Capítulo 3

Sonido

3.1. Ondas sonoras

Las ondas mecánicas con frecuencias comprendidas entre los 20 Hz y los 20 kHz son particularmenteimportantes porque causan la sensación de ‘oir’ en nuestros oídos; son ondas sonoras. La mayor parte deellas se transmiten por el aire, aunque pueden hacerlo a través de sólidos y líquidos. El sonido, por lo común,se define como una perturbación de compresión que viaja a través de un material de forma que es capaz deponer en movimiento el tímpano humano produciendo la sensación de audición. Como ya hemos dicho, elmaterial por el que normalmente viajan es el aire.

Esas ondas de compresión pueden tener frecuencias superiores a los 20 kHz, pero su comportamiento nodifiere esencialmente con el ‘sonido’. La diferencia es que oscilan demasiado rápido como para que el tímpanopueda seguirlas, y por tanto no las oimos. Son los ultrasonidos. La ondas de frecuencias inferiores a 20 Hztampoco las oímos, y son llamadas ondas infrasónicas o subsónicas.

En lo que sigue nos centraremos principalmente en la propagación de ondas mecánicas por los gases,como el aire en particular, y en principio no nos limitaremos a las ondas sonoras, sino a cualquier onda decompresión, ya sea sonora, ultrasónica o subsónica.

Figura 3.1: Dispositivo para crear ondas sonoras.

Hay infinidad de fuentes que pueden produ-cir ondas sonoras. Para ver como aparecen, con-sideremos el dispositivo de la figura 3.1. El tubode la figura está lleno de aire. Éste es empujadoperiódicamente por un pistón con frecuencia ω.A medida que el pistón se mueve hacia la dere-cha del tubo, comprime el aire, enviando dichacompresión a lo largo del tubo. Cuando lo hacehacia la izquierda, el aire a su lado se expande(rarefacción). La onda consta de compresiones yrarefacciones alternadas que se propagan a lo largo del tubo.

Es evidente el carácter longitudinal de este tipo de ondas. Nótese que, aunque las compresiones y rare-facciones viajen una larga distancia por el tubo, las partículas de fluido (aire en este caso) no se desplazanen promedio. Repiten un movimiento hacia adelante y hacia atrás, periódico, en la misma dirección que lade propagación de la onda, tal y como se indica en la figura 3.2.

Figura 3.2: Desplazamiento de las moléculas de aire.

Se puede describir la onda sonora por los desplaza-mientos Ψ de las moléculas de aire desde sus posicionesde equilibrio. Si se trata de una onda armónica, se tiene:

Ψ(x, t) = A0 sen(kx − ωt) (3.1)

donde A0 representa el máximo desplazamiento de lapartícula respecto a su posición de equilibrio, y k es el

34

número de onda (k = 2π/λ), siendo la longitud de onda λ la distancia entre, por ejemplo, dos máximosconsecutivos de compresión.

En una onda sonora varía la presión local del gas (aire). Si en ausencia de sonido la presión de equilibrioes p0, y si p(x, t) representa la presión instantánea en el punto x, entonces p′(x, t) = p(x, t)−p0 es la variaciónde presión debida a la onda. Para una onda armónica, puede escribirse

p′(x, t) = p′max sen(kx − ωt + φ) (3.2)

donde p′max es la máxima variación de presión debida al sonido y ocurre en los máximos de compresión. Paralas ondas sonoras, la perturbación que se propaga puede caracterizarse indistintamente como (3.1) o (3.2), oincluso como variaciones de densidad. Todas estas descripciones deben estar, por tanto, relacionadas.

En la práctica, el pistón que nos sirvió de ejemplo debe ser sustituido por una cuerda de guitarra, unaltavoz, la boca de una persona, etc. En lugar de ser ondas planas, como las del ejemplo del cilindro, podríanser de distintos tipos en función del foco productor del sonido.

3.2. La ecuación de ondas para el sonido. Velocidad de propagación.

Figura 3.3: Una porción de gas perturbada por una ondasonora.

Para encontrar la ecuación de las ondas so-noras, apliquemos la segunda ley de Newton auna situación simple, como la de la figura 3.3.Tomemos la masa de aire comprendida entre x1

y x2 = x1 + δx en el tubo, al que supondremosuna sección recta A. Supongamos que una ondapasa a través de la región que inicialmente estabaentre x1 y x1 + δx. La fuerza sobre el extremoizquierdo de ella será A(p0 + p′1) y sobre el dere-cho será A(p0 + p′2), donde hemos escrito que lapresión en el extremo izquierdo p1 viene dada porp1 = p0 + p′1, y en el derecho p2 por p2 = p0 + p′2,pues sólo nos interesan las perturbaciones de pre-sión. La fuerza neta sobre ese elemento del gas será:

F = A(

p′1 − p′2)

(3.3)

que, de acuerdo con la segunda ley de Newton, debe ser igual a la masa encerrada por el elemento de gasmultiplicada por la aceleración del elemento. En cuanto a la masa m del elemento, debe ser m = ρAδx, dondeρ es la densidad del gas, porque obviamente Aδx es el volumen correspondiente. En cuanto a la aceleración,si el elemento por efecto de la onda ha sufrido un desplazamiento Ψ(x, t), la aceleración será simplemente lasegunda derivada de Ψ(x, t) con respecto al tiempo t. Por lo tanto, tendremos que:

A(

p′1 − p′2)

= ρAδx∂2Ψ(x, t)

∂t2(3.4)

Para poder llegar a una ecuación como la ecuación de ondas (vease capítulo 2) es necesario relacionarlas variables p′ y Ψ. Para ello, vamos a recurrir a una relación general en fluidos, para los que se define elcoeficiente de compresibilidad B en la forma:

B = −V

(

dp

dV

)

(3.5)

Este coeficiente desempeña en cierta forma el papel de constante elástica de un muelle. En efecto, si escribimosla ecuación anterior como:

∆p = −B

(

∆V

V

)

(3.6)

35

donde hemos integrado para un pequeño volumen ∆V suponiendo B constante, dicha ecuación nos dice cómoresponde el sistema, es decir, el cambio relativo de volumen, para un cambio de presión ∆p.

