x(f +⋅−=
31) x)3/1()x(f = 32) 3xLn)x(f =
33) 1x4)x(f +−= 34) x2e)x(f =
35) xe
)x(fx
= 36) x22ex)x(f =
37) )x2(Ln)x(f = 38) x
xLn)x(f =
39) xe
x)x(f = 40) xLne)x(f x=
41) xLnx)x(f 3 ⋅= 42) x
x
2
e)x(f
2
=
43) [ ])x(sene2Ln)x(f x ⋅= − 44) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= − 2xecos)x(f
45) )xLn(Ln)x(f = 46) ))xLn((secLn)x(f =
47) 3 xLnx)x(f ⋅= 48) [ ])xLn(cos)xLn(senx)x(f +⋅=
49) xLnex)x(f x23 ⋅⋅= − 50) )x(senexLnx3)x(f 2x3 ⋅⋅⋅=
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Derivada de la función compuesta: Regla de la cadena: Ejemplos Ilustrativos Dadas f (x)= x5 y g (x)= 7x2-4x Hallar )x()'gf( Según la fórmula de la regla de la cadena debemos calcular )x('gy))x(g('f)x()'f( Por lo cual obtenemos: f’(x)= 5x4 f’(g(x))= 5 (7x2-4x)4 g’(x)= 14x-4
)4x14()x4x7(5)x)`(gf( 42 −⋅−= Otra forma de expresar la regla de la cadena Si u es una función de x es decir u=g(x) entonces u(u)·D'f f(u)D xx = Ejercicios propuestos 1.- Usa la regla de la cadena para hallar la derivada de la función dada.
1) 3)1x2()x(f += 2) 2
2
x1
)x2(ctg)x(f
+=
3) 42 )5x4x()x(f −+= 4) ))x5(tg )x3((sec)x(f 22=
5) x3x2)x(f 3 −= 6) )x4(sec)x(f 2=
7) 234 )1x2x7x2()x(f −+−= 8) )1x3(cos)x(f 23 +=
9) 22 )4x()x(f −+= 10) 234t ))t3(csc)t4(ctg(D −
11) 232 )1x3()5x3()x(f −+= 12) )x4(sen3)x3(cos4)x(f −=
13) 21 )3x4()5x2()x(f −− +−= 14) )x2sec()x2(sec31
)x(f 3 −=
15) )4x3()1x5()3x()x(f 223 −++= 16) )x(csc)x(ctg)x(f 44 −=
17) 2
2x7x
)x(f ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
= 18) )x(tg)x(sec)x(f 22 ⋅=
19) 2
2 2xx3
1x2)x(f ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−= 20) )1x3(sen)x(f 22 −=
21) 22
32
)4x(
)5x()x(f
+
−= 22) 322 )xxtg()x(f −=
Si g(x) es una función diferenciable en x y la función f(x) lo es en g(x), entonces la función compuesta gf es diferenciable en x y por tanto )x('g))x(g('f)x()'gf( ⋅=
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23) 22
423
)5x3(
)2x3()1x4()x(f
+
+−= 24)
1)x2(cos
)x2(sen3)x(f
2 +=
25) 2))x(cos3)x(sen2()x(f −= 26) )x3sencos(4)x(f =
27) )x2(cossen)x(f 2= 28) x
x
2
e)x(f
2
=
29) [ ])xLn(cos)xLn(senx)x(f +⋅= 30) ))xLn((secLn)x(f =
31) [ ])x(sene2Ln)x(f x ⋅= − 32) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= − 2xecos)x(f
33) 3 xLnx)x(f ⋅= 34) )xLn(Ln)x(f =
35) xLnex)x(f x23 ⋅⋅= − 36) )x(senexLnx3)x(f 2x3 ⋅⋅⋅=
Derivación Logarítmica Este método fue ideado por Johan Bernoulli (1667-1748) y se basa en el uso ventajoso de de las propiedades de logarítmicas para calcular derivadas de expresiones complejas que contienen productos, cocientes, raíces y potencias. El método en cuestión consiste en aplicar logaritmos en
ambos miembros de la ecuación y = f(x) ⇒ Ln(y) = Ln )x(f , aplicar las propiedades logarítmicas a la
