Gua de Problemas para el Concurso delDistrito Federal de la XIX Olimpiada

Mexicana de Matemticas

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2005

Gua de Problemas para el Concurso delDistrito Federal de la XIX Olimpiada

Mexicana de Matemticas

Febrero 2005

Julieta Verdugo DazLuis Briseo Aguirre

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La Sociedad Matemtica Mexicana convoca al concurso del Distrito Federalde la XIX Olimpiada Mexicana de Matemticas.

Podrn participar los jvenes mexicanos nacidos despus del 1 de agostode 1986.

Los participantes debern estar inscritos en alguna institucinpreunivesitaria en grado mximo de quinto de bachillerato.

EL CONCURSO SE REALIZAR EN TRES ETAPAS:

La primera etapa se efectuar el da 12 de marzo de 2005 y consistir enun examen de opcin mltiple de 30 preguntas y tres horas de duracin.Esta etapa se llevar a cabo en varias sedes simultneamente y a losganadores de sta se les invitar a recibir un entrenamiento paraprepararse a participar en la segunda etapa.

La segunda etapa se llevar a cabo el da 23 de abril de 2005 y consistiren un examen de cuatro horas y media de duracin, en donde seseleccionarn a los mejores concursantes a los que se les invitar acontinuar recibiendo entrenamiento para participar en la tercera etapa.

La tercer etapa se efectuar a lo largo del ltimo periodo de entrenamientoy los 10 primeros lugares integrarn la Delegacin del Distrito Federal queparticipar en el 19 Concurso Nacional, a efectuarse en Campeche del 6 al12 de noviembre de 2005.

De entre los ganadores de Concurso Nacional se seleccionarn a los integrantesde las delegaciones mexicanas a la XLVII Olimpiada Internacional deMatemticas, a la XXI Olimpiada Iberoamericana de Matemticas y a la VIIIOlimpiada Matemtica de Centroamrica y del Caribe.

Los participantes en la XLVII Olimpiada Internacional de Matemticas que secelebrar en Slovenia no debern haber iniciado estudios de nivel universitarioantes del 21 de junio de 2006.

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INFORMES E INSCRIPCIONES

Del 14 de febrero al 11 de marzo de 2005

UNAM Facultad de Ciencias, Departamento de Matemticas,Oficina de la Olimpiada Mexicana de Matemticas:

Srita. Lucina Parra Aguilar,De 9 a 14 horas.

Telfono y Fax. 56 22 48 64ommdf@hp.fciencias.unam.mx

Srita. Rosa Mara Mendoza GarcaDe 16 a 18 horas

Telfono 56 22 48 67 Telefono y Fax 56 22 48 66

www.matematicas.unam.mx/omdfommdf@hp.fciencias.unam.mx

INSCRIPCIONES POR INTERNET

www.matematicas.unam.mx/omdf

IPNEscuela Superior Fsico Matemticas, Departamento de Matemticas,

Unidad Profesional Adolfo Lpez Mateos Edif. 9 3er piso:M. en C. Emigdio Salazar Cordero,

Srita. Guillermina Regalado Castillo,De 8 a 15 horas.

Srita Xchitl Moreno Lpez,De 15 a 21 horas.

Telfono 57 29 60 00 ext. 55018, 55011emigdio@esfm.ipn.mx

UAM IZTAPALAPA Departamento de Matemticas, Edificio AT Diego Bricio Hernndez,

Oficina 314, Prolongacin Canal de Miramontes 186Srita. Beatriz Arce,

De 8 a 15 horas. Telfonos 58 04 46 57 58 04 46 58 y 58 04 46 59 ext. 314,

Fax 58 04 46 53secm@xanum.uam.mx

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Problemas de prctica

1 En la siguiente figura, el lado del cuadrado pequeo mide 3 y el lado delcuadrado grande mide 6, cul es la razn del rea sombreada con respecto alrea del cuadrado grande?

(a) 41 (b)

31 (c)

21 (d)

1811

2. El 70 % de los habitantes de un pas habla un idioma y el 55% de la mismapoblacin habla otro idioma. Qu porcentaje de la poblacin habla los dosidiomas, sabiendo que cada habitante habla al menos uno de ellos?

