Date post: | 13-Jul-2015 |
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PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA:
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA (FCNM).
Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por
un número real y su unidad.
Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.
Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres
números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una
número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un
sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también
llamada vector.
Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
FCNM
A
'A
a
dirección
sentido
módulo
Álgebra vectorial1.1.
A
'A
a
dirección
sentido
módulo
Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado
caracterizado por:
• Un origen o punto de aplicación. Punto A.
• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo
es siempre positivo e independiente de la dirección del vector.
• Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.
• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.
a ó a
aa ó
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Suma de vectores.
a
b
cd
cbad ++=
a
b
c
Regla del polígono
Regla del paralelogramo
bac +=
a
b
a
b
c
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos
opuestos.a
a−
Diferencia de vectores.
( )bacbac −+=⇒−=
b
a
a
b
−c
b
Producto de un vector por un escalar.
aaλ
0
1
>>
λλ aλ
0
1
<<
λλ
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
( ) ( )
( ) ( )( )
( )000 :nulo elemento vii)
: vectoresde suma la a respecto producto del vadistributi vi)
:escalares de suma la a respecto producto del vadistributi vi)
:producto el para asociativa v)
es, esto ,0/ , :suma la para simétrico elemento iv)
0 :suma la para neutro elemento iii)
:suma la para aconmutativ ii)
:suma la para asociativa i)
==+=++=+
=−==+=+∃∀
=++=+
++=++
a
baba
aaa
aa
ababbaba
aa
abba
cbacba
λλλλγλγλ
λγγλ
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
aa
ua
=
Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección
de será:a
Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un
vector unitario en dicho sentido.
Proyección de un vector sobre un eje.
eu
a α
( )aPe
( ) αα coscos aaaPe ==
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto
denominado origen del triedro.
X
Y
Z
pulgar
índice
corazón
Levógiro (mano izquierda)
Y
X
Z
pulgar
corazón
índice
Dextrógiro (mano derecha)
i
j
k
dextrógiroTriedro cartesiano
kji
, ,vectores unitarios:
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Coordenadas cartesianas
Y
X
Z
yx
z
( )zyxP ,, ( )zrP ,,ϕ
Y
X
Z
ϕ r
z
Coordenadas cilíndricas
( )ϕθρ ,,P
Y
X
Z
ϕ
θ ρ
Coordenadas esféricas
Álgebra vectorial1.1.
Sistemas de coordenadas.
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
xa Y
X
Z
a
ya
za
a
Y
X
Z
xαk
j yαzα
i
zyx aaaa ++=
kaa
jaa
iaa
zz
yy
xx
=
== ( )
( )( ) zZz
yYy
xXx
aaPa
aaPa
aaPa
ααα
cos
cos
cos
==
====
Componentes cartesianas Cosenos directores
aa
aa
aa
zz
yy
xx
/cos
/cos
/cos
=
==
ααα
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
zzyyxx aaaaaa ααα cos cos cos ===
kaajaaiaa zzyyxx
===
=++= zyx aaaa =++ kajaia zyx
( )kjia zyx
ααα coscoscos ++
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kjia
au zyxa
ααα coscoscos ++==
),,( zyxzyx aaaaaaa =++=
Álgebra vectorial1.1.
Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx
++= kbjbibb zyx
++=
( ) ( ) ( )kbajbaibaba zzyyxx
+++++=+
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
( ) ( ) ( )kbajbaibababa zzyyxx
−+−+−=−+=− )(
Producto escalar de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
αcosb
aαb
αcosabba =⋅
Propiedades.
( )( ) ( ) ( )
( ) kaajaaiaauaaP
aaaa
ikkjjikkjjii
bababa
baba
bcacbac
abba
zyxee
⋅=⋅=⋅=⋅=
⋅==
=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅
⊥⇔=⋅≠
⋅=⋅
⋅+⋅=+⋅
⋅=⋅
, , ia,consecuencEn . vii)
vi)
0 ,1 v)
0y 0, si iv)
:escalares a respecto asociativa iii)
:vadistributi ii)
:aconmutativ i)
λγγλ
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Producto escalar de dos vectores.
aα
αcosb
b
αcosabba =⋅
Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.
zzyyxx babababa ++=⋅
Ángulo que forman dos vectores.
ab
bababa
ab
ba zzyyxx ++=⋅=
αcos
Álgebra vectorial1.1.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
ab
α
bac ×=
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
• Módulo dado por
ba y
ba sobre
αsenabbac =×=
Propiedades.
( ) ( )( )
( )bababa
bcacbac
bababa
cbacba
abba
|| 0y 0, Si v)
:suma la a respecto vodistributi iv)
:escalarun por producto el para asociativo iii)
:asociativo-no ii)
:ativoanticonmut i)
⇔=×≠×+×=+×
×=×=×××≠××
×−=×
λλλ
c
Producto vectorial de dos vectores.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Producto vectorial de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.