En los gases, la ecuación (3.5) no está unívocamente definida. Puesto que p y V están relacionados a travésde la ecuación de estado pV = nRT , sus variaciones no son independientes en general. Así, por ejemplo,podemos calcular estas variaciones manteniendo constante la temperatura. Se define entonces el coeficientede compresibilidad isotérmico:

BT = −V

(

∂p

∂V

)

T=cte

(3.7)

También podríamos haber comprimido el gas de forma adiabática (sin aportar ni ceder calor), y en esecaso se puede definir el coeficiente de compresibilidad adiabático como

BS = −V

(

∂p

∂V

)

S=cte

(3.8)

donde S designa a la entropía, porque en un proceso adiabático reversible ésta permanece constante.Las compresiones y rarefacciones de un gas por el que se propaga una onda sonora (de compresión)

tienen lugar preferentemente de forma adiabática. La razón es que los gases no son muy buenos conductorestérmicos, como ya comentamos en el capítulo 3, y las compresiones tienen lugar tan rápidamente que no haytiempo para pérdidas o ganancias de calor. Así, el coeficiente que nos interesa es BS .

Con referencia a la figura 3.3, tenemos que preguntarnos por cuánto cambia el volumen de nuestroelemento al pasar de la posición I a la posición II. Hay que hacer notar que ese será el ∆V de (3.6). En I,nuestro elemento tiene un volumen Aδx. En II, será Aδ′x. De la misma figura 3.3, puede verse fácilmenteque δ′x = Ψ(x2) + δx − Ψ(x1). Por lo tanto, el volumen habrá aumentado un ∆V dado por:

∆V = Aδ′x − Aδx = A(Ψ(x2) − Ψ(x1)) = A∆Ψ (3.9)

y el aumento relativo de volumen será∆V

V=

A∆Ψ

Aδx=

∆Ψ

δx(3.10)

El cociente ∆Ψ/δx es la variación del desplazamiento Ψ con la posición x. En el límite δx → 0 este términose convierte en la derivada de Ψ con respecto a x. Así, resulta que

∆V

V=

∂Ψ

∂x(3.11)

Si hacemos uso de (3.6), llegamos a

∆p = −BS∂Ψ

∂x(3.12)

Analizemos ahora la ecuación (3.4). En ella, los términos p′1 y p′2 representan variaciones de presión ∆pcon respecto a la presión en ausencia de sonido, uno en x1 y otro en x2. Por lo tanto, usando (3.12) podremosescribir:

p′1 = −BS

(

∂Ψ

∂x

)

x=x1

, p′2 = −BS

(

∂Ψ

∂x

)

x=x2

(3.13)

Usando estas expresiones para p′1 y p′2 en (3.4), esta ecuación se transforma en:

BS

(

(

∂Ψ

∂x

)

x=x2

−(

∂Ψ

∂x

)

x=x1

)

= ρδx∂2Ψ(x, t)

∂t2(3.14)

Teniendo en cuenta que δx es la separación entre x1 y x2, si lo pasamos dividiendo al lado izquierdo de laecuación anterior, y hacemos el límite δx → 0, llegamos a

∂2Ψ

∂x2=

ρ

BS

∂2Ψ

∂t2(3.15)

36

que es la ecuación de ondas para el sonido, y que de acuerdo con la ecuación general de ondas vista en elcapítulo 2, se corresponde con ondas que se propagan con una velocidad v dada por:

v =

√

BS

ρ(3.16)

Es fácil ver que tal ecuación es dimensionalmente correcta. Para el aire, en condiciones normales se tiene quev ≃ 340 m/s. La ecuación que acabamos de ver es general, pero para un sistema determinado, no tenemosidea a priori del valor de BS . Vamos a considerar a continuación un caso particular.

En muchas ocasiones, el gas en el que tienen lugar las ondas sonoras se comporta como gas ideal. Eneste caso, sabemos que un proceso adiabático viene dado por la relación pV γ = cte, donde γ = cp/cV es laconstante adiabática. Diferenciando esta relación entre p y V , tenemos

V γdp + pγV γ−1dV = 0 (3.17)

o biendp

dV= −pγ

V(3.18)

con lo que de acuerdo con (3.8),

BS = −V

(

∂p

∂V

)

S=cte

= pγ (3.19)

y finalmente, si aplicamos (3.16), la velocidad del sonido viene dada por

v =

√

γp

ρ(3.20)

Nótese que (3.16) es válida para cualquier fluido, en tanto que (3.20) solamente lo es para el caso degases ideales. La velocidad de propagación depende de la presión p a la que se encuentre el gas (que hemosdenominado de equilibrio, p0). Por ser esta presión función de la temperatura, la velocidad de propagacióntambién lo será.

Ejemplo 3.1

Encontrar la expresión de la velocidad del sonido para un gas ideal en función de la temperatura T .

Habrá tratar de reescribir (3.20). Como para un gas ideal se tiene que pV = nRT , si despejamos p y la sustitui-mos en (3.20), tenemos:

v =

√

γnRT

ρV

Esta expresión es correcta, pero todavía incómoda, y en función de variables difíciles de medir como la densidaddel gas. Sin embargo, podemos manipular la expresión anterior un poco para simplificarla:

v =

√

γnRT

ρV=

√

γRTρVn

=

√

γRTmn

=

√

γRT

M(3.21)

donde hemos tenido en cuenta que ρV es la masa m de gas, y que al dividir la masa m por el número de molesn, se obtiene el peso molecular M del gas. La expresión (3.21) es muy útil en problemas prácticos.