expresión Ln )x(f para simplificarla al máximo y luego derivar implícitamente respecto a la variable x
Ejercicios Propuestos Utilice el método de derivación logarítmica para hallar y’
1) )1x(xy += 2) x3xxy 2 −=
3) )5x3)(4x5)(3x(y 22 −−+= 4) 2
22
)1x(
x3xxy
−
−=
5) x3x2y 3 −= 6) )x4(sen)x4(secy 35=
7) 4322 )1x()1x(xy +−= 8) )t3(csc)t4(ctgy 43=
9) 23 )8x(y −−= 10) 232 )1x3()5x3(y −+=
11) 31x1x
y−+
= 12) 1x
)1x(xy
23
+
−=
13) 3
2)1x(
1xxy
2
+
+= 14) 2)4x(
)2x)(1x5(xy
−++
=
15) )9x3)(1x3)(7x(y 2 −++= 16) 21 )1x()3x2(y −− −+=
17) 3 2 )3x2)(1x()2x)(1x(x
y++−+
= 18) )x(tg)x(secy 22 ⋅=
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19)
3
2 9x6x4x2
y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++
= 20) 22
423
)5x3()2x3()1x4(
y+
+−=
21) )3x()2x(x
y5
−+
= 22) 1x1x
y2
2
+−
=
23) 42
325
)7x3()2x()1x3(
y−
−−= 24) )x(senxy =
25) 3 xLn
xy = 26) )xsec(2y =
27) )x(tg)x(sen)x(f = 28) )x(senxy =
29) 2
4
3
1x35x
3x5y ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
= 30) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅
=5x3x2
3xxy
31) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⋅
=1x2x
1x2xy 32) x
3xx4y
2 +−=
Derivada implícita: En algunas oportunidades podemos encontrar ecuaciones que definen la variable “y” como una función de x explícitamente como por ejemplo y = 2x2-6x+1 dichas ecuaciones se derivan de manera sencilla con los procedimientos y reglas estudiadas anteriormente, sin embargo en otras ocasiones podemos encontrarnos frente a ecuaciones como 2y2x3+3y3x2= yx5 en las cuales en algunas oportunidades no se puede despejar la variable “y” es por esto que estudiaremos un método para el calculo de estas derivadas el cual se llama derivación implicita. Ejercicios propuestos Hallar DxY y DyX:
1) 16yx 22 =+ 2) 1y9x4 22 =− 3) 2222 yxyx +=
4) 24 y3)3x2( =+ 5) 5xy3yx2 33 =+ 6) yx2xy =+
7) 4ycscxsec 22 =+ 8) 0xy)xy(ctg =+ 9) xtg)yx(ctgysec 22 =−+
10) x4y3yx 22 =+ 11) 23 y10x4xy3 =− 12) 12y4xy 2 =−
13) 3x)xy(sen 2 −= 14) 2yx4y
3x+=
+ 15) 23 x10y4yx3 =−+
16) xee yyx2 =−⋅ 17) 1)x(seny3ex y =⋅−⋅ 18) yx4yx 2 =−+
19) 8y)ycos( 2 =− 20) x2)y(Lne y4 =− 21) 1x3e 2yyx2 +=−⋅
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Regla de L’Hopital Sean g(x) y h(x) dos funciones derivables en un intervalo abierto I=(a ,b) excepto posiblemente en c ∈ I y supongamos que: a) 0)x('hIcx ≠∈≠∀
b) )x(h)x(g
límcx→
produce la forma indeterminada 00
y
c) )x('h)x('g
límcx→
existe y es igual a L
entonces )x(h)x(g
límcx→
=)x('h)x('g
límcx→
=L
Esta regla puede ser generalizada a los casos en que x +∞→ , x −∞→ , x +→ c , x −→ c y las
indeterminaciones del tipo ∞+
+∞ ,
∞+−∞
, ∞−
+∞,
∞−−∞
, 0 ∞⋅ , 0∞ , 00 , ∞1 y ∞−∞
Ejercicios propuestos Utilice la regla de L’Hopital para resolver los siguientes ejercicios
Resp. Resp.
