Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga Cálculo I Primer Parcial
1 E-mail: [email protected]
1. Resolver la inecuación: 1
13
x
x
Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absoluto x a a x a , tenemos lo siguiente:
11
1 1 31 1 1
13 31
3
x
x x x
xx x
x
Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos:
12 11 1 2 21 1 0 0 0
33 3 3 3
xxx x x
xx x x x
Entonces obtenemos el primer conjunto solución: 1 ] , 3[ [ 1, [Cs
1 1 4 4
1 1 0 0 0 33 3 3 3
x xx
x x x x
Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: 2 ] 3, [Cs
La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: 1 2 [ 1, [TCs Cs Cs
2. Resolver la siguiente inecuación: 2 3 2 2
2 2
x x x
x x
Solución: pasando a restar el término de la derecha de la inecuación y sacando MCD:
3 2 22 2 3 25 8 4 4 43 2 2 3 2 2 4 120 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x xx x x x x x x x x
x x x x x x x x
Nuevamente factorizando y empleando el método de los puntos críticos para resolver la inecuación, obtenemos:
2 04 12
0 22 2
2
xx x x
xx x
x
El conjunto solución de la inecuación es: ] , 2[ [0,2[Cs
Nota: no tomamos en cuenta el factor 2 4 12x x en el análisis de puntos críticos ya que presente soluciones en los complejos.
3. Hallar el conjunto solución: 1
1 53x
Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absoluto x a a x a , tenemos lo siguiente:
45
1 4 4 31 5 5 5 5
43 3 35
3
x
x x x
xx x x
x
Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos:
194 4 6 19
5 5 0 0 0 63 3 3
3
xx x x
x x xx
-3 -1VFV
-3VF
-2 0
V
2F FV
-19/6 -3VFV
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga Cálculo I Primer Parcial
2 E-mail: [email protected]
Entonces obtenemos el primer conjunto solución: 1
19] , ] ] 3, [
6Cs
114 4 4 11 4 11
5 5 0 0 0 43 3 3 3
3
xx x x x
x x x xx
Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: 2
11] , 3[ [ , [
4Cs
La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: 1 2
19 11] , ] [ , [
6 4TCs Cs Cs
4. Resolver la siguiente inecuación: 5 1
2 1 2x x
Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absolutoaa
b b , y luego multiplicando y dividiendo en cruzado, tenemos:
5 1 2 15 15
2 1 2 2 1 2 2
x
x x x x x
Llevando los términos en valor absoluto a uno solo: 2 1 2 1 2 1
5 5 52 2 2
x x x
x x x
Empleando la siguiente propiedad de valor absoluto x a a x a , tenemos lo siguiente:
2 15
2 1 2 1 25 5 5
2 12 25
2
x
x x x
xx x
x
Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos:
112 1 2 1 7 11
5 5 0 0 0 72 2 2
2
xx x x
x x xx
Entonces obtenemos el primer conjunto solución: 1
11] , ] ]2, [
7Cs
32 1 2 1 3 9 3 95 5 0 0 0
22 2 2 2
xx x x x
xx x x x
Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: 2 ] ,2[ [3, [Cs
La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: 1 2
11 1] , ] [3, [
7 2TCs Cs Cs
5. Resolver la inecuación: 2
1 3 1 0x x
Solución: pasando a restar uno de los términos y simplificando, tenemos lo siguiente: 2 2
1 3 1 0 1 3 1 1 3x x x x x
Al simplificar aparece la condición de 1x , empleando la siguiente propiedad de valor absoluto x a a x a
-3 -11/4VFV
11/7 2VFV
2 3VFV
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3 E-mail: [email protected]
1 31 3 3 1 3
1 3
xx x
x
Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos:
1 3 2 0 2x x x
Entonces obtenemos el primer conjunto solución: 1 [ 2, [Cs
1 3 4 0 4x x x
Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: 2 ] ,4]Cs
La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: 1 2 [ 2,4] 1TCs Cs Cs
6. Hallar el conjunto solución de: 6 5 1
3 2
x
x
Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absoluto x a a x a , tenemos lo siguiente:
6 5 1
6 5 1 1 6 5 1 3 2
6 5 13 2 2 3 2
3 2
x
x x x
xx x
x
Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos:
53 3 56 5 1 6 5 1 15 9
0 0 0 33 2 3 2 2 3 2 3
3
x xx x x
x x x xx
Entonces obtenemos el primer conjunto solución: 1
5] 3, ]
3Cs
96 5 1 6 5 1 9 11 11 9
0 0 0 113 2 3 2 3 3
3
xx x x x
x x x xx
Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: 2
9] ,3[ [ , [
11Cs
La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: 1 2
9 5[ , ]11 3
TCs Cs Cs
7. Dada la función 1
( )3
xf x
y la composición ( )f g f x x , hallar ( )g x .
