Date post: | 09-Jul-2016 |
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ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
IntroducciónLa Estadística es una
ciencia que facilita la solución de problemas en los cuales necesitamos conocer características sobre el comportamiento de algún suceso o evento.
Nos permite inferir el comportamiento de sucesos iguales o similares sin necesidad de que estos ocurran
Esto nos da la posibilidad de tomar decisiones acertadas y a tiempo, así como realizar proyecciones del comportamiento del suceso.
Sólo se realizan los cálculos y el análisis con los datos obtenidos de una muestra de la población y no con toda la población.
• Actualmente el INEGI es el encargado de concentrar y publicar la información estadística del país
Conceptos básicosEstadística:Es la ciencia que se encarga de recolectar,
organizar, resumir y analizar datos para después obtener conclusiones. Se divide en Estadística Descriptiva y Estadística Inferencial.
• Estadística descriptiva:Se encarga de la recolección, organización, presentación y análisis de los datos de una población.
• Estadística inferencial:Se encarga de analizar la información presentada por la estadística descriptiva mediante técnicas que nos ayuden a conocer, con determinado grado de confianza, a la población. Lo que nos permite tomar decisiones.
Población:Conjunto definido de TODOS los INDIVIDUOS, de donde se observa cierta característica.
Al número de integrantes de la población se llama tamaño de la población y se representa con la letra N.
Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.
Población Estadística:Conjunto de TODOS los DATOS que se obtienen al realizar la medición de una variable en los elementos de una población.
Muestra:Subconjunto de una población, que intenta reflejar las características de la población lo mejor posible.El número de individuos que integran
la muestra, llamado tamaño de la muestra se representa con la letra n.
Individuo:Es el elemento de la población o de la muestra que aporta información sobre lo que se estudia.
Variable:Característica o propiedad de los individuos que se desea estudiar y se puede medir o calificar; cambia o varía con el tiempo en un individuo dado, o cambia o varía de elemento a elemento.
Ej. Edad, peso, sexo, estado civil, número de hijos, etc.
Dato:Valor que se obtiene al realizar la medición de la característica de la variable en estudio.Pueden ser univariados, bivariados o multivariados.
La naturaleza de los datos pueden ser datos cuantitativos o datos cualitativos.
Datos Cuantitativos (números):Valores obtenidos al medir peso, estatura, temperatura, número de hijos.
Datos Cualitativos (categorías):Se obtienen al calificar la característica en cuestión como el sexo, estado civil, grado máximo de estudios.
Variable Dicotómica:Sólo puede tomar dos valores (sí – no, 0 – 1, hombre – mujer, bueno – malo, encendido – apagado).
En la variable CUANTITATIVA se pueden distinguir dos tipos: continua y discreta.
Variable Continua:Si la variable puede tomar cualquier número real entre dos valores dados (decimal o entero). Ej. El peso de un individuo.
Variable Discreta:Si la variable sólo puede tomar números enteros.Ej. El número de hijos de un individuo.
Escalas de Medición
• Escala Nominal• Escala Ordinal• Escala de Intervalo• Escala de razón
Escala Nominal:Está asociada a variables cualitativitas y es denominada de este modo si no se pueden hacer operaciones aritméticas entre sus valores, pues éstos son únicamente ETIQUETAS.
Ejemplo: sexo, código postal, estado civil, número telefónico, número al correr en un maratón, deporte favorito, carrera a estudiar, etc.
Escala Ordinal:Los valores de la variable que tienen un ORDEN con un nivel específico, pero no se pueden hacer operaciones aritméticas entre ellas.
Ejemplo: Pésimo – Malo – Regular – Bueno – ExcelentePrimaria – Secundaria – Preparatoria - Licenciatura
Escala de Intervalo:En ella existe un orden entre los valores de la variable y además una NOCIÓN DE DISTANCIA aunque no se puedan realizar operaciones. El cero o punto de inicio no es único, es más bien un punto de referencia.
