Electrotecnia

¿Quina força d'atracció s'estableix entre una càrrega positiva de 1,510-10

C

situada en el punt (0,0) i una càrrega negativa de 210-10

C situada en el punt

(1,0)? El medi és el buit i les longituds estan expressades en mm.

La distància entre les dues càrregues es pot veure en el diagrama que és r = 1 mm = 10-3

m. Hem d'operar amb les unitats pròpies del SI.

Apliquem la llei de Coulomb:

Nx

xx

r

QQF 4

2312

1010

2

0

21 107,2)10(1085,8··4

102105,1

···4

·

Tenim una càrrega puntual Q = 1,610-8

C situada en el punt O(0,0). Calcularem

la intensitat de camp elèctric E en els punts U(2,0) i V(0,2). El medi és el buit i les

longituds estan expressades en metres.

Observa que les distàncies OU i OV són idèntiques (r =2 m). El valor de la intensitat de

camp elèctric creat per Q serà idèntica en els punts U i V, però la direcció del vector E

és diferent en cada punt.

1

212

8

297,35

21085,8··4

106,1

···4

NC

xr

QE

En el punt U, la direcció del vector E és sobre l'eix Ox (vector unitari xu ). En el punt V,

la direcció del vector E és sobre l'eix Oy (vector unitari yu ). Podem escriure:

xU uE 97,35

NC-1

i yV uE 97,35

NC-1

Calcularem la intensitat de camp elèctric creat per la càrrega de l'exemple anterior

en el punt P(2,3)

Per a calcular el valor de la intensitat de camp, necessitem la distància OP. Apliquem el

teorema de Pitàgores en el triangle OPA:

mOBOAr 6,332 2222

1

12

8

2

0

6,416,3105,8··4

106,1

···4

NC

xr

QE

La direcció del vector E és sobre la recta OP. Considerem un vector unitari ru sobre la

recta OP. Podem expressar: rp uE 6,41 Si ho volem indicar en funció dels vectors

unitaris xu i yu hem de considerar les projeccions de pE sobre els eixos Ox (Epx) i Oy

(Epy).

Tenim: 5,12

3tg

OA

OB ; =tg 1,5 =56,31º; cos = 0,55 ; sin = 0,83

Epx = Ep cos = 41,60,55 = 22,88; Epy = Ep sin = 41,60,83 = 34,53

Podem escriure: yxypyxpxp uuuEuEE ·53,34·88,22·· N·C-1

Una càrrega elèctrica Q = 2,710-10

C situada en el punt O(0,0) crea un camp

elèctric. Quin és el potencial en el punt A(2,0) ? Les longituds estan expressades en

m i el medi és el buit.

21,121085,8·4

107,2

4 12

10

xr

QU A

V

Quina energia potencial té una càrrega Q'=1 C situada en el punt A?

Q' = 1 C = 10-6

C; l'energia potencial és: Ep = UA·Q' = 1,21x10-6

J

Quina energia potencial té una càrrega Q'=1 C situada en el punt A?

Ep = UA·Q' = 1,21 (-10-6

) = 1,2110-6

J

Tres càrregues del mateix valor Q = 10-10

C estan situades en els punts següents:

O1(-1,0); O2(0,0) i O3(1,0). Quin és el potencial en els punts A(4,0) i B(0,4) ? Les

longituds estan expressades en m i el medi és el buit.

Comencem pel punt A(4,0). Les distàncies des dels punts O1, O2 i O3 són:

r1 = O1A = 4 (1) = 5; r2 = O2A = 4 0 = 4; r3 = O3A = 4 1 = 3

El potencial del punt A:

70,03

1

4

1

5

1

1085,8·4

10

4

112

10

3

3

2

2

1

1

r

Q

r

Q

r

QU A V

Per a trobar les distàncies de O1 i O3 al punt B podem aplicar el teorema de Pitàgores.

12,441 22

1

'

1 BOr 4042

'

2 BOr 12,441 22

3

'

3 BOr

El potencial del punt B:

22,112,4

1

4

1

12,4

1·

1085,8·4

10·

4

112

10

'

3

3

'

2

2

'

1

1

r

Q

r

Q

r

QU B V

La diferència de potencial entre B i A és:

52,070,022,1 ABBA UUU V.

Quan una càrrega unitària Q' = 1C es traslladi del punt A al punt B s'ha d'aportar un

treball T:

52,052,01'· BAUQT J.

Una càrrega d'un altre valor, per exemple, Q'=2106

C requereix un treball diferent per

a realitzar el moviment de A fins a B:

66 1004,110252,0'· BAUQT J

Quan aquesta última càrrega estigui situada en el punt B, haurà adquirit una energia

potencial:

66 1044,222,1102'· BpB UQE J

A un generador de fem 24 V s'hi connecta una resistència elèctrica de 100 .

Calcularem la intensitat en el circuit i la potència consumida en la resistència.

Per calcular la intensitat apliquem la llei d'Ohm: 24,0100

24

R

UI A

Per calcular la potència, podem aplicar: 76,524,024· IUP W

Pots comprovar com les relacions RIP ·2 ; R

UP

2

donen el mateix resultat.

Un escalfador elèctric, compost per una resistència, està connectat a una tensió de

220V; la intensitat en l'aparell és de 10 A. Quina potència consumeix l'aparell?

Quin valor té la resistència de l'aparell?

WIUP 220010220· (2,2 kW).

2210

220

I

UR A

¿ Quina energia consumeix l'escalfador de l'exemple anterior en una sessió de

funcionament de 2 hores?

L'energia, o treball, es pot calcular: tPT · ; si expressem la potència en W o kW i el

temps en hores, tindrem: T = 2,2 kW 2 h = 4,4 kWh (o bé 4400 Wh).

Si volem treballar amb les unitats admeses pel SI, tenim que expressar la potència en W

i el temps en segons; l'energia es mesurarà en Joule: 2 h = 2 3600 = 7200 s; T = 2200

7200 = 15840000 J. Podem veure que l'energia expressada en J dóna valors numèrics

molt alts i es perd fàcilment el sentit intuïtiu de la magnitud del nombre. Per aquest

motiu, la unitat pràctica de treball o energia en els sistemes electrotècnics és el kWh.

Una làmpada consumeix una potència de 900 W connectada a una fem de 220V.

Calcularem la intensitat i la seva resistència.

1,4220

900

U

PI A

6,531,4

220

I

UR ;

Operant a partir de R

UP

2

; la resistència R és: 6,53900

22022

P

UR .

Un escalfador per efecte Joule té un potència de 1,9 kW i una resistència quan està

calent de 26 . Hem de calcular la tensió de la fem que l'alimenta i la intensitat que

consumeix.

A partir de R

UP

2

deduïm: 222261900· RPU V

La intensitat que consumeix la podem calcular mitjançant la llei d'Ohm:

5,826

222

R

UI A

També podem operar a partir de RIP ·2 ; la intensitat és R

PI .

Quina és la resistència d'un conductor de coure de 140 m de longitud i 1 mm2 de

secció?

Per aquest conductor hi circula una intensitat de 2 A. Quina caiguda de tensió hi

ha en el conductor? Quina potència s'hi converteix en calor? Quina densitat de

corrent hi ha en el conductor?

49,21

1400178,0·

S

LR

VRIV 98,449,22·

WRIP 96,949,22· 22

2/21

2mmA

S

IJ

Per construir resistències per a aparells escalfadors es pot utilitzar el Nicró, un

aliatge de níquel i crom, amb resistivitat = 1 ·mm2/m. Volem construir una

resistència per a un escalfador de 1 kW quan estigui connectat a una tensió de 220

V; utilitzarem fil de nicró, d'una secció de 1,5 mm2. Quina longitud de fil ens

caldrà?

Calculem el valor de la resistència de l'escalfador.

56,4854,4

220;54,4

220

1000·

I

URA

U

PIIUP

84,721

5,156,48··

SRL

S

LR

Hem suposat que la resistivitat del nicró és pràcticament igual a qualsevol temperatura,

però això no és ben cert. Quan l'escalfador funciona les resistències acostumen a posar-

se incandescents, a una temperatura alta que no coneixem en aquest exercici. La

resistència a aquesta temperatura és precisament de 48,56 ; a temperatura ambient, al

valor que hem pres per a la resistivitat en el càlcul, la resistència té un altre valor.

La resistència de la bobina de coure d'un motor és de 1,8 en fred, a una

temperatura ambient de 20 ºC. Quan el motor funciona, la temperatura arriba als

70º. Quin valor té la resistència en calent?

En el coure, calculem la resistivitat a 70 ºC:

0213,020701094,310178,0201· 3

7020 tt

153,28,1196,1·196,1196,10178,0

0213,0·2070

20

70

20

70 RRR

R

S

LR

Una resistència té les següents característiques: valor nominal 12 i potència

màxima 0,5 W. Determinarem la màxima intensitat i la màxima diferència de

potencial que pot suportar.

2,012

5,0·2

R

PIRIP A

5,2125,0·2

RPUR

UP V

Les característiques d'una resistència són: 10 k, tolerància 5%, potència

màxima 1 W. Determinarem el rang de valors reals que pot tenir.

Calculem el 5% de 10 k: 5,0100

105

x k. El rang de valors vàlids d'aquesta

resistència és: entre 10 k 0,5 k = 9,5 k i 10 k + 0,5 k = 10,5 k.

Identificarem els colors dels anells dels següents resistors: 10 k 5%; 270

10%; 390 k 2%; 1 M 5%;

Resistència Valor 1er anell 2on anell 3er anell 4rt anell

R1 10 k 5% Marró Negre Taronja Or

R2 270 10% Vermell Violeta Marró Plata

R3 390 k 2% Taronja Blanc Groc Vermell

R4 1 M 5% Marró Negre Verd Or

Dues càrregues idèntiques, però de signe oposat estan situades a una distància de

410-6

m; la força d'atracció és de 1010-4

N. Quin és el valor de les dues

càrregues?

122

02

0

2

1033,1····4···4

FrQr

QF

C

Tenim tres càrregues positives idèntiques de valor 1,410-8

C situades en els punts

(-1,0), (1,0) i (0,1). Determina el valor del potencial elèctric i del camp elèctric

(magnitud, direcció i sentit) en el punt (0,0).

Els efectes de les dues càrregues positives idèntiques situades a (-1,0) i a (1,0)

s’anul·len en el punt (0,0), equidistant i situat en la línia que uneix les dues càrregues

esmentades. Per tant, en el punt (0,0) només cal considerar l’efecte de la càrrega situada

a (0,1).

1

212

8

288,125

11085,8··4

104,1

···4

NC

xr

QE

La direcció del vector de camp elèctric és sobre l’eix Oy, amb sentit negatiu.

El potencial elèctric en el punt (0,0) és:

VrEr

QE p 88,125

4

Hem considerat l’anul·lació d el’efecte de les dues càrregues de valor idèntic i

simètriques respecte al punt (0,0).

Dues càrregues elèctriques positives idèntiques de valor 210-4

C estan situades en

els punts (1,0) i (2,0). Determina el potencial en els punts (-2,0) i (0,0), i calcula el

treball realitzat per una càrrega positiva de 110-8

C quan és mou entre els dos

punts esmentats.

Potencial en el punt (0,0):

Vr

Q

r

QU 2697541

2

1

1

1·

1085,8·4

102·

4

112

4

'

2

2

'

1

1)0,0(

Vr

Q

r

QU 1049044

4

1

3

1·

1085,8·4

102·

4

112

4

'

2

2

'

1

1)0,2(

JUUQT 016,0)10490442697541(101)( 8

0,2()0,0(

La resistència elèctrica d'una planxa és de 50 ; s'ha de connectar a una tensió de

220 V. Quina intensitat consumeix? Quina potència consumeix? Quina energia

consumeix funcionant de forma continua durant 1 hora?

AR

UI 4,4

50

220

WIUP 9684,4220

hWtPT 968·

La placa de característiques d'un aparell escalfador indica 1000 W / 220 V. Quin és

el valor de la seva resistència?

AU

PI 54,4

220

1000 4,48

54,4

220

I

UR

Per una planxa connectada a la xarxa elèctrica hi circula una intensitat de 4 A, i

consumeix una potència de 880 W. Calcula el valor de la seva resistència, la tensió

de la xarxa i l'energia consumida en 45 minuts.

VI

PU 220

4

880 55

4

220

I

UR

JtPT 23760006045880·

Un aparell elèctric consumeix una energia de 500 Wh i una intensitat de 2,3 A. A

quina tensió està connectat? Quina és la seva resistència?

VI

PU 4,217

3,2

500 52,94

3,2

4,217

I

UR

Un aparell electrònic permet funcionar a 110 V o a 220 V mitjançant un

commutador. La potència de l'aparell és de 30 W. Quina intensitat consumeix en

les dues tensions? Quina energia consumeix en un mes funcionant un temps mitjà

de 3 hores cada dia?

AU

PI 27,0

110

30

1

1 AU

PI 136,0

220

30

2

2

hWtPT ·270030330·

Les característiques d'una rentadora són: potència de rentat en fred: 900 W;

potència de rentat en calent: 3000 W. Tensió: 220 V. Calcula la intensitat

consumida rentant en fred i en calent i l'energia consumida amb un programa de

rentar de 80 minuts de durada en els dos casos.

AU

PI 1,4

220

90011 A

U

PI 64,13

220

300022

temps: 80 minuts = 1,33 hores.

hWtPT ·120033,1900·11 hWtPT ·400033,13000·22

Les característiques d'una làmpada halògena són : 40 W/220 V. Calcula la

intensitat que consumeix i la seva resistència.

AU

PI 18,0

220

40 1210

18,0

220

I

UR

Una pletina és un conductor de secció rectangular. Tenim una pletina d'alumini de

dimensions 3 mm x 6 mm, i una longitud de 10 m. Quina resistència elèctrica té a

20ºC i a 60 ºC?

Dades de l’alumini com a conductor:

Material (·mm2/m) a 20ºC ºC

-1

Alumini 0,0286 4,4610-3

Secció del conductor: 21863 mmS .

A la temperatura de 20ºC:

0159,018

100286,0·

S

LR


mmm /·0337,0401046,410286,020601· 23

2060

019,018

100337,0·

S

LR

Una línia elèctrica enllaça un receptor elèctric situat a 3000 m d'una estació

transformadora. La secció dels conductors de coure és de 6 mm2. Considera que

calen dos fils conductors paral·lels per a connectar la càrrega. Quina és la

resistència total de la línia?

176

60002017,0·

S

LR

El diàmetre d'un conductor es pot mesurar molt fàcilment amb un peu de rei. Un

conductor d'alumini té un diàmetre de 2 mm. Quina resistència ofereix per metre

de longitud? I per km?

Secció del conductor: 2

2

14,32

mmD

S

La resistència per unitat de longitud (m) és: mmSL

R/41,5

14,3

017,0

mmLR 41,5)1(

41,5)1( kmLR

Un conductor de coure té una longitud de 1500 m; volem que la seva resistència

sigui inferior a 4 . Quina secció ha de tenir? Pot tenir una secció més gran?

237,64

1500017,0··mm

R

LS

S

LR

; La secció ha de ser superior a

aquest valor.

Tenim un conductor de material desconegut. Fent mesures, hem obtingut una

resistència de 20 m per m de longitud. El diàmetre és de 1,12 mm. Quina

resistivitat té el material conductor?

2

2

985,02

mmD

S

mmmL

SR

S

LR /0197,0

1

985,01020· 23

Tenim dos conductors de secció circular; el primer és d'alumini i el segon és de

coure. Quina relació hi ha entre els diàmetres dels conductors per a què tinguin la

mateixa resistència unitària /m ?

constantvalorSL

R

S

LR

·

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

D

D

D

D

S

S

SS

Una bobina construïda amb fil de coure de 1 mm2 de secció està enrotllada

formant 40 espires sobre un suport cilíndric de 30 mm de diàmetre. Calcula la

resistència de la bobina a temperatura ambient de 20 ºC i a una temperatura de 70

ºC.

Característiques del coure com a conductor.


-1

Coure 0,0178 3,9410-3

Longitud del fil de coure: mL 77,31015240 3


067,01

77,30178,0·

S

LR


mmm /·0213,0501094,310178,020701· 23

2070

08,01

77,30213,0·

S

LR

Calcula la intensitat que circula i la potència que es converteix en calor quan

connectem la bobina de l'exercici anterior a una tensió de 12 V.

AR

UI 1,179

067,0

12 Comentari: és una intensitat extremadament alta, cap font

estàndard de laboratori la pot proporcionar.

WR

UP 2149

067,0

1222

La bobina no pot suportar aquesta potència que ha de

convertir en calor.

Un conductor de coure té forma de tub, amb un diàmetre interior de 12 mm i un

diàmetre exterior de 15 mm. Quina és la seva resistència unitària /m ?

2222

1

2

2 62,63)65,7()( mmRRS

mmSL

R/267,0

62,63

017,0

Una línia bifilar de coure subministra energia elèctrica a una càrrega situada a 200

m. La tensió del generador, a l'origen de la línia, és de 48 V. La càrrega consumeix

una intensitat de 10 A, i la seva tensió no pot ser inferior a 47 V. Quina secció

mínima han de tenir els conductors de la línia? Quina densitat de corrent hi ha en

els conductors ?

Caiguda de tensió a la línia: VV 14748

1,010

1

I

VRL

2681,0

400017,0·mm

R

LS

S

LR

Densitat de corrent: 2/147,068

10mmA

S

IJ

Una línia elèctrica bifilar de 600 m de longitud està formada per dos conductors de

coure de 6 mm2 de secció. La tensió entre els dos conductors a l'origen de la línia és

de 220 V, i la intensitat que hi passa és de 12 A. Quina és la resistència de la línia?

Quina tensió hi ha en la càrrega situada al final de la línia?

Mesurem la resistència d'una bobina de coure d'un motor en fred, quan el motor

no funciona i s'ha refredat a la temperatura ambient de 20 ºC, i obtenim uns

resistència de 2,6 . Quan el motor funciona, en calent, deduïm a partir de la

intensitat que la resistència de la bobina és de 2,9 . Podem deduir la temperatura

de la bobina en calent?

Dissenyarem un divisor d'intensitat amb la condició que per la resistència R1=4

només hi passi una intensitat I1=0,4 A. La intensitat que arriba al divisor és I=6 A.

Quina resistència R2 s'ha de muntar en paral·lel?

La intensitat I2 és: 6,54,0612 III A.

Ja tenim les intensitats I1 i I2; ara calcularem R2 utilitzant qualsevol de les dues

expressions que hem deduït per a I1 i I2

283,46,5

46··)·(

·

2

1211212

21

12

I

RIRRRIRRI

RR

RII

283,04283,4283,4 12 RR

Quan calculem una resistència, no n'hi ha prou amb el seu valor òhmic; ens cal també

saber quina potència haurà de convertir en calor. És un paràmetre bàsic per a

seleccionar adequadament el component i evitar que es cremi

87,8283,06,5· 2

2

2

22 RIPR W.

Un acumulador té les característiques següents: fem E = 12 V, resistència interna r

= 0,09 . El circuit extern que té connectat absorbeix una intensitat I = 9 A.

Calcularem la tensió U en els terminals de l'acumulador en buit i amb la càrrega

esmentada.

09,0·12· IrIEU

En buit: I = 0 A U = 12 V

Amb la càrrega esmentada: 19,1109,091209,0·12· xIrIEU V

Tenim un generador de corrent continu connectat a una resistència externa R = 100 .

El voltímetre indica U = 12,8 V . Quan desconnectem la càrrega R, el voltímetre

connectat en els terminals del generador indica U = 12,9 V. Hem de trobar les

característiques del generador: la fem i la resistència interna.

En la mesura de tensió realitzada sense càrrega, en buit, tenim la fem del generador:

E = U = 12,9 V.

Amb la càrrega connectada, tenim:

128,0100

8,12

R

UI A; a partir de rIEU · obtenim

I

UEr

Operant: 78,0128,0

8,129,12

I

UEr

Les característiques d'un generador són: E = 24 V; r = 0,1 . Subministra una

intensitat I = 6 A a una càrrega externa. Calcularem: la tensió U en els seus

terminals; la potència generada Pt; les pèrdues en el generador Pp; la potència útil

en la càrrega Pu i el rendiment.