(a) 5 (b) 25 (c) 30 (d) 45

3 En la siguiente figura la longitud del segmento OA1 es 1, y cada segmento AnAn+1es perpendicular al OAn y de longitud 1 para n>1. Cul es la longitud delsegmento OA2005?

1

1

1

1

1

O A 1

A 2

A 3 A 4

A 2004

A 2005

(a) 200 (b) 2005 (c) 22005

(d) 2005

1...1111 +++++

5

4. De cuntas formas se pueden obtener dos nmeros consecutivos al tirar 2dados?

(a) 5 (b) 6 (c) 30 (d) 36

5. Para una jarra de jugo de frutas se mezclan 4 vasos de jugo de naranja, 2 vasosde jugo de uva y 1 vasos de jugo de mango. Cuntos vasos de jugo de naranjase necesitan para preparar 350 vasos de jugo de frutas?

(a) 200 (b) 208 (c) 212 (d) 220

6 Un nmero tiene 10 dgitos y la suma de sus dgitos es 9. Cul es el productode los dgitos de ese nmero?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 9

7 Los promedios de 4 nmeros tomados por parejas son: 2, 4, 5, 8, 9 y 11. Cules la suma de los cuatro nmeros?

(a) 13 (b) 25 (c) 26 (d) 39

8 En el tringulo ABC, P es un punto en AB tal que CP es perpendicular a AB. SiBC = 13, AP = 9 y PB = 5. Cul es el valor del permetro del tringulo ABC?

(a) 40 (b) 42 (c) 45 (d) 46

9. Si la suma de todos los nmeros que pueden formarse revolviendo tres enterosdistintos a, b y c entre el 1 y el 9 es 1554, cul es el menor de esos nmeros?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 5

10 La raz sexta de un entero de dos dgitos ab es a - b. Cunto vale a + b ?

(a) 2a (b) 2 (c) 10 (d) 3b

6

11. Un paralelogramo est dividido en 4 tringulos como se muestra en lasiguiente figura. Cul de los siguientes conjuntos de valores no puede ser lasreas de los 4 tringulos?

(a) 1, 2, 3, 4 (b)3, 4, 8, 9 (c) 3, 4, 7, 9 (d) 3, 3, 3, 3

12 Jos y Mara apostaron segn las siguientes reglas: Van a lanzar un dadonormal (con los nmeros del 1 al 6 en sus caras) y una moneda (con los nmeros1 y 2 marcados en sus caras). Despus multiplicarn el nmero que salga en eldado con el que salga en la moneda. Si el resultado es par gana Jos, y si esimpar gana Mara. Qu probabilidad de ganar tiene Jos?

(a) 21

(b) 31

(c) 32

(d) 43

13 En la siguiente figura, cul es el rea del tringulo ABC, si el rea delhexgono regular es ?

(a) 2 (b)

3 (c)

6 (d)

8

14 Cules son las ltimas 3 cifras del nmero 52005?

(a) 005 (b) 025 (c) 125 (d) 625

7

15 Cuntos ceros tiene el nmero n = 1 + 2 + 22 + 23 + .... + 22005 si lo escribimosen base 2?

(a) 0 (b) 1 (c) 1002 (d) 2005

16 Si 72 ba = , cul es el valor de ba11

+ ?

(a) 101 (b)

71

21

+ (c) 1 (d) 2+7

17. En un tringulo rectngulo ABC est inscrito un cuadrado como se muestra enla siguiente figura. Si AB = 6 y BC = 3, cul es el rea del cuadrado?

(a) 4 (b) 6 (c) 9 (d) 16

18. Si 1511

107

21. Tere, Rosy, Mago, Marce fueron a cenar en compaa de sus esposos. En lacena se sentaron alrededor de una mesa redonda de forma que:

- Ninguna esposa qued sentada al lado de su esposo.- Enfrente de Tere qued Mago- A la derecha del esposo de Tere se sent Rosy- No haba dos mujeres juntas- Quin se sent entre Tere y Marce?

(a) Esposo de Tere (b) Esposo de Mago (c) Esposo de Marce (d) Esposo de Rosy

22. Observa la siguiente figura y encuentra cuntos cuadrados pesan lo mismoque un crculo.

(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7

23. El rectngulo ABCD se construy con cinco rectngulos iguales como semuestra en la siguiente figura. Cul es el valor del permetro del rectnguloABCD si su rea es 6750 cm2?

