Obje En aque
Ie
e
g
g
sd
3
ctius
esta quinze
Identificar equació.
Reconèixerequivalents
Resoldre eqgrau.
Resoldre eqgrau comp
Resoldre alsenzilles dedos.
Utilitzar el i les equaciproblemes.
ena aprendr
les solucion
r i obtenir es.
quacions de
quacions deletes i inco
lgunes eque grau supe
llenguatge ions per res.
ràs a:
ns d’una
equacions
e primer
e segon mpletes.
acions erior a
algebraic soldre
MAT
Abans d
1.Expre Ident Soluc 2.Equac Defin Mètod Resol 3.Equac Defin Resol Resol Resol Suma Discr Equac Resol
4.Equac Equac Equac Exercic
Per sab
Resum
Autoava
Activita
Equ
TEMÀTIQUES Ori
de començ
essions algtitat i equació d’una e
cions de pició de de resolució de pr
cions de sició. Tipuslució de axlució de axlució de axa i productiminant d’ció (x-a)·(lució de pr
cions de gcions factocions biqu
is per prac
ber-ne més
aluació
ats per env
uacion
entades als Ensen
çar.
gebraiquesació equació
rimer grau
olució roblemes
egon graus x²+bx=0 x²+c=0 x²+bx+c=te de les a’una equac(x-b)=0 roblemes
rau superoritzades adrades
cticar
s
viar al tuto
ns de s
nyaments Acadèm
s ………………
u………………
u ………………
=0 arrels ció
rior a dos …
or
segon
mics 3r ESO 1
… pàg. 4
… pàg. 6
… pàg. 8
… pàg. 11
n grau
1
2 MATEMÀT
TIQUES Orientadees als Ensenyameents Acadèmics 3rr ESO
QràUm2
Quant àdio?
Un quamés un21euro
MAT
Equ
et va
art, mn sisè,os va s
TEMÀTIQUES Ori
Ab
uacion
Anomen
x x4 515x60
7 x
costa
és un menyser la
entades als Ensen
bans d
ns de s
nem x a la q
x x 215 6
12 x 1060 6
1260 x
ar aqu
cinquèys meita
nyaments Acadèm
de com
segon
quantitat b
x2
0 x 12600 60
180
uesta
è,
at
mics 3r ESO 3
mençar
n grau
buscada:
30 x60
3
4 MATEMÀT
1. Igua
IdentitatUna iguaexpression(=).
Qde Sde
Solució
El valor des'anomena Resoldre solucions. Dues o mésolucions s Una equacno té soluc
Equac
Per obtdada s’
TIQUES Orientade
altats a
t i Equacaltat algebns algebraiq
Quan la igules lletres s
Si la igualtales lletres s
d’una eq
e la lletra qa solució d
una equac
és equacions'anomene
ció diem qució, diem q
cions
tenir una e’utilitzen les
Si sumem d’una equaalgebraica, equivalent
Si multiplmembres expressió equació equ
es als Ensenyame
algebra
ció braica estques separ
altat és cers'anomena at és certa ps'anomena
quació
ue fa que lde l'equació
ió és troba
ns que tenen equivale
ue és compue és inco
de se
equació equ regles segü
o restem aació la ma s’obté a la donada
iquem o dd’una equa
algebraica,uivalent a la
ents Acadèmics 3r
iques
tà formadrades per e
rta per a al equació.per a quals identitat.
a igualtat eó.
r la solució
en les mateents.
patible si téompatible.
egon g
uivalent a ents.
als dos memateixa expre
una equ.
dividim els ació la mat, s’obté
a donada.
r ESO
a per dueel signe igu
gun valor
sevol valor
es verifiqui
ó o
eixes
é solució. S
grau
una
bres essió uació
dos teixa una
es al
Si
Ide
Obs
qua xxx
EquObs
x=1 xx
x comx=3 x comx=3 Lesequ
2xincnomneg
Equx x x 2xper 2(x
entitat: 2(
erva que e
lsevol valor de
0; 2(0 1)1; 2(1 1)2; 2(2 1)
uació: x
erva que es
1
1; 1 1 22; 2 1 3
5 8 émpatible, té3
1 4 és mpatible, té3
dues uivalents.