4,231,0624· rIEU V

144624· IEPt W; 6,31,06· 22 rIPp W;

4,1406,3144 ptu PPP W %5,97144

1004,140100·(%)

t

u

P

P

La potència útil Pu també es podia haver calculat: 4,14054,23· IUPu W.

En una línia elèctrica de 220 V es produeix un curtcircuit entre els dos conductors

mitjançant una unió de 0,08 . Quina és la intensitat Icc de curtcircuit?

275008,0

220

cc

ccR

UI A.

La conseqüència directa d'aquesta gran intensitat és la potència que es desenvolupa en el

curtcircuit:

WRIP cccccc 60500008,02750· 22

Una bateria acumuladors té fem en càrrega de 12 V i resistència interna de 0,06 .

S'està carregant amb una intensitat de 4 A. Quina és la tensió U en els terminals de

la bateria?

24,1206,0412'·' xrIEU V

Un motor de corrent continu consumeix una intensitat de 10 A quan està connectat

a una línia de corrent continu de 110 V. La resistència interna del motor és de 0,2

. Calcularem la fem del motor i la intensitat que consumeix quan arrenca.

A partir de la relació establerta: '·' rIEU

Podem deduir: 108102,0110'·' rIUE V; la fem és de 108 V.

Per a calcular la intensitat consumida pel motor en el moment d'arrencar hem de

considerar una de les característiques pròpies dels motors de corrent continu: la fem és

proporcional a la velocitat. Quan el motor arrenca, la fem és nul·la: E' = 0 V, i la única

limitació que tindrà la intensitat serà l'oposició de la resistència interna del receptor.

Quan E' = 0 V, 5502,0

0110

'

'

r

EUI A.

Aquesta intensitat tant forta s'ha de limitar amb dispositius d'arrencada. Actualment se

solen utilitzar arrencadors electrònics que controlen l'augment gradual de la tensió U

d'alimentació del motor, segons un programa específic per a cada màquina.

Una bateria de fem en càrrega E' = 10,4 V i resistència interna r' = 0,08 , es

connecta a un generador de fem E = 15 V i resistència interna r = 0,1 per

carregar-la. Calcularem la intensitat de càrrega, la tensió U en els terminals de la

bateria; farem un balanç de les potències en el sistema i calcularem l'energia

consumida per la bateria en 4 hores de càrrega.

Per a calcular la intensitat de càrrega, hem d'analitzar el circuit complet, amb el

generador i la bateria que actua com a receptor. Podem veure que la tensió que hi ha en

les dues resistències internes és E-E'; a partir d'aquesta dada, podem aplicar la llei

d'Ohm i calcular I.

Podem formular el procediment anterior de forma més sistemàtica: la fem E es

distribueix en tres parts:

''·· ErIrIE . En aquesta relació podem calcular la intensitat I:

55,2508,01,0

4,1015

'

'

rr

EEI A

Podem calcular la tensió U en els terminals de la bateria mitjançant qualsevol d'aquestes

dues relacions:

'·'· rIErIEU

44,1208,055,254,10'·' rIEU V

Per a fer un balanç de potències, anirem calculant la potència en cadascun dels elements

del circuit equivalent: E, E', r, r' i interpretarem els resultats obtinguts.

Potencia disponible en el generador 25,38355,2515· IEPG

Potència elèctrica útil en la bateria 72,26555,254,10·' IEPB

Potència de pèrdues en el generador i la

bateria 5,117)08,01,0(55.25)'·( 22 rrIPP

Tots els resultats estan expressats en W. Podem observar que es verifica: PBG PPP

El rendiment global del sistema el podem definir com:

E

E

IE

IE

P

P

G

B '

·

'· ; Realitzant el càlcul: 693,0

25,383

72,265

G

B

P

P

Podem expressar el rendiment en percentatge: (%) = 69,3%.

Per a valorar l'energia consumida per la bateria durant les 4 hores del procés de càrrega,

inclourem, a més de la potència útil en la bateria, les pèrdues en la seva resistència

interna r'.

Les pèrdues en la resistència interna de la bateria són:

22,5208,055,25'· 22 rIPPbat W

La potència total en la bateria és: 94,31722,5272,265 PBATBTBAT PPP W

Un mètode alternatiu de càlcul: observa que podem formular directament:

84,31755,2544,12· IUPTBAT W; la petita diferència entre els dos mètodes és

deguda als errors de truncament de nombres reals.

L'energia T consumida per la bateria és: 8,1271494,317· tPT TBAT Wh

El càlcul energètic que hem realitzat és només una primera aproximació: en 4 hores, la

bateria s'haurà carregat i la seva fem E' augmentarà; la intensitat I de càrrega es reduirà,

doncs E-E' també es redueix i les valoracions que hem fet sense considerar aquests

canvis temporals són només una primera aproximació.

Tenim dues làmpades amb les característiques següents: la primera, 220 V/ 40 W i

la segona 220 V/ 60 W. Es connecten en sèrie a una tensió de 220 V. Calcula la

resistència equivalent de cada làmpada, i la potència real a cada làmpada en el

circuit. Quina làmpada farà més llum?

A partir de P

VR

R

VP

22

Lámpada 1: 220V/40 W R1= 1210 .

Làmpada 2: 220V/60 W R2 = 806,6 .

Les làmpades estan en sèrie; aplicant la llei d’Ohm: 21 RR

UI

I = 0,11 A

Càlcul de les potències:

P1=I2R1 = 14,4 W; P2=I

2R2 = 9,6 W

Farà més llum la primera làmpada (la de 40 W !) ja que consumeix més potència.

En els esquemes següents, corresponents als exercicis 2 fins a l'11, calcula la

intensitat i la potència en cada resistència i en el generador, i i verifica el balanç de

potències: consumidesPotènciesgeneradaPotència

En tots els circuits es mostra la intensitat a cada resistència, obtinguda amb un

simulador informàtic.

a)

b)

c)

d)

e)

Observació: s’ha incorporat un generador d’intensitat 1 A, d’acord amb les dades del

problema, en lloc del generador G1. D’acord amb els resultats, obtenim per a G1 una

fem U=17,19 V.

f)

g)

h)

i)

La caiguda de tensió a R4 és: VR4 = IR4 = 110 = 10 V;

A R1 i R2 en paral·lel hi ha: U = 30 - VR4 = 30 – 10 = 20 V;

La intensitat per R1 és 0,4 A; per R2 és I2 = 1 – 0,4 = 0,6 A;

El valor de les resistències R1 i R2 és:

504,0

201R

33,336,0

202R

j)

Un generador de corrent continu de resistència interna 0,09 subministra a una

resistència de 100 una potència de 50 W. Quina intensitat consumeix la càrrega?

Quina tensió hi ha a la càrrega? Quina és la fem del generador?

En la càrrega: obtenim la tensió a partir de VRPVR

VP 71,70

2

La intensitat és: AR

UI 70,0

100

71,70

La fem del generador: E = U + I·r = 70,71 + 0,700,09 = 70,77 V

Un generador de fem 110 V i resistència interna 0,1 subministra una intensitat

de 10 A a la càrrega. Calcula la tensió en els terminals del generador, fes un balanç

de potències i calcula el rendiment elèctric del generador.

Tensió U en terminals del generador: U = E – I·r = 110 – 100,1 = 109 V

Balanç de potències:

PE = E·I= 11010 = 1100 W

PU = U·I = 10910 = 1090 W

Pèrdues = PE – PU =1100 –1090 = 10 W

Rendiment: %99100 E

U

P

P

En el circuit representat, el generador té una fem de 45 V i una resistència interna

de 1 . Què indica cada instrument?

ARr

EI 09,4

101

45

; VRIV 9,401009,4

Per a carregar una bateria d'acumuladors de fem 24 V i resistència interna total

de 0,14 , s'ha connectat a un generador de 25 V i resistència interna 0,05 .

Quina és la intensitat de càrrega de la bateria? Quines pèrdues totals té el circuit?

Quin rendiment tenim?

Intensitat de càrrega: 5,26 A.

Pèrdues totals = (25 24) 5,26 = 5,26 W

Potència lliurada a la bateria en càrrega: PU = U I = 24 5,26 = 126,24 W

Potència generada: PE = PU + pèrdues = 126,24 + 5,26 = 131,5 W

Rendiment del conjunt: %96100 E

U

P

P

Volem carregar una bateria d'acumuladors de 48 V i resistència interna 0,20 a

una intensitat de 6 A. La tensió del generador disponible per a la càrrega és de 54

V, amb una resistència interna de 0,08 . Quina resistència en sèrie hem d'inserir

per aconseguir la intensitat de càrrega de 6 A?

La resistència total del circuit és:

AI

UERT 1

6

4854

La resistència R que cal inserir és: R = RT 0,2 0,08 = 0,72

Comentari important: aquest sistema de limitació és molt ineficaç: només cal avaluar les

pèrdues que hi ha a la resistència R.

Verificació amb un simulador de circuits:

Un motor de corrent continu de resistència interna 0,08 consumeix una

intensitat de 30 A quan està connectat a una xarxa de 120 V. Calcula la caiguda de

tensió en la resistència interna del motor i la fem del motor.

Caiguda de tensió a la resistència del motor: VIrV 4,23008,0

fem E’ del motor: VVEE 6,1174,2120'

Pèrdues en el motor: WrIPèrdues 7208,03022

Si la intensitat augmenta un 20%: AI 36302,1'

Pèrdues amb un 20% més d’intensitat: WrIPèrdues 68,10308,03622

Les pèrdues augmenten un 44% .

Un generador de corrent continu de fem 34 V i resistència interna 0,11 es

connecta a una bateria d'acumuladors de 24 V i resistència interna 0,05

mitjançant dos conductors de resistència 0,3 cadascun. Calcula la intensitat en el

circuit de càrrega, la tensió en els terminals del generador i en els terminals de la

bateria, i la caiguda de tensió en el conjunt dels dos conductors.

La caiguda de tensió en el conjunt dels dos conductors és: 2 3,947 = 7,894 V

En el circuit, hem muntat dos voltímetres i un amperímetre, i hem obtingut les

lectures indicades a l'esquema. Quin és el valor de la tensió U de la bateria? I el

valor de les resistències r i R?

La tensió a la bateria és la indicada al voltímetre connectat en els seus terminals: U =

12,4 V.

Podem calcular el valor de la resistència R aplicant la llei d’Ohm:

10148,1

48,11

I

VR R

També podem aplicar la llei d’Ohm per obtenir r:

8,0148,1

48,114,12

I

Vr r

En el circuit representat, volem que la intensitat per la bateria valgui 1 A. Quin és

el valor que cal per a la resistència R1?

El valor equivalent del conjunt R2, R3, R4 és de 6,67

La resistència total de càrrega del generador U és: 101

10

I

URT

El valor de R1 és: 33,367,6101R

Al circuit, calcula la intensitat per a cada resistència i el valor de R1.

El valor equivalent del conjunt R2, R3, R4 és de 3

La tensió al conjunt R2, R3, R4 és de 10 2,5 = 7,5 V

La intensitat total en el circuit és: AI 5,23

5,7

Per a cada resistència R2, R3, R4 la intensitat és: AI 83,03

5,2

El valor de R1 és: 15,2

5,21R

Per a carregar una bateria d'acumuladors de fem 6 V i resistència interna total de

90 m, s'ha connectat a un generador de 9 V i resistència interna 40 m. Dibuixa

un circuit equivalent al muntatge i calcula: la intensitat de càrrega de la bateria;

les pèrdues totals del circuit; el rendiment del circuit.

PE = 9 23,08 = 207,72 W; PU = 6 23,08 = 138,48 W

Pèrdues totals = 207,72 138,48 = 69,24 W

Rendiment: %5048,138

10024,69

Comentari: és un sistema molt poc eficaç.

Un generador de fem 110 V i resistència interna 0,1 subministra una intensitat

de 10.89 A a la càrrega. Calcula la tensió en els terminals del generador, fes un

balanç de potències i calcula el rendiment elèctric del generador.

La potència a la càrrega és: PU = 108,8 10,89 = 1184,8 W

Les pèrdues a r = 0,1 són: P = (110 108,9) 10,89 = 11,979 W

La potència a E = 110 V és: PE = 1184,8 + 11,979 = 1196,779 W

Rendiment: %99,98779,1196

1008,1184

Es connecten en sèrie tres generadors amb les següents característiques:

60V/0,8; 40V/0,6 i 100V/0,9 a una resistència exterior R = 40 . Calcularem:

la fem total del conjunt de generadors; la resistència interna total, la intensitat per

la resistència exterior i la tensió en la resistència. Desprès farem un balanç de les

potències en el circuit i calcularem el rendiment.

La fem equivalent: 2001004060321 EEEE V

La resistència interna equivalent: 3,29,06,08,0321 rrrr

La intensitat en el circuit: 73,4403,2

200

Rr

EI A

La tensió en la càrrega R: 1,1893,273,4200· rIEU V

Balanç de potències. Calcularem la potència útil (en la resistència R) i la potència

generada pel conjunt de bateries:

Potència útil en R: 5,89473,41,189· IUPu W

Potència total: 94673,4200· IEPT W

Rendiment: %5,94200

1001,189100·

·

100··100·

E

U

IE

IU

P

P

T

u

Tenim tres generadors de característiques 24V / 0,9 s'acoblen en paral·lel. El

circuit exterior és una resistència R = 10 . Calcularem: les característiques del

conjunt de generadors acoblats, la intensitat per la càrrega de 10 , la tensió en la

càrrega i l'energia consumida per la càrrega en 20 hores.

La fem del conjunt: 24321 EEEE V

La resistència interna equivalent: 3,03

9,01 n

rr

La intensitat pel circuit exterior: 33,2103,0

24

Rr

EI A

La intensitat per qualsevol dels generadors acoblats: 777,03

33,21

n

II A

La tensió en la càrrega exterior R: 3,233,033,224· rIEU V

La potència en la càrrega és: 23,5433,23,23· IUPu W

L'energia consumida en un temps de 20 hores: 10862023,54· tPT u Wh

En els esquemes següents, corresponents als exercicis 1 fins al 10, calcula la

intensitat en els components aplicant un dels mètodes d'anàlisi que has estudiat:

aplicació directa de les lleis de Kirchhoff, anàlisi per tensions de nusos o anàlisi per

intensitats de malla i verifica el resultat mitjançant un segon mètode.

Les solucions s’han obtingut amb un simulador informàtic. a) Observeu: la intensitat per R1 i R4 circula en sentit contrari al que s’ha suposat en la connexió de l’amperímetre.

b)

c) Al circuit només hi ha tres nusos amb tensió desconeguda.

d) Al circuit només hi ha tres nusos amb tensió desconeguda.

e) Al circuit hi ha un únic nus amb la tensió desconeguda. A partir del seu valor, podem obtenir la intensitat a cada resistència aplicant la llei d’Ohm.

f) Al circuit hi ha un únic nus amb la tensió desconeguda. A partir del seu valor, podem obtenir la intensitat a cada resistència aplicant la llei d’Ohm.

g) Al circuit només hi ha tres nusos amb tensió desconeguda.

h)

i) Observeu que la tensió mesurada per V1 era totalment previsible, ja que hi ha el vincle V1 = V2 + 6

j) Al circuit hi ha un únic nus amb la tensió desconeguda.

Ens interessa saber la intensitat que circula per la resistència R2. Fes el càlcul

aplicant el teorema e superposició o el teorema de Thevenin.

El circuit equivalent de Thévenin per a R2 és: Obtenció de VTH:

Obtenció de RTH:

Circuit equivalent de Thévenin per a R2:

Quina intensitat hi ha a la resistència R5? Els paràmetres a la resta de resistències

no ens interessen.

Calcula la intensitat i la potència consumida en la resistència R5.

Quina intensitat passa pel generador del circuit?

El conjunt de resistències R1 a R5 és la càrrega del generador de 10 V. Volem que

la potència total consumida per la càrrega sigui de 100 W. Quin valor ha de tenir

R5?

El generador U1 lliura una potència al circuit de valor PU1 = 10 17,82 = 178,2 mW.

El generador U2 no lliura potència, sino que en consumeix: PU2 = 5 5,564 = 27,82 mW. Per tant, la potència consumida en la resta del circuit (el conjunt de resistències) és:

P = 178,2 27,82 = 150,38 mW

Quina potència ha de lliurar la pila de 4,5 V al circuit?

Analitzant el circuit per tensions en els nusos obtenim:

Intensitat per R1: I1= (4,5 3,164)/10 = 0,1336 A;

Intensitat per R2: I2 = (4,55 2,939)/10 = 0,0867 A; Intensitat per la pila: I = I1 + I2 = 0,22 A.

Potència que la pila lliura al circuit: P = 4,5 0,22 = 1 W

El conjunt de resistències R1 a R7 està muntat com a càrrega del generador de 40

V. Quin és el valor d'una resistència equivalent al conjunt esmentat?

El valor d’un aresistència equivalent és: 93,175,20

40R

Dos generadors de fem 24 V i resistència interna 0,2 cadascun es connecten en

paral·lel a una resistència exterior de 5 . Calcula: la fem total, la resistència

interna de l'acoblament de generadors, la intensitat a la càrrega, la intensitat que

subministra cada generador, la tensió i la potència en la càrrega.

La resistència equivalent de l’acoblament és 0,1 . La intensitat a la càrrega: I = 4,704 A.

Per cada generador hi circula meitat de la intensitat: 2,352 A. La tensió a la càrrega és de 23,53 V.

La potència a la càrrega és P = 23,53 4,704 = 110,68 W

Tenim dos grups de generadors acoblats en paral·lel; cada grup està constituït per

dos generadors de 12 V de fem i 0,4 de resistència interna. Calcula la fem i la

resistència interna del conjunt acoblat, i la intensitat i potència per una làmpada

de característiques 30V/15W.

La càrrega de 30V/15W equival a una resistència de:

6022

P

VR

R

VP

Circuit de l’acoblament i circuit equivalent que es pot obtenir per Thévenin:

Intensitat per la càrrega: mAI 4,397

Potència a la càrrega: WRIP 46,960397,0 22

Tenim dos generadors acoblats en paral·lel. El primer d'ells te una fem de 12 V i

una resistència interna de 0,9 ; el segon te una fem de 11 V i una resistència

interna de 1 . La càrrega de l'acoblament és una resistència de 8 . Calcula la

intensitat per la resistència de càrrega i per cada generador. Hi ha algun

generador que no subministri potència a la càrrega?

Els dos generadors subministren energia a la càrrega.

Heu de trobar la intensitat per la resistència R5 aplicant Thevenin.

Que indicarà el voltímetre connectat a l'esquema? Heu de calcular la mesura en les

dues posicions del commutador.

Què indicaran els dos instruments connectats al circuit?

La potència lliurada per la font de tensió U al circuit ha de ser inferior a 4 W. Quin

és el valor màxim d ela resistència R1?

Per a subministrar una potència inferior a 4 mW, la intensitat per la font de tensió U ha de ser inferior a :

mAU

PIIUP 4,0

10

4

La resistència total connectada als terminals de U ha de ser, com a mínim:

kI

UR 25

4,0

10

La resistència R’ equivalent al conjunt R2, R3, R4, R5 és: R’ = 16,67 k.

Per tant el valor de la resistència R1 ha de ser superior a: R1 > 25 16,67 = 8,33 k

Quin valor indicarà l'amperímetre?

Has de simplificar el circuit entre els punts A i B, arribant a l'esquema equivalent

de Thevenin, i calcular la intensitat per una resistència de 8 connectada entre A i

B.

Un condensador pla constituït per dues plaques quadrades de 1 cm de costat,

separades una distància de 0,1 mm mitjançant baquelita. Calcularem la capacitat

del condensador i la tensió màxima que pot aguantar.

pFFd

S

d

SC or 2,441042,4

101,0

10101085,85··· 11

3

2212

Per a saber la tensió màxima, hem de consultar la taula de rigidesa dielèctrica. La

baquelita presenta una rigidesa de 180 kV·cm-1

. Essent el gruix de la baquelita

d = 0,1 mm = 0,01 cm, tenim: kVcmcmkVVmax 8,101,0·180 1

Pot aguantar fins a 1800 V

El condensador de 35,4 pF el connectem a una tensió de 24 V. Quina càrrega

emmagatzema?