Ya comentamos al principio de este capítulo que una onda de compresión puede ser descrita en funcióndel desplazamiento de las partículas Ψ(x, t) o de las variaciones de presión p′(x, t). Para el caso de ondas

37

armónicas las ecuaciones (3.1) y (3.2) dan la forma explícita de variación con x y t de ambas. Si admitimoscomo correcta (3.1), entonces hemos de incluir la constante de fase φ en (3.2) para indicar que Ψ y p′ no tienenpor qué variar en fase. Por otro lado, puesto que ambas ecuaciones son descripciones del mismo movimiento,debe existir una relación entre las amplitudes A0 y p′max de ambas variables; la ecuación (3.12) establecedicha relación. En particular, para ondas armónicas, si (3.1) es la descripción de Ψ(x, t), entonces:

p′(x, t) = −BSA0k cos(kx − ωt) = −BSA0k sen(kx − ωt − π

2) (3.22)

que prueba la existencia de un desfase de π/2 entre Ψ y p′. Comparando (3.22) con (3.2), resulta

p′max = BSA0k (3.23)

o si hacemos uso de (3.16) y de que para ondas armónicas v = ω/k,

p′max = ρvA0ω (3.24)

3.3. Energía e intensidad del sonido

Tanto la energía como la intensidad del sonido se pueden determinar considerando el ritmo al que serealiza trabajo sobre una parte del fluido por el fluido del entorno cuando una onda está presente.

Figura 3.4: Una sección del gas.

Sigamos considerando el caso simple de ondas en un tubo(unidimensionales) de sección recta A, que se propagan haciala derecha, como en la figura 3.4. La fuerza ejercida sobre lasección A en la posición x debido a la onda sobre su ladoizquierdo (la onda avanza hacia la derecha) será Fx = p′A,puesto que de toda la presión, solamente p′ es la asociadaa la onda. En esa misma posición las partículas del fluido sedesplazan con una velocidad vpart = ∂Ψ/∂t (no confundir conla velocidad de propagación de la onda). La potencia, o sea,el ritmo al que se efectúa trabajo sobre esa superficie, es elritmo al que fluye energía por esa sección:

dW

dt= Fxvpart = p′A

∂Ψ

∂t(3.25)

y la intensidad, o potencia por unidad de superficir, será:

I = p′∂Ψ

∂t(3.26)

que, haciendo uso nuevamente de (3.12) recordando que p′ es la variación de presión, se convierte en

I = −BS∂Ψ

∂x

∂Ψ

∂t(3.27)

Para el caso de ondas armónicas, se llega a:

I = BSωkA20 sen2 (kx − ωt) (3.28)

que fluctúa con el tiempo t. El parámetro que interesa es la intensidad media promediada en un ciclo. Alhacerlo, resulta que el promedio de la función seno al cuadrado es 1/2. Así, finalmente

I =1

2BSωkA2

0 =1

2ρω2A2

0v (3.29)

38

que es una ecuación similar a la que ya obtuvimos para ondas mecánicas en cuerdas, con la diferencia queµ, la densidad lineal de masa, se ve sustituida por ρ, la densidad volúmica de masa. La ecuación anteriortambién puede darse en función de p′max usando las ecuaciones (3.23) y (3.24). El resultado es

I =(p′max)

2ω

2BSk=

(p′max)2

2vρ(3.30)

Ejemplo 3.2

Los sonidos más débiles que el oído humano puede percibir (umbral de audibilidad) a una frecuencia de 1000Hz corresponden a una intensidad de 10−12 W/m2. Por el contrario, intensidades de 1 W/m2 pueden producirdolor en el oído. Determinar las amplitudes de presión y desplazamiento correspondientes a esas dos inten-sidades para esa frecuencia (ρaire = 1.23 kg/m3). Sol: 2.9×10−5 N/m2 y 1.1×10−11 m; 2.9 N/m2 y 1.1×10−5 m.

Para encontrar lo que nos piden, basta usar (3.29) y (3.30) con las dos intensidades que se nos dan en elenunciado. Hay que tener en cuenta que ω = 2π1000 rad/s, y que vamos a considerar v = 340 m/s. Para el casode las amplitudes de desplazamiento se tiene que

A0 =

√

2I

ρω2v

Sustituyendo directamente los valores numéricos de las variables, se tiene que las amplitudes de desplazamientoson 1,1 × 10−11 m y 1,1 × 10−5 m para la intensidad grande y pequeña respectivamente.

Para el caso de las amplitudes de presión, de (3.30) se tiene

p′max =√

2vρI

por lo que sustituyendo los valores numéricos, obtenemos que las amplitudes de presión son 2.9 N/m2 y 2.9×10−5

N/m2 respectivamente.

La densidad de energía puede calcularse a partir de la relación general ρen = I/v, usando la ecuaciónanterior.

3.3.1. Nivel de intensidad sonora

El oído humano es un instrumento de detección de ondas sonoras extremadamente desarrollado. No sólodetecta una amplísima gama de frecuencias, sino que también es capaz de responder a un amplio rango deintensidades. Un sonido apenas audible tiene una intensidad de unos 10−12 W/m2. Llegando a intensidadespróximas a 1 W/m2, el sonido produce dolor. Evidentemente, el oído no aprecia la ‘sonoridad’ de un sonido enproporción directa a su intensidad. Quiere decirse con ello que de la sensación sonora ordinaria, difícilmentepuede concluirse que, por ejemplo, una conversación usual sea 104 veces más intensa que un susurro. Sinembargo, aquélla es 104 veces más intensa que éste.

Para reflejar mejor la sonoridad, es decir, cómo percibe nuestro oído, se define una escala de nivel deintensidad o escala de decibelios, que es logarítmica. Esta escala tiene la ventaja de que sonidos cuyas razonesde intensidad sean constantes difieren en escala logarítmica el mismo intervalo. Por ejemplo, 106/103 = 103

y log 103 = 3. Lo mismo ocurrirá, por ejemplo, con 1011 y 108. Definimos el nivel de intensidad sonora βcomo

β = 10 logI

I0

(3.31)

39

En esta ecuación, I0 es una intensidad de referencia, que se toma como la mínima intensidad audible, es decir,I0 = 10−12 W/m2, e I es la intensidad considerada.1 Aunque β es adimensional, se mantiene usualmente launidad de decibelios para nombrarla.

Ejemplo 3.3

Un altavoz puntual radia ondas sonoras en todas direcciones y emite con una potencia de 100 W. Determine elnivel de intensidad sonora a 10 m del altavoz.