1 és ompatible,
mbre elevat gatiu.
uacions equiv5 8
7 10 s’ob5 2 8
10 16 s’ 2
x 5) 2·8
(x 1) 2x
es verifica
e x:
2 2(0)4 2(1) 26 2(2)
1 2 verifica nomé
23#2
és una eqé com única
s una eqé com única
equacions
una eq no té soluc al quadrat
valents a
bté sumant 22 x 7
’obté multip
2x 10
2
per a
222
és per a
quació solució
quació solució
són
quació ció, cap pot ser
2 10
licant
16
MATEMÁTICAS Orientades als Ensenyaments Acadèmics 3ºESO 5
Equacions de segon grau
EXERCICIS resolts
1. Classifica la següent expressió algebraica:6(7x 1) 3x 4x 76 , en identitat o
equació. Sol: És una equació,6(7x 1) 3x 42x 6 3x 45x 6#4x 76
2. Classifica la següents expressió algebraica:7(5x 1) 5x 40x 7 , en identitat o
equació. Sol: És una identitat, 7(5x 1) 5x 35x 7 5x 40x 7
3. Escriu una equació de la forma ax+b=c, una solució de la qual sigui x=4
Sol:3x 5 7
4. Escriu una equació de la forma ax =b que sigui equivalent a 5x 4 16
Sol: Restant 4 als dos membres de l’equació s’obté 5x 20
5. Escriu una equació de la forma x +b=c que sigui equivalent a 5x 20 15
Sol: Dividint per 5 als dos membres de l’equació s’obté 5x 4 3
6. Raona si x=2 és solució de l’equació: 5x 3(x 1) 13
Sol: Sí, és solució: 5(2) 3(2 1) 10 3·1 10 3 13
7. Raona si x=3 és solució de l’equació: 7x 3(x 2) 16
Sol: No és solució 7(3) 3(3 2) 21 3·1 24#16
8. Comprova que x=-1, és solució de l’equació 25x x 4
Sol: Sí, és solució 25( 1) ( 1) 5 1 4
9. Escriu una equació que sigui incompatible
Sol: 2(x 1) 4 , cap nombre elevat al quadrat és negatiu
6 MATEMÀT
2. Equ
DefiniciUna equaés una iguforma ax=El major e
Si a≠0 semés: x=b/a
Mètode
Per resoldaquests pa
S'ecalcmuaqu
Es S'a
sím Es
Resoluc
Per resolds'han de trde l'enunc
Comença pestiguis secalcular i l
Un cop l'eqproblema.
EXEMPLE 1entre els dd’ells?
Edat deEntre el
EXEMPLE 2barrejar-se amb un pre
Vi de 4€Vi de 2€Preu de
Equac
TIQUES Orientade
acions
ó
ció de primualtat algeb=b, essen
exponent de
mpre té sola
de resol
re una equassos.
eliminen elscula el mcm
ultipliquen euest nombrtreuen els grupen els
mbol "igual"redueixen
ció de pro
re un problraduir al lle
ciat, i despr
per llegir ategur de quees dades q
quació està
) L’edat d’udos sumen 7
el fill: x anysls dos 72 an
2) Quants l amb vi de 2
eu de 3 € el l
€/l: x litres €/l: 40-x litre la mescla 4
cions
es als Ensenyame
de prim
mer grau abraica que et a i b nome les x ha d
lució, i a m
lució
ació de prim
s denominam dels denoels dos memre. parèntesis. termes en" i els nombels termes
oblemes
lema mitjanenguatge arés resoldre
tentament e comprensue et propo
à resolta, s'
un pare és t72 anys, qui
s Edays 3x+x=
litres de vi2 € el litre, plitre.
Preu: 4x res Preu40·3 4x+
de se
ents Acadèmics 3r
mer gra
amb una ies pot expr
mbres reals,de ser 1.
és és única
mer grau s
dors. Per feominadors mbres de l'e
. x a un cos
bres a l'altr semblants
s
nçant una elgèbric les ce l'equació
l'enunciat, s bé el que orcionen.
'obté la sol
triple de la dina és l’edat
t del pare: 3=72
i de 4€ el per obtenir 4
u: 2(40-x) +2(40-x)=3·4
egon g
r ESO
au
incògnita ressar en la, amb a≠0
a, la solució
e segueixe
er-ho, es i es equació pe
stat del re. .
equació, condicions plantejada
fins que s'ha de
ució del
del seu fill. t de cadascu
3x anys
litre han d40 litres de
40
grau
a .