De la definició de capacitat, deduïm: CxVCQ 1212 106,84924104,35·

Emmagatzema una càrrega de 849,6 pC.

Connectem dos condensadors en paral·lel: C1=1,2 F C2=470 nF. Calcularem la

capacitat equivalent. Desprès connectarem el conjunt a una tensió de 120 V i

calcularem la càrrega emmagatzemada en el conjunt i la part d'aquesta càrrega

que s'emmagatzema a cada condensador.

Per unificar les unitats, expressarem la capacitat de C1 en nF: nFFC 12002,11

La capacitat total: nFCCC 1670470120021 .

Quan connectem el conjunt a 120 V, cadascun dels condensadors ha de poder aguantar

aquesta tensió. Per calcular les càrregues, utilitzem la definició de capacitat.

Per al conjunt en paral·lel: CVCQ 69 104,200120101670·

Per al condensador C1: CVCQ 69

11 10144120101200·

Per al condensador C2: CVCQ 69

22 104,5612010470·

És verifica: 21 QQQ

Connectem dos condensadors en sèrie: C1=1,2 F C2=470 nF. Calcularem la

capacitat equivalent. Desprès connectarem el conjunt a una tensió de 120 V i

calcularem la càrrega emmagatzemada en el conjunt, a cada condensador i la

tensió a cada condensador.

Ara treballarem en F; C2=470 nF = 0,47 F.

La capacitat equivalent:

F

CC

C 338,0

47,0

1

2,1

1

1

11

1

21

Observa que la capacitat equivalent d'un conjunt de condensadors en sèrie és inferior al

més petit dels condensadors.

Càrrega total quan connectem a una tensió de 120V:

CxVCQ 66 1056,4012010338,0·

A cada condensador hi ha la mateixa càrrega: 6

21 1056,40 QQQ C

Per a calcular la tensió a cada condensador: C

QV

V

QC

Apliquem la relació a cada condensador:

8,33102,1

1056,406

6

1

11

C

QV V 29,86

1047,0

1056,406

6

2

22

C

QV V

Pots verificar que es compleix 12021 VVV CC V

Observa que el condensador de més capacitat ha d'aguantar menys tensió que el

condensador més petit.

Calcularem la capacitat equivalent al conjunt C1 C2 C3 C4 . Els valors dels

condensadors són: C1= C4= 100 nF; C2= C3= 120 nF.

C2 i C3 estan en paral·lel: 240120120323,2 CCC nF

C1, C2,3 i C4 estan en sèrie: 38,41

100

1

240

1

100

1

1

111

1

43,21

CCC

CT nF

Entre A i B del conjunt de l'exemple anterior hem connectat una tensió de 60 V.

Quina càrrega i quina tensió hi ha a cada condensador?

Analitzem l'esquema simplificat C1 C2,3 C4 en sèrie, equivalent a C = 41,38 nF.

La càrrega Q total és: 69 1048,2601038,41· VCQ C. Aquesta és la

càrrega que hi ha a C1, a C2,3 i a C4 , en sèrie: 6

3,241 1048,2 QQQ C. Per a

saber la càrrega a C2 i a C3 ens cal calcular abans la distribució de tensions.

8,2410100

1048,29

6

1

11

C

QV V

3,1010240

1048,29

6

3,2

3,2

3,2

C

QV V

8,2410100

1048,29

6

4

44

C

QV V

Pots verificar: 6043,21 VVV

Els condensadors C2 i C3 estan en paral·lel; la tensió de cadascun és de 10,3 V. Les

seves càrregues són: 99

222 10236,13,1010120· VCQ C 99

333 10236,13,1010120· VCQ C

Podem verificar: 6

3,232 1048,2 QQQ

Amb un generador de 24 V carreguem un condensador de 1 mF mitjançant una

resistència en sèrie de 10 k. Escriurem l'equació de càrrega VC(t) i valorarem el

temps aproximat que tarda en carregar-se (considerem que han passat unes 5

vegades la constant de temps). També calcularem la càrrega acumulada en 15

segons.

Els paràmetres de l'equació de càrrega són:

sCR 101011010· 33 VVCI 0 VVCF 24

L'equació de càrrega és:

10·2424)·()(tt

CFCICFc eeVVVtV

Considerem que s'ha carregat pràcticament del tot per a un temps:

sxt 50105·5

Per a calcular la càrrega, podem aplicar :

103 ·2424101)(·)(

t

C etVCtQ

Per a t = 15, mCCeQ 3,181064,18·2424101)15( 31015

3

Un condensador de 600 F està connectat a una tensió de 12 V. Calcularem la

càrrega i l'energia emmagatzemada.

CVCQ 36 102,71210600·

mJJVC

T C 2,430432,02

1210600

2

· 262

Les dimensions geomètriques d'un solenoide són: 20 cm de longitud, 3 cm de

diàmetre. El nombre d'espires és 140, i està construïda sobre un suport de plàstic

(suposem r = 1). Calcularem el coeficient d'autoinducció.

La secció del solenoide és: 4

222

1007,72

103·

2·

DS m

2

El coeficient d'autoinducció: 5

2

4272

0 107,81020

1007,714010··4···

x

l

SNL

H

També ho podem expressar com L = 87 H.

Calcularem a l'esquema que hem desenvolupat el valor de la tensió en la inductància

quan que ha passat t1= = 1 ms des de que hem tancat l'interruptor i quan ha passat t2

=1,5 ms.

Apliquem directament l'expressió que hem obtingut: 1·30)(t

L etV

04,11·30·30)1( 111

eeVL V

69,6·30·30)5,1( 5,115,1

eeVL V

Fixa't, com ja hem comentat en els condensadors, qualsevol paràmetre ha arribat al

63,2% del seu valor final quan t = . En el cas de VL(t = ), el valor ha resultat 11,04 V;

aquesta tensió està evolucionant des de 30 V cap a 0V; farà un canvi total de 30 0 =

30 V. Quan el temps que ha passat és d'una constant de temps, ha canviat 30 11,04 =

18,96 V, que és precisament el 63,2% de 30 V.

Calculem l'energia acumulada a la bobina de l'últim exemple, quan s'hagi

establert la intensitat final.

En el circuit, tenim L = 0,1 H i una intensitat permanent IF=0,3 A que podem

considerar que s'haurà establert definitivament 4 o 5 ms desprès de tancar l'interruptor

(recorda que la constant de temps del circuit és de 1 ms).

JIL

T 322

105,42

3,01,0

2

·

(4,5 mJ).

En els exercicis 1 fins al 5, has de calcular en cadascun d'ells la capacitat

equivalent entre les dos terminals A i B, i la tensió a cada condensador quan

connectem els terminals A i B a una tensió de 100 V.

a)

Agrupació de la figura 20.

FC 3122,1

FC 8,218,14,3

FCT 45,18,23

8,23

CVCQ TT 14510045,1·

VC

QV T 3,48

3

145

2,1

2,1

VC

QV T 8,51

8,2

145

4,3

4,3

Es pot comprovar : 1004,32,1 VV

b)


Els condensadors C1 i C3 estan en sèrie: FC 95,03,1

Els condensadors C2 i C4 estan en sèrie: FC 5,04,2

CVCQ 9510095,0·3,13,1

CVCQ 501005,0·4,24,2

VC

QV 5,47

2

95

1

3,1

1

VC

QV 7,52

8,1

95

3

3,1

3

Com que C2 = C4 , la tensió de 100 V es reparteix per igual entre ells. Per tant:

VVV 5042

c)


Els condensadors C2 i C3 estan en sèrie: nFC 6,2123,2

Els condensadors C4 i C5 estan en sèrie: nFC 4,435,4

nFC 2565,4,3,2

La capacitat total està configurada per C1, C2,3,4,5 i C6 en sèrie:

nFCT 67

nCVCQ TT 670010067·

VC

QV T 67

100

6700

1

1

VC

QV T 7,6

1000

6700

6

6

VC

QV T 17,26

256

6700

5,4,3,2

5,4,3,2

Es pot verificar que la suma d eles tres tensions anteriors és 100 V.

nCVCQ 7,556317,266,212· 3,23,23,2

nCVCQ 8,113517,264,43· 5,45,45,4

VC

QV 6,20

270

7,5563

2

22

VC

QV 56,5

1000

7,5563

3

33

VC

QV 7,16

68

8,1135

4

44

VC

QV 46,9

120

8,1135

5

55

d)


Podem dibuixar l’agrupació d’una forma més clara:

FCT 3111 ; a cada condensador hi ha 100 V.

e)


Podem dibuixar l’agrupació d’una forma més clara:

pFC 75,684,3

pFC 75,1685,4,3

pFC 47,485,4,3,2

pFCT 47,168

VVV 1005,4,3,21

pCVCQ 4847· 5,4,3,25,4,3,25,4,3,2

VC

QV 28,71

68

4847

2

22

VVV 72,2828,71100100 25,4,3

VV 72,285

pCVCQ 5,1974· 4,34,34,3

VC

QV 74,19

100

5,1974

3

4,3

3

VVVV 98,874,1972,2834,34

Tenim quatre condensadors idèntics de 100 nF, 250 V de tensió màxima. És

connecten en un acoblament mixt amb dos branques en paral·lel, de dos

condensadors cadascuna. Calcula la capacitat total de l'acoblament, i la tensió

màxima que es pot connectar a l'acoblament.

nFCC 504,32,1 nFCT 1005050

Cada condensador pot aguantar fins a 250 V; per tant dos condensadors iguals en sèrie

poden aguantar –suposant que els dos condensadors són realment idèntics- fins a 500 V.

Tenim dos condensadors C1 = 10 F i C2 = 18 F . Han estat connectats en paral·lel

a un generador de 40 V, i ara, mitjançant un commutador, es desconnecten del

generador i queden connectats en sèrie. Quina tensió hi ha a l'acoblament?

En la connexió en paral·lel, calculem la càrrega emmagatzemada a cada condensador:

CUCQ 4004010·11

CUCQ 7204018·22

La càrrega total emmagatzemada és: CQQQT 112021

Quan els condensadors es connecten en sèrie, és conserva la càrrega total, la qual

apareix a cadascun dels condensadors.

Les tensions a cada condensador són:

VC

QV T

C 11210

1120

1

1 VC

QV T

C 2,6218

1120

2

2

La tensió en el conjunt és: VVVV CCT 2,1742,6211221

Un condensador de 120 F ha d'emmagatzemar una energia de 50 J per disparar

una làmpada de flash. Quina tensió cal per carregar el condensador? Quina

càrrega emmagatzema?

VC

TVVCT 913

10120

502·2··

2

16

2

CVCQ 11,091310120· 6

Verifica que les constants de temps CR· i R

L tenen realment dimensions físiques de

temps.

Comprovem RC.

Cal partir de les definicions:

I

VR ;

V

QC ; per tant: t

I

tI

I

QCR

··

Podem fer un raonament similar per a la constant de temps L/R.

Un condensador de 10 F es connecta a una bateria de 24 V mitjançant un circuit

de 2 k de resistència. Quin serà el valor final de la càrrega en el condensador?

Quan temps tardarà en adquirir (aproximadament) un 63% de la càrrega final?

Quan temps ha de passar per a poder considerar el condensador com a totalment

carregat?

El valor final de la càrrega és: CVCQ 240241010· 6

La constant de temps del circuit és: msCR 201010102· 63

Podem considerar que el condensador està carregat quan el temps és superior 4 o 5

vegades a la constant de temps.

El dielèctric d'un condensador de capacitat 68 F no és un aïllant perfecte, sinó

que té una resistència de 104 M. El condensador es carrega connectant-lo a una

tensió de 120 V i després es desconnecta del generador. Quantes hores tardarà en

estar pràcticament descarregat?

La constant de temps del circuit de descàrrega del condensador és:

sCR 68000010681010· 634

Si considerem que el condensador està pràcticament descarregat quan ha passat un

temps d’unes 5 vegades la constant de temps, podem considerar suficients unes 944

hores (uns 40 dies).

Una bobina de 250 espires, amb nucli d'aire, té amb una longitud de 10 cm i un

diàmetre de 2 cm. Quin coeficient d'autoinducció té?.

El valor de la autoinducció de la bobina és:

mH

l

SNL r 24,0

1010

1012501041···

2

22272

0

Un solenoide de nucli d'aire, amb una longitud de 15 cm i un diàmetre de1,8 cm té

un coeficient d'autoinducció de 0,12 mH. Quantes espires té?

A partir del coeficient d’autoinducció podem deduir el nombre d’espires:

espires

S

lLN

l

SNL

or

r 237109,0104

10151012,0

··

····

227

232

0

Un inductor està construït amb 600 espires sobre un nucli toroïdal ferromagnètic

(r=400) de 4 cm de diàmetre i una secció transversal de 0,8 cm2. Calcula el

coeficient d'autoinducció de l'inductor.

Suposem que el diàmetre mitjà de l’inductor és 4 cm. Calculem el valor del coeficient

d’autoinducció:

Hl

SNL r 23,0

102

108,0600104400···

2

4272

0

Un inductor de 0,1 H i una resistència òhmica de 10 es connecta a una bateria de

12 V i resistència interna negligible. Quina intensitat final hi haurà per la bobina?

Quant temps tardarà en establir-se la intensitat final? Quina energia

emmagatzema la bobina?

La intensitat final pel circuit és: AR

UI

L

F 2,110

12

La cosntant de temps és: )10(01,010

1,0mss

R

L

La intensitat final s’establirà en un temps aproximat mst 50·5

L’energia que s’emmagatzema a la bobina és: mJILT 722,11,02

1··

2

1 22

Un inductor està construït amb 350 espires sobre un nucli toroïdal ferromagnètic

(r=400) de 3.5 cm de diàmetre i una secció transversal de 0,7 cm2.

a) Calcula el coeficient d'autoinducció de l'inductor.

b) Connectem aquest inductor a una font de tensió de 6V i resistència interna de

0.3 mitjançant una resistència de 4 . Quin temps tarda en establir-se la

intensitat final? Quina energia emmagatzema l'inductor?

a)

)78(078,0

102

5,3

107,0350104400···

2

4272

0 mHHl

SNL r

b)

Considerem que la resistència de l’inductor està englobada dins de les altres

resistències.

La constant de temps del circuit és:

)18(018,03,04

078,0mss

R

L

La intensitat final s’estableix quan ha passat un temps d’unes 4 o 5 vegades la constant

de temps.

El valor de la intensitat final és: AR

UI F 39,1

3,04

6

L’energia emmgatzemada a l’inductor és: mJILT 7539,110782

1··

2

1 232

c)

En el moment d’establir la connexió del circuit, la tensió a l’inductor és de 6 V.

01 A una distància de 0,1 cm d'un conductor, situat en el aire, la inducció creada

és de 0,6 mT. Quina intensitat passa pel conductor?

Apliquem la llei d'Amper: AB

rI 310··4

106,0101,02···2

7

32

0

02 Una espira circular de 40 cm de diàmetre està situada en un pla que forma 45º

amb el vector inducció d'un camp magnètic de 100 mT.

Quin flux travessa l'espira?

Calculem el flux mitjançant la fórmula ·cos·SB

2

222

125,02

1040·

2· m

DS

mWbSB 83,8º45cos125,010100·cos· 3

03 Un solenoide de 200 espires té 220 cm de longitud i un diàmetre de 4 cm. La

intensitat és de 1,5 A. Calculeu la inducció i el flux magnètics.

I = 1,5 A

220 cm4 cm

La secció del solenoide és: 23

222

1026,12

104

2· m

DS

La inducció magnètica: Tl

INB 4

2

7

0 1071,110220

5,1200104

··

El flux magnètic: WbSB 734 1015,21026,11071,1·

04 Un solenoide té una longitud total de 24 cm i un diàmetre interior de 3,5 cm; el

nombre d'espires és de 150, i la intensitat és de 1,2 A.

Calculeu la inducció i el flux en el seu interior.

mTl

INB o 94,0

1024

2,115010··4··2

7

24

22

2 106,92

105,3·· mrS

WbSB 9,0·

05 Tenim un solenoide de 30 cm de longitud, amb una intensitat de 2 A; en el seu

interior hi ha una inducció de 0,5 mT. Volem reduir la inducció fins a 0,4 mT.

Quantes espires li hem de treure?

En el solenoide original, tenim:

l

INB

··

En el solenoide amb la modificació indicada, obtenim una inducció B’ amb un nombre

d’espires N’; la resta de paràmetres no es modifiquen:

l

INB

'··'

Dividim les dues igualtats: NB

BNN

N

N

B

B·8,0

'·'

''

Per tant, s’han de reduir les espires a un 80% del valor actual

06 En la taula tenim la relació obtinguda en un alitage de ferro entre l'excitació

magnètica H (A/cm) i la inducció magnètica corresponent B (T).

Heu d'obtenir dues gràfiques: )(HfB i )(Hf

H(A·m-1

) 0 20 40 60 80 100 120 140 160

B (T) 0,00 0,52 0,60 0,80 0,90 1 1,05 1,08 1,09

Gràfic B=f(H):

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 50 100 150 200

H

B

Gràfic =f(H): cal obtenir una taula ,H. Podem obtenir dividint a cada punt B/H:

B(T) H (A/m) =B/H

0,00 0

0,52 20 2,60·1002

0,60 40 1,50 ·1002

0,80 60 1,33 ·1002

0,90 80 1,13 ·1002

1,00 100 1,00 ·1002

1,05 120 8,75 ·1003

1,08 140 7,71 ·1003

1,09 160 6,81 ·1003

0,00E+00

5,00E-03

1,00E-02

1,50E-02

2,00E-02

2,50E-02

3,00E-02

0 50 100 150 200

H

B/H

07 Tenim un solenoide de 300 espires i 15 cm de longitud. Amb una intensitat de 1

A, la inducció en el seu interior és de 30 mT.

Quina permeabilitat relativa té el seu nucli?

12130010··4

10151030

··

····7

23

0

IN

lB

l

INB r

ro

08 Per una bobina pràcticament plana de 40 espires i 3 cm de diàmetre hi circula

una intensitat de 2,5 A. Quina és la inducció magnètica en el centre de la bobina?

El radi de la bobina és: mD

R 22

105,12

103

2

La inducció magnètica: TR

INB 3

2

70 1019,4

105,1

5,240·

2

10··4··

2

(4,19 mT)

09 Volem obtenir en el centre d'una espira de 20 cm de diàmetre una inducció

magnètica de 10 mT. Quina intensitat caldrà que circuli per l'espira?

ABR

IR

IB 1591

10··4

101010102··2·

2 7

32

0

0

Comentari: és evident que aquest resultat no té cap sentit pràctic. El procediment per

obtenir una determinada inducció magnètica en un punt és utilitzar bobines amb un

nombre suficient d’espires

10 La intensitat del camp magnètic a l'interior d'un solenoide de 250 espires és de

500 A/m i la seva longitud és de 20 cm. Calculeu:

a) La fmm del solenoide

b) La intensitat que cal per obtenir-la. És un valor viable?

AlHINl

INH 1001020500··

· 2

Amb un nombre d’espires 250N cal una intensitat: AI 4,0250

100

11 Per un solenoide de 15 cm de longitud i 130 espires hi passa una intensitat de 2

A. El nucli magnètic té una permeabilitat relativa r = 103 .

Calculeu la inducció en el seu interior.

Tl

INB ro 17,2

1015

21301010··4···2

37

12 En un anell toroïdal amb diàmetre exterior de 12 cm i diàmetre interior de 8

cm hi ha un debanat de 200 espires. La intensitat en el debanat és de 1 A.

Calculeu la inducció i el flux magnètics a l'interior de l'anell.

El diàmetre mitjà de l’anell toroïdal és:

cmDm 102

812

La longitud mitjana de l’anell toroidal és: cmDl m 41,31·

La inducció megnètica a l’interior de l’anell toroïdal:

mTl

INB o 8,0

1041,31

120010··4··2

7

Hem suposat que el nucli toroïdal no és de material magnètic ( 1r ).

Per calcular el flux, cal tenir la secció del nucli.