.

(a) 300 (b) 320 (c) 330 (d) 350

24 Cuntas parejas (x, y), hay en el siguiente sistema de ecuaciones que seansolucin?

x2 xy y2 + 1 = 0x3 xy2 x2y + x y + 2 = 0.

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

25 Se tiene una sucesin de nmeros a1, a2, a3, a4,..., si un trmino es un nmeropar, el siguiente es la mitad del anterior y si el trmino es impar entonces elsiguiente es la suma de los dos anteriores. Si el primer trmino es 2004, qunmero est en el lugar 2005?

(a) 501 (b) 1002 (c) 1503 (d) 2004

9

26 Se tiene un cuadrado y se trazan sus diagonales, a todos los tringulos que seforman se les trazan sus medianas. Cuntas medianas diferentes se trazaron?

(a) 12 (b) 18 (c) 24 (d) 30

27 Si ABCD es un rectngulo de base 2 y altura 1, y L y M son los puntos mediosde AD y MC respectivamente, cul es el rea de la regin sombreada?

(a) 121 (b)

81 (c)

41 (d)

31

28 Sean x, y y z tres dgitos diferentes. El nmero (xxx + yx + x), es de tres dgitos,qu forma tiene esta suma para que sea mxima?

(a) xxy (b) xyz (c) yyx (d) yyz

29 Cul es el entero positivo n que resuelve la siguiente ecuacin?

20052004

2...642)12(...531

=

++++

++++

n

n

(a) 2002 (b) 2003 (c) 2004 (d) 2005

30 Cul es el rea del tringulo si se sabe que los puntos horizontal y verticaldistan 1 cm?

(a) 5 (b) 6 (c) 6 (d) 7

10

31 Un hexgono y un tringulo equiltero tienen el mismo permetro, cul es larazn de sus reas?

(a) 1:1 (b) 3:2 (c) 4:3 (d) 4:2

32. Cuntos ceros tiene el nmero 2005 cuando se escribe en base 2?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

33. Cuntos tringulos existen con lados de longitud entera y permetro igual a15?

(a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 9

34. Cul es el coeficiente del trmino x4y7 al desarrollar (2x+y)?

(a) 330 (b) 660 (c) 4320 (d) 5280

35 Cuntas soluciones enteras tiene la siguiente ecuacin: 2x + 5y = 11?

(a) ninguna (b) una (c) cinco (d) infinidad

36 Si ABCD es un pentgono regular, BCGF un cuadrado y GCH un tringuloequiltero como se muestran en la siguiente figura, cul es el valor del nguloCDH?

(a) 30 (b) 35.5 (c) 37.5 (d) 45

37 Cunto vale el siguiente nmero?

(a) 0 (b) 2003 (c) 2004 (d) 2005

11

123...200020012002200320042005123...200020012002200320042005 22222222

+++++

+++++

38 Cul es el valor del rea sombreada?, si el arco AB es el arco de unacircunferencia de radio 4, los puntos C y D son los puntos medios de OA y OBrespectivamente, y E es el punto donde se cortan los segmentos BC y AD.

(a) 344 pi

(b) 384 pi

(c) 3

124 pi (d)

3164 pi

39 Dados m y n dos nmeros enteros positivos tales que m < n, definimos laoperacin: m * n como la suma de los enteros positivos a partir de m hasta ninclusive. Por ejemplo, 2 * 5 = 2 + 3 + 4 + 5. Cul es el valor de )1(*)1(

)12(*)12(+

+

xx

xx para cualquier x > 1?

(a) 2 (b) 3 (c) 2x (d) 3x

40. Sea ABC un tringulo, E el punto medio de BC y D un punto que divide a CAen la razn 1:3. Cul es la razn del rea del tringulo CDE al rea delcuadriltero ABED?

(a) 1:4 (b) 1:5 (c) 1:6 (d) 1:7

12

Examen de primera etapa del concurso 2004 del D. F.

