EL PROBLEMA DE CAUCHY ASOCIADO A UNAECUACION GENERALIZADA DE SCHODINGER.
Luz Anglea Florez Olarte.Codigo:830209
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS
MATEMATICASBOGOTA
2009
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EL PROBLEMA DE CAUCHY ASOCIADO A UNAECUACION GENERALIZADA DE SCHRODINGER.
LUZ ANGELA FLOREZ OLARTE
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al tıtulo deMagister en Matematicas
DirectorGUILLERMO RODRIGUEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICASBOGOTA
2009
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TITULO EN ESPANOL:El problmea de Cauchy asociado a una ecuacion generalizada de SchrodingerTITULO EN INGLES:Cauchy’s problema associated to Schrodinger’s generalized equiation
Resumen: El proposito de este trabajo es estudiar el buen planteamiento enlos espacios de Sobolev periodicos Hs(T) y no periodicos Hs(ℝ) para s > 1
2
del problema de valor inicial asociado a la ecuacion de Schrodinger con no-linealidad de tipo no local.
Mas presisamente, en el trabajo, tratamos el problema de Cauchy asociadoal problema de valor inicial
ivt + vxx + �u∣v∣�−1v = 0,
u− �2∂2xxu = ∣v∣�+1,
v(0) = v0, (1)
donde � > 0, � = 1, 3, 5, 7, ..., y � = ±1.
Exactamente, estudiamos ciertas propiedades de las soluciones de (1) comoel buen planteamiento local y global en los espacios de Sobolev en Hs paras > 1
2y � = 1, 3, 5, 7, ... tanto en el caso periodico como no periodico, a partir
de estudiar la ecuacion integral asociada a (1) y via el teorema del punto fijode Banach, demostramos el buen planteamiento local de (1) en Hs tanto en elcaso periodico como no periodico para s > 1
2. Finalmente probamos que (1)
es globalmente bien planteado en Hs en el caso periodico como no periodicopara s = 1 y � = 1, 3, 5, 7, ... con �± 1 a partir de las leyes de conservacion
N(v) = ∣∣v(., t)∣∣20 = ∣∣�∣∣2Z0
H(v) = ∣∣vx∣∣20 − �∫ ∞−∞
u(x, t)∣v(x, t)∣�+1
� + 1dx
En este caso para ciertos valores de � la solucion de (1) existe en todo tiemposi el dato inicial es suficientemente pequeno,Palabras Claves: Problema de Cauchy, espacios de Sobolev, ecuacion deSchrodinger, local y globalmente bien planteado.
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KEY WORDS AND PHRASES:
Cauchy’s problem, Sobolev’s spaces, Schrodinger equation, local and glob-ally well posednessFIRMA DEL DIRECTOR:
Luz Angela Forez Olarte 1980
Indice general
1. Notacion 7
2. El problema Lineal 9
3. El Problema Local 12
4. El Problema Global 20
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INTRODUCCION
La ecuacion no lineal de Schrodinger
ivt + Δv + ∣v∣2�v = 0,
v(0) = v0, (2)
Sirve para describir la propagacion de un rayo laser en un medio opticono lineal cuyo indice de refraccion es proporcional a la intensidad de onda,de igual manera la ecuacion no lineal de Shrodinger tambien moldea otrosfenomenos como las ondas de agua en superficies de un fluido ideal, las caidasde plasma.En este trabajo trataremos el buen planteamiento en los espacios de Sobolevperiodicos y no periodicos del problema de valor inicial
ivt + vxx + �u∣v∣�−1v = 0,
u− �2∂2xxu = ∣v∣�+1,
v(0) = v0, (3)
con � > 0, � = 1, 3, 5, 7, ..., y � = ±1Observe que (3) es una generalizacion de la ecuacion no lineal de Schrodingercuando � = 0. El problema de valor inicial (3) fue propuesto en [1] y en dichotrabajo los autores hacen un estudio de existencia y unicidad del problemaen los espacios Lr(ℝd) para 1 ≤ � ≤ 3. En nuestro caso trataremos el buenplanteamiento de (3) en los espacios de Sobolev Hs tanto periodicos comono periodicos para s > 1
2y � = 1, 3, 5, 7, ...
El trabajo esta Estructurado de la siguiente manera: en el primer capitulose presenta la notacion que se utilizara a lo largo del documento, en el se-gundo capıtulo estudiaremos la solucion del problema lineal, el capıtulo tresaborda la buena colocacion local del problema (3) en Hs con s > 1/2, en elcapıtulo 4 se estudio la buena colocion global del problema (3) en espacios de
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sobolev tanto periodicos como no periodicos para � = 1, 3, 5, 7, ... en H1 con∣∣vx∣∣20 suficientemente pequeno y finalmente se presenta un apendice dondese describen algunos resultados que fueron utilizados para el desarrollo deeste trabajo.
Capıtulo 1
Notacion
En esta parte del trabajo se muestra la notacion que se utiliza a lo largo deldocumento.
∣∣.∣∣X notara la norma en el Espacio de Banach X
I = [0, T ]
C(I;X) es el espacio de las funciones continuas de I en el espacio deBanach X dotado de la norma ∣∣f ∣∣∞,X = supt∈I ∣∣f(t)∣∣X
T ≃ ℝ/2�ℤ
S(ℝ) es el espacio de Schwartz,
S ′(ℝ) es el espacio de las distribuciones Temperadas
P = ℂ∞(T); es el espacio de las funciones infinitamente diferenciablesdefinidas en T con valores complejos
P ′ es el espacio de la distribuciones Periodicas.