2

2

2 57,122

812·· cmrS

WbSB 11057,12108,0· 43

13 Un solenoide té les característiques següents: 700 espires; 22 cm de longitud;

secció de 1 cm2; la intensitat per les espires és de 10 A. Dins del solenoide hi ha un

material ferromagnètic per augmentar la inducció creada. Amb un fluxòmetre

mesurem el flux magnètic: és de 1,55 mWb. Quant ha augmentat la inducció

magnètica amb la introducció del nucli ferromagnètic?

La inducció creada en el seu interior si no hi ha el nucli ferromagnètic és: l

INB

··0

El camp magnètic que origina la inducció B és: l

INBH

·

0

El camp magnètic H és independent del medi; calculem el seu valor:

mA

l

INH 31818

1022

10700·2

Si no hi ha nucli ferromagnètic: THB 04,03181810··4· 7

00 (40 mT)

El flux magnètic a l'interior: WbSB 54

00 104,4101104,0·

Amb nucli ferromagnètic, el flux és: Wb31055,1

La inducció magnètic, amb el nucli ferromagnètic, és: TS

B 41,11011

1055,14

3

La relació entre les induccions magnètiques (amb nucli i sense nucli) és:

25,3504,0

41,1

0

B

B , que coincideix com és lògic amb la relació entre fluxos.

14 Les dades d'un nucli toroïdal de material ferromagnètic són: radi interior r =

20 cm; radi exterior R = 24 cm; la permeabilitat del nucli és = 7,810-4

T·A-1

·m-1

.

El solenoide toroïdal té 60 espires, i la intensitat que hi passa és de 4 A.

a) Calculeu el flux magnètic en el nucli.

b) Calculeu el flux magnètic utilitzant la llei de Hopkinson

20 cm24 cm

n = 60 esp.

I = 4 A

a)

Cal trobar la longitud del solenoide; en els nuclis toroïdals es calcula sempre a partir del

radi mitjà rm.

cmRr

rm 222

2420

2

(2210

-2 m)

mrl m 382,11022···2··2 2

El camp magnètic creat és: 17,173382,1

450·

mAl

INH

La inducció magnètica a l'interior del solenoide és:

THB 135,07,173810,7·· 4

Per calcular el flux magnètic, ens cal saber la secció del nucli. El diàmetre Dn del nucli

es pot obtenir restant el radi exterior i el radi interior:

cmrRDn 42024

La secció del nucli és: 23

222

1026,12

104·

2· m

DS n

El flux magnètic: WbSB 43 107,11026,1135,0·

b)

La reluctància del circuit és: 1

341406186

1026,1108,7

382,1

·

WbA

S

l

La

força magnetomotriu és: AINF 240460·

El flux magnètic: WbF 4107,1

1406186

240

15 Les dades d'un nucli toroïdal són: longitud mitjana l = 250 cm; secció S = 25

cm2; en el nucli cal una inducció magnètica B = 0,32 T; l'excitació magnètica que

cal en el nucli per a aquesta inducció és H = 1200 Av·m-1

.

Calculeu la força magnetomotriu necessària.

Càlcul de la permeabilitat magnètica del material del nucli:

mATH

B 14106,2

1200

32,0

La reluctància del circuit és: 16

44

2

1075,31025106,2

10250

·

WbA

S

l

El flux en el nucli és: WbSB 44 108102532,0·

Càlcul de la fmm aplicant la llei de Hopkinson: AF 30001075,3108· 64

16 Tenim un nucli de material ferromagnètic quasi tancat, amb permeabilitat

relativa r=6250. Les dimensions del nucli són: longitud de l'itinerari del flux: 60

cm; secció: 40 cm2. Les dades de l'entreferro (el petit espai on en nucli està tallat)

són: longitud: 0,4 cm; secció: 40 cm2; l'entreferro produeix unes pèrdues de flux

estimades en un 15%. A aquest circuit magnètic s'hi aplica una fmm de 5000 A.

Calculeu:

a) El flux

b) La inducció magnètica.

Calculem primerament la permeabilitat magnètica del nucli: 7

01 10·46250· r

Les reluctàncies del nucli magnètic ( 1 ) i de l'entreferro ( 2 ) són:

1

47

2

11

11 19098

104010·46250

1060

·

WbA

S

l

1

47

2

20

22 795774

104010·4

104,0

·

WbA

S

l

La reluctància del petit entreferro és molt superior a la del nucli: 21 ; Les dues

reluctàncies estan en sèrie. la reluctància total és:

1

21 81487279577419098 WbAT

Apliquem la llei de Hopkinson per obtenir el flux:

WbF 31014,6

814872

5000

Hi ha unes pèrdues d'un 15% del flux a l'entreferro; el flux total és:

WbT

31021,5100

·15

La inducció magnètica: TS

B T 3,11040

1021,54

3

17 Un circuit magnètic toroïdal té un petit entreferro d'aire d'una secció de 40

cm2 i una longitud de 1 mm. la resta del circuit magnètic és d'un material

ferromagnètic amb una permeabilitat relativa de 4000, una longitud mitjana de 55

cm i una secció de 36 cm2. Volem obtenir una inducció magnètica de 0,8 T a

l'entreferro, on suposem que no hi ha cap dispersió de flux. Calcula la fmm

necessària.

Calculem la permeabilitat magnètica del nucli: 37

01 10510·44000· r

Les reluctàncies del nucli magnètic ( 1 ) i de l'entreferro ( 2 ) són:

WbAS

l/30555

1036105

1055

· 43

2

11

11

WbAS

l/198943

104010·4

101

· 47

3

20

22

Les dues reluctàncies estan en sèrie. La reluctància total és:

WbAvT /2294981989433055521

A partir de la inducció magnètica que volem obtenir a l’entreferro, podem deduir el flux

magnètic: mWbSBS

B TT 2,310408,0· 4

Apliquem la llei de Hopkinson per obtenir la fmm:

AFF

TT

T

T 734229498102,3· 3

18 Sobre un anell toroïdal d'un material que no és ferromagnètic, amb un

diàmetre mitjà de 18 cm, hi ha dues bobines de 300 i 180 espires. Per les bobines,

connectades en sèrie, hi circula una intensitat de 5 A. La fmm creada per les

bobines pot ser additiva o substractiva, segons el sentit relatiu d'enrotllament de

cadascuna respecte a l'altra. En els dos casos, calcula la inducció magnètica en el

nucli.

La longitud mitjana de l’anell toroïdal és:

cmDl m 55,5618··

La secció del circuit magnètic és:

2

22

26,502

8·

2· cm

DS

La reluctància magnètica del circuit és:

1

47

2

0

·5,891026,5010··4

1055,56

·

WbAM

S

l

Comentari: és un valor molt alt degut a la gran longitud del circuit magnètic i a què el

nucli no és d’un material ferromagnètic.

a) La fmm és substractiva.

AINNfmm 6005)180300()·( 21

Apliquem la llei de Hopkinson:

WbF

7,6105,89

6006

mTS

B 33,11026,50

107,64

6

b) La fmm és aditiva:

AINNfmm 24005)180300()·( 21

WbF

8,26105,89

24006

mTS

B 32,51026,50

108,264

6

19 Un solenoide de 500 espires, 30 cm de longitud i 2,5 cm de diàmetre i nucli de

plàstic (amb una permeabilitat similar a l'aire) té superposada una segona bobina

de 1200 espires. Pel solenoide circula una intensitat de 9 A que passa a 0 A en un

temps de 0,08 s. Quina fem s'ha induït a la bobina superposada?

20 Un quadre de distribució està format per barres de connexió de 2 m de

longitud separades una distància de 6 cm. La intensitat màxima, en cas d'avaria

per curtcircuit es preveu de 8 kA.

Quins esforços hauran d'aguantar els suports mecànics de les barres?

La força per unitat de longitud és:

mN

d

II

l

F3,213

106

108108·

·2

10··4··

·2 2

337

210

La longitud de les barres és L = 2 m; la força total és: Nl

FLF 6,4263,2132·

La construcció mecànica del quadre s'ha de realitzar considerant aquests esforços

mecànics en condicions adverses.

21 A l'embarrat d'un quadre de distribució d'una subestació elèctrica hi ha dues

pletines de coure de 4 m de longitud, a una distància de 5 cm. El corrent màxim en

cas de curtcircuit és de 80 kA. Quina força es pot establir entre les pletines?

Partim de la força per unitat de longitud:

mAr

II

l

F/25600

1052

)1080(104··

·2 2

237

210

Les barres tenen 4 m de longitud; per tant, la força total és:

NF 102400425600

22 Un conductor de 15 cm es mou perpendicularment a un camp magnètic B = 2

T, a una velocitat de 6 m/s.

Quina fem s'ha induït entre els seus extrems?

8,1610152·· 2 vlBe V.

23 Un flux magnètic varia a la velocitat de 0,24 Wb/s; travessa una bobina

generant una fem de 18 V. Calcula el nombre aproximat d'espires de la bobina.

A partir de la llei de Lenz:

espiresNNt

Ne 7524,0

1824,0·18·

24 El flux variable que travessa una espira té en el temps t0 un valor

mWb200 i en un temps 1,001 tt segons el flux és mWb41 .

Quin és el valor mitjà aproximat de la fem induïda a l'espira.

A partir de la llei de Faraday: Vttt

e 16,01,0

004,002,0

10

10

25 Un electroimant en forma de U, amb un nucli de secció quadrada de costat 40

cm, té una inducció magnètica de 0,3 T.

Quina força d'atracció exerceix?

La secció de l’elctroimant és:

24 32,01040402 mS

NSB

F 114591042

32,03,0

·2

·7

2

0

2

Problemes electrostàtica

resum de fórmules

Llei de Coulomb 1 212 12

0

·

4· · ·

Q QF r

r

Camp elèctric creat per la càrrega Q a un distància r 124· · ·

QE r

r

; al buit ε = 0 = 8,8510

-12C

2N

-1m

-2

Potencial creat per una càrrega puntual Q en el punt A a una distància r4

A

QU

r (origen de potencial a ∞)

Treball per traslladar una càrrega Q+ al moure’s del punt B al punt A ( )A BT Q U U

Problemes

1) ¿Quina força d'atracció s'estableix entre una càrrega positiva de 1,510-10

C situada en el punt (0,0) i una càrreganegativa de 210

-10C situada en el punt (1,0)? El medi és el buit i les longituds estan expressades en mm.

2) Tenim una càrrega puntual Q = 1,610-8

C situada en el punt O(0,0). Calcular la intensitat de camp elèctric E enels punts U(2,0) i V(0,2). El medi és el buit i les longituds estan expressades en metres.

3) Calcular la intensitat de camp elèctric creat per la càrrega de l'exemple anterior en el punt P(2,3)

4) Una càrrega elèctrica Q = 2,710-10

C situada en el punt O(0,0) crea un camp elèctric. Quin és el potencial en elpunt A(2,0) ? Les longituds estan expressades en m i el medi és el buit.

5) Tres càrregues del mateix valor Q = 10-10

C estan situades en els punts següents:O1(-1,0); O2(0,0) i O3(1,0). Quin és el potencial en els punts A(4,0) i B(0,4) ? Les longituds estan expressades enm i el medi és el buit.

6) Dues càrregues elèctriques positives idèntiques de valor 210-4

C estan situades en els punts (1,0) i (2,0). De-termina el potencial en els punts (-2,0) i (0,0), i calcula el treball realitzat per una càrrega positiva de 110

-8C

quan és mou entre els dos punts esmentats.

IES Escola del treball CFG instal·lacions electrotècniques Nom:.................................................................Departamentd’electricitat

Crèdit 1: U2 Grup. 1HEIL Data: ......./........../.............

Prof. Joan Llurba Full d’exercicis d’electrostàtica Nota: ................................

Problemes resistència

lR

s (ρ=resistivitat del conductor; l=longitud, S=secció del conductor)

2 1 2 11R R t t R2=resistència a temperatura t2 ;R1=resistència a temperatura t1;α= coeficient d’augment de temperatura

Resistència d’un conductor

1) Calcula la resistència d’un conductor de coure de 60 m de longitud i 20 mm2

de secció si la resistivitat és ρ = 0,018 Ω mm2

/m .

2) Calcula la longitud d’un conductor de nicrom de diàmetre 0,4 mm i de resistivitat ρ = 1,1 Ω mm2/ m si volem que tingui una

resistència de 200 Ω

3) Quina resistència tindrà un conductor de coure de resistivitat ρ = 0,018 Ω mm2

/m si fa 40 m de llarg i 4mm d’ample ?

4) Quina resistència tindrà un conductor d’alumini de resistivitat ρ = 0,028 Ω mm2

/m si fa 400 m de llarg i 3mm d’ample ?

5) Quina longitud tindrà el fil de coure d’una bobina si el fil te 0,1 mm de diàmetre, una resistivitat ρ = 0,0175 Ω mm2

/m i unaresistència de 150 Ω ?

6) Una conductor d’alumini de resistivitat ρ = 0,028 Ω mm2

/m te que tenir una longitut de 2 km i una resistència de 9,33 Ω.Troba el diàmetre del conductor.

7) Quina serà la resistència a 70º d’un conductor de coure, que a 20 º te una resistència de 33Ω si α = 0,004

8) Una línia bifilar d’alumini de 2 km de longitud te a 20º una resistència de 3Ω . Calcula la resistència a 40º si α per l’alumini és0,004

9) La resistència de la bobina de coure d'un motor és de 1,8 en fred, a una temperatura ambient de 20 º C. Quan el motor fun-ciona, la temperatura arriba als 70º. Quin valor té la resistència en calent?

10) Les característiques d'una resistència són: 10 k, tolerància 5%, potència màxima 1 W. Determinarem el rang de valors re-als que pot tenir.

11) Identificarem els colors dels anells dels següents resistors: 10 k 5%; 270 10%; 390 k 2%; 1 M 5%;

12) Una pletina és un conductor de secció rectangular. Tenim una pletina d'alumini de dimensions 3 mm x 6 mm, i una longitud de10 m. Quina resistència elèctrica té a 20ºC i a 60 ºC?.Dades de l’alumini com a conductor:



Prof. Joan Llurba Full d’exercicis nº 2 Nota: ................................

Resistència Valor 1er anell 2on anell 3er anell 4rt anellR1 10 k 5% Marró Negre Taronja Or

R2 270 10% Vermell Violeta Marró Plata

R3 390 k 2% Taronja Blanc Groc Vermell

R4 1 M 5% Marró Negre Verd Or


-1

Alumini 0,0286 4,4610-3

Llei d’Ohm, Potència i Energia elèctrica fem fcem

A BAB

AB

V VR

I

;

R

VRIVIP

22 ;

22 V

W Pt VIt RI t tR

; cc

cc

UI

R ; ·U E I r ; '·' rIEU

1) Una estufa elèctrica de resistència 200 Ω es connecta a 220 V. Troba la intensitat que hi circula.

2) Si l’estufa del problema anterior la connectem a 380 V, quina intensitat hi circula?

3) Una estufa quan es connecta a 220 V hi circula una intensitat de 10 A. Troba la resistència

4) Un radiador elèctric de resistència 40 Ω que considerem constant, funciona a 125 V. Troba la intensitat a:a. Quan es connecta a 125 V.b. Quan la tensió augmenta 150 V.

5) Es vol fabricar un calefactor amb fil de manganina de 0,3 mm de diàmetre i resistivitat 0,43 Ω mm2

/ m de manera que connec-tat a 220 V consumeixi 4 A. Troba la resistència del calefactor i la longitud de fil necessari.

6) Per u n aparell de 20 Ω hi circula una intensitat de 11 A. Troba la tensió a la que està connectat.

7) Per un conductor de coure de diàmetre 2mm, resistivitat 0,018 Ω mm2

/ m y longitud 300 m hi circula una intensitat de 10 A.Troba la resistència del conductor i la caiguda de tensió.

8) Una resistència té les següents característiques: valor nominal 12 i potència màxima 0,5 W. Determinarem la màxima in-tensitat i la màxima diferència de potencial que pot suportar.

9) Un aparell electrònic permet funcionar a 110 V o a 220 V mitjançant un commutador. La potència de l'aparell és de 30 W. Qui-na intensitat consumeix en les dues tensions? Quina energia consumeix en un mes funcionant un temps mitjà de 3 hores ca-da dia?

10) Una línia bifilar de coure subministra energia elèctrica a una càrrega situada a 200 m. La tensió del generador, a l'origen de lalínia, és de 48 V. La càrrega consumeix una intensitat de 10 A, i la seva tensió no pot ser inferior a 47 V. Quina secció mínimahan de tenir els conductors de la línia? Quina densitat de corrent hi ha en els conductors ?

11) Dissenyarem un divisor d'intensitat amb la condició que per la resistència R1=4 només hi passi una intensitat I1=0,4 A. Laintensitat que arriba al divisor és I=6 A. Quina resistència R2 s'ha de muntar en paral·lel?

12) Un acumulador té les característiques següents: fem E = 12 V, resistència interna r = 0,09 . El circuit extern que té connectatabsorbeix una intensitat I = 9 A. Calcularem la tensió U en els terminals de l'acumulador en buit i amb la càrrega esmentada.

13) Les característiques d'un generador són: E = 24 V; r = 0,1 . Subministra una intensitat I = 6 A a una càrrega externa. Calcu-larem: la tensió U en els seus terminals; la potència generada Pt; les pèrdues en el generador Pp; la potència útil en la càrre-ga Pu i el rendiment.

14) Un motor de corrent continu consumeix una intensitat de 10 A quan està connectat a una línia de corrent continu de 110 V. Laresistència interna del motor és de 0,2 . Calcularem la fem del motor i la intensitat que consumeix quan arrenca.

15) Una bateria de fem en càrrega E' = 10,4 V i resistència interna r' = 0,08 , es connecta a un generador de fem E = 15 V i re-sistència interna r = 0,1 per carregar-la. Calcularem la intensitat de càrrega, la tensió U en els terminals de la bateria; faremun balanç de les potències en el sistema i calcularem l'energia consumida per la bateria en 4 hores de càrrega.

16) Un generador de fem 110 V i resistència interna 0,1 subministra una intensitat de 10 A a la càrrega. Calcula la tensió en elsterminals del generador, fes un balanç de potències i calcula el rendiment elèctric del generador.

17) Un motor de corrent continu de resistència interna 0,08 consumeix una intensitat de 30 A quan està connectat a una xarxade 120 V. Calcula la caiguda de tensió en la resistència interna del motor i la fem del motor.




Llei d’Hom generalitzada Per un generador V E rI (E = fem generador; r =resistència interna generador)

Per un motor V E r I (E’ = fem motor; r ‘=resistència interna motor)

Connexió de n resistències: Sèrie

1

n

ii

R R

Paral·lel

1

1 1n

i iR R

Connexió de n generadors : Sèrie

1

n

ii

V V

Paral·lel (per 1 2 ... i nV V V V ) iV V

1) Un motor de corrent continu consumeix una intensitat de 10 A quan està connectat a una línia de corrent continu de 110 V. Laresistència interna del motor és de 0,2 . Calcularem la fem del motor i la intensitat que consumeix quan arrenca.

2) Una bateria acumuladors té fem en càrrega de 12 V i resistència interna de 0,06 . S'està carregant amb una intensitat de 4A. Quina és la tensió U en els terminals de la bateria?

3) Una bateria de fem en càrrega E' = 10,4 V i resistència interna r' = 0,08 , es connecta a un generador de fem E = 15 V i re-sistència interna r = 0,1 per carregar-la. Calcularem la intensitat de càrrega, la tensió U en els terminals de la bateria; faremun balanç de les potències en el sistema i calcularem l'energia consumida per la bateria en 4 hores de càrrega.

4) Tenim dues làmpades amb les característiques següents: la primera, 220 V/ 40 W i la segona 220 V/ 60 W. Es connecten ensèrie a una tensió de 220 V. Calcula la resistència equivalent de cada làmpada, i la potència real a cada làmpada en el circuit.Quina làmpada farà més llum?

5) Calcula la intensitat i la potència en cada resistència i en el generador, i verifica el balanç de potències:

consumidesPotènciesgeneradaPotència

6) calcula la intensitat i la potència en cada resistència i en el generador, i verifica el balanç de potències:




7) Per a carregar una bateria d'acumuladors de fem 24 V i resistència interna total de 0,14 , s'ha connectat a un generador de25 V i resistència interna 0,05 . Quina és la intensitat de càrrega de la bateria? Quines pèrdues totals té el circuit? Quin ren-diment tenim?