Puesto que el altavoz es puntual y emite en todas direcciones, las ondas emitidas serán de tipo esférico. Calcula-remos primero la intensidad a 10 m del foco, teniendo en cuentra que las ondas son esféricas:

I(10) =P

4πr2=

100

4π102=

1

4πW/m2

Por lo tanto,

β = 10 log1/4π

10−12= 109 dB.

3.3.2. Intensidad de la superposición de dos ondas

En secciones anteriores hemos estudiado la intensidad de una onda sonora, y cabe por tanto preguntarsepor la intensidad resultante cuando dos ondas sonoras se superponen en una cierta región del espacio. Pararesponder a esta pregunta, conviene recordar que hemos visto en secciones anteriores que la intensidad delsonido es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda sonora. Por lo tanto, la onda resultante de lasuperposición portará una intensidad proporcional al cuadrado de la amplitud resultante de la superposición.Ya vimos en el capítulo 2 que si se superponen dos ondas de la misma frecuencia con amplitudes A1 y A2, ycon una diferencia de fase ∆φ, la amplitud resultante AR viene dada por:

A2R = A2

1 + A22 + 2A1A2 cos ∆φ (3.32)

Puesto que de acuerdo con (3.29) I = cA2, donde c es una constante de proporcionalidad que engloba todaslas constantes de (3.29), la ecuación anterior se puede escribir en terminos de la intensidades de las ondasque se superponen (I1 e I2) y de la intensidad resultante, IR:

IR

c=

I1

c+

I2

c+ 2

√I1I2

ccos∆φ (3.33)

que evidentemente se puede simplificar y llegar a:

IR = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos ∆φ (3.34)

Esta ecuación ya nos permite calcular la intensidad resultante en función de las intensidades de las ondasque se superponen, y de la diferencia de fase entre ambas ondas.

Ejemplo 3.4

1Salvo que se indique lo contrario, al hablar de intensidad nos referimos implícitamente a la intensidad media, pero porcomodidad en la notación se prescinde de la barra que indica valor medio.

40

Dos altavoces accionados en fase emiten a 170 Hz. Un observador se encuenta a 8 m de uno y a 11 metros delotro. Cada altavoz por separado tiene un nivel de intensidad de 60 dB. La velocidad de propagación del sonidoes de 340 m/s. a) Calcular el nivel de intensidad medido por el observador cuando ambos altavoces funcionansimultáneamente. b) Repetir, pero ahora considerando que se cambian los cables de un altavoz, de manera queemite con un desfase de π radianes con respecto al otro.

a) En este problema tenemos el caso de la superposición de dos ondas de las que conocemos las intensidades (através del nivel de intensidad sonoro), pero para calcular la intensidad resultante necesitamos conocer la diferenciade fase entre ambas ondas para poder usar (3.34). Comenzaremos por determinar la intensidad de cada onda(aunque no es necesario, es instructivo), que es la misma para las dos. Si β = 60 dB entonces:

60 = 10 logI

10−12−→ I = 10−6 W/m2

Vayamos ahora a calcular la diferencia de fase entre ambas ondas. Para ellos, estimemos primero el número deondas k. Puesto que λ = v/ν = 2 m, se tiene que k = 2π/λ = π rad/m para las dos ondas. La expresión de lasondas 1 y 2 en el punto de superposición será:

Ψ1 = A sen(kx1 − ωt) = A sen(π8 − ωt)

Ψ2 = A sen(kx2 − ωt) = A sen(π11 − ωt)

Nótese que no hemos incluido diferencia de fase inicial entre las ondas porque se nos dice que se emiten en fase.La diferencia de fase entre las dos ondas será la diferencia de los respectivos argumentos de la función seno. Así∆φ = π11−ωt−(π8−ωt) = 3π, equivalente a que ∆φ = π rad, por lo que las ondas interfieren destructivamentey al tener la misma intensidad, de acuerdo con (3.34), IR = 0. Al ser nula la intensidad resultante, al calcular elnivel de intensidad sonora β = 10 log(IR/I0) el argumento del logaritmo será nulo, por lo que β → −∞.

b) Ahora la intensidad I de cada fuente y el valor de k es idéntico al caso anterior. La única diferencia es quese nos dice que se introduce una diferencia de fase inicial de π rad entre las dos ondas. Por ello, la expresión delas ondas en el punto de superposición será ahora

Ψ1 = A sen(kx1 − ωt) = A sen(π8 − ωt)

Ψ2 = A sen(kx2 − ωt + π) = A sen(π11 − ωt + π)

Y la correspondiente diferencia de fase será ∆φ = π11− ωt + π − (π8− ωt) = 4π equivalente a que ∆φ = 0, esdecir, que ahora las ondas interfieren constructivamente. Aplicando (3.34):

IR = I + I + 2I cos 0 = 4I −→ β = 10 log4I

I0

= 10 log 4 + 10 logI

I0

= 10 log 4 + 60 = 66 dB

Por último, conviene discutir cuando será aplicable la ecuación (3.34). El sumando que incluye el términocos ∆φ es la parte propia de los fenómenos ondulatorios, porque contiene el efecto interferencial. Con caráctergeneral, las ondas interfieren si poseen frecuencias idénticas (que es como se ha deducido (3.34)) o frecuenciassimilares. En este último caso, se observan los batidos, que estudiaremos más adelante en este capítulo, ycuya intensidad podrá calcularse a partir de la amplitud resultante. Por lo tanto, la expresión (3.34) sóloserá aplicable a ondas de la misma frecuencia. Pero además, para que se puedan producir interferencias,es necesario que las ondas sean coherentes entre sí, es decir, ondas para las que ∆φ sea constante en eltiempo. Para la gran mayoría de los sonidos que escuchamos, o bien tienen frecuencias distintas, o bien noson coherentes entre sí, porque la diferencia de fase inicial cambia rápido con el tiempo. En ese caso, eltérmino interferencial de (3.34) desaparece, y la intensidad resultante IR se obtiene simplemente como:

IR = I1 + I2 (3.35)

41

Como vemos, cuando las ondas no interfieren entre sí, la intensidad resultante viene dada simplemente porla suma de las intensidades de cada una de las ondas que se superponen.