Solución: llevando la composición a la siguiente notación, ( ) ( ( ))f g f x f g f x x entonces haciendo algunas
modificaciones para llegar a la segunda composición, se tiene.
3 1 1
( ( )) 1 1 1 1 33 3 3
xf g f x x x x
Notemos que 1
( )3
xf x
, reemplazando en la anterior ecuación, se tiene:
1( ( )) 3 ( )
3f g f x f x
-2VF
4V
-3 5/3FVF
-3VF
9/11V
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4 E-mail: [email protected]
Componiendo la anterior ecuación en x en lugar de ( )f x , se tiene: 1
( ) 3 3 1...3
f g x x x A
Ahora componiendo la función ( )f x en ( )g x , como se ve: 1 ( ) 1
( ) ( ( )) ( ) ...3 3
x g xf x f g x f g x B
Igualando A y B, se tiene: ( ) 1
3 1 ( ) 9 43
g xx g x x
8. Si 2 1
( )4
xf x
x
y
2 1( )
4
xf g f x
x
, hallar ( )g x
Solución: llevando la composición de funciones a su otra notación: 2 1
( ) ( ( ))4
xf g f x f g f x
x
Pero notemos que 2 1
( )4
xf x
x
, entonces reemplazando en la anterior ecuación: ( ( )) ( )f g f x f x
Componiendo la última función (x en lugar de ( )f x ), se tiene: ( ) ...f g x x A
Ahora componiendo la función 2 1
( )4
xf x
x
en ( )g x , se tiene:
2 ( ) 1( ( )) ( ) ...
( ) 4
g xf g x f g x B
g x
Igualando ecuaciones A y B, se tiene: 2 ( ) 1 4 1
2 ( ) 1 ( ) 4 ( )( ) 4 2
g x xx g x xg x x g x
g x x
9. Si 1
( )2
x xf
x
y ( )
1
xg x
x
, hallar 1 1x
f gx
Solución: componiendo f en x, se tiene:
1 1 12 12 2 2 2( ) ( ) ( )
2 2
2 2
x xx
x xf f x f x
x x x x
Componiendo la última función en 1( )g x
, se tiene: 1
1 1
1
2 ( ) 1( ( )) ...
2 ( )
g xf g x f g x A
g x
Hallamos la función inversa, para ello despejamos x de la siguiente ecuación, ( )1
xg x y
x
1( ) ...1 1 1
x yx y xy xy y x x y g x B
y xx y x
Reemplazando ecuación B en A, se tiene: 1 1
2 13 11
22
1
x
xxf g x f g x
x x
x
Hallando 1 1xf g
x
en la anterior función:
1 1
13 1
1 1 2 3
1 2 12
x
x x xxf g f g
xx x x
x
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10. Si sin
( )1 cos
xf g x
x
,
1( )
secg x
x hallar ( )f x .
Solución: si 1
( ) cossec
g x xx
realizando un cambio de variable y aplicando identidades trigonométricas:
sin arccoscos arccos ( )
1 cos arccos
tx t x t f g t
t
De acuerdo con el cambio de variable, tenemos el siguiente triangulo rectángulo:
2
2
2
1sin sin arccos sin arccos 11 ( )
1 cos arccoscos cos arccos
1
1( )
tx x t t
f g tt tt
x x
tf g t
t
11. Si ( ) 2 3f x x m , determinar el valor de m de tal manera que 1 2(1 ) 3 ( )f m f m
Solución: hallando (1 )f m , se tiene:
( ) 2 3 (1 ) 2 1 3 (1 ) 2 ...f x x m f m m m f m m A
Hallando la función inversa de ( )f x , se tiene:
13 3( ) 2 3 2 3 ( )
2 2
y xy m x mf x x m y x m x y f x
x y
Componiendo la última función en 2m , se tiene:
21 1 23 3( ) ( ) ...