8) Un motor de corrent continu de resistència interna 0,08 consumeix una intensitat de 30 A quan està connectat a una xarxade 120 V. Calcula la caiguda de tensió en la resistència interna del motor i la fem del motor. Calcula las pèrdues en el motorper intensitat de 30 A i amb un 20% més d’intensitat.

9) En el circuit representat, volem que la intensitat per la bateria valgui 1 A. Quin és el valor que cal per a la resistència R1?

10) Es connecten en sèrie tres generadors amb les següents característiques: 60V/0,8; 40V/0,6 i 100V/0,9 a una resistèn-cia exterior R = 40 . Calcularem: la fem total del conjunt de generadors; la resistència interna total, la intensitat per la resis-tència exterior i la tensió en la resistència. Desprès farem un balanç de les potències en el circuit i calcularem el rendiment.

11) Tenim tres generadors de característiques 24V / 0,9 s'acoblen en paral·lel. El circuit exterior és una resistència R = 10 .Calcularem: les característiques del conjunt de generadors acoblats, la intensitat per la càrrega de 10 , la tensió en la càrre-ga i l'energia consumida per la càrrega en 20 hores.

12) Una garlanda nadalenca està formada per 10 bombetes de 44 W en sèrie. Trobeu:a. Resistència del conjunt.b. Corrent que circula si es connecten a 220 V.c. Tensió en borns de cada bombeta si es connecten a 220 V.

13) Un circuit alimentat per una tensió de 200 V està format per 3 resistències en paral·lel. Si les potències absorbides per les re-sistències son de 250 W, 100 W i 150 W. Calcula les corrents de les resistències i el seu valor.

14) Un circuit està format per una resistència de 4 Ω pel que circula una intensitat de 14 A connectada amb sèrie amb un grup detres resistències de 10 Ω, 10 Ω, 5 Ω , connectades en paral·lel Quant val la tensió aplicada a aquest circuit?



Prof. Joan Llurba Full d’exercicis Nº 5 Nota: ................................

Lleis de KirchhoffPrimera llei:En qualsevol nus (punt d’unió de dos o més conductors) es verifica que la suma de corrents entrants és igual a la suma de correntsque surten. Si s’agafen les equacions a tots els nusos, sempre n’hi ha una que es pot obtenir a partir de les altres. Per tant, per evitarinformació redundant, aplicarem la primera llei de Kirchhoff tants cops com nusos hi hagi menys un.

Segona llei:En qualsevol malla (recorregut tancat delcircuit) es verifica que la suma de totes lestensions és igual a zero.Entre la primera i la segona lleis podem es-criure tantes equacions independents comcorrents; per tant caldrà aplicar la segonallei tants cops com sigui necessari per a de-terminar el sistema.

En els exercicis següents Calcula la intensitat en els components aplicant les lleis de Kirchhoff1) 2)

3) 4)




(continuació kirchoff)5) Per al circuit de la figura, determineu: Ambl’interruptor s obert,a) La mesura del voltímetre V3 .b) La mesura de l’amperímetre A1 .

Amb l’interruptor s tancat,c) La mesura de l’amperímetre A1 .d) La mesura del voltímetre V3 .e) La potència subministrada per cada font.

6) Per al circuit de la figura, determineu:Amb l’interruptor s obert,a) La mesura de l’amperímetre A1.b) La mesura del voltímetre V2 .

Amb l’interruptor s tancat,c) La mesura de l’amperímetre A1 .d) La mesura del voltímetre V2 .e) La potència subministrada per cada font.

7) Per al circuit de la figura, determineu:

a) Determineu la potència que consumeix la resistència R2 .b) Quin corrent màxim podrà circular per la resistència R1 sense que aquesta

es cremi si pot suportar una potència de 10 W?c) Quin corrent circularà per la resistència R3 , si R2 es fon i es converteix en

un circuit obert?

8) Per al circuit de la figura, determineu:a) La resistència equivalent del conjunt format per R2 , R3 i R4

.b) Els corrents I1 i I2 subministrats per les fonts de tensió.c) La potència total subministrada per les dues fonts.

9)Per al circuit de la figura, determineu:

a) La resistència equivalent de R3 i R4 .b) Els corrents subministrats per les fonts de tensió.c) Les potències subministrades per les fonts de tensió.d) La diferència de tensió entre els extrems de la resistèn-

cia R4 .




Teorema de Thevenin

El teorema de Thevenin permet simplificar qualsevol circuit elèctric vist des del terminals de connexió d'un component determinat.Un circuit elèctric actiu (almenys amb un generador) es pot substituir des dels terminals A, B per un generador de fem UTH connectaten sèrie amb una resistència RTH :El generador de fem UTH és la tensió entre A i B (VAB), en circuit obert, sense connectar-hi res exteriorment.La resistència RTH és la resistència equivalent que presenta el circuit in-ternament, vista des dels terminals A i B. Els generadors de tensió, alsefectes de valoració d'aquesta resistència, són curtcircuits.Primer pas . Calculem la resistència RTH equivalent de Thevenin.Segon pas. Calculem la fem UTH del generador equivalent de Thevenin.Tercer pas. Dibuixem el circuit equivalent de Thevenin.

Teorema de Norton

El teorema de Norton permet simplificar qualsevol circuit elèctric vist des del termi-nals de connexió d'un component determinat.Un circuit elèctric actiu (almenys amb un generador) es pot substituir des dels ter-minals A, B per un generador de intensitat INo connectat en paral·lel amb una re-sistència RNo :La intensitat de Norton IAB es calcula curtcircuitant la sortida, es a dir, posant unacàrrega nul·la entre A i BLa resistència de Norton es calcula igual que la thevenin, o be, es calcula la tensió de sortida VAB, quan no es connecta cap càrregaexterna, es a dir, amb una resistència infinita entre A y B. RNo es igual a VAB dividit entre INo.

Exemple:

Equivalència dels circuits equivalents de Thevenin i Norton

El teorema de superposició.

En un circuit elèctric amb diferents generadors, podem analitzar-lo en vàries etapes, considerant en cadascuna d'elles només l'efected'un únic generador; la resta de generadors es curtcircuiten. En una última etapa de l'anàlisi obtenim els resultats finals per suma delsobtinguts a cada etapa d'anàlisi parcial. S'ha de posar atenció al sentit de circulació de les intensitats parcials; poden ser contraris, illavors s'ha de seleccionar un sentit com a positiu i l'altre com a negatiu quan obtinguem els valors finals.




En el circuits de les figures següents, calcula:a) La tensió de Thevenin o La intensitat de Nortonb) La resistència de Thevenin o de Nortonc) Dibuixa el circuit equivalent de Thevenin o de Nortond) La intensitat que circula per la resistència de 12 Ω

a)

b)

c)

d)




NÚMEROS COMPLEXOSUn número complex s’escriu generalment com a + bi on a i b son números reals e i, anomenat unitat imaginaria, es de-

fineix com 1i té la propietat de que 12 i . Els números a i b son la part real i imaginaria del número complex.els números (a + bi) i (a - bi ) es diuen números complexes conjugats.Igualtat de números complexos: a+bi = c+di si i sols si a=c, i b=dSuma de números complexos: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iResta de números complexos: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b – d)iProducte de números complexos: (a+ bi)(c+ di) = (ac- bd) + (ad+ bc)iDivisió de números complexos:

idc

adbc

dc

bdac

dic

dic

dic

bia

dic

bia

2222

Producte d’un escalar per un complex p(a+bi)=(pa+pbi)

*nota observar que s’utilitzen las regles bàsiques d’àlgebra i la propietat 12 i

Gráfica de un número complex. Un número complex e a + bi pot ser representat com un punt (a, b) en un pla xy ano-menat diagrama d’ Argan o pla Gausià. Per exemple, en la figura 6.1, P representa el número complex -3 + 4iUn número complex A pot també ser interpretat como un vector de O a P

Forma polar d’un número complex. La Fig. 6-2 el punt P de coordinades (x, y)representa el número complex x + iy.El punt P pot també ser representat en forma polar amb coordenades polars (r, θ).

Com x = r cos θ, e y = r sin θ tenim risenriyx )(cos

És la forma polar del número complex. A22 yxr , se li diu mòdul i a θ ar-

gument o amplitud del número complex x+iy

Producte i divisió de números complexos en forma polar

Si )(cos 111 isenra y )(cos 222 isenrb El producte a.b es altra complex definit per

212121222111 cos)(cos)(cos isenrrisenrisenrGeomètricament , el vector que representa el producte dels complexos a.b , s’obté fen girar el vector a un angle igual alargument de b, en sentit contrari al moviment de las agulles del rellotge, i allargant-lo -el mòdul de b- vegades.El quocient de a per b ve definit per

)()cos(

cos

)(cos2121

2

1

222

111

isen

r

r

isenr

isenr

Geomètricament el quocient a/b s’obté fent girar el vector a el angle igual al argument de b en el sentit de les agulles delrellotge, contraient-lo -el mòdul de b- vedades.La divisió per cero es impossible.

O també )212121

(21 rrrr

)21(

2

1 )(2

1

2

1

r

r

r

r

Potència de un número complex (Teorema de Moivre)

Si p es un número real )(cos)(cos isenpprisenr pp o be p

p

prr

arrels d’un número complex

Si p=1/n on n es qualsevol número enter positiu )22

(cos)(cos11

n

kisen

n

krisenr nn

Les n arrels d’un número complex s’obté donant valors a k = 0,1,2,…,n-1

IES Escola del treball CFG instal·lacions electrotècniques Nom:.................................................................Departament d’electricitat Crèdit 1: U2 Grup. 1HEIL Data: ......./........../.............Prof. Joan Llurba Full d’exercicis nº 10 Nota: ................................

Geomètricament, els punts que representen a n a , son els vèrtexs d’un polígon regular de n costats amb el centre en el

pol.

Forma exponencial. Freqüentem-ne s’usa la anotació següent forma de anotació d’un número complex a de mòdul r y

argument θ irera

Recordar : !3!2!1

132 zzz

e zfunció exponencial simple,

Fórmula de Euler : per un exponent imaginari puro yi, es te: isenyye yi cos

p.e: 1ie

En general )(cos isenyyeeeee xyixyixz es a dir:

La part real deze es ye x cos , la part imaginaria de

ze es senye x, el mòdul

xz ee , l’ argument deze es y

La funcióze es periòdica, de període 2πi, així

ikzz ee 2 , p.e: 120 ikee ;

Fórmules de Euler per números complexos:

isenzze zi cos isenzze zi cos

Logaritme d’un número complex: siirez , llavors )2(lnln kirz

Funcions trigonomètrica i hiperbòliques

i

eesenz

zizi

2

2cos

zizi eez

2

zzi eeshz

2

zzi eechz

Les funcions sen z i cos z son periòdiques de període 2π, i les funciones sh z y ch z son periòdiques de període 2πi.Expressions de las funciones de argument imaginari pur

ishyseniy chyiy cos isenyshiy ychiy cosLas fórmules que son vàlides per les funciones trigonomètriques i hiperbòliques d’ argument real subsisteixen igual per

les funcions d’argument complex. En general si iyxz , el seu càlcul s’efectua per )( basen )cos( ba

)( bash )( bach p.e:

isenxshyxchysenseniyiyxiyx coscoscos)cos( por lo que

La part real R i la part imaginaria I de cos z, serà

)()()(cos

)()(cos)(cos

zshzsenRzI

zchIzRzR

Argument complex Part real Part imaginaria

)( iyxsen chysenx shyx cos

)cos( iyx chyx cos shysenx

)( iyxtg

ychx

xsen

22cos

2

ychx

xsh

22cos

2

Exercicis:1.-Donats els complexos a=(3+4i), b=(2-3i), representar-los i calcula: 2a+3b ; a.b ; ( 2a):(3b ) ; expressa a en formapolar.

2.- Donats els complexos p = 430º y q = 345º , representar-los i calcula gràficament la suma. Calcula el seu productep.q , la divisió p/q; el quadrat de p i las arrels cúbiques de q. Passa p i q a forma cartesiana.

3.-Donat el número 31 i , calcula la forma trigonomètrica, la forma exponencial

4.- calcula5

710

31

)51()43( 2

i

i

i

ii


Exercicis de complexos:

1.-Donats els complexos a=(3+4i), b=(2-3i), representar-los i calcula: a+b ; a.b ; ( 2a)x(3b ); expressa a en forma polar.

2.-Donats els complexos a=(3-4i), b=(-2-3i), representar-los i calcula: 2a-3b ; a.b ; ( 2a)/(3b ); expressa b en forma polar

2.- Donats els complexos p = 430º y q = 345º , representar-los i calcula gràficament la suma. Calcula el seu productep.q , la divisió p/q; el quadrat de p . Passa p i q a forma cartesiana.

3.-Donats els complexos p = 5-30º y q = 25215º , representar-los i calcula gràficament la suma. Calcula el seu productep.q , la divisió p/q; el quadrat de p . Passa p i q a forma cartesiana

4.- Donats els complexos p = 430º y q = 345º . Calcula p+q, passant-los primer a forma bionòmica. Expressa el resultat enforma polar.


CONDENSADORS: Capacitat d’ un condensador pla 12

0 0; 8,85 10 ; 81; 5r r aigua r oli

S FCmd

;V

QC

Constant de temps (temps de càrrega o descàrrega del condensador) ; 3R C t ;Condensadors en: Sèrie (Q1=Q2=…Qn)

nCCCC

1111

21

; Paral·lel (V1=V2=…=Vn) nCCCC 21 ; Energia emmagatzemada en un condensador

21

2E C V ; rigidesa dielèctrica d’un material(V/m): El major valor del camp elèctric que pot aplicar-se a un aïllant sense que es

torni conductor, per l’aire 30 kV/cm. Oli 150 kV/cm. Mica 2000 kV/cm. A més potencial hi ha l’arc elèctric

1) Calcula la capacitat i la càrrega emmagatzemada per un condensador pla format per dues plaques metàl·liques separades 5mm i200 cm

2per un dielèctric de mica εr = 4 connectat a 100 V

2) Un circuit està format per una resistència d’2 kΩ en sèrie amb un condensador de 10 µFa una bateria de 6V. Troba :a) La constant de tempsb) El temps de càrrega el condensadorc) L’energia del condensador.

3) Connectem en sèrie tres condensadors de 8µF, 6µF y 12µF a una font d’ alimentació de 60 V. Dibuixa el circuit. Calculaa) La capacitat del conjuntb) La tensió de treball de cada condensadorc) La energia emmagatzemada

4) Connectem en paral·lel tres condensadors de 800µF, 1600µF y 1200µF a una font d’ alimentació de 160 V. Dibuixa el circuit Cal-culaa) La capacitat del conjuntb) La càrrega de cada condensadorc) La energia emmagatzemada

BOBINES o inductàncies LI

; Φ = Flux magnètic (B.S)en Webers (Wb) ; L = coeficient d’autoinducció de la bobina en

Henrys(H); A una bobina de N espires

27; 4 10 ; ;

B S N S INL N N B BNS

I I l l

;B= inducció o densi-

tat de flux magnètic en Tesla (T) ;força electromotriu induïda ;I

Lt t

Constant de temps (temps de càrrega o descàr-

rega de la bobina) ; 3L

tR

Energia emmagatzemada en una bobina21

2E L I Coeficient d’inducció mútua

A BM L L Associació de Bobines en sèrie: 1 2 2TL L L M ; si estan oposades 1 2 2TL L L M

1) Un circuit en sèrie format per una bobina de 100 mH i una resistència de 100 Ω connectats a un generador de continua de 12VTroba:a) La constant de tempsb) El temps de càrrega de la bobinac) L’energia del camp magnètic

2) En una bobina d’inductància 68 mH augmenta el corrent de 0 a 2A en un temps de 10 ms. Calcula la força electromotriu induïda ε.

3) Calcula la inductància d’una bobina de 400 espires, d’una longitud de 20cm i una secció de 20 cm2

4) Calcula la FEM induïda en una bobina de 300 espires, sotmesa a l’acció d’un camp magnètic creixent d’1Wb a 10 Wb en 100 ms.

IES Escola del treball CFGS instal·lacions eletrotècniques Nom:.................................................................Departament d’electricitat Credit1 u 2 Grup................ Data: ......./........../.............Prof. Joan Llurba Full d’exercicis nº 13 Nota: ................................

El Corrent altern max sin( )y V wt

Freqüència (f) Hz, Període (T) s Velocitat angular (ω) rad/s T

f 1tT

f 22

Valors d’una tensió i d’una corrent alterna: Instantani (i , v ), Màxim (Imax, Vmax), Mig (Im, Vm), Eficaç ( I,V)

max2I

I m

max2VVm

2

maxII

2

maxVV

Desfases entre magnituds: Dos magnituds alternes estan desfasades un an-gle φ o un temps t, (veure figura) quan els seus valors màxims i mínims es-tan desfasats aquest angle o aquest temps.

Problemes:

1) Una C.A de 400 V te una freqüència de 400 Hz. Calcula:a) El períodeb) Temps que tarda en realitzar un ciclec) La velocitat angular de l’alternador que la generad) La tensió màximae) La tensió als 0,31 s.f) La tensió mitja

2) Dos corrents alternes estan desfasades 20º. Si la freqüència es de 50 Hz, calculaa) El períodeb) El temps de desfase

Impedàncies Z (Ω) i pulsació w

D’un circuit resistiu pur amb resistència R , 0º( 0 )RZ R j R

D’un circuit amb autoinducció pura L90 º

(0 ) (0 )L L LZ X j Lwj X

D’un circuit capacitiu pur (capacitat= C)90 º

1(0 ) (0 )C C CZ X j j X

Cw

Reactància d’un circuit X= XL- XC

Associació d’impedàncies:

En Sèrie T iZ Z

En paral·lel1 1

T iZ Z a

1

Zs’anomena admitància Y (en Siemens S)

Llei d’OhmV

ZI

; (en general prenem 0ºV V )V

IZ

; I I ; φ és l’angle de desfase entre la corrent I i la

tensió V; si φ és positiu, el circuit és capacitiu i la corrent esta avançada a la tensió; si φ és negatiu, el circuit és capacitiui la corrent esta enrederida a la tensió

Problemes1) Tenim una resistència de 40Ω, una bobina de coeficient d’autoinducció L= 0,4 H, i un condensador de 35 μF.

a) Expressa els valors de les tres impedàncies en forma binòmia i en forma polarb) Calcula la impedància total si estan connectats en sèriec) Calcula la impedància total si estan connectats en paral·leld) Calcula la corrent i l’angle φ si estan connectats en sèriee) Calcula la corrent i l’angle φ si estan connectats en paral·lel


XL

XC

R

Eix imaginari

Eix real

El Corrent altern problemes

1) Del circuit de la figura, determineu:a) La impedància equivalent.b) El corrent.

c) Les potències activa i reactiva consumides.

d) La freqüència a la qual la impedància és mínima.

2) Del circuit de la figura, determineu:a) La impedància equivalent.b) El corrent subministrat per la font.c) Les potències activa i reactiva.

d) La potència aparent i el factor de potència.

3) Del circuit de la figura, determineu:a) El valor de la reactància X.b) El valor de la resistència R.c) La mesura de l’amperímetre A2 .

d) El factor de potència del conjunt.

4) Al circuit RL en sèrie de la figura s’han mesurat les dades següents: VG = 100 V;VR = 80 V; I = 5 A, amb una freqüència de la font de 50 Hz.

a) Dibuixeu el diagrama tensió-intensitat del circuit i calculeu el valor de la resis-tència Ri de la reactància inductiva.

b) Si la reactància inductiva val 12 , de quin valor hauria de ser la capacitatdel condensador que col·locaríem en sèrie amb la bobina perquè el circuitentrés en ressonància?

5) Per al circuit de la figura, determineu:Amb l’interruptorobert:a) El diagrama vectorial dels corrents del circuit i la lectura

de l’amperímetre A1.b) Les potències activa, reactiva i aparent, així com el fac-

tor de potència del conjunt del circuitc) Amb l’interruptor tancat:El valor de la reactància del

condensador C 2 per tal que la lectura de l’amperímetreA1 sigui A1 = 20 A.

