El Método de la Matrix de Transferencia
Pedro Pereyra PadillaArea de Física Teórica y Materia Condensada
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F.
Resumen
Presentaremos una introducción al Método de la Matriz de Transferencia (MMT) y algunas aplicaciones en la teoría del transporte electrónico cuántico y en la opto-electrónica
Introducción
El objetivo de la matería condensada es explicar las propiedades del mundo material, especialmente las propiedades estructurales y electrónicas de sólidos y líquidos.
Debido a la complejidad y diversidad de los sistemas que se estudian en este campo, los formalismos teóricos se basan generalmente en modelos simples, deducciones intuitivas o en cálculos numéricos realistas, generalmente muy pesados.
Entre los físicos de la materia condensada, especialmente entre experimentalistas, se piensa como J. J. Thomson que “es preferible una teoría cuyas consecuencias se pueden seguir con facilidad que otra más fundamental pero inmanejable”
El método de la matriz de transferencia contradice, en cierto modo, esta idea. Es una herramienta útil que, además de ser muy intuitiva, hace manejable las ecua- ciones fundamentales de las teorías cuántica y electromagnética, especialmente en la descripción cuántica del transporte electrónico y las propiedades opto-electrónicas.
LEDs
Eg= h
B C
B V
VBE VCB
IE
IB
IC
electrones
Drain (D)
n n
electrodo de metalaislante oxido de metal
canal tipo N
sustrato tipo P
- +
+-
Source (S) SiO2
VGS
sustrato
ID
Gate (G)
+ + + + + +
VDS
fines1960’s
fines
1980’s
Quantum Well Lasers
Double Resonant Barriers
V(z)
zBC
BV
h
Laser con superred en la zona activa
Semiconductores
INDICEI. Introduccíon
a. La Matriz de Transferencia (MT) y su relación con la matriz Sb. La MT de la barrera rectangular y el pozo cuántico. Efecto tunel y
cuantización
II. La Teoría de Sistemas Periódicos Fínitos. a. Estructura de bandas. Aproximación de masa efectivab. semiconductores, dispositivos opto-electrónicos.
III. Paquetes Gaussianos en superredes ópticas
IV. Dinámica del spín en superredes magnéticas
V. Conclusiones
El Método de la Matrix de Transferencia
Pedro Pereyra PadillaArea de Física Teórica y Materia Condensada
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F.
il
sl
z1 z2
V(z)
r il + t’ irir
srr’ ir + t iln(z)
sl
sr
Introducción
La relación entre matriz de transferencia y la matriz S
1D
Introducción
'
'sl il il
sr ir ir
r tS
t r
Scattering matrix
La relación entre matriz de transferencia y la matriz S
il
sl
z1 z2
V(z)
r il + t’ irir
srr’ ir + t il
1D
Introducción
il
sl
z1 z2
V(z)
ir
sr
Transfer matrix
2 1 1
2 1( , )sr il il
ir sl slz z z
M z z
La relación entre matriz de transferencia y la matriz S
1D
Introducción
la relación entre matriz de transferencia y la matriz S
Antes de establecer la
Es necesario mencionar que:
i) de la Propiedad de Reversibilidad Temporal sigue
ii) del Principio de Coservación de Flujo sigue
†S S I †z zM M
*x xM M TS S
0
0x
I
I
0
0z
I
I
**
M
Introducción
2 1
'( , )
'ir il il il
ir il ir sl
r tM z z
r t
il
z1 z2
V(z)
irslr il + t’ ir
srr’ ir + t il
' 'il irr t r t
1 'il irr t
La relación entre matriz de transferencia y la matriz S
Introducción
En sistemas 1D ,… son escalares, en D y D son matrices NxN. Estos bloques o elementos de matrizy los de la matriz S se relacionan así:
1†t
1' 'r t 1
't r 1't
0
' ' 0
r t
r t
0
1 ' 0
r
t
La relación entre matriz de transferencia y la matriz S
il
z1 z2
V(z)
irslr il + t’ ir
srr’ ir + t il
Introducción
il
z1 z2
V(z)
irsl
sr
†
1t
1
r
Las amplitudes de transmisión y reflexión están dadas por las relaciones:
2†2
1T tt t
2 1( , )M z z
Los coeficientes de transmisión y reflexión están dadas por las relaciones:
La relación entre matriz de transferencia y la matriz S
2†2e
G Tr tt
tph E
Introducción¿Qué es la matriz de transferencia?