Ejemplo 3.5

En una sala hay 40 personas conversando. Si una sóla persona produce un nivel de intensidad sonora de 50 dB,encontrar el nivel de intensidad sonora de la sala cuando hablen las 40 personas a la vez.

En este caso, las 40 personas corresponden a 40 fuentes sonoras que no interfieren entre sí, porque tienen distintasfrecuencias, y porque no son coherentes entre sí. Por lo tanto, la intensidad sonora cuando las 40 personas hablansimultáneamente será la suma de las intensidades de las 40 personas, de acuerdo con (3.35). Si suponemos quetodas las personas emiten la misma intensidad sonora I1, entonces IR = 40I1. Así, el nivel de intensidad sonorode las 40 personas (β40) será:

β40 = 10 log

(

IR

I0

)

= 10 log

(

40I1

I0

)

= 10 log 40 + 10 log

(

I1

I0

)

= 10 log 40 + 50 = 66 dB

3.4. Análisis de Fourier de ondas periódicas

Figura 3.5: La misma nota musical producida por dos instrumentosdistintos.

La mayor parte del sonido que escu-chamos no se corresponde con ondas ar-mónicas puras, sino que son ondas perió-dicas pero no armónicas. Las dos ondasrepresentadas en la figura 3.5 tienen unperiodo de 1/440 segundos, y correspon-den a la nota LA central tocada por unaflauta y por un fagot. Puede verse que,aunque tienen el mismo tono es decir, elmismo periodo T o la misma frecuenciafundamental (que es la inversa del perio-do), tienen distinta ‘calidad’, es decir,suenan diferente. La razón es la formadistinta que tienen ambas ondas, que setraduce en una participación en mayor omenor medida de los armónicos superio-res del tono fundamental. Este conceptose puede entender mejor recurriendo alejemplo de cuerdas vibrantes. Ya vimosque al pulsar una cuerda, en principio ésta vibra con todas las posibles frecuencias naturales. La forma enque se pulse hace que el movimiento final de la cuerda participe en distinta medida de los distintos armónicos2. El posterior diseño de las cajas de resonancia acentúan todavía más la ‘calidad’ de los sonidos.

Matemáticamente se demuestra (Fourier fue el primer matemático que lo hizo) que cualquier funciónperiódica Ψ(t), por complicada que sea, puede ser descompuesta en una suma de un número dado de funciones

2No es lo mismo tocar el violín con un arco, que hace vibrar y torcer el hilo del instrumento, que tocar el piano, en el quese golpea la cuerda, y además se hace en una posición determinada (a 1/7 de su extremo para anular el séptimo armónico, queparecer resultar desagradable al oído).

42

Figura 3.6: Ejemplo de análisis o síntesis de Fourier para una onda períodica.

armónicas (senos y cosenos). La única condición que se le exige a Ψ(t) es que tanto ella como su derivadadeben ser continuas. La forma de conseguirlo es la siguiente:

Ψ(t) =N

∑

n=1

An sen(nωt + φn) (3.36)

siendo ω = 2π/T la frecuencia fundamental (o T el periodo de la onda). El valor superior N del sumatoriodependerá de los que queramos acercarnos a la forma exacta de Ψ(t). La figura 3.6 ilustra lo que se quieredecir: una onda periódica como la representada en la parte superior puede obtenerse como suma de losdistintos armónicos de su serie de Fourier con su coeficiente An correspondiente. En la parte derecha semuestra la onda generada con sólo un armónico, con dos, tres, etc. Como vemos, cuantos más armónicos seincluyen, más se parece la señal obtenida a la original.

La determinación de An y φn para una determinada Ψ(t) se denomina análisis de Fourier. Para lasondas correspondientes a la nota LA mostradas en la figura 3.5, sus correspondientes An aparecen en laparte inferior de la misma figura, donde sólo se muestran los primeros armónicos presentes en las ondas, quesuelen ser los más importantes. Nótese que una onda armónica pura se corresponde con una única línea enla representación de frecuencias.

El llegar a formar una onda predeterminada a partir de armónicos puros (algo parecido a lo esquematizadoen la figura 3.6) es, por supuesto, posible. Los sintetizadores u órganos electrónicos actuales son buena muestrade ello. Este proceso, inverso hasta cierto punto al análisis de Fourier, se denomina síntesis de Fourier.

3.5. Ondas estacionarias de sonido (resonancias).

Un diapasón es un dispositivo que emite ondas armónicas de una única frecuencia al ser golpeado. Sinembargo, debido a sus reducidas dimensiones, esas ondas no son muy intensas, de modo que el sonido apenasalcanza unos metros. La razón es que las láminas, al vibrar, ponen en movimiento una cantidad relativamentepequeña de aire.

Se aumenta considerablemente la intensidad si acoplamos al diapasón una caja de resonancia, que es unacaja hueca de madera de dimensiones adecuadas para que, cuando vibre con la frecuencia del diapasón (ésteva a ser quien fuerce a la caja a vibrar) puedan existir en su interior ondas estacionarias de sonido.

La mayor parte de los instrumentos musicales llevan cajas de resonancia de este tipo. Dichas cajasfavorecen la presencia de determinadas frecuencias siendo las responsables de la calidad peculiar del sonidodel instrumento. El diseño de estas cajas de resonancia se hace para que en ellas se den ondas estacionarias

43

Figura 3.7: Los tres primeros armónicos en un tubo abierto (izquierda), y en un tubo abierto-cerrado (dere-cha).

de sonido. Cuando sus geometrías son complicadas, el análisis de ondas estacionarias resulta muy difícil.Existe sin embargo un diseño extremadamente sencillo de ‘cajas de resonancia’, que son los tubos de órgano.Vamos a analizar qué tipo de ondas estacionarias se pueden encontrar en este tipo tan sencillo de cajas deresonancia.

Supongamos un altavoz en un extremo de un tubo de longitud L. Tal altavoz creará ondas que resonarán(serán estacionarias en el tubo) si cumplen ciertas condiciones, que dependen de cómo sea el tubo. Éste puedetener los dos extremos abiertos, uno abierto y otro cerrado, o los dos cerrados.

