elementos finitos

Curso: EngenhDisciplina : Mtodos

INTRODUMTODO DOS ELE

(ME(ME

haria CivilNumricos; Prof: Marcos Vinicios

UO AOEMENTOS FINITOSEF)EF)

Aula_01


I t d D fi i d Mt d dIntroduo: Definio do Mtodo dos

um mtodo numrico que fornece umaque descrevem o comportamento fsico em me

Meio contnuo estruturas reais objeto da anjEx: viga, laje, solo, parafuso, placa, um fluido (

Comportamento fsico prever o comportameComportamento fsico prever o comportamede solicitaes externas por meio de um modeEx: - deformao e tenses de uma estrutura

Perfil de temperaturas no motor de um a- Perfil de temperaturas no motor de um a- Escoamento de lquidos em dutos;- Campo eltrico de um capacitor;- Campo eletromagntico em um motor e

Modelo Matemtico equaes diferenciaisq condies de contorno, que descrevem o comp


El t Fi it (MEF)s Elementos Finitos (MEF)

soluo aproximada de modelos matemticoseios contnuos, comuns na engenharia.

lise.gs ou lquido no interior de dutos), etc;

ento do meio contnuo (estruturas) sob o efeitoento do meio contnuo (estruturas) sob o efeitolo fsico.

a sujeita a um carregamento;automvel;automvel;

ltrico;

ou equaes integrais com suas respectivasq g pportamento do modelo fsico.



Meio contnuo: Viga bi-apoiada preveSistema RealModelo real

Comportamento Fsico: Este comportamComportamento Fsico: Este comportamfsica do Meio contnuo, ou seja, elaborao d

Modelo FsicoModelo discretizado

Modelo Matemtico: A resistncia dossendo a deflexo de uma viga bi-apoiada defing p

Modelo MatemticoE I d4 v = w(

dx4



er a deflexo desta sob o efeito de uma carga;

mento estabelecido a partir da representaomento estabelecido a partir da representaoo Modelo Fsico de problema analisado;

Modelo simplificado: t t- seo constante;

- material homogneo;- apoios ideais;

s Materiais fornece a teoria simples de viga,ida por:p

(x) v = deflexo da linha elstica;



Em geral, os problemas de engenharcomplexos (equaes algbricas, diferencsemelhantes ao exemplo anterior da viga bi-ap

Raramente essas equaes podem serfornecer uma soluo exata;

Para contornar esta dificuldade so utilsolues aproximadas para estes problemas;

Entre os inmeros mtodos numricos po

- Mtodo das diferenas finitas;

- Mtodo dos Elementos Finitos (ME(

- Mtodo dos elementos de Contorn



ria so descritos por modelos matemticosciais, integrais e suas combinaes, etc),

poiada.

r resolvidas de uma forma fechada, ou seja,

lizados mtodos numricos a fim de se obter

odem ser destacados:

EF););

o;



Em muitas reas da engenharia e danumricos mais utilizados, uma vez que:

- uma ferramenta poderosa pareq aes intregral diferenciais m ito com m nequaes intregral-diferenciais muito comum n

- Permite facilmente a sua implenaturalmente versteis que podem resolver munaturalmente versteis que podem resolver mu

- O crescente desenvolvimento dos econtribui para sua divulgao e popularizap g p p softwares mundialmente conhecidos;

Assim um software(programa) de eleme

Uma ferramenta numrico-computaproximada para inmeros problemas de engeaproximada para inmeros problemas de enge



cincia aplicada o MEF um dos mtodos

ra resolver equaes diferenciais-parciais eos problemas de engenhariaos problemas de engenharia;

ementao em programas computacionaisuitos casos prticos;uitos casos prticos;

equipamentos e sistemas computacionais,o e que pode ser observado nos inmerosq p

entos Finitos pode ser definido como:

tacional capaz de fornecer uma soluoenharia;enharia;


I t d Idi b i d Mt d dIntroduo: Idia bsica do Mtodo d

Consiste em estabelecer uma soluo aou seja, uma soluo que satisfaa o Modelo R

Modelo Real ou Meio Contnuo:

- Este modelo formado por infinitos pontos;

Cada ponto do modelo possui um nmero in- Cada ponto do modelo possui um nmero inde possveis deslocamentos, tambm chamade graus de liberdade de deslocamento (GLD)(DOF - Degrees Of Freedom, em ingls);

