Universidad de la FronteraFacultad de Ingeniera y CienciasDepartamento de Ingeniera Mecnica

Trabajo de investigacinFEM: Mtodo de los Elementos Finitos

Profesor: Eduardo AquevequeAyudante: Jos PrezAlumno: Jacob Lagos PalmaCarrera: ICI-M

15-04-20152 Resumen

Se buscara conocer ms acerca del mtodo de los elementos finitos, desde como se fue originando, a travs de distintas pruebas de elasticidad, hasta su formulacin y reas en las cuales, este mtodo es ocupado. Para este propsito de describe los aspectos principales del mtodo, las condiciones necesarias para su correcto anlisis, y como se deben generar las particiones o elementos de un sistema, para obtener una solucin aproximada.

3 ndiceContenidoResumen2Introduccion3Objetivos5Resea histrica6Marco Terico.7Metodo Directo11Mtodo de Rayleigh-Ritz13Criterios de Convergencia:17Conclusiones18Observaciones18Bibliografia19

4 Introduccin

El mtodo de los elementos finitos, ha adquirido gran importancia a lo largo del tiempo, debido a la solucin que entrega a diferentes problemas de ingeniera, principalmente en aquellos sistemas complejos, en los cuales era muy difcil resolver con los mtodos tradicionales, donde se necesitaban realizar prototipos, ensayarlos e ir realizando pruebas hasta el punto de conseguir una tendencia.El FEM entrega una solucin aproximada a la real, de forma ms fcil y econmica que los ensayos iterativos. Estas son ciertas ventajas por lo cual el mtodo de los elementos finitos, est abarcando una gran cantidad de reas de la industria, ofreciendo un anlisis completo acerca de cualquier sistema por muy compleja que sea su geometra. Es un modelo matemtico que utiliza ecuaciones diferenciales para obtener soluciones de distintas incgnitas.

5 Objetivos

5.1 Objetivos Generales: Conocer de qu trata el mtodo de los elementos finitos. Entender de qu manera el FEM ayuda a la resolucin de problemas.

5.2 Objetivos Especficos: Reconocer diferencias entre un mtodo clsico de resolucin de esfuerzos, con un mtodo de aproximacin por ecuaciones diferenciales. Entender la formulacin de la particin de un sistema determinado. Entender de qu manera un mayor nmero de particin afectara el resultado final.

6 Resea histrica

A pesar de que el empleo de discretizacion espacial y aproximacin numrica para encontrar soluciones a problemas fsicos o de ingeniera, datan de hace varios siglos, la idea de elemento finito nace a partir de estas experiencias.El desarrollo de la idea, est relacionado al campo aeroespacial, fundamentalmente al clculo estructural. En los aos 40, Hrenikoff presento una solucin a un problema de elasticidad, usando un mtodo de estructura. Posteriormente en el ao 43, aparece Courant, quien propone la utilizacin de funciones polinomicas para la formulacin de problemas elsticos en subregiones triangulares, especialmente relacionados con torsin, como una variante del mtodo variacional de Rayleigh-Ritz.Ya a mediados de los aos 50, comienzan a aparecer los resultados con respecto a los estudios de elasticidad con el uso de pequeos elementos, que describan el comportamiento de una barra elstica.Finalmente, en 1960 surge el nombre de los elementos finitos, publicado en Stifness and deflection analysis of complex structures, desarrollado por Turner, Clough, Topp y Martin.Luego Oden, realiza un trabajo de revisin, contribuyendo con anlisis matemticos de importancia. Despus aparecen una serie de publicacin, donde se muestra el FEM como un mtodo ms profundo de anlisis estructural.En los aos 90, y con la publicacin de Taylor y Zienkiewicz, se logra mostrar el amplio espectro de aplicacin que posee el mtodo de los elementos finitos, provocando el inters en matemticos y fsicos, por lo cual el FEM, es considerado una de las herramientas mas potentes y probadas para la solucin de problemas ingenieriles.Actualmente el mtodo se encuentra en una gran expansin debido a su gran utilizacin en la industria e investigacin.