Ejemplo: Escalas de temperatura, la edad de la Tierra, la línea del tiempo de la humanidad.
• Escala de Razón:
La magnitud tiene SENTIDO FÍSICO, existe el cero absoluto, existe orden, se puede determinar cuántas veces es mayor uno que otro.
Ejemplo: peso, estatura, edad, distancia, dinero, etc.
Fuentes de informaciónEncuesta:
Recopilar los datos mediante el uso de cuestionarios o entrevistas.
Experimento:Procedimiento utilizado en la investigación científica para obtener información que permita conocer el comportamiento de algún proceso.
Fuentes de Información Investigación Documental:
Procedimiento para obtener datos mediante la consulta de información ya escrita y concentrada en documentos que se localicen en libros o revistas en bibliotecas, hemerotecas, o en centros virtuales.
Orden de datos
La ordenación es el proceso mediante el cual los datos están acomodados de tal manera que se establece un orden (ascendente o descendente) entre ellos.
Hay dos métodos comunes:
• Listado en orden ascendente• Método de tallo y hojas
Ejemplo• Considera que la variable de estudio es el peso
de 25 estudiantes. Los pesos se encuentran en la siguiente tabla:
Peso de 25 estudiantes (en kg)
40 43 48 51 4956 44 42 55 5252 62 44 50 5963 50 56 55 4557 66 63 51 58
Listado en orden ascendente• El proceso consiste en ordenarlos de menor a
mayor
Peso de 25 estudiantes (en kg)
42 40 48 51 4956 44 43 55 5252 62 44 50 5963 50 56 55 4557 66 63 51 58
Peso de 25 estudiantes (en kg)
40 42 43 44 4445 48 49 50 5051 51 52 52 5555 5656 57 5859 62 63 63 66
Método de tallo y hojasSi los números de los datos están formados por dos
dígitos, se hace una columna con el primer dígito (decenas) y a la derecha de cada uno de ellos se escribe, en fila, sólo el segundo dígito (unidades) de cada uno de los datos que tengan el mismo primer dígito.
• Datos sin ordenar:
• Datos ordenados:
456
456
0,2,3,4,4,5,8,90,0,1,1,2,2,5,5,6,6,7,8,92,3,3,6
Peso de 25 estudiantes (en kg)
42 40 48 51 4956 44 43 55 5252 62 44 50 5963 50 56 55 4557 66 63 51 58
2,0,8,9,4,3,4,51,6,5,2,2,0,9,0,6,5,7,1,82,3,6,3
Doble talloUna variante de este método es en lugar de
dividir en un grupo las decenas, se divide en dos grupos. El primero abarcando los dígitos del 0 al 4 y el segundo del 5 al 9.
El ejemplo anterior queda: 4 0,2,3,4,4
4 5,8,95 0,0,1,1,2,2,5 5,5,6,6,7,8,96 2,3,36 6
Caso de variables cualitatitivas
• El procedimiento es:
• Se identifican todos los valores diferentes y se acomodan en columna.
• Se agrega una segunda columna en donde se van registrando, mediante una línea vertical, la veces que aparece el valor dado.
Ejemplo• Considera que la variable de estudio es el
color de playera de 25 estudiantes. Los colores se encuentran en la siguiente tabla:
rosa azul blanco azul rosagris blanco café negro blancorosa azul café blanco blancogris azul blanco rosa grisgris blanco café negro verde
rosa azul blanco
azul rosa
gris blanco
café negro blanco
rosa azul café blanco
blanco
gris azul blanco
rosa gris
gris blanco
café negro verde
Color Frecuencia
AzulBlancoCaféGrisNegroRosaVerde
I I I II I I I I II I II I I II II I I II
Tabla de Frecuencia de DatosUna vez que se tenga ordenados los datos, se
acomodan en la “Tabla de distribución de frecuencias o tabla de frecuencias”.