- Da mesma forma, cada ponto possui um i fi it d t ( i i )nmero infinito de parmetros (variveis),

a serem determinadas. Ex: deslocamentos nod

Por estes aspectos a soluo analtica exa- Por estes aspectos a soluo analtica exade uma estrutura real (meio-contnuo) em mucasos torna-se impossvel ;


d El t Fi it (MEF)dos Elementos Finitos (MEF)

aproximada para o problema (meio-contnuo),Real;

finitoP

finitoados,

Meio contnuoInfinitos pontos

dais;

ata

Domnio: todos os pontos no seu interior, menos o ata

itoste o , e os o

seu contorno

Modelo real: Estrutura ou meio contnuo(slido, lquido ou gasoso)



A soluo aproximada de um Modelo Re(MEF) aplicado ao Modelo discretizado do me

Entre os mtodos aproximados mais utpqual busca a soluo aproximada do Modeldomnio;

Modelo Discretizado ou Simplicado:

- Este modelo formado por finitos pontos;Este modelo formado por finitos pontos;

- Cada ponto do modelo possui um Nmero finpossveis deslocamentos (nmero finito dep (

- Da mesma forma, cada ponto possui umNmero finito de parmetros (variveis),a serem determinadas .Ex: deslocamentos nod

- Por estes aspectos a resoluo aproximadad t t l ( i t ) dde uma estrutura real (meio-contnuo) pode sedeterminada;



eal obtida por meio de um mtodo Numricoeio-contnuo;

tilizados na engenharia destaca-se o MEF, og ,lo discretizado, a partir dos pontos de seu

P

nito deGLD);)

dais;

aer

Modelo Discretizado: meio contnuo discretizado (slido, lquido ou gasoso)



Neste Modelo discretizado ou simplific

- Os elementos finitos so conectados entre snodais;

- Ao conjunto de elementos finitos e pontos nodusualmente o nome de malha de elementos fin(grid em ingls);(grid- em ingls);

- Diversos tipos de elementos finitos j foram destes apresentam formas geomtricas diversasestes apresentam formas geomtricas diversas(por exemplo, triangular, quadrilateral, cbico, eem funo do tipo e da dimenso do problemad li P bl idi i lda anlise: Problema unidimensional

bidimensionalou tridimensional.



cado:

si atravs das interfaces e dos Ns ou pontos

dais, d-se,nitos. P

desenvolvidos.s

interfacesetc)fruto

Modelo Discretizado: meio contnuo discretizado (slido, lquido ou gasoso)



Uma vez, elaborado o Modelo discretiza

- Escreve-se um Sistema de equaes que desua interao com o vizinho. Este sistema de e

it d f t j t escrito de forma compacta, ou seja, em nota{ f } = [ k ] e . {u}onde:

f vetor de foras nodais local (elemeu vetor deslocamento nodais local (ke matriz de rigidez do elemento;k matriz de rigidez do elemento;

- O sistema de equaes no nvel local (eleme organizados de modo a obter um sistema de organizados, de modo a obter um sistema deste sistema capaz de descrever o comportaSistema escrito na forma compacta definido p

{ F } [ K ] {U}{ F } = [ K ] . {U}onde:

F vetor de foras nodais global (moU vetor de deslocamento nodais gloK matriz de rigidez do modelo (estru



ado ou simplificado:

escreve o comportamento de cada elemento eequaes no nvel local (elemento), pode ser

t i i lo matricial:

ento);(elemento);

mento) de todos os elementos so combinadose equaes no nvel global (estrutura) ondee equaes no nvel global (estrutura), ondeamento sobre todo o domnio(estrutura). Estepor:

odelo=estrutura);obal (modelo=estrutura);utura);


I t d Ti d El t Fi iIntroduo: Tipos de Elementos Fini

1- elementos unidimensionais:elemenplanos e elementos de trelia e de viga espacia

Elemento de trelia e de vigY

Elemento de mola

Linear: 2 Ns

Y

Quadrtico: 3 Ns

Cbi 4 NCbico: 4 NsX

realizar a anlise dos

OBS A d l t d t li d

deslocamentos planose das rotaes no plano

OBS: Apesar dos elementos de trelia e degrfica, os mesmos fornecem diferentes an

Elemento de trelia analisa apenasElementos de viga analisa deslocam


ttos

tos de molas, elementos de trelia e de vigaais;

ga planosY

Elemento de trelia e de viga espaciais

Linear: 2 Ns

Y

Quadrtico: 3 Ns

Cbico: 4 Ns

Xrealizar a anlise dos

i t t

Zdeslocamentos no espaoe das rotaes no espao

viga apresentarem a mesma representaonlises:s deslocamentos lineares;mentos lineares e rotaes;