1. Cuntas parejas de enteros positivos (x,y) hay que cumplan: x2 y2 = 13?(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) muchas

2. En la figura, a y a son rectas paralelas y b es una trasversal a ellas.Cuntos puntos hay que estn a la misma distancia de las tres rectas?

(a) 0 (b) 2 (c) 4 (d) 63. Cul es el nmero cuyos menos 8 ms la mitad de ese nmero ms 5 da122?

(a) 40 (b) 60 (c) 80 (d) 1004. Cul de los siguientes nmeros divide a la raz cuadrada de 20042004?

(a) 1671670 (b) 31003 (c) 22002 (d) 41003

5 . Cunto mide el rea de un cuadrado inscrito en una semicircunferencia deradio 1?

(a) 1 (b) 45

(c) 34

(d) 12

13

6. En un tringulo rectngulo de hipotenusa 8 cm y rea 9 cm2, cul es supermetro?

(a) 12 (b) 16 (c) 17 (d) 18

7. Los tringulos ABC y BCD son issceles y el ngulo BAC mide 30 cuntomide el ngulo AEC?

(a) 95 (b) 100 (c) 105 (d) 110

8. Dos jugadores A y B juegan volados. El primero que complete 4 voladosganados se lleva el premio. Cuando A lleva tres ganados y B dos ganados, sesuspende el juego por acuerdo de ambos jugadores. En qu razn deberepartirse el premio entre A y B?

(a) 3 a 1 (b) 2 a 1 (c) 3 a 2 (d) 4 a 2

9. Los cuadrados perfectos son: 1, 4, 9, 16, ... Cuntos cuadrados perfectoshay en la lista de nmeros enteros desde 1 hasta 2004?

(a) 40 (b) 42 (c) 44 (d) 45

10. Se tiene un cubo slido de 10 cm de arista y se rebanan todas las esquinashasta 1 cm, cuntos vrtices tiene el poliedro que se forma?

(a) 14 (b) 16 (c) 24 (d) 32

14

11. En cada fila y en cada columna se escriben una sola vez las letras a, b, c,d y e, qu letra debe escribirse en el cuadrito marcado con ? ?

a c ea e d bc b ae d

? a

(a) a (b) b (c) c (d) d12. Se tienen menos de 200 canicas. Si se reparten entre 3, sobra una; si sereparten entre 7 sobran 2 canicas y; si se repartieran entre 5 no sobraraninguna. Cuntas canicas hay?

(a) 100 (b) 115 (c) 125 (d) 13013. Para cul valor de n el nmero 22004 + 2n + 1 es un cuadrado perfecto?

(a) 1001 (b) 1002 (c) 1003 (d) 1004

14. En la figura, AB es un dimetro y PC es igual al radio OD, la razn BPDBOD

de las medidas de los ngulos BPD y BOD es:

(a) 14

(b) 13

(c) 12

(d) 23

15. Cuntas soluciones tiene x2004 = (-x)2004 ?(a) 0 (b) 1 (c) 2004 (d) ms de 2004

15

16. Si ABCD es un rectngulo y FA es el 10% de AB y CE es el 10% de BC, cules el rea del cuadriltero FBED?

(a) 0.81 (ABBC) (b) 0.99 (ABBC) (c) ABBC (d) 1.1 (ABBC)

17.Siguiendo el patrn de las tres primeras figuras:

Cuntos tringulos pequeos aparecern en la novena figura?

(a) 216 (b) 486 (c) 540 (d) 600

18.Sobre un segmento de longitud 21 cm se construyen un tringuloequiltero y un cuadrado que tienen el mismo permetro, cunto vale ladiferencia entre los lados del cuadrado y el tringulo?

(a) 2 cm (b) 3 cm (c) 4 cm (d) 5 cm19.Se tienen un segmento AB de longitud 10 y un punto P en l tal que APPB

=

32

. Se construyen sobre el mismo lado del segmento, un tringuloequiltero de lado AP y otro de lado PB. Cul es la distancia entre los vrticesde los tringulos equilteros que estn fuera del segmento AB?

(a) 2 5 (b) 2 6 (c) 2 7 (d) 2 8

20. Cunto es a + b?, si sabemos que: 7a + 3b = 12 y 3a + 7b = 8?

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

16

21 Dados cuatro crculos de radio 1 y centros en los vrtices de un cuadrado,cul de los siguientes nmeros aproxima mejor el rea sombreada de lafigura?