Para f ∈ S ′, f notara la transformada de Fourier
B(X, Y ) es el espacio de los operadores lineales acotados de X en Y ,donde X, Y so espacios de Banach
Para f ∈ P ′, f es la transformada de Fourier
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∣∣.∣∣LP (X), 1 ≤ p ≤ ∞ notara la norma del espacio LP (X) donde X = ℝo X = T; en el caso de ser p = 2 notaremos esta norma por ∣∣.∣∣0 en vezde ∣∣.∣∣L2(X)
Hs(X), X = ℝ o X = T; notara el espacio de Sobolev de orden s ∈ ℝ,dotado de la norma ∣∣f ∣∣s = ∣∣(1 − ∂2x)
s/2f ∣∣0 y del producto interno⟨f, g⟩s = ⟨(1−∂2x)s/2f, ((1−∂2x)s/2g)⟩0 donde ⟨, ⟩0 es el producto intenoen L2(X)
Capıtulo 2
El problema Lineal
En este capıtulo trataremos con el problema de Cauchy asociado a la partelineal de la ecuacion (3), tanto en el caso periodico como en el no periodico.Es decir, consideraremos el problema de valor inicial
vt = i∂2xv,
v(0) = � ∈ Hs, (2.1)
donde, x ∈ ℝ o x ∈ T y es tal que
v(t) = eit∂2x� = (e−it�
2
�) = V(t)� (2.2)
es la unica solucion. Mas precisamente, tenemos el siguiente resultado cuyademostracion puede ser encontrada en [3], sin embargo presentaremos unesbozo de ella en el caso no periodico. La prueba en el caso periodico esesencialmente la misma.
Teorema 2.1. v dada por (2.2) es la unica solucion de (2.1). Es decir,v ∈ C([0, T ], Hs) es la unica que satisface
lımℎ→0
∥∥∥∥v(t+ ℎ)− v(t)
ℎ− i∂2xv(t)
∥∥∥∥s−2
= 0. (2.3)
Demostracion. Sea t ≥ 0 y ℎ > 0. Entonces,∥∥∥∥v(t+ ℎ)− v(t)
ℎ− i∂2xv(t)
∥∥∥∥2s−2
=
∫ +∞
−∞(1 + �2)s−2
∣∣∣∣∣e−i�2ℎ − 1
ℎ+ i�2
∣∣∣∣∣2
∣�(�)∣2d�. (2.4)
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Como, ∣∣∣∣∣e−i�2ℎ − 1
ℎ
∣∣∣∣∣ ≤ 2∣�2∣
tenemos que (2.4) es acotado por∥∥∥∥v(t+ ℎ)− v(t)
ℎ− i∂2xv(t)
∥∥∥∥2s−2≤ 4
∫ℝ(1 + �2)s−2∣�2∣2∣�∣2d�
Como∣�2∣2
(1 + �2)2≤ N , para alguna N > 0 y ∀� ∈ ℝ la desigualdad anterior
se transforma en ∥∥∥∥v(t+ ℎ)− v(t)
ℎ− i∂2xv(t)
∥∥∥∥2s−2≤ 4N ∣∣�∣∣2s (2.5)
La desigualdad (2.5) ye−i�
2ℎ − 1
ℎ+i�2 = 0 nos permite obtener el limite por la
derecha gracias al teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Para ellimite por la izquierda se procede analogamente. La unicidad es consecuenciade observar que si v es solucion de (2.1) entonces ∥v∥s = ∥�∥s, pues ∂t ∥v∥2s =2Re ⟨i∂2xv, v⟩s = 0 □
Teorema 2.2. La aplicacion t ∈ [0,∞] −→ V(t) ∈ B(Hs) es un grupo uni-tario fuertemente continuo.
Demostracion. Este resultado es consecuencia de:
1. La identidad,
∣∣V(t)�∣∣2s =
∫ℝ(1 + �2)s∣e−it�2�∣2d� =
∫ℝ(1 + �2)s∣�∣2d� = ∣∣�∣∣2s
para toda � ∈ Hs y t ∈ ℝ, implica que V(t) ∈ B(Hs) y que V(t) esuna isometrıa, t ∈ ℝ. Resta probar que V(t) es sobre para todo t ∈ ℝ,en efecto, para t ∈ ℝ y ' ∈ Hs se tiene que � = e−i∂
2x' ∈ Hs por tanto
V(t)� = eit∂2x(e−it∂
2x')
= eit∂2x [(eit�
2
')]
= [e−it�2
eit�2
']
= '
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Luego V(t) es unitario para todo t ∈ ℝ
2. V(0) = � para todo � ∈ Hs
3.
V(t+ w)� = [e((t+w)(−i�2))]�]
= [e−ti�2
e−wi�2
�]
= V(t)[V(w)�]
para todo t, w ∈ ℝ, y toda � ∈ Hs
4. La desigualdad,
∣∣eti∂2x�− eiw∂2x�∣∣2s = ∣∣(e−it�2�)− (e−iw�2
�)∣∣2s= ∣∣[(e−it�2�)− (e−iw�
2
�)]∣∣2s= ∣∣[(e−it�2 − e−iw�2)�]∣∣2s
=
∫ℝ(1 + �2)s∣(e−it�2 − e−iw�2)�∣2d�
≤ 4∣∣�∣∣2s,
para todo t, w ∈ ℝ, y toda � ∈ Hs, y el teorema de convergenciadominada de Lebesgue implican que, ∣∣eti∂2x�− ewi∂2x�∣∣2s → 0 si t→ w
□
Capıtulo 3
El Problema Local
En este capıtulo abordaremos el buen planteamiento local del problema (3)el cual escribiremos en la siguiente forma mas comoda para trabajar
vt = i∂2xv + iF (v),
v(0) = �, (3.1)
donde F (v) = �u∣v∣�−1v, � = 2m + 1,m = 1, 2, 3, ..., u es dado por(3) y� = ±1 . Comenzamos observando que el problema de valor inicial (3.1) esequivalente a la ecuacion integral
v(t) = ei∂x2t�+ i
∫ t
0
ei(t−�)∂2xF (v(�))d�. (3.2)
Mas exactamente, tenemos:
Teorema 3.1. El problema (3) es equivalente a la ecuacion integral (3.2).Mas precisamente, si v ∈ C([0, T ];Hs) es una solucion de (3) entonces vsatisface (3.2). Reciprocamente, si v ∈ C([0, T ];Hs(ℝ)) es una solucion de(3.2) entonces v ∈ C1([0, T ];Hs−2) y satisface (3).