1) x
1elím
x
0x
−→
2 2) 1x2x)xcos(1
lím21x +−+
→
π
2
2π
3)
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+→ )x2(cosLn
)x3(cosLnlím
0x 9/4 4)
3x6x55xx3
lím2
2
x −++−
+∞→ 3/5
5) x2
xexlím −
+∞→⋅ 0 6)
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+→ )x3(tgLn
)x2(tgLnlím
0x
1
7) )x(Lnxlím 20x
⋅+→
0 8) 2x1
0x)x(coslím ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
→ 2
1e−
9) x
1x3
0xx5elím ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
→ e-2 10)
x1
x3x
x5elím ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
+∞→ 3e
11) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
→ 220x x1
)x(sen1
lím 1/3 12) 30x x
)x(senxlím
−→
1/6
13) x23
xexlím −
+∞→⋅ 0 14) )x(Lnxlím 3
0x⋅
+→ 0
15) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −→ x
23lím
xx
0x Ln(3/2) 16) )xcos()x(sen
)x(tg1lím
4x −−
π→ 2−
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17) 0x
2x
sin 3x( )lim→
2/3 18) 0x
sin 9x( )
sin 7x( )lim→
9/7
19) 0α
sin 3α( )
sin 6α( )lim→
½ 20) 0x
x2
sin 3x( )( )2lim→
1/9
21) x2
x2
xe
x3
1lím −+∞→
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛− e-6 22)
x3/1
xx21lím ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+∞→ 1
23) 0x
sin 3x( )( )5
4x5lim→
243/4 24) 0x
x
c os x( )lim→
0
25) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
→)xcsc(
x1
lím0x
0 26) )x(sen
0xxlím
→ 1
27) 0x
1 cos 4x( )−
xlim→
0 28) 0z
1 cos 2z( )−
4zlim→
0
29) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
→)x(ctg
x1
lím 220x
2/3 30) )2x(tg)1x(lím 22
1xπ⋅−
+→ -4/π
31) 0x
3x2
1 cosx
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2−
lim→
12 32) 0x
1 cos x( )( )2−
2x2lim→
½
33) 0x
tan x( )
2xlim→
1/2 34) 0x
tan 2x( )( )4
4x4lim→
4
35) 0x
1 cos 2x( )−
sin 3x( )lim→
0 36) 0x
1 cos x( )( )2−
xlim→
0
37) 0t
4t
tan t( )lim→
4 38) x
x4senlím
0x→ 4
38) [ ]gxcotxcossenx2lím2x
+−π→
2 40) 30x x
senxtgxlím
−→
½
Técnicas de graficación:
Puntos críticos de una función.
Definición: Si C ∈ al dominio de f y si f`(c)= 0 ó f`(c) no existe entonces C se llama un punto crítico de f.
Extremos Absolutos de una función
Sea f(x) una función definida sobre un intervalo I de números reales y sea c∈I i) f(c) es un Máximo Absoluto de f en I si f(c) ≥ f(x) para todo x en I ii) f(c) es un Mínimo Absoluto de f en I si f(c) ≤ f(x) para todo x en I
Extremos Relativos de una función
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i) f(c) es un Máximo Relativo de f si f(c) ≥ f(x) para todo x en algún intervalo abierto que contiene a c
ii) f(c) es un Mínimo Relativo de f si f(c) ≤ f(x) para todo x en algún intervalo abierto que
contiene a c
Crecimiento y decrecimiento de una función. 1. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [ ]b,a y diferenciable en (a,b) entonces: Si f`(x) > 0 )b.a(X ∈∀ entonces f es creciente en [ ]b,a Si f`(x) < 0 )b.a(X ∈∀ entonces f es decreciente en [ ]b,a Si f`(x) = 0 )b.a(X ∈∀ entonces f es constante en [ ]b,a 2. Criterio de la primera derivada: Sea C un número crítico de una función f continua al intervalo
(a,b) que contiene a C, si f es derivable en ese intervalo excepto quizás en C, entonces f(c) puede clasificarse así:
2.1 Si f`(x) cambia en C de positiva a negativa, f(c) es una máximo relativo 2.2 Si f`(x) cambia en C de negativa a positiva, f(c) es una mínimo relativo
Concavidad Teorema: Sea f una función diferenciable en algún intervalo abierto que tenga a C entonces: Si f``(c) > 0 la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba f(c)) (c, en Si f``(c) < 0 la gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo f(c)) (c, en
Punto de inflexión Definición 1 El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f, si la gráfica tiene ahí una recta tangente y si existe un intervalo abierto I que contenga a C, tal que si X está en I entonces: 1. f``(x) < 0 Si X < C y f``(x) > 0 Si X > C 2. f``(x) > 0 Si X < C y f``(x) < 0 Si X > C Definición 2 Si f es una función continua en el intervalo (a , b) y su grafica cambia su concavidad en un punto c ∈(a , b) [o sea, es cóncava hacia abajo a un lado de C y cóncava hacia arriba al otro lado], se dice que (c , f(c)) es un punto de inflexión de f.