7 Marco Terico

Uno de los objetivos ms importantes que se busca en el anlisis de ingeniera, consisten en conocer los principios fsicos que rigen el comportamiento de un determinado sistema, y adems tratar de transformarlos en modelos matemticos de manera puedan predecir el comportamiento del sistema, teniendo en cuenta, que este resultado debe ser lo ms preciso posible.Debido a la complejidad de ciertos sistemas, es necesaria la utilizacin de mtodos, que puedan generar la mayor informacin de estos sistemas, es en estos tipos de problemas, donde el uso del mtodo de los elementos finitos toma importancia.El mtodo de los elementos finitos (FEM) constituye un mtodo numrico, que mediante la resolucin de ecuaciones matriciales, encuentra la solucin de ecuaciones diferenciales que representan sistemas discretos y continuos.Para su utilizacin, este mtodo requiere que el problema se encuentre definido en un espacio geomtrico, de manera poder subdividirlo en un nmero finito de regiones pequeas, formando la conocida malla. Ver figura 1

Figura 1.

En sistemas de dos dimensiones, es comn el uso de tringulos o cuadrilteros. Sobre cada uno de estos elementos, las variables que se desconocen, sean temperaturas, velocidad, deformacin, entre otros, son aproximados mediante la utilizacin de funciones, las cuales pueden ser lineales o polinmicas.El mtodo de los elementos finitos es ampliamente utilizado en varias reas de la ingeniera, las cuales incluyen aplicaciones en el rea de la mecnica, como transferencia de calor, mecnica de los slidos, dinmica de fluidos, elasticidad y sobre todo, de elementos que estn sometidos a esfuerzos. Ver figura 2

Figura 2. Pero no solo est destinada al rea mecnica, sino que tambin es utilizada en el rea elctrica, para analizar campos elctricos y magnticos en un punto de una lnea de transmisin.Un ejemplo aplicado del FEM, seria la determinacin de la deformacin sobre la superficie de un sistema naval, o buque, donde se analiza el mamparo de una embarcacin, que corresponde a las partes que forman los compartimientos internos de la estructura. Ver Figura 3

Figura 3.Donde se pueda apreciar la mayor deformacin en el medio del mamparo, producto de la presin hidrosttica.Las ventajas de la utilizacin del mtodo de los elementos finitos son: Puede aplicarse a cuerpos compuestos por varios materiales. Las formas irregulares que se puedan presentar en las fronteras, pueden ser aproximadas usando elementos de lados rectos o redondos. El tamao de los elementos puede variar.

En el rea mecnica al efectuarse una clasificacin de las estructuras, estas suelen dividirse en discretas y continuas. Las primeras son aqullas que estn formadas por un ensamblaje de elementos claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos concretos, de tal manera que el sistema total tiene forma de malla o retcula. La caracterstica fundamental de las estructuras discretas es que su deformacin puede definirse de manera exacta mediante un nmero finito de parmetros.De esta manera el equilibrio de toda la estructura puede representarse mediante las ecuaciones de equilibrio en las direcciones de dichas deformaciones.De forma distinta en los sistemas continuos no es posible separar el sistema en un nmero finito de elementos discretos. Si se toma una parte cualquiera del sistema, el nmero de puntos de unin entre dicha parte y el resto de la estructura es infinito, y es por lo tanto imposible utilizar el mismo mtodo que en los sistemas discretos.Es en este tipo de casos, donde la formulacin mediante elementos finitos toma un papel importante en la resolucin de estos problemas.Con esto este mtodo, realiza un procedimiento de aproximacin de problemas continuos, de tal manera que, el problema continuo se divida en nmeros finitos de partes, denominados elementos, y cuyo comportamiento est determinando por una serie de parmetros. Ver figura 4Estos elementos se unen entre s, en un nmero finito de puntos, denominados nudos.Realizado esto, la solucin del sistema completo como un ensamblaje seguir el procedimiento que se le aplican a los problemas discretos.

Figura 4.