6) El circuit de la figura consumeix una potència activaP. Determineu:a) El corrent que circula pel condensador.b) El valor de R1 .c) El diagrama vectorial de les tensions del circuit i

el valor eficaç U de la tensió de la font.d) El factor de potència del conjunt del circuit.


El Corrent altern: construccions gràfiquesa) Triangle de tensions: La representació vectorial de les tensions (fig.) forma el triangle detensions.

R L C R XV V V V V V

Tensió activa cosRV RI V ; Tensió reactiva ( )X L CV X X I Vsen

Tensió aplicada al circuit2 2

R XV ZI V V

b) Triangle de resistències: Dividint l els tres costats del triangle de tensions pel valor de lacorrent s’obté el triangle de resistències

Resistència òhmica cosR Z ; Reactància total L CX X X Zsen ; Impedància del

circuit2 2( )L CZ R X X

c) Triangle de potències: Multiplicant els tres costats del triangle de tensions pel valor de lacorrent s’obté el triangle de potències.La potència consumida es divideix en

Potència activa, en watts2 cosRP RI V I VI ; Potència reactiva en var (volt ampers

reactius)2( ) ( )L C X L cQ X X I V I V V I VIsen ; Potència aparent, que se en volt

ampers (VA)2S ZI VI ; La relació entre las potències és

2 2S P Q

Principi de separació de potències:En una red de corrent alterna de freqüència constant, es conserven per separat les potències actives y reactives.

a) La potencia activa total d’ un conjunto de receptors connectats a la red és igual a la suma les potències actives

1 2 ....P P P

b) La potència reactiva total d’un conjunt de receptors connectats a la red és igual a la suma de les potències reac-

tives 1 2 ....Q Q Q

c) La potencia aparent total del conjunt de receptors2 2S P Q

Problemes:

1) Disposem d’una càrrega formada per una resistència en sèrie amb una bobina. Volem determinar el valor d’aquetscomponents fent una prova al circuit alimentant-lo amb una tensió de 230 V 50 Hz mesurant la corrent del circuit i lapotència consumida. Les lectures son 2A i 400W. Determinar el valor de la resistència i el coeficient d’autoinduccióde la bobina.

2) Disposem d’un motor de 3500 W amb un factor de potència de 0,8. Si afegim una estufa elèctrica de 2000W., quin ésel nou factor de potència?

3) Connectem a una xarxa de 230 V. 50Hz, un motor de 3500 W i factor de potència 0,8. Si connectem un condensadoren paral·lel de 1200 kVAr,a) Quin és el nou factor de potència?b) Quin condensador s’ha de connectar perquè el nou factor de potència sigui 1c) Quin condensador s’ha de connectar perquè el nou factor de potència sigui 0,98

4) Una estufa de 2kW i un motor que consumeix 0,75kW amb un factor de potència 0.8 inductiu, es connecten a 220 Vy 50 Hz, calcular:a) Potències activa, reactiva i aparent totals.b) Corrent totalc) Factor de potència total

IES Escola del treball CFGS instal·lacions electrotècniques Nom:.................................................................Departament d’electricitat Credit1 u 2 Grup................ Data: ......./........../.............Prof. Joan Llurba Full d’exercicis nº 16 Nota: ................................

El Corrent altern: 1. El corrent en un circuit elèctric té valor eficaç 30 A i esta enrederida respecte a la tensió alterna senoidal un angle de

40°. Calcula la component activa i reactiva del corrent.

2. Una bobina de resistència 40Ω i coeficient d'autoinducció 0,05 H esta connectada en paral·lel amb un altre bobina de resistència 10 Ω i coeficient d'autoinducció 0,1 H a una tensió alterna senoidal de 150 V, 50 Hz Calcula: a) El corrent que circula per cada bobina b) Component activa i reactiva del corrent que circula per cada bobina c) El corrent total que consumeixen les dos bobines d) Angle de desfasament entre la tensió i el corrent total.

3. Una bobina de resistència 2Ω coeficients d'autoinducció 0,1 H esta connectada en paral·lel amb un condensador de 120 µF de capacitat a una tensió alterna senoidal de 220 V, 50 Hz. Calcula: a) El corrent que circula per la bobina.. b) El corrent que circula pel condensador c) El corrent total. d) Impedància total. e) Angle de desfasament entre la tensió i el corrent total f) Potències actives, reactiva i aparent total.

Solució: a) 6,99 A; b) 8,29 A; c) 1,39 A; d) 158,27 Ω; e) 71° 26' d'avançament del corrent respecte de la tensió; f) P=97,37 W, Q=289,88 VAr; S=305,8 VA

4. Un condensador de 8µF de capacitat esta connectat en paral·lel amb una resistència de 500 Ω a una tensió alterna senoidal de 125 V, 50 Hz. Calcula: a) El corrent que circula per la resistència. b) El corrent que circula per el condensador. c) El corrent total. d) Factor de potència del conjunt de la instal·lació. e) Valor del condensador perque el factor de potència sigui 0,98

Potencia activa que consumeix el circuit. Solució: a) 0,25 A; b) 0,314 A; c) 0,4 A; d) 0,625 capacitiu; e) 31,25 W.

IES Escola del treball CFGS instal·lacions electrotècniques Nom:.................................................................Departament d’electricitat Credit1 u 2 Grup................ Data: ......./........../............. Prof. Joan Llurba Full d’exercicis nº 17 Nota: ................................

CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA Es un conjunto de tres corrientes alternas de iguales características y desfasadas entre sí un tercio de período o 120° ( 2π/3 radianes).

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE MAGNITUDES TRIFÁSICAS SENOIDALES

1) Representación cartesiana: se representa mediante tres senoides desfasadas 120° o un tercio de período.a) En función del tiempo (fig. 4.35): se toma el valor de la magnitud en ordenadas y el tiempo en abscisas.b) En función del ángulo: se toma el valor de la magnitud en ordenadas y el del ángulo en abscisas, teniendo en cuenta que al tiempo de un

período le corresponden 360° o 2 π radianes (fig. 4.36).2) Representación vectorial: se representan las magnitudes mediante tres vectores giratorios iguales (fasores), de módulo el valor máximo de la magnitud (fig. 4.37) y que giran con movimiento uniforme, realizando una rotación en el tiempo de un período con velocidad angular:

Tf ππω 22 == rad / s En la práctica se representan los vectores con módulo del valor

eficaz. .La suma de las tres magnitudes del sistema trifásico en cualquier instante es nula. i1+i2+i3=0CONEXIÓN EN ESTRELLATanto un receptor como un generador trifásico pueden conectarse en estrella en un punto común, llamado neutro (fig. 4.38). Los tres extremos libres de las fases se conectan a tres conductores llamados activos o de fase y el punto común puede conectarse a un conductor llamado neutro.CONEXIÓN EN TRIÁNGULOTanto un receptor como un generador trifásico pueden conectarse en triángulo, uniendo el final de una fase con el principio de la siguiente, y el final de la tercera con el principio de la primera para cerrar el triángulo (fig. 4.39).Las conexiones entre las fases se conectan a tres conductores llamados activos o de fase.TENSIONES E INTENSIDADES EN UN SISTEMA TRIFÁSICOSe llama tensión de línea VL a la tensión existente entre los conductores o hilos de fase de una línea trifásica.Se llama tensión de fase Vf a la tensión existente entre extremos de una fase.Se llama intensidad de línea IL a la intensidad que circula por cada conductor o hilo de fase de una línea trifásica.Se llama intensidad de fase If a la intensidad que circula por una fase.

RELACIÓN DE TENSIONES E INTENSIDADES EN UNA CONEXIÓN ESTRELLA EQUILIBRADALa conexión se llama equilibrada cuando son iguales las tres fases.

a) La intensidad de línea es igual a la de fase. ;L f R S T L fI I I I I I I= = = = =

b) La tensión de línea es 3 veces la de fase 3 ; ;L f RS ST TR L R S T fV V V V V V V V V V= = = = = = =Nota:Tensiones de fase VR = V0º ;VT= V120º ;VS= V240º ; Tensiones de línea VR S= 3V30º ; VTR= 3 V150º ;VST= 3V270º


POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA EQUILIBRADA La potencia de un sistema trifásico es la suma de potencias de las tres fases. Si el sistema es equilibrado:

Potencia activa 3 cos 3 cosf f L LP V I V Iϕ ϕ= = Potencia reactiva 3 3f f L LQ V I sen V I senϕ ϕ= =

Potencia aparente 3 3f f L LS V I V I= = Siendo φ el ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad de fase.

La relación entre las tres potencias 2 2S P Q= +PROBLEMAS1) Un receptor eléctrico trifásico está conectado a una línea trifásica de 380 V, 50 Hz de modo que absorbe por cada conductor de dicha línea una corriente de intensidad 30 A con factor de potencia 0, 85 inductivo. Calcular la potencia activa, reactiva y aparente que consume el receptor.

2) La línea de alimentación a un taller es trifásica de tensión 380 V y 50 Hz de frecuencia. Por cada conductor de la línea circula una corriente de intensidad 20 A con factor de potencia 0,8 inductivo. Calcular la potencia activa, reactiva y aparente que consume el taller. Solución: P=10 518 W; Q=7 889 VAr; S=13 148 VA

3) Un motor trifásico conectado en estrella tiene una tensión de fase de 127 V, 50 Hz y por cada fase circula una corriente de intensidad 10 A con factor de potencia 0,8 inductivo. Calcular la potencia activa, reactiva y aparente que consume el motor.Solución: P=3 048 W; Q=2 286 VAr; S=3 810 VA

4) Un receptor trifásico conectado a una línea trifásica de tensión 380 V y 50 Hz de frecuencia consume una potencia activa de 10 kW con factor de potencia 0,85 inductivo. Calcular la intensidad de línea.

5) El circuit trifàsic de la figura s’alimenta a una tensió de línia U. Determineu:a) La mesura de l’amperímetre A2.b) La mesura de l’amperímetre A1.c) El factor de potència del conjunt.d) Les potències activa, reactiva i aparent del conjunt.

6) El circuit trifàsic de la figura s’alimenta a una tensió de línia U. Determineu:a) La mesura de l’amperímetre A1 .b) La mesura de l’amperímetre A2 .c) El factor de potència del conjunt. d) Les potències activa, reactiva i aparent del conjunt.

7) El consum trifàsic de la figura s’alimenta amb una xarxa de tensió de línia (o composta) U. Determineu:a) El corrent de branca (o fase). b) El corrent de línia. c) Les potències activa, reactiva i aparent del consum.

8) El consum trifàsic de la figura s’alimenta amb una xarxa de tensió (composta o de línia) U = 400 V. Determineu:a) Els corrents de línia i del neutre. b) La potència reactiva del consum. c)La potència dissipada per cadascuna de les resistències.

9) A una xarxa trifàsica de 380 V de tensió de línia s’hi connecten en estrella tres bobines iguals que tenen 30 Ω de resistència òhmica i 40 Ω de reactància inductiva.

a)Determineu la intensitat de línia. b)Determineu la potència activa, reactiva i aparent de la instal·lació. Indiqueu el valor del factor de potència. c)Calculeu quina seria la intensitat de línia si les bobines estiguessin connectades en triangle en lloc d’estrella.

10) Un motor d’inducció trifàsic les bobines del qual estan connectades en triangle es connecta a una línia de 380 V de tensió de línia. Si considerem cada bobina com una resistència de 20 Ω en sèrie amb una bobina de 15 Ω de reactància inductiva:a) Determineu la intensitat de línia.b) Calculeu la potència activa, reactiva i aparent i el factor de potència de la instal·lació.c) Quina serà la intensitat de línia si connectem les bobines en estrella en lloc de fer-ho en triangle?


El transformador real en buit.En el transformador ideal que quan el secundari està en buit, 02 =I , la intensitat pel primari també és nul·la. Això no és realment possible, ja que sense intensitats no hi hauria flux, i per tant no hi hauria les fem induïdes, d'acord amb la llei de Faraday. Per tant, amb el secundari sense càrrega, al primari hi ha una certa intensitat que s'anomena intensitat de buit (I0). La I0 té com a funció magnetitzar el nucli: crea el flux circulatori pel nucli magnètic, i indueix les fem E1 i E2 en els debanats primari i secundari • Intensitat de magnetització Im; crea el flux Φ; té un desfasament de 90º amb la fem induïda E1.• Intensitat de pèrdues en el nucli Ip; té un desfasament de 0º amb la fem induïda E1.

Podem escriure mpo jIII +=L'assaig dels transformadors en buit. L'objectiu d'aquest assaig és determinar el valor de la intensitat en buit I0 i de les seves components Im i Ip. El valor d'aquestes intensitats es determina per a la tensió nominal de primari del transformador. També permet calcular els valors dels components simbòlics Lm i Rp del circuit equivalent.Els instruments de mesura necessaris són dos voltímetres, un amperímetre i un wattímetre, connectats com s'indica a l'esquema. El secundari es deixa en buit, i al primari s'hi connecta un generador U1, a la tensió i freqüència nominals de funcionament del transformador.

Pel secundari no hi ha cap intensitat; pel primari només la intensitat de buit I0.

Interpretem les lectures dels instruments:

• El voltímetre V1 indica la tensió del generador aplicat U1, i amb prou aproximació, la fem induïda E1.

• El voltímetre V2 indica la fem induïda E2, que en buit és exactament la tensió en el secundari U2.• L'amperímetre A indica la intensitat que circula pel debanat primari. En les condicions de l'esquema, és I0.

• El wattímetre W indica la potència en el primari, en buit: 0010 ·cos· ϕIUP =

A partir d'aquestes lectures, podem deduir: La relació de transformació: 2

1

VVm = L'angle ϕ0 : 00

01

00 ·

cos ϕϕϕ sinIVP

⇒⇒=

Podem deduir les dues components de la intensitat de buit I0: 00· ϕsinIIm = 00·cos ϕII p =A partir de les dues components de la intensitat de buit, podem obtenir si s'escau el valor dels components simbòlics Lm i Rp.

fX

LIVX m

mm

m ··21

π=⇒= ;

pp I

VR 1=

Exemple.A l'assaig en buit d'un transformador que té les característiques següents: 8 kVA, 750/220 V, 50 Hz , hem obtingut els resultats següents: voltímetre V1: 750 V; voltímetre V2: 220 V; amperímetre: 0,8 A; wattímetre: 39 W.Determinarem els paràmetres elèctrics que es poden obtenir amb l'assaig en buit.

41,3220750

2

1 ===VVm

997,0º2,86065,08,0750

39·

cos 0001

00 =⇒=⇒=

×== ϕϕϕ sin

IVP

798,0997,08,0· 00 =×== ϕsinIIm A

052,0065,08,0·cos 00 =×== ϕII p A

Pràcticament 0IIm = i la intensitat de pèrdues en el nucli Ip és negligible. Molt sovint és així.

8,939798,07501 ===

mm I

VX Ω; 99,250··28,939

··2===

ππ fX

L mm H

14423052,07501 ===

pp I

VR Ω (14,4 kΩ) És un valor molt alt; en paral·lel, té molt poc efecte sobre el funcionament dels

transformador.

IES Escola del treball Nom:.................................................................Departament d’electricitat Electrotecnia Grup................ Data: ......./........../............. Prof. Joan Llurba Transfomadors2 Nota: ................................

L'assaig dels transformadors en curtcircuit.

Amb aquest assaig determinarem Rcc i Lcc del circuit equivalent.Necessitem un voltímetre (V), un amperímetre (A) i un wattímetre (W). Els connectem com podem veure a l'esquema.Posem el secundari en curtcircuit. Al primari no hem de connectar la tensió nominal U1 (això ens destruiria el transformador), sinó que hem de partir d'una tensió 01 =U V, i l'anem augmentant poc a poc, al temps que controlem la intensitat per l'amperímetre. Quan aquesta intensitat sigui la de primari en funcionament nominal (I1n), tenim el transformador en condicions d'assaig. La freqüència f del generador és la nominal del transformador.• El voltímetre ens indica una tensió que anomenem Vcc : tensió de primari que produeix la intensitat nominal amb el secundari en

curtcircuit.• L'amperímetre ens indica la intensitat nominal pel primari I1n.• El wattímetre ens indica les pèrdues en el transformador en aquestes condicions. Les anomenem Pcc (pèrdues en curtcircuit). Pels

debanats primari i secundari hi passa la intensitat nominal, produint les mateixes pèrdues que en funcionament nominal; les pèrdues en el nucli magnètic són molt inferiors. Ho són en funcionament nominal, i ara encara més, donat que la tensió aplicada Vcc és molt inferior a la tensió U1 de funcionament nominal. En altres paraules: l'efecte de I0 no ens cal considerar-lo.

Lectura del voltímetre: Vcc; lectura de l'amperímetre: I1n; lectura del wattímetre: Pcc Determinem els dos components simbòlics Rcc i Lcc.

La potència aparent és: ncc IVS 1·= (VA) La potència reactiva és: cccccccccccc

cccc PQ

SP

ϕϕϕϕ ·tgtgcos =⇒⇒⇒=

Deduïm Rcc: 21

21 ·

n

ccccccncc I

PRRIP =⇒= Ω Deduïm Xcc: 2

1

21 ·

n

ccccccncc I

QXXIQ =⇒= Ω

fX

L cccc ··2 π

= (H)

Els paràmetres Rcc i Xcc que hem determinat s'anomenen paràmetres en curtcircuit. A partir d'aquests paràmetres podem calcular la impedància i el factor de potència en curtcircuit.

22cccccc XRZ += Ω

cc

cccc Z

R=ϕcos Directament hauríem pogut obtenir:

n

cccc I

VZ

1

= Ω

El circuit equivalent del transformador, sense considerar la intensitat de buit, és l'indicat a l'esquema. En els grans transformadors, a plena càrrega, l'efecte de la intensitat de buit és negligible. Només cal considerar el seu efecte en petits transformadors.El valor de la tensió Vcc que produeix la intensitat nominal amb el secundari en curtcircuit és també un paràmetre important en els transformadors. El valor que realment s'utilitza en les aplicacions electrotècniques és la tensió de l'assaig en curtcircuit Vcc expressada en percentatge sobre el valor V1 nominal (V1n).

n

cccc V

Vu

1

100·= El valor del paràmetre ucc sol estar incorporat a la placa de característiques del transformador. Per a transformadors

de distribució de l'energia elèctrica, fins a uns 200 kVA, ucc és de l'ordre d'un 4%. Augmentant S, també augmenta ucc , fins arribar a valors del 10% o superiors. La tensió de curtcircuit Vcc té dues components: la caiguda de tensió en la resistència Rcc (VRcc) i la caiguda de tensió en la reactància inductiva Xcc (VXcc). La segona component té un desfasament de 90º respecte a la primera.

nccRcc IRV 1·= nccXcc IXV 1·= També es poden expressar en funció de l'angle ϕcc: ccccRcc VV ϕ·cos=

ccccXcc sinVV ϕ·= O bé en funció de la tensió de curtcircuit percentual:

ccccRcc uu ϕ·cos= ccccXcc sinuu ϕ·=n

RccRcc V

Vu

1

100·=

n

XccXcc V

Vu

1

100·=

El corrent de curtcircuit accidental.En cas de curtcircuit accidental en el secundari, amb el primari connectat a la seva tensió nominal, la situació és molt diferent. Les intensitats en primari i secundari poden ser extremadament altes; la única limitació que hi ha és Zcc.

cc

ncc Z

VI 11 = Cal considerar que en les plaques de característiques dels transformadors no se sol indicar Zcc, sinó ucc. A partir

d'aquesta dada, podem determinar I1cc. A l'assaig en curtcircuit hem obtingut: n

cccc I

VZ

1

= Ω; com tenim n

cccc V

Vu

1

100·= podem

deduir: n

ncc

n

cccc I

VuIV

Z1

1

1 ·100·

== Substituint en l'expressió del corrent de curtcircuit: cc

n

cc

ncc u

IZV

I 111

·100== (A)

Exemple.

Un transformador monofàsic té les característiques següents: 15 kVA; 1000/220 V. En l'assaig en curtcircuit hem determinat ucc=2,4%. Quines són les intensitats de primari i de secundari en cas de curtcircuit accidental en el secundari?