Tubo abierto. Usando la descripción del desplazamiento de las partículas del medio para la onda, portener ambos extremos abiertos, las partículas son libres, por lo que en estos puntos existirán antinodos.Si hubiéramos usado la descripción en términos de las variaciones de presión, la condición a aplicarsería que la presión en los extremos es la de equilibrio, y por lo tanto estos puntos corresponden a nodosde presión. En cualquier caso, las únicas longitudes de onda aceptables, serán aquellas que cumplan lacondición L = nλ/2, que inmediatamente nos conduce a que las longitudes de onda correspondientesa ondas estacionarias vienen dadas por:

λn =2L

ncon n = 1, 2, 3, · · · (3.37)

Lo que conduce a que las frecuencias de las posibles ondas estacionarias son:

νn =v

λn=

nv

2Lcon n = 1, 2, 3, · · · (3.38)

Tubo abierto-cerrado. El extremo abierto será un nodo, igual que en el caso anterior, mientras queel extremo cerrado se convertirá en un nodo porque las partículas situadas allí no podrán oscilar. Porlo tanto, la longitud L del tubo será la correspondiente a la distancia genérica entre un nodo y unantinodo, es decir, L = (2n − 1)λ/2, o correspondientemente:

λn =4L

2n − 1con n = 1, 2, 3, · · · (3.39)

ecuación que nos dice las longitudes de onda de las posibles ondas estacionarias. Las frecuencias de lasondas estacionarias se escribirán por tanto como

νn =v

λn= (2n − 1)

v

4Lcon n = 1, 2, 3, · · · (3.40)

Tubo cerrado. En este caso, en ambos extremos han de existir antinodos, y por lo tanto el análisises idéntico al caso del tubo abierto. Así, las frecuencias y la longitudes de onda correspondiente a lasresonancias vienen dadas por las ecuaciones (3.37) y (3.38).

44

Existe una diferencia notable en la secuencia de armónicos para tubos abiertos (ec. (3.38)) y abiertos-cerrados (ec. (3.40)). Para tubos abiertos, la frecuencia fundamental es

ν1 =v

2L(3.41)

y el segundo armónico (n = 2) sería ν2 = v/L = 2ν1, y así sucesivamente. En estos tubos, por tanto, existentodos los armónicos, es decir, todos los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.

Ejemplo 3.6

Un tubo de órgano abierto por los dos extremos está afinado a 440 Hz en el armónico fundamental. Su segundoarmónico tiene la misma frecuencia que el tercer armónico de un tubo de órgano con los tubos cerrados por unextremo. Determinar las longitudes de ambos órganos.

Consideremos que la velocidad del sonido es v = 340 m/s. Para el tubo abierto, como su primer armónico esde 440 Hz se tiene que

440 =v

2L1

−→ L1 =340

2 × 440= 38,6 cm

Para el tubo abierto-cerrado, su tercer armónico será de 880 Hz (el segundo armónico del primero) por lo quesegún (3.40) para n = 3:

880 =5v

4L2

−→ L2 =5 × 340

4 × 880= 48,3 cm

Sin embargo, de (3.40), el armónico fundamental es ν1 = v/4L, y para n = 2, la correspondiente frecuenciaes ν2 = 3v/4L = 3ν1, para n = 3 se tiene ν3 = 5ν1 y así sucesivamente. No existen armónicos pares en untubo abierto-cerrado. Esto quiere decir que si ajustamos la longitud de un tubo abierto-cerrado para quesu frecuencia fundamental sea la misma que la de un tubo abierto, cuando se hagan resonar se notaránautomáticamente dos sonidos diferentes. Ello se debe a la distinta composición de armónicos existentes: enuno de ellos (el abierto) existen todos, mientras que en otro, sólo los impares.

3.6. Batidos o pulsaciones

Las ondas sonoras, al igual que las mecánicas estudiadas en el capítulo 2, presentan fenómenos de interfe-rencia. En particular, vamos a prestar atención a la superposición de dos ondas sonoras de aproximadamentela misma frecuencia. El resultado de la superposición de ondas de estas características ya se estudió al finaldel tercer apartado de capítulo 2. Allí probamos que si en una región del espacio se superponen dos ondasdel tipo Ψ1 = A sen(k1x − ω1t) y Ψ2 = A sen(k2x − ω2t), el resultado viene dado por

Ψ = 2A cos

(

∆k

2x − ∆ω

2t

)

sen(

kx − ωt)

(3.42)

con

∆k = k1 − k2 , ∆ω = ω1 − ω2 , k =k1 + k2

2, ω =

ω1 + ω2

2(3.43)

Si fijamos un punto en el espacio, es decir, si escuchamos en un punto dado la superposición de ambasondas (tomemos x = 0 por simplicidad) el resultado es

Ψ = 2A cos

(

∆ω

2t

)

sen (ωt) (3.44)

45

donde no hemos tenido en cuenta el signo − adicional, por no ser esencial en el razonamiento, ya quesupone únicamente una constante de fase inicial. El resultado final (ver figura 3.8) es que oímos un sonido defrecuencia ω pero cuya amplitud está controlada (o modulada) por un término de variación mucho más lenta(el término coseno de la ecuación anterior). En otras palabras, oímos un sonido de tono dado por la oscilaciónrápida (de frecuencia ν = ω/2π) que ‘viene y va’: en los instantes de valor mínimo señalados figura 3.8 nohay amplitud, y por lo tanto desaparece el sonido. A partir de ese momento vuelve a aparecer, haciéndosemás intenso, hasta alcanzar su valor máximo, también indicado en la figura 3.8. Este fenómeno se denominabatido o pulsación.

Figura 3.8: Los batidos en una onda sonora.