2 2
x m m mf x f m B
Reemplazando A y B en la condición:
211 2 2
2
13
3(1 ) 3 ( ) 2 3 3 11 4 02
4
mm mf m f m m m m
m
12. Calcular la función inversa de
3 3
3 3
2 1 1( )
1 1
x xf x
x x
Solución: para resolver el problema lo conveniente es hacer un cambio de variable, como se ve:
3 33 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
3
2 1 1 1 12 1 2 1
2 1 1 1 1 1( ) ( )
1 1 1 1 1 11 1
1 11
x x x x
x x x x xf x f x y
x x x x x x
x xx
De la última expresión despejando x para hallar la función inversa, se tiene:
x
t
1
21 t
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6 E-mail: [email protected]
3
3 3 3 3
3
12 1
1 1 1 1 112 1 2 1
1 1 1 1 211
1
x
x x x x yxy y y y y
x x x x yx
x
Elevando al cubo ambos lados de la ecuación y por ultimo despejando x, se tiene:
3
3 3 3 3 3 3 3
33 33 3
1
3 33 3
3
1 1 1 1 1 1 1 11 1 1
1 2 1 2 2 2 2 2
11
2 1 2 1 2( )
1 1 2 1 21
2
x y x y y y y yx x x
x y x y y y y y
y
x yy y y x xx y f x
y xy y y x x
y
13. Calcular el siguiente límite: 3 3
0limh
a h aL
h
Solución: si evaluamos el límite obtenemos una indeterminación del tipo 0
0, para levantar la indeterminación, debemos “racionalizar ”
el numerador, para ello recurrimos al siguiente artifició matemático.
2 2 3 33 3 3 3 3 3
3 3
2 2 2 20 03 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 20 03 3 3 3 3 3 3 3
2 20 3 3 3 3
lim lim
lim lim
1lim
h h
h h
h
a h a h a a a h aa h aL
h a h a h a a h a h a h a a
a h a hL
h a h a h a a h a h a h a a
L
a h a h a a
De la última expresión, evaluando el límite:
2 2 2
3 3 3 3 3
1 1
3
L L
a a a a a
14. Calcular el siguiente límite:
2 2
2 20lim : , 0x
p x pL p q
q x q
Solución: si evaluamos el límite obtenemos una indeterminación del tipo 0
0, para levantar la indeterminación, debemos “racionalizar”
el numerador:
22 2 2 22 2 2 2
2 2 2 20 0 02 2 2 2 2 2 2 2lim lim limx x x
p x p xp x p p x pL
q x q p x p q x q p x p q x q p x p
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga Cálculo I Primer Parcial
7 E-mail: [email protected]
De la última expresión ordenando y luego racionalizando el denominador:
2 2 2 22 2
20 02 2 2 2 2 2 2 22 2 2
2 2 2 22
20 02 2 2 2
1lim lim
lim lim
x x
x x
q x q q x qx xL
p x p q x q q x q p x p q x q
q x q q x qxL
xp x p p x p
Por ultimo evaluando el límite, tenemos:
2
0 2limx
q q qL L
pp p
15. Calcular el siguiente límite: 8
3
8lim
2
x
xL
xx
Solución: si evaluamos el límite obtenemos una indeterminación del tipo 0
0, para levantar la indeterminación, debemos “racionalizar”
el denominador dos veces:
22
22 3 3
3 3
2 38 8 82 33 3
3 3 3
22
3 3
38
82 22 28 8
lim lim lim
2 2 2 2 2
82 2
lim
2
x x x
x
x xx x x x xx xx x
Lx x x x xx x x x x
x xx x x
Lx
x
Ordenando la última expresión y volviendo a racionalizar, se tiene:, se tiene:
3
22
3 3
3 38
3
2 22 2
3 3 3 3
28 83
2
21lim 8
2 2
2 2
2 2lim 8 lim 8
2 2 2 2
2
x
x x
xx
x xL x x x
x xx x
x xx x
x x x xL x x x x x x
xx
3
32
8
xx
Factorizando2x en el denominador y sacando MCD, se tiene:
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8 E-mail: [email protected]
3
2 2 32 2
3 3 3 3
28 82
2 8lim 8 lim
82 2 2 2 2
8
x x
xx
x x x x xL x x x x x x
x xx
Evaluando el límite, obtenemos el resultado: 8
8lim 4 4 4 8 8 24
64xL L
16. Hallar la constantes a y b de la condición: 2 1
lim 01x
xax b
x
Solución: dividiendo los polinomios y por propiedades de límites repartimos el límite de la siguiente manera:
2 1 1 1
lim 0 lim 0 lim lim 1 01 1 1x x x x
x x xax b x ax b x a b
x x x
De la última expresión despejando el segundo límite:
11
1lim 1 lim lim lim 1 1
111
x x x x
