Entre el pla i l’espai, la visualització
Reflexions sobre el bloc Espai i Forma
Cecilia CalvoDavid Barba
Barcelona, Girona, Lleida, TarragonaAbril-Maig 2012
Ordenació dels ensenyaments de l’educacióprimària i secundària
Estructuració de continguts del bloc espai i forma
cal desenvolupar (el coneixement i) l’anàlisi de les característiques i propietats de les figures de tres i dues dimensions;
localitzar i descriure relacions espacials;
identificar i aplicar transformacions geomètriques, i
utilitzar la visualització i els models geomètrics per resoldre problemes.
Diari Oficial de la Generalitat de CatalunyaDOGC núm. 4915 - 29/06/2007
Marc conceptual de PISA
La geometria és la base de l’espai i la forma, però aquesta categoria va més enllà de la geometria tradicional ja que inclou elements d’altres àrees matemàtiques com ara la visualització espaial, la mesura i l’àlgebra.
La competència matemàtica en espai i forma inclou un seguit d’activitats com ara crear i llegir mapes, transformar formes mitjançant la tecnologia, interpretar imatges d’escenes tridimensionals des de diferents perspectives, construir representacions de formes.
Marc conceptual de matemàtiques PISA 2012Consell Superior d’AvaluacióColecció “Documents” Nº 18 Febrer 2011
Tres activitats
Construïm o dibuixem polígons?
Hi ha algun poliedre amb més cares que vèrtexs?
Quines fotografies tiraries per descriure aquest objecte?
Construïm o dibuixem polígons?
Geometria plana: fins ara
Prototips
Etiquetes
Definicions de diccionari
Geometria plana
Univers de figures
Eines per comunicar
Propietats comunes
Prototips
Etiquetes
Definicions de diccionari
Univers de figures: tangram
Univers de figures: tangram
?
Univers de triangles: tangram
e
o o o
Univers de quadrilàters
Construeix tots els quadrilàters que puguis
Univers de quadrilàters
Quadrats, rombes, paral·lelograms, trapezis, rectangles, quadrilàters no convexos
Perímetre, àrea, angles, simetries,
Univers de quadrilàters en un ambient de resolució de problemes
ab
c
Com els anomenem?
ab
c
Univers de quadrilàters en un ambient de resolució de problemes
Les eines determinen la tasca: dibuixar sobre paper blanc, en un geoplà o ...
Les eines determinen la tasca: paper
Plegat de paper
Les eines determinen la tasca: regle i ...
Regle i escaire Regle i semicercle Regle i compàs ...
ROMBE SABENT LES DIAGONALS
Les eines determinen la tasca: les tires
Univers de triangles amb tires de colors
De les tires a la construcció amb regle i compàs
Entre dibuixar i construir: explicar
Vinyetes
Vocabulari
Justificació
arc, vèrtex, circumferència, centre, radi, intersecció, ...
“La circumferència representa el conjunt de punts que estan a una distància d del vèrtex A”
Dibuixar o construir: dibuix tècnic
Dibuixar o construir: Geogebra
Hi ha algun poliedre amb més cares que vèrtexs?
Comentari 1
No es fàcil comptar el nombre de cares, arestes o vèrtexs d’un poliedre a partir d’una imatge
Comentari 1
De tota manera, imatges com les de la galeria d’imatges de poliedres de la Vikipedia poden ser un bon recurs
Comentari 1
Però no substitueixen l’experiència de comptar cares, arestes i vèrtexs tocant l’objecte.
Capsa de cossos
Envasos
Comentari 2
Existeixen materials manipulatius que faciliten la tasca de comptar cares i d’altres que faciliten la tasca de comptar arestes i vèrtexs.
Comentari 2
Aquests materials poden ser comercials o casolans.
A la pàgina web de l’Espai Jordi Esteve trobareu informació sobre els dos tipus de materials
http://edumat.uab.cat/materials/Index.php?opcio=mostra_familia&id=10
http://edumat.uab.cat/materials/Index.php?opcio=mostra_familia&id=9
Comentari 3
A més de comptar tocant, hem de promoure que els alumnes comptin arestes, cares i vèrtexs imaginant el poliedre.
Comentari 3
Per exemple, si a la caixa de poliedres que portem a l’aula només hi ha piràmides de base quadrada, podem demanar-los que imaginin una piràmide que tenga com a base un triangle o un pentàgon.
cares
arestes
vèrtexs
Comentari 3
O amb alumnes més grans, podem demanar-los que imaginin una piràmide que tenga com a base un polígon de n costats.
cares
arestes
vèrtexs
Comentari 3
I podem fer el mateix per altres poliedres quan la “base” és un polígon de n costats
cares arestes vèrtexs
prismes
piràmides
bipiràmides
antiprismes
Comentari 3
I podem fer el mateix per altres poliedres quan la “base” és un polígon de n costats
cares arestes vèrtexs
prismes n+2 3n 2n
piràmides n+1 2n n+1
bipiràmides 2n 3n n+2
antiprismes 2n+2 4n 2n
Comentari 3
Vols ser milionari? una activitat perquè els alumnes comptin arestes, cares i vèrtexs imaginant el poliedre.http://puntmat.blogspot.com.es/2012/03/vols-ser-milionaricomptant-cares.html
Comentari 3
Problemes a l'esprint Cicle superior de Primària Edició 2012
Comentari 3
També hem de promoure que els alumnes comptin arestes, cares i vèrtexs invocant les propietats del poliedre.