Demostracion. Supongamos que v ∈ C([0, T ];Hs(ℝ)) es solucion de (3.1) enHs−2(ℝ), entonces el metodo de variacion de parametros y el hecho de serV un grupo implican el resultado. Resta ver que si v ∈ C([0, T ];Hs(ℝ)) essolucion de la ecuacion integral (3.2) entonces v ∈ C1([0, T ];Hs−2) es solucionla ecuacion diferencial (3), es decir veamos que,
lımℎ→0
∥∥∥∥v(t+ ℎ)− v(t)
ℎ− iAv(t)− F (v(t))
∥∥∥∥s−2
= 0,
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donde A = ∂2x. Observe que esto es consecuencia de la desigualdad triangular,de las propiedades del grupo y del teorema de la convergencia dominada deLebesgue. □
Para una prueba mas detallada de este Teorema en el caso periodico puedeconsultarse [3]. A continuacion estableceremos un resultado que es impor-tante en la prueba del buen planteamiento local de (3.1)
Lema 3.2.
∣∣F (v)− F (w)∣∣s ≤ L(∣∣v∣∣s, ∣∣w∣∣s)∣∣v − w∣∣s, s > 1/2, (3.3)
donde F es dado como en (3.1) y L es un polinomio homogeneo de grado4m+ 2.
Demostracion. Sean u = (1 − �2∂2x)−1∣v∣2m+2 y z = (1 − �2∂2x)
−1∣w∣2m+2,entonces,
F (v)− F (w) = u∣v∣2mv − z∣w∣2mw= u∣v∣2mv + z∣v∣2mv − z∣v∣2mv − z∣w∣2mw= ∣v∣2mv(u− z) + z(∣v∣2mv − ∣w∣2mw).
Aplicando la norma de Hs a esta identidad, la desigualdad triangular, el lemade Sobolev, pues s > 1/2 y substituyendo u, z tenemos:
∣∣F (v)− F (w)∣∣s = ∣∣∣v∣2mv(u− z) + z(∣v∣2mv − ∣w∣2mw)∣∣s≤ ∣∣∣v∣2mv(u− z)∣∣s + ∣∣z∣∣s∣∣∣v∣2m − ∣w∣2mw∣∣s≤ ∣∣∣v∣2mv∣∣s∣∣(u− z)∣∣s + ∣∣z∣∣s∣∣∣v∣2mv − ∣w∣2mw∣∣s≤ ∣∣∣v∣2m+1∣∣s∣∣(u− z)∣∣s + ∣∣z∣∣s∣∣∣v∣2mv − ∣w∣2mw∣∣s= ∣∣∣v∣2m+2 − ∣w∣2m+2∣∣s︸ ︷︷ ︸
II
∣∣v∣∣2m+1s
+ ∣∣w∣∣2m+2s ∣∣∣v∣2mv − ∣w∣2mw∣∣s︸ ︷︷ ︸
I
(3.4)
Procedemos a estimar I y II en el lado izquierdo de la desigualdad anterior.Comenzaremos con I,
∣∣∣v∣2mv − ∣w∣2mw∣∣s = ∣∣∣v∣2mv − ∣v∣2mw + ∣v∣2mw − ∣w∣2mw∣∣s≤ ∣∣∣v∣2mv − ∣v∣2mw∣∣s + ∣∣∣v∣2mw − ∣w∣2mw∣∣s= ∣∣∣v∣2m(v − w)∣∣s + ∣∣w(∣v∣2m − ∣w∣2m)∣∣s≤ ∣∣∣v∣2m∣∣s∣∣(v − w)∣∣s + ∣∣w∣∣s ∣∣∣v∣2m − ∣w∣2m∣∣s︸ ︷︷ ︸
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como
∣v∣2m − ∣w∣2m = (∣v∣2 − ∣w∣2)((v.v)m−1 + (v.v)m−2w.w + (v.v)m−3(w.w)2 +
+ ...+ (v.v)(w.w)m−2 + (w.w)m−1)
= (∣v∣2 − ∣w∣2)[∣v∣2m−2 + ∣v∣2m−4∣w∣2︸ ︷︷ ︸+∣v∣2m−6∣w∣4 + ...+ ∣v∣2∣w∣2m−4 + ∣w∣2m−2︸ ︷︷ ︸
G(v,w)
]
= (v.v + vw − vw − ww)G(v, w)
= [v(v − w) + w(v − w)]G(v, w)
= v(v − w)G(v, w) + w(v − w)G(v, w).
Observe que,
∣∣∣v∣2m − ∣w∣2m∣∣s = ∣∣v(v − w)G(v, w) + w(v − w)G(v, w)∣∣s≤ ∣∣v(v − w)G(v, w)∣∣s + ∣∣w(v − w)G(v, w)∣∣s≤ ∣∣v∣∣s∣∣v − w∣∣s∣∣G(v, w)∣∣s + ∣∣w∣∣s∣∣v − w∣∣s∣∣G(v, w)∣∣s= (∣∣G(v, w)∣∣s∣v∣∣s + ∣∣G(v, w)∣∣s∣w∣∣s)∣∣v − w∣∣s
donde (3.5)
∣∣G(v, w)∣∣s = ∣∣∣v∣2m−2 + ∣v∣2m−4∣w∣2 + ∣v∣2m−6∣w∣4 + ...