ó
n
r
.
Si un
de vi
EquaEs reEl fill EquaEs re S’hancada
2xes p
La s
Tre
Tre
AgrRed
Aïlla
ció: 3x+x=7sol: 4x=7 té 18 i el pa
ció: 4x+2(4sol: 4
2n de barreja preu.
9 15 Eqpot escriure
solució és:
3x 22
ure denomin3x2 22
3x 4(x
ure parèntes
3x 4xrupar: 3x 4duir: 7x 14
ar: 14x7
72 72 x=72are 54 anys
40-x)=3·40 4x+80-2x=12x=40 x=40ar 20 litres
quació de gracom 2x 6
6x 32
(x 1) 5
nadors:
(x 1) 2·
1) 10
sis: x 4 10 4x 10 4 4
2
2/4=18
20 0/2=20 de vi de
au 1,
·5
10.
11.
12.
Resol les e
a) 7x 57
b) 2x (x4
c) 3x 7(x6
d) 2x 53
e) 6x (x6
L’edat d’unquina és l’e
So
Quants litre50 litres de
Sol:
quacions se
9x 78
1) 5x 26
1) 2x3
2x 8 x7
8) 2x3
n pare és eledat de cad
ol:
es de vi dee vi amb un
EXER
egüents:
1 So
2 So
1 2 So
x So
17 x So
triple que dascun d’ell
5€ el litre n preu de 4
MAT
RCICIS
l:
7x 556
7
56x 40
l:
x 112
4
3x 3 10
l:
3x 7(x6
6
3x 7x 7
l: 2x 5
213
14x 35
l: 6x (x
66
5x 8 4
la del seu ls?
han de bar4€ el litre?
Equ
TEMÀTIQUES Ori
resolts
9x 756 5
8
63x 49 5
5x 212 3(
6
0x 4 7x
1) 2x 16
3
4x 2 12
2x 821 2
76x 24 21x
8) 2x 16
34x 34 6x
fill. Si entre
rrejar-se am
uacion
entades als Ensen
56·( 1) 8( 7
56 7x 47
(x 1) 2(5x
77 x
7
6·2 3x 7
8x 7
21x 7(2x 5
x 59 x
76x 6x
3x 42 x
e els dos su
mb vi de 3€
ns de s
nyaments Acadèm
x 5) 7(9x
47x
7
2)
1
7(x 1) 2(2x
7x
8
5) 3( 2x 8)
x 59
(x 8) 2( 2
14
umen 56 an
€ el litre pe
segon
mics 3r ESO 7
7) 56
1) 12
21x
x 17) 6x
nys,
er obtenir
n grau
7
8 MATEMÀT
3. Equ
DefiniciUna equauna igualtforma: axreals, amb
Si b#0 i b=0 o c=0
ResolucPer resoldn'hi ha proels dos fac
L'equació ax2+bx=0
ResolucPer resold"x2 " i s'ex
L'equació ax2+c=0,
diferents d
ResolucL'equació algebraicaax2+bx+c#0
Per obteni
Suma i Si x1 i x2 ax2+bx+c
Observa qpot escriurles arrels:
Equac
TIQUES Orientade
acions
ó. Tipus ció de segtat algebrax2 + bx + b a#0.
c#0, diem0, l'equació
ció de axdre aquestou amb trectors a zero
de segon0 té dues s
ció de axre aquest t
xtreu l'arrel
de segon, pot no te
de la forma
ció de axde segon que es c=0, essen
r les soluci
x
Productsón les arrc=0, acom
1 2x x
ue l'equacire en funció
x2
cions
es als Ensenyame
de seg
gon grau aaica que e c = 0, es
m que l'equ és incomp
x2+bx=0 t tipus d'eeure factor o.
n grau insolucions: x
x2+c=0 tipus d'equ quadrada.
n grau innir solució
: cxa
x2+bx+c=grau com
pot expnt a, b i c
ons utilitze
2b b2a
te de lesrels d'una pleixen les
2 ;b xa
ó de segonó de la sum
2 - sx + p
de se
ents Acadèmics 3r
gon gra
amb una ins pot exprsent a, b
uació és copleta.