2mk E
0
2( )
mq V E
V(z)
z0 b
Vo
I II IIIE (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0
(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b
(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b
el pozo de potencial
a
la barrera de potencial
V(z)
z0 a
V0
2 2
2
( )( ) ( ) ( )
2
d zV z z E z
m dz
Introducción
(z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0
(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b
(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b
Estas soluciones deben satisfacer las condiciones a la frontera y las de continuidad.
Solo entonces conoceremos los coeficientes y tendremos la solución (z) para todo punto del sistema
V(z)
z0 b
Vo
I II IIIE
¿Qué es la matriz de transferencia?
Introducción¿Qué es la matriz de transferencia?
V(z)
z0 b
Vo
I II IIIE
(z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0
(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b
(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b
la barrera de potencial
V(z)
z0 b
Vo
II
a1eikz
b1e-ikz
a3eikz
b3e-ikz
Introducción
(z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0
(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b
(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b
funciones de onda y vectores de onda
(z) = a1eikz + b1e-ikz 1
1
( )ikz
I ikz
a ez
b e
(z) = a2eqz + b2e-qz 2
2
qz
II qz
a ez
b e
z < 0
0 < z < b
¿Qué es la matriz de transferencia?
V(z)
z0 b
Vo
II
a1eikz
b1e-ikz
a3eikz
b3e-ikz
Introducción
(z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0
(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b
(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b
Regresemos a las condiciones de frontera y de continuidad.
Continuidad en z = 0
a2 +b2 = a1 + b1
q a2– q b2= ik a1– ik b1
2 1
2 1
1 1 1 1a a
b bq q ik ik
I (0) = II (0) ’I’(0) =’ II (0)
V(z)
z0 b
Vo
I II IIIE
¿Qué es la matriz de transferencia?
Introducción
(z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0
(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b
(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b
II (0) =I (0) ’ II (0)
=’I’(0)2 1
2 1
1
2
a aq ik q ik
b bq ik q ikq
2 1
2 1
0 ,0a a
Mb b
1
1
1
ikz
ikz
a ez
b e
V(z)
z0 b
Vo
I II IIIE
Estas soluciones deben satisfacer las condiciones a la frontera y las de continuidad.
Continuidad en z = 0
¿Qué es la matriz de transferencia?
1
2pb
q ik q ikM
q ik q ikq
Introducción¿Qué es la matriz de transferencia?
(z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0
(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b
(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b
Continuidad en z = b
a3eikb +b3e-ikb = a2eqb + b2e-qb
13 2
3 2
1 1 1 1kb qb
ikb qb
a e a e
ik ik q qb e b e
III (b) = II (b) ’III’(b) =’ II (b)
ik a3eikb –ik b3e-ikb = q a2eqb - q b2e-qb
V(z)
z0 b
Vo
I II IIIE
Introducción
(z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0
(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b
(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b
Continuidad en z = b
a3eikb +b3e-ikb = a2eqb + b2e-qb
II (b) = II (0) ’I’(0) =’ II (0)
ik a3eikb –ik b3e-ikb = q a2eqb - q b2e-qb
3 2
3 2
1
2
ikb qb
ikb qb
a e a ek iq k iq
k iq k iqkb e b e
3 2
3 2
,ikb qb
ikb qb
a e a eM b b
b e b e
V(z)
z0 b
Vo
I II IIIE
¿Qué es la matriz de transferencia?
1
2bp
k iq k iqM
k iq k iqk
V(z)
z0 b
Vo
II
a1eikz
b1e-ikz
a3eikz
b3e-ikz
Introducción
11
0 ,02
q ik q ikM
q ik q ikq
2 11
2 1
0 ,0a a
Mb b
31
,2
k iq k iqM b b
k iq k iqk
3 23
3 2
,ikb qb
ikb qb
a e a eM b b
b e b e
2 22
22
,0qb
qb
a e aM b
bb e
2 2
22
0
0
qb qb
qb qb
a e ae
bb e e
2
0,0
0
qb
qb
eM b
e
¿Qué es la matriz de transferencia?