+ ∣v∣2∣w∣2m−4 + ∣w∣2m−2∣∣s≤ ∣∣v∣∣2m−2s + ∣∣v∣∣2m−4s ∣∣w∣∣2s + ∣∣v∣∣2m−6s ∣∣w∣∣4s + ...
+ ∣∣v∣∣2s∣∣w∣∣s2m−4 + ∣∣w∣∣2m−2s
Por lo tanto
∣∣G(v, w)∣∣s∣v∣∣s = ∣∣v∣∣2m−1s + ∣∣v∣∣2m−3s ∣∣w∣∣2s + ∣∣v∣∣2m−5s ∣∣w∣∣4s + ...
+ ∣∣v∣∣3s∣∣w∣∣s2m−4 + ∣∣w∣∣2m−2s y
∣∣G(v, w)∣∣s∣w∣∣s = ∣∣v∣∣2m−2s ∣∣w∣∣s + ∣∣v∣∣2m−4s ∣∣w∣∣3s + ∣∣v∣∣2m−6s ∣∣w∣∣5s + ...
+ ∣∣v∣∣2s∣∣w∣∣s2m−3 + ∣∣w∣∣2m−1s
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luego,
∣∣G(v, w)∣∣s∣v∣∣s + ∣∣G(v, w)∣∣s∣w∣∣s = ∣∣v∣∣2m−1s + ∣∣v∣∣2m−2s ∣∣w∣∣s + ∣∣v∣∣2m−3s ∣∣w∣∣2s︸ ︷︷ ︸+ ∣∣v∣∣2m−4s ∣∣w∣∣3s + ∣∣v∣∣2m−5s ∣∣w∣∣4s+︸ ︷︷ ︸+ ∣∣v∣∣2m−6s ∣∣w∣∣5s + ...+ ∣∣v∣∣3s∣∣w∣∣s2m−4︸ ︷︷ ︸+∣∣v∣∣2s∣∣w∣∣s2m−3 + ∣∣w∣∣2m−2s + ∣∣w∣∣2m−1s︸ ︷︷ ︸
H(∣∣v∣∣s,∣∣w∣∣s)
Por tanto
∣∣∣v∣2mv − ∣w∣2mw∣∣s ≤ ∣∣v − w∣∣s(H(∣∣v∣∣s, ∣∣w∣∣s))∣∣w∣∣s∣∣v2m+1 − w2m+1∣∣s ≤ (∣∣v∣∣2ms + ∣∣v∣∣2m−1s ∣∣w∣∣s + ∣∣v∣∣2m−2s ∣∣w∣∣2s
+ ...+ ∣∣v∣∣2s∣∣w∣∣2m−2s + ∣∣v∣∣s∣∣w∣∣2m−1s + ∣∣w∣∣s)∣∣v − w∣∣s≤ (∣∣v∣∣2ms + ∣∣w∣∣sH(∣∣v∣∣s, ∣∣w∣∣s))∣∣v − w∣∣s
entonces
∣∣w∣∣2m+2s (∣∣v2m+1 − w2m+1∣∣s) ≤ ∣∣w∣∣2m+2
s (∣∣v∣∣2ms + ∣∣w∣∣sH(∣∣v∣∣s, ∣∣w∣∣s))∣∣v − w∣∣s= (∣∣w∣∣2m+2
s ∣∣v∣∣2ms + ∣∣w∣∣2m+3s H(∣∣v∣∣s, ∣∣w∣∣s))∣∣v − w∣∣s.
Analogamente, estimaremos II.
∣∣∣v∣2m+2 − ∣w∣2m+2∣∣s ≤ ∣∣v − w∣∣s(∣∣∣v∣2m+1 + ∣v∣2m∣w∣+ ∣v∣2m−1∣w∣2
+ ∣v∣2m−2∣w∣2 + ...+ ∣w∣2m∣v∣+ ∣w∣2m+1∣∣)≤ ∣∣v − w∣∣s∣(∣v∣∣2m+1
s + ∣∣v∣∣2ms ∣∣w∣∣s + ∣∣v∣∣2m−1s ∣∣w∣∣2s+ ∣∣v∣∣2m−2s ∣∣w∣∣2s + ...+ ∣∣w∣∣2ms ∣∣v∣∣s + ∣∣w∣∣2m+1
s ∣∣)
Realizando unas cuentas similares a las de I llegamos a:
∣∣v2m+2−w2m+2∣∣ ≤ ∣∣u− v∣∣s(∣∣v∣∣2m+1s + ∣∣v∣∣2ms ∣∣w∣∣s +H(∣∣v∣∣s, ∣∣w∣∣s))∣∣w∣∣2s)
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Luego
∣∣F (v)− F (w)∣∣s ≤ ∣∣u− w∣∣s[∣∣w∣∣2m+2(∣∣v∣∣2ms + ∣∣w∣∣sH(∣∣v∣∣s, ∣∣w∣∣s))+ (∣∣v∣∣2m+1
s + ∣∣v∣∣2m∣∣w∣∣s) +H(∣∣v∣∣s, ∣∣w∣∣s)∣∣w∣∣2s]∣∣F (v)− F (w)∣∣s ≤ ∣∣v∣∣4m+2
s + ∣∣v∣∣4m+1s ∣∣w∣∣s + ∣∣v∣∣4ms ∣∣w∣∣2s + ∣∣v∣∣4m−1s ∣∣w∣∣3s + ...︸ ︷︷ ︸
+ ∣∣v∣∣2m+1s ∣∣w∣∣2m+1
s + ∣∣v∣∣2ms ∣∣w∣∣2m+2s + ∣∣v∣∣2m−1s ∣∣w∣∣2m+3
s + ...︸ ︷︷ ︸+ ∣∣w∣∣4m+2︸ ︷︷ ︸
L(∣∣v∣∣s,∣∣w∣∣s)
∣∣u− v∣∣s
entonces
∣∣F (v)− F (w)∣∣s ≤ L(∣∣v∣∣s, ∣∣w∣∣s)∣∣u− v∣∣
□
Observe que la desigualdad en (3.3) es valida para todo � ≥ 0.