equacions icomú a la
ncompletax1=0 i x2=
uació incom
ncompleta o tenir du
=0 mpleta és pressar denombres r
em la fórmu
4ac
arrels equació de propietats
1 2cx ·xa
n grau x2+bma s i el pro
= 0
egon g
r ESO
u
ncògnita éressar en i c nombre
ompleta.
incomplete "x" i iguala
a del tipu=-b/a
mpleta, s'aïl
a del tipuues solucion
una igualtae la formreals, amb
ula:
e segon gra següents:
bx+c=0 esoducte p de
grau
és la es
Si
s, ar
us
la
us ns
at ma a
au
s e
x(3x
x
Equcom a=3 Equinco a=3
Les
1
1
x
x ·x
23x
x 9) 0
2x 5
( 5) (
2
5 25 24
2
uació de segompleta: 23x
3 ; b=4 ; c=
uació de segoompleta: 3
3 ; b=0 ; c=
23x
2x x9
2x 5
arrels són x
2
2
x 2 3
x 2·3 6
9x 0
x 0
3x 9 0
5x 6 0 25) 4·1·6
2
4 5 1
2
on grau 2 4x 2
=2
on grau 23x 2 0
=2
9 0
x 9 3
5x 6 0
x=3 i x=2
( 5)51
61
x 3
6 32
4 22
0
3
Recorda
Com
Iden
Trad
Plan
Reso
Com
Per taligual adels fa
Λ
Λ
Té d
Té
a els passo
mprendre l’en
ntificar la inc
duir al llengu
tejar l’equac
oldre
mprovar les s
(x 7)·(x
que un proda zero, n’hi hactors sigui z
x 7 0x 9 0
5 4 2
5 4 3
Λ 6 4
22x 5x
ues arrels re
23x 5x
No té arre
2x 6x
dues arrels
s:
nunciat
cògnita
uatge algebra
ció
solucions
9) 0
ducte sigui ha prou que zero.
x 7x 9
3 49
6 37 0
1 9 0
3 0
eals diferent
6 0
ls reals.
9 0
reals iguals
aic
D
Sa
Es
E Pa
Pcu
R
Lmp
un
0
0
ts.
.
MAT
Discrimin
S'anomena ax2+bx+c=
El nombre igne del dis
S S S
Equació (
Per tal que almenys un
Per resoldreom la segü
un dels fact
Resolució
Les equaciomultitud dproblemes d
La suma d313. QuinsAnomenem Anomenem
L’equació és
Resolem: 2 2
2
2
2 4x
2·
x x 22x 2x2x 2x
La solució énatural).
Equ
TEMÀTIQUES Ori
nant
discriminan=0, a l'expr
de solucscriminant:
Si Δ>0 hi haSi Δ=0 hi haSi Δ<0 no h
(x-a)·(x-
el producte dels factor
e les equaüent: (x-a)ors i es res
x-ax-b
ó de Pro
ons de prim’ocasions de la vida r
dels quadras són els no x al menor x+1 al cons
s: 2x x
2496 2
2
x 1 3131 313312 0
és el nombre
uacion
entades als Ensen
nt d'una eqressió:
=b2-4ac
cions de
a dues arrea dues arrehi ha arrels
-b)=0
e de diversrs ha de ser
acions que )(x-b)=0, solen les eq
= 0 –> x=b = 0 –> x=
blemes
mer i segoen la reseal
ts de dos nombres? dels nombre
secutiu
21 313
2500
4
e 12, (-13 no
ns de s
nyaments Acadèm
quació de s
l'equació
els reals difels reals igu reals.
sos factors r zero.
estan fac s'igualen aquacions re
=a =b
on grau apsolució de
nombres na
es.