¿Cuánto tiempo separa dos batidosconsecutivos? o, en otras palabras, ¿cuáles la frecuencia de los batidos? En prin-cipio podría pensarse que, puesto que losbatidos son consecuencia de la envolven-te de baja frecuencia (el término cosenode (3.44)) el periodo de batido será pre-cisamente el de este término, o sea

Tbf =2π∆ω2

=4π

∆ω(3.45)

Sin embargo, hay que notar que los batidos dependen de la intensidad de la onda, que depende del cuadradode la amplitud de la onda. Por lo tanto, cuando cos(∆ωt/2) = ±1 tenemos que cos2(∆ωt/2) = 1, y laamplitud al cuadrado de la modulación es 4A2. Así pues, cada vez que transcurre un tiempo Tbf , realmenteocurren dos batidos (dos máximos de intensidad) que corresponden al máximo y al mínimo de la modulación.El periodo de los batidos es, por lo tanto

Tbat =Tbf

2=

2π

∆ω(3.46)

Dado que ∆ω = ω1 − ω2 y que ν = 1/T , se llega a que la frecuencia de los batidos viene dada por

νbat =1

Tbat

=∆ω

2π=

ω1 − ω2

2π= ν1 − ν2 (3.47)

En general, como no sabemos si ν1 > ν2 o viceversa, es preferible escribir

νbat = |ν1 − ν2| (3.48)

Cuanto más próximas sean las frecuencias de las ondas que se superponen, menor será la frecuencia de losbatidos, es decir, mayor el tiempo que tardan en repetirse. En caso de ser iguales, νbat = 0, y el periodocorrespodiente sería infinito, es decir, que no se producirían batidos.

Los batidos pueden conseguirse haciendo oscilar, por ejemplo, dos diapasones que no sean exactamenteidénticos. Si uno tuviera, por ejemplo, una frecuencia de 1399 Hz y el otro de 1401 Hz, al hacerlos sonar almismo tiempo oímos un tono de 1400 Hz que viene y va dos veces por segundo. No obstante, si la diferenciaen frecuencia de los dos tonos es suficientemente alta, el oído ‘oye’ dos tonos diferenciados y el fenómeno delos batidos desaparece.

Los batidos son útiles entre otras cosas para afinar correctamente los instrumentos musicales, siempreque dispongamos de una fuente sonora calibrada exactamente (un diapasón). El ajuste perfecto se consiguecuando el instrumento a afinar, pulsado, no produzca batidos con el diapasón.

3.7. El efecto Doppler

Este efecto consiste en la recepción por parte de un observador de una onda emitida por un emisor, demanera que la frecuencia medida por el observador es distinta de la emitida por el emisor cuando receptor y

46

Figura 3.9: Esquema del efecto Doppler

emisor están en movimiento relativo. La frecuencia recibida por el receptor es la misma que la emitida porel emisor si entre ellos no hay movimiento relativo. Un ejemplo típico es la ostensible variación de frecuenciaen el sonido del claxon de un automóvil cuando pasa a nuestro lado. Tal variación de frecuencia se denominadesplazamiento Doppler, y ocurre en todo tipo de ondas que verifiquen lo antes establecido. En el agua puedeverse que, por ejemplo, si la fuente que provoca ondas se mueve con respecto al líquido (y por tanto conrespecto a un observador estacionario con el agua) los frentes de onda se ven más comprimidos en el sentidode avance de la fuente que en el contrario. Algo parecido se esquematiza en la figura 3.9, que nos va a servirpara examinar el efecto Doppler.

Supongamos un foco emisor E moviéndose con velocidad ve y un observador O moviéndose con velocidadvo. Consideremos ambas velocidades colineales y positivas cuando están en el sentido esquematizado en lafigura 3.9. Sea νe la frecuencia de emisión propia del emisor, y por lo tanto Te = 1/νe se corresponde conel tiempo que transcurre entre, por ejemplo, la emisión de dos crestas consecutivas. Sea νo la frecuencia quemide el observador, de manera que To = 1/νo es el tiempo que transcurre entre la recepción de dos crestasconsecutivas.

La parte izquierda de la figura 3.9 presenta una sucesión de lo que ocurre en el emisor en tres instantesseparados por un intervalo Te. En t = 0 suponemos que se emite una cresta. Una vez que se emite, avanzasiempre a la velocidad v de propagación de la onda correspondiente (por ejemplo, a la velocidad del sonido).Así, en t = Te esa cresta habrá avanzado desde el punto en el que se emitió una distancia vTe. En ese mismoinstante, E habrá avanzado una distancia veTe, y emitirá una nueva cresta. En t = 2Te, la cresta emitida ent = 0 estará en una circunferencia (una esfera en 3D) de radio 2vTe centrada en la posición en la que estabaE en t = 0. La cresta emitida en t = Te habrá avanzado vTe y estará en una circunferencia de ese radiocentrada en la posición de E en t = Te. La parte inferior de la figura ?? dibuja la posición de ambas crestas.La distancia entre ambas crestas es la longitud de onda λ que observa cualquier observador en reposo (noO, que está moviéndose). Hay que darse cuenta de que λ depende de la dirección de observación. Nosotroshemos supuesto O en la dirección de avance de E, por lo que la λ que interesa es la marcada en la figura.

47

De la geometría de la figura, podemos apreciar que:

λ = vTe − veTe = (v − ve)Te =v − ve

νe(3.49)

Por otro lado, supongamos que el observador recibe en un instante dado t′ la cresta emitida en t = 0, yen t′ + To la siguiente. Se verifica la relación

vTo = λ + voTo (3.50)

o bienλ = (v − vo)To =

v − vo

νo(3.51)

Puesto que λ coincide en ambas situaciones, usando (3.49) y (3.51) ha de verificarse que

νo = νe(v − vo)

(v − ve)(3.52)

Esta expresión nos permite encontrar la frecuencia percibida por el observador, conocidas las frecuenciaspropias del emisor y las velocidades de emisor y observador. Hay que recordar que los signos − que aparecenen la ecuación anterior se deben a que hemos considerado como positivas las velocidades en el sentido indicadoen la figura 3.9. Si por ejemplo la velocidad del emisor fuera en sentido contrario, su signo sería negativo.