1- elementos unidimensionais: elementO elemento unidimensional se con

que posuem em comum.

haria CivilNumricos; Prof: Marcos Vincios

ttos

to de trelia, exemplos de aplicao.necta ao elemento adjacente apenas pelo n



2- elementos bidimensionais: elementoutilizados em problemas de estado plano detambm em problemas tridimensionais (Placa e

Membrana ou chapa 2D

Linear Y

Quadrtico

CbicoX

X

OBS: Apesar dos elementos de Membrana egrfica, os mesmos fornecem diferentes an

Elemento de Membrana ou chapaElemento de Membrana ou chapaElementos de Placa e casca analis


ttos

os triangulares e quadrilaterais que podem sere tenso (Membrana ou chapa 2D), comoe cascas 3D).

Placa, casca 3DZ

Linear

Placa, casca 3DZ

Quadrtico

Cbico

Y

Placa apresentarem a mesma representaonlises: analisa apenas deslocamentos lineares; analisa apenas deslocamentos lineares;sa deslocamentos lineares e rotaes;



2- elementos bidimensionais: elementaplicao, apenas em 2D.

O elemento bidimensional se conecns que posuem em comum, mas tambm pelaq p , p

Di ib i dDistribuio de temperatura

Elementos quadrilaterais( )Malha mais grosseira (34 elementos)

e mais refinada (502 elementos)

haria CivilNumricos; Prof: Marcos Vincios

ttos

tos triangulares e quadrilaterais, exemplos de

cta ao elemento adjacente no apenas pelosas interfaces comuns entre eles.

Distribuio de temperatura

Elementos triangularesElementos triangulares



3- elementos tridimensionais ou slidoElementos tridimen

Linear Quad

OBS: Apesar dos elementos de tridimensionaOBS: Apesar dos elementos de tridimensionade estruturas tridimensionais, os mesmo erealizar as anlises;


ttos

os: elementos tetradricos e hexadricossionais ou Slidos

drtico Cbico

ais ofereceram timos resultados para anliseais ofereceram timos resultados para anliseexigem um suporte computacional maior para



3- elementos tridimensionais ou slExemplos de aplicao.

O elemento tridimensional se conecta aque posuem em comum, mas tambm pelas inq p , p


ttos

idos: elementos tetradricos e hexadricos.

ao elemento adjacente no apenas pelos nsnterfaces comuns entre eles.


I t d Et d li i MEIntroduo: Etapas da anlise via ME

A anlise de um problema de engenharutilizando um software comercial composta b

I - Fase de pr-processamento:C i d lh ( id d - Criao da malha (um grid de ns e

- Definir as condies de contorno:. pontos com cargas. pontos com apoios

- Definir as propriedades do elemento- Montagem (Assemble) da matriz deMontagem (Assemble) da matriz de

O modelo pode ser gerado por meiodo pacote grfico do software oudo pacote grfico do software ouou pode ser importado deum programa de CAD.

O resultado final deste passo umarquivo de dados, onde indica-se aoprograma o que fazer e com quep g q qferramentas trabalhar


EFEF

ria por meio do Mtodo dos elementos finitosbasicamente por trs etapas:

l t ) t d lelementos) que representa o modelo;

s (concentradas e ou distribudas (impedem os deslocamentos destes ponto)os;rigidez dos elementos.rigidez dos elementos.



A anlise de um problema de engenharutilizando um software comercial composta b

II - Fase de resoluo (anlise proprR l d j t d- Resoluo de um conjunto de equa

para obter os resultados nodais, desejatemperatura em diferentes ns em um

O processo da anlise estacontido numa espcie decaixa preta onde o usurioca a p eta o de o usu ocomum, em geral, no temaceso.

A anlise realizada nesta caixa preta serformulao bem como processo de resolpreta dos softwares;


EFEF

ria por meio do Mtodo dos elementos finitosbasicamente por trs etapas:

riamente dita): li li i lt tes lineares ou no lineares simultaneamenteados, tais como: deslocamentos ou de

m problema de transferncia de calor.

o foco da disciplina, ou seja, apresentar aluo do problema contidos nesta caixa



A anlise de um problema de engenhariaum software comercial composta basicament

III -Fase de ps-processamento (intA li d d d i l- Analisar os dados gerados na simula

nos valores de DESLOCAMENTOS, DCALOR, etc.

O ps-processador pega as informaes dop p p g arquivo de resultados e s apresenta emforma grfica ou tabulada.