122 50
134
o val per no
segon
mics 3r ESO 9
segon grau
depèn del
ferents. uals.
sigui zero,
ctoritzades,a zero cadasultants.
areixen ene diversos
aturals és
3
ser
n grau
9
u
l
,
, a
n s
10 MATEMÀ
Equac
13. Res
a)
b)
c)
14. Res
a)
b)
c)
15. Res
a)
b)
c)
16. Esc
S
17. Res
a)
b)
ÀTIQUES Orienta
cions
sol les equa
2x 6x 0
2x 27x
23x 5x 0
sol les equa
2x 36 0
24x 9 0
2x 9 0
sol les equa
2x 7x 10
23x 17x
23x 5x 4
criu una eq
ol: S 1
P 1·4
sol les equa
(x 2)(x
(3x 1)(x
ades als Ensenyam
de se
acions segü
Sol: x(x
0 So
0 Sol: x(3x
acions segü
0 Sol: 2x
0 Sol: 2x
Sol: 2x
acions segü
0 0 So
20 0 So
4 0 So
uació de se
4 3x
4 4
acions segü
3) 0 So
5) 0 So
ments Acadèmics
egon g
EXERC
üents de se
6) 0
ol: x(x 27
x 5) 0
üents de se
36 x
9 x4
9 No h
üents de se
ol: 7x
ol: 17x
ol:
egon grau l
2x 3x 4
üents:
ol: x 2 0
ol: 3x 1
3r ESO
grau
ICIS re
egon grau i
x 0
x 6 0
x
7) 0x
x 0
3x 5 0
egon grau i
x36
x
x94
x
hay solución
egon grau c
49 402
7 289 26
es arrels d
0
0 x 2
10 x3
esolts
ncompletes
x 6
0
27 0
50 x3
ncompletes
6
6
32
32
n
completes:
7 9 72
40 176
e la qual si
; x 3 0
; x 5 0
s:
x 27
s:
532 2
49 176 6
guin x=-1,
x 3
0 x 5
537 7
6 4
x=4:
4d
E
HufaF
Fpaidm
E
PLin
Eo
A
MATEM
4. Equados
Equacion
Has vist queun producteactors i es
Farem el ma
Factoritzar eper resoldreaixò aquí dentitats nmètodes pe
Equacion
Per resoldreL'equació esncògnita t:
En aplicar obtenim due
Amb la qual
Equ
MÀTIQUES Orien
acions d
ns factor
e per resole igual a zes resolen lateix quan
el polinomie equacions
trauràs fnotables. Er descompo
ns biquad
e-les es fa es transform at2 +bt+
la fórmulaes solucion
l cosa
uacion
ntades als Enseny
de grau
itzades
dre les equero s’igualenes equaciohi hagi mé
i de l’equacs de grau sfactor comEl proper condre en fa
drades
el canvi t=xma en una c= 0
a de l'equs: t1 i t2.
i
ns de s
yaments Acadèmic
u super
uacions forn a zero caons que enés d’un prod
ció és un muperior a d
mú i utilicurs aprenactors un p
x2. de segon
uació de s
√
segon
cs 3r ESO 11
rior a
rmades perada un delsn resulten.ducte:
mètode útildos, per fertzaràs les
ndràs nousolinomi.
grau, amb
egon grau
n grau
1
r s
l r s s
b
u
12 MATEMÀ
18. Res
a)
b)
c)
19. Tre
equ
a) 4
b)
c) 1
20. Tre
a)
b)
21. Res
a) 3
a)
Equac
ÀTIQUES Orienta
sol les segü
3 2
2 6 3
7 3 4
eu factor couacions:
4 12
16 40
16 4
eu factor co 5 12 4
3 3 21 2
sol les segü
3 27
10
cions
ades als Ensenyam
üents equac
5 3 1
7 5
6 8
omú i aplica
9 0
25 0
0
omú i despr
32 3 0
30 0
üents equac
42 0
96 0
de se
ments Acadèmics
EXERCI
cions factor
1 0
10 0
0
a els identit
0
rés resol l’ e
cions biqua
egon g
3r ESO
27 √
10 √
ICIS re
ritzades:
Sol:
Sol: 3
Sol:
tats notable
4
Sol:
16
Sol:
4 4
Sol:
equació de
1
0
Sol: 0
3 7
3 0
Sol: 0
adrades:
→
Sol:
→
Sol:
grau
√27 4 426
√10 4 962
esolts
3, ,
3, ,
, ,
es per reso
12 9
0,
40 25
0,
1 0 → 4
0,
segon grau
2 32
12
0, 4,
7 30 0
7 3
0, 2,
→ 3 27