x xx a b x a bx
x
De la última igualdad, este se si el coeficiente de x es cero: lim 1 1 1 0 1x
x a b a a
Si a=1, entonces el límite será: lim 1 1x
b b
17. Hallar las constantes k y b de la ecuación:
3
2
1lim 0
1x
xkx b
x
Solución: dividiendo los polinomios y repartiendo los límites, se tiene:
3 2
2 2
2
1 1
1 1lim 0 lim 0 lim 1 lim 0
11 11
x x x x
x x x xkx b kx b x x k bx x
x
De la última igualdad el segundo límite se hace cero, entonces se tiene: lim 1 0x
x k b
Para que el límite exista, el coeficiente de x debe ser cero: lim 1 0 1 0 1x
x k b k k
Si k=-1, entonces el anterior límite será: lim 0 0 1x
b b k
18. Calcular el límite: 2
limx a
x a x a
x a
Solución: racionalizando el numerador, pero antes debemos agrupar en dos términos, como se ve:
2 2
2 2lim limx a x a
x a x a x a x a x a x a
x a x ax a x a x a x a
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9 E-mail: [email protected]
De la última expresión sumando y restando términos semejantes, y volviendo a racionalizar:
2 2
2
2 2
22lim lim
2 2lim lim
x a x a
x a x a
a xax xa a x a a xa
a xax a x a x a x a x a x a
a xa a a x
x a x a x a a xa x a x a x a a xa
Simplificando aún más la última expresión para levantar la indeterminación, se tiene:
2 2
2
2 2lim lim
2 2lim lim
2 2lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
a x a a x a
x a x a x a a xa x a a x a a x a a x x a a xa
a x a a x a
x a a a x a x a a xa x a x a a x a x a a xa
a x a a
x a a x a x a x a a xa x a a x a a xa
Por último evaluando el límite se tiene:
2 2 1
lim2 2x a
a a
a a a aa a a a a a aa
2
1lim
2x a
x a x a
ax a
19. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas y Simetrías, construir la gráfica de la ecuación: 2 2 9 0xy x y
Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja y de la ecuación (no existe raíz
cuadrada de un número negativo):
2 2 299 9 9
( , ) 9 0 1 9 0 0 ]1,9]11 1 1
xx x xF x y xy x y y x x y Df
xx x x
El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja x de la ecuación., (no
presenta ninguna restricción):
2
2 2 2 2
2
99 0 1 9
1
yxy x y x y y x If y
y
Intersecciones, con el eje x ( ( ,0)F x ): 2 2( , ) 9 0 9F x y xy x y x
Intersecciones, con el eje y ( (0, )F y ): 2 2 2( , ) 9 0 9 0F x y xy x y y no tiene intersecciones en los reales.
Asíntotas verticales: 9
1
xy
x
solo presenta una asíntota vertical y es: 1 0 1x x
Asíntotas horizontales:
2
2
9
1
yx
y
no presenta ninguna asíntota.
1 9FVF
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10 E-mail: [email protected]
Simetrías con el eje x ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 2 22 2 9 9xy x y x y x y si existe simetría
Simetrías con el eje y ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 2 2 2 29 9xy x y x y x y no existe simetría.
En conclusión no existe simetría con el origen.
20. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas y Simetrías, construir la gráfica de la ecuación:
( )1
xy f x
x
Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja y de la ecuación (no existe raíz
cuadrada de un número negativo):
( , ) 01
0( ) 0 0 [0,1[
11 1 11
xF x y y
x
xx x x xy f x y Df
xx x xx
El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja x de la ecuación., (no
presenta ninguna restricción):
22 2 2
21 1 1
x x yy y y xy x x If x
x x y
Intersecciones, con el eje x ( ( ,0)F x ): ( , ) 0 01
xF x y y x
x
Intersecciones, con el eje y ( (0, )F y ): ( , ) 0 01
xF x y y y
x
Asíntotas verticales: 1
xy
x
solo presenta una asíntota y es: 1 0 1x x
Asíntotas horizontales:
2
2 1
yx
y
no presenta ninguna asíntota.