Ejemplos Ilustrativos 1.- Trazar la grafica de f(x) = 3x2-6x+3 Calculemos la primera y segunda derivada f’(x) = 6x-6 f’’(x) = 6 Calculamos los números críticos es decir los valores de x para los cuales la primera y la segunda derivada son cero o no existen, como en este caso ambas derivadas son funciones polinómicas no tiene denominador así no existirán valores de la variable x para los cuales el denominador sea igual a cero.
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f’(x) = 0 si 6x-6 =0 ⇒ 6x = 6 ⇒ x = 1 La segunda derivada nunca será cero puesto que siempre será igual a 6 luego el único numero critico es x = 1 el cual determina dos intervalos en la recta real
Intervalos Valor de Prueba
f(x)=y 3x2-6x+3
f’(x) 6x-6
f’’(x) 6
Características de la grafica
)1,(−∞ 0 - + La grafica decrece y es cóncava hacia arriba
x = 1 0 El punto (1 , 0) es un Mínimo Relativo
),1( ∞+ 2 + + La grafica crece y es cóncava hacia arriba
Tomando en cuenta toda la información de la tabla anterior obtenemos la siguiente gráfica 2.- Trazar la grafica de f(x) = -x3 +3x2-2 Calculemos la primera y segunda derivada f’(x) = -3x2+6x f’’(x) = -6x+6 Calculamos los valores de x para los cuales la primera es igual a cero o no existen. f’(x) = 0 si -3x2+6x =0 ⇒ -3x(x-2)=0⇒ x = 0 v x = 2 La primera derivada siempre existirá Calculamos los valores de x para los cuales la segunda es igual a cero o no existen.
f(x) = 3x2-6x+3
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f’’(x) = 0 si -6x+6=0 ⇒ -6x=-6⇒ x = 1 La segunda derivada siempre existirá Luego los números críticos son x = 0 , x = 1 , x = 2 los cuales determinan cuatro intervalos en la recta real
Intervalos Valor de Prueba
f(x)=y -x3 +3x2-2
f’(x) -3x2+6x
f’’(x) -6x+6
Características de la grafica
)0,(−∞ -1 - + La grafica decrece y es cóncava hacia arriba x = 0 -2 El punto (0 , -2) es un Mínimo Relativo
)1,0( 21 + + La grafica crece y es cóncava hacia arriba
x = 1 0 El punto (1 , 0) es un Punto de Inflexión )2,1( 3/2 + - La grafica crece y es cóncava hacia abajo
x = 2 2 El punto (2 , 2) es un Máximo Relativo ),2( ∞+ 3 - - La grafica decrece y es cóncava hacia abajo
En función de la información de la tabla anterior podemos trazar la siguiente gráfica
3.- Utilicemos las técnicas de graficación para trazar la grafica de 4x
xy
2 −=
Calculemos la primera derivada
22
2
22
22
22
2
)4x()4x(
)x('f)4x(
4x2x)x('f
)4x()x2(x4x
)x('f−+−
=⇒−
−−=⇒
−⋅−−
=
X=0 X=1 X=2
f(x) = -x3 +3x2-2
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En conclusión 22
2
)4x()4x(
)x('f−+−
=
Calculemos la segunda derivada
42
332
42
2222
)4x()x16x4x8x2)(4x(
)x(''f)4x(
)x2)(4x(2)4x()4x(x2)x(''f
−+++−−
=⇒−
−−−−−−=
42
22
42
32
)4x()12x(x2)4x(
)x(''f)4x(
)x24x2)(4x()x(''f
−+−
=⇒−
+−=
Finalmente simplificando obtenemos
En conclusión 32
2
)4x()12x(x2
)x(''f−+
=
Calculamos los números críticos
La primera derivada 22