7 → 2 →
→ 10
16 →6 No h
27 √2256
10 √4842
2
8
ldre les seg
0 → 2
0 → 4
4 2 1
,
u:
0 32 0 8
0 30 0
5
42 0
√7 √2
96 0
4 hay solución
5 27 156
4 10 222
güents
3 0
5 0
2 1
72
166
0
0
1. Detealgeequ
a) 6
b) 3
c) (x
d) x
2. Indisegü
a) x
b) x
c) x
d) x
3. Indiequ
a) 3
b) (
c) 2
d) x
4. Escrsolu
a) x
b) x
c) x
5. Resoprim
a) 1
b) 2
c)
d) 3
Per prac
ermina si ebraiques acions:
6(x 1) 3x
3(x 1) 5
2 2x 1) x
x (2x 5)
ica el grüents:
2x 1 x 2
2 2x 1 x
3 3x 1 x
1 3x 2x
ica si x=acions segü
3(x 1) 5
2(x 1) 5
2(x 3) 5x
3x 60 x
riu una equció de la q
x=2
x=3
x=1
ol les eqmer grau:
10 x 3
2x 5 15
9 4x x
3x 10 50
cticar
les igualtsón ident
x 4x 6
3x 8
2x 1
3x 8
rau de la
2
x 2 2 2x
2
=4 és soüents:
3x 8
x
x x 2
uació de pual sigui:
quacions
0 x
tats següetitats o
as equaci
lució de
primer grau
següents
MATEM
ents són
ions
les
u la
de
Equ
MÀTIQUES Orien
6. Calcula
a) 3(x
b) 2 2
c) 2(x
d) 3x2
7. Obté següen
a) x 12
b) x 32
c) 2 2
d) 4(x2
8. Troba sumin 7
9. Troba useu trip
10. Quina éde 12 que ten
11. En JoaMaria, del triplel’edat q
12. A una fmarxesnoies qhi ha?
uacion
ntades als Enseny
el valor d
1) 2x x
2(x 3) 3(
3) 3(x 1
2(x 1) 1
la solució ts:
1 x 3 13
3 3(x 2)
2(x 3) x2 4
1) xx2
dos nomb71
un nombre ple sigui igu
és l’edat qanys tindr
nia fa 8 any
an té 12 dintre de 4e de l’edatque tenen a
festa assistessin 3 nois, ue de nois
ns de s
yaments Acadèmic
e x:
x 1
(x 3) 8
1) 24
12
de les
1
20
4 34
3 5 3(3
bres consec
tal que sumual a 100
que tinc arré el tripleys?
anys men4 anys la Mt d’en Joanara?
eixen 43 pe hi hauria
s. Quants n
segon
cs 3r ESO 13
equacions
(x 2)
cutius que
mat amb el
ra si dintree de l’edat
ys que laMaria tindràn, quina és
ersones. Siel triple denois i noies
n grau
3
s
e
l
e t
a à s
i e s
14 MATEMÀ
13. Resol
a) 2x
b) 2x
c) 2x
d) 2x
14. Resol
a) 2x
b) 2x
c) 2x
d) 2x
15. Resol
a) (x
b) (3x
c) x(x
d) (2x
16. Escriu arrels d
a) x=3
b) x=2
c) x=-
d) x=0
17. Resol
a) (x
b) (x
18. Calculaés solux2 - mx
19. La sumquadratracta?
Equac
ÀTIQUES Orienta
5x 0
3x 0
9 0
5 0
5x 6 0
3x 4 0
3x 10 0
6x 9 0
2)(x 3)
1)(x 5)
9) 0
8)(3x 9)
una equacde la qual s
3 i x=-5
2 i x=4 1 i x=-9 0 i x=-5
2)(x 3)
1)(x 5)
a el valor dució de l’eqx+27=0
ma d’un noat és 42. ?
cions
ades als Ensenyam
0
0
0
) 0
ció de segosiguin:
6
16
de m sabenquació de
ombre natuDe quin
de se
ments Acadèmics
on grau les
nt que x=3segon grau
ral i el seunombre es
egon g
3r ESO
s
3 u
u s
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
grau
La diagoncm. Trobacostat me
Troba dosdiferenciïnseu produ
Troba dossigui 10 i e
Un campode llargadàrea és ddimension
Tenim un de doblegrecte, de mquedin a 1
Esbrina el en l’eq
27x bx solucions s
La diagonCalcula lecostat pet
Reparteix de manerquadrats s
Troba doque es difproducte é
Un triangl24 metresigual a ¾dels seus
Troba dos18 unitats
al d’un reca les sevessura 2 cm m
s nombresn en 7 unitcte és 44.