Lema 3.3. Sea � ∈ Hs, s > 1/2. Entonces, existen Ts = T (∥�∥s) > 0 yv ∈ C([0, Ts];H
s) satisfaciendo la ecuacion integral 3.2.
Demostracion. Sean M,T > 0. Consideremos el espacio metrico completo
Xs(T ) = {v ∈ C([0, T ];Hs) :∥∥∥v(t)− eit∂2x�
∥∥∥s≤M, ∀t ∈ [0, T ]}, (3.6)
dotado de la metrica d(u, v) = supt∈[0,T ]
∥u(t)− v(t)∥s = ∣∣u − v∣∣∞,s y la apli-
cacion
(Ψv)(t) = eit∂2x�+ i
∫ t
0
ei(t−�)∂2xF (v(�))d� (3.7)
Una parte esencial de la prueba es probar que existe T > 0 tal que Ψ aplicaXs(T ) en si mismo y es una contraccion. Por tal razon hemos dividido laprueba en varias etapas, a saber:i. Ψv ∈ C([0, T ];Hs) si v ∈ Xs(T ). En efecto, esto es consecuencia de aplicarla norma de Hs a Ψ(v(t + ℎ)) − Ψ(v(t)), usar (3.7), posteriormente aplicarla desigualdad triangular teniendo en cuenta que V es un grupo y que Faplica Hs en si mismo. Finalmente, el teorema de la convergencia dominadade Lebesgue prueba este hecho.
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ii. Veamos que existe T1 > 0 tal que si 0 < T ≤ T1 y v ∈ Xs(T ) entoncesΨ(v(t)) ∈ Xs(T ). En efecto, el lema 3.3, la definicion de Xs(T ) en (3.6) y ladesiguandad triangular implican que∥∥∥Ψ(v(t))− eit∂2x�
∥∥∥s
=
∥∥∥∥eit∂2x�+ i
∫ t
0
ei(t−�)∂2xF (v(�))d� − eit∂2x�
∥∥∥∥s
≤∫ t
0
∥F (v(�))∥s d�
≤∫ t
0
L(∥v(t)∥s , 0) ∥v(t)∥s , d� (3.8)
como,
∥v(�)∥s =∥∥∥v(�)− eit∂2x�+ eit∂
2x�∥∥∥s≤∥∥∥v(�)− eit∂2x�
∥∥∥s
+∥∥∥eit∂2x�∥∥∥
s
≤M + ∥�∥s ,
si v ∈ Xs(T ), entonces (3.8) se tranforma en
∥Ψ(v(�))− V(�)�∥s ≤∫ t
0
L(M + ∣∣�∣∣s, 0)(M + ∣∣�∣∣s)d�
= L(M + ∥�∥s , 0)(M + ∥�∥s)t≤ L(M + ∥�∥s , 0)(M + ∥�∥s)T
(3.9)
Si elegimos T1 = ML(M+∥�∥s,0)(M+∥�∥s)
, tenemos lo requerido.
iii. Existe T2 > 0 tal que si 0 < T ≤ T2, Ψ es una contraccion en Xs(T ).En efecto, aplicamos la norma de Hs a Ψ(v(t)) − Ψ(w(t)), posteriormentela desigualdad triangular, el lemma 3.3, la definicion de Xs(T ) en (3.6) y
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usamos que V es grupo para obtener:
∣∣Ψ(v(t))−Ψ(w(t))∣∣s ≤∫ t
0
∥F (v(t))− F (w(t))∥s d� (3.10)
≤∫ t
0
L(∥v(�)∥s , ∣∣w(�)∣∣s)∣∣v(�)− w(�)∣∣sd�
≤∫ t
0
L(M + ∣∣�∣∣s,M + ∣∣�∣∣s)∣∣v(�)− w(�)∣∣sd�
≤ L(M + ∣∣�∣∣s,M + ∣∣�∣∣s)∫ t
0
∣∣v(�)− w(�)∣∣sd�
≤ L(M + ∣∣�∣∣s,M + ∣∣�∣∣s)Td(v, w).
Eligiendo,
T2 <1
L(M + ∣∣�∣∣s,M + ∣∣�∣∣s),
se obtiene lo requerido □
Haciendo 0 < T ≤ min{T1, T2}, i., ii., iii. implican el resultado.
Lema 3.4. La solucion obtenida en el lema 3.3 es unica y depende continu-amente del dato inicial �
Demostracion. Supongamos que u, v ∈ C([0, T ];Hs) son soluciones de (3.1)con datos iniciales , � respectivamente. Aplicando la norma Hs a
u(t)− v(t) = eit∂2x( − �) +
∫ t
0
ei(t−�)∂2x [F (u(�))− F (v(�))]d�,
usamos, la desigualdad triangular, el hecho de ser eit∂2x un grupo unitario en
Hs y el lema 3.3, para obtener:
19
∣∣u(t)− v(t)∣∣s ≤ ∣∣eit∂2x( − �)∣∣s +
∫ t
0
∣∣ei(t−�)∂2x [F (u(�))− F (v(�))]∣∣sd�
≤ ∣∣ − �∣∣s +
∫ t
0
∣∣ei(t−�)∂2x [F (u(�))− F (v(�))]∣∣sd�
≤ ∣∣ − �∣∣s +
∫ t
0
L(∣∣u∣∣s, ∣∣v∣∣s)∣∣u(�)− v(�)∣∣sd�
≤ ∣∣ − �∣∣s + L (∣∣u∣∣∞,s, ∣∣v∣∣∞,s)︸ ︷︷ ︸K
∫ t
0
∣∣u(�)− v(�)∣∣sd�
(3.11)
La desigualdad de Gronwall aplicada a (3.11) implica la unicidad, pues
∣∣u(t)− v(t)∣∣s ≤ ∣∣ − �∣∣seKt (3.12)
La dependencia continua es consecuencia de la continuidad del tiempo deexistencia de la solucion de ∣∣�∣∣s, de (3.6 ) y de (3.11) pero con K = L(∣∣�∣∣s+M, ∣∣�n∣∣s+M), donde �n → � en Hs y un en vez de v, donde un es la solucionde (3.1) con dato inicial �n. Ademas de observar que para n suficientementegrande K < L(∣∣�∣∣s +M, 1 + ∣∣�∣∣s +M). □
Teorema 3.5. El problema de valor inicial (3.1) es localmente bien planteadoen Hs para s > 1/2
Demostracion. Este resultado es consecuencia inmediata de los lemas 3.3,3.2 y 3.4. □
.Nota 3.1
Las demostraciociones de los lemas 3.2, 3.3 y 3.4, implican que el tiempode existencia Ts de la solucion de (3.1) es independiente de �.