Simetrías con el eje x ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 1 1
x xy y
x x
no existe simetría
Simetrías con el eje y ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 1 1
x xy y
x x
no existe simetría.
0 1FVF
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11 E-mail: [email protected]
En conclusión no existe simetría con el origen.
21. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas y Simetrías, construir la gráfica de la ecuación:
1( ) log
1
xf x
x
Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja y de la ecuación (no existe
logaritmo de un número negativo, ni del cero):
1 1( ) log ( , ) log 0
1 1
11 1 1( ) log log 0 ] , 1[ ]1, [
11 1 1
x xf x y F x y y
x x
xx x xf x y y Df
xx x x
El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja x de la ecuación., (no existe
división entre cero):
1 1 1
log 1 0 01 1 1
yy y y
y
x x ey e x xe e x y If y
x x e
Intersecciones, con el eje x ( ( ,0)F x ):1 1
( , ) log 0 log 01 1
x xF x y y
x x
no existe intersecciones.
Intersecciones, con el eje y ( (0, )F y ): 1
( , ) log 0 log 1 01
xF x y y y
x
no existe intersecciones.
Asíntotas verticales: 1
log1
xy
x
presenta dos asíntotas en: 1 0 1 1 0 1x x x x
Asíntotas horizontales: 1
1
y
y
ex
e
solo presenta una asíntota horizontal en 0y
Simetrías con el eje x ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 1 1
log log1 1
x xy y
x x
no existe simetría
Simetrías con el eje y ( ( , ) ( , )F x y F x y ):
1 1log log
1 1
x xy y
x x
no existe simetría.
-1 1VFV
Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga Cálculo I Primer Parcial
12 E-mail: [email protected]
En conclusión no existe simetría con el origen.
22. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas y Simetrías, construir la gráfica de la ecuación:
2( ) log 9 1f x x
Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja y de la ecuación (no existe
logaritmo de un número negativo, ni del cero):
2 2
2 2 2
( , ) log 9 1 ( , ) log 9 1 0
3( , ) log 9 1 log 9 1 9 0 3 3 0
3
] , 3[ ]3, [
f x y y x F x y y x
xf x y y x y x x x x
x
Df
El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja x de la ecuación., (no existe
restricción):
2 2 2 1 1log 9 1 log 9 1 9 10 10 9y yy x x y x x If y
Intersecciones, con el eje x ( ( ,0)F x ): 2 2 2( , ) log 9 1 0 log 9 1 9 10 18F x y y x x x x
Intersecciones, con el eje y ( (0, )F y ): 2( , ) log 9 1 0 log 9 1 0F x y y x y no existe
intersecciones.
Asíntotas verticales: 2log 9 1y x presenta dos asíntotas en: 2 9 0 3x x
Asíntotas horizontales: 110 9yx no presenta asíntotas.
Simetrías con el eje x ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 2 2log 9 1 log 9 1y x y x no existe simetría
Simetrías con el eje y ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 22log 9 1 log 9 1y x y x si existe simetría.
En conclusión no existe simetría con el origen.
-3 3VFV
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23. Analizar la continuidad de la función
Solución: analizando la continuidad por la izquierda y por la derecha para los puntos 2, 2x x .
Para 2x
2
33
2
( 2) ( 2) 2 0
lim 2 ( 2) 2 0
( ) es discontinua en 22
lim 42 2
x
x
f
x
f x xx
Para 2x
3
33
2
2
2(2) 4
2
2lim 4
( ) es discontinua en 22 2
lim 12 4 12 4 2 4
x
x
f
x
f x x
x
.