nombres lel seu prod
o de futbol da que d’ae 7000 ms.
filferro de ar per tal qmanera que13 cm?.
valor dels uació dec 0 , per siguin 3 i -2
al d’un reces seves it mesura ¾
el nombrera que la sigui 202.
s nombreserencien enés 60.
le rectangls, i la long de l’altre.costats.
nombres s i el seu pr
ctangle mes dimensionmenys que
s positius tats, saben
la suma deducte, 24
mesura 30amplada i 2, troba le
17 cm. Coque formi ue els seus
coeficientse segon r tal que le2
ctangle té dimension
¾ del costa
e 20 en due suma de
s positius n 7 unitats
e té de pegitud d’un Troba la
sabent queroducte és 7
esura 10 ns si un e l’altre.
que es t que el
els quals
0 m més la seva
es seves
m l’hem un angle extrems
s a, b i c grau es seves
10 cm. s si el
at gran.
es parts els seus
sabent i el seu
erímetre catet és longitud
e sumen 77.
Congr
Diem si a i blos pe
S'escr
Una eqequac
Si p éssón p+
Si
Si ha
Si no
ruències
que a és cob donen el r m.
riu : a b
quació lineaió de la for
ax+
s una soluc+m, p+2m
M=mcd(a,m
M=mcd(a,m M solucion
M=mcd(a,m hi ha soluc
s lineals
ongruent mateix re
mod m
al de congrma: b 0 mo
ció de l'equm, p+3m,..
m)=1 hi ha
m)#1 i M éns.
m)#1 i M nció.
amb b mòdsidu en div
ruències és
od m
ació també..
a una soluci
s divisor de
o és diviso
MATEM
dul m vidir-
una
é ho
ió.
e b hi
or de b,
Equ
MÀTIQUES Orien
Per sa
1
Oed2 11
R mss
R mh xx
R md Oc
uacion
ntades als Enseny
aber-ne
17 12 mod
Observa qentre 5 dódividir 12 e2.
17 11 mod12 6 mod
Resoldre: 2
mcd(2,3)=1solució que són 2+3k
Resoldre: 2
mcd(2,4)=2hi ha dues s
x=0, tambéx=2, també
Resoldre: 2
mcd(2,4)=2de 4, no hi
Observa qucap senar é
ns de s
yaments Acadèmic
e més
d 5
ue en dióna residuentre 5 dón
d 2 3
2x-4 0 m
1 Hi ha és x=2, ta
2x-12 0
2 i 2 divisorsoluciones
é ho són 0+é ho són 2+
2x-1 0 m
2 i 2 no és ha solució.
e 2x-1 és sés múltiple
segon
cs 3r ESO 15
vidir 17 2 i en
na residu
mod 3
a una ambé ho
mod 4
r de 4, que són
+4k +4k
mod 4
divisor
senar, i de 4
n grau
5
16 MATEMÀ
Equac
Equació
Complete
• Si b2- • Si b2- • Si b2-
Incomple
ax• • •
axSo
IdentitIgualtat algebraiqqualsevo EquacióIgualtat algebraiqvalor de
EquacióSón equen la formTenen un
ÀTIQUES Orienta
Recorel mé
cions
ó de sego
es: ax2+bx
4ac>0 té 2 s4ac=0 té 1 s4ac<0 no té
etes: Si b=
x2+c=0
-c/a>0, du -c/a<0, no c=0, una s
x2+bx=0 olucions: x=
at entre
ques que ol valor de l
ó entre
ques que e les lletres
ó de primuacions quema ax=b ana única so
ades als Ensenyam
rda és impo
de se
on grau
x+c=0
solucions solució dobleé solución
0 o c=0
cxa
es solucions té solució solució doble
=0, x=-b/a
dues es verifles lletres
dues es verifica p
mer grau e es podeamb a#0. olució que é
ments Acadèmics
ortant
egon g
e
e, x=0
expressionfica per
expressionper a algu
n expressa és x=a/b
3r ESO
grau
SolÉs eigua EquÉs l EquÉs l EquDueles
EquSi Sprodescr
Prode La ssego
El pde s
ns a
ns un
ar
Equde
x
lució d’unel valor de altat.