En el caso periodico el teorema 3.5 es el mismo y su prueba es esen-cialmente la misma.
Capıtulo 4
El Problema Global
Lema 4.1. Los funcionales definidos en H1 son leyes de conservacion gen-eradas por (3),
N(v) = ∣∣v(., t)∣∣20 = ∣∣�∣∣20 (4.1)
H(v) = ∣∣vx∣∣20 − �∫ ∞−∞
u(x, t)∣v(x, t)∣�+1
� + 1dx
= H(�) = ∣∣�′∣∣20 −�
� + 1
∫ ∞−∞
(1− �2∂2x)−1(∣�∣�+1)∣�∣�+1dx
(4.2)
Demostracion. Para demostrar (4.1) multiplicamos el problema (3) por v eintegramos por partes y tomamos la parte imaginaria,
ivtv + vxxv + �u∣v∣�−1vv = 0
esto es:
i
∫vtvdx = −
∫vxxvdx−
∫u∣v∣�−1vvdx =
∫∣vx∣2dx+
∫u∣v∣�+1dx
i
∫vtvdx =
∫∂t(vv)dx =
∫(vtv + vvt) =
∫2Re(vtv)dx = 0
de donde
2Re(vtv) =∂
∂t(∣v∣2)
luego ∫∣v(x, t)∣2dx = ∣∣�∣∣20
20
21
La demostracion de (4.2) es similar, pero teniendo en cuenta que (3) puedeser escrito en la forma
vt = JH ′(v(t)),
donde J es el operador de multiplicacion por −i. □
NOTA 4.1 El lema anterior es valido en el caso periodico y su demostraciones esencialmente la misma.
Teorema 4.2. Sea s = 1, � = −1 y � = 1, 3, 5, .... Entonces el problema (3)es globalmente bien planteado en H1 (de ℝ o T)
Demostracion. De (4.1) vemos que solo resta acotar ∣∣vx∣∣0. Para ello observeque � = −1 y que el operador (1−�2∂2x)
−1 preserva positividad. Por lo tanto,
∣∣vx∣∣20 = ∣∣vx∣∣20 −�
� + 1
∫ ∞−∞
u(x, t)∣v(x, t)∣�+1dx+�
� + 1
∫ ∞−∞
u(x, t)∣v(x, t)∣�+1dx
= H(�) +�
� + 1
∫ ∞−∞
u(x, t)∣v(x, t)∣�+1dx
≤ H(�)
□
Para el caso � = 1, tenemos,
Teorema 4.3. Supongamos que � = 1 y que � ∈ H1(ℝ). Entonces,
Si 1 ≤ � < 3 entonces (3) es globalmente bien puesto en H1(ℝ)
Si � = 3 y ∣∣�∣∣0 es suficientemente pequeno entonces (3) es globalmentebien puesto en H1(ℝ).
Si � > 3 y ∣∣�∣∣0 es suficientemente pequeno entonces (3) es globalmentebien puesto en H1(ℝ).
Demostracion. De (4.2) tenemos que,
∣∣vx∣∣20 = H(v) +�
� + 1
∫u(x, t)∣v(x, t)∣�+1dx
= H(�) +1
� + 1
∫u(x, t)∣v(x, t)∣�+1dx.
(4.3)
22
La desigualdad de Holder, el Lema de Sobolev, integracion por partes y ladefinicion de u dada en (3) implican∫
u(x, t)∣v(x, t)∣�+1dx ≤ ∣∣u∣∣L∞ ∣∣∣v∣�+1∣∣L1 = ∣∣u∣∣L∞∫∣v∣�+1
= ∣∣u∣∣L∞∣∣v∣∣�+1L�+1 ≤ ∣∣u∣∣H1∣∣v∣∣�+1
L�+1∫u(x, t)∣v(x, t)∣�+1dx =
∫u(x, t)(1− �2∂2x)u =
∫u2 − �2uuxx
=
∫u2 + �2u2x ≥ C�∣∣u∣∣2H1
luego
C�∣∣u∣∣2H1 ≤∫u(x, t)∣v(x, t)∣�+1dx ≤ 1
� + 1∣∣v∣∣�+1
L�+1 ∣∣u∣∣H1
entonces:
∣∣u∣∣H1 ≤ 1
C�(� + 1)∣∣v∣∣�+1
L�+1 . (4.4)
Si � = 1, (4.4), se transforma en
∣∣u(x, t)∣∣H1 ≤ 1
2C�∣∣v∣∣20 =
1
2C�∣∣�∣∣20
y por lo tanto la solucion persite en todo tiempo, es decir (3) en este caso esglobalmente bien planteado en H1, pues
∣∣vx∣∣20 = H(�) +1
2
∫u(x, t)∣v(x, t)∣2dx
≤ H(�) +1
2∣∣u∣∣1∣∣�∣∣20
≤ H(�) + C�∣∣�∣∣40Si � > 1, la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg implica que
∣∣v∣∣L�+1 ≤ ∣∣v∣∣�H1 ∣∣v∣∣1−�0 , (4.5)
donde,
1
� + 1= �
(−1 +
1
2
)+
1− �2
� =(� − 1)
2(� + 1)
23
Es decir,
∣∣v∣∣L�+1 ≤ ∣∣v∣∣�−1
2(�+1)
H1 ∣∣v∣∣1− �−1
2(�+1)
0
≤ ∣∣v∣∣�−1
2(�+1)
H1 ∣∣�∣∣�+3
2(�+1)
0 (4.6)
Por lo tanto (4.3) se tranforma en
∣∣vx∣∣20 = H(�) +1
� + 1
∫u(x, t)∣v(x, t)∣�+1dx
≤ H(�) +1
� + 1∣∣u∣∣1∣∣v∣∣�+1
L�+1
≤ H(�) + C�,�∣∣v∣∣2(�+1)
L�+1
≤ H(�) + C�,�∣∣v∣∣(�−1)H1 ∣∣�∣∣(�+3)0 , (4.7)
donde en la segunda desigualdad hemos usado (4.4) y en la tercera (4.6).