En este ejemplo, se considera una elasticidad lineal en los nodos, de manera que se pueden considerar, la fuerza distribuida P, que se observa en la imagen, adems de los desplazamientos en la direccin de los ejes de coordenadas (u,v). Estos desplazamientos ocurren en cada uno de los nudos. Ver figura 5

Figura 5.De manera que se puede representar de manera matricial, tanto las fuerzas que actan en los nodos, por ejemplo

Como adems, los desplazamientos en los nodos.

Ejemplo de formulacinSe mostrara como ejemplo, la formulacin de los elementos finitos desde su aplicacin directa, donde este no es nada ms, que una extensin del mtodo de rigidez, que se utiliza en el anlisis estructural.

7.1 Mtodo Directo

Este mtodo directo logra establecer una interpretacin clara hacerte del FEM, aunque en este punto, solo est determinado para estructuras simples. En el caso de un elemento unidimensional sometido a carga axial.

En este ejemplo se posee, una fuerza actuando en cada uno y un solo desplazamiento, por lo cual se tiene solo un grado de libertad por nodo, teniendo en total, dos grados de libertad.Debido a que posee dos grados de libertad se necesitaran dos ecuaciones que describan la fuerza-deformacin. La cual se expresa de forma matricial como :

Donde : K = Matriz de rigidez U = Es el vector desplazamiento F = Vector de fuerzas nodales Sabiendo por mecnica de slidos, que en un extremo libre sometido a carga axial, el desplazamiento est determinado por:

Siendo: A = rea de la seccin E = constante de elasticidad del materialDe esta forma la matriz de rigidez, quedara como .

Se aprecia que el elemento se subdividi en 2 elementos para obtener el anlisis correspondiente a sus determinados desplazamientos nodales, con esto se logra armar la matriz final.

Para terminar de resolver este tipo de ejercicios, es necesario adems, conocer condiciones de borde, de manera eliminar incgnitas y simplificar el clculo. Como se dijo anteriormente, este mtodo directo sirve solo para estructuras de simple armado, como en este caso, solo se usaron dos elementos, en estructuras ms complejas, se tendr un anlisis mas complejo.A continuacin se describir uno de los mtodos, que se emplea para la resolucin aproximada de ecuaciones diferenciales, sobra las cuales se basa mayormente el mtodo de los elementos finitos. Este mtodo se basa en principios vacacionales, y est asociado a la minimizacin de una determinada funcin. 7.2 Mtodo de Rayleigh-Ritz Es un mtodo variacional en el cual los problemas con condiciones de frontera, formulados en expresiones cuyo valor mnimo de la funcin corresponde a una ecuacin diferencial gobernada por las condiciones de frontera. La respectiva solucin se obtiene minimzando la funcin respecto a las variables. En forma especfica se busca aproximar las soluciones u y v, que hacen estacionaria una funcin, mediante una suma pondera de funciones.

Donde , son constantes a determinar, llamadas normalmente como coordenadas generalizadas. Las funciones N(x,y) son funciones de prueba, donde generalmente se utilizan polinomios, donde el grado de estos, depender de la estructura, ya sea empotrada, o con una carga distribuida a lo largo de la estructura, todos estos factores, influirn en el grado de los polinomios.Se considera un sistema de ecuaciones diferenciales, cuya solucin est asociada a la funcin , que est en funcin de u y v, de manera que se tiene :

Y ahora obteniendo las derivadas de la funcin aproximacin, tanto de u como de v:

Ahora lo que se busca, es encontrar los mejores valoras para que la constante , al ser reemplazada en la ecuacin, d como resultado la mejor aproximacin posible. Para ello se aplica la condicin de estacionaridad, y sabiendo que debe satisfacer la solucin exacta, se obtiene:

Adems esta ecuacin debe ser valida para variaciones arbitrarias, y esta condicin debe ser cumplida por las siguientes n ecuaciones.

Generalizando la funcin , para situaciones donde est representada como una funcin cuadrtica de u y v, se obtiene una funcin cuadrtica de las coordenadas generalizadas, anteriormente descritas. La derivada de esta funcin, dar como resultado funciones lineales.

La cual se puede escribir de forma matricial, quedando como:

La resolucin de este sistema de ecuaciones, en la cual es necesario invertir matrices, nos dar el resultado de las constantes, las cuales supondrn las aproximaciones de los desplazamientos.