uació Inc'equació qu
uació Com'equació qu
uacions ees equacionmateixes s
uació CanS és la sducte, l’equriure en la f
opietats dl’equaciósuma de leon grau és
producte dsegon grau
uacions grau supFactoritzadx-a=0 → xBiquadradeEs fa x2=tsegon grau
na equacila incògnita
ompatiblue no té so
mpatible ue té soluci
equivalenns són equivolucions.
nònica uma de leuació de seforma:
x2-Sx+P=
de les arreó de segoes solucions
1 2x xa
e les soluc és
1 2cx ·xa
erior a does: (x-a)(
x=a; x-b=0es: ax4+bxt i es resol u que en res
ió a que fa ce
le lució.
ió.
nts valents si t
es arrels egon grau
=0
els n grau s de l’equa
ba
cions de l’eq
ca
os (x-b)(x-c)0 → x=b;
x2+c=0 l’equacio dsulta.
rta la
tenen
i P el es pot
ació de
quació
=0 ...
e
1. Esx=
2. Re
3. Troco
4. Re
5. Re
6. Re
7. Re
8. Esi 1
9. El és
10. Re
MATEM
criu una equ=8
esol l’equació
oba un nomnsecutiu el r
esol l’equació
esol l’equació
esol l’equació
esol l’equació
criu una equ1
quadrat d’u 960. Quin é
esol sense ap
Equ
MÀTIQUES Orien
Au
uació de la fo
ó: xx 16
6
mbre sabentresultat és ig
ó: x 4 x
2
ó: 24x 7x
ó: 22x 8
ó: 2x 24x
uació de seg
un nombre pés aquest no
plicar la f: (x
uacion
ntades als Enseny
toaval
orma ax+b=
6 2(x 6)
t que si li gual a 755
7 13
x 0
0
108 0
on grau que
positiu més embre?
x+9)·(4x-8)·
ns de s
yaments Acadèmic
luació
=c que tingu
sumem sis
e tingui per s
el doble del
·(3x+15)=0
segon
cs 3r ESO 17
i per solució
vegades el
solucions 20
seu oposat
n grau
7
ó
l
0
t
18 MATEMÀ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Equac
SoluAUT1. -2
2. -8
3. 1
4. -4
5. 0
6. 2
7. 1
8. x
9. 3
10. -9
ÀTIQUES Orienta
1. a) equacc) identit
2. a) 2 b
3. a) si b
4. a) x 3 c) 3x 1
5. a) x=7 c) x=3
6. a) x=1 c) x=3
7. a) x=15 c) x=1
8. 35
9. 25
0. 18
1. En Joan 2
2. 13 nois i
3. a) x=0 c) x=0 solució
4. a) x=2 c) x=2
5. a) x=-2 c) x=0
cions
ucions TOAVALU2x+7=-9
8
07
4
i -7/4
i -2
8 y 6
2x 21x 20
2
9 , 2 i -5
ades als Ensenyam
Solucion
ió b) idtat d) e
b) 1 c) 2
) sí c) n
5 b) 22
b) x=10 d) x=30
b) x=5 d) x=4
b) x=5 d) x=6
2 i la Maria 1
30 noies
x=5 b) xx=-3 d) N
x=3 b) xx=-5 d) x
x=3 b) xx=-9 d) x
de se
UACIÓ
0 0
ments Acadèmics
ns dels e
dentitat equació
d) 1
no d) sí
2x 1 7
14 anys
x=3 x=-3 No hi ha
x=-1 x=4 x=3 x=3
x=-1/3 x=-5x=-4 x=3
egon g
3r ESO
exercicis
5
16. a
b
c
d
17. ac
18. 1
19. 6
20. 8
21. 1
22. 6
23. 1
24. Eext
25. b
26. 6
27. 1
28. 1
29. 6
30. 1
grau
s per pra
a) 2x 2x
b) 2x 6x
c) 2x 10x
d) 2x 5x
a) x=4 , x=-c) 2x 10x
12
6
8 i 6
11 i 4
6 i 4
100 i 70
El punt del drems
b=-7 c=-42
6 i 8
11 i 9
12 i 5
6,8 i 10
11 i 7
acticar
15 0 8 0 9 0
0
-3 b) x9 0 d)
oblec està a
2
x=7 , x=-3 2x 5x 0
a 12 i 5 cm d
dels