Os grficos feito pelo programa so coloridoscom a finalidade de localizar os valores deMximos e mnimos bem como a distribuio (campos):

-Esforos;- Tenses;-Deformaes- Temperatura, ect.


EFEF

a por meio do Mtodo dos elementos utilizandote por trs etapas:

terpretao dos resultados): N t f d t i t dao. Nesta fase, voc pode estar interessado

EFORMAES, TENSES, FLUXO DE


I t d A li t t l i MEIntroduo: Anlise estrutural via ME

A anlise estrutural a principal aplica

O MEF determina a configurao defordeslocamento dos ns presente no modelo (ep (

Assim, neste mtodo (MEF), os Parmecomportamento do modelo so os deslocamencomportamento do modelo so os deslocamen

Os deslocamentos nodais so chamadgovernam e descrevem o estado de equilbrio dgovernam e descrevem o estado de equilbrio d

Os deslocamentos nodais calculados vdesejados ( deslocamentos, deformaes, tens

1- MEF calcula Deslocamentos (L);2 - Com os deslocamentos MEF calcula3 - Com as deformaes MEF calcula3 Com as deformaes MEF calcula4 - Com as tenses MEF calcula Fora


EFEF

o prtica do MEF dentro das engenharias;

rmada do modelo discretizado por meio dosestrutura analisada););

etros=Vriveis=incgnitas que descrevem ontos nodais;ntos nodais;

dos tambm de Variveis de Estado, poisdo modelo (estrutura analisada);do modelo (estrutura analisada);

via MEF permitem gerar vrios resultadosses, etc) em uma anlise estrutura:

; Deformaes ( = L/L);Tenses ( = E );Tenses ( = E . );as ( = F/A F = . A);


I t d P i d MEFIntroduo: Preciso do MEF

A preciso do mtodo depende:

- Quantidade de ns e elementos, e do ta(grau de refinamento da malha)

- Do tipo de elementos presentes na malh

- Da correta definio do modelo discretizde modo a representar a geometria bemas condies de contorno da estrutura an

di i t i d d lcondies apoios restries de deslde

Contorno cargas concentradas, dist

O refinamento da malhae permite dlh t i d t t

A correta definio das condiet b fi

melhor a geometria da estrutura an

contorno bem como o refinamenmalha aumentam a preciso d

modelo,


P1 P2 P3

amanho;Modelo Real

ha;

zado,

REFIN,

comonalizada;

t

NA

MEN

TO

Modelo discretizado 1

ocamento;

tribudas;

DA M

ALHH

A

P1 P2 P3Modelo discretizado 2

descreve li d

es de t d

nalisada

to da do Modelo discretizado 3


I t d P i d MEFIntroduo: Preciso do MEF

A preciso do mtodo depende:

- O tipo de elemento presente na malha;(Este um ponto crucial)

A escolha do tipo de elemento afeta diretaa anlise de uma estrutura via MEF, vistoexistes vrios tipos de elementos A escoexistes vrios tipos de elementos. A escoter como base dois aspectos fundamenta

1- Quais as informaes desejadas naanlise da estrutura em questo:Ex: um laje onde deseja-se conhecerj jos deslocamentos lineares e as rota

2 - Qual elemento finito oferecido pelo2 Qual elemento finito oferecido pelosoftware capaz de fornecer comoresultado de uma anlises estesdados desejados;dados desejados;


M d l R l (E t t l j )amente

o queolha deve

Modelo Real (Estrutura laje)

olha deveais:

Modelo discretizado:

-Elemento de chapa,

Modelo discretizado:

-Elemento de Placa, es; Fornece apenas os

deslocamentosLineares;

- O software realizou

Fornece as rotaes e deslocamentos Lineares;

- O software realizouuma anlise correta

O erro foi criado peloProjetista que no

uma anlise correta

O Projetista discretizou t t d fProjetista que no

discretizou a estruturaCorretamente;

a estrutura de formaCorretamente;


I t d Introduo: Modelos Discretizados utiliza

As estruturas reais (meio contnuo) em( )dois grandes grupos de modelos, os quais so

- Modelos discretizados reticulados:Modelos discretizados reticulados:Nestes modelos a estrutura discretiz

interao ocorre somente nas juntas ou ns,transmitidos somente pelos nstransmitidos somente pelos ns.

- Modelos discretizados contnuos:Nestes modelos a estrutura discretizad

interao no ocorre apenas sobre o ns, pcondio exige a utilizao de uma formulao


ados na anlise via MEF:

Anlise Estrutural podem ser agrupadas emp g panalisadas por meio do MEF.

zada por elementos unidimensionais onde aou seja, os deslocamentos os esforos so

das por elementos bi e tridimensionais onde amas tambm nas interfaces comuns. Esta

o mais complexas.