Introducción
2 11
2 1
0 ,0a a
Mb b
3 23
3 2
,ikb qb
ikb qb
a e a eM b b
b e b e
2 22
22
,0qb
qb
a e aM b
bb e
3 23 2
23
, ,0ikb
ikb
a e aM b b M b
bb e
3 23
3 2
,ikb qb
ikb qb
a e a eM b b
b e b e
3 1
3 2 113
, ,0 0 ,0ikb
ikb
a e aM b b M b M
bb e
¿Qué es la matriz de transferencia?
3 1 13 2 1
1 13
, ,0 0 ,0 ,0ikb
bikb
a e a aM b b M b M M b
b bb e
V(z)
z0 b
Vo
II
a1eikz
b1e-ikz
a3eikz
b3e-ikz
Introducción
2 11
2 1
0 ,0a a
Mb b
3 23
3 2
,ikb qb
ikb qb
a e a eM b b
b e b e
2 22
22
,0qb
qb
a e aM b
bb e
¿Qué es la matriz de transferencia?
3 2 1,0 , ,0 0 ,0bM b M b b M b M
Propiedad multiplicativa de la matriz de transferencia
V(z)
z0 b
Vo
II
a1eikz
b1e-ikz
a3eikz
b3e-ikz
Introducción
(z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0
(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b
(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b
2 2 2 2
2 2 2 2
cosh sinh sinh2 2
,0
sinh cosh sinh2 2
b
k q k qqb i qb i qb
kq kqM b
k q k qi qb qb i qb
kq kq
¿Qué es la matriz de transferencia?
V(z)
z0 b
Vo
II
a1eikz
b1e-ikz
a3eikz
b3e-ikz
3 1
13
,0ikb
bikb
a e aM b
bb e
1* *
1
b b
b b
a
b
Coeficiente de transmisión y función de onda y en la barrera
V(z)
z0 b
Vo
II
a1eikz
b1e-ikz
a3eikz
Puesto que
* *
1 1b
b
t t
2 2
1
cosh sinh2
btk q
qb i qbkq
*b b bT t t
para una barrera de AlGaAs
22 2
2 22 2
1
cosh sinh4
bTq k
qb qbq k
Tb1.0
0.5
0.5 1.0
E [eV]
Vo = 0.23[eV]
b = 100 nm
¿Cuál es la función de onda?
Coeficiente de transmisión y función de onda y en la barrera
V(z)
z0 b
Vo
II
a1eikz
b1e-ikz
a3eikz13
* *10
ikbb b
b b
aa eb
* *1 1 0b ba b
*
1 1*b
b
b a
*
3 1*ikb b
b bb
a e a
1 1b ra
3 1*
1 ikb
b
a a e
3 1ikba ta e
(z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0
(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b
*
1 1 *ikz ikzz a e e
( )1 *
1 ik z bIII z a e
Coeficiente de transmisión y función de onda y en la barrera
V(z)
z0 b
Vo
II
a1eikz
b1e-ikz
a3eikz
2 1
2 1
1
2
a aq ik q ik
b bq ik q ikq
*
1 1 *ikz ikzz a e e
( )1 *
1 ik z bIII
b
z a e
(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b
* *
1 * *1 cosh 1 sinhII
kz a qz i qz
q
Coeficiente de transmisión y función de onda y en la barrera
*
1 1 *ikz ikzz a e e
( )1 *
1 ik z bIII
b
z a e
* *
1 * *1 cosh 1 sinhII
kz a qz i qz
q
¿Cómo es la matriz de transferencia en barreras con perfil arbitrario?
Barrera con perfil arbitrario
¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?
Las matricesde transferencia se utilizan para estudiar una gran diversidad de sistemas cuyos perfiles de potencial pueden ser simples o de gran complejidad
Double Resonant Barriers
BC
BV
¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?
Las matricesde transferencia se utilizan para estudiar una gran diversidad de sistemas cuyos perfiles de potencial pueden ser simples o de gran complejidad
M1
…z0 z1 z2 zn-1 zn
il
M2 MnM3
til
Sistemas desordenados D
PM, PP, NK, Ann Phys. 181, 290, 1988, …
¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?
Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos:
i) Para estudiar el pozo de potencial
V(z)
z0 a
V0
¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?
Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos:
i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial
ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF)
a) Superredes semiconductoras
¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?
Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos:
i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial
lc
lc subbandas
ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF)
a) Superredes semiconductoras
¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?
Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos:
i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial
RTBT con superred en la base
RTBT: Transistor Bipolar con Tunelamiento Resonante
ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF)
a) Superredes semiconductoras, utilizadas en el transporte electrónico en sistemas heteroestructurados.
¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?
Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos:
i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial
lc
lc
subbandas
ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF)
a) Superredes semiconductoras, utilizadas en láseres con superred en la zona activa
¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?
Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos:
i) Para estudiar otro de los sistemas básicos, el pozo de potencial
z0 z1 z2 zn-1 zn
il
…
tnil
ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF)
a) Superredes semiconductoras
b) Sistemas periódicos de perfíl arbitrario
el pozo de potencial
V(z)
z0 a
V0
V(z)
z0 b
Vo
II
1
2pb
q ik q ikM
q ik q ikq
1
2bp
k iq k iqM
k iq k iqk
3( , )M a a 1
2pb
q ik q ikM
q ik q ikq
11
(0 ,0 )2bp
k iq k iqM M
k iq k iqk
¿Qué podemos aprovechar de la barrera de potencial?
el pozo de potencial
V(z)
z0 a
V0
Falta aquí la matriz que propaga la información física de 0+ a a- , es decir
2 22
22
,0ika
ika
a e aM a
bb e
2 2
22
0
0
ika ika
ika ika
a e ae
bb e e
2
0,0
0
ika
ika
eM a
e
3( , )M a a 1
2pb
q ik q ikM
q ik q ikq
11
(0 ,0 )2bp
k iq k iqM M
k iq k iqk
el pozo de potencial
V(z)
z0 a
V0
1(0 ,0 )M 1
2bp
q ik q ikM
q ik q ikq
31
( , )2pb
k iq k iqM M a a
k iq k iqk
2
0,0
0
ika
ika
eM a
e
3 2 1,0 , ,0 0 ,0aM a M a a M a M
2 2 2 2
2 2 2 2
cos sin sin2 2
,0
sin cosh sin2 2
a aa
a a
q k k qka ka ka
kq kqM a
k q q kka qb ka
kq kq
V(z)
z0 a
V0
,0 a aa
a a
M a
3 1
13
qaa a
qaa a
a e a
bb e
1
3
0
0a a
qaa a
a
b e
La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0
a1 eqz
b1 e-qz
a3 eqz
b3 e-qz
a
b3 e-qa = aa1
eigenvalores y eigenfunciones en el pozo
V(z)
z0 a
V0
,0 a aa
a a
M a
3 1
13
qaa a
qaa a
a e a
bb e
La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0
a1 eqz
b1 e-qz
a3 eqz
b3 e-qz
a
2 2
cos sin 02
q kka ka
kq
2 2
cot2
k qka
kq
eigenvalores y eigenfunciones en el pozo
a = nm
0 a
Vo = 0.23 eV
V(z)
z0 a
V0
,0 a aa
a a
M a
3 1
13
qaa a
qaa a
a e a
bb e
1
3
0
0a a
qaa a
a
b e
La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0
a1 eqz
b1 e-qz
a3 eqz
b3 e-qz
a
b3 e-qa = aa1
a = nm Vo = 0.23 eV
eigenvalores y eigenfunciones en el pozo
,0 a aa
a a
M a
3 1
13
qaa a
qaa a
a e a
bb e
La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0
a
b3 e-qa = aa1
1qz
I z a e
( )1
1 q z aIII
a
z a e
1( ) cos sinIIq
z a kz kzk
V(z)
z0 a
V0a1 eqz
b1 e-qz
a3 eqz
b3 e-qz
a = nm Vo = 0.6 eV
eigenvalores y eigenfunciones en el pozo
,0 a aa
a a
M a
3 1
13
qaa a
qaa a
a e a
bb e
La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0
1qz
I z a e
( )1
1 q z aIII
a
z a e
1( ) cos sinIIq
z a kz kzk
V(z)
z0 a
V0a1 eqz
b1 e-qz
a3 eqz
b3 e-qz
a = nm Vo = 0.6 eV
a = nm
0 a
Vo = 0.23 eV
eigenvalores y eigenfunciones en el pozo
Sistemas Periódicos
El cálculo de los niveles de energía y de las eigenfunciones es el problema más importante en la descripción cuántica de los sólidos cristalinos
Todos los modelos diseñados para el cálculo de los niveles de energía de sistemas periódicos, como el modelo de electrones cuasi-libres, el de Kronig-Penney, los cálculos numéricos con pseudopotenciales, etc. concluyen que los niveles están agrupados en bandas contínuas (Teorías de Bandas Contínuas)
Teoría Standard
El teorema de Bloch (rigurosamente válido sólo cuando el sistema es infinito!!) establece que las funciones de onda de los sistemas periódicos son de la forma
1( ) ( ) ( ) ( )Di ikze u z e u z k rr r
Teoría de Sistemas Periódicos Finitos
Utilizando el método de la matriz de transferencia, sin necesidad de las funciones de Bloch ni del espacio recíproco, se deducen fórmulas compactas y cerradas para la evaluación de los eigenvalores y eigenfunciones de los sistemas periódicos. Mostraremos que ni las bandas son contínuas ni las eigenfunciones periódicas!!
