Date post: | 23-Jan-2016 |
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El efecto Hall cuántico entero
El efecto Hall cuántico entero: (von Klitzing, Dorda y Pepper (1980))
Gas de electrones bidimensional
Baja concentración de impurezas
Campo magnético perpendicular fuerte
H
E
j
jE
0
0ˆ
2
2
ie
hie
h
nec
HH Resistividad Hall
0
0
ˆ
nec
Hnec
H
2ie
hH
El efecto Hall cuántico (entero)
0
0ˆ
2
2
ie
hie
h
2ie
hRHH Resistencia Hall
,.....3,2,1i
Inciso 1: magnetismo del gas de electrones libres
Paramagnetismo de Pauli
Diamagnetismo de Landau
Hmc
e
c
Aep
mH
2
1
2
1ˆ2
HNM FB )(2
)(2FBPauli N
PauliLandau 3
1
)(3
2 2FBTotal N
HBF
Caso H = 0
)(2
1)(
22*
2
yxk
rki
k
kkm
eS
r
kF
Esfera de Fermi
nkF 2
N()
F
Density of states 2D
2
*
)(
mN
Caso 0H
Hamiltoniano
2
*2
1ˆ
A
c
ei
mH
vector potential
H
E
j
Elección de gauge:
),(2
1
)0,(
xHyHA
yHA
gauge de Landau
gauge simétrico
Con cualquiera de los dos: zuHA
spinless electrons
Gauge de Landau. Niveles Landau
)0,( yHA
Elección de gauge adecuada a la geometría: (experimento real)
W
H
xx jE ,
2
*2
1ˆ
A
c
ei
mH
2
22
*
2
2ˆ
yy
c
eH
xi
mH
Gauge de Landau. Niveles Landau
W
H
2
22
*
2
2ˆ
yy
c
eH
xi
mH
)(),( yeyx ikx
k
)()()(2
1)(
222
02*
2
2
*
2
yEyklymyym c
cm
c
eH
l
*120
0l longitud
Quantum harmonic oscillator
Inciso 2: el oscilador armónico cuántico
)()(2
1
222
2
22
yEyymym
m
l
20
1
Quantum harmonic oscillator
)()()(2
1
22
02
2
22
yEyyymym
posición de equilibrio
2
1
)(200 2/)(
0
0
nE
el
yyHy
n
lyynn
Niveles Landau
)()()(2
1)(
222
02*
2
2
*
2
yEyklymyym c
020 ykl longitud Quantum harmonic oscillator
)()()(2
1)(
22
02*
2
2
*
2
yEyyymyym c
cn
lyyn
ikxnk
nE
el
yyHe
2
1
200 2/)(
0
0
c
eHm
lc
*120
kly 200
Landau levels
Niveles Landau
cn nE
2
1Landau levels
N()
F
Density of states 2D
2
*
2 m
N()
0H
0H
perpendicularc
(por spin)
Niveles Landau
cN()
F
Density of states 2D
2
*
2 m
N()
0H
0H
perpendicular
Si el número total de estados no cambia La degeneración de cada estado Landau debe ser muy grande
Degeneración de cada estado Landau: Shc
eHS
mN cL
2
*
2
cn
lyyn
ikxnk
nE
el
yyHe
2
1
200 2/)(
0
0
Niveles Landau
En efecto, la degeneración:
número de valores permitidos de k
Condiciones de contorno de Born-von Karman: ,....2,1,0,2
nnL
k
El sistema está confinado en la dirección y:
W
H
x
Wy 00
20l
Wk
20
20
2/2
/
l
S
L
lWNL
c
eH
l
20
1
Shc
eHN L
O.K.
Degeneración de los niveles Landau
202 l
SNL
c
eH
l
20
1
Shc
eHNL
HS
Interpretación cuasi-clásica
Interpretación cuántica flujo magnético total
0
LN e
hc0 cuanto de flujo magnético
hc
eHnL
LL N
N
n
n filling factor
270 1014.4 cmgauss
Cuantización de la resistencia Hall
¿Qué ocurre si el primer nivel Landau está totalmente ocupado? LNN
0
0
ˆ
nec
Hnec
H
nec
HH
Shc
eHNN L
hc
eHn
2e
h
eH
hc
ec
HH !!
Cuantización de la resistencia Hall
¿Qué ocurre si el primer nivel Landau está totalmente ocupado?
0
0
ˆ
nec
Hnec
H
nec
HH
Shc
eHNN L
hc
eHnn L
2e
h
eH
hc
ec
HH !!
1
En general si el factor de llenado es un número entero (un número entero de niveles Landau ocupados)
,...3,2,1
2e
hRHH
¿Esto explica los resultados experimentales ?
xy
H
nec
HH
La condición para = 1,2,3,.. 2e
h
nec
HH
¿Explica la curva experimental?
¿Explica los plateaus en xy?
2e
h
22e
h
24e
h 12
¿Explica el comportamiento de xx?
Quantum versus classical
xy
H
nec
HH
Efecto de las impurezas
2
F
N()
Efecto de las impurezas
Resolviendo la ecuación de Schrödinger con una distribución “random” de impurezas:
)(2
1ˆ2
*rVA
c
ei
mH imp
transport current
no current
2/1
F
2
F
1
F
Cuantización de la resistencia Hall
How to control experimentally the filling factor ?
LL n
n
N
N
hc
eHnL
Variando la densidad electrónica mediante la aplicación de un potencial de compuerta (gate voltage) al gas bidimensional
Variando el campo magnético externo H
Variación de n mediante un potencial de gate
Al
p-Si
SiO2
Silicon MOSFET
(Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor) 21311 1010 cmn
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooF F
5000 A
conduction band
valence band
energy gap
situación de equilibrio
Variación de n mediante un potencial de gate
Al
p-Si
SiO2
valence band
conduction band
eVG
energy gap
F
gate
2D electron gas (inversion layer)
Metrology
Resistance standard since 1990 ohms.e
h806258122 precision 8102
Fine structure constant 036.137
12
c
e
uncertainty ppm3.0
Unit of resistance 2
1e
hklitzing
El efecto Hall cuántico fraccionario
2e
hRHH
Resistencia Hall
,.....3/2,5/1,3/1
D. C. Tsui, H. L. Störmer & A. C. Gossard (1982)
R. Laughlin (1983)
(experimento)
(teoría)
El efecto Hall cuántico fraccionario
2e
hRHH
Resistencia Hall
,.....3/2,5/1,3/1
R. Laughlin (1983)
ceecRHH *
00
ee *
Excitaciones de carga fraccionaria (quasiparticles)
El efecto Hall cuántico fraccionario
Detección experimental de la carga 3/* ee
En un experimento Hall con =1/3
Shot noise measurements
||2 IqS (W. Schottky 1918)
32
e
I
Sq
carriers charge
Sistemas cuasi-unidimensionales
Quantum point contacts (QPC) Atomic contacts
V
Cuantización de la conductancia
VR
GVI1
h
enG
22
22en
hR
Quantum point contacts (QPC)
Contactos atómicos: cuantización de la conductancia
Au MCB, 4 K Pt MCB, 4 K
Histograma de AuSTM, 300 K
Sistemas cero-dimensionales ?
Puntos cuánticos
Efectos muy fuertes de interacción electrón-electrón
Coulomb blockade effects