24. Determinar el valor de A y B para que la función sea continua:
2 1, 1
( ) 2 , 1 2
1, 2
Ax Bx x
f x Ax B x
x x
Solución: analizando la continuidad de los puntos por izquierda y derecha en los puntos 1, 2x x , se tiene:
Para
2
1
1
lim 1 11 (1)
lim 2 2
x
x
Ax Bx A Bx f
Ax B A B
Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. 1 2 2 1...A B A B A B
Para
2
2
2
lim 1 4 2 12 (2)
lim 2 4
x
x
Ax Bx A Bx f
Ax B A B
Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. 4 2 1 4 3 1 0...A B A B B
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Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 2 1 1 1
,3 1 0 3 3
A BA B
B
25. Determinar para que valores de x la función es discontinua y construir su gráfica:
1 ; 2
( ) 2 ; 2 3
2 7; 3
x si x
f x x si x
x si x
Solución: analizando la continuidad por la izquierda y por la derecha para los puntos 2, 3x x .
Para 2x
2
2
( 2) 1 2 1
lim 1 1 2 1
( ) es discontinua en 2lim 2 2 2 4
x
x
f
x
f x xx
Para 3x
3
3
(3) 2 3 1
lim 2 2 3 1
( ) es discontinua en 3lim 2 7 2 3 7 1
x
x
f
x
f x xx
26. Determinar el valor de C y K para que la función sea continua en todos su dominio:
2 , 2
( ) 3 , -2 1
3 2 , 1
x C x
f x Cx K x
x K x
Solución: analizando la continuidad de los puntos por izquierda y derecha en los puntos 2, 1x x , se tiene:
Para
2
2
lim 2 2 2
2 ( 2)lim 3 6
x
x
x C C
x fCx K C K
Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. 2 2 6 8 2...C C K C K
Para
1
1
lim 3 3
1 (1)lim 3 2 3 2
x
x
Cx K C K
x fx K K
Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. 3 3 2 3 3 3 1...C K K C K C K
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 8 2 1 2
,1 0 3 3
C KC B
C K
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27. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 3 5 7x
Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absoluto x a a x a , tenemos lo siguiente:
3 23 5 7 7 3 5 7 2 3 13
3 13
xx x x
x
Resolviendo cada una de las inecuaciones:
Primero para 3 2x :
1
3 2 3 2 3 2 1 5x x x x x
Cs x
Segundo para 3 13x ;
2
3 13 13 3 13 10 16
[ 10,16]
x x x
Cs
La solución total de la inecuación está dada por la intersección de: 1 2 [ 10,16]TCs Cs Cs
28. Si ( ) 3 2f x x a , determinar los valores de a de modo que: 2 1( ) ( 2)f a f a
Solución: Determinando cada una de las funciones evaluadas tenemos:
Para: 2( )f a
2 2( ) 3 2 ( ) 3 2f x x a f a a a
Para: 1( 2)f a primero determinamos la función inversa y luego la evaluamos.
12 2( ) 3 2 ( )
3 3
x yy a x af x y x a x f x
y x
Evaluando: 1 1
2 2 2( 2) ( 2)
3 3
a a af a f a
Igualando funciones y determinado los valores de a:
2 1 2 2
22
( ) ( 2) 3 2 9 7 2 0 93
1
aaf a f a a a a a
a
29. Calcular: 4
1 5lim
2x
xL
x x x
Solución: se puede observar que es un límite algebraico, por lo tanto racionalicemos el numerador y el denominador.
2
4 4 4
224 4 2
2 2 24 4
41 5 1 5 1 5lim lim lim
2 1 5 1 5 2 1 5 2
2 4 24lim lim
1 5 2 2 1 5 2
4 2 4 2lim lim
1 5 4 4 1 5 5
x x x
x x
x x
xx x xL
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x xxL
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x xL
x x x x x x x x
4
4 2lim
4 1 5 4 1x
x x x x
x x x x x
1VV
5V
-10VF
16F
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Se puede observar el factor que causaba la indeterminación, simplificando y evaluando el límite tenemos:
4
2 8 1lim
2 4 3 31 5 1x
x x xL L
x x x
30. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas y Simetrías, construir la gráfica de la ecuación:
2 2( )
3 3
x xf x
x x
Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja y de la ecuación (no existe
división entre cero):
2 2 2 2( ) ( , ) 0
3 3 3 3
x x x xf x y F x y y
x x x x
32 2( ) 3 3 0 3
33 3
xx xf x x x Df x
xx x
El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función
cuando se despeja x de la ecuación, (no existe raíz cuadrada de un número negativo):
22 2 2
2
2 2 49 4 1 9 4
3 3 9
49
9 4 9 4 490 0 ] , ] ]1, [
1 1 1 9
x x xy y x y y x x y y
x x x
yy y
x Ify y y
Intersecciones, con el eje x ( ( ,0)F x ):
22 2 2 2( , ) 0 0,
23 3 3 3
xx x x xF x y y
xx x x x
Intersecciones, con el eje y ( (0, )F y ):
0 2 0 2 4( , ) 0
0 3 0 3 9F x y y y
Asíntotas verticales:
2 2( )
3 3
x xf x y
x x
presenta dos asíntotas en: 3 3 0 3, 3x x x x
Asíntotas horizontales: 9 4
1
yx
y
presenta una asíntota en: 1y
Simetrías con el eje x ( ( , ) ( , )F x y F x y ):
2 2 2 2
3 3 3 3
x x x xy y
x x x x
no existe simetría.