1 (1 )n
n R
TT
T U T
0.1 0.2 0.3
eV
0.5
1
T n
n 1
n 2
n 3
n 5
n 10
El coeficiente de transmisión al variar el número de celdas
E
Sistemas Periódicos
…
V(z)
z0 z1 z2
…zn-1 z
n
z3
Si conocemos la MT de una celda unitaria
lc
M
Mn (zn ,z0 ) = M(zn ,zn-1 ) M(zn-1 ,zn-2 ) … M(z3 ,z2 ) M(z2 ,z1 ) M(z1 ,z0 )
* *
* * * * * * * *...
n
* *
n nn
n n
M
Sistemas Periódicos
…
V(z)
z0 z1 z2
…zn-1 z
n
z3lc
Mn = M Mn-1
1 1
* * * ** *1 1
n n n n
n n n n
nn-1n-1
nn+1n
nn+1n
pn-1 = -1 n
npn pn-1
n= pn-1
npn pn-1
npn pn-1
Sistemas Periódicos
…
V(z)
z0 z1 z2
…zn-1 z
n
z3lc
Mn = M Mn-1
1 1
* * * ** *1 1
n n n n
n n n n
nn-1n-1
n= pn-1
nn-1 +
n-1pn - pn-1 -1n-1+ (pn-1 – pn-
2)
npn pn-1
npn pn-1pn - pn-1 pn-2+ (pn-1 – pn-2)
pn – () pn-1 pn-2 pn – () pn-1 pn-2
pn = Un(r)
Sistemas Periódicos
…
V(z)
z0 z1 z2
…zn-1 z
n
z3lc
Mn = M Mn-1
1 1
* * * ** *1 1
n n n n
n n n n
n= pn-1
npn pn-1
pn = Un(r)
†
1t
**
1r
2
2
1
1n
n n
T tp p
†1
1 1n
n n n
tp p
1 (1 )n
n R
TT
T U T
0.1 0.2 0.3
eV
0.5
1
T n
n 1
n 2
n 3
n 5
n 10
El coeficiente de transmisión al variar el número de celdas
E
il
…
tnil
1 (1 )nn R
TT
T U T
2
1
( )n
n R
G GU
11n np
*1n n np p
* *M
cosR n
* *n n
nn n
M
Which are the most relevant results of the TFPS?
tph E
†
1*†
11
nnn
npp
t
†nnn ttT
†2
Tr2
nntte
G
0)(1 RnU ,E
resonant energies
one cell
* *M
n cells * *n n
nn n
M
z0 z1 z2 zn-1 znM M M
il
…
tnil
Which is the main idea of this TFPS?
definition of M
eigenfunctionstransition probabilitiesoptical response…
)(
)(
)(
)(
o
o
zz
zz
z
z
z
z
)()()( zzz
transport propertiestunnelling timesenergy eigenvalues
†
1
n
nt
scattering approach
transport propertiestunnelling timesenergy eigenvalues
z
Eigenvalues and eigenfunctions
022 1
2222
n
wIR
wIn U
kq
kq
kq
kqU ww
V o0.23 eVV w 0.44 eV
lc13nm
zo zn
k
qi
k
qiAEz
wjppjpp
wjppjpp
1
1),(
*
*,