(a) 0.82 (b) 0.84 (c) 0.86 (d) 0.8822 Cuntos nmeros 2 aparecen al escribir la lista: 100, 101, 102, 103, . . . ,

498, 499, 500, 501 y 502?

(a) 81 (b) 141 (c) 180 (d) 18123 Cul es el nmero que multiplicado por su tercera parte da como resultado

675?

(a) 35 (b) 45 (c) 55 (d) 6524 Cuntas personas hubo en una fiesta en la que se sabe que se saludaron

de mano todos los asistentes y que hubo 190 apretones de mano?

(a) 17 (b) 18 (c) 19 (d) 2025 La razn del nmero de hombres al de mujeres en un grupo era de 3 a 5.

Despus, se fueron 24 mujeres y llegaron 24 hombres, con lo que la nuevarazn de hombres a mujeres es de 5 a 3. Cuntas personas haba en elgrupo original?

(a) 80 (b) 96 (c) 108 (d) 12026 Si un automvil recorre la mitad de un camino a 60 kilmetros por hora y la

segunda mitad a 120 kilmetros por hora, a qu velocidad promediorecorri todo el camino?

(a) 70 km/h (b) 80 km/h (c) 90 km/h (d) 100 km/h27 De cuntas maneras podemos juntar un peso con monedas de 10, 20 y 50

centavos?

(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10

17

28 Si escribimos la lista de 2004 cifras:040103050200401030502004010305020.... ,

el nmero formado por las cuatro ltimas cifras de la lista es:?

(a) 2004 (b) 4010 (c) 1030 (d) 305029 Si se dibujan flores: una azul, tres verdes, cinco rojas, siete amarillas,

nueve azules, once verdes, trece rojas, quince amarillas, etctera. De qucolor es la 2004 flor?

(a) azul (b) verde (c) roja (d) amarilla30 Cuntos nmeros positivos distintos se pueden obtener mediante sumas y

restas de nmeros diferentes de la lista 1, 3, 9 y 27 ?

(a) 20 (b) 30 (c) 40 (d) 50

18

Examen de segunda etapa del concurso de 2004

1. Cuntos enteros positivos n hay que cumplan que n 17 divide a n + 4?

(a) 0 (b) 1 (c) 4 (d) 17

2. En la siguiente figura ABC es un tringulo cualquiera y ACD y AEB sontringulos equilteros. Si B y D son los puntos medios de EA y CArespectivamente, la razn

' '

BDB D

es:

(a) (b) 1 (c) 3/2 (d) 2

3. Si [a,b] denota el mnimo comn mltiplo de los enteros positivos a y b y(a,b) el mximo comn divisor de a y b. Cuntas parejas de enteros a y btales que a b cumplen con la condicin de que [a,b] + (a,b) = ab ?(a) 1 (b) 2 (c) a (d) a + b

4. Para cada punto E del lado CD del cuadrado ABCD se considera F sobre larecta por B y C de manera que AFE es un tringulo rectngulo y G es el puntomedio de EF. Cuando E vara sobre CD, qu figura describe el punto G?

19

(a) (b) (c) (d)

5. Un nio quiere subir una escalera; pero lo puede hacer subiendo uno o dosescalones a la vez. Si la escalera tiene 10 escalones en total, de cuntasformas distintas puede subir las escaleras?

(a) 10 (b) 20 (c) 55 (d) 89

6. Si en el tringulo ABC el ngulo en B mide 62 y el ngulo en C mide 45 , D,E y F son los pies de las alturas desde A, B y C respectivamente. Cuntomide el ngulo FED?

(a) 55 (b) 56 (c) 58 (d) 61

7. Si 3 20043 2004x

y

, x, y y son nmeros racionales, cunto vale xy?

(a) 4 (b) 6 (c) 9 (d) 18 8. Cul es el porcentaje del dgito 3 en la lista de nmeros 0, 1, 2, 3, . . .,2003, 2004?