La tabla es básicamente una tabla de valores x-y, dónde “x” representa el dato y “f” representa la frecuencia.
• La frecuencia es el número de veces que aparece cada dato.
• Hay dos clases de tablas de frecuencias:• Para datos NO agrupados.
• Para datos agrupados.
Tabla de frecuencias para datos NO agrupados
• Está formada por dos columnas: una para la variable “xi” y la otra para su frecuencia “f”, a esta frecuencia se le llama frecuencia absoluta o frecuencia observada.
Ejemplo• Tabla de frecuencias de los pesos en kg de 25
alumnos.
Peso de 25 estudiantes (en kg)
40 42 43 44 4445 48 49 50 5051 51 52 52 5555 5656 57 5859 62 63 63 66
xi f404243444548495051
xi f525556575859626366
Total
1
1
12
1
1
1
2
2
2
2
2
11
1
1
21
25
Frecuencia relativa y acumulada
Por lo regular, se agregan dos columnas: la de la frecuencia relativa “fr” y la de la frecuencia acumulada “fa”.
La frecuencia relativa se obtiene mediante el cociente de la frecuencia y el número total de datos, esto es fr = f/n.
La frecuencia acumulada se obtiene sumando las frecuencias anteriores a las frecuencias de un dato dado.
Ejemploxi f fr fa40 142 143 144 245 148 149 150 251 2
xi f fr fa52 255 256 257 158 159 162 163 266 1Total
25
0.04
0.04
0.04
0.040.040.04
0.040.040.040.040.04
0.08
0.080.08
0.080.080.08
0.08
1/25
2/25
1
2
3
5
6
78
10
12
14
1618
1920
21
22
2425
1
Siempre es el
número total
Siempre es 1
Intervalo de claseEn ocasiones es conveniente acomodar los datos en
pequeños grupos de igual tamaño, llamados intervalos de clase.
El punto medio o marca de clase “xi”, se obtiene con:
El tamaño del intervalo se obtiene mediante la diferencia de los límites superior e inferior.
Marca de clase =
Límite inferior + límite superior 2
Ejemplo
Intervalo de clase Punto medio “xi”38 – 42 4043 – 47 4548 – 52 5053 – 57 5558 – 62 6063 – 67 65
Límite inferior Límite superior Lím inf + Lim sup2
+5+5+5
Límite verdadero del intervalo
• Frontera de clase o límite verdadero del intervalo:
Intervalo de clase Punto medio “xi”37.5 – 42.5 4042.5 – 47.5 4547.5 – 52.5 5052.5 – 57.5 5557.5 – 62.5 6062.5 – 67.5 65
5/2 = 2.540 – 2.5 40 + 2.5
+5+5
Tabla de intervalos con límites verdaderos
• Usando símbolos de desigualdad
Usando paréntesis y corchetes
Intervalo de clase
Punto medio
“xi”37.5 ≤ x <
42.540
42.5 ≤ x < 47.5
45
47.5 ≤ x < 52.5
50
52.5 ≤ x < 57.5
55
57.5 ≤ x < 62.5
60
62.5 ≤ x < 67.5
65
Intervalo de clase
Punto medio
“xi”[37.5 , 42.5) 40[42.5 , 47.5) 45[47.5 , 52.5) 50[52.5 , 57.5) 55[57.5 , 62.5) 60[62.5 , 67.5) 65
Está incluido No está incluido Está incluido No está incluido
El tamaño del intervalo es de 5
• Si por alguna razón no es fácil decidir el ancho del intervalo y el número de ellos, se pueden utilizar las siguientes fórmulas:
K =NC= 1 + 3.322 log (n) Donde K = número aproximado de
clasesn = número de datos.
Amplitud de los intervalos = Rango / K Donde Rango = diferencia entre el
dato mayor y el dato menor.