A partir de la placa de característiques del transformador: 54,42201000 ==m ; 15

100015000

11 ===

nn V

SI A

Càlcul de les intensitats de curtcircuit: 6254,215100·100 1

1 =×==cc

ncc u

II A 5,283762554,4· 12 === xImI cccc A

Els valors de les intensitats de curtcircuit en el primari i el secundari són altíssims. Fixa't que la potència que els debanats han de convertir en calor la podem calcular si coneixem Rcc mitjançant una assaig en curtcircuit. Aquest assaig l'hem analitzat en l'últim

exemple, i ens ha donat Rcc=1,24 Ω. 48437524,1625· 22 =×== cccccc RIP W (484 kW)És una potència molt superior a la pròpia potència nominal. Si no hi hagués un sistema de protecció que desconnectés el transformador, s'iniciaria probablement un incendi immediat; els esforços dinàmics entre els conductors, deguts a les fortes intensitats, també podrien tenir efectes catastròfics.La caiguda de tensió en el transformador.

Es defineix la caiguda de tensió en un transformador com: 22 UEV −=∆ En el primari tenim la tensió nominal U1. E2: és ta tensió en el secundari en buit U2: és la tensió en el secundari amb càrrega nominalEn un transformador real, la caiguda de tensió es deguda a la circulació de la intensitat nominal I1cc per la impedància Zcc. La caiguda

de tensió se sol expressar en forma d'un valor relatiu i percentual: ( )

100·2

22

EUE −

=ε % La caiguda de tensió relativa també es pot

expressar en funció dels paràmetres uRcc i uXcc i del factor de potència de la càrrega ( ϕcos ). ϕϕε sinuu XccRcc ··cos += %La caiguda de tensió relativa s'anomena també factor de regulació.

Exemple.

En un transformador monofàsic de característiques 15 kVA; 1000/220 V, hem obtingut en l'assaig de curtcircuit: Rcc=1,4 Ω; Xcc=0,8 Ω.. Determinarem la caiguda de tensió relativa en les situacions següents:Potència nominal i 1cos =ϕ ; Potència nominal i 79,0cos =ϕ ;La potència és el 60% de la potència nominal i 85,0cos =ϕ .

49,087,0cosº7,2957,04,18,0tg =⇒=⇒=⇒=== cccccc

cc

cccc sin

RX

ϕϕϕϕ 61,187,04,1

cos===

cc

cccc

RZ

ϕ Ω

La intensitat nominal en el primari és: 15100015000·

1111 ===⇒=

nnnn U

SIIUS A La tensió Vcc de l'assaig en curtcircuit:

1,2461,115·1 =×== ccncc ZIV V En valor percentual: %41,210001001,24100·

1

=×==n

cccc V

Vu

Les components resistiva i reactiva de ucc són:%1,287,041,2·cos =×== ccccRcc uu ϕ %18,149,041,2· =×== ccccXcc sinuu ϕ

Calculem la caiguda de tensió relativa en cadascuna de les situacions:ϕϕε sinuu XccRcc ··cos +=

a) 001cos =⇒=⇒= ϕϕϕ sin %1,2018,111,2··cos =×+×=+= ϕϕε sinuu XccRcc

b) 61,0º81,3779,0cos =⇒=⇒= ϕϕϕ sin 38,261,018,179,01,2··cos =×+×=+= ϕϕε sinuu XccRcc %

c) 53,0º8,3185,0cos =⇒=⇒= ϕϕϕ sinLa potència és el 60% de la nominal; la intensitat també és el 60% de la nominal nII 11 ·6,0= i la caiguda de tensió caldrà

multiplicar-la per el factor 0,6. Si la potència fos la nominal: 41,253,018,185,01,2··cos' =×+×=+= ϕϕε sinuu XccRcc % La potència real és el 60% de

la nominal: 44,141,26,0'··6,0 === xεε %

El rendiment dels transformadors.

El rendiment del transformador es defineix com la relació entre la potència de sortida P2, lliurada a la càrrega, i la potència d'entrada P1, lliurada al transformador:

1

2

PP

=η ; quasi sempre s'expressa en percentatge: 100·1

2

PP

=η

Només es verificarà el cas límit 12 PP = en transformadors ideals, sense cap pèrdua. En els transformadors ideals: %100=η .En els transformadors reals hi ha pèrdues. Són les següents:

- Pèrdues per efecte Joule en els debanats. En el transformador real, aquestes pèrdues es poden valorar a partir del paràmetre Rcc de l'assaig en curtcircuit. Les pèrdues per efecte Joule en els debanats s'anomenen també pèrdues en el coure, que és el material amb el que es construeixen els conductors dels debanats. Les simbolitzem en general mitjançant PCU.

- Pèrdues en el nucli magnètic. Es diferencien dos tipus de pèrdues: les pèrdues degudes al cicle d'histèresi del material magnètic, i les pèrdues pels corrents paràsits de Foucault, que s'estableixen en el nucli per inducció del flux magnètic. Aquestes pèrdues, englobades, s'anomenen pèrdues en el ferro, i les simbolitzem mitjançant PFE. El ferro és el component bàsic dels materials compostos amb el que es construeixen els nuclis magnètics.

Anomenem PP a la potència perduda total. Podem expressar les següents relacions:

FECUP PPP += ; FECUP PPPPPP ++=+= 221 Podem expressar el rendiment: 100·100·2

2

1

2

FECU PPPP

PP

++==η

Exemple.

Les característiques d'un transformador reductor monofàsic són: 15 kVA; 1000/220. En els assaigs en buit i en curtcircuit hem connectat dos wattímetres que ens han indicat:- Assaig en buit: P=94 W.- Assaig en curtcircuit: P=280 W.

Determinarem el rendiment en les dues situacions següents:

a) A plena càrrega i amb 85,0cos =ϕb) Amb una càrrega del 60% i 8,0cos =ϕ

a) 1275085,015000·cos2 =×== ϕSP W

Les pèrdues en el ferro PFE es mesuren en l'assaig en buit i són pràcticament independents de les condicions de la càrrega. Per tant: PFE = 94 W.Les pèrdues en el coure PCU depenen de les condicions de la càrrega; en l'assaig en curtcircuit es determinen les pèrdues en el coure a plena càrrega. PCU=280 W.

%979428012750

10012750100·2

2 =++

×=++

=FECU PPP

Pη

Un transformador real molt difícilment arribarà a aquest rendiment tant bo.

b) Amb un 60% de plena càrrega:720085,0615000,0·cos·6,02 =×== ϕSP W

Les pèrdues en el ferro són independents de la càrrega: PFE = 94 W.Per valorar les pèrdues en el coure, hem de fer el següent raonament:

ccCU RIP ·21= ; treballant al 60% de la potència nominal, tenim nII 11 ·6,0= ; substituint en l'expressió de les pèrdues en el coure:

( ) ( ) ( )ccnccnccCU RIRIRIP ··6,0··6,0· 21

221

21 ===

L'últim parèntesi són les pèrdues en el coure mesurades en l'assaig en curtcircuit.

( ) ( ) ( ) 8,100280·6,0··6,0 221

2 === ccnCU RIP W

%4,97948,1007200

1007200100·2

2 =++

×=++

=FECU PPP

Pη

exercicis

1) Hem realitzat l'assaig en buit d'un transformador i hem llegit 44 W al wattímetre; 0,9 A a l'amperímetre; 250 V al voltímetre. Calcula la intensitat de buit, les seves components inductiva i resistiva, el seu desfasament respecte la tensió de primari, i el valor dels components simbòlics del circuit equivalent Rp i Xm.

2) Hem realitzar els assaigs en buit i en curtcircuit en un transformador monofàsic de 10 kVA i relació de transformació 5000 / 230 V. Els resultats obtinguts són: Assaig en buit. Tots els valors es refereixen a mesures en secundari: 229 V; 1,3 A; 40 W. Assaig en curtcircuit. Tots els valors es refereixen al primari: 180 V; I nominal a plena càrrega; 180 W.a) Determina els paràmetres elèctrics del transformador que es poden obtenir en els dos assaigs.b) Quin és el factor de regulació a plena càrrega i 1cos =ϕ ?

3) Realitzem l'assaig en curtcircuit en un transformador monofàsic de relació de transformació 15000 / 380 V i 750 kVA de potència. Quan la tensió de primari és de 320 V, pel secundari en curtcircuit ja hi passa la intensitat nominal amb un desfasament respecte a la tensió de 55º. a) Quina és la tensió (valor percentual ucc) i la impedància (Zcc) de curtcircuit?b) Quin és el valor numèric de les components resistiva i inductiva de Zcc?

4) La placa de característiques d'un transformador monofàsic indica: 90 kVA; 10000 / 220 V; 50 Hz; ucc = 4%. Calcula:a) La intensitat de corrent de curtcircuit en el secundari.b) La potència aparent de curtcircuit.

5) Un transformador monofàsic de 100 kVA i relació de transformació 3000 / 380 V té una tensió de curtcircuit del 5%. Quines el valor de la intensitat en el secundari en el cas de curtcircuit accidental?

6) Tenim un transformador de 90 kVA i relació de transformació 6000/380 V. La tensió en curtcircuit és del 6 %; les pèrdues en el coure a plena càrrega són de 1600 W.

a) Quina és la caiguda de tensió a plena càrrega amb 75,0cos =ϕ ?

b) Quina és la caiguda de tensió amb una càrrega del 60% i 9,0cos =ϕ ?

7) Un transformador de 50 kVA i relació de transformació 15000 / 380 V funciona a plena càrrega amb pèrdues en el coure de 800 W i en el ferro de 300 W. Quin és el rendiment amb un factor de potència en la càrrega de 1 i de 0,75?

8) Un transformador monofàsic té una relació de transformació 4000 / 400 V i una potència nominal de 45 kVA. En un assaig en curtcircuit hem obtingut els següents valors: Ω= 85,1ccR ; Ω= 50,4ccX ; en un assaig en buit hem obtingut una intensitat

AjI o 45,1 += . Connectem en el secundari una càrrega que absorbeix la intensitat nominal amb un factor de potència

8,0cos =ϕ . Calcula:a) Potència activa i reactiva lliurada a la càrrega.b) Pèrdues en el coure.c) Pèrdues en el ferro.d) Potència activa i reactiva absorbides pel primari.e) Caiguda de tensió en el transformador en les condicions de càrrega especificades.f) Rendiment del transformador en les condicions de càrrega especificades.

9) Les dades d'un transformador són: monofàsic, de 100 kVA; relació de transformació de 3000 / 220 V; pèrdues en el ferro de 500 W; pèrdues en el coure a plena càrrega de 1 kW; tensió de curtcircuit del 4%. a) Quines són les intensitats nominals pel primari i pel secundari?b) Calcula la caiguda de tensió i el rendiment en les condicions de càrrega següents: Plena càrrega i 75,0cos =ϕ ; 70 % de

plena càrrega i 8,0cos =ϕ .

10) Les dades d'un transformador monofàsic són: 400 kVA; 15000 / 380 V; pèrdues en el ferro de 2,6 kW; pèrdues en el coure de 4,5 kW a plena càrrega; tensió de curtcircuit del 5%. a) Avalua el rendiment del transformador amb les dues càrregues següents: 250 kW i 1cos =ϕ ; 210 kW i 75,0cos =ϕ . b) Calcula la caiguda de tensió amb les dues càrregues esmentades.

11) Un motor asíncron trifàsic de 50 CV, amb un rendiment del 90%, un factor de potència de 0,85 a plena càrrega i una tensió nominal d'alimentació de tensió de línia de 380 V està connectat a una xarxa elèctrica de tensió de línia de 6600 V mitjançant un transformador trifàsic amb connexions estrella-estrella amb relació nominal 6600/380. Considerem el transformador amb característiques ideals. Calcula les intensitats en els debanats de primari i de secundari del transformador quan el motor funcioni a plena càrrega.

Un transformador reductor té la següent característica de transformació: 220V /

18V; el primari té 140 espires. Calcularem les espires en el secundari i el flux

màxim quan connectem un generador de 220 V / 50 Hz en el primari.

2,1218

220m ; 5,11

2,12

14012

2

1 m

nn

n

nm (11 o 12 espires)

3

1

111 101,7

5014044,4

220

··44,4···44,4

fn

UfnU maxmax Wb (7,1 mWb)

Les dades del transformador són: n1 = 240 espires; n2 = 40 espires; connectem el

primari a un generador de corrent altern U1 = 220 V i el secundari a un càrrega

resistiva R = 20 . Calcularem els paràmetres elèctrics del circuit.

Relació de transformació: 640

240

2

1 n

nm

La fem E1 induïda en el primari: 22011 UE V

La fem E2 induïda en el secundari: 67,366

22012

m

EE V

La tensió en la càrrega R: 67,3622 EU V

Per calcular I2, apliquem la llei d'Ohm a R: 83,120

67,3622

R

UI A

La intensitat pel primari I1 és: 3,06

83,121

m

II A

La potència aparent subministrada a la càrrega R:

11,6783,167,36· 222 IUS VA

La potència lliurada pel generador 111 ·IUS coincideix amb S2 perquè hem considerat

el transformador ideal.

La càrrega és una única resistència, sense cap component inductiva o capacitiva. Tota la

potència que tenim és activa ( 1cos fdp ); la potència reactiva és nul·la, i per tant

la potència aparent coincideix amb la potència activa.

Un transformador reductor ideal té les següents característiques:

Relació de transformació 220 / 127; potència nominal de 1500 VA.

En el secundari connectem un motor de característiques nominals 1 kW, 127 V,

fdp = 0,8. Verificarem que el transformador admet aquesta càrrega, i calcularem

els paràmetres elèctrics del transformador.

Calculem la potència aparent demanada pel motor: 12508,0

1000

cos 2

22

PS VA. El

transformador pot subministrar fins a 1500 VA, per tant aguantarà aquesta càrrega.

84,9127

1250

2

22

U

SI A; 73,1

127

220

2

1 U

Um ; 69,6

73,1

84,921

m

II A

Un transformador reductor ideal de relació 220 / 24 té connectat: en el primari un

generador de 140 V eficaços i resistència interna R1 de 4 . En el secundari hi ha

una càrrega 862 jZ .

Calcularem la relació de transformació, els paràmetres elèctrics en el

transformador i la potència en la càrrega Z2.

La relació de transformació: 17,924

220

2

1 U

Um

Calculem la impedància equivalent 2

2·Zm :

7,6725,504)86(17,9· 2

2

2 jjZm

Dibuixem el circuit equivalent reduït al primari, i calculem I1

º53

º53

º017,0

3,843

140

7,6725,5044

140

· 2

2

1

11

jZmR

UI A

Ara podem calcular la resta de paràmetres elèctrics del transformador:

º53º53 56,117,017,9· 12 ImI

º0º53º53º53 14017,086,84017,0)7,6725,504(·· 12

2

1 jIZmE

E1 i U1 són iguals. En realitat hi ha la petit caiguda de tensió a R1 com a diferència, però

ha quedat anul·lada pels truncaments de decimals en el càlcul. Observa que

2

2

1 ·ZmR ; és una altra forma de veure perquè surt pràcticament 11 UE

27,1517,9

14012

m

EE V; podem escriure més formalment: º027,152 E V

º027,1522 EU V

Calculem les potències en la càrrega. Tenim les dades necessàries: la tensió U2, la

intensitat I2 i el desfasament de -53º entre U2 i I2.

8,061,0º53coscos sin

82,2356,127,15· 222 IUS VA

53,1461,082,23·cos22 SP W

02,198,082,23·22 sinSQ VA

A l'assaig en buit d'un transformador que té les característiques següents: 8 kVA,

750/220 V, 50 Hz , hem obtingut els resultats següents: voltímetre V1: 750 V;

voltímetre V2: 220 V; amperímetre: 0,8 A; wattímetre: 39 W.

Determinarem els paràmetres elèctrics que es poden obtenir amb l'assaig en buit.

41,3220

750

2

1 V

Vm

997,0º2,86065,08,0750

39

·cos 00

01

0

0

sinIV

P

798,0997,08,0· 00 sinIIm A

052,0065,08,0·cos 00 II p A

Pràcticament 0IIm i la intensitat de pèrdues en el nucli Ip és negligible. Molt sovint

és així.

8,939798,0

7501 m

mI

VX ; 99,2

50··2

8,939

··2

f

XL m

m H

14423052,0

7501 p

pI

VR (14,4 k) És un valor molt alt; en paral·lel, té molt poc

efecte sobre el funcionament dels transformador.

Realitzem un assaig en curtcircuit a un transformador monofàsic de

característiques 15 kVA; 1000/220 V. Quan pel primari hi passa la intensitat

nominal, cal aplicar-li una tensió de 24 V. El wattímetre indica una potència de 280

W. Determinarem els paràmetres elèctrics que es poden obtenir amb l'assaig en

buit.

L'amperímetre indica la intensitat nominal en el primari. En les dades anteriors no hi ha

aquesta lectura, però la podem obtenir a partir de les característiques del transformador:

151000

1015·

3

1

11·1

n

nnnV

SIIVS A

Per fer circular aquesta intensitat I1n pel primari amb el secundari en curtcircuit, ha

calgut una tensió Vcc=24 V.

3601524· 1 ncccc IVS VA

280ccP W

226280360 2222 cccccc PSQ VA

24,115

28022

1

n

cc

ccI

PR

115

22622

1

n

cc

ccI

QX

59,1114,1 2222 cccccc XRZ

64,0º6,3977,059,1

14,1cos cccc

cc

cc

cc sinZ

R

%4,21000

10024100·

1

n

cc

ccV

Vu

Les components resistiva i inductiva de ucc:

%85,17,04,2·cos ccccRcc uu

%54,164,04,2· ccccXcc sinuu

Un transformador monofàsic té les característiques següents: 15 kVA; 1000/220 V.

En l'assaig en curtcircuit hem determinat ucc=2,4%. Quines són les intensitats de

primari i de secundari en cas de curtcircuit accidental en el secundari?

A partir de la placa de característiques del transformador:

54,4220

1000m ; 15

1000

15000

1

1 n

nV

SI A

Càlcul de les intensitats de curtcircuit:

6254,2

15100·100 1

1

cc

n

ccu

II A 5,283762554,4· 12 xImI cccc A

Els valors de les intensitats de curtcircuit en el primari i el secundari són altíssims.

Fixa't que la potència que els debanats han de convertir en calor la podem calcular si

coneixem Rcc mitjançant una assaig en curtcircuit. Aquest assaig l'hem analitzat en

l'últim exemple, i ens ha donat Rcc=1,24 .

48437524,1625· 22 cccccc RIP W (484 kW)

És una potència molt superior a la pròpia potència nominal. Si no hi hagués un sistema

de protecció que desconnectés el transformador, s'iniciaria probablement un incendi

immediat; els esforços dinàmics entre els conductors, deguts a les fortes intensitats,

també podrien tenir efectes catastròfics.

En un transformador monofàsic de característiques 15 kVA; 1000/220 V, hem

obtingut en l'assaig de curtcircuit: Rcc=1,4 ; Xcc=0,8 .. Determinarem la

caiguda de tensió relativa en les situacions següents:

a) Potència nominal i 1cos

b) Potència nominal i 79,0cos

c) La potència és el 60% de la potència nominal i 85,0cos

A partir dels assaigs en curtcircuit, podem obtenir:

49,087,0cosº7,2957,04,1

8,0tg cccccc

cc

cc

cc sinR

X

61,187,0

4,1

cos

cc

cc

cc

RZ

La intensitat nominal en el primari és:

151000

15000·

1

111 n

nnnU

SIIUS A

La tensió Vcc de l'assaig en curtcircuit:

1,2461,115·1 ccncc ZIV V

En valor percentual:

%41,21000

1001,24100·

1

n

cc

ccV

Vu

Les components resistiva i reactiva de ucc són:

%1,287,041,2·cos ccccRcc uu

%18,149,041,2· ccccXcc sinuu

Calculem la caiguda de tensió relativa en cadascuna de les situacions:

sinuu XccRcc ··cos

a) 001cos sin

%1,2018,111,2··cos sinuu XccRcc

b) 61,0º81,3779,0cos sin

38,261,018,179,01,2··cos sinuu XccRcc %

c) 53,0º8,3185,0cos sin

La potència és el 60% de la nominal; la intensitat també és el 60% de la nominal

nII 11 ·6,0 i la caiguda de tensió caldrà multiplicar-la per el factor 0,6.