Ejemplo 3.7

Un emisor tiene una frecuencia propia de 69.3 Hz. El aire está en reposo. Calcular la frecuencia de recepciónen los siguientes casos: a) Cuando el emisor se mueve hacia el observador a una velocidad de 15.6 m/s. b)Cuando el receptor se mueve hacia el emisor, que está en reposo, a esa misma velocidad. c) Determinar lalongitud de onda en las situaciones a) y b). Considere en todos los casos que la velocidad del sonido es de 345 m/s.

a) Hay que usar (3.52), teniendo en cuenta que vo = 0 y que ve = 15,6 m/s y que como el emisor se muevehacia el observador, se mantiene el signo − del denominador de (3.52). Así

νo = νev

(v − ve)= 69,3

(

345

345 − 15,6

)

= 72,6 Hz

b) De nuevo, hay que usar 3.52) con ve = 0 y vo = 15,6 m/s y que como el observador se mueve hacia elemisor, hay que usar un signo + en el numerador de (3.52):

νo = νe(v + v0)

v= 69,3

(

345 + 15,6

345

)

= 72,4 Hz

A la vista de los resultados que acabamos de obtener, conviene darse cuenta de que NO es equivalente que elemisor se mueva hacia el observador estando éste en reposo (caso a)), que que el observador se mueva a la mismavelocidad hacia el emisor en reposo (caso b)).

c) Sin más que usar (3.49) o indistintamente (3.51), se tiene que λ = 4,75 m y 4,765 m para los casos a) yb) respectivamente.

48

Figura 3.10: Situación en la que el emisor no semueve hacia el observador.

La expresión (3.52) puede hacerse extensiva a movi-mientos no tan simples como el analizado (velocidades coli-neales), considerando las componentes de velocidad ade-cuadas. Por ejemplo, imaginemos el observador O en re-poso, y un emisor moviéndose a velocidad ve según la di-rección BA, como se muestra en la figura 3.10 ¿Qué fre-cuencia recibe O? En este caso, vo = 0, y la velocidad aincluir en (3.52) para el emisor no es la velocidad del emi-sor, sino su componente en la dirección BO. La razón esque según se desprende de la figura 3.9, los frentes de ondaestán más separados en direcciones θ respecto a la movi-miento del emisor (figura 3.10). Por lo tanto, sólo influyela componente de velocidad adecuada, que en nuestro casoserá ve cos θ.

De acuerdo con (3.52), las frecuencias medidas por observador y emisor son iguales (νo = νe) cuando susvelocidades son iguales (vo = ve), es decir, cuando ambos estén en reposo relativo, aunque se muevan conrespecto al medio. Nótese también que si el observador está en reposo (vo = 0) y el emisor se mueve haciaal observador a velocidad v′, la frecuencia que percibe O no es la misma que si el emisor está en reposo y elemisor se mueve hacia él con velocidad v′. Ello permite, conociendo la frecuencia propia νe determinar si esel observador quien se mueve hacia el emisor o viceversa.

La expresión (3.52) tiene dos limitaciones. La primera es que no es exacta cuando las ondas estudiadas sonluminosas (o cualquier otra onda electromagnética). La razón es la constancia de la velocidad de propagaciónde las ondas luminosas en el vacío, independientemente del sistema de referencia en que se midan. Nodiscutiremos esto aquí, pues cae dentro del campo de la Teoría de la Relatividad, pero si aclararemos loque esto quiere decir. Para ello, fijémonos en la figura 3.9 en el instante t = Te para el emisor. En eseinstante, la cresta emitida en t = 0 dista del emisor vTe − veTe, que coincide con λ, como ya vimos. Enotras palabras, la cresta se mueve con velocidad relativa al emisor vr = v − ve, que no es sino la regla decomposición de velocidades en la transformación de Galileo. Si el emisor emitiese ondas de luz, esa velocidadno sería c − ve (donde c es la velocidad de la luz), sino c, independientemente del valor de ve. Es decir, laluz se aleja del emisor siempre con velocidad c, se mueva o no el emisor con cualquier velocidad. Este esel postulado de constancia de la velocidad de la luz, base de la Teoría de la Relatividad. Al ser cierto, elrazonamiento que conduce a (3.52) no es bueno para las ondas luminosas. Sin embargo, las ondas luminosastambién experimentan desplazamiento Doppler, pero su expresión viene dada por:

νo = νe

(

c − vR

c + vR

)1/2

(3.53)

donde vR es la velocidad relativa emisor-receptor, que es negativa si se acercan.

Figura 3.11: Esquema de lo que ocurre si el emi-sor se mueve más rápido que la onda que emite.

La segunda limitación de (3.52) es lo que ocurre si cual-quiera de las dos velocidades ve o vo son mayores que lavelocidad de propagación v de la onda. Supongamos ve = 0y vo > v. De la ecuación (3.52), se obtiene un valor nega-tivo para νo, lo cual no tiene sentido. La situación físicareal es que, como el observador avanza más rápido que laonda, nunca medirá nada. La onda no lo alzanza, y no hayefecto Doppler de ningún tipo.

Más complicada es la situación ve > v. De nuevo (3.52)no es aplicable, por obtener un valor negativo para νo. Loque ocurre es que el emisor va dejando atrás la onda queemite, y se forma una onda de choque. Tal onda es la en-volvente de las ondas individuales emitidas en los sucesivos

49

instantes de tiempo. La figura 3.11 ilustra lo que se quiere decir. Puesto que la envolvente es una recta tan-gente a las sucesivas circunferencias, y puesto que en t el emisor ha avanzado vet, mientras que la ondaemitida en t = 0 lo ha hecho vt, de la geometría de la figura se deduce

sen θ =vt

vet=

v

ve(3.54)

siendo θ el ángulo del vértice del cono envolvente. La relación ve/v se conoce como número de Mach, Ma.Un valor Ma = 1 nos dice que la fuente se mueve a la velocidad del sonido, mientras que valores Ma > 1ocurren en la región supersónica.

Toda la energía en los frentes de onda 0, 1, 2,... dibujados en 3.11 va quedando almacenada en el frentede onda Mach, por lo que estas ondas de choque transportan gran cantidad de energía. Las oscilacionesde presión en el frente de onda pueden ser tan intensas que rompan cristales, o dañen el tímpano. Avionessupersónicos volando a bajas alturas pueden causar destrozos considerables, además de la explosión sónicaque se percibe cuando nos alcanza el frente de onda.

50