Si � < 3, (4.1) y las desigualdades (4.7) y de Young implican que∣∣v∣∣1 ≤ K(�).
Si � = 3, la desigualdad (4.7) junto con (4.1) implican que ∣∣v∣∣1 ≤K(�), siempre que ∣∣�∣∣0 sea suficientemente pequeno. de 4.7 y 4.1 ten-emos
∣∣vx∣∣20 ≤ H(�) + C�,�∣∣v∣∣2H1∣∣�∣∣60∣∣v∣∣21 ≤ ∣∣�∣∣20 +H(�) + C�,�∣∣�∣∣60∣∣v∣∣2H1
(1− C�,�∣∣�∣∣60)∣∣v∣∣1 ≤ ∣∣�∣∣20 +H(�)
∣∣v∣∣1 ≤∣∣�∣∣20 +H(�)
(1− C�,�∣∣�∣∣60)(4.8)
Si � > 3, (4.1), (4.7), implican que,
∣∣v∣∣21 ≤ ∣∣�∣∣20 +H(�) + C�,�∣∣v∣∣(�−1)H1 ∣∣�∣∣(�+3)0 (4.9)
Haciendo x(t) = ∣∣u(t)∣∣1 y K(�0) = ∣∣�∣∣20 +H(�) en (4.9) tenemos,
x2 ≤ K(�) + C�,�x2+(�−3)∣∣�∣∣(�+3)
0 . (4.10)
Veamos que dado M > 0, existe � = �(M,�, �) > 0 tal que si � ∈H1(ℝ) con ∣∣�∣∣1 ≤M y ∣∣�∣∣0 ≤ �, entonces la solucion de (3) obtenida
24
en el teorema 3.5 existe en todo tiempo. En efecto, (4.10) con t = 0 setransforma en
x2(0)− C�,��(�+3)x2+(�−3)(0) ≤ K(�),
donde, � ∈ (0, �0) es tal que M2 − C�,��(�+3)0 M2+(�−3) > 0, asi que
K(�) > 0 yx2 ≤ K(�) + C�,�x
2+(�−3)�(�+3),
que es cierta cuando x(t) ∈ [0, c1(�)]∪
[c2(�),∞). Fijando � tal quec1(�) > M , la continuidad de x(⋅) en t implican que
sup[0,T ]
∣∣u∣∣1 ≤ c1(�),
es decir, que la solucion u, puede ser extendida a cualquier intervalo detiempo.
□
NOTA 4.2 En el caso periodico el teorema anterior es esencialmente elmismo salvo que la desigualdad (4.6) se modifica por la desigualdad
∣∣v∣∣L�+1 ≤ C(∣∣v∣∣H1)�−1
2(�+1) (∣∣�∣∣�+3
2(�+1)
0 + ∣∣�∣∣0),
pues, para poder aplicar Gagliardo-Nirenberg es preciso tener que la fun-cion en consideracion tenga media cero, asi que pequenas modificaciones conrespecto al caso real son necesarias. Por lo tanto tenemos:
Teorema 4.4. Supongamos que � = 1 y que � ∈ H1(ℝ). Entonces,
Si 1 ≤ � < 3 entonces (3) es globalmente bien puesto en H1(T)
Si � = 3 y ∣∣�∣∣0 es suficientemente pequeno entonces (3) es globalmentebien puesto en H1(T).
Si � > 3 y ∣∣�∣∣0 es suficientemente pequeno entonces (3) es globalmentebien puesto en H1(T).
Apendice
En este capitulo se definiran algunos conceptos que se utilizaran a lo largode este trabajo, las demostraciones respectivas seran referenciadas dentro deeste capıtulo.
Definicion 1. Sea Hj, j = 1, 2 un Espacio de Hilbert. Un operador U ∈B(H1, H2) es una isometria si ∣∣Uℎ∣∣H1 = ∣∣ℎ∣∣ℎ2 para todo ℎ ∈ H1 Si U esunitario se trata de una isometria en H2
Definicion 2. Sea H un espacio de Hilbert. un grupo unitario fuertementecontinuo en H es una aplicacion t ∈ ℝ→ U(t) ∈ B(H) tal que:
U es unitario para todo t ∈ ℝ,
U(t+ t′) = U(t)U(t′) para todo t, t′ ∈ ℝ,
lımt→t′ ∣∣U(t)�− U(t′)�∣∣H = 0 para todo t ∈ ℝ,
Definicion 3. Sea s ∈ ℝ. Los espacios de Sobolev Hs(ℝ) es el conjunto detodas las: f ∈ S ′(ℝ); (1 + �2)s/2f ∈ L2(ℝ, d�), es decir, f es una funcionmedible
∥f∥2s =
∫ℝ(1 + �2)s∣f(�)∣2 d� < +∞.