- Modelos discretizados reticulados:

- Modelos discretizados contnuos:

Modelo de umaModelo de umapea automotiva



Modelo de umaBarragem de concreto



- Modelos discretizados reticulados:Modelos discretizados reticulados:As estruturas reais, tais como as vigas

rgidas ou articuladas, apresentam menor dg pgovernam seu comportamento.

Nestes casos, tanto na estrutura real coNestes casos, tanto na estrutura real coos esforos ( axiais, cortantes, momentoselemento vizinho pelos ns.

- Assim as equaes de equilbriodeslocamentos dos ns so suficientes pal lclculo;

N A X Y

E3 N 2

E1 E2 E1

N 1

x = 5 mmy = 4 mm N 2 do elem

DeslocamentDeslocament

Caso algum deslocamento do n do elemento locano existe compatibilidade de deslocamento dos n


ados na anlise via MEF

s , trelias, prticos cujas conexes sodificuldade na montagem nas equaes queg q q

mo na sua discretizao (Modelo reticulado)mo na sua discretizao (Modelo reticulado)fletores e torores) so transmitidos para o

e as condies de compatibilidade deara conceber matematicamento o modelo de

E3N 1 N 2

E3

mento E1to x = 5 mmto y = 4 mm

N 1 do elemento E3Deslocamento x = 5 mmDeslocamento y = 4 mm

alizado no ponto A (N A) no seja igual a X e y, s;



- Modelos discretizados contnuos:Modelos discretizados contnuos:Nas estruturas contnuas como as cha

elementos discretos conectados continuammaior dificuldade na montagem das equaes

Uma vez que, nestes modelos contUma vez que, nestes modelos contequaes de equilbrio e condioes deestabelecidas no apenas em termos dos pcontornos comuns (interface) afim de concebcontornos comuns (interface), afim de concebsuficiente preciso;

Deslocamentos aE1 E2 E1

Deslocamentos 1 ada interface do elemento E1

u1



apas e os slidos e etc, cuja subdiviso emmente (pontos nodais + interface) produz(p ) pque governam o seu comportamento.

nuos (elementos bi e tridimensionais), asnuos (elementos bi e tridimensionais), ascompatibilidade de deslocamentos so

pontos nodais, mas tambm em termos dosber matematicamento o modelo de clculo comber matematicamento o modelo de clculo com

ao longo Deslocamento ao longoao longo E2

Deslocamento 1 ao longo da interface do elemento E2

u2

u1-u2= 0Existe compatibilidade

de deslocamentos na interface dos elementos


I t d Introduo: Formulao dos diferentes tip

A formulao { f } = [ k ] . { u } , ou { } [ ] { } ,comportamento de cada elemento finito de um

a) Mtodo direto;b) Mtodo variacional;b) Mtodo variacional;

c) Mtodo dos resduos ponderados

Mtodo direto s pode ser utilizunidimensionais ( elemento de mola, de trelia

Este mtodo fornece noo fsica clarainiciais de aprendizado do MEF;

Mtodos indiretos so utilizadostridimensionais (bimensionais chapa, placa;

Estes mtodos so mais complexconhecimento do MEF, sendo apresentado nosMEF;MEF;


pos de elementos Finitos

seja, o sistema de equaes que descreve oj , q qproblema obtida por trs mtodos:

Estes dois ltimos so denominadoss; Mtodos indiretos

zado para obter a formulao de elementos, viga);

a do MEF, sendo este o preferido nos estgios

para obter a formulao de elementos bi etridimencionais tetradrico, cbico);

xos exigindo portanto um maior grau des estgios mais avanados de aprendizado do


R f i Bibli fiReferncias Bibliogrficas:

Livro texto: ELEMENTOS FINITOLivro texto: ELEMENTOS FINITOAvelino Alves Filho, pEditora: rica, 5 edi,

Bibliografias complementares:

Introduo Anlise e ao ProjetIntroduo Anlise e ao ProjetNam-Ho Kim ; Bhavani V. SankaEditora: LTC, 2011Editora: LTC, 2011

Um Primeiro Curso em ElementoJacob Fish ; Ted BelytschkoEditora LTC 2009Editora: LTC, 2009


OS - A Base da Tecnologia CAEOS - A Base da Tecnologia CAEprof. Dr.o, 2007 ,

to em Elementos Finitosto em Elementos Finitosar

os Finitos

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elementos finitos

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