2
)4x()4x(
)x('f−+−
= nunca será igual a cero ya no existe un valor de Rx ∈
para el cual 0)4x( 2 =+
)x('f no existe si 4x04x0)4x( 2222 =⇒=−⇒=− Resolviendo esta ecuación obtenemos x=2 y x=-2 por lo tanto x=2 y x=-2 son números críticos
De igual forma la segunda derivada 32
2
)4x()12x(x2
)x(''f−+
= será igual a cero si existe un valor
de Rx ∈ para el cual 0)12x(x2 2 =+ para que este producto sea igual a cero se deben cumplir dos
condiciones que x=0 ó que 012x2 =+ pero esta ultima expresión no puede llegar a ser igual a cero Así que x=0 es un número critico
)x(''f no existe si 4x04x0)4x( 2232 =⇒=−⇒=− Resolviendo esta ecuación obtenemos x=2 y x=-2 por lo tanto x=2 y x=-2 son números críticos Finalmente los números críticos son x=-2 x=0 x=2
∞+=+→
)x(flim2x
y ∞−=−→
)x(flim2x
asi la recta x=2 es una asuntota vertical
∞+=
+−→)x(flim
2x y ∞−=
−−→)x(flim
2x asi la recta x=-2 es una asuntota vertical
Intervalos Valor de Prueba
f(x)=y
4xx
2 −
f’(x)
22
2
)4x()4x(
−+−
f’’(x)
32
2
)4x()12x(x2
−+
Características de la grafica
)2,( −−∞ -3 - - La grafica decrece y es cóncava hacia abajo
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x = -2 No
Definido
)0,2(− -1 - + La grafica decrece y es cóncava hacia arriba
x = 0 0 El punto (0 , 0) es un Punto de Inflexión
)2,0( 1 - - La grafica decrece y es cóncava hacia abajo
x = 2 No
Definido
),2( ∞+ 3 - + La grafica decrece y es cóncava hacia arriba
Usando la información de la tabla anterior obtenemos la siguiente gráfica
Ejercicios propuestos Usar las técnicas de derivación para trazar la gráfica de las siguientes funciones.
1) 1x4x2)x(f 3 +−= 2) 2
2
x4
x)x(f
−= 3)
1x
x)x(f
2
2
−=
4) 2x3x
)x(f−+
= 5) 4x
8)x(f
2 −
−= 6)
1xx
1x4x)x(f
5
3
+−
++=
4xx
y2 −
=
X=-2 X=0 X=2
Punto de Inflexión
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7)2x
1)x(f = 8)
6xx
1x)x(f
2 −−
+= 9)
4x
x)x(f
2 +=
10)1xx
x2)x(f
2
3
+−= 11)
2x4
x)x(f
−= 12)
1x
2x)x(f
2
2
−
−=
13)1x
x)x(f
2 −= 14)
4x
1)x(f
2 −= 15)
( )22x
1)x(f
−=
16) ( )24x
3)x(f
+
−= 17)
4x
8)x(f
2 += 18)
5x2x
)x(f−
=
19) 3xf(x) += 20) 1x3f(x) −= 21) 1x
1s(x)
+=
22) 2x-1h(x) = 23) 1x21x4
F(x)2
+−
= 24) 4-xf(x) 2=
25) 4x
11x7xf(x)
2
2
−
−+= 26) 3 2 4xf(x) −= 27) 2x-4f(x) =
28) ( ) 21xy 2 +−= 29) ( ) 12xy 3 −+= 30) 2x3(x) +=ϕ
31) 2x1y += 32) xy=1 33) 4-xy =
34) 6xx
12x4x3xf(x)
2
23
−−
+−−= 35)
t1
1f(t)
+= 36) y=x3
37) 2)1x(
1f(x)
+= 38) y=x2 39)
2x
1f(x) =
40) 2x
7f(x)
−= 41)
3x2
f(x)+−
= 42) 3)X21()x(f −=
43) f(x)= X3-6X2+9X+1 44) 1X
1X)x(f
2
2
−
+= 45)
1X1X
)x(f−+
=
Esta información ha sido Producida Recopilada y Transcrita por:
Pedro R. Guédez y Carmen L. Guédez Se prohíbe su reproducción total o parcial con fines comerciales o de lucro
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Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro Guédez
Referencias Bibliográficas
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