Teorema 5.5. Sea s ∈ ℝ. Entonces, Hs(ℝ) es un espacio de Hilbert conrespecto al producto interno
(f ∣g)s =
∫ℝ(1 + �2)sf(�)g(�) d�.
Ademas Cumple: Hs(ℝ) ↪→ Hr(ℝ) para todo s ≥ r, donde ↪→ denota, comoes usual, contenido densa y continuamente.
25
26
Demostracion: ( Vea por ejemplo [3]) □
Definicion 4. Sea s ∈ ℝ. El espacio de Sobolev Hs(�) es el conjunto detodas las f ∈ P ′ tal que:
∣∣f ∣∣2s = 2�∞∑−∞
(1 + ∣k∣2)s∣f(k)∣2 <∞
En otras palabras, una distribucion periodica f ∈ Hs si y solo si ((1 +
∣k∣2)s/2f(k))k∈ℤ ∈ ℓ2 en donde ℓ2 denota el espacio de todas las sucesiones� = (�k)k∈ℤ con
∣∣�∣∣ℓ2s =
[2�
∞∑−∞
(1 + ∣k∣2)s∣�k∣2]
esto es f ∈ Hs(�) si y solo si (f(k))k∈ℤ ∈ ℓ2
Proposicion 5.6. Veamos algunas propiedades:
Hs(T2), s ∈ ℝ es un espacio de Hilbert respecto al producto interno
⟨f, g⟩s =∑k∈ℤ2
(1 + ∣k∣2)sf(k)g(k).
Hs(T2) ↪→ Hr(T2) para todo r, s ∈ ℝ, s > r, esto es, Hs(T2) esta con-tenido continua y densamente en Hr(T2) y
∥f∥r ≤ ∥f∥s
para todo f ∈ Hs(T2).
(Hs(T2))′, el dual topologico de Hs(T2), es isometricamente isomorfo
a H−s(T2) para todo s ∈ ℝ
Demostracion: ( Vea por ejemplo [3]) □
Teorema 5.7. (Lema de Sobolev). Si s > 1, entonces Hs(T2) ↪→ C(T2) y
∥f∥∞ ≤ C∥f∥s
para todo f ∈ Hs(T2)
27
Demostracion: ( Vea por ejemplo [3]) □
Proposicion 5.8. Si s > 1, Hs(T2) es una algebra de Banach. Ademas,existe una constante Cs ≥ 0 dependiendo solo de s tal que
∥fg∥s ≤ Cs∥f∥s∥g∥s
para todo f, g ∈ Hs(T2)
Demostracion: ( Vea por ejemplo [3]) □
Definicion 5. Sea (∧, d) un espacio metrico. Una contraccion en ∧ es unaaplicacion
Ψ : ∧ → ∧
tal que: d(Ψ(x),Ψ(y)) ≤ �d(x, y) para todo x, y ∈ ∧ y algun � ∈ [0, 1]
Si � < 1 decimos que ∧ es una contraccion estricta
Teorema 5.9. Teorema del punto fijo de Banach Sea ∧ un espaciometrico completo y supongamos que Ψ : ∧ → ∧ es una contraccion estricta ∧tiene un unico punto fijo esto es existe un unico x0 ∈ ∧ tal que Ψ(x0) = x0.
Demostracion: ( Vea por ejemplo [3]) □
Lema 5.10. Desigualdad de Gronwall Sea f, g ∈ C([a, b],ℝ) y � ∈L1([a, b]) con � ≥ 0 tal que:
f(x) ≤ g(x) +
∫ x
a
�(s)ds.
para a ≤ x ≤ b. Entonces:
f(x) ≤ g(x) +
∫ x
a
�(s)e∫ xs �(�)d�g(s)ds.
para a ≤ x ≤ b. Ademas si g es constante entonces:
f(x) ≤ ge∫ xa �(�)d�
Demostracion: ( Vea por ejemplo [5]) □
28
Lema 5.11. Desigualdad de Gagliardo-Nirenberg.Si f ∈ Hkℝ dondek es un entero positivo, entonces existe C > 0 tal que:
∣∣∂nxf ∣∣Lp ≤ C∣∣∂mx f ∣∣�Lq ∣∣f ∣∣1−�Lr
donde n < m ≤ k, C = C(n,m, p, q, r), � ∈ [ nm, 1] y
1
p− n = �(
1
q−m) + (1− �)1
r
Demostracion: ( Vea por ejemplo [5]) □
Lema 5.12. Desigualdad de Young Si f, g ≥ 0, p, q > 1 y 1p
+ 1q
= 1entonces:
fg ≤ fp
p+gq
q
Demostracion: ( Vea por ejemplo [5]) □
Bibliografıa
[1] Yanping Cao, Ziad H Musslimani and Edriss S Titi, ”NonlinearSchrodinger-Helmholtz equation as numerical regularizarion of the non-linear Schrondinger equation”, Nonlinearity, 21 2008, 879898
[2] Javier Duoandikoetxea, Analisis de Fourier, Ediciones de la UniversidadAutonoma de Madrid, 1991.
[3] Rafael. J. Iorio, Jr., Valeria de Magalhaes Iorio, Fourier Analysis andPartial Differential Equations, Cambridge studies in avanced mathemat-ics, 70, (2001).
[4] Gustavo Ponce, Introduccion a las ecuaciones en derivadas parciales deevolucion Universidad del Valle, Escuela de verano en ecuaciones difer-enciales, geometrıa diferencial y analisis numerico, 1993.
[5] Henry, Geometric theory of semilinear parabolic equation, Lectures Notesin Mathematics, vol 840,(1957)
29