Simetrías con el eje y ( ( , ) ( , )F x y F x y ):
2 2 2 2
3 3 3 3
x x x xy y
x x x x
si existe simetría
En conclusión no existe simetría con el origen.
4/9 1VFV
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31. Dada 1
( )2
x xf x a a , demostrar que ( ) ( ) 2 ( ) ( )f x y f x y f x f y
Solución: hallando la función para cada una de las funciones compuestas:
Para ( )f x y : 1 1( ) ( )
2 2
x y x yx xf x a a f x y a a
Para ( )f x y : 1 1( ) ( )
2 2
x y x yx xf x a a f x y a a
Sumando las funciones compuestas, y luego utilizando propiedades de exponentes:
1 1 1
( ) ( )2 2 2
x y x y x y x y x y x y x y x yf x y f x y a a a a a a a a a a a a
Factorizando términos semejantes:
1 1
( ) ( )2 2
x y y x y y x x y yf x y f x y a a a a a a a a a a
Ordenando de manera conveniente:
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
2 2
x x y ya a a af x y f x y f x y f x y f x f y
FORMULARIO
PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO:
Definición: 0
0
a aa
a a
Propiedades más útiles: 2
a a a b a b a b Si 0b , x b b x b
Si 0b , x b b x b x b x b x b x b x b x b
LIMITES CONOCIDOS:
1
0lim 1 x
xx e
1
lim 1
x
xe
x
0
1lim ln
x
x
aa
x
0
sinlim 1x
x
x
0
1 coslim 0x
x
x
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PRACTICA:
1. Hallar el conjunto solución de: 2
2
3 21
6 9
x x
x x
Sol.:
7] , ]
3Cs
2. Hallar el conjunto solución de: 2
2 3 0x x Sol.: ] , 1] [1, [Cs
3. Hallar el conjunto solución de: 1
1 53x
Sol.:
19 11] , ] [ , [
6 4Cs
4. Hallar el conjunto solución de: 3 1
25
x
x
Sol:
11] , 9] [ , [ 5
5Cs
5. Construir la gráfica de la función 3( ) log 2f x x , realizando un análisis completo.
6. Construir la gráfica de la función 2
2( )
4
xf x
x
, realizando un análisis completo.
7. Construir la gráfica de la función 2
2
2
40
9
xy
x
, realizando un análisis completo.
8. Si sin
( )1 cos
xf g x
x
y
1( )
secg x
x , hallar ( )f x Sol.:
21( )
1
xf x
x
9. Si 12
( 2) , ( )1 1
x xf x g x
x x
, hallar: 1 ( )f g f x
10. Hallar la constante “a”, si (1 ) ( )f g a g f a , donde ( ) 1, ( ) 2 1f x x g x x
Sol.: 3
4a
11. Calcular el límite: 3
3
30 3lim
7 2x
xL
x
Sol.:
4
27L
12. Calcular: 2
3
9lim
13 2 1x
xL
x x
Sol.: 16L
13. Calcular el límite:
3 4
11
1 1 1 ... 1lim
1
n
nx
x x x xL
x
Sol.: 1
!L
n
14. Determinar las constantes a y b para que ( )f x sea continua, y luego graficar:
2
2 ; 2
( ) ; 2 1
; 1
x si x
f x ax b si x
x si x
Sol: 1, 0a b
15. Determinar las constantes A y B para que ( )f x sea continua en todo su dominio.
23 ; 0
( ) ; 0 2
2 5; 2
x A si x
f x Ax B si x
x si x
Sol: 1
3A B