Ejemplo resolucin de ejercicio usando el mtodo R-RSe considera la siguiente barra (Figura), con fuerza de cuerpo cuadrtico, por lo cual se buscara una solucin aproximada utilizando R-R para la funcin: (1)

FiguraPor condiciones de borde se tiene que u(0)=u(L)=0, por lo cual la funcin u , puede escribirse de la siguiente manera:

Derivando esta expresin con respecto a x y reemplazando en la ecuacin se obtiene.

Ahora se prosigue a derivar esta funcin, con respecto a las constantes, e igualarlas a 0, para obtener la solucin exacta, quedando.

Estas ecuaciones proporcionan, la matriz que al resolverla, da como resultado el valor de las constantes.

Ahora reemplazando estas constantes en la funcin, se puede obtener una solucin aproximada del desplazamiento.

El anlisis por medio de los elementos finitos converge a la solucin exacta (considerndose como solucin el desplazamiento nodal), a medida que se va disminuyendo el tamao de los elementos y por tanto, aumentando el nmero de nodos. Por lo que para obtener un anlisis lo ms cercano a lo ideal, se necesita determinar una serie de criterios de convergencia.

7.3 Criterios de Convergencia:

Criterio 1: La funcin de desplazamiento debe elegirse de tal manera, que represente un desplazamiento como solido rgido, sin producir tensin.Criterio 2: La funcin de desplazamiento tiene que ser tal, que si los desplazamientos nodales son compatibles con un estado de deformacin constante, se obtenga realmente dicho estado de deformacin.Criterio 3: La funcin de desplazamiento debe elegirse de manera que las deformaciones que se producen en los lmites de separacin entre los elementos, sean finitas.

8 Conclusiones

El mtodo de los elementos finitos, ha demostrado ser una herramienta muy til al momento de solucionar problemas en distintas reas de trabajo, ya sea esttico o dinmico, y por muy complejo que sea el sistema. Dentro del rea mecnica, este mtodo busca maximizar la durabilidad de los elementos, principalmente ante los esfuerzos producidos por distintas fuerzas.Adems de la ventaja que ofrece, al momento de analizar un sistema completo, por ejemplo estructural, y analizar que esfuerzos son admisibles para esta, antes de que sea construida, de manera entregar todos los detalles de posibles fallas o errores que se puedan producir despus.Observaciones Una de las virtudes que presenta este mtodo, es que a partir de un sistema, se puede tomar una porcin de esta, o elemento, y aislarla, para de este modo, poder observar su comportamiento particular, en la condicin de carga original aplicada al sistema general. A medida que se realizan ms particiones al sistema general, la solucin se aproxima ms a a solucin real, pero en casos en los cuales la estructura a analizar sea demasiado compleja, ya sea por cantidad de incgnitas o comportamiento de deformacin, una subdivisin demasiado grande podra dificultar la resolucin. Se pueden realizar clculos sobre geomtricas asimtricas y en espacios dimensionales complicados, donde un clculo manual sera muy complicado. Al ser un mtodo en el cual, las soluciones pueden ser procesadas y analizadas por un computador, entrega una ventaja con respecto a determinar el comportamiento aproximado de una pieza frente a un esfuerzo o fuerza especfica, con lo cual se deja de lado las experiencias y datos que entregaba el mtodo ensayo-error. El hecho de que se pueda aplicar el mtodo a sistemas que estn compuesto por ms de un material, representa una ventaja considerable, debido a que con eso, se puede determinar que material va a traccionar o comprimir otro, y con esto tener otra variable de posible falla en la estructura.

9 Bibliografa

El mtodo de los Elementos Finitos. Mc Graw-Hill. CIMNE. Barcelona .1994.

Mtodo de los elementos finitos, pre proceso y pos proceso de los resultados, Sergio Blanco. Transparencias de la asignatura MEF del Mster en Ingeniera de Estructuras, Cimentaciones y Materiales.

El mtodo de los elementos Finitos. Zienkiewicz-Taylor, Volumen I.

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