Ejemplo
• Para el ejemplo de los datos de los pesos de 25 alumnos, el valor de K:
• Y la amplitud de los intervalos sería:
K = 1 + 3.322log (n) = 1 + 3.322 log (25) = 5.6.Por lo tanto se requieren aproximadamente 6 intervalos.Amplitud = Rango / K = (66 – 40) / 5.6 = 4.64.Aproximadamente 5 unidades es la amplitud de los intervalos.
Tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados
Se elabora con los intervalos de clase, sus puntos medios y las frecuencias correspondientes para cada uno de los intervalos.
xi f40 142 143 144 245 148 149 150 251 2
52 255 256 257 158 159 162 163 266 1
Total
25
Dato
s sin
ag
rupa
r
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f
38 – 42 4043 – 47 4548 – 52 5053 – 57 5558 – 62 6063 - 67 65
Total
Datos agrupados
24853325
• Se agregan las columnas de frecuencia relativa “fr” y frecuencia acumulada “fa”:
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f fr Fa
38 – 42 40 243 – 47 45 448 – 52 50 853 – 57 55 558 – 62 60 363- 68 65 3
Total 25
0.080.160.320.200.120.12
1
2614192225
2/25
4/25
8/25
Por último se agregan las columnas:
◦Frecuencia porcentual, “f%” ó “%f”, se obtiene multiplicando la frecuencia relativa “fr” x 100.
◦Frecuencia relativa acumulada “fra”, se obtiene sumando las frecuencias relativas anteriores a un dato dado.
◦Frecuencia porcentual acumulada, “f%a”, se obtiene sumando las frecuencias porcentuales acumuladas a un dato dado.
Tablas de frecuencias absoluta, relativa y acumulada
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f fr f% fa fra f%a
38 – 42 40 2 0.08
2
43 – 47 45 4 0.16
6
48 – 52 50 8 0.32
14
53 – 57 55 5 0.20
19
58 – 62 60 3 0.12
22
63- 68 65 3 0.12
25
Total 25 1
81632201212
100
0.080.240.560.760.881
824567688
100
0.08 x 100
2/25
0.08 x 100
Gráfica de Datos
Existen dos tipos de gráficas mas usuales:◦Polígono de Frecuencias◦Histograma
Otros gráficos:◦Gráfica de barras◦Pictograma◦Gráfico Circular o de pastel.
Polígono de Frecuencias
• Es la representación mediante un gráfico de línea. En él se muestra la distribución de frecuencias y está formado por segmentos de línea que unen los puntos correspondientes a la frecuencia de cada una de las clases.
• El eje “x” representa el dato “xi” y el eje “y” las frecuencias.
0
10
20
30
40
50
60
Ejemplo
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f
38 – 42 40 2
43 – 47 45 4
48 – 52 50 8
53 – 57 55 5
58 – 62 60 3
63 - 68 65 3
Total 25
35 40 45 50 55 60 65 7002468
10Polígono de Frecuencias
xi
f
• El eje “y” puede ser sustituido por las frecuencias relativas o porcentuales.
35 40 45 50 55 60 65 700
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
fr
xi
Polígono de Frecuencia Relativa
% f
xi
Polígono de Frecuencia Porcentual
35 40 45 50 55 60 650
5
10
15
20
25
30
35
HistogramaEs la representación gráfica de los datos mediante una sucesión
de rectángulos.Está formado por rectángulos cuya anchura
representa a cada uno de los intervalos y la altura corresponde a la frecuencia.
En el eje “x” estarán los límites verdaderos, los puntos medios y en el eje “y” las frecuencias.
0.95 2.95 4.950
2
4
6
8
10
12
14
35 40 45 50 55 60 6502468
10Histograma
xi
f
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f
38 – 42 40 2
43 – 47 45 4
48 – 52 50 8
53 – 57 55 5
58 – 62 60 3
63 - 68 65 3
Total 25
Ejemplo
• También podemos usar la frecuencia relativa y la frecuencia porcentual.