(a) 8.9 % (b) 9.2 % (c) 9.5 % (d) 9.8 %

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9. La recta l corta a una circunferencia en los punto C y D. Si AB es un dimetro yP y Q son los pies de las perpendiculares de A y de B sobre l, PC = 1 y AB = 5,cul es el valor de QD?

(a) 15

(b) 25

(c) 45

(d) 55

10. Si x = a.aaaaa . . . y y = 0.bbbbb . . . Cuntas parejas de dgitos(a,b) hay tales que xy sea un entero mayor o igual que 25?

(a) 13 (b) 14 (c) 15 (d) 1611. Un tren pasa por un tnel de longitud AB. Dentro del tnel hay un gato en elpunto 3

8 de la distancia AB medido desde la entrada A. Cuando el gato oye el

silbato del tren corre hacia una de las orillas. Si el gato corre hacia la entrada Adel tnel, el tren lo aplasta exactamente en A. Si el gato corre hacia B, el tren loagarra exactamente en el punto B. Cul es la razn de las velocidades deltren y del gato?

(a) 4 a 1 (b) 8 a 3 (c) 5 a 1 (d) 8 a 112. Cul es la suma de los 4 divisores primos de 216 1?

(a) 282 (b) 284 (c) 286 (d) 28813. Si se escribe la lista de letras: dosmilcuatrodosmilcuatrodosmilcuatro...,cul es la letra que aparece en el 2004 lugar?

(a) a (b) o (c) s (d) l 14. Cul es el rea de la circunferencia tangente a los dos arcos decircunferencias de radio 2 con centros en A y en D de la figura, y al segmento ADde longitud 2?

(a) pi (b) 916

pi (c) 10

16pi

(d) 1116

pi

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15. En un tablero de ajedrez (8 8 cuadrados) hay una pieza nueva eltorreballo que se mueve con la regla: siempre recorre tres casillas ya seanverticales u horizontales, si en algn momento llega a una orilla la pieza retrocedeo avanza en otra direccin.

Cul es mnimo nmero de movimientos que se necesitan para llegar de unaesquina del tablero a su esquina opuesta?

(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7

16. Si el cuadriltero ABCD tiene rea igual a K2, y O es un punto en el interior delcuadriltero tal que OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2 K2, por qu ABCD es uncuadrado?

17. Si la ecuacin cuadrtica x2 + ax + b +1 = 0 tiene soluciones enteras positivaspor qu a2 + b2 es un nmero compuesto?

18. Si x2 179x + a = 0 tiene races enteras encontrar el valor de a, sabiendoque 1850 < a < 2150.

19. Se tiene una moneda de 1 peso, una de 2 pesos, una de 3 pesos, y assucesivamente hasta una moneda de n pesos con las cuales se puede pagar npesos exactamente, cunto vale n diferente de 1, de manera que haya n formasdistintas de pagar n pesos?

20. Cuando a = 2n + 3n + 216(2n-6 + 3n-6) y b = 4n + 5n + 8000(4n-6 + 5n-6) porqu el mximo comn divisor de a y b no puede ser 1?

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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRACTICA

1 b 21 b2 b 22 d3 b 23 c4 b 24 b5 d 25 d6 a 26 c7 c 27 a8 b 28 d9 a 29 c

10 c 30 d11 c 31 b12 d 32 d13 d 33 b14 c 34 d15 a 35 d16 c 36 c17 a 37 d18 a 38 d19 c 39 a20 c 40 d

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Soluciones a los problemas de la primera etapa del concurso del Distrito Federalde la XVIII Olimpiada Mexicana de Matemticas, 2004

1 b 16 c2 b 17 b3 d 18 b4 c 19 c5 b 20 b6 d 21 c7 c 22 d8 a 23 b9 c 24 d10 c 25 b11 d 26 b12 a 27 d13 c 28 a14 b 29 a15 d 30 c

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Soluciones a los problemas de opcin mltiple de la segunda etapa del concursodel Distrito Federal de la XVIII Olimpiada Mexicana de Matemticas, 2004

1 c2 d3 a4 c5 d6 b7 c8 b9 d

10 b11 a12 a13 b14 b15 c

Nota:Las soluciones a los problemas 16 a 20 y las de las siguientes etapas delconcurso de 2004 aparecern en la pgina:

http://www.matematicas.unam.mx/omdf/

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