Si la potència fos la nominal:

41,253,018,185,01,2··cos' sinuu XccRcc %

La potència real és el 60% de la nominal:

44,141,26,0'··6,0 x

Les característiques d'un transformador reductor monofàsic són: 15 kVA;

1000/220. En els assaigs en buit i en curtcircuit hem connectat dos wattímetres que

ens han indicat:

- Assaig en buit: P=94 W.

- Assaig en curtcircuit: P=280 W.

Determinarem el rendiment en les dues situacions següents:

a) A plena càrrega i amb 85,0cos

b) Amb una càrrega del 60% i 8,0cos

a) 1275085,015000·cos2 SP W

Les pèrdues en el ferro PFE es mesuren en l'assaig en buit i són pràcticament

independents de les condicions de la càrrega. Per tant: PFE = 94 W.

Les pèrdues en el coure PCU depenen de les condicions de la càrrega; en l'assaig en

curtcircuit es determinen les pèrdues en el coure a plena càrrega. PCU=280 W.

%979428012750

10012750100·

2

2

FECU PPP

P

Un transformador real molt difícilment arribarà a aquest rendiment tant bo.

b) Amb un 60% de plena càrrega:

720085,0615000,0·cos·6,02 SP W

Les pèrdues en el ferro són independents de la càrrega: PFE = 94 W.

Per valorar les pèrdues en el coure, hem de fer el següent raonament:

ccCU RIP ·21 ; treballant al 60% de la potència nominal, tenim nII 11 ·6,0 ; substituint

en l'expressió de les pèrdues en el coure:

ccnccnccCU RIRIRIP ··6,0··6,0· 2

1

22

1

2

1

L'últim parèntesi són les pèrdues en el coure mesurades en l'assaig en curtcircuit.

8,100280·6,0··6,022

1

2 ccnCU RIP W

%4,97948,1007200

1007200100·

2

2

FECU PPP

P

Assagem una càrrega amb voltímetre, amperímetre i wattímetre. Per motius de

seguretat i de disponibilitat d'instrumentació, reduirem la intensitat amb un

transformador de mesura d'intensitat de relació d'intensitats 100:2, i connectem al

secundari tots els circuits amperimètrics: el del wattímetre i el de l'amperímetre. A

partir de les lectures dels instruments, deduirem els paràmetres elèctrics de la

càrrega.

El transformador d'intensitat té un factor de reducció: 21

2

1 ·50502

100II

I

I

La intensitat per la càrrega Z és: 102,050·50 2 II A

La tensió a la càrrega és la que indica directament el voltímetre: 220V V

El wattímetre té el circuit voltimètric directament en paral·lel amb la càrrega; el circuit

amperimètric el té connectat al secundari del transformador d'intensitat. per tant, essent

P2 la potència llegida, la potència real P és:

16003250·5050

·cos50

··cos· 222 PPPI

VIVP W

Ja tenim totes les mesures referides als valors reals de la càrrega. Podem calcular tots els

paràmetres elèctrics:

220010220· IVS VA

151016002200 2222 PSQ VA

73,02200

1600cos

S

P

Si ens interessa el valor dels components de jXRZ , podem trobar-los fàcilment.

2210

220

I

VZ

68,073,0cos sin

1673,022·cos ZR

96,1468,022· sinZX

Un transformador monofàsic ideal amb 100 espires en el primari i 250 espires en el

secundari es connecta a la xarxa elèctrica de 220 V i 50 Hz.

a) Calcula el flux màxim en el nucli i les tensions induïdes en el primari i en el

secundari.

b) Com varien els paràmetres calculats si connectem el transformador a una

xarxa elèctrica que funciona a 220 V i 60 Hz?

a)

mWbfn

VfnV màxmàx 9,9

5010044,4

220

44,4··44,4

1

111

b)

En una xarxa elèctrica de 60 Hz, el flux és:

mWbfn

VfnV màxmàx 26,8

6010044,4

220

44,4··44,4

1

111

Volem dissenyar un transformador monofàsic reductor per a una relació de

transformació nominal de 1000 / 127 V, 50 Hz. El flux màxim en el nucli és

determina que sigui de 20 mWb. Quantes espires calen en el primari i en el

secundari?

El nombre d’espires en el primari és:

espiresf

VnfnV

màx

màx 22502,05044,4

1000

44,4··44,4 1

111

El nombre d’espires en el secundari és:

espiresV

Vnn

n

n

V

V28

1000

127225

1

212

2

1

2

1

Un transformador ideal té 200 espires en el primari i 110 espires en el secundari; el

nucli té una secció de 80 cm2. És connecta a un generador de 220 V. Calcula:

a) El flux màxim i la inducció magnètica màxima en el nucli

b) La fem induïda en el secundari.

c) Les intensitats en el debanat primari i en el secundari quan connectem en el

secundari una càrrega 410 jZ

a)

mWbfn

Vmàx 95,4

5020044,4

220

44,4 1

1

TS

BSB 62,01080

1095,44

3

b)

Vn

EnE

n

n

E

E121

200

220110

1

122

2

1

2

1

c)

En el secundari: Aj

I º8,21º0

23,11410

1212

En el primari: An

InI º8,21

º8,2117,6

200

23,11110

1

221

Un transformador ideal de relació de transformació 1000 / 220 està connectat a un

generador de 900 V i alimenta una càrrega 8,01 jZ connectada en el

secundari.

a) Calcula la intensitat, la tensió i la potència activa i reactiva en la càrrega.

b) Considerem que el transformador està unit al generador de 900 V

mitjançant una línia monofàsica de 300 m de longitud amb una resistència

unitària 0,08 /km. Calcula de nou els paràmetres anteriors en la càrrega.

a)

La relació de transformació és: 54,4220

1000m

La tensió en el secundari és: Vm

UU 2,198

54,4

90012

La intensitat en el secundari és: AjZ

UI º6,38

º07,154

8,01

2,19822

Les potències activa i reactiva a la càrrega són:

WRIP 2393217,154 22

2

VAXIQ 6,191458,07,154 22

2

b)

La resistència total de la línia és: 024,03,0/08,0 kmkmR

El mòdul de la intensitat de primari és: Am

II 38,34

5,4

7,15421

La caiguda de tensió a la línia d’alimentació és: VRIVR 82,0024,038,341 ,

valor que es pot menystenir si el comparem amb les tensions del circuit.

Hem realitzat l'assaig en buit d'un transformador i hem llegit 44 W al wattímetre;

0,9 A a l'amperímetre; 250 V al voltímetre. Calcula la intensitat de buit, les seves

components inductiva i resistiva, el seu desfasament respecte la tensió de primari, i

el valor dels components simbòlics del circuit equivalent Rp i Xm.

Seguint el procés de càlcul associat a l’assaig en buit, obtenim:

98,0195,09,0250

44

·cos 0

01

0

0

sinIV

P

AsinIIm 882,098,09,0· 00

AII p 175,0195,09,0·cos 00

4,283882,0

2501

m

mI

VX

6,1428175,0

2501

p

pI

VR

Hem realitzar els assaigs en buit i en curtcircuit en un transformador monofàsic de

10 kVA i relació de transformació 5000 / 230 V. Els resultats obtinguts són:

- Assaig en buit. Tots els valors es refereixen a mesures en secundari: 229 V;

1,3 A; 40 W.

- Assaig en curtcircuit. Tots els valors es refereixen al primari: 180 V; I

nominal a plena càrrega; 180 W.

a) Determina els paràmetres elèctrics del transformador que es poden obtenir en

els dos assaigs.

b) Quin és el factor de regulació a plena càrrega i 1cos ?

La intensitat nominal en el primari és: AV

SI n 2

5000

10000

1

1

La relació de transformació: 74,21230

5000m

La intensitat nominal en el secundari és: AImI nn 5,4312

A l’assaig en buit:

La única mesura realitzada en el secundari és la tensió V2; la resta de mesures es

refereixen al primari.

VVmV 497822974,2121

A partir de la lectura del wattímetre: kP

VR

R

VP

o

p

p

o 62400

497822

1

2

1

Comentari: és un valor anormalment alt.

La component activa de la intensitat de buit és: mAR

VI

p

p 801

La component reactiva de la intensitat de buit és:

AIII pom 3,108,03,1 2222

Amb les dades disponibles, la intensitat de buit es redueix pràcticament a la intensitat de

magnetització del nucli: mmpo jIjIII

La reactància és: 1761

m

mI

VX

A l’assaig en curtcircuit:

La resistència equivalent en curtcircuit és: 452

18022

1

2

1

n

Cu

ccccnCuI

PRRIP

La impedància de curtcircuit: 902

180

1n

cc

ccI

VZ

La reactància en curtcircuit és: 8022

cccccc RZX

El factor de potència en curtcircuit és: 86,05,090

45cos cc

cc

cc

cc sinZ

R

De tots aquests resultats obtenim: %6,35000

100180100

1

n

cc

ccV

Vu

Per calcular la caiguda de tensió, partirem de: sinuu XccRcc ··cos %

Els termes de l’expressió anterior són:

8,15,06,3cos ccccRcc uu

1,386,06,3 ccccXcc sinuu

Podem escriure: sin 1,3cos8,1 %

Aplicant l’expressió a plena càrrega i amb fdp = 1, obtenim: %86,1

Realitzem l'assaig en curtcircuit en un transformador monofàsic de relació de

transformació 15000 / 380 V i 750 kVA de potència. Quan la tensió de primari és

de 320 V, pel secundari en curtcircuit ja hi passa la intensitat nominal amb un

desfasament respecte a la tensió de 55º.

a) Quina és la tensió (valor percentual ucc) i la impedància (Zcc) de curtcircuit?

b) Quin és el valor numèric de les components resistiva i inductiva de Zcc?

a)

La intensitat nominal en el secundari és: AV

SI n 6,1973

380

750000

2

2

La intensitat nominal en el primari és: AV

SI n 50

15000

750000

1

1

La impedància e curtcircuit és: 4,650

320

1n

cc

ccI

VZ

La tensió percentual de curtcircuit és: %13,215000

100320

ccu

b)

A l’assaig s’ha obtingut º55cc . Podem calcular els components de la impedància de

curtcircuit cccccc jXRZ :

67,3º55cos4,6cos cccccc ZR

24,5º554,6 sinsinZX cccccc

La placa de característiques d'un transformador monofàsic indica: 90 kVA; 10000

/ 220 V; 50 Hz; ucc = 4%. Calcula:

a) La intensitat de corrent de curtcircuit en el secundari.

b) La potència aparent de curtcircuit.

La tensió de primari a l’assaig de curtcircuit és:

VVu

VV

Vu ncc

cc

n

cc

cc 400100

100004

100

100· 1

1

La intensitat nominal de primari és: AU

SI n 9

10000

90000

1

1

La impedància de curtcircuit és: 4,449

400

1n

cc

ccI

VZ

Comentari: és un valor anormalment alt.

La intensitat de curtcircuit en el primari és: AZ

VI

cc

n

cc 2254,44

100001

1

La intensitat de curtcircuit en el secundari és: AII cccc 10227220

1000012

La potència aparent en curtcircuit és: kVAIUS cccc 2250111

Un transformador monofàsic de 100 kVA i relació de transformació 3000 / 380 V

té una tensió de curtcircuit del 5%. Quines el valor de la intensitat en el secundari

en el cas de curtcircuit accidental?


SI n 3,33

3000

100000

1

1


3000m

La intensitat de curtcircuit en el primari és: Au

II

cc

n

cc 6665

3,33100·100 1

1

La intensitat de curtcircuit en el secundari és: AImI cccc 4,526112

Tenim un transformador de 90 kVA i relació de transformació 6000/380 V. La

tensió en curtcircuit és del 6 %; les pèrdues en el coure a plena càrrega són de 1600

W.

a) Quina és la caiguda de tensió a plena càrrega amb 75,0cos ?

b) Quina és la caiguda de tensió amb una càrrega del 60% i 9,0cos ?


SI n 15

6000

90000

1

1


6000m

En curtcircuit tenim: VVu

VV

Vu ncc

cc

n

cc

cc 360100

60006

100

100· 1

1

La impedància de curtcircuit és: 2415

460

1n

cc

ccI

VZ

A partir de les pèrdues en el coure podem obtenir:

1,715

160022

1

2

1

n

Cu

ccccnCuI

PRRIP

La reactància en curtcircuit és: 2322

cccccc RZX

El factor de potència en curtcircuit és: 95,030,024

1,7cos cc

cc

cc

cc sinZ

R



8,13,06cos ccccRcc uu

7,595,06 ccccXcc sinuu


a)

Aplicant l’expressió anterior a les condicions de l’exercici, obtenim:

%11,566,07,575,08,1

b)

Aplicant l’expressió anterior a les condicions de l’exercici, obtenim:

%18,248,07,55,08,16,0

Un transformador de 50 kVA i relació de transformació 15000 / 380 V funciona a

plena càrrega amb pèrdues en el coure de 800 W i en el ferro de 300 W. Quin és el

rendiment amb un factor de potència en la càrrega de 1 i de 0,75?

Calculem el rendiment en diferents condicions d’aplicació.

100·100·2

2

1

2

FECU PPP

P

P

P

a)

%8,9730080050000

10050000100·

2

2

FECU PPP

P

b)

kWSP 3750075,050000cos2

%1,9730080037500

10037500100·

2

2

FECU PPP

P

Un transformador monofàsic té una relació de transformació 4000 / 400 V i una

potència nominal de 45 kVA. En un assaig en curtcircuit hem obtingut els següents

valors: 85,1ccR ; 50,4ccX ; en un assaig en buit hem obtingut una

intensitat AjIo 45,1 . Connectem en el secundari una càrrega que absorbeix

la intensitat nominal amb un factor de potència 8,0cos . Calcula:

a) Potència activa i reactiva lliurada a la càrrega.

b) Pèrdues en el coure.

c) Pèrdues en el ferro.

d) Potència activa i reactiva absorbides pel primari.

e) Caiguda de tensió en el transformador en les condicions de càrrega

especificades.

f) Rendiment del transformador en les condicions de càrrega especificades.

a)

La potència activa de la càrrega: kWSP 368,045cos

La potència reactiva: kVAsinSQsin 27·;6,08,0cos

b)

La intensitat nominal és: AU

SI n 25,11

4000

45000

1

1

Les pèrdues en el coure: WRIP ccnCu 23485,125,11 22

1

Les pèrdues en el ferro: WIVP pnFe 60005,140001

Comentari: les pèrdues en el material magnètic són anormalment altes.

c)

La potència activa absorbida pel primari és:

WPPPP FeCu 4223460002343600021

Per calcular la potència reactiva en el primari, hem d’avaluar la potència reactiva a les

reactàncies Xm i Xcc.

VAIVQ mnXm 16000440001

VAXIQ ccnXcc 5695,425,11 22

1

VAQQQQ XccXm 43569569160002700021

d)

A partir del circuit equivalent en curtcircuit:

92,038,0cos43,2tg cccc

cc

cc

cc sinR

X

86,422

cccccc XRZ

VZIV ccncc 7,5486,425,111

%37,14000

1007,54100

1

n

cc

ccV

Vu

Comentari: és un valor anormalment baix.

52,038,037,1cos ccccRcc uu

21,192,037,1 ccccXcc sinuu


En les condicions de la càrrega: 6,08,0cos sin obtenim: %14,1

Avaluem el rendiment:

%2,85600023436000

10036000100·

2

2

FECU PPP

P

Comentari: és un valor anormalment molt baix.

Les dades d'un transformador són: monofàsic, de 100 kVA; relació de

transformació de 3000 / 220 V; pèrdues en el ferro de 500 W; pèrdues en el coure a

plena càrrega de 1 kW; tensió de curtcircuit del 4%.

a) Quines són les intensitats nominals pel primari i pel secundari?

b) Calcula la caiguda de tensió i el rendiment en les condicions de càrrega

següents: Plena càrrega i 75,0cos ; 70 % de plena càrrega i 8,0cos .

a)

Les intensitats nominals de primari i de secundari són:

AU

SI n 3,33

3000

100000

1

1 AU

SI n 5,454

220

100000

2

2

b)


3000m


VV

Vu ncc

cc

n

cc

cc 120100

30004

100

100· 1

1

La impedància de curtcircuit és: 6,33,33

120

1n

cc

ccI

VZ


9,03,33

100022

1

2

1

n

Cu

ccccnCuI

PRRIP

El factor de potència en curtcircuit és: 97,025,06,3

9,0cos cc

cc

cc

cc sinZ

R



125,04cos ccccRcc uu


Podem escriure: sin 88,3cos1 %

A plena càrrega i cos = 0,75 tenim: 66,075,0cos sin

%31,388,3cos1 sin

A un 70% de la plena càrrega i cos = 0,8 tenim: 6,08,0cos sin

%19,288,3cos17,0 sin

Càlcul del rendiment en els dos casos.

A plena càrrega i cos = 0,75: WSP 7500075,0100000cos2

%98100050075000

10075000100·

2

2

FECU PPP

P

A un 70% de la plena càrrega i cos = 0,8: WP 560008,01000007,02

Les pèrdues en el coure en aquestes condicions són: WPCu 49010007,02

Les pèrdues en el ferro no han canviat. Podem avaluar el rendiment:

%2,9849050056000

10056000

Les dades d'un transformador monofàsic són: 400 kVA; 15000 / 380 V; pèrdues en

el ferro de 2,6 kW; pèrdues en el coure de 4,5 kW a plena càrrega; tensió de

curtcircuit del 5%.

a) Avalua el rendiment del transformador amb les dues càrregues següents: 250

kW i 1cos ; 210 kW i 75,0cos .

b) Calcula la caiguda de tensió amb les dues càrregues esmentades.

Les intensitats nominals de primari i de secundari són:

AU

SI n 6,26

15000

400000

1

1 AU

SI n 6,1052

380

400000

2

2


15000m


VV

Vu ncc

cc

n

cc

cc 750100

150005

100

100· 1

1

La impedància de curtcircuit és: 2,286,26

750

1n

cc

ccI

VZ


36,66,26

450022

1

2

1

n

Cu

ccccnCuI

PRRIP

El factor de potència en curtcircuit és: 97,022,02,28

36,6cos cc

cc

cc

cc sinZ

R



1,122,05cos ccccRcc uu



Amb una càrrega de 250000 W i cos = 1 tenim: 01cos sin

%69,0)088,31,1(400000

250000

Amb una càrrega de 210000 W i cos = 0,75 tenim: 66,075,0cos sin

%37,266,088,375,01,175,0400000

210000

Càlcul del rendiment en els dos casos.

En el primer cas, el transformador subministra una potència P2=250 kW, i treballa a un

règim:

%)5,62(625,0400000

250000


Podem avaluar el rendiment:

%3,9817582600250000

100250000

En el segon cas, el transformador subministra una potència P2=210 kW, i treballa a un

règim:

%)70(7,075,0400000

210000


Podem avaluar el rendiment:

%7,9722052600210000

100210000

Un motor asíncron trifàsic de 50 CV, amb un rendiment del 90%, un factor de

potència de 0,85 a plena càrrega i una tensió nominal d'alimentació de tensió de

línia de 380 V està connectat a una xarxa elèctrica de tensió de línia de 6600 V

mitjançant un transformador trifàsic amb connexions estrella-estrella amb relació

nominal 6600/380. Considerem el transformador amb característiques ideals.

Calcula les intensitats en els debanats de primari i de secundari del transformador

quan el motor funcioni a plena càrrega.

La potència mecànica del motor és: WPM 3680050736

La potència elèctrica del motor és: WP

P ME 40888

9,0

36800

La intensitat de línia consumida pel motor és:

AV

PIIVP

L

LLL 7385,03803

40888

cos3cos3

A les connexions en estrella la intensitat de línia i la de fase coincideixen. Per tant, la

intensitat per cada debanat secundari és de 73 A. A cada debanat primari hi ha una

intensitat:

AI 2,4736600

3801

Date post:	18-Nov-2014
Category:	Documents
Upload:	1heil
View:	460 times
Download:	9 times

Electrotecnia

Documents