35 40 45 50 55 60 6500.050.1
0.150.2
0.250.3
0.35
Histograma con frecuencias rela-tivas
fr
xi
35 40 45 50 55 60 6505
101520253035
Histograma con frecuencias porcentuales
% f
xi
Pirámide PoblacionalUna variante en el histograma es colocar en el
eje “x” de tal manera que las columnas quedarán en forma horizontal, es muy común en datos poblacionales.
Ojiva
• Es la representación gráfica de las frecuencias acumuladas mediante un gráfico de línea. Se muestra la distribución de frecuencias acumuladas de los datos.
• En el eje “x” estarán los puntos medios y en el eje “y” las frecuencias acumuladas.
EjemploIntervalo de clase
Punto medio “xi”
f fr fa
38 – 42 40 2 0.08 243 – 47 45 4 0.16 648 – 52 50 8 0.32 1453 – 57 55 5 0.20 1958 – 62 60 3 0.12 2263- 68 65 3 0.12 25
Total 25 1
35 40 45 50 55 60 650
5
10
15
20
25
30
02
6
14
19
22
25
Ojiva
xi
fa
• Usando la frecuencia acumulada y la frecuencia porcentual.
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f fr f% fa fra f%a
38 – 42 40 2 0.08
8 2 0.08
8
43 – 47 45 4 0.16
16 6 0.24
24
48 – 52 50 8 0.32
32 14 0.56
56
53 – 57 55 5 0.20
20 19 0.76
76
58 – 62 60 3 0.12
12 22 0.88
88
63- 68 65 3 0.12
12 25 1 100
Total 25 1 100
35 40 45 50 55 6000.20.40.60.8
1
00.08
0.24
0.56
0.760000000000002
0.88
Ojiva con frecuencia relativa acumulada
xi
fra
35 40 45 50 55 60 650102030405060708090
100
08
24
56
76
88
Ojiva con frecuencia porcentual acumulada
xi
f%a
Gráfico Circular
• También es llamado gráfico de pastel.• Sólo se representan datos de frecuencias
relativas o frecuencias porcentuales.• Se debe dividir el área del círculo de manera
proporcional a las frecuencias.
13%17%
57%
13%PERROPAJAROHAMSTERGATO
• Agregaremos una columna a nuestra tabla de frecuencias “Frecuencia relativa al círculo”, multiplicando (fr)(360°), para mostrar la parte proporcional de círculo medida en grados que corresponde a cada intervalo.
Ejemplo 1
Intervalo de clase
Punto medio “xi”
f fr (fr ) (360°)
38 – 42 40 2 0.0843 – 47 45 4 0.1648 – 52 50 8 0.3253 – 57 55 5 0.2058 – 62 60 3 0.1263- 68 65 3 0.12
Total 25 1
28.8°
0.08 x 360°
0.16 x 360°
57.6°115.2°72°43.2°43.2°360°
408% 45
16%
5032%
5520%
6012%
6512%
Gráfico Circular
Ejemplo 2Color Frecuen
ciaConteo
Azul 4Blanco 7Café 3Gris 4Negro 2Rosa 4Verde 1
I I I II I I I I II I II I I II II I I II
16%
28%
12%
16%
8%
16%4%
Color de PlayeraAzul Blanco Café GrisNegro Rosa Verde
Otros Gráficos• La gráfica de barras se traza similar al
Histograma, sólo que las barras se dibujan separadas unas de otras.
• La escala en el eje “x” es para mostrar categorías o intervalos de números NO consecutivos.
0
10
20
30
40
50
60
PERRO PAJARO HAMSTER GATO
Frec
uenc
ia a
bsol
uta
Carrera Alumnos
Medicina 8Mecánica 11
Civil 8Agronomía 3
Físico - Matemáticas 3
Leyes 6Contaduría 11
811
83 3
611
Elección de Carrera
Pictograma• Similar al de barras, sólo que se sustituyen por
figuras, generalmente relacionadas con la variable estudiada.