Cub truncat
• Un cub té 8 vèrtexs, cadascun d’ells en el cub truncat es converteix en tres nous vèrtexs, per tant, el nou cos té ... vèrtexs.
• Un cub té 6 cares en truncar-lo s’afegeix una cara per cada vèrtex del cub original, per tant, queden ... cares.
• Un cub té 12 arestes en truncar-lo s’afegeixen tres arestes per cada vèrtex del cub original, per tant, queden ... arestes
Cub modificat
• El nou cos té una cara més que el cub i tres noves arestes, per tant, el nou cos té 7 cares i 15 arestes
• És cert que el nou cos té tres vèrtexs que abans no tenia però ha perdut un del vèrtexs antics per tant només s’han afegit 2 vèrtexs i el total ara és de 10.
Icosaedre
• Té 20 cares triangulars, cada cara té 3 arestes, multiplicant 20x3 podem pensar que té un total de 60 arestes però així comptem cada aresta dos cops, per tant el nombre d’arestes és 30.
• Cada cara té 3 vèrtexs però com que cada vèrtex pertany a 5 cares el nombre de vèrtexs és 20x3:5, o sigui, 12.
Comentari 4
També és important que els alumnes comptin cares, arestes i vèrtexs d’un poliedre a partir del seu desenvolupament pla.
Diagrames de Schlegel
Comentari 5
Hi ha algun poliedre amb més cares que vèrtexs?
C A V
Cub 6 12 8
Prisma de base triangular 5 9 6
Piràmide pentagonal 6 10 6
Tetraedro 4 6 4
Bipiràmide quadrangular 8 12 6
Comentari 5
Hi ha algun poliedre amb més cares que vèrtexs?
C A V
Cub 6 12 8
Prisma de base triangular 5 9 6
Piràmide pentagonal 6 10 6
Tetraedro 4 6 4
Bipiràmide quadrangular 8 12 6
Comentari 5
Què hi ha més en un poliedre convex: cares, arestes o vèrtexs?
C A V
Cub 6 12 8
Tetraedre 4 6 4
Bipiràmide triangular 6 9 5
Antiprisma hexagonal 14 24 12Piràmide
pentagonal truncada
7 15 10Bipiràmide heptagonal elongada
21 35 16
Icosaedre 20 30 12
Comentari 5
Què hi ha més en un poliedre convex: cares, arestes o vèrtexs?
C A V
Cub 6 12 8
Tetraedre 4 6 4
Bipiràmide triangular 6 9 5
Antiprisma hexagonal 14 24 12Piràmide
pentagonal truncada
7 15 10Bipiràmide heptagonal elongada
21 35 16
Icosaedre 20 30 12
Comentari 5
Hi ha més arestes que cares i vèrtexs junts?
C A V C+V
Cub 6 12 8 14
Tetraedre 4 6 4 8
Bipiràmide triangular 6 9 5 11
Antiprisma hexagonal 14 24 12 26Piràmide
pentagonal truncada
7 15 10 17Bipiràmide heptagonal elongada
21 35 16 37
Icosaedre 20 30 12 32
Comentari 5
Hi ha més arestes que cares i vèrtexs junts?
C A V C+V
Cub 6 12 8 14
Tetraedre 4 6 4 8
Bipiràmide triangular 6 9 5 11
Antiprisma hexagonal 14 24 12 26Piràmide
pentagonal truncada
7 15 10 17Bipiràmide heptagonal elongada
21 35 16 37
Icosaedre 20 30 12 32
Comentari 5
El teorema de Euler
Comentari 5
El teorema d’Euler es compleix per a poliedres convexos
C=16, V=16 y A=32
Quines fotografies tiraries per descriure aquest objecte?
http://berdinanimus.tumblr.com/post/17274298723
Materials manipulatius
tridio
structurotorres
amagades
Applets
http://goo.gl/lDtQd l (ela) D t Q d
http://goo.gl/9dBQy9 d B Q y
http://goo.gl/EUgCg E U g C g
Exercicis
Exercicis
Problemes a l'esprint Cicle superior de Primària Edició 2012
http://puntmat.blogspot.com.es/2012/02/visualitzacio-amb-cubets-iii.html
Davant Dreta
Un altre exemple:
Davant Dreta
Un altre exemple:
Com volem la solució: en dues dimensions o en tres?
Davant Dreta
Un altre exemple:
En perspectiva isomètrica o cavallera?
Davant Dreta
Un altre exemple:
Amb quines eines volem que facin la representació?
Davant Dreta
Un altre exemple:
Quantes solucions volem?
Davant Dreta
Un altre exemple:
Amb quin grau d’exhaustivitat?
Davant Dreta
Un altre exemple:
Permetent cubs voladors?
per acabar...
Espai i formaa través d’activitats
geometriamesuraàlgebra
materials manipulablesregle i compàs
fotografiesplastilina origamiapplets
...
al plaa l’espai identificar
descriure/definirrepresentarcomunicar
estàticsen moviment