( ) ( ) ( )kbabajbabaibaba
bbb
aaa
kji
ba zyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
−+−+−==×
Y
X
Z
ab
α
bac ×=
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
• Módulo dado por
ba y
ba sobre
αsenabbac =×=
c
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Producto mixto de tres vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
a
b
α
cβ
ba×
( ) βα cosabcsenbac =×⋅
Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores
Propiedades.
( ) ( ) ( )acbbaccba ×⋅=×⋅=×⋅ :cíclica i)
Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.
( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxyzxxzxyzzy
zyx
zyx
zyx
cbabacbabacbaba
bbb
aaa
ccc
bac −+−+−==×⋅
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Momento de un vector con respecto a un punto.
r a
αd
OM
O
P
( ) araMO
×=
adarMO == αsen
El momento de un vector con respecto
a un punto no varía al cambiar el punto
de aplicación del vector sobre la recta
soporte.
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
ja
límia
lím yx
λλ λλ ∆∆
+∆∆
→∆→∆ 00
Cálculo vectorial1.2.
Función vectorial con respecto a un escalar.
( )1λa
( )2λa
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
( ) ( ) ( ) ( )kajaiaaa zyx
λλλλ ++==
( ) ( )12 λλ aaa −=∆ a
∆
( ) ( )λλλλλλ
λλλλλ
aaa −∆+=∆⇒
∆+==
−=∆
2
1
12
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
( )λa
( )λλ ∆+a
a∆
λ∆∆a
λdad
λdad
λdad
λdad
( ) ( ) ( )λ
λλλλλ
λλλ ∆
−∆+=∆∆=
→∆→∆
aalím
alím
d
ad
00
FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
( ) ( )λλλ aaa −∆+=∆ ( ) ( )
λλλλ
λ ∆−∆+=
∆∆ aaa
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )j
d
dai
d
daj
alími
alím
jaa
límiaa
lím
aalím
alím
d
ad
yxyx
yyxx
λλ
λλ
λλ
λλλλ
λλλλ
λλλλ
λλλ
λλ
λλ
λλ
+=∆∆
+∆∆=
=
∆
−∆++
∆−∆+
=∆
−∆+=∆∆=
→∆→∆
→∆→∆
→∆→∆
00
00
00
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.
dt
ad
dt
ad
dt
ad
( ) ( ) ( ) ( )k
dt
tdaj
dt
tdai
dt
tda
t
alím
dt
tad zyx
t
++=∆∆=
→∆ 0
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
( ) ( ) ( ) ( )k
dt
tdaj
dt
tdai
dt
tda
t
alím
dt
tad zyx
t
++=∆∆=
→∆ 0
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Propiedades.
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )λλλλ
λλλλ
λ
λλλλ
λλλλ
λ
λλλ
λλλλλ
λ
λλ
dbd
abdad
badd
dbd
abdad
badd
ddf
adad
fafdd
dλbd
dλad
λbλadλd
×+×=×
+=
+=
+=+
:es vectorialfunciones dos de vectorialproducto del Derivada iv)
:es vectorialfunciones dos deescalar producto del Derivada iii)
:escalarun por ctorialfunción ve una de producto del Derivada ii)
: vectoresde suma la de Derivada i)
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Algunas consecuencias.
( ) ( ) ( )λλλ auaa =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si iii)
|| Si ii)
general,En i)
aa
aaa
aa
udad
dud
adad
ctea
udad
udda
dad
cteu
d
udau
dda
dad
⊥⇔=⇒=
⇔=⇒=
+=
→
λλ
λλλ
λλλ
λλ
λλ
λλλ
λλλλ
λλ
λλ
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Cálculo vectorial1.2.
Integral de una función vectorial.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
=−
+=⇒=
∫∫
2
112
/ , Dadas λ
λλλλλ
λλλλ
λλλλ
dbaa
cdbab
dad
ba
Propiedades.
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫
−=
=
×=×
===
+=∈
==
+=+==
→
1
2
2
1
2
1
2
1
v)
:y Si iv)
:, Si iii)
: Si ii)
:y Si i)
21
λ
λ
λ
λ
λ
ξ
ξ
λ
λ
λ
λλ
λξυλυξ
λυλυ
λυλυλξξυ
λλλλλξ
λλ
λλλλλ
dada
dd
dada
dadacte
dadada
dakdakctek
dbdadbabbaa
FCNM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Cálculo vectorial1.2.
Integral en función de las componentes cartesianas.
( ) ( ) ( ) ( )kajaiaa zyx
λλλλ ++=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )kdajdaidada zyx
∫∫∫∫ ++= λλλλλλλλ
Integral de una función vectorial.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
=−
+=⇒=
∫∫
2
112
/ , Dadas λ
λλλλλ
λλλλ
λλλλ
dbaa
cdbab
dad
ba
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.